Estabilidad de Sistemas de Control

Para que un sistema de control automtico cumpla su funcin es fundamental que entregue una

respuesta estable.

Un sistema de control es estable si ante una entrada limitada responde con una salida tambin

limitada.

A continuacin tenemos la representacin de un servo sistema con un lazo de realimentacin

con una entrada R(s) y una respuesta o salida C(s).

Se tiene que C(s)= , donde:

se denomina funcin de transferencia del sistema.

En general tanto el numerador como el denominador de la funcin de transferencia son

polinomios de la variable s de Laplace.

Las races de un polinomio se determinan de la ecuacin que se obtiene al igualar el polinomio a

cero.

Las races del polinomio que es el numerador de una funcin como T(s) son denominados ceros

de la funcin y las races del polinomio que es el denominador de T(s) se denominan polos de la

funcin .

La respuesta de un sistema de control y su estabilidad asociada depender de las races del

denominador o polos de la funcin de transferencia.

Cabe hacer notar que los polos de la funcin de transferencia son tambin los ceros del polinomio

1+G(s)H(s). Cuando 1+G(s)H(s) se iguala a cero se denomina ecuacin caractersticas, ya que de sus

races dependern las caractersticas de la respuesta del sistema, entre ellas la estabilidad.

Para que un sistema sea estable las races del polinomio 1+G(s)H(s) deben tener sus partes reales

negativas.

Por lo tanto la condicin necesaria y suficiente para que un sistema realimentado sea estable es

que la totalidad de los polos de su funcin de transferencia T(s) tengan sus partes reales negativas.

La tarea de resolver la ecuacin caracterstica

1+G(s)H(s)=0, para obtener la totalidad de sus races es tedioso especialmente cuando dicha

ecuacin tiene un alto grado en S.

Criterio de Routh-Hurwitz

E.J. Routh y A. Hurwitz desarrollaron un mtodo el cul puede ser usado para determinar el

nmero de races de una ecuacin algebraica que tengan sus partes reales positivas sin realmente

encontrar las races. Este mtodo puede tambin ser utilizado para detectar el nmero de races

que tengan su parte real igual a cero.

Antes de discutir el criterio de Routh-Hurwitz se revisaran algunas de las propiedades de las races

de una ecuacin algebraica.

=0

1) Para una ecuacin con races complejas o imaginarias puras las races ocurren en pares

conjugadas. Si una raz es Sk=rk+jwk debe haber otra raz Sk*=rk-jwk.

2) Una condicin necesaria (pero no suficiente) para que la parte real de todas las races

sean negativas es que todos los coeficientes de la ecuacin tengan el mismo signo.

3) Una segunda condicin necesaria (pero no suficiente) para que la parte real de todas las

races sean negativas es que ninguno de los coeficientes sea igual a cero, el polinomio

debe tener n+1 trminos (potencias desde 0 hasta n sin omitir trminos).

Si no se cumplen los puntos 2 y 3 anteriores obviamente el sistema que representan ser

inestable. Por otra parte an si todos los coeficientes son diferentes de cero y tienen el mismo

signo ( se cumplen los puntos 2 y3 anteriores) esto no garantiza que el sistema sea estable. Aqu es

donde el criterio de Routh-Hurwitz muestra su utilidad.

A continuacin se presentar se presentara el procedimiento de Routh-Hurwitz.

Sea la ecuacin caracterstica de un sistema:

=0

Donde los coeficientes , , , tienen todos el mismo signo, es decir se

cumplen los puntos 2 y 3 anteriores.

Paso 1: Arreglar los coeficientes de la ecuacin en dos filas de la siguiente forma:

Fila 1:

Fila 2:

Paso 2: Formar una 3 fila a partir de las dos anteriores.

Fila 1:

Fila 2:

Fila 3:

Donde:

, ,

Paso 3: Formar una 4 fila a partir de las dos anteriores.

Fila 4:

, ,

Paso 4: Continuar este procedimiento de formar una nueva fila desde las dos anteriores hasta

obtener una fila de solo ceros. En general resultar un arreglo de n+1 filas, con las ltimas dos

conteniendo un solo elemento.

El criterio de Routh-Hurwitz establece que un sistema es estable si y solo si todos los elementos en

la 1 columna pertenecientes al arreglo formado por los coeficientes de acuerdo al procedimiento

anterior tienen el mismo signo. Si no todos los elementos de la 1 columna tienen el mismo signo,

el nmero de cambios de signo en esta columna es igual al N de races con partes reales

positivas.

Ejemplo 1: Aplicar el criterio de Routh- Hurwitz a la siguiente ecuacin:

= + + + 17 s + 6 = 0

Aplicando el procedimiento anterior se obtiene e siguiente arreglo de coeficientes:

Fila 1: 1 17 6

Fila 2: 7 17

Fila 3: 14.58 6

Fila 4: 14.12

Fila 5: 6

Como la totalidad de los elementos de la primera columna tienen el mismo signo (positivo), la

ecuacin no tiene races con partes reales positivas, (como se poda establecer de la ecuacin

original), luego el sistema es estable.

Ejemplo 2: Aplicar el criterio de Routh- Hurwitz a la siguiente ecuacin:

+ - 11 s -10 = 0

Debido a que no todos los coeficientes tienen el mismo signo el sistema es inestable, pero la

aplicacin del procedimiento de Routh-Hurwitz nos servir adems para revelar el nmero de

races con parte real positiva.

Fila 1: 1 2 -11

Fila 2: -2 4 -10

Fila 3: 4 -16

Fila 4: -4 -10

Fila 5: -26

Fila 6: -10

Hay tres cambios de signo en la 1 columna, lo que indica que hay tres races con parte real

positiva.

Para cualquier arreglo de Routh-Hurwitz los coeficientes de cualquier fila pueden multiplicarse o

dividirse por un N positivo, esto sirve para simplificar el trabajo numrico para encontrar los

coeficientes de la siguiente fila. Esto se ilustra a continuacin, aplicndolo al ejemplo 2 aunque

no se gane mucho debido a que el problema es simple. El nuevo arreglo de Routh-Hurwitz que

como sigue:

Fila 1: 1 2 -11

Fila 2: -1 2 -5 Despus de dividir por 2

Fila 3: 1 -4 Despus de dividir por 4

Fila 4: -4 -10

Fila 5: -26

Fila 6: -10

Se indica que la 1 columna del arreglo an permanece con los tres cambios de signos.

Ejemplo 3: Sea el siguiente sistema, determinar si es estable o no.

G(s)=

Primero se debe hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado:

=

La ecuacin caracterstica es:

=0 y el arreglo de Routh-Hurwitz queda:

Fila 1: 1 3 1

Fila 2: 3 2

Fila 3:

Fila 4:

Fila 5:

= =

= = 1

= =

= =

El arreglo de Routh-Hurwitz queda de la siguiente forma:

Debido a que no hay cambios de signos en los trminos de la 1 columna, se puede asegurar que

el

Ejemplo 4: Sea el siguiente sistema, determinar si es estable o no.

G(s)=

Primero se debe hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado:

=

La ecuacin caracterstica es:

=0

Al observar la ecuacin caracterstica no todos los coeficientes tienen el mismo signo por lo tanto

el sistema es inestable y no es necesario aplicar el criterio de Routh-Hurwitz al menos que se

necesite saber cuntas races tienen su parte real positiva.

Ejemplo 5: Dado el sistema, determine el rango de K (ganancia del controlador proporcional) para

que el sistema en lazo cerrado sea estable.

G(s)=

Primero se debe hallar la funcin de transferencia de lazo cerrado:

=

La ecuacin caracterstica es:

=0 y el arreglo de Routh-Hurwitz queda:

Fila 1: 1 2

Fila 2: 3 K

Fila 3:

Fila 4:

= =

= = K

El arreglo de Routh-Hurwitz queda de la siguiente forma:

Fila 1: 1 2

Fila 2: 3 K

Fila 3:

Fila 4: K

Ahora, la condicin para que la ecuacin caracterstica no tenga races positivas, es decir el

sistema no tenga polos positivos y por ende sea estable, es que no haya cambios de signos en la

primera columna, por lo que se debe cumplir que todos los coeficientes de esa columna sean

positivos:

De fila 3: >0 y de fil4: K>0 ,

Resolviendo tenemos que:

Fila 3: >0 6-K>0 por lo tanto K

Fila 4: K>0

Como ambas condiciones se deben cumplir en forma simultnea, el rango de K sera:

0

( )=0

Fila 1( ): 1 4 3

Fila 2( ): 1 24 63

Fila 3( ): -20 -60

Fila 4( ): 21 63

Fila 5( ): 0 0

Fila 6( ): ?

No se puede completar debido al cero en la 5 fila, adems el procedimiento de multiplicar el

polinomio por un factor (s+a) no procede aplicarlo ya que no existe otro coeficiente dentro de la

fila distinto de cero. Entonces se forma un polinomio auxiliar a partir de los coeficientes de la fila 4

(fila anterior a la que pertenece el coeficiente igual cero) . El polinomio auxiliar P(s) es :

P(s)= )=0,

La derivada de P(s) respecto a s es: = 42s. El resultado se reemplaza enla fila 5

Fila 1( ): 1 4 3

Fila 2( ): 1 24 63

Fila 3( ): -20 -60

Fila 4( ): 21 63

Fila 5( ): 42 0 coeficiente de

Fila 6( ): 63

Existen dos cambios de signo en la primera columna, hay dos races con parte real positiva. Pero

tambin existen races imaginarias por el cero que se form en fila 5. Despejando las races del

polinomio auxiliar .

P(s)= )=0, se obtienen las dos races s= j1.732.

En realidad el polinomio factorizado corresponde a:

(s-1+j ) (s-1-j )(s+ j ) (s- j )(s+3) lo cual concuerda con lo obtenido del anlisis

anterior.

Ejemplo 8: Determine el rango de K para el cual el sistema de la figura es estable :

G(s)=

Se seguir el camino de obtener la ecuacin caracterstica e igualarla a cero.

1+K*G(s)=0, 1+K =0, manipulando se obtiene el siguiente polinomio:

( ) = 0

Fila 1( ): 1 K-6

Fila 2( ): 5 K

Fila 3( ): 4K-30 /despus de multiplicar por 5

Fila 4( ): K

Para que el sistema sea estable los coeficientes de la 1 columna deben tener todos el mismo

signo, por lo tanto:

De fila 3: 4K-30>0 K>7.5

De fila 4 K>0 K>0

Por lo tanto el rango de K donde se cumplen simultneamente ambas condiciones es:

K>7.5