Cap 2 Integral Definida

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 2 La Integral Definida

53

2

2.1. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 2.2. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

2.3. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 2.5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD

2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD 2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN 2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO

2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN 2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA

2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD 2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA

INTEGRAL

OBJETIVO:

Calcular integrales definidas aplicando teoremas y

propiedades


54

Primero estudiemos una notación para la suma de una secuencia de números que, notación que la emplearemos en la definición de la integral definida.

2.1 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

Sea la secuencia de números 1

a ,2

a , n

aa ,3

. La suma de estos números,

puede ser expresada empleando el símbolo sigma, , una notación que denota

abreviación:

n

i

inaaaaa

1

321

Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

Ejemplo 1

4321

4

1

2 17

4

10

3

5

2

2

1

1

iiiiii

i

Ejemplo 2

1

4321

n

nn

2.1.1 Propiedades

Sean i

a y i

b dos sucesiones y sea C una

constante, entonces

1.

n

ii

n

ii

aCCa11

2.

n

ii

n

ii

n

iii

baba111


55

Demostración.

1. La demostración es muy sencilla.

1 2

1

1 2

1

n

i n

i

n

n i

i

Ca Ca Ca Ca

C a a a C a

2. Igual como la anterior.

1 1 2 2

1

1 2 1 2

1 1

n

i i n n

i

n n

n n

i i

i i

a b a b a b a b

a a a b b b

a b

Análogamente sería la de la diferencia

Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:

1. 1

;Cn

i

C nC

2.

2

14321

1

nnni

n

i

3.

6

121321 2222

1

2

nnnni

n

i

4.

2

3333

1

3

2

1321

nnni

n

i

5.

30

1961321

23

4444

1

4

nnnnnni

n

i

¡No olvide demostrarlas!


56

2.2 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva )(xfy .

El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta

problemática. Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura 2.2

Fig. 2.1

Fig. 2.2

x

y

1

x

1f x

2f x

3f x

nf x

1x 2x 2x nxa b0x 1x 2x

1nx 3x nx

2

x 3

x

nx

y f x

a b

x

y

y f x


57

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en

la función f con el punto (observe la figura 2.2) que se ha denotado como x . El

área del primer rectángulo sería 1 1 1( )A f x x , el área del segundo rectángulo

sería 2 2 2( )A f x x ; y así, el área del n-ésimo rectángulo sería ( )n n nA f x x .

Observe que si tomamos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x , se tienen

rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 1 0x x , 2 1x x , 3 2x x , …,

1i ix x se tendrían rectángulos inscritos.

La suma de las áreas de los n rectángulos sería:

1 1 2 2 3 3 n nf x x f x x f x x f x x

Que de manera abreviada tenemos:

1

n

i i

i

f x x

Esta suma es llamada SUMA DE RIEMANN para f . Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una

suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:

1

n

i in

i

A lím f x x

De lo anterior surge la definición de Integral Definida.

Sea f una función definida en el intervalo ba, .

Al 1

lím

n

i in

i

f x x

se le denomina la Integral

Definida (o Integral de Riemann) de f desde "a "

hasta "b" y se denota como b

a

dxxf )( . Es decir:


58

1

lím ( )

bn

i in

i a

f x x f x dx

Además, si existe este límite decimos que f es

integrable en ba, .

Observe que para obtener esta definición se partió del cálculo del área de una región que estaba limitada superiormente por una función positiva (algunos autores dicen el área bajo una curva), pero la definición es general; es decir la función

también podría ser no positiva en algún subintervalo de ba, , en este caso ya no

representaría el área. Más adelante trataremos el cálculo de áreas de regiones planas generales y allí se indicará como utilizar la Integral Definida para que su resultado represente un área. Por ahora nuestra intención es estudiar esta definición y dejar indicada sus propiedades.

Regresando a la definición, surge una interrogante ¿cuándo una función es integrable?. Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable.

Ejemplo

Hallar el área bajo la curva 2)( xxf en 3,1

SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:

1 1 2 2 3 3

1

lím ( ) lím[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]

n

i i n nn n

i

A f x x f x x f x x f x x f x x

PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.

Escogemos 1 1x x , 2 2x x , 3 3x x , …, i ix x

Representando la región, tenemos:

0x

1x

2x

nx

x x x

2y x

Fig. 2.4


59

Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos:

nnn

abx

213

y

10 ax

n

xxx2

101

nnxxxxx

41

2212012

,

nnxxxxx

61

2313023

nixixixxi

2110

Entonces:

3

26

3

4

3

886

3

22

3

423

2

3

26423

2

3

)12)(1(2)1(2

2

6

)12)(1(4

2

)1(42

441

2

441

2

221

)(

2

2

2

1

2

2

11

1

2

2

1

2

1

321

A

nnlím

n

nn

nlím

n

nnn

nlím

n

nnnn

nlím

nnn

n

nn

nn

nlím

in

inn

lím

ni

ni

nlím

nnilím

xxflím

xxfxxfxxfxxflímA

n

n

n

n

n

n

i

n

i

n

in

n

in

n

in

n

i

in

nn


60

0x

1x

2x

nx

x x x

2y x

1nx

SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.

Escogemos 1 0x x ,

2 1x x , 3 2x x , …,

1i ix x

Representando la región, tenemos: Ahora, igual que el método anterior:

n

x2

y

nixi

21

Entonces:

0 1 2 1

1

0

21

0

12

20

1 1 12

20 0 0

2

( )

2 21

2 4 41

2 4 41

1 ( ) 21 ( )2 4 41

2

nn

n

in

i

n

ni

n

ni

n n n

ni i i

n

A lím f x x f x x f x x f x x

lím f x x

lím in n

lím i in n n

lím i in n n

n nn nlím n

n n n

2

2

1 1

6

2 2( 1)(2 1)1 2( 1)

3

2 4 6 23 3

3

2 4 23 3 2

3 3

10 8 46

3 3

26

3

n

n

n

n

n

n nlím n n

n n

n nlím n

n n

nlím n

n n

límn n

A

Fig. 2.5


61

2.3 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Si f es acotada en ba, y si f es continua a

excepción de un número finito de puntos,

entonces f es integrable en ba, . En particular

si f es continua en todo ba, entonces es

integrable en ba,

Es decir, si tratamos con una función que esté definida en intervalos, que sea continua en intervalos, como la de la fig. 2.3; podemos pensar que será cuestión de dedicarse al cálculo del área (Integral Definida) de cada subregión que se forme.

.

Es importante anotar que la función además de ser continua en intervalos debe ser acotada. Las regiones formadas por funciones no acotadas las trataremos en capítulo aparte.

Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la

función f tuviese regla de correspondencia compleja.

El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera

muy rápida y sencilla, liberándonos de la idea de calcular integrales definidas empleando su definición.

Fig. 2.3


62

2.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función continua en el intervalo

ba, y sea F cualquier antiderivada de f

en ba, entonces:

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a

Demostración:

En la expresión )()( aFbF , haciendo nxb y 0xa tenemos:

)()()()( 0xFxFaFbF n

Restando y sumando términos, resulta:

n

i

ii

nnnnn

n

xFxF

xFxFxFxFxFxFxFxF

xFxFaFbF

1

1

0112211

0

)()(

)()()()()()()()(

)()()()(

Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a F en el intervalo ii xx ,1

Como F es continua y diferenciable en ii xx ,1 entonces ix tal que

1

1)()´(

ii

iii

xx

xFxFxF

Como )()´( ii xfxF y iii xxx 1 entonces:

i

iii

x

xFxFxf

1)(

)(

Despejando resulta: iiii xxfxFxF )()( 1 .

Reemplazando en

n

i

ii xFxFaFbF

1

1)()()()( tenemos:

n

i

ii xxfaFbF

1

)()()(


63

Tomando límite queda:

b

a

n

i

iin

n

i

iinn

dxxfxxfaFbF

xxfaFbF

)()(lím)()(

)(lím)()(lím

1

1

La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en ba, .

Por tanto

b

a

dxxfaFbF )()()( L.Q.Q.D.

El teorema indica que para calcular una Integral Definida debemos hallar la

antiderivada de la función y evaluarla en el límite superior y restarle la antiderivada evaluada en el límite inferior. El cálculo de antiderivadas ya lo presentamos en el capítulo anterior y lo dejamos explicado allí para ahora fluir con las aplicaciones de la Integral Definida.

Ejemplo

Calcular dxx3

1

2

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

3

26

3

1

3

27

3

1

3

3

3

333

1

3

3

1

2

CCC

xdxx

Hemos dado solución a una gran problemática.

Observe que 0)( a

a

dxxf y

a

b

b

a

dxxfdxxf )()( ¿Porqué?


64

Ejercicios propuestos 2.1

1. Utilizando la definición de la integral definida, calcule:

a.

4

2

1

2x x dx

b.

3

2

1

2x x dx

c.

b

a

xdx

d. 2

b

a

x dx

2. Calcular las siguientes integrales definidas:

1.

1

2

0

2 1x dx

2.

1

0

22 14

2dx

xx

x

3.

21

0

2sen dxx

4.

1

0

33cos3 dxxx

5. 2

41

lndx

x

x

6. 2

41

ln xdx

7.

2

1

2 2ln23 xdxx

8.

1

0

2 252

3dx

xx

9. 2

1

2 3 ln

e

x x x dx

10.

1

2

1

e

dxx

x

11.

4

0

2 3cos xdx

12.

5

2

4

4 2

3

x xdx

x

13.

4

3

3

2

4

12dx

xx

xx

14.

0

cosxe x dx

15.

1

0

ln 1 x dx

16. dxx

5

0

29


65

Bien, ya aprendimos a calcular Integrales Definidas, ahora dediquémonos a estudiar sus propiedades.

2.5 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

2.5.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Suponga que f y g son integrables en el

intervalo ba, y sea k , entonces:

1. ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

2. ( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

Igual que para la Integral Indefinida.

2.5.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

Si f es integrable en un intervalo que

contiene a los puntos a, b y c (no importar

su orden), entonces:

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son continuas en intervalos. Ya mostramos esta inquietud anteriormente.

Fig. 2.6


66

Demostración:

Por el teorema fundamental del cálculo:

b

a

b

c

c

a

dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(

PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?

3

5

2

5

1

2

3

1

2 dxxdxxdxx

Ejemplo 1

Calcular 5

1

)( dxxf donde

3;13

3;12)(

2 xxx

xxxf

SOLUCIÓN:

Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:

Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:

3

38

3952512

3

3

13

2

279

2

2

2

3

3

1213)(

5

3

23

1

23

5

3

3

1

2

5

1

xx

xxx

dxxdxxxdxxf


67

Ejemplo 2

Calcular

4

2

21 dxx

SOLUCIÓN:

Para obtener las reglas de correspondencia que definen a f , obtenemos la gráfica de 21 xy

Entonces:

5

92

91283

2

19

2

91

2

11

2

1221

2

1

32

3222

331121

4

3

23

1

21

1

21

2

2

4

3

3

1

1

1

1

2

4

2

x

xx

xx

xx

x

dxxdxxdxxdxxdxx

2.5.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN

Si f y g son integrables en ba, y si

)()( xgxf , bax , ; entonces:

dxxgdxxfb

a

b

a

)()(

2.5.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO

Si f es integrable en ba, y si

Mxfm )( , bax , ; entonces:

)()( abMdxxfabmb

a

Fig. 2.7


68

2.5.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN

Supóngase que g tiene una derivada

continua en ba, y sea f continua en el

rango de g . Entonces:

)(

)(

)()(́))((bgt

agt

bx

ax

dttfdxxgxgf

donde )(xgt

Ejemplo

Calcular

4

9

2

2

cosdx

x

x

SOLUCIÓN:

Tomando el cambio de variable xt entonces tenemos dtxdx 2 , y para los límites de integración

39

24

2

2

tx

tx por tanto la integral en términos de t sería:

322

3212

sen2sen2sen2cos22cos

32

2

3

2

3

2

3

ttdtdtxx

t

Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de

sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.


69

2.5.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA

1. Si f es una función PAR entonces:

dxxfdxxf

aa

a

)(2)(

0

2. Si f es una función IMPAR entonces:

0)(

dxxf

a

a

Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice.

Demostración

Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf

a

a

a

a

)()()(

0

0

Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:

Si tomamos el cambio de variable xt entonces dxdt y para los límites de integración

atax

tx 00. Sustituyendo resulta

00

)()(

aa

dttfdttf

Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que )()( tftf y además si invertimos

los límites de integración, tenemos:

a

a

dttfdttf

0

0

)()(

la última integral si xt queda

a

a

dxxfdttf

0

0

)()(

Finalmente dxxfdxxfdxxfdxxf

aaaa

a

)(2)()()(

000

L.Q.Q.D.

La propiedad para la función par es muy utilizada en el cálculo de áreas de regiones simétricas, lo veremos en la próxima sección.


70

Ejemplo

Calcular dxx

x

5

5

2

5

4

SOLUCIÓN:

Obtengamos primero )( xf para 4

)(2

5

x

xxf .

44)(

)()(

2

5

2

5

x

x

x

xxf

Observe )()( xfxf , por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente

concluimos que:

04

5

5

2

5

dxx

x

2.5.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD

Si f es periódica con período T , entonces:

b

a

Tb

Ta

dxxfdxxf )()(

Demostración

En la integral

Tb

Ta

dxxf )( , haciendo cambio de variable Txt .

Del cambio de variable se obtiene Ttx , dtdx y los límites para la nueva variable son:

atTax

btTbx

Reemplazando, resulta:

b

a

Tb

Ta

dtTtfdxxf )()( y como, por hipótesis, f es una función

periódica se cumple que )()( tfTtf , entonces

b

a

b

a

dttfdtTtf )()(

Que finalmente, si xt quedaría

b

a

Tb

Ta

dxxfdxxf )()( L.Q.Q.D.


71

2.5.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo.

Sea f continua en ba, y sea " x " un punto

variable de ),( ba . Entonces:

)()( xfdttfdx

d x

a

Ejemplo 1

Calcular

x

x dtt

tD

2

2

23

17

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:

1717 2

23

2

2

23

x

xdt

t

tD

x

x

Ejemplo 2

Calcular

2

2

23

17x

x dtt

tD

SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:

1717 2

23

2

2

23

x

xdt

t

tD

x

x

La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:

dx

duufdttf

dx

dxu

a

)()(

)(


72

Ejemplo 3

Calcular

3

2

2

23

17

x

x dtt

tD

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que:

17

33

1717 6

213

2

23

23

3

2

2

23

3

x

xx

x

xdt

t

tD

x

x

Ejemplo 4

Calcular

3

2172

23x

x

x dtt

tD

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:

0

0

2

23

2

23

2

23

2

33

2

171717x

x

x

x

x

x dtt

tdt

t

tDdt

t

tD

Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:

)3(

17

)2(

17

1717

17171717

2

23

23

3

22

23

2

0

2

23

0

2

23

0

2

23

0

2

23

0

0

2

23

2

23

32

3

22

3

x

x

xx

x

x

dtt

tDdt

t

tD

dtt

tDdt

t

tDdt

t

tdt

t

tD

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

FINALMENTE:

17

2

17

3

17 4

4

6

213

2

23

3

2

x

x

x

xdt

t

tD

x

x

x


73

Ejemplo 5

Calcular

x

x xtdtD

1

SOLUCIÓN:

Observe que

xx

tdtxxtdt

11

por tanto:

2

1

2

3

2

1

2

2

1

2

22

2

1

2

1

11

11

x

xx

xt

xxtdt

tdtDxtdtxD

tdtxDxtdtD

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ejemplo 6

Calcular x

dtt

x

x

0

2

0

1

lím

SOLUCIÓN:

La expresión presenta una indeterminación de la forma: 0

0

Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:

1

1

01

1

1lím

1

lím22

0

0

2

0

x

xD

dttD

xx

x

x

x


74

Ejercicios Propuestos 2.2

1. Calcular

1. ,

3

2

dxxf si

31,21

12,2 2

xx

xxxf

2. ,

3

3

dxxf si

1,21

1,2

xx

xxxf

3. ,

3

5

dxxf si

2,

2,32 2

xx

xxxf

4.

4

0

1dxx

5.

5

2

3dxx

6.

4

2

13 dxx

7.

2

1

12 dxx

8. dxxx

4

2

213

9. dxx

5

2

22

10. dxx

5

2

112

11.

10

0

x dx

12.

4

0

x x dx

13.

13

42

11

xdx

x

14. 100

2 97 3

100

3x sen x x dx

2. Si

7

1

8f x dx y

2

7

2f x dx hallar

2

1

f x dx

3. Si

8

1

7f x dx y

8

3

3f x dx hallar

3

1

f x dx

4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa

de un contraejemplo.

a. Si xgxf en

b

a

b

a

dxxgdxxfba ,,

b.

99

0

2

99

99

23 2 dxbxdxcxbxax

c. Si f es periódica con período T, entonces:

b

a

Tb

Ta

dxxfdxxf


75

d. f ,

a

b

b

a

dxxfdxxf

e. Si f es una función par aax , , entonces

aa

a

dxxfdxxf

0

)(2

f. Si xgxf en ba, , entonces

b

a

b

a

dxxgdxxf

g. Si aGbGaFbFbaxxGxF ,,

h. Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces

CxgFdxxgxgf

5. Encuentre f si f toma las siguientes reglas de correspondencia:

a. dtt

xx

lnsen

01

1

b. dtt

xx

tanxx

sec2

ln

3 5

3

1

c. dtt

xxe

xxe

3

secln

2

1

d.

xx

x

dtt

tsen

4 5

3

21

2

e.

tanxx

x

dttt

tsen

1ln

3

3

2

sencos

1

f.

23

2

log6

cos1

sen1

x

x

dt

t

t

6. Determine:

a.

3

0

2

0lim

x

dttsen

x

x

b. 1

lim 1

1

x

dtsent

x

x

c.

2

0

2

2

51

x

t

dt

dx

d


76

Misceláneos

1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta.

a) Si ´f es una función continua en el intervalo ba, entonces

b

a

afbfdxxfxf 22 )()()(́)(2

b) Si 0)( b

a

dxxf entonces 0)( xf para bax ,

c) Si f es una función continua en , entonces:

2

2 1)(

2

xfx

arctgxfdxxf

dx

d

arctgx

x

d) 1

0

1;

2

n n nx dx n

e) Si f y g son funciones impares y continuas en , entonces 0

5

5

dxxgf

f) 4

4

4 121

2

xxdttD

x

x

g)

2

2

434 64152

dxxxxex x

h) Si f y g son funciones continuas en el intervalo 1,0 entonces

1

0

1

0

11 dxxgxfdxxgxf

i) Si 0)( b

a

dxxf entonces 0)( xf para bax ,

j)

2

2

2

0

4 senxdxdxsenx

k) Si 3)(

3

0

dxxf y 7)(

4

0

dxxf entonces 4)(

3

4

dxxf

l)

1

0

2

1

0

1 dxxxdx

m) Si f es una función continua en tal que para cualquier número real x ,

2 2

( ) ( ) 0

x x

x x

f t dt f t dt

entonces f es una función impar.


77

n) Si F es una antiderivada de la dunción f , entonces dxxfxF )12()12(

o) Si f es una función continua en el intervalo 5,2 y 7)(

5

2

dxxf entonces 7)(

5

2

dxxf

p) Si f es una función tal que 0cos3)(2

2

0

dttxf

x

entonces xxxf cos3)(́

q) Si f y g son funciones tales que xxexf )( y )()( xgxf para todo

1,0x entonces

1

0

1dxxg .

r) Si 1)(0,2,0 xfx entonces 1)(0

2

0

dxxf

s) Si f es una función continua en el intervalo 10,0 y

23

0

2 1)(

xt

x dtt

eDxf para

10,0x entonces 3

5

3)1(́ ef .

t)

2

2

2

2

cos dxxdxsenx

u)

n

i

n

n

in

coslim

1

v) 2

coslim 2

10

i

n

ip

x donde ixmaxp . p es una partición del intervalo ,0 .

w) Si 1)(2

2

1

2

dxxxf , entonces 1)(

2

1

dxxf

x)

3

1lim

2

3

0

2

0

xtg

dttsen

x

x

y) 12

lim 2

1

21

e

ne

n

i

n

i

n

z)

22

cos,,

b

b

a

a

xdxdxsenxRba


78

2. Calcular

a.

3

0

0

cos1

limx

dtt

x

x

b.

2

12

326

1dx

x

c. 2

0

32cos

xdxxsen

d.

2

1

2 22

3dx

xx

e.

6

0

2

0

2

limx

dttsen

x

x

f.

3

0

2x x dx

g.

3

2

21 dxxxx

h.

5

1

12

1dx

x

i.

4

2

3

4dx

xx

x

j.

5ln

2ln

2 16

12dt

e t

k.

21

2

312 dxx

l.

3

2

32 dxx

m.

2

2

2

cos1dx

x

n.

3

0

2

0

2

1

limx

dtt

tsen

x

x

o.

4

3

32dxe

x

p.

dxex

xsen x

2

2

2

3

1

3. Si f es una función tal que

3

32 ,56489)(

x

t IRxdtettxf . Determine los intervalos donde el

gráfico de f es cóncava hacia arriba.

4. Si f y g son funciones tales que 3)(

4

1

dxxf , 2)(

7

4

dxxf y 6)(3

7

1

dxxg , entonces calcule el

valor de

1

7

)()(5 dxxgxf

Cap 2 Integral Definida

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