Cap 5 Conveccion en Cubas

UNA TEORA DE LA ELABORACIN DEL VIDRIO

5.- Las corrientes de conveccin en las cubas de los hornos

___________________________________________________________________________ Ruperto M. Palazn www.areadecalculo.com

64

5.- LAS CORRIENTES DE CONVECCIN EN LAS CUBAS DE LOS HORNOS 5.1.- DISTRIBUCIN DE LAS PRESIONES VITROESTTICAS EN UN HORNO DE BALSA El coeficiente de dilatacin cbica de los vidrios industriales depende de su composicin qumica, como ya sabemos. A temperaturas por debajo de los 100C suele tomar valores cercanos a 2,6.105C1 (ver el Captulo I). Si dicho coeficiente pudiera extrapolarse a temperaturas superiores, resultara que 1 cm3 de vidrio a 0C ocupara un volumen a 1.500C de 1,039 cm3. En la prctica se comprueba que dicho volumen es claramente superior, alrededor de 1,112 cm3. En otras palabras, a temperaturas del orden de las que se obtienen en las cubas de los hornos, el coeficiente de dilatacin cbica de los vidrios industriales oscila alrededor de 7,4.105 C1. La variacin de peso especfico con la temperatura puede representarse mediante una expresin del tipo:

(5.1.1) r(T) = r(To)

1 + b.(T To)

si suponemos que dentro de un intervalo de temperaturas entre 1.200C y 1.500C, el valor de b se mantiene constante, siendo b el coeficiente de dilatacin cbica.

Tomando para b el valor 7,392.10-5 C-1 y para r(0C) el de 2,49 g/cm3

extrados del ejemplo citado en el Captulo I, resulta que la funcin r(T) toma la forma siguiente:

r(T) = 2,49

1 + 73,910-6T

que representada grficamente, da lugar a la curva de la Figura 5.1, es decir, prcticamente una recta de ecuacin: r(T) = 2,49 - 1,6610-4T Por otra parte, la experiencia de un conjunto extenso de medidas realizadas en hornos industriales muestran que, en las cubas calentadas por la parte superior, las temperaturas varan con la profundidad segn una distribucin prcticamente lineal; lo que no debe sorprendernos si analizamos con detenimiento la variacin de la conductividad aparente del vidrio con la temperatura absoluta. Por esta razn, se puede decir que:

(5.1.2) T(y) = T(0) qy




65

Figura 5.1.1 Combinando esta ecuacin con la (5.1.1), resulta:

(5.1.3) r(T) = r(To)

1 + b[T(0) q.y To]

Supongamos que en la cuba de un horno dado, se cumple que:

T(0) = 1.500C b = 7,392.10-5 C-1

To = 0C h = 140 cm

r(To) = 2,49 g/cm3 q = 1.500 - 1.300

140 = 1,4286C/cm

la variacin de la presin vitrosttica con la profundidad, ser: dp(y) = rgdy

(5.1.4) p(Y) =

o

Y

r(To).g1 + b[T(0) qy To]

dy.

que al integrar queda as:

p(Y) = r(To)g

bq ln

1 + bl[T(0) To]

1 + bl[T(0) To qY]

y sustituyendo valores numricos:

VARIACIN DE LA DENSIDAD DE UN VIDRIO CON LA TEMPERATURA

2,23

2,24

2,25

2,26

2,27

2,28

2,29

1200 1300 1400 1500

Temperatura, C

Den

sida

d, g

/cm

3




66

p(Y) = 2,49 x 980

7,392.10-5x1,4286 ln

1 + 7,39610-5x1.500

1 + 7,392.10-5(1.500 1,4286Y)

En el grfico 5.1.2 se dibuja esta funcin.

Figura 5.1.2

A la vista ella podemos concluir dos cosas:

1) La curva p(Y) es prcticamente una recta.

2) El valor mximo de la presin, (fondo de la cuba), vale 309.591,80 dinas/cm2.

Supongamos que, para simplificar, decimos que esa presin debe expresarse cmo p(140) = r g140. Busquemos el valor medio de r :

(5.1.5) r = 309.591,80

980140 = 2,2565 g/cm2

que, aplicando la ecuacin (5.1.1) dara T = 1.399,8C, que es casi exactamente la temperatura media en la cuba del ejemplo. Este resultado es una consecuencia directa de la forma rectilnea de la funcin r(T) ya comentada. En efecto, si substituimos la ecuacin (5.1.1) por otra del estilo r(T) = ro a.T en la ecuacin (5.1.3), dara cmo resultado:

r(T) = ro a[T(0) q.y]

PRESIN EN LA CUBA DE VIDRIO

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

0 50 100 150

Profundidad, cm

dina

s/cm

2




67

que sustituyendo en (5.1.4), nos dara:

o

y

g ro a[T(0) q.y] dy = g

ro.y ay

T(0)

qy 2

La presin en el fondo de la cuba sera, en este caso:

p(h) = g

roh ah

T(0)

qh 2

que razonando cmo hacamos en (5.1.5) dara lugar a:

r .gh = g

ro.h a.h.

T(0)

qh 2

esta densidad media puede venir representada por su temperatura media correspondiente, de acuerdo con su definicin anterior:

r = ro-- a/.

T(0)

qh 2 = ro-- a/Tm

simplificando esta igualdad: T(0) q.h

2 = Tm, que se corresponde exactamente

con la temperatura a la mitad de la altura de la cuba, es decir, la temperatura media entre la superficial y la del fondo. As pues, podemos afirmar, sin temor a cometer graves errores, que la presin vitrosttica en las cubas de los hornos industriales de elaboracin de vidrio, vara linealmente con la profundidad. Por tanto, puede representarse por una funcin del tipo:

p(y) = r gy 5.2.- EL MOVIMIENTO LAMINAR En el apartado anterior hemos considerado un ejemplo, cercano a la realidad, y en el que hablamos de temperaturas entre los 1.200C y los 1.550C. como valores extremos. Si observamos las curvas de viscosidad de los vidrios industriales, nos daremos cuenta que casi todos se sitan alrededor de la que se da cmo ejemplo en la Figura 1. En ella puede verse que la viscosidad oscila entre 1.000 poises y 50 poises. Aplicando los criterios de Reynolds, nos encontramos con que los movimientos del vidrio en la cuba siempre se sitan dentro de la zona del movimiento llamado "laminar". Las ecuaciones diferenciales de Euler, para el caso de un potencial de las velocidades y otro de fuerzas, para movimientos permanentes (cuba de vidrio en rgimen estable, no transitorio) se simplifican en la forma llamada de Navier. En el caso de movimientos laminares se pueden escribir as:




68

rg X

px =

rg (

ut + u

ux + v

uy + w

uz) m(

2ux2 +

2uy2 +

2uz2)

rg Y

py =

rg (

vt + u

vx + v

vy + w

vz) m(

2vx2 +

2vy2 +

2vz2)

rg Z

pz =

rg (

wt + u

wx + v

wy + w

wz ) m(

2wx2 +

2wy2 +

2wz2 )

X,Y,Z: Son las componentes de los vectores fuerzas exteriores u,v,w: Son las componentes de los vectores velocidad p Es la presin que acta en cada elemento de volumen r La densidad en cada punto m La viscosidad g La aceleracin de la gravedad t El escalar tiempo

5.3.- LAS CORRIENTES PRINCIPALES EN LAS CUBAS 5.3.1.- Presentacin preliminar En la figura 5.3.1.1 se esquematiza un alzado de una cuba de planta rectangular, llena de vidrio a una temperatura perfectamente uniforme T1. En la figura 5.3.1.1bis se traza la grfica de presiones vitrostticas en funcin de la altura (y). Cuando esta es y = ho (nivel de la solera), la presin es mxima y vale po. Supongamos ahora que dividimos la cuba en dos partes que separamos mediante un tabique (figura 5.3.1.2). En la parte de la derecha introducimos un sistema de calentamiento que permite mantener a todo el vidrio contenido en ella a una temperatura tambin uniforme T2, de tal manera que T2 > T1. Por efecto de la dilatacin, el vidrio de la zona derecha aumentar de volumen, alcanzando un nivel (ho + Dh). En la figura 5.3.1.2bis se trazan las curvas de presin vitrosttica en funcin de la altura para las dos zonas. En el fondo de la cuba, ambas presiones deben ser iguales. A la derecha del grfico se dibuja la curva de diferencia de presiones que se ejercen sobre el tabique de separacin, con la altura. Manteniendo todas las condiciones perfectamente constantes, levantamos el tabique de separacin de las dos zonas. Por efecto de la presin ya comentada, una parte del vidrio de la superficie de la zona derecha, ir a parar a la zona izquierda, la cual aumentar de nivel. Este trasiego de vidrio de una zona a la otra, har bajar el nivel de la primera (la de la derecha), para aumentar el de la izquierda (ir a pgina 70). Su Dh se ver disminuido, si bien se mantendr en un cierto valor. Las presiones en el fondo de una y otra parte ya no sern iguales, y las curvas de




69

presin en funcin de la altura sern las indicadas en la figura 5.3.1.4bis. La curva de la derecha indica la evolucin con la altura de la presin diferencial en la zona de transicin entre una zona y otra. Impulsado por estas presiones diferenciales, el vidrio pasar de la zona derecha a la izquierda en la parte superior, y en sentido

contrario en la inferior, establecindose dos corrientes que, si los sistemas de calefaccin y refrigeracin se mantienen eficaces (la derecha siempre a T2 y la izquierda siempre a T1), llegarn a su equilibrio dinmico en cuanto la corriente superior sea del mismo caudal que la inferior. En este equilibrio, los niveles de vidrio en ambas zonas dependern del salto trmico entre ellas, y del caudal provocado, el cual estar especialmente condicionado por la viscosidad del vidrio.

ho

po

y

presin

ho

po

y

presin

DhDpo

T2

T1

T2 > T1

T1

Figura 5.3.1.1 Figura 5.3.1.1 bis

Figura 5.3.1.2Figura 5.3.1.2 bis




70

La corriente superior se produce por la presin (Dp), que vara con la ordenada (y) segn se dibuja en la figura 5.3.1.4bis; es decir, segn una funcin lineal del tipo:

Dp(y) = Dpo (1 y hd

)

Este valor va disminuyendo, hasta anularse, a lo largo del eje OX de la cuba (ver figura 5.3.1.5). Si su variacin se considera constante con respecto a x (que cmo hemos visto, es una hiptesis bastante aceptable), resultar que:

dDp(y)

dx = Dpo 2.L (1

y hd

)

para todo x. 5.3.2.- El clculo de la distribucin de velocidades longitudinales. Caudal de conveccin (aproximacin de Sokolov y Velev) Las ecuaciones de Navier, para el caso de una distribucin de temperaturas uniforme se ven reducidas a:

-m(y).

2v

y2 =

Dp(y)

dx

ho

po

y

presin

Dho

Dpo

T2T1

p

y

presin

DhDp

Vd

Vr

Dpo > DpT2

T1

Figura 5.3.1.3 Figura 5.3.1.3bis

Figura 5.3.1.4 Figura 5.3.1.4 bis

hd




71

La integracin analtica es muy complicada. En una primera aproximacin, Sokolov propone una integracin simplificada, en la que se suponga un valor de m constante e igual a un "valor equivalente" m .

Figura 5.3.1.5 En este caso, la integracin de la ecuacin anterior nos conducir a:

-m

dy d2v

dy2.dy =

Dpo 2.L (1

y hd

)

-m .

dv dy

.dy = Dpo 2.L (y

y2 2.hd

) + C1

Volviendo a integrar:

v(y) = Dpo 2.m .L

.

y2

2 y3 6.hd

+ C1.y + C2

Las constantes de integracin se calculan a travs de las condiciones de contorno. Estas son distintas, en funcin de los casos que queramos contemplar. 1) Superficie superior libre: a) y = 0 (superficie del vidrio), v = mxima velocidad b) y = hd v = 0 (interfase donde cambia el sentido de la corriente)

0 X

Y

Z

Dpo

ps

vd

vr

hd

hr h

L




72

a)

dv

dy y=0 = 0

dv

dy y=0 = Dpo 2.L (0

02 2.hd

) + C1= 0, de donde: C1= 0.

b) 0 = Dpo 2.m .L

hd2

2 hd3 6.hd

+ C2, de donde: C2 = Dpo 2.m .L

hd2 3

y sustituyendo:

v(y) = Dpo

12.m .L

2.hd2 3.y2 +

y3 hd

Esta expresin nos proporciona, de acuerdo con las hiptesis simplificadoras expuestas, la distribucin de velocidades en el sentido vertical. Dadas estas simplificaciones admitidas para llegar a ella, no tiene ms valor que el cualitativo, del cual hablaremos ms adelante. Su integral con respecto a la superficie perpendicular al vector velocidad, nos proporciona el valor del caudal de conveccin directa del vidrio:

Vd = A.0

hdv(y)dy = A.

0

hd Dpo

12.m .L.

2hd2 3y2 +

y3 hd

dy

Vd = A. Dpo

12.m L.

2hd2y y3 +

y4 4hd

hd

0 . Vd = A.

Dpo 12.m .L.

2.hd2hd hd3 +

hd4 4hd

Vd = 5ADpo 48m .L hd

3

2) Superficies en contacto con elementos en los que la velocidad es nula (capa

intermedia, paredes rgidas, etc.):

a) y = 0 v = 0 b) y = hr v = 0

Con estos lmites, las constantes de integracin valen: C2= 0

C1= Dpo 2.m .L

hr3

es decir que la velocidad en este caso, puede expresarse segn:

v(y) = Dpo

12m .L.

2hr.y 3y2 +

y3 hr

anlogamente, el caudal en este caso se expresar cmo: Vr = ADpo 48.m .L hr

3




73

5.3.3.- Primeras observaciones 1) Los valores de las presiones Dp En los apartados (5.3.1) y (5.1) hemos mostrado que en las cubas de los hornos de elaboracin de vidrios industriales puede considerarse, sin temor a errores importantes, que las variaciones de la presin vitroesttica con la profundidad siguen leyes lineales. Como consecuencia de ello, hemos aceptado

expresiones cmo: Dp(y) = Dpo (1 y hd

), para representar la presin que mueve las

diferentes capas de vidrio laminar en la cuba. Si observamos la figura (5.3.1.5) podremos establecer que, por la semejanza de los tringulos:

Dpo hd =

ps hr

De la figura (5.3.1.4bis) se deduce que ps es la diferencia de presiones entre una zona y otra de la cuba simplificada. Podramos escribir que:

ps = hr1g (h + Dh)r2g

siendo r1 la densidad media de la zona caliente de la cuba, y r2 la densidad media de la zona menos caliente (g = 980 cm/seg2, como siempre). Por la misma razn:

Dpo = Dh.g.rs; siendo rs la densidad media de la capa superior del vidrio.

Dh.g.rs.hr

= h.r1.g - (h + Dh).r2.g

hr

Esta expresin se simplifica, y queda as:

Dh = h.(r1. r2) hr.rs + hd.r2

hd

Si miramos de nuevo las frmulas del apartado (5.1) , podremos concluir que:

hr.rs + hd.r2 @ (hr + hd).rm = h.rm con lo que:

Dh @ (r1 r2)

rm. hd

As pues, Dpo = Dh.rs.g @ (r1 r2).g.hd

Volviendo sobre la ecuacin anterior: Dpo hd =

p hr

, tenemos que p = Dpo hd hr




74

por tanto: p @ (r1 r2).g.hr 2) Las expresiones de la velocidad y el caudal de conveccin a) Corriente superior o "directa" y superficie libre

Recordemos que: v(y) = Dpo

12.md.L.

2.hd2 - 3.y2 +

y3 hd

Vd = 5.A.Dpo 48.md.L

hd3

que se transforman en: vd = (r1 - r2).g.hd

12.md.L.

2.hd2 - 3.y2 +

y3 hd

Vd = 5.A.(r1 - r2).g

48.md.L hd4

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0 10 20 30 40 50 60

Profundidad desde la superficie, cm

Vel

ocid

ad, c

m/s

eg

Vd (por integracin numrica) = 35,5 g/seg.cm Vd ( por integracin analtica ) = 38,0 g/seg.cm

Figura 5.3.3.1

En la figura 5.3.3.1 se trazan, para un caso particular frecuente, las curvas de distribucin de velocidades longitudinales calculadas por la frmula analtica, tomando como viscosidad la correspondiente a la viscosidad media entren las de las temperaturas extremas de la corriente de vidrio , y calculadas por integracin




75

numrica. Se adjuntan los valores de los caudales correspondientes. Las diferencias son importantes. b) Corriente con superficies no libres

En este caso, hemos visto que: v(y) = Dpo

12.m r.L.

2.hr.y - 3.y2 +

y3 hr

Vr = A.Dpo 48.m r.L

hr3

Haciendo el mismo cambio que anteriormente, resultarn las expresiones siguientes:

v(y) = (r1 - r2).g.hr

12.m r.L.

2.hr.y - 3.y2 +

y3 hr

Vr = A.(r1 - r2).g

48.m r.L hr4

00,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0 10 20 30 40 50 60

Profundidad desde una superficie, cm

Vel

ocid

ad, c

m/s

eg

Vr (por integracin numrica) = 6,01 g/cm.seg Vr ( por integracin analtica ) = 4,79 g/cm.seg

Figura 5.3.3.2 En las mismas condiciones que en las del ejemplo anterior, se obtiene el

grfico 5.3.3.2. Tambin en este caso, las diferencias son notables.




76

Supongamos ahora que en una cuba la corriente directa, que se establece por la parte superior, presenta la superficie superior libre, como parece lgico en nuestros hornos. En una situacin en equilibrio, la corriente msica superior tiene que ser igual a la inferior.

Por tanto, deberemos igualar Vr y Vd expresadas en g/cm.seg.

A.(r1 - r2).g 48.m r.L

rr.hr4 = 5.A.(r1 - r2).g

48.md.L rd.hd4

Simplificando esta expresin, quedar:

hr hd

= 4 5.rd.m r

rr.md

que con la h = hr + hd permite el clculo de los espesores de cada una de las corrientes de conveccin. Si, como ocurre en las zonas de la cuba cubiertas por la composicin, la superficie superior de la corriente directa no se halla libre, las ecuaciones de caudal que deberamos igualar seran:

A.(r1 - r2).g 48.m r.L

hr4 = A.(r1 - r2).g

48.md.L hd4

que simplificando nos dara:

hr hd

= 4 rd.m r

rr.md

que como antes, junto con la expresin h = hr + hd nos permiten calcular en este caso, los valores de los espesores de las corrientes de conveccin. Ahora estamos en condiciones de estimar los valores de las velocidades longitudinales de las corrientes de conveccin, as cmo su caudal. 5.3.4- Algunas conclusiones de orden cuantitativo 1) Las frmulas que nos proporcionan en cada caso las distribuciones de

velocidades longitudinales y los caudales de vidrio, basadas en una integracin analtica simplificada, tomando para las propiedades del vidrio las de los valores medios de las temperaturas, pueden presentar un cierto inters cualitativo, pero suponen diferencias importantes con los valores obtenidos mediante la integracin numrica, ms exacta.




77

2) Si la corriente considerada es la superior y con la superficie libre, la mxima velocidad se encuentra en esa superficie, descendiendo luego hasta anularse en el plano intermedio, segn una ley aproximadamente cbica. El caudal de la corriente es proporcional a la cuarta potencia de su espesor.

3) En el caso anterior, puesto que necesariamente la corriente inferior no puede

presentar ninguna superficie libre, podemos estimar que los espesores de las corrientes, en una cuba de las frecuentes, estn en una relacin de:

hr hd

@ 4 5 . 2,26 . 280

2,28 . 84 = 2,016

es decir, hr @ 2,0(h hr), y:

hr @ 1/3.h hd @ 2/3.h

4) En el caso de que la corriente superior no presente una superficie libre, el

mximo de la velocidad se sita aproximadamente a:

dv(y) dy =

(r1 r2).g.hr 12.m r.L

.

2.hr. 6.y +

3.y2 hr

= 0; 2.hr. 6.y + 3.y2

hr = 0

que despejando el valor de y nos da y @ 0,423.hr El valor obtenido por clculo numrico es y @ 0,370.hr 5.4.- LA MODELIZACIN DE LAS CORRIENTES DE CONVECCIN EN LA CUBA DE UN HORNO

PARA ELABORACIN DE VIDRIO 5.4.1.- El modelo analtico

La modelizacin intentada de forma analtica por Skolov a principios del siglo XX contempla un modelo en 2D, en condiciones adiabticas, con una geometra extremadamente simplificada y con viscosidades medias en cada uno de los recipentes. La misma modelizacin, introduciendo una sencilla funcin de temperatura con el espesor y, provoca ya diferencias en los resultados nada despreciables, como hemos podido ver. Las soluciones analticas de las ecuaciones de Navier a lo sumo ayudan a calibrar cualquier otro modelo ms sofisticado.

En nuestro caso, nos seguimos manteniendo en una modelizacin 2D, en la

que vamos a intentar introducir la posibilidad de hacer variar las propiedades del vidrio en funcin de las coordenadas del punto en cuestin. 5.4.2.- Un modelo numrico




78

Supondremos que la variacin de la temperatura con la ordenada y es lineal, y que su variacin en el sentido x tambin. En la corriente convectiva principal la corriente msica superior tiene que ser igual a la inferior, y esta ltima debe ser constante a lo largo de toda la longitud del horno. Consecuencia inmediata de estas hiptesis es que el que hemos llamado plano neutro no puede ser paralelo al plano del fondo de la cuba (Figura 5.4.2.1).

Figura 5.4.2.1

Las temperaturas en el plano del punto caliente son superiores a las del plano opuesto, y por lo tanto, para compensar el efecto de la viscosidad, para que se pueda cumplir la ley de la continuidad en un rgimen estacionario, es preciso que la seccin de paso de la corriente sea mayor en las zonas fras que en las ms calientes. Supongamos, para nuestro vidrio ejemplo, los siguientes valores:

Plano caliente T(L,y) = 1.386 0,86y Plano fro Tf(0,y) = 1.355 0,86y

L = 10 m El resultado es: Ordenada del plano neutro en el punto caliente: 100,0 cm Ordenada del plano neutro en el punto fro: 110,3 cm Caudal de vidrio: 20,16 g/seg.cm de anchura Esta forma de la superficie que llamamos neutra, es contraria a la que necesita el flujo de la corriente superior, la cual adems se ve entorpecida por el deslizarse y disolverse de las materias vitrificables que flotan sobre ella. Por otra parte, un modelo 2D no tiene en cuenta que al no ser la cuba adiabtica, sus paredes laterales son zonas fras hacia las cuales tienden unas

Plano del "punto caliente"

Corriente principal

Eje de la cuba

Corriente secundaria




79

corrientes que engrosan la corriente principal de retorno, en detrimento de la superior. A todo esto hay que sumar el efecto de los extremos de la corriente, cuya forma rompe completamente con las frmulas hasta ahora usadas. Esto nos conduce a la conclusin de que la simulacin de las corrientes de conveccin, es el problema ms complicado con el que se choca, al querer establecer un modelo de comportamiento de un horno de elaboracin de vidrio. Tomemos ahora en el ejemplo anterior los valores medios:

Plano medio T(L,y) = 1.370,5 0,86.y L =10 m

y calculemos el caudal correspondiente para una situacin del plano neutro intermedia: 20,18 g/seg.cm, cuya comparacin con la solucin anterior, muestra una interesante similitud. 5.4.3.- El modelo retenido Todo modelo es bueno, a condicin de que est bien calibrado y slo se utilice dentro de aquellos intervalos para los que fue creado. Sobre todo, si no se dispone de otro mejor a mano Esta discutible afirmacin es de este humilde autor. Pero es la hiptesis fundamental que nos permite continuar. Veremos cmo a pesar de sus limitaciones nos permite extraer conclusiones de inters. Este modelo parte de las hiptesis siguientes: 1) La presin motriz que mueve las capas de vidrio se calcula por:

Dpo = Dh.rsg @ (r1 r2)ghd

manteniendo la simbologa anterior. Sabemos, por lo ya comentado al inicio de

este Captulo que (r1 r2) = T1 - T2

d siendo d una constante propia de cada

vidrio, (muy prxima a 6.000C.cm3/g para la mayor parte de los vidrios industriales).

2) Las viscosidades medias de las corrientes se calculan a partir del valor de sus temperaturas medias respectivas, afectadas de unos coeficientes correctores establecidos previamente a travs del mtodo descrito en 5.3.3 (comparacin de integracin analtica vs numrica). Con estos valores se calcula la situacin del plano medio de la cuba de vidrio. Se cumple que la posicin del plano neutro se encuentra segn:




80

hr hd

= 4 rd.m r

rr.md

h = hr +hd

3) El caudal de la corriente de retorno o inferior se determina por la integracin

numrica de la ecuacin:

-m(y).

2v

y2 =

p(y)

x

con la distribucin de temperaturas correspondiente al que hemos llamado plano medio

4) El efecto de las corrientes laterales, as como de otros fenmenos no

considerados en el modelo se realiza mediante la introduccin, en el resultado final del clculo de caudal, de un coeficiente correctivo, al que llamamos de agitacin (Ag), cuyo valor se utiliza como uno de los coeficientes de calibrado del modelo. Ver Captulo IX.

Cap 5 Conveccion en Cubas

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