CAP-5 Calculo Estructural

8/9/2019 CAP-5 Calculo Estructural

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Proyectos Tcnicos Estructurales Prof. Otto Rojas V 1

UNIDAD 5

CALCULO ESTRUCTURAL

En edificios aporticados de configuracin geomtrica regular, las estructuras ms usuales

responden a una reticulacin lineal de ejes de vigas y columnas, esto facilita en cierta forma

definir un modelo simple y sencillo de resolver estructuras hiperestticas tanto por mtodos

aproximados, iterativos y matriciales. Estas estructuras normalmente se corresponden con losas,

vigas continuas y prticos de varios pisos.

Losas y vigas continas

Prticos de varios pisos

Fig. 5.1 Estructuras Hiperestticas Reticulares

Aunque no es materia propia de este programa el ensear a resolver estructuras hiperestticas,

para los efectos de este curso se har un repaso de algunos mtodos tiles y prcticos para

resolver estructuras reticulares. Para tal fin se dividirn las estructuras en dos tipos: estructuras

sometidas a cargas verticales sin considerar desplazamientos de nodos, y estructuras aporticadas

sometidas a cargas horizontales considerando desplazamientos. Esto tiene como ventaja que

aprovechando el comportamiento elstico de las estructuras y despreciando los desplazamientos

de los prticos sometidos a cargas verticales, podemos resolver las estructuras por etapas y

superponer efectos de cargas verticales y horizontales.

Fig. 5.2 Superposicin de Efectos


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Por otro lado las normas y el despreciar los desplazamientos horizontales, nos permite resolver

estructuras aporticadas sometidas a cargas verticales, simplificando el clculo al considera el pisocomo un elemento analizable independiente de los niveles contiguos, con columnas empotradas

en los extremos.

Fig. 5.3 Simplificacin de un prtico sometido a carga vertical

Aunque hoy en da parecera poco til el utilizar ventajas de aproximaciones despreciando

solicitaciones o deformaciones cuando se cuenta con programas de computacin sumamente

avanzados, no es menos cierto que el poder resolver manualmente una estructura desarrollainicialmente la mente del ingeniero estructural. Es altamente peligroso usar software estructurales

sin tener una idea del comportamiento interno de los programas y sin tener el feeling de losvalores probables de las solicitaciones y desplazamientos, cualidades que se aprenden cuando

alguna vez en la vida el ingeniero se detiene a pensar en como podra obtener los resultados de un

anlisis con las herramientas aprendidas en pregrado.

5.1.- Clculo estructural de vigas continuas y prticos sometidos a cargas verticales sinconsiderar desplazamientosPara este tipo de estructuras existen mtodos exactos, aproximados y mtodos iterativos que

resuelven la estructura por clculos sucesivos. Estos ltimos son exactos siempre y cuando las

consideraciones de despreciar desplazamientos y deformaciones por fuerza axial modelen el

comportamiento real de la estructura. Por ejemplo, las deformaciones por fuerza axial de vigas de

entrepiso, no tienen sentido cuando la carga horizontal producto del sismo no es una carga

puntual, por el contrario es una carga distribuida en un entrepiso de acuerdo a la distribucin del

peso. Por otro lado una deformacin axial cuando la viga est contenida en un o diafragma rgido

no responde a un modelo real. Algo similar se pudiera pensar de las deformaciones axiales de lascolumnas debido a carga vertical, ya estas trabajan por etapa constructiva.

El mtodo iterativo inicialmente desarrollado y conocido, que se imparte en las clases depregrado fue el mtodo de Hardy-Cross, sin embargo posteriormente surgi una tcnica similar

que computacionalmente es ms fcil de programar que es el mtodo de Kani. Este ltimo es el

mtodo que se emplear para clculo de vigas continuas y prticos compuestos de elementos

lineales de estructuras reticulares definidos e identificados por nodos extremos ik.

Mtodo de Kani

Fig. 5.4 Elemento ik de unaestructura reticular

i

k

i

k

ik


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Basados en las ecuaciones de rotacin de la teora estructural, el momento para un extremo i de

un miembro ik es,Mik = EKo(aii+ bk - (ai+b)ik) + MEik 5.1

Donde,E, es el mdulo de elasticidad del elemento

Ko = I / L, es la rigidez relativa del elemento inercia sobre longitudai,aky b son constantes de las barras

i,k, son las rotaciones de los nodos

ik, rotacin del elemento debido al desplazamiento relativo entre nodos

MEik, momento de empotramiento del elemento.

Reagrupando trminos, luego multiplicando y dividiendo el primer trmino por b,

Mik = (ai/b) bEKo i+ bEKo k - (ai+b)EKo ik+ MEik 5.2

Llamando:Componente por rotacin en el extremo i,

Mik= bEKo i 5.3

Componente por rotacin en el extremo k,

Mki= bEKo k 5.4

Componente por desplazamiento,

Mik = - (ai+b)EKo ik 5.5

Componente por momento de empotramiento,

MEik= f(w,l) 5.6

(una funcin de la carga y la luz)

Se tiene,Mik= (ai/b) Mik + Mki + Mik + MEik 5.7

Por analoga,

Mki= Mik + (ak/b)Mki + Mki + MEki 5.8

i

k(ai/b)Mik

kMki

i

k

Mik

i

Mki

ik

k

MEik

i

MEki


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Por equilibrio de nodos,

=+++= 0ME"M'M'M)b/a(M ikikkiikiik 5.9

Definiendo como momento de fijacin del nodo al trmino de sumatorias de momentos de

empotramiento,

= iki MEMF 5.10La Ec.5.9 queda,

=+++ 0MF"M'M'M)b/a( iikkiiki 5.11

Sustituyendo la Ec.5.3 en la Ec. 5.11,

=+++ 0MF"M'MbEKo)b/a( iikkiii =+++ 0MF"M'MEKoa iikkiii 5.12

Despejando ise tiene el valor de la rotacin en el nodo i,

( )EKoa

MF"M'M

i

iikki

i

++

= 5.13

Sustituyendo la Ec.5.13 en la Ec.5.3 se tiene el valor de la componente por rotacin en el nodo i,

( )

++= iikkii

ik MF"M'MEKoa

bEKo'M 5.14

Multiplicando y dividiendo por ai,

( )

++

= iikkii

i

iik MF"M'M

EKoa

EKoa

ab'M 5.15

Conocido el trmino aiEKo como la rigidez del elemento Rik,

Rik=aiEKo 5.16

( )

++

= iikkiik

ik

iik MF"M'M

R

R

ab'M 5.17

Para estructuras con seccin constante b=2 y ai=ak=4 . Adicionalmente si la estructura tiene todos

los elementos del mismo material, esto es, E es constante, se tendr,

Rik= 4EKo 5.18

( )

++= iikki

ik

ikik MF"M'M

Ko

Ko5.0'M 5.19

i

Mik


5/35


Para estructuras sin desplazamientos ik=0 la componente por desplazamiento Mik ser tambin

cero,

( ) +=iki

ik

ikik MF'MKo

Ko5.0'M 5.20

Llamando al trmino constante fuera del parntesis factor de giro de i para k,

=

ik

ikik

Ko

Ko5.0FG 5.21

Finalmente queda una expresin iterativa para obtener la componente por rotacin del nodo i,

( ) += ikiikik MF'MFG'M 5.22

Esta expresin permite calcular la componente por rotacin del nodo i. Como inicialmente se

desconocen los valores de las componentes por rotacin en los extremos contrarios de los

elementos que llegan al nodo i (Mki), se le darn valores cero y se irn calculando nodo a nodoobteniendo nuevos valores hasta que por autocorreccin converjan al valor real. Finalmente elmomento definitivo se obtiene de la simplificacin de la Ec.5.7 al no considerar el trmino

correspondiente a la componente por desplazamiento,

Mik= 2 Mik + Mki + MEik 5.23

Ejemplo:

Calcular el siguiente prtico continuo,

Inercia I y rigideces relativas Ko de las columnas,

Ics=30*303/12=67500 cm

4 RCS=Ko=67500/300=225cm

3

Ici=30*403/12=160000cm4 RCI=Ko=160000/300=533.33cm3

Eje-1 empotramiento Ko

Inercia I y rigideces relativas Ko de las vigas,

I=30*60

3

/12=540000cm

4

RV=Ko=540000/600=900cm

3

6,00 6,00 6,00

h=3,00 W=3000 kg/m 30/30

W=2000 kg/m

(30/60)

30/40 30/40h=3,00

1,50

21 3 4


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Factores de giros,

090005Ko

Ko5.0FG

ik

2121 =

==

176.03.533225900900

9005.0FGFG 3212 =+++

==

193.03.33900900

9005.0FGFG 4323 =++

==

5.09009005.0FG 34 ==

Momentos de empotramiento y fijacin,

mkg900012 6*300012L*WMEME22

1221 ====

mkg600012

6*200012

L*WMEMEMEME22

34432332 ======

mkg22502

5.1*20002

L*WME22

4DER === (volado)

MF1=(0-9000)= -9000kg-m, MF2=(9000-6000)=3000kg-m

MF3=(6000-6000)=0kg-m, MF4=(6000-2250)=3750kg-m

6,00 6,00 6,00

h=3,00 W=3000 kg/m 30/30

W=2000 kg/m

(30/60)

30/40 30/40

h=3,00

RCS 0RV 900 900 900 0

RCI 0

FGik 0 -0,176 -0,176 -0,193 -0,193 -0,5MEik -9000 9000 -6000 6000 -6000 6000 -2250

MFi

0 0 0 0 0 0

0 -528 -528 101,9 101,9 -1926

0 -545,94 -545,9 477,1 477,1 -2114

Mik' 0 -612,0 -612,0 526,0 526,0 -2138

0 -620,6 -620,6 532,4 532,4 -2141

0 -621,7 -621,7 533,2 533,2 -2142

0 -621,9 -621,9 533,3 533,3 -2142

0 -621,9 -621,9 533,4 533,4 -2142

Mik -9621,9 7756,3 -6710,4 6444,9 -7075,0 2250 -2250

Mcol

Mcs

Mci

0

0

-310,3

-735,6

0

630,1

-9621,9 1045,9 -630,1 0

1,50

-9000 3000 0 3750

533,3

225 0

533,3

21 3 4


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Momentos en las vigas,

Luego se aplica la Ec. 5.22 en las vigas variando i desde 1 hasta 4, varias veces hasta que los

valores de Mik se repitan. Finalmente los momentos en los extremos de las vigas se obtienenaplicando la Ec. 5.23,

M1-2= 2 M1-2 + M2-1 + ME1-2 = 2*(0) - 621.9 9000 = -9621.9 kg-m

M2-1= 2(-621.9) + 0 + 9000 = 7756.3 kg-m

M2-3= 2(-621.9) + 533.4 - 6000 = -6710.4 kg-m

M3-2= 2(533.4) 621.9 + 6000 = 6444.9 kg-m

M3-4= 2(-533.4) 2142 6000 = -7075.0 kg-m

M4-3= 2(-2142) + 533.4 + 6000 = 2250 kg-m

Momentos en las columnas por equilibrio de los nodos,

Momentos que pasan a las columnas por eje Mcol = Mik

Mcol1= -9621.9 kg-m (lo toma el empotramiento)

Mcol2= 7756.3 - 6710.4 = 1045.9 kg-m

Mcol3= 6444.9 - 7075 = -630.1 kg-m

Mcol4= 2250 - 2250 = 0 kg-m (no hay columnas)

Momento en la columna superior del eje 2,

mkg3.3103.533225

2259.1045RCIRCS

RCSMcolMcs 22 =+

=+

=

Momento en la columna inferior del eje 2,

mkg6.7353.533225

3.5339.1045

RCIRCS

RCIMcolMci

22 =+

=+

=

Momento en la columna inferior en el eje 3,

Mci3 = -Mcol3 (solo hay una columna)

5.2.- Clculo estructural de prticos sometidos a cargas horizontales considerandodesplazamientos.

Igual que en vigas continuas, para este tipo de estructuras existen mtodos exactos, aproximados

y mtodos iterativos por clculos sucesivos. Para los fines de esta unidad se explicarn dos

mtodos tiles; el mtodo de Kani, el cual siendo un mtodo iterativo es exacto si se desprecian

deformaciones por fuerza axial, y el mtodo de longitud equivalente, el cual es un mtodo

aproximado desarrollado en esta casa de estudio por el Prof. Cesar Vezga. Para ambos casosposteriormente se desarrollarn tcnicas alternativas de clculo de desplazamientos de los

entrepisos.


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Mtodo de Kani.

En el caso de prticos sometidos a fuerzas

horizontales, no se consideran desplazamientorelativos entre los extremos de las vigas. Sin

embargo, las columnas se ven afectadas por

los desplazamientos de los entrepisos,

generando desplazamientos relativos entre losextremos y por lo tanto el trmino Mik de la

Ec.5.7 y la Ec. 5.19 no se debe eliminar.

De la Ec.5.19 el trmino correspondiente al

momento de fijacin MFise puede eliminar ya

que para los propsitos de clculo no habrn

cargas transversales en ningn elemento.

De esta forma la ecuacin de iteracin 5.19 que sirve para determinar los valores decomponentes por rotacin Mik quedar,

( )

+= "M'MKo

Ko5.0'M ikki

ik

ikik 5.24

Utilizando la definicin de factor de giro de la Ec. 5.21,

( ) += "M'MFG'M ikkiikik 5.25

Conocido que la altura de la columna de un piso es hik, que el momento en el extremo superior es

Mik y que el momento en el extremo inferior es Mki, por equilibrio tomando momentos en el

extremo inferior k se obtendr el corte Qik,

( )

ik

kiikik

h

MMQ

+= 5.26

Fig 5.6 Equilibrio de los cortes de columnas de un piso

Por equilibrio de la suma de los cortes de todas las columnas de un piso y el corte del piso, se

obtiene la siguiente expresin,

0QQppiso

ik =+ 5.27

Fig. 5.5 Estructura conDesplazamiento

Mki

Mik

i

k Qki

Qik

Qik


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Sustituyendo la Ec. 5.26 en la Ec.5.27,

0MMh*QpMMh1Qp

piso

ki

piso

ikik

piso

ki

piso

ik

ik

=

++=

++ 5.28

Sustituyendo Ec.5.7 y Ec.5.8 en la Ec. 5.28,

0ME"M'Mb

a'M

ME"M'M'Mb

ah*Qp

piso

ki

piso

ki

piso

kik

piso

ik

piso

ik

piso

ik

piso

ki

piso

iki

ik

=

++

++

+++

+

5.29

Llamando momento del piso Mp,

+

+=

piso

ki

piso

ikik MEMEh*QpMp 5.30

y reagrupando trminos semejantes, la Ec.5.29 se transforma en,

0"M"M'Mb

a1'M

ba

1Mppiso

ki

piso

ik

piso

kik

piso

iki =

++

++

++ 5.31

Sustituyendo la Ec.5.5 y su anlogo en la Ec.5.31,

0EKo)b2aa('Mba

1'Mba

1Mppiso

kiik

piso

kik

piso

iki =

++

++

++ 5.32

Despejando ikde la expresin anterior,

++

++

++

=

piso

ki

piso

kik

piso

iki

ikEKo)b2aa(

'Mb

a1'M

ba

1Mp

5.33

Sustituyendo la Ec.5.33 en la Ec.5.5 se tiene,

++

++

++

+=

pisoki

k

piso

iki

piso

ki

iik 'Mb

a1'M

ba

1MpEKo)b2aa(

EKo)ba("M 5.34

Definiendo como factor de corrimiento Fd,

+++

=

piso

ki

iik

EKo)b2aa(

EKo)ba(Fd

+++

=

piso

ki

kki

EKo)b2aa(

EKo)ba(Fd 5.35


10/35


La Ec.5.34 y su anlogo se transforman en,

++

++=

pisoki

k

pisoik

i

ikik 'Mb

a

1'Mb

a

1MpFd"M 5.36

++

++=

piso

kik

piso

iki

kiki 'Mba

1'Mb

a1MpFd"M 5.37

Para elementos de seccin constante ai=ak=4 y b=2, por lo tanto la ecuaciones 5.36 y 5.37 sern

iguales.

++=

piso

ki

piso

ikikik 'M3'M3MpFd"M 5.38

Multiplicando y dividiendo por 3,

++=

piso

ki

piso

ikikik 'M'M3

MpFd3"M 5.39

Renombrando al factor de corrimiento por FDik=3Fdik, y sustituyendo los valores de las

constantes de barra ai, aky b en la Ec.5.35 se tendr una sola expresin para los nuevos factores

de corrimiento,

=

++

+==

pisopiso

ikikKo

Ko

2

3

EKo)2*244(

EKo)24(3Fd3FD 5.40

Renombrando al momento del piso de la Ec.5.3 por MP=Mp/3, y suponiendo que en las

columnas no hay cargas transversales, esto es, no hay momentos de empotramiento, la Ec. 5.3quedar,

3

h*Qp

3

MpMP ik== 5.41

Finalmente la ecuacin de iteracin para determinar las componentes por desplazamientos en las

columnas queda,

++=

piso

ki

piso

ikikik 'M'MMPFD"M 5.42

Procedimiento:1. Idealizar y enumerar los nodos de la estructura reticular2. Calcular la rigidez Ko=I/L de cada miembro (vigas y columnas)3. Calcular por cada nodo i los factores de giro FGik en cada extremo de elemento que

concurren a el.

=

ik

ikik

Ko

Ko5.0FG

4. Calcular por los factores de corrimiento FDik por cada columna por piso.

=

piso

ikKo

Ko

2

3FD


11/35


5. Calcular los cortes de cada piso za partir de las fuerzas de cada piso Fz.

=

=

n

zj

jz FQp

6. Calcular los momentos de piso de cada piso z para una altura de entrepiso h ik=hz.

3

h*QpMP zzz =

7. Calcular las componentes por desplazamiento Mik por columna por piso

++=

piso

ki

piso

ikzikik 'M'MMPFD"M

8. Calcular las componentes por giro del nodo Mikpor elemento por nodo

( ) += "M'MFG'M ikkiikik

9. Calcular los momentos definitivos por elementos partiendo de la Ec.5.7

Para vigas.. Mik= 2 Mik + Mki

Para columnas . Mik= 2 Mik + Mki + Mik

Ejemplo:

Calcular el prtico de concreto armado de la figura 5.7,

Paso 1:

Fig. 5.7Prtico sometido acarga horizontal

30

5.00 5.00

3.00

3.00

3.00

2000 kg

2000 kg

2000 kg

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(30/30)

Ko=225

(30/30)

Ko=225

(30/30)

Ko=225

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

Dimensiones

25

40

25

25

30


12/35


Paso 2:Inercia I y rigideces relativas Ko de las columnas,

Columna central I=30

4

/12=67500 cm

4

Ko=67500/300=225 cm

3

Columna lateral I=25

4/12=32552 cm

4Ko=32552/300=108.5 cm

3

Inercia I y rigideces relativas Ko de las vigas,

I=25*403/12=133333.3 cm

4 Ko=133333.3/500=266.6 cm

3

Paso 3 al paso 8:En la figura 5.8 estn plasmados los clculos descritos en los pasos anteriormente presentados.

Los factores de giro estn calculados ubicando sus valores a los lados y en la parte superior einferior de cada nodo, por ejemplo,

114.07.2662257.266225

2255.0KoKoKoKo

Ko5.0FG985878118

118118 =

+++=

+++=

Fig. 5.8 Esquema de clculo iterativo

10-0,

355

0

261,

7

258,

8

271

275,

3

276

266,67287,

5

286,

5

283,

9

277,

7

222,

5

0

-0,

176

11-0,

176

0

222,

5

277,

7

283,

9

286,

5

287,

5

266,67275,

8

275

272,

5

258,

5

182,

7

0

-0,

355

12 Fz Qz MPz

-0,145 -0,148 -0,145

0 0 0

106,49 187,73 74,316

105,29 234,35 105,16

110,26 239,54 110,88

112 241,72 111,91

112,29 242,62 112,21

108,5 225 108,5 2000 2000 2000298,51 637,23 298,36

297,4 634,71 296,92

293,13 625,68 291,2

278,15 589,88 267,73235,86 436,35 181,46

0 0 0

-0,112 -0,114 -0,112

7-0,

28

0

579,

7

683,

6

720,

4

730,

9

733,

7

266,67755,

2

752,

2

741,

5

699,

1

517,

2

0

-0,

14

8-0,

14

0

517,

2

699,

1

741,

5

752,

2

755,

2

266,67733,

3

729,

8

715,

7

658

446

0

-0,

28

9

-0,112 -0,114 -0,112

0 0 0

235,86 436,35 181,46

278,15 589,88 267,73

293,13 625,68 291,2

297,4 634,71 296,92

298,51 637,23 298,36

108,5 225 108,5 2000 4000 4000456,01 982,12 455,65

454,9 979,25 453,39

450,96 967,49 444,65

437,59 918,4 411,71

386,55 714,97 297,6

0 0 0

-0,112 -0,114 -0,112

4-0,

28

0950

1075

1108

1118

1121

266,671164

1161

1147

1088

847,

4

0

-0,

14

5-0,

14

0

847,

4

1088

1147

1161

1164

266,671120

1114

1093

1012

731,

4

0

-0,

28

6

-0,112 -0,114 -0,112

0 0 0

386,55 714,97 297,6

437,59 918,4 411,71

450,96 967,49 444,65

454,9 979,25 453,39

456,01 982,12 455,65

109 225 109 2000 6000 6000

1 2 3

-2826

-0,368

-736

-1186-1318

-0,764

-1527

-2460-2734

-0,368

-736

-1186-1318

-1352

-1360

-1363

-0,368 -0,368

-1352

-1360

-1363

-2803

-2821

-5401

-5434

-5443

-1473

-2302-2542

-2604

-0,764

-3054

-4774-5271

-1473

-2302-2542

-2604

-2895

-2904

-2620

-2625

-0,368

-2209

-0,368

-2209

-2620

-2625

-2907

-0,764

-4581

-5650-5931

-6004

-6023

-6027

-2724-2860

-2907

-2724-2860

-2895

-2904

Mik=M7-4

Mik=M11-8

FDik=FD7-4

FGik=FG8-11

Ko

Nodo


13/35


Los factores de corrimiento estn calculados y colocados al lado de cada columna, por ejemplo,

368.05.1082255.108

5.108

23KoKoKo

Ko

23FD695847

4747 =++=++=

Los cortes y momentos de pisos estn calculados y colocados en el margen derecho del dibujo,

por ejemplo para el piso dos,

400020002000FQp3

2j

j2 =+===

40003

3*4000

3

h*QpMP 222 ===

Las iteraciones para obtener las componentes por desplazamiento Mik estn colocadas al ladode la columna, modificndose variando su ubicacin de arriba hacia abajo para seis iteraciones.

Por ejemplo para una segunda iteracin,

[ ]

[ ] 23026.29797.71455.38646.18135.43686.2354000368.0

'M'M'M'M'M'MMPFD"M 96857469584724747

=++++++=

++++++=

Las iteraciones para obtener las componentes por rotacin Mik estn colocadas en los

extremos de cada barra, modificndose variando su ubicacin del nodo hacia el otro extremo de

la barra para cinco iteraciones. Por ejemplo para una primera iteracin,

( )( ) 35.436305415270073.1877.579114.0"M"M'M'M'M'MFG'M 58811858981187118118

=+++=

+++++=

Los momentos definitivos se calcularan a partir de los resultados finales de los M ik y los Mkiaplicando las respectivas formulas para columnas y vigas. Por ejemplo,

Para la columna 8-5,

M8-5= 2 M8-5 + M5-8 + M8-5= 2*637.23 + 982.12 5443 = -3186.42 kg-m

M5-8= 2 M5-8 + M8-5 + M8-5= 2*982.12 + 637.23 5443 = -2841.53 kg-m

Para la viga 8-9,

M8-9= 2 M8-9 + M9-8 = 2*755.2 + 733.3 = 2243.7 kg-m

M9-8= 2 M9-8 + M8-9 = 2*733.3 + 755.2 = 2221.8 kg-m

Para la columna 4-1,

M4-1= 2 M4-1 + M1-4 + M4-1= 2*456.01 + 0 2907 = -1994.98 kg-m

M1-4= 2 M1-4 + M4-1 + M4-1= 2*0 + 456.01 2907 = -2450.99 kg-m

Para la viga 4-5,

M4-5= 2 M4-5 + M5-4 = 2*1121 + 1164 = 3406 kg-m

M5-4= 2 M5-4 + M4-5 = 2*1164 + 1121 = 3449 kg-m


14/35


En la siguiente figura se presentan los clculos de los momentos definitivos descritos como

despieces de los elementos.

Fig. 5.9 Resultados finales. Diagramas de momentos

Mtodo de longitud EquivalenteEste mtodo aproximado fue desarrollado enLUZ por el Prof. Cesar Vezga, profesor de esta

ctedra por muchos aos. Es mtodo que arrojaresultados con muy buenas aproximaciones se

basa en la determinacin de la posicin los

puntos de inflexin y el valor de los cortes de

las columnas. El valor de los momentos en los

extremos vendr dado por la multiplicacin del

corte y las distancias entre el punto de inflexin

y los extremos respectivos.

Ms=V*ds 5.43

Mi=V*di 5.44

-840

840851

851

-1704

-654-654

-1309

2244

-3186

2244

-1572

2223

840

-840

2222

-1572

-1414-1415

-2841

3448

-4063

3449

-1995

3406

3404

-1995

-2451-2451

-5045

ds

di

PI

Ms

Mi

V

V

Fig.5.10 Diagrama de

momentos de la columnas


15/35


Determinacin de la posicin del punto de inflexin:Para entender este procedimiento se estudiar el comportamiento del punto de inflexin encolumnas desplazables con diferentes condiciones de borde. Para ello se analizar la relacin

entre las alturas de una columna real y una columna ficticia doblemente articulada o doblementeempotrada.

En una columna desplazable de seccin

constante con condiciones de borde

doblemente empotrada, el punto de

inflexin siempre se encontrar en elcentro de la misma. La altura de la

columna ficticia de Euler doblemente

articulada o doblemente empotrada

desplazable tendr una altura K*Hdonde K=1, esto es, la columna real y la

ficticia tiene la misma altura. Al estar el

punto de inflexin en el centro de la

columna real, las distancias ds y di seriguales, y su valor ser H/2.

ds = di = H/2 5.45

Si la columna tiene condiciones de bordeen el extremo superior e inferior no

empotrados, el coeficiente K de la

columna de Euler ser mayor que la

unidad, esto es, la columna ficticia

doblemente articulada o doblemente

empotrada desplazable tendr una alturamayor e igual a KH. En este caso altener condiciones de borde iguales, el

punto de inflexin estar en el centro de

la columna doblemente empotrada y porlo tanto en el centro de la columna real.

Esto determina que las distancias ds y di

son iguales y valen H/2, a su vez las

porciones de alturas de columna ficticia

hs y hi, provenientes de la diferencia de

altura entre la columna ficticia y la real(KH-H) son iguales.

K>1

ds = di = H/2 hs = hi = (KH-H)/2 5.46

H

H

Columna real

PI

Columna ficticia

Fig.5.11 Puntos de inflexinpara columnas doblemente

empotrada desplazables

ds=H/2

di=H/2

Fig.5.12 Puntos de inflexin paracolumnas desplazables con

condiciones de borde simtricas

no empotradas

H

KH

Columna

real

PI

Columna ficticia

hs

hi

KHds

di

2KH


16/35


Similar al caso anterior, si la columna

tiene condiciones de borde en el extremosuperior e inferior no empotrados, el

coeficiente K de la columna de Eulerser mayor que la unidad, y la columna

ficticia doblemente articulada odoblemente empotrada desplazable

tendr una altura mayor que la columna

real. En este caso al no tener condiciones

de borde iguales, el punto de inflexin

no estar ubicado en el centro de lacolumna doblemente empotrada ni en el

centro de la columna real. A medida que

en un extremo se hace ms rgido que el

otro, este tendr mas dificultad en rotar yse acercar mas al extremo ficticio

empotrado. Esto determina que las

distancias ds y di as como las porciones

de altura ficticia son diferentes. Estadiferencia no es fija y depende de las

condiciones de borde de los extremos delas columnas, lo cual depende de las

rigideces de los elementos que llegan a

los nodos.

K>1

ds di H/2 hs hi (KH-H)/2 5.47

Como se pudo observar la posicin del punto de inflexin depende de las condiciones de bordeque tengan las columnas en sus extremos. Este mtodo establece que las proporciones de

columna ficticia tambin dependern de dichas condiciones de borde, y que una buena

aproximacin para evaluar su longitud, es hacerla depender proporcionalmente del parmetro r

o relacin entre la sumatoria de las rigideces de las columnas, sobre la sumatoria de las rigideces

de las vigas que llegan al nodo extremo de la columna.

==

Kov

Koc

Rv

Rc'r 5.48

( ) ( )'r'r

'r1KH

'r'r

'rHKHhs

is

s

is

s

+=

+= 5.49

( ) ( )

hs)1K(HhsHKH

'r'r

'r1KH

'r'r

'rHKHhi

is

i

is

i

==

+=

+=

5.50

hs2

KHds = dsHhi2

KHdi == 5.51/5.52

Fig.5.13 Puntos de inflexin paracolumnas desplazables con

condiciones de borde diferentes

H

KH

Columnareal

PI

Columna ficticia

hs

hi

KHds

di

2

KH

rs

ri

HKoc

Koc

Koc

Kov

Kov

KovKov

Fig.5.14 Vinculacin de

la columna con las vigas


17/35


El valor de K para la longitud efectiva de Euler en columnas con desplazamientos se puede

obtener de los nomogramas de Jackson y Morland, o a travs de las expresiones de Furlong que acontinuacin se describen utilizando un promedio rmentre los valores de rsuperior e inferior,

2

'r'rr ism

+= 5.53

Si rm


18/35


RT(i,j) es la rigidez traslacional de la columna del piso i del eje j, la cual se define como la

fuerza cortante necesaria para producir un desplazamiento relativo unitario entre sus extremos.Para la obtencin de esta rigidez se parte de la premisa de que la rigidez traslacional RT de una

columna real de altura H, es igual a la rigidez traslacional RTF de una columna ficticiadoblemente empotrada de longitud efectiva KH.

Fig.5.17 Premisa para obtener la Rigidez Traslacional de una Columna

La rigidez traslacional de una columna doblemente

empotrada se obtiene a partir de las ecuaciones de rotacin.

Mik = Mki = Eko(ai + bk - (a+b)ik) + MEik 5.59

Para seccin constante a=4 y b=2

Por ser doblemente empotrada i=k=0

Por no tener cargas transversales MEik=0

Mik = Mki = -6Ekoik 5.60

Para un desplazamiento unitario =1

H1

Hik =

= 5.61

Sustituyendo la Ec.5.61 en la Ec.5.60,

Mik = Mki = -6Eko/H 5.62

Por equilibrio de momento,

( )2

ikkiikkiik

H

EKo12H

M2

H

MMV0MMH*V ==

+==++ 5.63

Este corte que produce un desplazamiento unitario en una columna doblemente empotrada se

conoce como rigidez traslacional infinita RT.

H

=1

RT

Columna Real de altura H

HF=KH

=1

RTF

Columna Ficticia de altura KH

RT = RTF

H

=1

V

V

Mik

Mki

Fig.5.18 Corte queproduce un

desplazamiento unitarioen una columna

doblemente empotrada


19/35


La rigidez traslacional infinita representa el valor mximo de corte que se requiere en una

columna para poder producir un desplazamiento unitario, no existe otra condicin de borde quepueda requerir una fuerza cortante mayor.

2H

EKo12RT = 5.64

En los prticos las condiciones de borde de las columnas no son doblemente empotradas, por el

contrario, los nodos extremos rotan de acuerdo a la rigidez que le proporcionan las vigas que

concurren a ellos. En tal sentido, la rigidez traslacional real de una columna es siempre menor

que su rigidez traslacional infinita.

RT RT RT = C*RT con C 1 5.65

Recordando la premisa inicial, la altura de la columna ficticia HFde igual rigidez que la columna

real es KH, por lo tanto la rigidez traslacional ser,

( ) ( )

===== RTK

1

H

EKo12

K

1

KH

EKo12

H

EKo12RTRT

22222

F

F 5.66

Observando las Ecs.5.65 y 5.66 se deduce que el valor C que transforma la rigidez traslacional

infinita de una columna en su rigidez real es,

2K1C = 5.67

Finalmente la rigidez traslacional se define por,

22 HEKo12

K1RT

= 22 HE12

KKoRT

= 5.68

Otro mtodo universalmente utilizado para determinar las rigideces traslacionales son las

expresiones de WILBUR que se dan a continuacin,

( )

+

++

=

12/KKhh

K

h4h

E48R

1c

1v

21

1c

11

1 5.69

( )

++

+

++

=

2v32

1c

1v

21

2c

22

2

K

hh

12/KK

hh

K

h4h

E48R 5.70

++

++

=

+

iv

1ii

1iv

i1i

ic

ii

i

K

hh

K

hh

K

h4h

E48R 5.71

i

1

n

2

n-1

Fig.5.19 Niveles dereferencia para la

rigidez de Wilbur


20/35


Una vez determinado la posicin del punto de inflexin de las columnas y los cortes de las

mismas, se calculan los momentos en los extremos utilizando las expresiones descritas en lasEc.5.43 y Ec.5.44. Finalmente, por nodo el prtico se termina de resolver al distribuir entre las

vigas, la suma de los momentos de columnas que concurren al nodo. Esta distribucin se haceproporcional a las rigideces de las vigas.

Para la viga izquierda del nodo,

( )DERIZQ

IZQ

IZQ KovKov

KovMciMcsMv

++= 5.72

Para la viga derecha del nodo,

( )DERIZQ

DERDER KovKov

KovMciMcsMv

++= 5.73

Procedimiento:

1. Idealizar la estructura reticular2. Calcular la rigidez Ko=I/L de cada miembro (vigas y columnas)3. Calcular los r en cada nodo por piso por eje.

=Kov

Koc'r

4. Calcular un promedio de r por columna

2rr'r is

+=

5. Calcular K de longitud efectiva por columna

Si r


21/35


10.Calcular el corte de columna por eje por piso

REi

)j,i(RTVi)j,i(Vc =

11.Calcular los momentos en el extremo superior e inferior de la columnaMcs=Vc*dsMci=Vc*di

12.Calcular los momentos en la viga izquierda y derecha por nodo

( )DERIZQ

IZQ

IZQ KovKov

KovMciMcsMv

++=

( ) ( ) IZQDERIZQ

DERDER MvMciMcsKovKov

KovMciMcsMv +=

++=

Ejemplo:

Calcular el prtico de la figura 5.21 que fue resuelto por el mtodo de Kani.

Paso 1 y 2:

Lo valores de Ko fueron calculados en el mtodo de Kani

Fig. 5.21 Prtico sometido a carga horizontal. Valores de Ko

Piso 3

Piso 2

Piso1

5.00 5.00

3.00

3.00

3.00

2000 kg

2000 kg

2000 kg

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/40)

Ko=266.6

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(25/25)

Ko=108.5

(30/30)

Ko=225

(30/30)

Ko=225

(30/30)

Ko=225

1 2 3


22/35


Paso 3 y 4:En la figura 5.22 estn plasmados los valores calculados por nodosPor ejemplo, para el nodo del piso 2 con eje 2,

844.066.26666.266

225225

Kov

Koc'r =

+

+==

Fig. 5.22 Valores de

=

Kov

Koc'r

Paso 5 y 10:En la figura 5.23 estn plasmados los valores calculados por columnas y por pisoPor ejemplo, para la columna del piso 2 con eje 2,

844.02

844.0844.0

2

rr'r is =

+=

+=

r


23/35


La rigidez de entrepiso del piso 2,

( )

=

++==

=

22

22

3

1j

)j,2(2

H

E1293.262

H

E126593.13265RTRE

El corte del piso 2,

400020002000FQp3

2j

j2 =+===

El corte de la columna del piso 2 eje 2,

29.202293.262

93.1324000

RE

RTVVc

2

)2,2(

2)2,2( === kg

Fig. 5.23 Valores de r,K, (Ko/K2) y cortes de columnas Vc

Paso 11 y 12:En la figura 5.24 estn plasmados los valores de momentos calculados por columnas y por vigas

Por ejemplo, para la columna del piso 2 con eje 2,

Mcs=Vc*ds = 2022.29*1.5= 3033.44 kg-m

Mci=Vc*di = 2022.29*1.5=3033.44 kg-m

Por ejemplo, para la viga del piso 2 a la izquierda y derecha del eje 2,

( ) 221566.26666.266

66.266)30331397(

KovKov

KovMciMcsMv

DERIZQ

IZQIZQ =

++

++= kg-m

( ) 22152215)30331397(MvMciMcsMv IZQIZQ ==+= kg-m

r=0.611K=1.23

ds=1.62di=1.38

Ko/K2=71.66

Vc=493.76

r=0.814K=1.292

ds=1.5

di=1.5

Ko/K2=65Vc=988.86

r=0.407

K=1.162ds=1.26

di=1.74Ko/K2=80.35Vc=1479.65

r=0.611K=1.23

ds=1.62di=1.38

Ko/K2=71.66

Vc=493.76

r=0.814K=1.292

ds=1.5

di=1.5Ko/K2=65Vc=988.86

r=0.407

K=1.162ds=1.26

di=1.74

Ko/K2=80.35Vc=1479.65

r=0.633K=1.237

ds=1.62di=1.38

Ko/K2=146.94

Vc=1012.47

r=0.844K=1.301

ds=1.5

di=1.5

Ko/K2=132.93

Vc=2022.29

r=0.422

K=1.167ds=1.25

di=1.75

Ko/K2=165.12

Vc=3040.70

1 2 3

Vi (kg)

2000

4000

6000

REi/(12E/H2)

290.26

262.93

325.82


24/35


Fig. 5.24 Resultados finales. Diagramas de momentos

Clculo de cortes en vigas y fuerzas axiales en columnasUna vez determinado los momentos en las vigas y las columnas por cualquiera de los mtodos

explicados, para poder resolver completamente la estructura, habr que calcular los cortes en lasvigas por simple esttica, los cuales pasarn a las columnas como fuerzas axiales por equilibrio

de los nodos piso a piso.

L

MMV

DERIZQ

S

+= 5.74

Fig. 5.25 Corte por ssmico en un tramo de viga

-800

800820

820

-1640

-681-681

-1397

2215

-3033

2215

-1483

2164

800

-800

2164

-1483

-1483-1483

-3033

3417

-3801

3417

-1864

3347

3347

-1864

-2575 -2575-5321

MIZQ MDERVS

VS

L


25/35


Fig. 5.26 Fuerzas axiales en columnas. VsIJ= cortes en viga del piso I del tramo JFIJ = Fuerza axial en columna del piso I en el eje J

Fig. 5.27 Fuerzas axiales en columnas del ejemplo de la figura 5.7 (KANI).

MDERMDER

MIZQ

MIZQ

MDER

MIZQ

MIZQ

MDER

MIZQ

MDER

MIZQ

MDER

Vs31

Vs31

Vs32

Vs32

Vs21

Vs21

Vs22

Vs22

Vs11

Vs11

Vs12

Vs12

F31=-(Vs31)

F21=-(F31+Vs21)

F11=-(F21+Vs11)

F32=-(Vs31+Vs32)

F22=-(F32+Vs21+Vs22)

F12=-(F22+Vs11+Vs12)

F33=-(Vs32)

F23=-(F33-Vs22)

F13=-(F23-Vs12)

840851

851

2244

2244

2223

840

2223

1371

3449

3406

3406

338

338

338

338

893

893

893

893

1371

1371

1371

1371

F31=338

F21=1231

F11=2602

F32=0

F22=0

F12=0

F33=-338

F23=-1231

F13=-2602


26/35


5.3. Clculo de desplazamientos en prticos sometidos a cargas horizontales

Para el obtener los desplazamientos en estructuras reticulares aporticadas que se han calculado

por los mtodos anteriormente explicados, se puede optar por dos metodologas, la primera estbasada en el uso de las ecuaciones de rotacin y la otra en el uso de la definicin de la rigidez

traslacional.

Clculo de desplazamientos usando las ecuaciones de rotacin:Conocidas la ecuaciones de rotacin,

ijijiiij ))ba(ba(EKoM ++= 5.75

jijjjiji ))ba(ab(EKoM ++= 5.76

Despejando de la Ec.5.75 y Ec.5.76 el valor de jse tiene,

iji

iiij

jb

ba

b

a

bEKo

M

++= 5.77

ji

j

j

i

jj

ji

ja

ba

a

b

EKoa

M

++= 5.78

Conocido que ij=ji , igualando la Ec.5.77 y la Ec. 5.78,

y luego despejando ij se obtiene,

i

ijji

ij EKo6

M2M+

=

5.79

Despejando de la Ec.5.75 y Ec.5.76 el valor de ijse tiene,

+

+

+= j

ii

i

i

i

ij

ij )ba(b

)ba(

a

EKo)ba(

M 5.80

+

+

+= j

j

j

ijj

ji

ji )ba(

a

)ba(b

EKo)ba(

M 5.81

Conocido que ij=ji, igualando la Ec.5.80 y la Ec. 5.81, y luego despejando j se obtiene,

i

ijji

jEKo2

MM+

= 5.82

La Ec.5.82 nos permite conocer la rotacin en el extremo superior j, conocida la rotacin en el

extremo inferior iy los momentos en dichos extremos. Por lo tanto, partiendo de una rotacin

inferior en planta baja igual a cero debido al empotramiento, se pueden obtener todas las dems

rotaciones a lo largo de una columna.

i

i

j

ij

Fig. 5.28 Columna con extremo

inferior i y extremo superior j

j


27/35


Por otro lado, la Ec.5.79 nos permite conocer la rotacin completa ijde la columna ijpartiendode la rotacin en el extremo inferior i, por consiguiente se puede conocer el desplazamientorelativo o deriva jmultiplicando la rotacin ijpor la altura de la columna.

Fig. 5.29 Diagrama de flujo para obtener el desplazamiento total por piso jy la deriva del piso j

Clculo de desplazamientos usando la definicin de la rigidez traslacional:Por definicin la rigidez traslacional RTjde un piso j de un prtico, es la fuerza de corte Vjnecesaria para producir un desplazamiento unitario j. Por lo tanto el desplazamiento relativo del

piso ser el corte del piso entre la rigidez traslacional, y el desplazamiento absoluto ser el

desplazamiento absoluto del piso inferior mas el desplazamiento relativo del piso.

RTj= Vj/j j= Vj/RTj j=j-1+ j 5.83

i

ijji

ijEKo6

M2M+

=

i

ijji

jEKo2

MM+

=

j = Hj*ij

j= j-1+ j

j = n

Fin

i=0,j=1,j=0

i=0

si

noi = i+1

j = j+1


28/35


Ejemplo:Caso 1: Calcular los desplazamientos del prtico de la figura 5.7 con los resultados obtenidos del

mtodo de Kani y las ecuaciones de rotacin.Caso 2: Calcular los desplazamientos con los resultados del mtodo de longitud equivalente y la

rigidez traslacional.

Caso 1:Utilizando los resultados de los momentos de la columna izquierda de la figura 5.9, se realizan

los clculos de abajo hacia arriba.

cmkg257330345.108*25015000EKo ==

cm265.0300*10*82.8 43 == cm339.1265.0075.13 =+=

44

23 10*82.810*79.5EKo*6

100*)654*2840( =+

+=

44

2 10*79.510*86.8EKo*2

100*)14141572( =+

+=

cm51.0300*10*7.1 32 == cm075.151.0565.02 =+=

34

12 10*7.110*86.8EKo*6

100*)1414*21572( =+

+=

4

1 10*86.80EKo*2

100*)24511995( =+

+=

cm565.0300*10*883.1 31 == cm565.0565.001 =+=

3

01 10*883.10EKo*6

100*)2451*21995( =+

+=

0=0

Fig. 5.30 Calculo de desplazamientos con los resultados obtenidos del mtodo deKani y las ecuaciones de rotacin

-840

-654

-1572

-1414

-1995

-2451

3

2

1


29/35


Caso 2:Utilizando las rigideces traslacionales relativas de entrepiso RE/(12E/H2) cm3de la figura 5.23 y

la expresin de la Ec.5.83 se determinaran los desplazamientos relativos y absolutos.Para todos los pisos, todas la rigideces de entrepiso se deben multiplicar por:

12E/H2=12*15000 250 /300

2=31,62 kg/cm

4

Piso REi(kg/cm) Vi i = Vi/REi i = i-1+ i

3 9178.83 2000 0.218 1.281

2 8314.58 4000 0.481 1.063

1 10303.33 6000 0.582 0.582

5.4.- Introduccin al clculo matricial.El clculo matricial en estructuras es una tcnica altamente exacta siempre y cuando su uso este

bien concebido. Una mala idealizacin, una concepcin errada del comportamiento a la hora de

definir el modelo, una definicin errada de la caractersticas de los elementos o las cargas sersuficiente motivo para obtener resultados elevadamente errados. Por ejemplo, es lgico

considerar la deformacin axial de las vigas cuando se calcula un prtico de un edificio?, eslgico definir el valor de la rigidez a torsin de la columnas con cualquier valor para un anlisis

espacial?. Evidentemente este tipo de preguntas nos obligan a pensar bien en el modelo a utilizar

antes de iniciar cualquier clculo.

A pesar de que esta ctedra no contempla la enseanza propia de la tcnica del anlisis matricial,

se darn algunos elementos introductorios para el uso de programas ya elaborados. Estopermitir facilitar en el futuro entender el uso, manejo e interpretacin de los resultados de

programas mas avanzados.

Nodos y Miembros:La estructura se compone de elementos o miembros rectos cuyos extremoscoinciden con nodos, estos estn posicionados bajo un sistema de coordenadas que definen porincidencia la ubicacin y orientacin del elemento en el plano. Cada nodo puede recibir uno o

ms miembros con rigidez que dependen de sus propiedades como condiciones de borde, rea,

inercia y longitud. Esta ltima propiedad queda establecida por la posicin de los nodos que

reciben el miembro. Por esta razn para poder idealizar un modelo matemtico matricial es

necesario ordenar la informacin numerando los nodos y los miembros.

Fig. 5.31 Numeracin de nodos y miembros en estructuras hiperestticas

1 2

3 4

Y

X1

2 3

4

5 6

1 2

3 4

Y

X

1 2

3

Armadura con 4 nodos y 6 elementos Prtico con 4 nodos y 3 elementos


30/35


Las fuerzas en los extremos de los elementos, depende del grado de rotacin y deformacin axial

de los mismos. Estos a su vez dependen de la rotacin de los nodos y el alargamiento delmiembro. El alargamiento es funcin del desplazamiento diferencial que ocurre entre los nodos

extremos luego de deformada la estructura al ser sometida a carga. En otras palabras, los gradosde libertad ripor nodo i(desplazamientos y rotaciones) son las incgnitas a determinar para cadaestado de carga, y el nmero de estas m, representa el tamao del sistema matricial a manipular.En estructuras planas como las armaduras, los grados de libertad o incgnitas por nodos son dos

(2), un desplazamiento vertical y un desplazamiento horizontal. En forma similar, para prticos

planos los grados de libertad por nodos son tres (3), dos desplazamientos como las armaduras

mas una rotacin. Por lo tanto, el total de incgnitas men estructuras planas ser el nmero denodos npor los grados de libertad que se consideran de acuerdo al tipo de estructuras a modelar.En armaduras planas m=2*n y en prticos planos ser m=3*n.

Fig. 5.32 Grados de libertad e incgnitas para dos estructuras planas

de diferente caractersticas

Sistemas de coordenadas:En el anlisis matricial se emplean dos sistemas de coordenadas para poder modelar

adecuadamente las estructuras y las cargas aplicadas. El primero es el SISTEMA GLOBALquedescribe la geometra en el plano al otorgarle coordenadas a los nodos, este a su vez identifica la

orientacin de las cargas concentradas, desplazamientos y rotaciones en los nodos y por

consiguiente el signo positivo o negativo de los mismos. Todo esto en correspondencia con los

grados de libertad de la estructura y un sistema de coordenadas cartesianas como se muestra en la

de la figura 5.33.

Fig.5.33 Sistema Global decoordenadas para un prticoplano y fuerzas aplicadas en elnodo 3 en correspondencia conlos grados de libertad.

Armadura con 8 grados de libertad Prtico con 12 grados de libertad

1 2

3 4

Y

X1

2 3

4

5 6

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

1 2

3

Y

X

1 2

3

r1

r2r3

r4

r5r6

r7

r8

r9 4r10

r11

r12

Y

X

Z

1 2

3

1 2

3

r1

r2r3

r4

r5r6

r7

r8r9 4

r10

r11r12

p7

p9

p8


31/35


De esta forma las fuerzas y momentos en los nodos se pueden representar con un vector P ,donde pirepresenta el valor de fuerza o momento en correspondencia a la direccin del grado de

libertad. De forma similar los desplazamientos y rotaciones se pueden representar por un vector

R , donde rirepresenta el valor de desplazamiento o rotacin en correspondencia a la direccindel grado de libertad. En el planteamiento matricial la ecuacin que describe la relacin

Fuerza-Desplazamiento y el sistema a resolver tiene la siguiente forma,

=

m

2

1

mm1m

2221

m11211

m

2

1

p

p

p

*

ff

ff

fff

r

r

r

MOM P*FR = 5.84

Donde F es una matriz cuadrada y representa la matriz de flexibilidad de la estructura quenormalmente se obtiene del planteamiento estructural por el mtodo de las fuerzas o flexibilidad.

Multiplicando a ambos lados de la ecuacin por la inversa de dicha matriz 1F se tiene,

PP*IP*FFRF 11 === PRF 1 = R*KP = 5.85

Donde 1FK = se conoce como la matriz de rigidez, la cual es igualmente cuadrada. Esta

expresin Ec.5.85 es el planteamiento estructural por el mtodo de los desplazamientos o

rigideces, y la obtencin de la matriz de rigidez se hace a travs de la definicin de la rigideces

de los elementos y compatibilidad de deformaciones en los nodos.En la mayora de los problemas estructurales el sistema matricial planteado es el referido a la

ecuacin 5.84, donde partiendo del resultado de los desplazamientos R se pueden obtener las

solicitaciones en los extremos de los elementos. Por otro lado el vector P es un estado de carganico o variable, por lo que para resolver la estructura para varios casos de carga el problema

fundamental es tener la matriz de flexibilidad. En forma prctica la mejor manera de obtener lamatriz de flexibilidad, es obtener la de matriz de rigidez partiendo de la definicin de rigidez de

los elementos que conforman la estructura para luego invertirla.

P*KR 1= 5.86

Partiendo de lo anteriormente descrito, la mayora de los programas de computacin utilizados

para resolver problemas estructurales bajo la tcnica de anlisis matricial lo que hacen esdeterminar la matriz de rigidez K y la invierten para conseguir as la matriz de flexibilidad. Una

vez determinada y almacenada la matriz 1KF = , las deformaciones para cualquier estado de

carga se obtienen multiplicando la inversa de la matriz de rigidez por el vector de carga P .

El segundo sistema de coordenadas es el SISTEMA LOCAL para cada elemento. En lasestructuras planas un elemento puede estar orientado en cualquier direccin del plano, por lo queel sistema global por si solo no es capaz de servir como sistema referencia para el elemento. El

sistema local por el contrario, aunado al sistema global que define la posicin de los nodos y porconsiguiente la direccin del elemento, sirve de referencia para definir propiedades y cargas

distribuidas a lo largo del miembro. Las incidencias de los nodos que limitan un miembro, esto

es nodo inicial iy nodo finalj, definen la orientacin del eje xdel elemento partiendo desde el


32/35


nodo inicial hacia el nodo final, el eje yser el eje perpendicular al eje xcontenido en el mismoplano de la estructura, mientras que el eje z ser el perpendicular saliente al plano de laestructura. Este sistema se puede adoptar como la regla de la mano izquierda, donde en un

elemento horizontal con junta inicial en el origen del sistema de coordenadas globales, tiene sustres ejes coincidentes con el sistema global como lo muestra el elemento prismtico de la figura

5.34.

Fig.5.34 Sistema de coordenadas locales de un elemento. Incidencias de juntas para loselementos de una estructura plana con miembros sometidos a cargas distribuidas

De acuerdo a lo anteriormente expuesto en lostres miembros de la figura 5.34 se orientan losejes del sistema local partiendo su origen en el

nodo inicial anteriormente establecido. Cada

miembro como lo describe la figura 5.35 tendr

su propio sistema local. Aunque en el anlisis

estructural plano tiene poca importancia, este

sistema define ahora el rea axial como el rea

del elemento perpendicular al eje xlocal, el reaa corte cuando no se desprecia como el reaparalela al eje y local, y la inercia como la

inercia del elemento rotando alrededor del eje zlocal y global.

Utilizando el sistema local, las cargas transversales al elemento tendrn un signo positivo o

negativo de acuerdo a la direccin respecto al eje ylocal. En este caso como se puede ver en lafigura 5.35, las tres cargas dispuestas sobre cada elemento tendrn un valor negativo por ir en

direccin contraria al eje y local. Por otro lado este sistema tambin describir la direccin osigno de las solicitaciones en los extremos de los elementos, esto es, fuerza axial, corte y

momento. Por ejemplo, el momento positivo significa que la rotacin es antihoraria. En algunosprogramas esta orientacin de los signos puede ser modificada para que el momento de imprimir

los resultados de la flexin, el valor positivo sea rotacin horaria o para que el elemento

sometido a compresin refleje fuerzas axiales negativas en los extremos.

xy

z

ij

Y

X

Z

1 2

3

1 2

3 4

W3

W1W2

Elemento i j

Incidencias

1 1 3

2 2 4

3 3 4

Sistema local de un

elemento prismtico

x

y

1

3

1

W1

y

x

2

2

4

W2

3

W3

3 4

y

x

Fig.5.35 Sistema de coordenadas

locales de los elementos.


33/35


Ejemplo:Impresin de resultados del clculo del prtico de la figura 5.34 con un programa de anlisismatricial para prticos planos.

Fig.5.34 Ejemplo de prtico plano de la figura 5.7

UNIVERSIDAD DEL ZULIAFAC. DE INGENIERIA

PROF. OTTO ROJAS

NOMBRE DEL ESTUDIANTE = ALUMNO-1

NOMBRE DEL PORTICO =F-5.7

COORDENADAS DE LOS NODOS EN MT

------------------------------

NODO X Y

1 0.000 0.000***

2 5.000 0.000***

3 10.000 0.000***

4 0.000 3.000

5 5.000 3.000

6 10.000 3.000

7 0.000 6.000

8 5.000 6.000

9 10.000 6.000

10 0.000 9.000

11 5.000 9.000

12 10.000 9.000

CARACTERIASTICAS DE LOS MIEMBROS

--------------------------------

E= 237170 Kg/cm2

MIEMBRO No. --JUNTA INICIAL---JUNTA FINAL-----INERCIA cm4---AREA cm2

1 1 4 32552.00 625.00

2 2 5 67500.00 900.00

5.00 5.00

3.00

3.00

3.00

2000 kg

2000 kg

2000 kg

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11

12 13

14 15


34/35


3 3 6 32552.00 625.00

4 4 7 32552.00 625.00

5 5 8 67500.00 900.00

6 6 9 32552.00 625.00

7 7 10 32552.00 625.00

8 8 11 67500.00 900.00

9 9 12 32552.00 625.00

10 4 5 133333.00 1000.00

11 5 6 133333.00 1000.00

12 7 8 133333.00 1000.00

13 8 9 133333.00 1000.00

14 10 11 133333.00 1000.00

15 11 12 133333.00 1000.00

CARGAS EN LOS MIEMBROS

----------------------

MIEMBRO No. ORDENADA INICIAL ORDENADA FINAL

CARGAS NODALES EN KG-MT

-----------------------

NODO S/X S/Y Mz

---- --- --- --

4 2000.00 0.00 0.00

7 2000.00 0.00 0.00

10 2000.00 0.00 0.00

Desplazamientos en cm y rad.

----------------------------

NODO S/X S/Y ROTACION

1 0.000000 0.000000 0.000000

2 0.000000 0.000000 0.0000003 0.000000 0.000000 0.000000

4 0.569080 0.005270 0.000900

5 0.565910 -0.000010 0.000930

6 0.564900 -0.005270 0.000890

7 1.083170 0.007760 0.000590

8 1.080000 -0.000010 0.000610

9 1.078950 -0.007770 0.000590

10 1.352940 0.008450 0.000230

11 1.349780 -0.000010 0.000240

12 1.348730 -0.008450 0.000230

FUERZAS EN LOS MIEMBROS Kg-Mt

-----------------------------

MIEMBRO FI VI MI FJ VJ MJ1 2605.77 1489.27 -2465.61 2605.77 -1489.27 -2002.19

2 -3.22 3033.48 -5046.76 -3.22 -3033.48 -4053.70

3 -2602.55 1477.38 -2446.54 -2602.55 -1477.38 -1985.59

4 1232.27 993.98 -1412.54 1232.27 -993.98 -1569.41

5 0.39 2010.03 -2845.87 0.39 -2010.03 -3184.23

6 -1232.66 996.09 -1417.07 -1232.66 -996.09 -1571.20

7 338.27 498.06 -654.34 338.27 -498.06 -839.86

8 -0.03 1004.00 -1309.05 -0.03 -1004.00 -1702.95

9 -338.24 497.87 -653.90 -338.24 -497.87 -839.72

10 -1504.73 -1373.50 3414.73 -1504.73 1373.50 3452.77

11 -481.29 -1369.89 3446.80 -481.29 1369.89 3402.67

12 -1504.11 -894.01 2223.75 -1504.11 894.01 2246.28

13 -498.12 -894.42 2247.01 -498.12 894.42 2225.11


35/35


14 -1501.98 -338.27 839.86 -1501.98 338.27 851.48

15 -497.93 -338.24 851.47 -497.93 338.24 839.72

EQUILIBRIO DE JUNTAS Kg-Mt

--------------------------

NODO S/X S/Y MOMENTO

1 -1489.27 -2605.77 -2465.61

2 -3033.48 3.22 -5046.76

3 -1477.38 2602.55 -2446.54

4 2000.01 -0.00 0.00

5 0.01 0.00 -0.00

6 0.00 0.00 0.00

7 2000.03 0.00 0.00

8 0.05 0.00 0.00

9 0.09 -0.00 0.00

10 2000.04 0.00 0.00

11 -0.05 0.00 0.00

12 -0.05 0.00 0.00

CAP-5 Calculo Estructural

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