CAP-4 TOPOGRAFÍA

8/7/2019 CAP-4 TOPOGRAFA

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CAPITULO 4

MEDICIN DE

ANGULOS4. Medicin de ngulos4.1. Lmites del campo topogrfico planimtrico4.2.

Medicin de ngulos horizontales por medio de distancias horizontales4.2.1. Por la ley del coseno

4.2.2. Por construccin de tringulo issceles4.3. Medicin de ngulos con teodolitos

4.3.1. Condiciones de exactitud4.3.1.1. El eje vertical [VV] debe coincidir con la vertical4.3.1.2. El eje horizontal [HH] debe ser perpendicular a [VV]4.3.1.3. El eje de colimacin [CC] debe ser perpendicular a [HH]4.3.1.4. El eje vertical [VV] debe pasar por el centro del crculo

horizontal [O]

4.3.1.5. El eje de colimacin [CC] debe cortar a [VV]4.3.1.6. Intervalos de los crculos graduados con igual amplitud

4.3.1.6.1 Mtodo de repeticin

4.3.1.6.2 Mtodo de reiteracin4.3.1.7. El eje de colimacin [CC] y el eje del nivel trico deben

ser paralelos

4.4. Sistemas de lectura de crculos graduados4.4.1. Sistema de Nonio o Vernier4.4.2. Otros sistemas de lectura

Problemas propuestos

4-14-2

4-34-3

4-44-6

4-6

4-64-8

4-10

4-11

4-124-14

4-15

4-17

4-18

4-20

4-204-22

4-23


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Leonardo Casanova M. Medicin de ngulos

4-1

4. MEDICIN DE NGULOS

La topografa puede, en forma muy general, ser clasificada en planimtrica y altimtrica.

Planimtricamente un punto de la superficie terrestre puede ser ubicado sobre el plano horizontal

por medio de sus coordenadas polares al medir el ngulo horizontal y la distancia (figura 1.3). Laubicacin altimtrica se determina por medio del ngulo vertical.

Durante siglos, el hombre ha ideado diferentes instrumentos para la medicin simultnea dengulos horizontales y verticales, siendo quizs la aparicin del POLIMETRUM1 (figura 4.1),diseado por el clrigo Martn Waldseemler alrededor del ao 1.512, el primer prototipo de losteodolitos actuales.

Tambin se le atribuye al matemtico ingls Leonard Digges la invencin en la segunda mitad delsiglo XVI del primer instrumento de medida de ngulos predecesor del teodolito.

En el presente captulo estudiaremos los instrumentos y mtodos utilizados en la medicinangular.

Figura 4.1. El Polimetrum

1 Bedini Silvio A. (1991). Publicado en la portada de la Revista Profesional Surveyor, Vol. 11, No. 5,.


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4-2

4.1. Lmites del Campo Topogrfico PlanimtricoLos ngulos horizontales pueden ser medidos directamente con brjula o teodolito, o en formaindirecta por medio de la medicin de distancias horizontales.

Como los ngulos horizontales se miden sobre el plano horizontal, es necesario determinar hastaque punto la Tierra puede ser considerada como plana, sin que el error que se cometa en lamedicin del ngulo sea mayor que la precisin del equipo utilizado para la medicin del ngulo.

Figura 4.2. El tringulo esfrico

En un tringulo esfrico (figura 4.2.a) se cumple

E

+ E

+ E

= 180 + EE (4.1)

en donde el exceso esfrico EE viene dado por

2

"265.206"

R

AEE

E

= (4.2)

siendo:

AE= rea del tringulo esfricoR = radio de la esfera terrestre = 6.367 km

Un tringulo plano equivalente al tringulo esfrico, con un rea AP, se puede obtenercorrigiendo los ngulos del tringulo esfrico con un valor igual a

3

""

EECEE

= (4.3)

sustituyendo (4.2) en (4.3)

E

E

ER

RR

L

L

L

L

LL

H

a. Tringulo esfrico a. Tringulo plano


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4-3

23

"265.206"

R

AC

p

EE = (4.4)

en dondeAp = rea del tringulo plano equivalente

Considerando la figura 4.2.b= 60tan

4

2LA p (4.5)

y sustituyendo (4.5) en (4.4) tenemos:

2

2

12

60tan"265.206"

R

xLCEE

(4.6)

Resolviendo la (4.6) para distintos valores de L tenemos

Tabla 4.1Valores de CEE

L (km) 25 30 35 40CEE 0,46 0,66 0,90 1,18

Considerando que los ngulos horizontales pueden ser medidos con equipos con apreciaciones de1, y recordando el lmite del campo topogrfico para la medicin de distancias (determinado enel captulo 3), podemos establecer un campo topogrfico planimtrico de 25 km.

Habiendo establecido los lmites del campo topogrfico, tanto planimtrico como para lamedicin de distancias, podemos definir a la topografa que se realiza dentro de estos lmites,considerando la Tierra como plana, como topografa plana.

4.2. Medicin de ngulos Horizontales por Medio de Distancias Horizontales4.2.1. Por la Ley del CosenoLos ngulos de un tringulo oblicuo como el mostrado en la figura 4.3, pueden ser determinadosen funcin de sus lados mediante la aplicacin de la Ley del Coseno

Figura 4.3. Clculo del ngulo en funcin de los lados. Ley del coseno


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4-4

Ejemplo 4.1

Con las distancias horizontales indicada en la figura E.4.1. Calcule los ngulos en los vrtices 1,2, .., 6

Figura E.4.1

Solucin

Para facilitar los clculos requeridos es recomendado la tabulacin de los datos en la forma quese indica.

Tabla TE4.1

LADOSTRINGULO VRTICE NGULO

ADYACENTES OPUESTONGULO

HORIZONTAL

A 1 72,258 115,471 98,176 574210,4B 2 98,176 72,258 115,471 834929,2ABDD 3 115,471 98,176 72,258 382820,4

1795960B 4 107,521 98,176 87,832 501810,3C 5 87,832 107,521 98,176 591918,9BCDD 6 98,176 87,832 107,521 702230,8

1795960

4.2.2. Por Construccin de Tringulo IsscelesOtro procedimiento de fcil aplicacin es la construccin de un tringulo issceles en el vrticedel ngulo a medir (figura 4.4), trazando un arco de radio conveniente, interceptando los ladosadyacentes en los puntos b y c, luego se mide la cuerda b, c. A partir de la figura 4.4. se tiene

72,258

115,471

98,176

107,521

87,832

2

3

45

6A

B

C

D

1


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4-5

A

b

c

B

C

10m

25,00

m

10 m

A

20,0

0m

20,00m

b

c

19,30m

1

A

L

L

c

b

=

L

bcarcsen

22 (4.8)

Figura 4.4

Ejemplo 4.2

Sobre el vrtice A de la figura E.4.2., se decidi efectuar lamedicin del ngulo por el mtodo del tringulo issceles,

obteniendo los datos que se muestran en la figura E.4.2.Calcule el valor del ngulo 1.

Figura E.4.2.

Solucin

Reemplazando los datos de la figura E4.2 en la ecuacin (4.8) tenemos:

69762,57202

300,192 =

=x

arcsen

= 574151,4

Ejemplo 4.3

Calcule los elementos necesarios para replantear el puntoB de la figura E4.3. conociendo la alineacin AC, y ladistancia AB.

Solucin:

El replanteo se puede calcular mediante la aplicacin dela (4.8) asumiendo L = 10 m y calculando bc.

Figura E. 4.3.


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4-6

=L

bcarcsen

22

==2

"20'213520

22 senLsenbc

bc = 6,073 m

Parados en el vrtice A, con una cinta indicando una lectura de 10 m, y en c, con una cintaindicando una lectura de 6,073 m; localizamos, por interseccin, el punto b. Como el punto bdebe caer dentro de la alineacin AB, localizamos B a una distancia de 25 m, a partir de A sobrela prolongacin de la alineacin Ab, o midiendo 15 m a partir de b sobre la misma alineacin.

4.3. Medicin de ngulos con TeodolitosPara el estudio del presente captulo, destinado a la medicin de ngulos con teodolitos, es

necesario, en primer lugar, determinar las condiciones que se deben cumplir para la medicinexacta de los ngulos.

4.3.1. Condiciones de ExactitudPara facilitar el estudio de las condiciones de exactitud de un teodolito nos referiremos a larepresentacin esquemtica de los ejes de un teodolito de la figura 2.22. Para medircorrectamente los ngulos horizontales se debe cumplir

4.3.1.1. El eje vertical (VV) o eje de rotacin de la alidada debe coincidir con la verticaldel lugar determinado por la direccin de la plomada. Esta condicin se verifica en el momento

de puesta en estacin del teodolito mediante el empleo del nivel trico en la base del teodolito.A continuacin se describe el procedimiento de campo para la puesta en estacin de un teodolito.

Puesta en Estacin de un Teodolito

1. Coloque el instrumento sobre la estacin tratando que la base del trpode est lo msnivelada posible, y la plomada lo ms cerca posible del punto de estacin. Debe tenersecuidado de extender las patas del trpode hasta una altura conveniente para que el procesode medicin se haga en forma cmoda y rpida.

2. Fije una de las patas del trpode firmemente al terreno y levantando las otras dos, mientrasobserva la plomada, muvalos lentamente hasta que el retculo de la plomada ptica

coincida exactamente con el punto de estacin.3. Fije las patas del teodolito firmemente al terreno y actuando sobre los tornillos nivelantesde la base del teodolito [B]*, vuelva a centrar la plomada sobre la estacin.

4. Deslizando las patas extensibles del trpode (figura 4.5), centre la burbuja del nivel esfricode la base del teodolito [C].

*En el presente captulo, al mencionar algunas de las partes de un teodolito, nos referiremos a la representacin

esquemtica de un teodolito de la figura 2.23.


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4-7

5. Compruebe que la plomada aun coincida con el punto de estacin. De ser necesario, aflojeun poco el tornillo de sujecin del trpode a la base del teodolito y desplace suavemente labase hasta volver a lograr la coincidencia. Ajuste nuevamente el tornillo de sujecin.

Tornillo de sujecin

Tornillos de ajuste de lasPatas extensibles del trpode

Figura 4.5. Trpode con Patas Extensibles

6. Con los tornillos nivelantes [B], vuelva a centrar la burbuja del nivel esfrico.7. Proceda a nivelar el nivel trico [L], alineando el eje del nivel paralelo a dos tornillos

nivelantes [B] tal y como se muestra en la figura 4.6.a.

Figura 4.6. Centrado del nivel trico

8. Centre la burbuja del nivel trico con rotacin opuesta de los tornillos nivelantes paralelos.9. Rote la alidada 90 y centre nuevamente la burbuja con el tornillo restante tal y como se

muestra en la figura 4.6.b.10. Repita los pasos 7, 8, y 9 hasta que la burbuja quede centrada en cualquier posicin.

TN TN

TN

TN TN

TN

90

a b


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4-8

Anteojo

Circulo Vertical

H

Eje de Rotacinde la Alidada

V

H

TC TC

V

Eje de Rotacindel crculo vertical

Si para cualquier posicin de la alidada no se logra el centrado de la burbuja, se debe proceder ala rectificacin del nivel trico siguiendo el procedimiento descrito por Costantini1, Trutman2.

4.3.1.2 El eje horizontal [HH] o eje de rotacin del crculo vertical debe ser perpendicular aleje vertical [VV].

Si esta condicin no se cumple ocurrir un error deinclinacin. Aunque en los instrumentos modernos estacondicin viene garantizada por el fabricante (por undeterminado nmero de aos de servicio del instrumentoen condiciones normales de funcionamiento), esconveniente identificar la ocurrencia del error deinclinacin a fin de determinar la necesidad decorreccin del instrumento.

La ocurrencia del error de inclinacin se verifica una vezestacionado y nivelado el teodolito, colimando un puntoP muy alto y anotando la lectura al crculo horizontalL1. Luego se rota el anteojo alrededor de HH (vuelta decampana) y se colima nuevamente el punto P anotando la

Figura 4.7. lectura L2 (figura 4.8).

Figura 4.8. Verificacin del error de inclinacin

Se debe verificar que L2 L1 = 180. De no cumplirse esta condicin, el error de inclinacinvendr dado por:

( )

2

18012

=

LL

Ei (4.9)

En caso de comprobarse la presencia de un error de inclinacin apreciable, ste se puede corregirimponiendo sobre la ltima lectura con el tornillo de coincidencia del crculo horizontal [I] lalectura corregida.

1Costantini, W. (1977), Topografa I. Facultad de Ingeniera. Universidad de Los Andes. Mrida pp- 4-6, 4-8.

2Trutman, O. (1976). El Teodolito y su Empleo. Wild Heerbrugg, Suiza. pp. 19, 21.

P

P'e

P"

P'

a. Posicin directa b. Vuelta de campana c. Posicin invertida

Eje de

Crculo vertical

CrculohorizontalE

V

V V

V

V

V

C

C

C

P C

C

P C

P'

P"eProy

eccin

deCC

E E

colimacin


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4-9

Al efectuar esta operacin, el punto P se desplazar una cantidad igual a la correccin angular,siendo necesario colimar nuevamente el punto P por medio de los tornillos de correccin (TC enfigura 4.7).

Ejemplo 4.4

Se desea comprobar si existe la presencia de un error de inclinacin que afecte la precisin en lamedida de ngulo para lo cual se estacion y nivel un teodolito; siguiendo el procedimientodescrito anteriormente se anotaron las siguientes lecturas:

Pos, Directa L1 = 022235Pos, Conjugada L2 = 1822308

Solucin:

Aplicando la ecuacin (4.9) tendremos:

( )"16

2

180"35'2202"08'23182+=

=E

E = + 16

La correccin de la lectura L2 ser C = -16 y la lectura L2 debe ser

L2 = (1822308) (00016) = 1822252

Actuando sobre el tornillo de coincidencia del crculo horizontal [I], se impone la lectura L2corregida, con lo cual el retculo vertical se habr desplazado de la seal (figura 4.9.b).Finalmente, haciendo uso de los tornillos de correccin, colimamos nuevamente el punto P(figura 4.9.c).

Figura 4.9. Correccin del error de inclinacin

Eje de Rotacindel crculo vertical

V

TCTC

H

V

Eje de Rotacinde la Alidada

H

Circulo Vertical

Anteojo

p

TC

H

V

V

TC

p H

V

TCTC

H

V

Hp

a. Condicin inicial b. Despues de correccion contornillo de coincidencia tornillo de correccin

c. Despues de correccion con

Tornillo de correccin

L2=18223'08" L2=18222'52" L2=18222'52"


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4-10

TCTC

4.3.1.3 El eje de colimacin [CC] debe ser perpendicular al eje horizontal [HH].

De no cumplirse esta condicin, aparecer un error instrumental denominado error de colimacin,que afectar la medicin de los ngulos horizontales. Al igual que en el caso anterior, estacondicin viene garantizada por el fabricante.

Este error se verifica de igual forma que el error deinclinacin, con la diferencia de que el punto Pdebe estar ubicado aproximadamente en elhorizonte del instrumento y la correccin se hacepor medio de los tornillos de correccin del retculo(figura 4.10).

Figura 4.10. Tornillos de correccin del error de colimacin

Ejemplo 4.5

Se desea comprobar la ocurrencia del error de colimacin de un teodolito, para lo cual, luego deseguir el procedimiento descrito, se obtuvieron los siguientes datos:

L1 = 432218L2 = 2232230

Calcule el error de colimacin e indique el proceso de ajuste necesario.

Solucin

Aplicando la ecuacin (4.9)

( )"06

2

180"18'2243"30'22223+=

=E

La correccin a la lectura L2 ser C = -06

Luego L2 debe ser

L2 = 2232230 00006 = 2232224L2 = 2232224

Actuando sobre el tornillo de coincidencia del crculo horizontal [I] se impone la lectura L2, conlo cual, el retculo vertical se habr se habr desplazado de la seal (figura 4.11). Finalmente,haciendo uso de los tornillos de correccin del retculo, colimamos nuevamente el punto P.


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4-11

Figura 4.11 Correccin del error de colimacin

4.3.1.4. El eje vertical [VV] debe pasar por el centro del crculo horizontal [O].

De no cumplirse esta condicin, la medicin de los ngulos horizontales quedar afectada por elerror de excentricidad de la alidada, el cual para excentricidades de 1/100 mm puede inducirerrores angulares de unos 40.

Debido a la importancia de este error, los fabricantes de instrumentos colocan, para las lecturas alcrculo horizontal, dos ndices de lectura diametralmente opuestos, ya que se demuestra3 que elerror angular de excentricidad de la alidada se elimina tomando como valor del ngulo medido

el promedio de las lecturas a los ndices diametralmente opuestos del crculo horizontal.

2BA

+= (4.10)

= ngulo medido libre del error de excentricidad de la alidadaA = ngulo medido en el ndice AB = ngulo medido en el ndice B, diametralmente opuesto al ndice A.

Actualmente, a fin de eliminar el error de excentricidad, la mayora de los teodolitos consistemas pticos de lectura proyectan, sobre el ocular de lectura, el promedio de las lecturascorrespondientes a dos sectores del crculo diametralmente opuestos.

La figura 4.12 muestra ejemplos de sistemas de doble lectura

3Costantini, W. (1977). Op. cit. P 4-15, 4-16.

TC

PP

P


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4-12

Figura 4.12. Sistemas de doble lectura para eliminar el error de excentricidad de la alidada

4.3.1.5. El eje de colimacin [C.C] debe cortar al eje vertical [VV]

De no cumplirse esta condicin, la excentricidad existente generar el error angular deexcentricidad del eje de colimacin, como se muestra en la figura 4.13.

Figura 4.13. Error de excentricidad del eje de colimacin

En la figura 4.13.a es el ngulo horizontal medido en campo, afectado por el error deexcentricidad del eje de colimacin, y representa el ngulo horizontal libre del error deexcentricidad del eje de colimacin. Por relacin del tringulo en la figura 4.13.a, tenemos.

= + - (4.11)

95 940 10 20 30 40 50 60

30405060 01020

0 302010 605040

102 103

257 256

360

V: 954"

H: 103 2'40"25657'20"

AB

e

BA

e

Crculo deexcentricidad

Crculo horizontal

a. Posicin directa b. Posicin invertida

Ocular de lectura Ocular de lectura


15/28


4-13

Si hacemos rotar el eje de colimacin 180 alrededor de (HH), es decir, damos vuelta de campanapara colocar el anteojo en posicin conjugada (figura 4.13.b), tendremos por procedimientoanlogo

= - + (4.12)

y sumando (4.11) y (4.12) nos queda:

2

"'

+= (4.13)

en donde y son las lecturas en las posiciones conjugadas del anteojo.

La ecuacin (4.13) representa la ley de Bessel y nos indica que el promedio de los ngulosobtenidos en las posiciones conjugadas del anteojo nos da el valor del ngulo horizontal libre

del error de excentricidad del eje de colimacin.

Ejemplo 4.6

Los datos de la figura E4-6 corresponden a una serie de lecturas realizadas a los ndices A y B deun teodolito Keuffel en las dos posiciones conjugadas del anteojo. Calcule el ngulo en A librede los errores de excentricidad de la alidada y del eje de colimacin.

Figura E4-6

Solucin

El ngulo libre del error de excentricidad de la alidada vendr dado por el promedio de lasdiferencias de lecturas a los ndices A y B en posicin directa.

= 374800

Efectuando las mismas operaciones para la posicin invertida (conjugada) tenemos


16/28


4-14

90270

Indice ASector 1

Indice BSector2

Indice ASector 3

Indice BSector 4

180

360 0

= 374730

que representa el valor del ngulo libre del error de excentricidad de la alidada en posicinconjugada.

El valor del ngulo libre del error de excentricidad del eje de colimacin vendr dado por elpromedio entre y .

= 374745

4.3.1.6. Intervalos de los crculos graduados con igual amplitud.

Este error instrumental, denominado error de graduacin, se reduce al mnimo midiendo elngulo con distintos sectores del crculo, tomando como valor probable la media de los ngulosmedidos.

A fin de garantizar que la medicin del ngulo sea realizada en todos los sectores del crculo,calculamos el nmero de sectores requeridos aplicando la ecuacin (4.14).

NS = 180/ (4.14)

En donde:

NS = nmero de sectores requeridos= valor aproximado del ngulo a medir

Ntese que utilizamos 180 en lugar de los 360 que tiene un crculo; esto debido a que los

teodolitos poseen doble ndice de lectura diametralmente opuesto, es decir, mientras el ndice Agira de 0 a 180, el ndice B gira de 180 a 360.

Ejemplo 4.7

Determine el nmero de sectores en que hay que dividir un crculo para medir un ngulo deaproximadamente 45, a fin de eliminar el error de graduacin.

SolucinAplicando la ecuacin (4.14)

NS = 180/45 = 4En la prctica operativa, la medicin de los ngulos sobre losdiferentes sectores del crculo, determinados por la ecuacin(4.14) se realiza bien sea por el mtodo de reiteracin o porel mtodo de repeticin, dependiendo del instrumentodisponible.

Figura E4-7


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4-15

A

C

BLi=000'00"

Ld=4312'17"

4.3.1.6.1. Mtodo de repeticin.

En la aplicacin de este mtodo se utilizan teodolitos repetidores, o de doble eje, en los cuales elcrculo horizontal puede girar alrededor del eje vertical junto con la alidada (figura 2.23.a).

Esta caracterstica hace posible sumar las n mediciones de un ngulo con el mismo aparato,tomando como valor probable la ensima parte de la suma.

La ecuacin (4.15) representa la frmula general para la determinacin de un ngulo por elmtodo de repeticin.

N

LnL if +=)360(

(4.15)

siendo:

Lf= lectura final al crculo horizontal (a la derecha)Li = lectura inicial al crculo horizontal (a la izquierda)n = nmero de veces que el ndice de lectura ha pasado por el cero de la graduacinN = nmero de repeticiones (N = NS)

Generalmente, en la prctica operativa, se impone una lectura inicial (Li) igual a cero.

En el ejemplo 4-8 se explicar el procedimiento de campo para medir ngulos por repeticin.

Ejemplo 4.8

Medir por el mtodo de repeticiones el ngulo

de la figura E4-8.

a) Estacionados en el vrtice A de la figura E4-8,colimamos el punto B e imponemos la lectura Li =00000 en el crculo horizontal. En este momentoestn apretados los tornillos de fijacin [E] y [H].

b) Se afloja el tornillo de fijacin del crculo a laalidada [H] y se gira en sentido horario hasta lograruna colimacin aproximada del punto C, se ajusta[H] y con el tornillo de coincidencia [I] se completala colimacin a C; completando as la primerarepeticin.

Figura E4-8c) Se anota la lectura en C y se calcula el nmero de repeticiones requeridas.

Lc = 431217N = NS = 180/43 4 rep.Faltan por realizar tres repeticiones para lo cual procedemos de la siguiente manera:

d) Se afloja el tornillo de fijacin del crculo a la base [E] y se colima nuevamente el puntoB lo ms cerca posible, se aprieta B y se afina la colimacin con el tornillo decoincidencia [F].


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4-16

e) Se afloja el tornillo [H] y se colima nuevamente al punto C lo ms cercano posible, seaprieta [H] y se termina la colimacin con [I]. Se completa as la segunda repeticin.

f) Repetimos d y e hasta completar la cuarta repeticin, anotando la lectura final al crculohorizontal.Lf= 1724920

El ngulo en ser:

"20'12434

"20'49172=

=

Ntese que solamente es necesario anotar las lecturas al crculo al final de la primera y ltimarepeticin.

Un modelo de libreta de campo para la aplicacin del mtodo de repeticin podra ser el siguiente

Est. PV Li Lf N Angulopromedio

AB

C

00000

431217 17249204 431220

Ejemplo 4.9

Los datos de la libreta de campo, que se reproducen a continuacin, corresponden a una serie de12 repeticiones efectuadas para medir el ngulo en A libre de los errores de excentricidad del ejede colimacin y de graduacin del crculo.

Las primeras seis repeticiones se hicieron en posicin directa. Al final de la sexta repeticin se

dio vuelta de campana colimando nuevamente el punto B, siguiendo el paso e del ejemploanterior.

Las siguientes seis repeticiones se hicieron con el anteojo en posicin conjugada.

Calcule el ngulo en A.

Est. PV Li Lf N/n Angulopromedio

AB

C

00000

351520 27060012/1

Solucin

Como se puede observar en la lectura final, el crculo horizontal debe haber completado, almenos una vez, los 360 de la graduacin.

El valor de n puede ser calculado de la siguiente manera:


19/28


4-17

( )

+=

360IBiBic LLLNEntn (4.16)

donde:

LiB = lectura al inicio de la primera repeticinLiC= lectura al final de la primera repeticin

Sustituyendo valores en (4.16) tenemos,

( )1

360

"00'0000"20'153212=

+= Entn

aplicando la ecuacin (4.15)

"30'153212

03601"00'0627=

+=

= 321530

4.3.1.6.2. Mtodo de Reiteracin

El mtodo de reiteracin se utiliza en aquellos teodolitos con un solo eje de rotacin (figura2.23.b), en los cuales el crculo est siempre fijo a la base, imposibilitando la suma de ngulos

horizontales con el mismo aparato.

En este tipo de teodolitos existe un tornillo de corrimiento horizontal [G] que permitepreestablecer, en forma aproximada, una determinada lectura.

En este mtodo, al igual que en el mtodo de repeticin, debemos garantizar la medicin delngulo sobre el nmero de sectores determinado por la ecuacin (4.14). El ngulo , libre delerror de graduacin del crculo, ser el promedio de los ngulos medidos en cada uno de losdiferentes sectores.

El ejemplo 4.10 nos describe el procedimiento de campo empleado en la medicin de un ngulo

horizontal por el mtodo de reiteracin.


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4-18

Ejemplo 4.10

Determinar por el mtodo de reiteracin el ngulo de la figura E4.10.

a) Estacionados en A colimamos al punto B y ajustamos eltornillo de fijacin de la alidada a la base [H]. Con eltornillo de corrimiento [G], imponemos una lecturacercana cero en el crculo horizontal. LB = 02740b) Soltamos el tornillo [H] y girando en sentido horariocolimamos el punto C. Con el tornillo de coincidencia [I]afinamos la colimacin a C. Anotamos la lectura alcrculo horizontal en C. Lc = 511320c) El valor de para la primera repeticin vendr dadopor la diferencia entre las lecturas en B y C.

Figura E4.10= 511320 02740 = 504540

d) Aplicando la ecuacin (4.14), calculamos el nmero de reiteraciones requeridas para cubrirtodos los sectores del crculo.

N = NS = 180/50 4 repe) El incremento para cada reiteracin ser:

INC = 180/N45La segunda, tercera y cuarta reiteracin deben comenzar con lecturas en B aproximadas a 45,90 y 135 respectivamente.

f) Repetimos los pasos a, b y c hasta completar las reiteraciones requeridas, teniendo en cuentalas nuevas lecturas hacia B y C.g) Finalmente, el ngulo libre del error de graduacin del crculo horizontal vendr dado por elpromedio de los ngulos medidos en cada una de las reiteraciones realizadas.

Mtodo de ReiteracinEst. Reit. PV Lecturas prom

1B

C

02740

511320504540

2B

C

451830

960420504550

3B

C

901840

1410410504530

A

4 B

C

1363215

1871750504535

504538,75

2030235

4.3.1.7. El eje de colimacin [CC] y el eje del nivel trico del crculo vertical deben serparalelos. Al no cumplirse esta condicin, se genera el error de ndice del crculovertical.


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4-19

l"B

L'B

Mira vertical

D

BA

e

e

NT

Visualenpos.inv.

Visualenpos

.dir.

Esta condicin se puede comprobar como se explica a continuacin:

a) Estacionamos y nivelamos un teodolito en un punto dado (figura 4.14).b) Luego, con los tornillos de fijacin [O] y de coincidencia [P] del crculo vertical, se coloca

el eje de colimacin en posicin horizontal.c) Se comprueba que la burbuja del nivel trico del crculo vertical este calada.d) Se coloca una mira vertical en el punto B, se toma la lectura al hilo medio en B.

Obviamente, si la visual est desplazada un ngulo con respecto a la horizontaltendremos que LB = LB e

e) Damos vuelta de campana ycolimamos el punto B en posicininvertida. Anotamos la lectura delhilo medio B. De estar descorregidoel instrumento, la inclinacin del ejede colimacin ser igual pero ensentido contrario a la visual enposicin directa, luegoLB = LB + e.

f) Igualando las dos lecturas previastenemos,

2

"' BB LLe

= (4.17)

Figura 4.14siendo:

e = error lineal ndice del crculo vertical para la distancia D.LB = lectura a la mira en posicin directaLB = lectura a la mira en posicin invertida

g) Si en vez de igualar las lecturas, sumamos nos queda:

2

"' BBB

LLL

+= (4.18)

La ecuacin (4.18) nos indica que el promedio de las lecturas al crculo vertical en las dosposiciones conjugadas del anteojo nos da el valor del ngulo vertical, libre del error del ndice

de lectura del crculo vertical.Existen teodolitos ms sofisticados que utilizan un compensador vertical automtico, eliminandoel uso del nivel trico del crculo vertical.

En caso de ser necesario ajustar el instrumento para eliminar el error del ndice de lectura delcrculo vertical, se procede como se indica a continuacin:


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4-20

a) Actuando sobre el tornillo de coincidencia [P] del crculo vertical imponemos la lecturaLB = LB + e, con lo cual la burbuja del nivel trico del crculo vertical quedardescentrada.

b) Centramos nuevamente la burbuja actuando sobre tornillos de correccin del nivel trico.

Por ser un procedimiento realizado en campo, es necesario repetir el proceso de comprobacin yajuste hasta comprobar la eliminacin del error de ndice.

4.4 Sistemas de Lectura de Crculos Graduados

4.4.1. Sistema de Nonio o Vernier

Uno de los primeros mtodos utilizados para fraccionar y leer las graduaciones de un crculo conmayor precisin es el mtodo de nonio o Vernier. Este mtodo, aunque ha venido siendodesplazado por mtodos ms modernos, precisos y rpidos, an es utilizado en equiposeconmicos que no requieren de una gran precisin.

En este sistema de lectura, empleado en la mayora de teodolitos antiguos, conocidosgeneralmente como trnsitos, el crculo horizontal est dividido en grados enteros, cada grado asu vez est dividido en 2, 3 4 partes, correspondiendo cada subdivisin a 30, 20 15 minutosrespectivamente.

Para aumentar la precisin de las lecturas, se utiliza un sistema de nonio o vernier constituido porun nonio de corona circular concntrica con el crculo (figura 4.15).

Figura 4.15 Sistema de lectura de ngulo con nonio

El nonio est dividido en n partes de igual amplitud i, ocupando el espacio correspondiente a(n-1) divisiones del crculo graduado con amplitud i.

La apreciacin A del nonio viene dada por:

n

iA = (4.19)

Como en la figura 4.15 un grado est dividido en seis partes iguales, la amplitud del crculo ser

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2


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4-21

'106

'60

6

1==

=i

luego

'110

'10

==A

A representa la menor lectura que podemos hacer con un nonio o vernier.

Ejemplo 4.11

Determine la apreciacin y la lectura del nonio de la figura E4.11.

Figura E4.11

Solucin

En el crculo mostrado en la figura E4-11, cada grado viene dividido en dos partes por lo quei=60/2 = 30 como el nonio est dividido en 30 partes la apreciacin del nonio ser

'130

'30==A

para la lectura al crculo horizontal con el ndice A y leyendo de derecha a izquierda (sentidohorario), procedemos de la siguiente manera:

a) Anotamos la lectura entera al ndice A es LA = 34230b) Como el ndice A no coincide exactamente con la graduacin correspondiente a los 30,

sino que se pasa por una cantidad que no se puede apreciar directamente, buscamos lacoincidencia de una de las graduaciones del nonio con una de las graduaciones del crculo.En nuestro caso verificamos que la coincidencia se da en la quinta divisin del nonio(derecha a izquierda), por lo que la parte fraccionaria ser LA = 5

c) La lectura horaria definitiva (L+) corresponde a:

L + = LA + LA = 34230 + 05 = 34235

Repitiendo el procedimiento para determinar la lectura en sentido antihorario tenemos:

LA = 1700LA = 0025


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4-22

L - = 1725 (lectura antihoraria)Como chequeo,L + + L - = 36034235 + 1725 = 36000

4.4.2. Otros Sistemas de LecturaLos sistemas de lectura de escalas han ido evolucionando constantemente con el tiempo. Se hanincorporado microscopios para facilitar las lecturas, se han desarrollado sistemas de lectura decoincidencia en teodolitos de doble crculo que proporcionan directamente, en el ocular delectura, el promedio aritmtico de dos regiones del crculo diametralmente opuestas, eliminandoel error de excentricidad de la alidada. Se han desarrollado sistemas con micrmetros pticos defcil lectura, y, ms recientemente, teodolitos electrnicos con lecturas sobre pantallas de cristallquido, con capacidad de archivar sobre tarjetas magnticas o libretas electrnicas de campo.

Debido a la constante evolucin de los sistemas de lectura, a la facilidad de lectura y a ladiversidad de sistemas, no se hace necesario una discusin detallada de cada uno de los sistemas,por lo que nos conformaremos con los ejemplos suministrados en las figuras 2.17 a 2.21 delcaptulo 2 y la figura 4.12 del presente captulo.


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4-23

Problemas Propuestos

4.1. Con los datos de la figura P4-1 calcule los ngulos en cada uno de los vrtices y ladistancia BD.

Figura P4-1

4.2. Con los datos de la figura P4-2, calcule los ngulos en los vrtices. Compruebe susresultados.

Figura P4-2

4.3. Con los datos de la figura P4-3, calcule los elementos necesarios para replantear concintas el punto C a partir de B. Describa el proceso de campo.

Figura P4-3

115,32

89,75

92,45

98,36

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

131,67

A

120

B

C

47,50m


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4-24

4.4. Calcule y describa el proceso de campo requerido para trazar con cinta mtrica unaperpendicular a AB que pase por el punto B.

Figura P4-4

4.5. Los datos de la siguiente tabla corresponden a la medicin de un ngulo por el mtodo derepeticin con lecturas a los ndices A y B. Calcule el valor final del ngulo y diga qu

errores se eliminan con este procedimiento.

Estacin A Pos. DirectaLecturas

PV Ind. A Ind. BBC

00000341720

18000002141700

Inicial

2054300 254240 Final

4.6. Los datos de la siguiente tabla corresponden a una serie de lecturas efectuadas a losndices A y B en las posiciones conjugadas del anteojo para la medicin del ngulo en Apor el mtodo de repeticin. Calcule el valor promedio del ngulo y diga qu errores se

eliminan con la aplicacin de este procedimiento.

Estacin A N = 3Pos. Directa

PV Ind. A Ind. BBC

00000623720

18000002423710

LF 1875130 075200Pos. Invertida

PV Ind. A Ind. BBC

1875130154330

0752001954340

4.7. Con los datos de la siguiente tabla, correspondientes a una serie de tres reiteraciones,calcule el ngulo en A.Estacin A

Reit. Lect. B Lect. C123

01730600020

1201010

61424012125101813530

A B

C

40,00 m


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4-25

4.8. Los datos de la tabla anexa corresponden a una serie de seis reiteraciones con lecturas alos ndices A y B en las dos posiciones conjugadas del lente. Calcule el ngulo en elvrtice y diga qu tipo de errores se eliminan con este procedimiento.

Pos. Dir.Estacin A.Lecturas

Reit. PV Ind. A Ind. B1 B

C01730614240

18017202414230

2 BC

6000201212510

24000303012500

3 BC

12010101813530

3001000013540

Pos. Inv.4 B

C18020202414530

02020614530

5 BC

24010203013530

6040201220540

6 BC

3001010013510

12050201821540


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CAP-4 TOPOGRAFÍA

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