Cap 4 Modos y Criterios de Falla (d) Versión 2015

Mecánica Estructural Escuela de Graduados PUCP

CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla

Profesor: José Acero Martínez

180

4.3.1. COMPORTAMIENTO INELASTICO DE ELEMENTOS CARGADOS

AXIALMENTE

Ejemplo 4.6. Determinar el comportamiento con endurecimiento por deformación y

elastoplástico de una armadura de dos elementos con carga en su extremo D, como se

muestra en la figura.

Con Endurecimiento por deformación (- bilineal)

La curva esfuerzo deformación de un metal isotrópico se aproxima a dos líneas rectas

AB y BF, de pendientes "E" y "E", respectivamente, donde E es el módulo de

elasticidad y el factor de endurecimiento por deformación del metal. La intersección

de las dos líneas define el esfuerzo de fluencia f y la deformación de fluencia f = f /

E. Las relaciones esfuerzo versus deformación son:

Línea AB: = E si f

Línea BF: = (1 - ) f + E si > f

a) Determinar los valores de , f , E, f para el acero de alta resistencia de la figura.

b) En la armadura de la figura, cada elemento tiene un área de 645 mm2, y están

hechos del acero anterior; cuando se aplica la carga P=170 kN calcular la deflexión

“u”.

c) Repetir la parte b para cargas P=270 kN y P=300 kN

d) Usar los resultados para graficar la curva carga vs. deflexión de la estructura

Elastoplástico perfecto

La curva esfuerzo deformación de un metal isotrópico tiene esfuerzo de fluencia de 252

MPa con una deformación unitaria de 0.0012 (=0)




181

a) La línea AB: E , reemplazando la información del gráfico se tiene

)0012.0(252 E , donde el módulo de elasticidad es: MPaE 210000 . Para la zona

BF, se tiene la siguiente pendiente:

Pendiente MPa180000012.00022.0

252270

EpendientependienteE /

0857.0210000

18000

Finalmente, se tiene las ecuaciones que definen la curva esfuerzo – deformación:

Para, 0012.0

210000 (*)

Para, 0012.0

18000252)0857.01(

180004.230 (**)

b) El área de la sección transversal es: 2645mmA , y su longitud es: mmL 3000 , del

diagrama de cuerpo libre de la figura (b), se pude aplicar equilibrio de fuerzas

PF )8.0(2

6.1

PF

Para P=170 kN

Entonces:

kNF 25.1066.1

170

Verificando si fluye:

2

3

645

1025106

mm

Nx

A

F

MPa7.164

f , se verifica que no fluye

De la ecuación (*) 210000 210000

f 00078.0210000

7.164

Determinando el alargamiento de la barra de la armadura

22

3

645/210000

3001025106

mmmmN

mmNx

EA

FL

mm35.2




182

Compatibilidad

8698.36

u

cos

25.1

cosu

Si consideramos un primer punto para el gráfico uP , denotamos al desplazamiento

del punto D con 1u :

mmu 94.2)35.2(25.11

c) Para la carga P=270 kN

kNF 75.1686.1

270

Verificando si fluye:

fMPaA

F 6.261

645

75.168

f , se verifica que fluye

De la ecuación (**), se obtiene la ecuación de la deformación, como hablamos de un

segundo punto llamaremos 2 , así mismo se calcula el alargamiento 2 y el

desplazamiento del nudo D 2u .

2180004.2306.261

00173.02

mmL 205.5)3000)(00173.0(22

mmu 506.6205.525.125.1 22

Para la carga P=300 kN

kNP

F 5.1876.1

300

6.1

fMPa 7.290

f , se verifica que fluye




183

Se puede notar que es mayor al esfuerzo de 270 MPa del material, si la línea BF del

diagrama esfuerzo deformación del material no continuara, indicaría que la barras ya

han fallado. Ahora calcularemos 3 , así mismo se calcula el alargamiento 3 y el

desplazamiento del nudo D 3u

3180004.2307.290

00335.03

mml 05.10)3000(00335.033

mmu 56.1225.1 33

d) Graficando los puntos calculados se obtiene la siguiente gráfica uP

Para determinar la carga de fluencia fP , se considera que la fuerza de la barra es:

fAF

Realizando el equilibrio de fuerzas, se tiene:

ff PA )8.0(2

kNkNPf 260064.260

La deformación y el desplazamiento del punto D, donde empieza la fluencia son:

mmLff 6.330000012.0

25.1

cos

f

fu

mmu f 5.46.325.1




184

Ejemplo 4.7. La barra rígida ACB, está soportada por 3 alambres iguales, de material

elastoplástico. Se pide.

- En la fluencia ff DP , (carga de fluencia, deformación de fluencia)

- En el colapso uu DP , (carga ultima, deformación última)

- Dibujar el diagramo P versus D

Del Diagrama de cuerpo libre, se realiza el equilibrio estático

0 cM

0)2()()()3( 321 aFaFaFaP

PFFF 32 321 (*)

Para poder obtener las fuerzas internas de las barras, realizamos la compatibilidad

Donde los desplazamientos de los nudos A, D, E y B, son:




185

DA

AE 2 (**)

AB 3

Aplicando la Ley de Hooke

AE

LFíi ií

L

AEF

Se obtienen las fuerzas en función de los desplazamientos

AL

EAFF 21

)2(3 AL

EAF

Remplazando en (**) en (*), se tiene el desplazamiento en el extremo A:

PL

EA

L

EA

L

EAAAA 322

PL

EAA 36

EA

PLA

2

En (**), se obtiene los desplazamientos de los puntos D, E y B:

EA

PLD

2

EA

PL

EA

PLE

2

2

EA

PLB

2

3

Reemplazando los desplazamientos en las fuerzas, se tiene:

2221

P

EA

PL

L

EAFF

PF 3

Dividiendo entre las áreas se tiene los esfuerzos:

A

P

221 ;

A

P3

Donde se puede decir que la estructura empezará a fluir cuando 3 alcance a f , y se

obtiene la carga de fluencia de la estructura fP

A

Pf

f 3

ff AP




186

Luego el desplazamiento del extremo B es el desplazamiento de fluencia:

EA

LAD

f

f

)(

2

3

E

LD

f

f

2

3

Para una carga fPP , se tendrá que la fuerza 21 FF , y ambas llegan a la fluencia al

mismo tiempo, por tal motivo, se tiene el siguiente valor de fuerzas:

Realizando el equilibrio de fuerzas antes del colapso, se tiene la carga última uP :

ufff PAAA 3)(2

fu AP 3

4

Finalmente se tiene el desplazamiento del extremo A

E

LL

f

A

·

E

LD

f

Au

33




187

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES RESIDUALES

Existen dos términos usualmente utilizados de esfuerzos residuales: uno que obedece a

elementos de acero estructural laminados en caliente donde aparecen estos esfuerzos,

debidos a las deformaciones permanentes que se originan por el enfriamiento irregular

desde la temperatura de laminación hasta la del medio ambiente, donde los extremos de

los patines y la parte central del alma de un perfil I por ejemplo, se enfrían con mayor

rapidez que la intersección del alma y el patín, por estar más expuestas al medio

ambiente (ver figura 4.31, del libro de Oscar de Buen Lopez de Heredia “Diseño de

estructuras de acero); el otro obedece a la descarga que sufre un material ideal e

isotrópico y sin problemas de un enfriamiento irregular, este último concepto lo

usaremos en esta parte del curso.

Figura 4.31. Esfuerzos residuales en perfiles laminados




188

Los esfuerzos y deformaciones residuales, se produce cuando la carga se retira

lentamente y el elemento se descarga. La estructura no recupera sus dimensiones

originales cuando se retira la carga. Veamos con el ejemplo 4.7, como se descarga la

estructura, instantes antes del colapso, se supone que el material trabaja elásticamente

con fuerzas en las barras de sentido contrario a la etapa de carga. Con lo que se tiene la

siguiente distribución de fuerzas

La solución para “ iF ”, es similar a las obtenidas en la etapa elástica de carga, para este

caso de descarga se tendrá iDF (fuerza de el elemento “i” en la descarga)

221

U

DD

PFF

UD PF 3

Para este caso, todas las fuerzas están en compresión. Las fuerzas finales serán la

superposición de la carga más la descarga.

33

4·

2

121

ff

f

AAAfinalFfinalF

33

43

ff

f

AAAfinalF

El siguiente gráfico, muestra que las fuerzas internas de los elementos son diferentes de

cero, muestras la fuerza exterior es cero.

Los esfuerzos residuales serán:

321

f

RESIDUALRESIDUAL

(Tracción)

33

f

RESIDUAL

(Compresión)




189

De la solución elástica se tuvo

EA

PLB

2

3

Además en la descarga UPP

3

4 f

U

AP

Reemplazando esta última ecuación en el desplazamiento, se tendrá el desplazamiento

de descarga:

E

Lf

BDESCARGA

2

Finalmente el desplazamiento residual es:

DESCARGABCARGABRESIDUALB

E

L

E

L

E

L fff

RESIDUALB

23




190

Ejemplo 4.8. Estructura elastoplástica perfecta de elementos cargados axialmente

La estructura mostrada en la figura consiste de una viga rígida AB y de 5 alambres

dispuestos simétricamente con respecto a la línea CD. Se aplica la carga P hacia abajo.

El material de los alambres se asume como acero elastoplástico perfecto, con E=200

Gpa. Cada alambre tiene un área de sección igual a 100 mm2. El esfuerzo de fluencia

de los alambres CD, FG y HJ es de f = 500 MPa y el de los alambres MN y RS es de

f = 250 Mpa.

a) despreciando el peso propio de la viga, determinar la magnitud de la carga P y el

desplazamiento vertical correspondiente a la viga AB para la carga Pf que produce

la primer fluencia en la estructura.

b) determinar la magnitud de la carga P y el desplazamiento vertical correspondiente a

la viga AB para la carga Pp que produce la fluencia en todos los alambres de la

estructura.

c) Construir el diagrama carga-desplazamiento vertical de la viga AB.

d) Si la carga plástica Pp se retira gradualmente, determinar las fuerzas residuales en

todos los alambres.




191

4.3.2. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE MATERIAL

ELASTOPLÁSTICO SOMETIDOS A FLEXIÓN

Se analizará el comportamiento de una rebanada sometida a la acción de un momento

flector (FLEXIÓN PURA).

Figura 4.32. Flexión en una barra con un eje de simetria

La sección transversal tendrá por lo menos un eje de simetría, que coincidirá con

el plano donde actúan las cargas (figura 4.32)

Hipótesis

1. Se cumple la hipótesis de Navier: “las secciones planas antes de la aplicación de

las cargas, continúan planas luego de la aplicación de las mismas”. En los cursos

de Resistencia de Materiales se demuestra que como consecuencia de esta hipótesis,

las deformaciones unitarias varían linealmente y son proporcionales a la distancia

“y” de la fibra al eje neutro:

y

Si “c” es la distancia de la fibra más alejada del eje neutro, la deformación unitaria

máxima será:

maxmax ;

c

yc

2. El material es homogéneo, elastoplástico ideal. Por lo tanto, la relación esfuerzo-

deformación unitaria - es como se muestra en la figura:

3. Las deformaciones son pequeñas, por lo tanto no varían los puntos de aplicación de

las cargas.




192

Comportamiento plástico de una Sección Rectangular

En el rango elástico se cumplen las relaciones conocidas en Resistencia de Materiales:

La ecuación de equilibrio de fuerzas (F=0) permite ubicar el eje neutro en el

centroide de la sección.

La ecuación de equilibrio de momentos conduce a:

I

My

2max

6

bh

M

ffMM max

ff

f

f

bhM

bh

M

6

6 2

2

El valor de 6

2bh, se conoce como el módulo de sección elástico “S”

Si se aplica un momento fMM 1 , las deformaciones unitarias aumentan pero los

esfuerzos no pueden superar el valor de f , por lo que las fibras más alejadas del eje

neutro entran a la etapa plástica. Además:

Se continúa cumpliendo la hipótesis de Navier (secciones siguen planas)

El esfuerzo en las fibras vecinas a las fibras extremas alcanza el valor f.

La altura de las fibras que están aún en etapa elástica es 1h ( hh 1 ). Dentro de este

“núcleo”, la deformación unitaria en cualquier punto es menor o igual a la

deformación unitaria de fluencia f .

h

h

2

h

2

h

1

max

fmax

1

f




193

Equilibrio de la sección rectangular

Se cumple por simetría, el eje neutro es el centroide de la sección, a continuación se

relaciona los esfuerzos

f

f h

y

h

y

11

2

2

A continuación, se hace equilibrio de momentos, para ello, se prescinde de los signos:

0M

2

0

2

2

1

1

1

2

h h

h

f dAyydAM

dA = bdy (sección rectangular)

2

0

2

211

1

1

22

h h

h

ff dyybybdyh

yM

2/

0

2/

2/

2

1

1

1

1

2 4 h h

h

f

fdyybdyy

h

bM

12

h

4

hb

4

h

4

h

6

hbM

2

1

2

f

2

1

22

1f1

2

1

2

13

11

4 h

hbhM f

Para hh 1 : f

2

f16

bhMM

Cuando 1M aumenta, el valor de 1h disminuye.




194

El máximo valor de 1M será aquel en el cual se presente la deformación unitaria de

ROTURA en la fibra más deformada. Para determinar este valor debe recordarse la

relación :

h

hf 1

max

El valor de la deformación unitaria en la rotura rotura , para algunos metales, puede ser

hasta 0.25, mientras que f alcanza valores entre 0.0012 y 0.004. Por lo tanto: rotura es

del orden de 50 veces mayor que f .

h

hf

f1

max

max50

150

hh

h 02,050

1

Teóricamente se acepta 01 h , que correspondería a un diagrama:

El momento que causa este diagrama se denomina “Momento plástico” ( pM ), y por

equilibrio:

f

2

p4

bhM

A semejanza del módulo de sección elástico “S”, se define el módulo de sección

plástico “Z” como la relación:

f

MpZ

Por otro lado, el giro relativo de una cara de la rebanada, respecto de la otra es

prácticamente total. Se dice entonces que se ha formado una RÓTULA PLÁSTICA.




195

Factor de forma

Se denomina “f” factor de forma a la relación S

Z

M

M

f

p

Este factor es una propiedad de la forma de cada sección transversal.

En el caso de la sección rectangular esta relación es:

5.16/

4/2

2

bh

bh

M

Mf

f

p

Otras secciones tienen otros valores, en general, se debe calcular los módulos Z y S para

luego determinar f. Por ejemplo en la sección circular maciza Z = 1.7; en la sección

rombo, f=2.0; en secciones tipo T, I o similares, f=1.1 aproximadamente.

Secciones con un solo Eje de Simetría

Se tratará el caso de secciones con un eje de simetría que coincide con el plano de carga.

En el gráfico se muestra la distribución de esfuerzos. El máximo esfuerzo normal se

presenta en la fibra más alejada del eje neutro (distancia “c”).

Durante el comportamiento elástico (M Mf) la ecuación:

0dA0Fx A

Lo anterior permite afirmar que el eje neutro coincide con el centroide de la sección

transversal.

ff

c

y

cy

En efecto:

0ydAc

dAc

ydA

AA A

ff

A

0dA y

Se denomina Me al momento flector para el cual el esfuerzo en la fibra más alejada

alcanza el valor de f. Cuando el valor del momento aplicado aumenta, comienza el

proceso de plastificación de las fibras más alejadas, variando la posición del eje neutro.




196

El desarrollo para valores del momento flector mayores a Me es complicado y tedioso,

debido a que en cada etapa es necesario ubicar al eje neutro por tanteos.

Cuando se produce la plastificación total ( pMM ) la ecuación dAA

se puede escribir:

- 0dAdA 2

A

f1

A

f

21

- 21

A

2

A

1 AA0dAdA

21

Por lo tanto: el eje neutro plástico divide la sección en dos partes, de áreas iguales: Si

“A” es el área total:

AAA2

121

Por otro lado:

21

21

A

f

A

fp ydAdAyM

21 A

2

A

1fp ydAydAM

2211 AyAyM fp

2121

222yy

AAy

AyM

f

fp

(4.45)

La distancia entre centros de gravedad 21

yy , se puede denominar z , donde el

módulo de sección plástica será:

zA

Z2

(4.46)




197

El valor de Z, también puede calcularse tomando momentos de las áreas respecto al eje

neutro plástico, ecuación 4.47.

ititicic yAyAZ (4.47)

Donde:

icic yA : es la sumatoria del producto de las áreas en compresión por su centro de

gravedad de cada área respecto al centro plástico.

itit yA : es la sumatoria del producto de las áreas en tracción por su centro de gravedad

de cada área respecto al centro plástico.

Ejemplo 4.9. Calcular el factor de forma de la sección “T”, mostrada

(Unidades en mm)

Calculando el centro de gravedad se tiene:

Parte A y yA

1 2000 160 320000

2 3000 75 225000

5000 545000

mmA

yAy 109

Respecto al centro de gravedad se obtiene el momento de inercia:

23

23

)75109(300012

15020)109160(2000

12

20100

XI

4667.14361 mmIX




198

Con lo que se obtiene el módulo de sección elástico “S”:

3

max

56.131109

667.14361mm

c

IS X

Ahora calcularemos el módulo de sección plástico, para ello calcularemos primero el eje

neutro plástico. El eje neutro plástico se obtiene igualando áreas en compresión y

tracción:

20)·150(202000 dd

mmd 25

Tomando momentos de las áreas respecto al eje neutro plástico, se obtiene:

ititicic yAyAZ

)2/125)(25150(20)2/25(2520)2510(10020 Z 3232500mmz

Finalmente el factor de forma es:

765.176.131

232500

S

Zf

Esfuerzos Residuales en Flexión Pura

Cuando en un elemento sometido a flexión pura, el momento flector alcanza un valor

M1 > Me, algunas fibras de la sección transversal llegarán a plastificarse. Si la descarga

se produce de manera “elástica”. La sección transversal permanecerá con esfuerzos, los

cuales se denominan “residuales” a pesar de que el momento aplicado sea nulo.




199

Ejemplo 4.10. Para una sección transversal rectángular, se determinarán los esfuerzos

residuales luego de efectuarse la descarga, para un elemento de sección rectangular

(bxh) sobre el cual se ha aplicado un momento flector M1, de tal manera que la altura de

las fibras que se mantienen en la etapa elástica es h/2.

Se sabe que:

2

1

2

13

11

4 h

hbhM f ; como

2

1

2

11

h

hhh

ff

bhbhM

48

11

12

11

4

22

1

En el retorno elástico los esfuerzos normales responden a la fórmula:

33

12

12/ bh

My

bh

My

I

My

En este caso M = M1:

Por lo tanto, los esfuerzos que se producen en el retorno son:

yh

ybh

bh

f

f4

11

48

1112 2

3

Para la fibra superior 2/hy :

8

11

24

11 ff h

h

Para la fibra intermedia 4/hy :

16

11

44

112

ff h

h

Los esfuerzos residuales serán:

Para la fibra superior 2/hy :

8

3

8

11 ff

fR




200

Para la fibra intermedia 4/hy :

16

5

16

11 ff

fR

El equilibrio de fuerzas y momentos es de sencilla comprobación:

Fuerzas Horizontales: Aparecen cuatro fuerzas que se anulan puesto que las de

tracción son iguales en magnitud a las de compresión.

Momentos: Los dos pares que se producen son de la misma magnitud y de sentido

contrario.

Ejemplo 4.11. Calcular los esfuerzos residuales de la sección tubular cuadrada, si el

esfuerzo de fluencia es MPaf 240

Calculando primero el momento plástico Mp. hasta que la sección se plastifique.

2·)5.7(15152)1515(6030240 pM

mmNxM p .1054.27 6

Luego se retira el momento plástico Mp. y se aplica un momento de descarga con valor

igual al momento plástico y se obtiene un esfuerzo máximo elástico:

I

yM p max

max

443

357750012

309060mmI

MPax

x42.346

10577.3

45)1054.27(6

6

max

Finalmente se hace la superposición de efectos:

MParesid 42.10642.346240sup.

MParesid 42.106inf.

MPacentro 2400240

MPacentro 2400240




201

Deformación permanente después de la descarga

Para las fibras que se encuentran en etapa elástica se puede aplicar la expresión:

y

Ey

E

yy

/

En este caso la fibra más alejada del eje neutro que se encuentra en etapa elástica es y = h/4:

16

5 f

fff

EhEhhE

8.0

5

4

4

16

5

Si, por ejemplo el elemento analizado tuviera una sección de 25x50 cm. y fuese de un

material cuyo GPaE 200 y MPaf 250 , tendríamos:

mx

x320

10250

50.01028.0

6

11

RELACION MOMENTO-CURVATURA EN RANGO POST ELÁSTICO PARA

MATERIALES DUCTILES (ACERO ESTRUCTURAL)

En la etapa elástica, la curvatura es proporcional al momento flector, es decir que si

fM es el momento que produce la primera fluencia, para fMM se cumple, que la

curvatura elástica es:

EIM //1

Donde: es el radio de curvatura.




202

Si fMM se logra la curvatura de fluencia EIM ff /

Se puede entonces escribir una relación adimensional para la relación momento

curvatura en el rango elástico, dividiendo las curvaturas anteriores:

fMf

M

para fMM 0 (a)

Cuando el momento es mayor a fM , parte de la viga se vuelve plástica. La relación

entre momento y curvatura se vuelve no lineal. (Ver figura 4.33)

Figura 4.33. Diagrama momento curvatura para una viga de material elastoplástico

Para el caso particular de una sección rectangular (figura 4.34). La parte en fluencia

está representada por la parte achurada en los extremos, y la parte aún elástica se define

con la distancia “e” desde el eje neutro hasta el borde en fluencia. En la figura 4.34 se

muestra también la distribución de esfuerzos.

El momento en la sección rectangular de la figura 4.34 se deduce de la distribución de

esfuerzos:

3

2

22

2ebe

he

hbM ff (b)

Figura 4.34. Distribución de esfuerzos en una viga de sección transversal rectangular




203

El momento anterior, corresponde a una parte elástica y a otra plástica, tal como se

muestra:

M = M (zona elástica) + M (zona plástica)

2

2

2

222

2

32

2

3

6 h

eM

h

ebhM f

f (c)

La curvatura es y/ , por lo que en las fibras que están al borde del límite

elástico:

Eff / y )/(Eef (d)

Esta ecuación (d) puede expresarse en forma adimensional introduciendo la expresión

de la curvatura de fluencia aplicado a la sección rectangular, donde e=h/2:

EhEIM fff /2/ (e)

Combinando las ecuaciones (d) y (e):

e

h

f 2

(f)

Reemplazando la ecuación (f) en la ecuación (c), se obtiene la relación momento-

curvatura de forma adimensional:

2

2

22

3

f

fM

M (válido para Mf M Mp)

De esta última relación se puede despejar la curvatura en función de los momentos, la

que se grafica en la figura 4.35

f

f

M

M23

1

(válido para Mf M Mp)

Si el momento M tiende al valor del momento plástico pM , la relación fp MMf /

tiende al valor 1.5, con lo que el denominador tiende a cero (curvatura tiende a infinito).

Para otras secciones transversales, se puede obtener las relaciones momento versus

curvatura de modo similar. En la figura 4.35, se muestran también las gráficas de esas

ecuaciones para una sección rombo, una circular y una de patín ancho (o ala ancha).

En cada caso, el diagrama consiste en una línea recta que representa la región

linealmente elástica, seguida por una línea curva que representa la región donde la

sección de la viga es parcialmente plástica y parcialmente elástica. La deformación de




204

la viga está controlada por la deformación de la parte elástica; a este comportamiento se

le denomina “flujo plástico controlado”

Figura 4.35. Diagrama momento curvatura para vigas de material elastoplástico

Cuando la curvatura se vuelve muy grande, cada una de las curvas de la figura 4.35 se

aproxima a una asíntota horizontal. Si la deformación aumenta sin mayor incremento

del momento, se estará pasando a un estado denominado “flujo plástico incontrolado”

con un momento igual al momento plástico pM . En este momento se ha formado una

“articulación plástica” o “rótula plástica”.

ARTICULACIÓN PLÁSTICA o RÓTULA PLÁSTICA

Cuando una viga está sometida a cargas crecientes, en una sección determinada de esta

viga se puede alcanzar un momento flector igual al momento de fluencia fM . La fibra

más esforzada de la sección empieza a fluir; al crecer el momento, más fibras de esa

sección entrarán en fluencia, y en las secciones adyacentes, los valores del momento

flector también irán alcanzando y superando el valor del momento fM . Este proceso

de aumento de carga y consiguiente aumento de los momentos en la viga puede

continuar hasta que en la primera sección en que se inició la fluencia, se alcanza el

momento plástico pM ; en las secciones adyacentes, el momento flector aún no alcanza

el valor pM , pero ya ha superado el valor de fM . La parte de la viga donde recién se

ha alcanzado el momento fM y hasta la parte donde el momento alcanza pM , nos da

la longitud de la articulación plástica pL .

La relación momento versus curvatura (M versus ) de la sección puede usarse para

reflejar en cada sección donde se conoce el momento flector, cuánta es la curvatura.

Recordemos que mientras el momento M esté debajo de fM , la relación M vs. es

lineal. Para valores de fMM la curvatura crece de modo pronunciado, hasta que en

el límite que pMM , la curvatura se hace infinita.




205

La figura 4.36 ilustra los conceptos anteriores aplicados a una viga simplemente

apoyada, de longitud total L, sometida a una carga P en el centro de la luz. El momento

flector varía linealmente; el máximo se produce en el centro y es igual a 4/PL .

Figura 4.36. Viga Parcialmente plástica

La longitud de la rótula plástica Lp (figura 4.37), puede calcularse a partir del hecho que

en la orilla de la zona plástica, el momento es igual a fM . Por lo tanto,

2/2/ pf LLPM (a)

La carga se obtiene del hecho que 4/PLM p ; luego:

LMP p /4 (b)

Sustituyendo (b) en (a) se puede despejar pL :

)/11()/1( fLMMLL pfp

Siendo f el factor de forma. Para una sección rectangular, 5.1f , y la longitud pL sale

3/LLp ; para una viga con sección de ala ancha, 1.1f a 1.2, con lo que Lp sale

0.09 L a 0.17 L; es decir, la longitud de la zona plástica es mucho menor en una viga de

ala ancha que en una viga rectangular.

Figura 4.37. Viga con articulación plástica




206

Aún cuando la zona plástica puede extenderse sobre una longitud apreciable de la viga,

la curvatura tiende a concentrarse en la sección transversal de la rótula plástica (figura

4.36c). Por lo tanto, en muchos casos, se puede despreciar las dimensiones o longitud

de la rótula plástica.

Factor de Carga

La carga que inicia la fluencia es fP , cuando 4/PLM alcanza fM , es decir:

4/LPM ff ó LMP ff /4

La carga última uP es aquella en la que la viga alcanza su máxima capacidad por estar

próxima al colapso. En el caso de las vigas isostáticas, la carga última se logra apenas

se forma la primera rótula plástica.

Se denomina “factor de carga” a la relación fu PP / , esto es, el incremento de carga

desde la primera fluencia, hasta el colapso de la viga.

En el caso de la viga simplemente apoyada anterior, LMP pu /4 , por lo que:

Factor de carga fMMLMLMPP fpfpfu //4//4/

Generalizando, se puede decir que en vigas isostáticas, el factor de carga es igual al

factor de forma de la sección.

En vigas hiperestáticas, el factor de carga es en general mayor al factor de forma de la

sección. Veamos por ejemplo la viga biempotrada AB de longitud L y sección

transversal constante, sometida a carga uniforme “w”.

La solución elástica nos da que los momentos máximos se dan en los empotramientos A

y B, y valen: 12/2

max LMM f (en valor absoluto).

Para el inicio de la fluencia, 12/2

max LMM f , por lo que: 2/12 LMw ff

Al seguir incrementando la carga se formarán rótulas plásticas en ambos

empotramientos, llegándose a una carga w1,2 (usamos dos subíndices para indicar que se

forman dos rótulas simultáneamente). Si la capacidad de la sección de la viga es pM ,

entonces 2

2,1 /12 LMw p . En este momento la sección en el centro del tramo tiene un

momento positivo 2/24/2

2,1 pc MLwM .

Pero la viga aún puede seguir tomando más carga, hasta la formación de la tercera rótula

plástica y el consiguiente “mecanismo de colapso” tipo viga.

La tercera rótula en el centro C ocurre cuando la carga w aumenta hasta que pc MM :

ppc MwLMM 8/2/ 2




207

Se despeja : 2/4 LMw p

La carga última o carga de colapso es uw

22

2,1 /4/12 LMLMwww ppu

2/16 LMw pu

El factor de carga es en este caso 22 /12//16/ LMLMww fpfu

3/4/3/4/ fMMww fpfu (f: factor de forma)

Si la sección fuera rectangular, con 5.1f , entonces 2/ fu ww .

Deflexiones de materiales dúctiles en comportamiento post-elástico

Las deflexiones en vigas inelásticas se pueden determinar mediante métodos similares a

los utilizados para vigas elásticas, pero con cálculos mucho más complicados por la

relación no lineal que hay entre los momentos y las curvaturas.

EIM //1 es la curvatura en el rango elástico.

Para deformaciones pequeñas y despreciando efectos de cortante, 22 / dxyd

En una viga inelástica, debe emplearse una expresión adecuada para las curvaturas y

luego se puede proceder al método de la doble integración.

Otro método es usar una versión generalizada de los teoremas de área de momento, los

que ahora se enuncian como método del área de curvaturas.

Primer Teorema

El ángulo entre las tangentes a la curva deformada de una viga entre dos puntos A y B

es igual al área del diagrama de curvaturas entre tales puntos.

Segundo Teorema

La desviación tangencial definida como la distancia entre la curva deformada en el

punto B a la tangente trazada desde el punto A es igual al primer momento del área del

diagrama de curvaturas entre tales puntos, respecto al punto B.

Estos dos teoremas permiten obtener las pendientes (o ángulos) y las deflexiones de

vigas inelásticas, de la misma forma que los teoremas de área de momentos se utilizan

para vigas elásticas.

Como el diagrama de curvaturas no suele tener expresión en términos de funciones

simples, generalmente se requiere encontrar las áreas y los primeros momentos de las

áreas de los diagramas en forma numérica. Luego, se pueden emplear los dos teoremas

anteriores para determinar deflexiones y pendientes.




208

Las limitaciones de este procedimiento son que sólo es válido para vigas con secciones

transversales doblemente simétricas, para materiales con el mismo diagrama esfuerzo

deformación tanto en tracción como en compresión, y que ya no se puede aplicar el

principio de superposición.

Ejemplo 4.12. Una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P en su

extremo libre (ver figura) se construye con un material elastoplástico. Determinar el

ángulo de rotación y la deflexión en el extremo libre de la viga desde el inicio de la

carga hasta la falla, suponiendo que la viga tiene sección transversal rectangular

Empecemos por trazar un esquema del diagrama de momento flexionante para la viga.

Vemos así que el momento máximo es igual a PL, y mientras este valor sea menor que

el momento de fluencia Mf, la viga será completamente elástica. Para el intervalo

elástico tenemos, la rotación y la deflexión

EI

PL

2

2

EI

PL

3

3

La carga de fluencia Pf que produce la fluencia de la viga está dada por la ecuación

L

MP

f

f (a)

En ángulo f , y la deflexión f causados por esta carga son

EI

LPf

f2

2

; EI

LPf

f3

3

(b)

En forma adimensional, se expresa el ángulo de rotación y la deflexión para todo el

intervalo elástico mediante las siguientes ecuaciones

ff P

P

;

ff P

P

10

fP

P (c)




209

Cuando el momento máximo en la viga excede Mf, la viga tendrá dos regiones: (1) una

región de comportamiento elástico y (2) una región de comportamiento elastoplastico,

como se indica en el diagrama de curvaturas de la siguiente figura.

En la región 1 la curvatura es

EI

Px (d)

En la región 2 es:

f

f

MPx /23

(e)

Donde EIMx ff / . La longitud 1x de la región elástica se encuentran a partir de la

ecuación fMPx 1 , tal que

P

Mx

f1 (f)

El ángulo en el extremo de la viga, a partir del primer teorema del área de curvaturas, es

igual al área total del diagrama mencionado:

L

x f

fx

MPx

dx

EI

Pxdx

1

1

0/23

ff

ffMPLMPx

P

M

EI

Px/23/23 1

2

1

Si sustituimos fx por EIM f / , 1x por PM f / y fM por LPf , la ecuación anterior

resulta

f

f

y

PPP

P/2323

para

2

30

fP

P (g)

La figura siguiente, muestra la carga en función del ángulo de rotación para la viga en

voladizo, en la cual f está dada por la ecuación (b), ésta ecuación es valida hasta que el

momento máximo en la viga resulta igual al momento plástico pM , el cual corresponde

a 2/3/ fPP




210

En el instante en que fPP / alcanza este valor, el ángulo de rotación es 2/ f . La

deflexión en el extremo de la viga se calcula a partir del segundo teorema del área de

curvaturas, como sigue:

L

x f

fx

MPx

xdx

EI

dxPx

1

1

0

2

/23

Evaluando estas integrales y efectuando las mismas sustituciones que para la ecuación

(g) obtenemos

ff

f

f P

P

P

P

P

P 2335

2

para

2

31

fP

P (h)

En la cual f está dada por la ecuación b. Cuando fPP / es igual a 3/2, la deflexión es

9/20/ f . A continuación se muestra el gráfico adimensional relación de cargas

versus relación de desplazamientos.




211

4.3.3. DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA POST-ELÁSTICO DE

SECCIONES DE CONCRETO ARMADO

El diagrama de Momento-Curvatura, de secciones de concreto, depende principalmente

de los diagramas esfuerzo deformación de los materiales que lo conforman es decir del

concreto y del acero de refuerzo

Las gráficas de esfuerzo deformación del concreto a compresión tienen una rama

ascendente casi lineal cuya pendiente varia de acuerdo a la resistencia y se extiende

hasta aproximadamente 1/3 f´c a 1/2 f´c. Posteriormente adoptan la forma de una

parábola invertida cuyo vértice corresponde al esfuerzo máximo en compresión. Luego

tienden a descender, hasta la ruptura. Para ello basado en ensayos de laboratorio y

fórmulas matemáticas se ha llegado a diferentes modelos tales como.

a. Modelo de Hognestad (1951)

b. Modelo de Mander

c. Modelo de Kent – Park

d. Modelo europeo CEB

e. Modelo de Desayi –Krishnan

El modelo para el concreto que vamos a desarrollar en el curso de mecánica estructural

es el modelo de Hognestad que es para un concreto no confinado, además de ser el

modelo más conocido.

Por otro lado los diagramas esfuerzo deformación de las varillas corrugadas ASTM 615-

Grado 60 (varillas de construcción), pueden ser:

a. Modelo elastoplástico

b. Modelo Bilineal

c. Modelo Trilineal

d. Modelo considerando endurecimiento por deformación (Mander)

El modelo para el acero más utilizado es el elastoplástico ya que es el más simplificado,

pero hay otros mas sofisticados que consideran el endurecimiento por deformación

(Mander), basado en este modelo, se puede plantear la siguiente curva esfuerzo

deformación para el acero corrugado (figura 4.38)

Figura 4.38. Diagrama esfuerzo deformación del acero propuesto por Mander




212

El modelo para el acero que vamos a desarrollar en el curso de mecánica estructural es

el modelo elastoplástico, que es el más sencillo para utilizar.

Modelo Hognestad para concreto

La curva de Hognestad tiene puntos característicos, comienza con una parábola

invertida en el origen y que tiene un vértice en las coordenadas ( 0 , cf ), donde el

valor de 0 , se considera como 0.002:

Donde:

cf : Esfuerzo máximo de compresión del concreto

0 : Deformación del concreto para el esfuerzo máximo

La ecuación de la parábola es la siguiente:

0c

2

00

ε0 para 2

)(

cc

cc ff (4.48)

Llegando al vértice donde el valor del esfuerzo del concreto cf es el máximo y la

deformación tiende a un valor de 0.002, la curva se convierte en línea recta de

pendiente negativa, cuya ecuación es:

u

u

cccc

fff

c0

0

0 ε para )(

)·(·15.0)( (4.49)

Según el modelo de Hognestad la deformación de ruptura se da para un valor de

0040.0u y un esfuerzo del cf 85.0 . A continuación se muestra en la figura 4.38,

una curva característica de resistencia del concreto según Hognestad.

Figura 4.38. Diagrama esfuerzo deformación




213

De ensayos de laboratorio se pueden sacar varias conclusiones:

a. La deformación correspondiente a los esfuerzos máximos para la mayoría de

concretos en compresión es aproximadamente de 0.002.

b. En la parte descendente del diagrama los concretos menos resistentes tienen

menor pendiente que los concretos de mayor resistencia.

c. Los concretos de mayor resistencia tienen mayor módulo de elasticidad.

Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del elemento

y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto a la parte superior se calculan

coeficientes, denominados k1 y k2, que van a representar porcentajes de área

rectangular y de distancia respectivamente.

Estos valores de k1 y k2 se pueden determinar de la siguiente manera.

Determinación de k1:

El coeficiente de k1 es un porcentaje del área por debajo de la parábola o por debajo de

la curva con respecto al área de un rectángulo de valor f´c·c, entonces solo es una

relación:

Para oc εε0

cc

c

c

f

df

k

0

2

00

1

2

Desarrollando la integral se tiene:

2

0

0

1

)3(

3

1

c

ck

(4.50)

Para uc 0

cc

u

c

cc

f

df

fdf

k

c

0

00 0

0

2

00

1

)(100

)(152




214


))((

)91021203140(

120

1

0

2

0

2

0

1

cu

ccucuok

(4.51)

Determinación de k2:

El coeficiente de k2 es un porcentaje de distancia de la diferencia de xxc con

respecto al valor de la deformación c, entonces la relación será:

Para 00 c

c

c

df

df

k

c

c

c

c

0

2

00

0

2

00

2

2

2

1


)3(

)4(

4

1

0

0

2

c

ck

(4.52)

Para uc 0

0

0

0

0

0 0

0

2

00

0 0

0

2

00

2

)(100

)(152

)(100

)(152

1

c

c

df

fdf

df

fdf

k

u

ccc

u

ccc

c

c


uc 0

)91021203140(

71035160314012

0

2

00

3

0

2

0

3

0

222

002

ccucu

uccuccuc

c

k

(4.53)

Finalmente estos coeficientes k1, k2 nos servirán para evaluar la fuerza resultante

generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de

la fuerza, respectivamente.

A continuación se muestran los valores de k1 y k2




215

VALORES K1, K2 DE HOGNESTAD

Para diferentes f´c del concreto

eo = 0.002000 mm/mm

eu= 0.004 mm/mm

Deformación k1 k2 Deformación k1 k2 Deformación k1 k2

0.000000 0.00000 0.00000 0.001300 0.50917 0.35638 0.002550 0.73411 0.39436

0.000050 0.02479 0.33403 0.001325 0.51620 0.35695 0.002575 0.73629 0.39525

0.000075 0.03703 0.33439 0.001350 0.52313 0.35753 0.002600 0.73840 0.39613

0.000100 0.04917 0.33475 0.001375 0.52995 0.35811 0.002625 0.74045 0.39701

0.000125 0.06120 0.33511 0.001400 0.53667 0.35870 0.002650 0.74245 0.39788

0.000150 0.07313 0.33547 0.001425 0.54328 0.35929 0.002675 0.74439 0.39875

0.000175 0.08495 0.33584 0.001450 0.54979 0.35989 0.002700 0.74628 0.39961

0.000200 0.09667 0.33621 0.001475 0.55620 0.36050 0.002725 0.74812 0.40047

0.000225 0.10828 0.33658 0.001500 0.56250 0.36111 0.002750 0.74991 0.40132

0.000250 0.11979 0.33696 0.001525 0.56870 0.36173 0.002775 0.75164 0.40217

0.000275 0.13120 0.33734 0.001550 0.57479 0.36236 0.002800 0.75333 0.40302

0.000300 0.14250 0.33772 0.001575 0.58078 0.36299 0.002825 0.75498 0.40385

0.000325 0.15370 0.33811 0.001600 0.58667 0.36364 0.002850 0.75658 0.40469

0.000350 0.16479 0.33850 0.001625 0.59245 0.36429 0.002875 0.75813 0.40551

0.000375 0.17578 0.33889 0.001650 0.59813 0.36494 0.002900 0.75964 0.40633

0.000400 0.18667 0.33929 0.001675 0.60370 0.36561 0.002925 0.76111 0.40715

0.000425 0.19745 0.33969 0.001700 0.60917 0.36628 0.002950 0.76254 0.40796

0.000450 0.20813 0.34009 0.001725 0.61453 0.36696 0.002975 0.76393 0.40876

0.000475 0.21870 0.34050 0.001750 0.61979 0.36765 0.003000 0.76528 0.40956

0.000500 0.22917 0.34091 0.001775 0.62495 0.36834 0.003025 0.76659 0.41035

0.000525 0.23953 0.34132 0.001800 0.63000 0.36905 0.003050 0.76787 0.41114

0.000550 0.24979 0.34174 0.001825 0.63495 0.36976 0.003075 0.76910 0.41192

0.000575 0.25995 0.34217 0.001850 0.63979 0.37048 0.003100 0.77031 0.41269

0.000600 0.27000 0.34259 0.001875 0.64453 0.37121 0.003125 0.77148 0.41346

0.000625 0.27995 0.34302 0.001900 0.64917 0.37195 0.003150 0.77262 0.41423

0.000650 0.28979 0.34346 0.001925 0.65370 0.37270 0.003175 0.77372 0.41498

0.000675 0.29953 0.34390 0.001950 0.65813 0.37346 0.003200 0.77479 0.41574

0.000700 0.30917 0.34434 0.001975 0.66245 0.37422 0.003225 0.77583 0.41648

0.000725 0.31870 0.34479 0.002000 0.66667 0.37500 0.003250 0.77684 0.41723

0.000750 0.32813 0.34524 0.002025 0.67077 0.37579 0.003275 0.77782 0.41796

0.000775 0.33745 0.34569 0.002050 0.67475 0.37660 0.003300 0.77878 0.41869

0.000800 0.34667 0.34615 0.002075 0.67861 0.37743 0.003325 0.77970 0.41942

0.000825 0.35578 0.34662 0.002100 0.68236 0.37828 0.003350 0.78059 0.42014

0.000850 0.36479 0.34709 0.002125 0.68600 0.37914 0.003375 0.78146 0.42085

0.000875 0.37370 0.34756 0.002150 0.68953 0.38000 0.003400 0.78230 0.42156

0.000900 0.38250 0.34804 0.002175 0.69296 0.38088 0.003425 0.78312 0.42227

0.000925 0.39120 0.34852 0.002200 0.69629 0.38177 0.003450 0.78391 0.42297

0.000950 0.39979 0.34901 0.002225 0.69952 0.38266 0.003475 0.78468 0.42366

0.000975 0.40828 0.34950 0.002250 0.70266 0.38355 0.003500 0.78542 0.42435

0.001000 0.41667 0.35000 0.002275 0.70571 0.38445 0.003525 0.78613 0.42503

0.001025 0.42495 0.35050 0.002300 0.70868 0.38536 0.003550 0.78683 0.42571

0.001050 0.43313 0.35101 0.002325 0.71156 0.38626 0.003575 0.78750 0.42639

0.001075 0.44120 0.35152 0.002350 0.71436 0.38717 0.003600 0.78815 0.42706

0.001100 0.44917 0.35204 0.002375 0.71708 0.38807 0.003625 0.78878 0.42772

0.001125 0.45703 0.35256 0.002400 0.71972 0.38897 0.003650 0.78938 0.42838

0.001150 0.46479 0.35309 0.002425 0.72229 0.38988 0.003675 0.78997 0.42904

0.001175 0.47245 0.35363 0.002450 0.72479 0.39078 0.003700 0.79053 0.42969

0.001200 0.48000 0.35417 0.002475 0.72722 0.39168 0.003725 0.79107 0.43034

0.001225 0.48745 0.35471 0.002500 0.72958 0.39258 0.003750 0.79160 0.43098

0.001250 0.49479 0.35526 0.002525 0.73188 0.39347 0.003775 0.79210 0.43162

0.001275 0.50203 0.35582 0.004000 0.79583 0.43717




216

En concreto armado se define ductilidad de una seccíón a la capacidad de deformación

que tiene, se expresa como

f

u

(4.54)

Donde:

Ductilidad de la sección

u Curvatura última

f Curvatura de fluencia

Además, ya hemos definido curvatura anteriormente como la relación y/ .

En concreto armado hay varias maneras de calcular los puntos o coordenadas del

diagrama momento-curvatura, se puede considerar un primer punto cuando ocurre el

primer agrietamiento de la sección, un segundo punto la fluencia del acero y un tercer

punto cuando ocurre la fractura del concreto; está manera es la que vamos a utilizar en

el siguiente ejemplo, para una sección simplemente reforzada. El procedimiento usual

es darse valores de deformación del concreto obtener los valores de 1k y 2k , realizar la

compatibilidad de deformaciones, realizar el equilibrio de momento, obtener las

variables como la profundidad del bloque en compresión y si el acero fluye o no (el

valor máximo del esfuerzo del acero es de f , por ser elastoplástico).

Ejemplo 4.13. Calcular la ductilidad de sección de la vigueta simplificada de losa

aligerada de 10cmx20cm, que cuenta con dos aceros de refuerzo, de diámetro 3/8” con

un recubrimiento de 2.50 cm al eje de las varillas. El esfuerzo de fluencia del acero es

de 2/4200 cmkgfyf y la resistencia del concreto es 2/210' cmkgcf

2/210 cmkgfc 26 /102 cmkgxEs 2/4200 cmkgf 2/217370 cmkgEc

cmd 5.17 9n Aproximado (relación de módulos de elasticidad)

a) Primer punto del diagrama momento curvatura: agrietamiento del concreto,

transformando el área de acero a un área de concreto en comportamiento elástico




217

)8(42.1)20(10

)5.17)(8)(42.1()10)(20(10

y

36.211

8.2198y

cmy 40.10

223

)1.7)(8)(42.1()40.0)(20(1012

)20(10I

432.7271 cmI

Calculando el esfuerzo de agrietamiento del concreto se tiene:

cR ff 2

2/98.28 cmkgfR 2/29 cmkgfR (Redondeando)

Calculando el momento correspondiente, éste será el momento de agrietamiento de

la sección

6.9

28.210868

)40.1020(

)32.7271(29

)20(

y

IfM R

cr

cmkgM cr .44.21965

mkgM cr .65.219

Determinando el esfuerzo en el concreto Cf

2/42.3132.7271

)40.10(44.21965·cmkg

I

yM

S

Mf crcr

C

La deformación del concreto será:

410·445.1217370

42.31 C

CC

E

f




218

La ductilidad correspondiente es:

4.10

10445.1 4

c

C

cm/1039.1 5

b) Fluencia del acero: se determinará una fórmula para determinar la ubicación del

eje neutro “c”

fsc Abcfk 1

)( 2ckdAM fsn

)( 21 ckdbcfkM cn

Sabemos que 1k toma el valor de la siguiente ecuación siempre y cuando la

deformación del concreto esté en el rango de 002.0εε0 oc :

2

0

01

)3(

3

1

c

ck

Reemplazando se tiene:

fsc

c

c Abcf

2

0

0 )3(

3

1

De la compatibilidad de las deformaciones del gráfico anterior se tiene:

)(

·

cd

cf

c

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:




219

fscc

c Acbf

)3(3

1 2

02

0

fs

ffc Accd

c

cd

cbf

2

2

0

2

0)(

)(

)(

3

3

1

fs

ffc Accd

ccdcbf

2

2

0

2

0)(

)()(3

3

1

222

02

0

)()()(33

1cdAccccd

bffsff

c

22222

002

0

2333

1cdcdccccd

A

bffff

fs

c

Finalmente se tiene una ecuación cúbica, donde se obtiene “c”, para la condición de

fluencia del acero de refuerzo, denominaremos a esta ecuación (4.55). Notar que

esta ecuación solo es aplicable para secciones donde se tiene solamente acero en

tracción (es decir trabaja solamente en flexión) y no tiene carga axial.

22

0

232

02

0

23(33

1cdcdccd

A

bffff

fs

c

(4.55)

Finalmente reemplazando se tiene:

22

2

232

)5.17(25.17)4200)(42.1()002.0(

)0021.0)(002.0(30021.0()0021.0)(002.0)(5.17(3)10)(210(

3

1cc

cc

232 3525.3060021126.00002205.072.29342 cccc 025.3063547.55.0 23 ccc

645.12

159.6

864.7

íc

La respuesta válida sería c=6.159cm, con este valor hay que verificar la

deformación de 002.0c , ya que el 1k utilizado fue para 002.0εε0 oc




220

341.11

)159.6(0021.0c

00114.0c

Calculando la curvatura de fluencia

159.6

00114.0

c

cf

51051.18 f 1/cm

Calculando el momento de fluencia

)( 2ckdfAM ysf

c

cok

0

23

4

4

1

00114.0)002.0(3

00114.0)002.0(4

4

12k

353.02 k

))159.6(353.05.17)(4200(42.1 fM

cmkgM f .5.91403

mkgM f .914

c) Rotura de concreto

43717.0

79583.00040.0

2

1

k

kcu

cmc 568.3)10)(210(79583.0

)4200(42.1

Calculando la curvatura última




221

568.3

004.0

c

cu

5101.112 u 1/cm

Calculando el momento:

)( 2cKdAM fsn

))568.3(43717.05.17)(4200(42.1 nM

cmkgMn .22.95067 mkgMn .67.950

Se muestra a continuación, un diagrama momento curvatura simplificado, para tres

puntos calculados, más adelante se mostrará el diagrama completo con más puntos,

donde se podrá notar las diferencias

Calculando la ductilidad de curvatura de la sección, se tiene:

5

5

1051.18

101.112

f

u

056.6

A continuación, se muestra una tabla desarrollada en el programa Mathcad, a detalle,

considerando en la columna 1 la deformación (incrementos de deformación del concreto

de 0.0002), la 2da y 3ra columna los valores de k1 y k2 del modelo de Hognestad, la 4ta

columna los valores de “c” (altura del bloque comprimido), la 5ta columna, el esfuerzo

del acero en tracción, la 6ta columna el momento flector (en Tn·m) y finalmente la 7ma

columna la curvatura de la sección (1/cm).




222

El siguientes gráfico muestra el diagrama momento curvatura, con los datos de la tabla

anterior, se muestra como la resistencia, se incrementa ligeramente, antes de llegar a la

deformación máxima.

Cap 4 Modos y Criterios de Falla (d) Versión 2015

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