Cap 4 relaciones y funciones

Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones

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4.1 PARES ORDENADOS 4.2 PRODUCTO CARTESIANO 4.3 REPRESENTACIÓN 4.4 RELACIONES 4.5 FUNCIONES

Uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas es el de FUNCIÓN. Los cursos de Matemáticas Universitarias requieren como base que, el estudiante tenga nociones de las definiciones, propiedades y operaciones que giran en torno al concepto de función.


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OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina conjuntos ordenados de dos, tres, cuatro y más componentes ( n componentes). • Obtenga producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. • Represente en diagramas de flechas el producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. • Defina relaciones, funciones, dominio e imagen. • Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para distinguir las funciones de las relaciones y para obtener dominios e imágenes. • Encuentre relaciones entre elementos de dos conjuntos y determine la regla de correspondencia de ser posible. • Defina funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Construya con conjuntos finitos funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función inversa de una función dada. • Infiera condiciones para la existencia de la función inversa. • Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función compuesta de una, dos, tres, etc. funciones. • Infiera condiciones para la existencia de la función compuesta.

4.1 PARES ORDENADOS

Un PAR ORDENADO es un conjunto de dos elementos, llamados COMPONENTES, en donde importa el orden de dichas componentes. Es decir ( )yx, donde ≡x primera componente ≡y segunda componente

También existen:

Conjuntos ordenados de 3 componentes (TERNAS ORDENADAS): ( )zyx ,, . Conjuntos ordenados de 4 componentes: ( )4321 ,,, xxxx . En general, conjuntos ordenados de “n” componentes: ( )nxxxx ,...,,, 321 .

4.2 PRODUCTO CARTESIANO

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces el producto cartesiano A con B , denotado por

BA× , se define como: ( ) ByAxyxBA ∈∧∈=× /,

Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su primera componente la tomamos del conjunto A y la segunda componente la tomamos del conjunto B .

Ejemplo

Sean los conjuntos ?,,1∗=A y ⊗= ,aB , entonces


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⊗⊗∗∗⊗=× ?,,?,,,,,,,1,,1 aaaBA

Note que ( ) ( )BNANBAN =× )(

El producto cartesiano de B con A sería:

( ) AyBxyxAB ∈∧∈=× /,

Ejemplo

Para los conjuntos anteriores ?,,1∗=A y ⊗= ,aB tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ?,,,,1,,?,,,,1, ⊗∗⊗⊗∗=× aaaAB

PREGUNTA: ¿CÓMO Y CÚALES SERÍAN AA× Y BB × ?

La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es:

( ) CzByAxzyxCBA ∈∧∈∧∈=×× /,,

Ejemplo

Sean los conjuntos ?,,1∗=A y ⊗= ,aB , y ¡,∇=C entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⊗∇⊗∇⊗∗∇⊗∗∗∇∗⊗∇⊗∇

=××¡,?,,,?,,¡,?,,,?,

,¡,,,,,,¡,,,,,,¡,,1,,,1,¡,,1,,,1aa

aaaaCBA

Note que: ( ) ( ) ( ) ( )CNBNANCBAN =××

También se pueden obtener: BAA ×× , BCA ×× , ... ¿ENCUÉNTRELOS?

4.3 REPRESENTACIÓN A los pares ordenados se los suele representar gráficamente es

un sistema bidimensional, lo cual trataremos con mayor profundidad más adelante.

Ejercicios Propuestos 4.1 1. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.

a) 3,2,11 ∈ b) 11 ⊂ c) 3,21 ⊂ d) ( ) 3,23,13,2 ×⊆ e) ( ) 4,3,13,24,3 ×∈

2. Dados los conjuntos 4,3,,,,2,1 === CzyxBA , entonces es VERDAD que:

a) El producto cartesiano CBA ×× tiene 7 elementos.


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OBSERVE QUE: 1. BAr :1 2. BAr ×⊆1

b) El producto cartesiano CBA ×× contiene 17 elementos. c) El producto cartesiano CBA ×× contiene una terna ( )3,1,1 . d) El producto cartesiano CBA ×× posee 12 elementos. e) El producto cartesiano CBA ×× es imposible realizarlo.

4.4 RELACIONES Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a

todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto. Nace el concepto de relación o asociación.

Podemos también relacionar sólo ciertos elementos de un conjunto con algunos elementos de otro conjunto. Es decir vamos a considerar los subconjuntos de BA× .

Entonces formalmente podríamos definir a una relación de la siguiente manera:

Sean A y B dos conjuntos. Una RELACIÓN r de A en B , denotada por BAr : , es una asociación de elementos (no necesariamente todos) de un conjunto A con elementos de un conjunto B . Es decir, tenemos que BAr ×⊆ .

Note que no necesariamente AB ≠ , es decir que podrán existir:

Relaciones de A en A ( AAr : ) donde AAr ×⊆ .

Relaciones de B en A ( ABr : ) donde ABr ×⊆ .

Relaciones de B en B ( BBr : ) donde BBr ×⊆ .

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Suponga que con los conjuntos ?,,1 ∗=A y ⊗= ,aB formamos la relación ( ) ( ) ( ) ⊗∗∗= ,,,,,11 aar , la cual la podemos representar en un diagrama de flechas de la

siguiente manera:


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)()()( 22 BNANBAN == ×

Ejemplo 2

Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos otra relación BAr :2 tal que, ( ) ( )( ) ( ) aaar ?,,,,1,,12 ∗⊗= . Que representada en un diagrama de flechas, tendríamos:

En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones.

Una regla para el número total de relaciones de A en B , que se pueden construir, es:

CANTIDAD DE

RELACIONES DE BA

Es decir, todos los subconjuntos de BA× , serían una relación.

Para el caso anterior tendríamos 6422 623 ==× relaciones en total. No olvide de considerar la relación vacía Φ=r y la relación BAr ×=

4.4.1 DOMINIO DE UNA RELACIÓN


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Sea BAr : una relación. El DOMINIO de r , denotado por rDom , es el conjunto

constituido por los elementos del conjunto A que estén considerados en la relación. Es decir:

yrxAxrDom /∈= , para algún By ∈

Entonces rDom A⊆ .

Algunos autores le llaman CONJUNTO DE PARTIDA. En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar a cuales elementos les salen las flechas.

Ejemplo Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:

1. ArDom ⊂∗= ,11 2. ArDom =∗= ?,,12

4.4.2 RANGO DE UNA RELACIÓN

Sea BAr : una relación. El RANGO de r , denotado por rrg , es el conjunto constituido

por los elementos del conjunto B que están relacionados con los elementos de su dominio. Es decir: DomrxparayrxByrrg ∈∀∈= ,/

Entonces rrg B⊆ .

Es llamado también CONJUNTO DE LLEGADA. En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar los elementos a los cuales les están llegando flechas.

Ejemplo 1 Para los casos anteriores, tenemos:

1. Barrg =⊗= ,1

2. Barrg =⊗= ,2


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El diagrama de flechas nos permite establecer rápidamente por inspección su dominio y su rango. 1. BarDom ⊂=

2. Arrg ⊂∗= ,1

Note además que: ABr ×⊂

Ejemplo 2

Suponga ahora que tenemos la relación ABr : , tal que, ( ) ( ) ∗= aar ,1, . Realizando su diagrama de flechas tenemos:

Ejercicio propuesto 4.2 1. Sean los conjuntos 6,5,4,3,2=A y 5,4,3,2,0=B y sea R una relación de A en B definida por

( ) AadondeabbaR ∈−== 1/, . Entonces el número de pares ordenados que pertenecen a la relación

R es: a) 4 b) 3 c) 0 d) 5 e) 2

4.5 FUNCIONES

El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más importantes de las Matemáticas

4.5.1 DEFINICIÓN

Una relación de A en B , es una FUNCIÓN sí y sólo sí, cumple las dos condiciones siguientes: 1. ArDom =

2. Existe una CORRESPONDENCIA ÚNICA. Es decir, a un elemento del conjunto A no le debe corresponder dos o más elementos del conjunto B . Sólo uno le debe corresponder, no debe existir esta


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ambigüedad de correspondencia. Simbólicamente sería: ( )[ ]2121 yyyrxyrx =⇒∧ .

4.5.2 NOTACIÓN

Lo más usual para denotar a una función es la letra “ f ”. Aunque se pueden emplear las letras “ g ”, “ h ”, y otras.

Ejemplo 1 Sean los conjuntos ?,,1 ⊗=A y !,0,,∗= aB y sea BAf : tal que,

( ) ( )( ) !?,,0,,,1 ⊗= af . Realizando el diagrama de flechas, observamos que:

Ejemplo 2

Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como BAg →: tal que ( ) ( ) ( ) !?,,,,,1 aag ⊗= , cuyo diagrama de flechas sería:

Ejercicio Resuelto

Dados los conjuntos 8,6,4,2=A y 13,11,9,7,5,3,1=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de A en B es una función de A en B : a) xyBAyxR >×∈= /),(1 c) 2/),(3 =×∈= xBAyxR b) 12/),(2 −=×∈= xyBAyxR d) 3/),(4 =×∈= yBAyxR

De acuerdo a las definiciones, f es una función.

Observamos que: 1. AgDom = ; y, 2. Existe correspondencia única. De todos y cada uno

de los elementos del conjunto A le sale sólo una flecha.

Por tanto g también es función. NOTA: No importa que a algún elemento de B le llegue más de una flecha.


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No es Función

e) Ninguna de las anteriores relaciones es una función. SOLUCIÓN: Interpretemos cada opción con su respectivo diagrama de flechas.

a) ( )

)13,8(),7,4(,),7,2(),5,2(),3,2(/,1

=<×∈= yxBAyxR

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 11,6,7,4,3,2

12/,2=

−=×∈= xyBAyxR

c)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13,2,11.2,9,2,7,2,5,2,3,2,1,2

2/,3=

=×∈= xBAyxR d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,8,3,6,3,4,3,2

3/,4=

=×∈= yBAyxR

Ejercicios propuestos 4 .3 1. Sean los conjuntos 8,6,4,2=A y 13,11,9,7,5,3=B . Una de las siguientes relaciones determina una

función. Identifíquela: a) 2/),(1 =×∈= bABabr b) baABabr >×∈= /),(2

c) 12/),(3 −=×∈= baABabr d) 7/),(4 =×∈= bBAbar

e) 8/),(5 =×∈= aABabr 2. Sean los conjuntos 7,6,5,4,3,2,1=A y ?@,,*,, Π∆=B . Si 21, rr y 3r son relaciones de A en

B , tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Π∆=∆Π=Π∆= ,3,,4,,4,,3,,*2,@,1,,*7,,6,,5 321 rrr

Entonces es VERDAD que: a) 21 rr − es una función. b) 21 rr ∪ es una función.

c) 121 rrr =∪ d) 232 rrr =− e) ( ) 321 rrr −∪ es una función.

3. Sean los conjuntos 3,2,1,0,1,2,3 −−−=A y 4,3,2,1,0=B . Si 21, rr y 3r relaciones de A en

B , tales que: 1/),(1 +== xyyxr 0/),(2 =+= yxyxr

)1,1(),0,0(3 −=r Entonces es VERDAD que:

a) 21 rr ∪ es una función b) 21 rr − es una función

c) ( ) 321 rrr −∪ es función d) 131 rrr =∪

No es Función

No es Función Si es FUNCIÓN, por tanto esta es la RESPUESTA


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e) 232 rrr =− 4. Si se tiene la siguiente tabla de datos:

Alumnos Edad en

años Karla 12

Washington 11 Consuelo 16 Edison 14

Fernando 11 Margarita 17

y se definen los conjuntos: xxX /= es una alumna y está en la tabla anterior

yyY /= es un alumno y está en la tabla anterior Diga ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?: a) xyxr /),(1 = es de mayor edad que y

b) xyxr /),(2 = es igual en edad que y

c) xyxr /),(3 = es de menor o igual edad que y

d) xyxr /),(4 = es de mayor o igual edad que y e) Elija esta opción si niinguna de las relaciones anteriores representa una función.


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4.5.3 TIPOS DE FUNCIONES

4.5.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA

Sea BAf : una función. Entonces f es INYECTIVA si y sólo si AxAx ∈∀∧∈∀ 21 se cumple que 2121 yyxx ≠⇒≠ donde

( ) ( )2211 xfyxfy =∧= .

Es decir son funciones con correspondencia de UNO A UNO.

Ejemplo

Sean los conjuntos ?,,1 Π=A y !,,, ⊗∗= aB y sea BAf : una función tal que: ( ) ( ) ( ) ∗⊗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas sería:

4.5.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Sea BAf : una función. Entonces f es

SOBREYECTIVA si y sólo si se cumple que Bfrg = .

Ejemplo

Sean los conjuntos ?,,1 Π=A y ∗= ,aB y sea BAf : una función tal que: ( ) ( ) ( ) ∗Π= ?,,,,,1 aaf . Entonces su diagrama de flechas es:

Como a los elementos del rango de f les llega una y sólo una flecha, entonces existe correspondencia uno a uno. Por lo tanto esta función es INYECTIVA..

NOTE QUE: para construir funciones inyectivas se tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN ≤ . ¿POR QUÉ?

Esta función es SOBREYECTIVA porque Bfrg = .

NOTE QUE: para construir funciones sobreyectivas se tiene que cumplir:

( ) ( )BNAN ≥ ¿POR QUÉ?


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4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función f es BIYECTIVA, si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo: Sean los conjuntos ?,,1 Π=A y ⊗∗= ,,aB y sea BAf : una función tal que:

( ) ( ) ( ) ⊗∗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas es:

Finalmente, podríamos representar esta clasificación en un

diagrama de Venn de la siguiente manera:

4.5.4 FUNCIÓN INVERSA

Observe que: 1. Existe correspondencia uno a uno. 2. Bfrg = Por tanto esta función es BIYECTIVA. NOTE QUE: para construir funciones biyectivas se tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN = ¿POR QUÉ?


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?),();,();1,(1 ⊗Π∗=− af

ABf →− :1

BAf →:

⇒

Sea BAf : una función. Entonces la INVERSA de f , denotada como 1−f , si existe,

es de B en A . Es decir ABf :1−

Teorema 1−f existe, sí y sólo sí f es biyectiva.

Ejemplo Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos:

Note que: fDomfrgfrgfDom

=

=−

−

1

1

Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino de regreso.

4.5.5 FUNCIÓN COMPUESTA (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)

Se pueden construir funciones a partir de otras funciones.

Ejemplo 1

Sean las funciones BAf : y CBg ∗: cuyos diagramas de flechas son:


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( )( )

(?))()(@)()()1()(@

fggfggfgag

=∗=◊=⊗=∆

==

?

1◊

( ))()( xfgxfg =

(?))(

)1(

fffa

=∗◊=⊗

=

COMPOSICIÓN

Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto C , empleando las correspondencias de las funciones f y g . Entonces obtendríamos:

La operación que hemos realizado se llama COMPOSICIÓN DE FUNCIONES y se obtuvo una nueva función, la función compuesta fg , debido a que:

NOTE QUE: 1. ( ) CAfg :

2. ( ) ( ))()( xfgxfg = 3. fDomfgDom =

4. gDomfrg ⊆ , en este ejemplo tenemos baa ,,,,,, Π⊗∗⊂⊗∗ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO

OCURRIERA?

EN OCASIONES también se puede encontrar la función compuesta gf

Aquí en cambio se cumple que:

1. ( ) ( ))()( xgfxgf = 2. ( ) gDomgfDom = 3. fDomgrg ⊆ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA?

( ) ( ))()( xgfxgf =


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NOTE QUE:

1. BBgf ∗: 2. ( ) ( ))()(4 ∗== gfagf 3. ( ) ( ) ( ))()()(5 bgfgfgf ==⊗=

Ejemplo 2 Suponga que f y g son funciones, tales que:

Obteniendo la función compuesta gf , tenemos:

Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUNCIÓN BIYECTIVA CON SU INVERSA.

Ejemplo 3

Suponga que f y 1−f son funciones, tales que, sus diagramas de flechas son:

Entonces 1−ff es:

),(),,(),,(1 ⊗⊗∗∗=− aaff , ésta es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN B :

BIff =−1


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Ejemplo 4

Ahora hallemos ff 1− , para el mismo ejemplo anterior:

Entonces:

?)(?,),,(),1,1(1 ◊◊=− ff , esta en cambio es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN A :

AIff =− 1

También hay momentos en que se puede realizar la COMPOSICIÓN DE MÁS DE DOS FUNCIONES.

Ejemplo 5

)( fgh , la cual esquemáticamente sería:

)))((())(( xfghxfgh =

Entonces: ( )( ) )))((()( xfghxfgh =

Analicemos ejercicios que globalice todo lo mencionado.


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Ejercicio Resuelto 1

Dados los conjuntos @,,, Π∆⊕=A ,*!?,=B y las funciones ABf →: y BAg →: , tales que: ( ) ( ) ( ) ⊕Π∆= *,,,!,?,f y ( ) ( ) ( ) ( ) @,*,,*,!,,?,: Π∆⊕g

Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA a) fg es inyectiva. b) g es sobreyectiva ∧ f es sobreyectiva. c) fg es sobreyectiva. d) f es inyectiva ∧ g no es biyectiva . e) gf no es inyectiva.

SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos:

a) Encontremos fg

b) (RESPUESTA) Esta opción es FALSA porque g SI es sobreyectiva f∧ NO es sobreyectiva de acuerdo a lo que se observa en sus diagramas de flechas respectivos.

c) Esta opción es VERDADERA, porque fg SI es sobreyectiva.

d) Esta opción también es VERDADERA, porque f SI es inyectiva g∧ NO es biyectiva ( g no es inyectiva) .

e) Encontremos gf

Observe que fg es inyectiva, por tanto esta opción es VERDADERA.

Observe que gf no es inyectiva. Por tanto esta opción también es VERDADERA.


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Ejercicio Resuelto 2

Sean los conjuntos 4,3,2=A y 8,6,4,3,2,1=B y sean BAf →: y ABg →: funciones tales que: ( ) abBAbaf 2/, =×∈= y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g

Entonces es FALSO que: a) g es sobreyectiva. b) f es inyectiva. c) ( )( ) 43 =fg d) ( )( ) 33 =gf e) ( )( ) 62 =fgf

SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos:

a) Observamos que g SI es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA. b) Observamos que f SI es inyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.

c) Para hallar ( )( )3fg , hagamos lo siguiente:

Empezamos con 3 . Hallamos su correspondiente en f vemos que es 6 . Luego a este resultado le hallamos su correspondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta opción también es VERDADERA.

d) Hallemos ( )( )3gf igual que en la opción anterior.

Observe que se obtiene como resultado final 6 , más no 3 , como indica la opción. Por tanto esta es la FALSA (RESPUESTA)

e) Esta opción es VERDADERA, porque:

6)2)(( =fgf


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La correspondencia final para “ t ” es “ s ” y no “ n ” como indica la opción. Por tanto esta opción es FALSA.

Ejercicio resuelto 3

Dados los conjuntos uoieaV ,,,,= y tsrlnmC ,,,,,= y las funciones: ),(),,(),,(),,(),,( surolinemaf = y ),(),,(),,(),,(),,(),,( utosirelanamg = siendo CVf →: y VCg →: , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.:

a) ntgf =))(( b) No es posible construir fg c) f es inversa de g d) f y g son biyectivas e) srlnmgfrg ,,,,)( =

SOLUCIÓN: Primero, los diagramas de flechas respectivos serían:

Analizando cada opción, tenemos:.

a) Hallemos ))(( tgf , para lo cual el siguiente diagrama ayuda

b) Hallemos fg

c) Observe que f no es biyectiva (¿POR QUÉ?), por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna

función. Entonces esta opción también es FALSA. d) Ni f ni g son biyectivas (¿POR QUÉ?) Por tanto esta opción también es FALSA.

e) Hallemos gf

Observe que, sí es posible construir fg . Por Tanto esta opción

también es FALSA.

Observe que srlnmgfrg ,,,,= Por tanto esta opción es la VERDADERA.


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Ejercicio resuelto 4

Sean los conjuntos zyxA ,,= , rtsB ,,= , 3,2,1=C y cbaD ,,= . Y BAf : DCh : y ADg : funciones tales que:

),(),,(),,( zcxbyag =

Entonces hgf corresponde a: a) ),3(),,2(),,1( tts b) ),3(),,2(),,1( zyx c) )3,(),2,(),1,( rts d) ),3(),,2(),,1( yzx e) ),(),,(),,( rczbya

SOLUCIÓN:

Note que ),3(),,2(),,1( aabh = . El dominio de hgf va a ser el dominio de h , entonces

partiendo de estos elementos )3,2,1( le determinamos la respectiva correspondencia primero en g y luego sus resultados le determinamos su respectiva correspondencia en f . Obteniendo

),3(),,2(),,1( ttshgf = . Por tanto la opción “a” es la VERDADERA.

Ejercicios Propuestos 4.4 1. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que:

a) Si ),()( BNAN ≤ no existe función alguna de A en B que sea inyectiva. b) Si ),()( BNAN > no existe funciones sobreyectivas de A en B . c) Si BAf →: es una función inyectiva, entonces ).()( BNAN > d) Si )(AN y )(BN son finitos y ),()( BNAN = existen más funciones inyecitvas que funciones

sobreyectivas. e) Si BA ⊂ y 1)( =AN y 2)( =BN , existen más funciones de A en B que funciones de B

en A . 2. Dados los conjuntos: ΟΠ∆Ω= ,,,A , += ?,*,B , 5,4,3,2,1=C y las relaciones 4321 ,,, rrrr y

5r definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,,4,,2,,1,1 ΟΠ∆Ω=r ; CrRg =1 .

b) ( ) ( ) ( ) ?,4,,3,,*12 +=r ; CrDom =2 .

c) ( ) ( ) ( ) ( ) +ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,3r es una función biyectiva. d) Si ( ) ( ) ( ) ( ) 5,,3,,2,,1,4 ΟΠ∆Ω=r y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += ,5,,*4,,*3,,*2,?,15r entonces 45 rr es

una función inyectiva. e) Si ( ) ( ) ( ) ( )( ) ΠΟΠ∆Ω= ,5,4,,3,,2,,16r y ( ) ( ) ( ) ( ) +ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,7r entonces

67 rr es función sobreyectiva. 3. Dado los conjuntos: srqpA ,,,= y ponmB ,,,= y las funciones A en B . ),(),,(),,(),,( nsmrpqmpf = y ),(),,(),,(),,( osnrmqppg =

entonces es CIERTO que:


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a) gf ∪ es una función inyectiva. b) g es sobreyectiva pero no inyectiva. c) f es inyectiva pero no sobreyectiva. d) g es una función biyectiva. e) f es una función biyectiva.

4. Sea el conjunto =A Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan y f una función tal que AAf →: con la siguiente

definición: f (Elena) = Hessel, f (Hessel) = Elsi, f (Elsi) = Angel, f (Angel) = Elena, f (Juan) = Elena entonces, será verdad que: a) ff es inyectiva b) )( ff (Juan) = Hessel c) f es sobreyectiva d) ffdomfrg = e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.

5. Considere los conjuntos ?,*,,bA β= y !,*,,α= aB . Sea BAf →: y ABg →: dos

funciones tales que: )(?,),,(),,(),,( ∗∗αβ= abaf y ?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= ag . Entonces es VERDAD que: a) )(?,?),,(),,(?),,( β∗ββ= bgf b) ),(!),,(),,(),,( ∗∗∗α= aaagf c) )(?,),,(),,(),,( ρ∗αβ= abagf d) ?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= agf e) ?),(!),,(?),,(),,( aaagf ∗α=

6. Sea uoieaV ,,,,= y se define una función VVf →: por: uaf =)( ; ief =)( ; aif =)( ; oof =)( y iuf =)( .

El rango de ff es: a) uoiea ,,,, b) uoia ,,, c) uoa ,, d) oia ,, e) uiea ,,,

7. Las gráficas:

representan las funciones BAf →: y DCg →: donde cbaC ,,= y 3,2,1=D . Determine ¿cuál de las siguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar?

a) gf b) fg c) ff 1− d) 1−gg e) 11 −− gf

8. Dadas las funciones:

Entonces es VERDAD que: a) f y g son sobreyectivas b) gf es inyectiva c) fg es biyectiva d) El rango de gf es igual a B . e) El rango de fg es igual al rango de f .

9. Si f es una función de A en B y g es una función de B en C , entonces es VERDAD que:

a) gDomfgDom =

D

C a b c

3

2

1

g


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b) Si f es inyectiva, entonces fg también lo es. c) Si f y g son sobreyectivas, entonces fg también lo es. d) Si fg es sobreyectiva entonces f también lo es. e) )()( fRgfgRg =

10. Sean los conjuntos ,*1?,$,=A y ,*3,2,1=B , y sea BAf →: y ABg →: dos funciones

tales que: i )1,(),,1(),($,),1(?, ∗∗∗=f y ),3(),1,(,$),2(?),,1( ∗∗=g . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) g es una función inyectiva pero f no lo es. b) El dominio de fg es ∗,1?,$, . c) El rango de gf es ∗,1 . d) )()1,1( gf ∈ e) El rango de fg es igual al rango de g .

11. Sean las funciones )5,4(),4,3(),3,2(),2,1(=g y )7,6(),6,5(),5,4(),4,3(),3,2(=h Entonces el valor de )1)(( gh es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Dado el conjunto JulioMaríaMarioHildaTaniaA ,,,,= y las funciones: AAf →: y

AAg →: , definidas por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) .

;;;;HildaJuliof

TaniaMariofMaríaMaríafJulioHildafMaríaTaniaf=

====

( ) ( ) ( ) ( )( ) MaríaJuliog

HildaMariogTaniaMaríagTaniaHildagMarioTaniag=

==== ;;;;Entonces

una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( ) ( ) JulioMariogf = b) g es inyectiva f∨ es sobreyectiva

c) f es inyectiva f∨ es función. d) ( ) ( ) MaríaHildafg = e) ( ) ( ) TaniaTaniafg =

13. Dado el conjunto 5,4,3,2,1=A y las funciones AAf →: y :g AA → , tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35;24;13;12;41

25;14;33;52;31==========

gggggfffff

¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) ( )( ) 32 =gf b) ( )( ) 15 =fg c) f es inyectiva ó g es inyectiva.

d) ( )( ) 31 =gf ó ( )( ) 33 =gf e) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 112154 =∨=∨= fggffg

14. Dado el conjunto dcbaA ,,,= y las funciones biyectivas AAf →: y AAg →: , donde ),(),,(),,(),,( adbccbdaf = y ( ) ( ) ( ) ( ) adbccbdafg ,,,,,,,=

entonces la FUNCIÓN g es: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ddccbbaag ,,,,,,,= b) ( ) ( ) ( ) ( ) addccbdag ,,,,,,,= c) ( ) ( ) ( ) ( ) addccbbag ,,,,,,,= d) ( ) ( ) ( ) ( ) bdacdbcag ,,,,,,,= e) ( ) ( ) ( ) ( ) bdccdbaag ,,,,,,,=

15. Sean A y B conjuntos no vacíos, tal que: γβα= ,,A y ΨΩΣ= ,,B y BAf →: y

ABg →: dos funciones, tales que: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) α=βΩ=γβ=Σ

ΣγΨβΩα=− fggg

f

,,

,,,,,1

entonces, es FALSO que: a) ( ) ( ) ( ) αΨγΩβΣ= ,,,,,g b) f y g son funciones biyectivas.

c) gf sí existe. d) ( )( ) γ=αfg e) ( ) Ω=α−1g


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Miscelaneos 1. Sea el conjunto 5,4,3,2,1=A y las funciones f y g de A en A tales que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,5,5,4,5,3,5,2,5,1=f y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,5,4,4,3,3,2,2,1,1=g . Entonces es FALSO que: a) ( ) ggf = b) ( ) 5=gfrg c) ( ) fgf = d) ( ) ( )fggf = e) ( ) 5=fgrg

2. Se tiene el conjunto uoieaA ,,,,= y la función f definida de A en A , tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uuiooiaeeaf ,,,,,,,,,= , entonces es FALSO que: a) ( ) fff es inyectiva. b) ( )ff es la función identidad. c) ( ) ffff ≠ d) f es inyectiva. e) f es sobreyectiva.

3. Sean los conjuntos 8/ ≤∧∈= nINnnA , 4/ ≤∧∈= nINnnB y sea f una función de A en

B ; entonces es FALSO que: a) f no puede ser sobreyectiva. b) f no puede ser biyectiva. c) f no puede ser inyectiva. d) f no tiene inversa. e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son verdaderas.

4. Sean A y B dos conjuntos tales que: dcbaA ,,,= y feB ,= , entonces es VERDAD que:

a) ( ) BAdb ×∈, b) ( ) ABaa ×∈, c) ( ) BAcc ×∈, d) ( ) BAea ×∈, e) ( ) ABea ×∈,

5. Sean los conjuntos 4,3,2,1=A y cbaB ,,= y las relaciones BAR :1 y BAR :2 tales

que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bccaaR ,4,,3,,2,,3,,11 = y ( ) ( ) ( ) ( ) aaccR ,3,,1,,2,,42 = . Entonces es VERDAD que: a) 1R y 2R son funciones.

b) ( ) 321 =∩ RRN

c) ( )21 RR − es una función

d) Si BA×=Re entonces 212 RRR C ⊂∩

e) BARR ×=∪ 21 6. Sean los conjuntos ,,,, ΘΠΩ∆=A y ∞◊∑= ,,B y las funciones ABf : y BAg :

tales que ( ) ( ) ( ) ∆∞Π◊Ω∑= ,,,,,f y ( ) ( ) ( ) ( ) ∞Θ◊Ω∞Π∑∆= ,,,,,,,g

Entonces la FUNCIÓN fg es:

a) ( ) ( ) ( ) ∞∑◊∞∑◊= ,,,,,fg b) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ΘΠΩ∆ΠΩ∆= ,,,,,,,fg c) ( ) ( ) ( ) ∑∞∞◊◊∑= ,,,,,fg d) ( ) ( ) ( ) ( ) Θ∆ΩΠΠ∆∆Ω= ,,,,,,,fg e) No es posible construir fg


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7. Sean los conjuntos 3,2,1=A y dcbaB ,,,= y las funciones BAf : y ABg : tales que af =)1( , bf =)2( , cf =)3(

2)( =ag , 2)( =bg , 2)( =cg y 3)( =dg Entonces es FALSO que:

a) f es inyectiva o g es sobreyectiva. b) Bfrg ⊆ c) Si g es sobreyectiva entonces f es inyectiva. d) Agrg ⊆

e) gf es biyectiva 8. Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:

a) Si ( ) 3=AN , ( ) 2=BN y ( ) 3=CN , entonces ( ) 182=×× CBAN b) Si ( ) 3=AN y ( ) 2=BN , entonces ( ) 32)( =× BAPN c) Si ( ) 3=AN , entonces ( ) 4)( =APN d) Si ( ) 2=AN , entonces ( ) 8)( =APN

e) Si ( ) 3=AN , ( ) 3=BN y ( ) 2=CN entonces ( )( ) 182=×× CBAPN 9. Sean los conjuntos uoieaA ,,,,= y rlnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →:

tales que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) murolinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ) irelanamg ,,,,,,,=

Entonces es FALSO que: a) Si es posible construir gf . b) ( )( ) mmgf = c) ( )( ) mnggf = d) f y g no tienen inversa. e) f no es una función inyectiva.

10. Sean los conjuntos 3,2,1=A y 6,4,2=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de BA →

es una FUNCIÓN? a) xyBAyxr =×∈= /),(1

b) 02/),(2 =−×∈= yxBAyxr

c) xyBAyxr >×∈= /),(3

d) 1/),( 224 +−=×∈= xyBAyxr

e) xyBAyxr 3/),(5 =×∈= 11. Dados los conjuntos 12,9,6,3=A y 6,5,4,3,2,1=B . Indique ¿cuál de las siguientes relaciones de A

en B es una FUNCIÓN de A en B ?

a) 25 /),( xyBAyxr =×∈=

b) xyBAyxr >×∈= /),(2 c) 9/),(3 =×∈= xBAyxr

d)

=×∈=

32/),(4

xyBAyxr

e) 3/),(1 =×∈= yBAyxr 12. Sean los conjuntos 4,3,2,1=A , dcbaB ,,,= y 3,2,1=C , las funciones BAf →: y

CBg →: tales que ( ) ( ) ( ) ( ) dacbf ,4,,3,,2,,1= y

( ) ( ) ( ) ( ) 3,,2,,2,,1, dcbag = entonces es FALSO que:

a) ( )( ) ddff =−1 b) ( ) ( ) ( ) ( ) adcccbbagf ,,,,,,,=

c) ( ) 1−gf no existe. d) ( ) 4,3,2,1=fgDom


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e) ( )( ) 3=aggf 13. Dados los conjuntos A = ♥, ♠, ♦ y B = α, β, δ, γ y las funciones f de A en B y g de B en A, tales que:

f = (♥, β), (♠, α), (♦, γ) y g = (α, ♥), (β,♠), (δ,♦),(γ,♦) Entonces es VERDAD que:

a) g no es sobreyectiva b) f es una función biyectiva c) g es una función biyectiva d) f es inyectiva y g es sobreyectiva. e) f no es sobreyectiva y g es inyectiva

14. Sean los conjuntos zyxDytsrCBcbaA ,,,,,3,2,1,,, ==== . Y sean f: A B, g :B C y h: C D ,funciones tales que: Entonces es VERDAD que:

a) ( )( ) ybhgf = b) No es posible construir gf c) hg = (1, y), (2, x), (3, z) d) La función inversa de hf existe e) ( )( ) rcfg =

15. Si se dan los conjuntos 7,6,5,4,3,2,1 === CBA , entonces es VERDAD que: a) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )4,3,1 . b) El producto cartesiano CA× contiene a la terna ( )6,3,1 . c) El producto cartesiano CB× contiene a la terna ( )4,5 . d) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )2,4,7 . e) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )7,4,2 .

16. Sean los conjuntos A =2,3,4 y B =1,2,3,4,5,6,8 y sean f : A → B y g : B → A funciones tales que:

( ) abBAbaf 2/, =×∈=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g entonces es FALSO que: a) g es sobreyectiva b) f es inyectiva c) ( )( ) 43 =fg d) ( )( ) 33 =gf e) ( )( ) 62 =fgf

17. Sean A y B conjuntos tales que: 4,3,2,1=A y cbaB ,,= y sean las relaciones T y S : BA tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) baccaT ,4,,3,,3,,2,,1= y ( ) ( ) ( ) ( ) aaccS ,3,,1,,2,,4= Entonces es VERDAD que: a) T y S son funciones. b) BAST ×=∪ . c) T-S es una función. d) T es una función y S no lo es. e) S es función y T no lo es.

C

D


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18. Sean los conjuntos uoieaA ,,,,= y srnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →: tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) susorinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ) isorenamg ,,,,,,,= Entonces es VERDAD que: a) f y g son sobreyectivas. b) ( )( ) ssgf = c) ( )( ) aofg = d) La función ( )gf es inyectiva. e) ( ) BfgDom =

Cap 4 relaciones y funciones

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