Cap 8 Adicion Momentos Angulares

8/19/2019 Cap 8 Adicion Momentos Angulares

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8. Suma de momentos angulares

0) Introducción

2) Suma de dos spines ½

3) Suma de dos J’s cualesquiera4) Coeficientes de Clebsch-Gordan5) Un ejemplo: dos partículas con hamiltoniano de Heisenberg

eorema e gner- c ar


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0 Introducción

partículas, centrándonos en el caso de DOS PARTÍCULAS

caso se presen a muy recuen emen e en ec n ca u n ca.

Algunos casos particulares importantes:

1) Momento angular total de una partícula con L y S.2) Átomos con varios electrones

, , …


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1 Definición del momento angular total

Consideremos un sistema de DOS PART CULAS DISTINTAS (más adelante severán las condiciones para partículas iguales) con momentos angulares.

espac o e es a os e ca a una 1 y 2 es asa o en os e s:

111 ,, m jk

222 ,, m jk

Que son los vectores propios del momento angular de la partícula 1 , J12, J 1z y algúnotro operador que conmute con ellos para formar un CSCO El índice k1 numeraautovectores de J12, J 1z con los mismos j, m y distintos autovalores del otro operador

Análogamente para la partícula 2.

,sistema queda descrito por el PRODUCTO TENSORIAL E 1 E 2

Una base de dicho espacio es: 221121222111 ,,,,,,,,, m jm jk k m jk m jk En el espacio total, definimos los operadores “momento angular total”:

z z z y y y x x x J J J J J J J J J ;;; 21212121 JJJ

y x y x iJ J J iJ J J ;


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Las relaciones de conmutación de J2 J J J son las de todos los

momentos angulares es decir

J i J J J i J J J i J J ,;,;,

Sin embargoJ2

, no conmuta ni con J 1z ni con J 2z

En efecto: z z y y x x J J J J J J 212121

2

2

2

121

2

2

2

1

2

21

2 (22 JJJJJJJJJ

022222 J J i J J i J J J J J J J J

Es útil la expresión (demostrarla):

2 2 2

212121212121 z z

, z , 1 2

En este capítulo se trata de encontrar la base de autovectores comunes aJ1

2, J22 , J2 y J z


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2 Suma de dos spines 1/2

Consideremos primero el caso de dos spines 1/2:

Base de autovectores de S12, S1z , S22, S2z (las k ’s no importan aquí)

,,,2

1

,2

1

222111 mmk m jk m jk

2121212211212121111

z z z S S S

Actuación de Sz :

Los 4 vectores de la base son autovectores de Sz

total los autovalores de S1z y S2z se suman 1

1,02

1con 21212121 mm M M S z

1

0

0 zS


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La matriz que representa S2 en la base de de S12, S1z , S22, S2z :

0110

0002

22

2000

0110

Es decir que |++ y |- - son autovectores con valor propio 2ħ2

|+- y y |- + no son autovectores sino que forman un subespacio propio

La matriz que representa S2 en la base de de S12, S1z , S22, S2z :

Por no hacer esada la notación vamos a dia onalizar a arte la ca a “llena deunos”:

2

011011 12

2

Los autovalores de S2 son pues 2ħ2 , ħ2 y 0


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Autovectores: 00002 1 x

0

0

0110

0110

3

2

x

x

02000 4 x

Con = 2: 1, , “tri leteElegimos el coeficiente de normalización real y positivo

1“ ”

”

on = :2

Hay que notar que si hablamos solamente de autovectores de S2 cualquier

s n g e e

combinación de los tres primeros vale.

Sin embargo autovectores comunes a S2 y Sz , sólo son los tres indicadossa vo por un ac or num r co mu p can o a ca a uno .


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Es obvio que y lo son, con autovalores +ħ y -ħ11

ero am n:

1

0011

1

1

22 21

z z z

En resumidas cuentas, los 1

, ,

Forman una base {|S,M } de autovectores de S2 y Sz , con S = 1 (elautovalor es S(S+1)ħ2 = 2 ħ2 ), y M = 1,0, correspondiente a un momento

1,1

: ,

21 ssS

2

1,0

- ,

Ejercicio: mostrar que también 111 S,M M M S S S,M S

Por otra parte el 21

0,0 Corresponde a 021 ssS


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3. Suma de dos J’s cualesquiera

212121222111 ,;,;, mm j jk k m jk m jk

de J12, J22, J 1z y J 2z

Cuyos autovalores respectivos son: 22

221

2

11 ,1,,1 m j jm j j

Se define el o erador vectorial: 21 JJJ

Queremos encontrar los autovectores y autovalores de J12, J22, J2 y J z , que

M J j j ,;, 21

Se trata de diagonalizar las matrices que corresponden a J2 y J z .

No dependen de k1 ni de k2 así que los hacemos desaparecer de lanotación


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Elementos de matriz de J z

22112122112221112211212211 m jm jmmm jm jmm jm jmm jm j J J m jm j J z z z

, z con el autovalor:

21 mm M

Notar que los valores de M son enteros si j 1 y j 2 son los dos enteros o

y son semienteros si uno sólo de los j 1, j 2 lo es

Degeneración: Se trata de ver cuántos vectores de la base corresponden alm smo o a . ea es e n mero M g j j 21

Notar que es el mismo problema que determinar de cuántas maneras posiblesse pue e o ener un o a a o ran o os a os e 1+ y 2 + caras a

la vez.


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mm

El máximo valor posible de M es j 1+j 2 y éste es simple, porque sólo sepuede obtener con la combinación m1= j 1 y m2 = j 2 .

El siguiente valor posible de M es j 1

+j 2

-1 y es doble, ya que se puede obtenercon las combinación m = j -1 y m = j , o bien con la m = j y m = j -1

Así sucesivamente, el mínimo valor posible de M es –(j 1+j 2 ) y es simple

Gráficamente (dibujadopara j 1=2, j 2 = 1) todos

misma M caen en unarecta de pendientre -1,

lados 2j 1 y 2j 2

La ma or de eneración ocurre ara valoresde M tales que:

12)(y- 2212121 21 j j j M g j j M j j j j


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Autovalores de J2 y J z

1,

2,

1z

2zdescompone en subespacios de autovectores de J2 y J z .

Antes de demostrarlo, anticipemos la conclusión importante

Los valores de J que salen cumplen: Para un valor posible de J , M toma los valores –J M +J , de uno enuno ha varios M i uales ue corres onden a distintas J ’s

El máximo valor posible de M es M max = j 1 + j 2 , por tanto estees el valor máximo de J total.

J

El autovector |J=j 1+j 2 , M = j 1+j 2 es simple:

221121212121 ,;,,;, jm jm j j j j M j j J j j

operador J -


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Por ejemplo:

,;,,;, 22112121221121

jm jm j j J J jm jm j j J

1,;,2,1;,2 2121221211 j j j j j j j j j j

Por otro lado:

1,;,)1()1(

,;,,;,

212121

212121221121

j j M j j J j j M M J J

j j M j j J j j J jm jm j j J

1,;,2

1,;,2 212121

J

j j M j j J j j J

Finalmente:

1,;, 212121 j j M j j J j j

1,;,,1;, 22112121

2221121

21

1

jm jm j j j j

j jm jm j j

j j

j


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Teníamos 1,;, 212121 j j M j j J j j

Sin necesidad de cálculos complicados es obvio que la única combinación

1,;,,1;, 22112121

2221121

21

1

jm jm j j j j jm jm j j j j

, ,

,1;, 2121 J M j j J j j

1,;,,1;, 22112121

2221121

21

1

jm jm j j j j

jm jm j j j j

Ahora obtenemos los demás vectores con ese J y diferentes M ’s aplicando J -:

1,;,)1()1(,;, 2121 M J j j M M J J M J j j J

Para J = j 1+ j 2 -2 el mayor M posible es j 1+j 2 -2 , y hay tres vectores independientescon esa M , …ya la hemos usado dos combinaciones en la obtención de los

autovectores con J = j 1+j 2 y J = j 1+j 2 -1

Queda otra única combinación posible (salvo por un factor) que sea ortogonal alas dos anteriores. De nuevo se obtienen todos los vectores para J = j 1+ j 2 -2 con M

eren es ap can o _


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El proceso finaliza con J = j 1-j 2 (el último J posible) pues ya no quedan

vectores linealmente independientes que no se hayan usado anteriormentepara la obtención de los vectores con J mayores y diferentes M .

Esto ocurre porque mientras M>j 1-j 2 la degeneración de M aumenta en unaunidad cada vez que se disminuye M , pero no ahora que M j 1-j 2

Conclusión importante: Los valores de J total que pueden salir (admitimos yaque j 1 pueda ser menor que j 2 ) cumplen:

2121 j j J j j

El espacio total de estados (con j 1 y j 2 fijados) es la suma directa de los subespaciosque corresponden a todas las J ’s permitidas, de dimensión (2 j 1+1)(2 j 2 +1).

Ejercicio. Probar que para cualquier par de valores j 1 j 2 0 , enteros,semienteros o uno de cada forma, se cumple: 21 j j

21

21

j j J


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’

7) Otras notaciones frecuentes:

321

321

1332121 121,;, 32133 2211 mmm jC m jmm j j m j jm j

m jm j

= Símbolos 3j de Wigner (muy usados en F. Atómica)


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4 0 .

C l e b s c h - G o r d a n c o e ffi

c i e n t s

1

4 0 . C L E B S C H - G

O R D A N C O E F F I C

I E N T S , S P H E R I C

A L H A R M O N I C S ,

A N D d F U N C T I O N S

N o t e :

A

s q u a r e - r o o t s i g n

i s t o b e u n d e

r s t o o

d o v e r e v e r y c o e ffi c i e n

t , e . g . ,

f o r −

8 / 1 5 r e a d −

8 / 1 5 .

Y 0

1

=

3 4 π

c o s θ

Y 1

1

= −

3 8 π

s i n θ e i

φ

Y 0

2

=

5 4 π

3 2

c o s 2 θ −

1 2

Y 1

2

= −

1 5 8

π

s i n θ c o s θ e

i φ

Y 2

2

= 1 4 1 5 2 π

s i n

2

θ e 2

i φ

Y −

m

=

( − 1 ) m Y m ∗

j 1 j 2 m

1 m

2 |

j 1 j 2 J M

= ( −

1 ) J −

j 1 −

j 2 j

2 j 1 m

2 m

1 |

j 2 j 1 J M

d m

, 0 =

4 π

2 +

1 Y m

e − i m

φ

d j m

, m

= ( − 1 ) m −

m

d j m

, m

= d

j − m

, − m

d 1 0

, 0 =

c o s θ

d 1

/ 2

1 /

2 , 1

/ 2

= c o s

θ 2

d 1

/ 2

1 /

2 , −

1 /

2

= −

s i n

θ 2

d 1 1

, 1 =

1 + c o s θ

2

d 1 1

, 0 = −

s i n θ

√ 2

d 1 1

, − 1

= 1 −

c o s θ

2

d 3

/ 2

3 /

2 , 3

/ 2 =

1 + c o s θ

2

c o s

θ 2

d 3

/ 2

3 /

2 , 1

/ 2 = −

√ 3

1 + c o s θ

2

s i n

θ 2

d 3

/ 2

3 /

2 , −

1 /

2

= √ 3

1 −

c o s θ

2

c o s

θ 2

d 3

/ 2

3 /

2 , −

3 /

2

= −

1 −

c o s θ

2

s i n

θ 2

d 3

/ 2

1 /

2 , 1

/ 2 =

3 c o s θ −

1

2

c o s

θ 2

d 3

/ 2

1 /

2 , −

1 /

2

= −

3 c o s θ +

1

2

s i n

θ 2

d 2 2 ,

2

= 1 + c o s θ

2

2

d 2 2 ,

1

= −

1 + c o s θ

2

s i n θ

d 2 2 ,

0

= √ 6 4

s i n

2

θ

d 2 2 ,

− 1

= −

1 −

c o s θ

2

s i n θ

d 2 2 ,

− 2

= 1 −

c o s θ

2

2

d 2 1 ,

1

= 1 + c o s θ

2

( 2 c o s θ

− 1 )

d 2 1 ,

0

= −

3 2

s i n θ

c o s θ

d 2 1 , −

1

= 1 −

c o s θ

2

( 2 c o s θ +

1 )

d 2 0

, 0 =

3 2

c o s 2 θ

−

1 2

F i g u r e

4 0 . 1

: T h e s i g n c o n v e n

t i o n

i s t h a t o f

W i g n e r

( G r o u p T h e o r y ,

A c a

d e m

i c P r e s s

, N e w

Y o r

k , 1 9

5 9 ) , a l s o u s e

d b y

C o n

d o n a n

d

S h o r

t l e y

( T h e

T h e o r y o f A t o m i c S p e c t r a

, C a m

b r i

d g e

U n

i v .

P r e s s

, N e w

Y o r

k ,

1 9 5 3 ) ,

R o s e

( E l e m e n t a r y T h e o r y o f A

n g u l a r M o m e n t u m

, W i l e y

, N e w

Y o r

k ,

1 9 5 7 ) ,

a n d C o h

e n ( T a b l e s o f t h e C l e b s c h - G o r d

a n C o e ffi c i e n t s

, N o r

t h A m e r i c a n

R o c k w e l

l S c i e n c e

C e n

t e r ,

T h o u s a n

d O a k s ,

C a l

i f . ,

1 9 7 4 ) .


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5. Un ejemplo de combinación de J’s

Se tiene un sistema de dos partículas de momentos angulares fijados j 1 y j 2 distintas situadas en lugares fijos del espacio y un hamiltoniano llamado “deHeisenberg”:

Comentario: dos átomos de un sólido se adaptan, bien a esta situación. En F.

21 JJ a H

de cada átomo con otros valores de j 1 o j 2 corresponden a energías muchomayores y son inalcanzables.

1esu a que se pue e escr r:

2121

2

Y tenemos un caso en que el hamiltoniano no conmuta con J 1z ni con J 2z pero sí2 2 2 ’, , z z

Así pues los vectores | j 1 j 2 JM son autovectores del hamiltoniano con autovaloresque dependen sólo de J ya que j

1y j

2 están fijados.

Autovalores, autovectores y ;11121

2211

2 j j j j J J a E J

12)(;;21

J E g JM j j J


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Ejemplo: j 1= j 2 = 1 J = 2, 1, 0 2,2,1,2,0,2,1,2,2,2;22 a E

1,1,0,1,1,1;2

1 a E 0,0;2 20 a E

Físicamente los estados con J = 2 significan que los dos momentos sonparalelos con el mismo sentido, y tienen cualquier dirección en el espacio, ya que

al estar todos los posibles valores de M , significa que cualquier combinación deellos es de la misma energía, en particular la que da con toda seguridad J u = 2 ħ al medir la componente de J en una dirección arbitraria u.Esto ocurre porque el hamiltoniano es isótropo: no depende más que del ánguloentre los momentos, no de su dirección

La de J = 0 indica que los dos momentos son “antiparalelos” (paralelos ensentidos opuestos , con dirección indeterminada, ya que la probabilidad deobtener J 1u = ħ es la misma para cualquier dirección. Sin embargo si se mide J 2z

después de J 1z saldrá exactamente lo opuesto. Verificar ambas cosas.Físicamente los estados con J = 1 significan que los dos momentos forman contoda seguridad un ángulo de 120º, pues J (J+1) = j 1( j 1+1) = j 2 ( j 2 +1). Sin embargo la

.


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Supongamos que se aplica un campo magnético externo B = B uz.

El hamiltoniano pasa a ser:

J J Baa H 2221 JJJBJBJJJ

2

Que también conmuta con con J12, J22, J2 y J z .Sin embargo ahora los autovalores dependen de J y M y son nodegenerados salvo para valores especiales de B.

1)(;;

;1112

21

2211

JM

JM

E g JM j j

M B j j j j J J a E

Ejemplo: j 1= j 2 = 1Niveles de

energía enfunción del campo

A licación ráctica: ara los cam os en ue ha cruzamiento de nivelesla entropía aumenta (es el ln del nº de niveles que hay en un intervalodel orden de k BT ) y el sistema extrae calor del exterior para conseguirlo.


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6. Teorema de Wigner-Eckart

n con un o e can a esq

, q= - ,…, se ce que orma un ensorirreducible (bajo el grupo de rotaciones) de rango k si al hacer una rotacióncualquiera de los ejes de coordenadas, cada componente se transforma en una

,a k (ni combinaciones lineales) que se transformen sólo entre ellas para TODAS

las rotaciones.

Ejemplo 1: La componentes de un vector A( A x , Ay , Az ) en el sistema de ejes decoordenadas (u x , uy , uz ) cambian si tomamos un sistema de coordenadas (ux’,

’ ’y , z .

En general las nuevas componentes se obtienen mediante una matriz detransformación O ue es recisamente real orto onal O -1=O t dedeterminante +1:

y

x

y

x

A

A

OOO

OOO

A

A

232221

131211

'

'

z z AOOO A 333231'

El concepto geométrico intuitivo de “vector” como “una flecha” es una entidad en, .

Es más fácil decir que tres números son las componentes de un vector porquese transforman entre sí de la forma anterior


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Ejemplo 2: La temperatura, presión y densidad del aire en un punto no cambian

aunque se cambia a un sistema de ejes rotados: son tres “escalares” (= tensoresde orden cero) independientes, no un vector.

emp o : os e emen os e una ma r z s m r ca e raza nu a setransforma, bajo la misma rotación anterior mediante el producto de matrices

t 'Son 5 elementos independientes (2 de la diagonal + 3 del triángulo superior oinferior) y forman un tensor de orden 2

Ejemplo 4: Los elementos de una matriz cualquiera M se transforman tambiénentre sí pero el tensor es reducible, porque de puede descomponer en tres

* La traza Tr(M) que es invariante = escalar * M-M t cuyos tres elementos independientes forman un vector (axial)* t - irreducible

E em lo 5: Los armónicos esféricos de orden l : Y m forman un tensorirreducible de orden l.


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Tratando de operadores cuánticos se dicek = - q , ,…,

tensorial irreducible si las reglas de conmutación con el momento angular totaldel sistema son.

k qk qk qk q z T qk qk T J qT T J 11, ;,

Esta forma tan rara de definirlo (es equivalente a lo anterior cuando el operadortiene análogo clásico) viene del hecho de que el operador de rotación de un

,

uJ i

u e R )(

El teorema de Wigner-Eckart dice que el elemento de matriz de la componente qde un operador tensorial irreducible entre dos estados propios del momento

angular total del sistema es: mqmmm q ;

Donde j||T k || j’ es un número (=“elemento de matriz reducido”) que no depende’ , -

independiente del operador.


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En particular el teorema implica que el elemento de matriz es cero si no se

k j jk j '' 'mmq

Caso particular del vector R

La relaciones de conmutación las satisfacen las llamadas componentes esféricas:

; ; 111

0

1

1

iY X T Z T

iY X T

O inversamente:1

1

1

1 T T X

Así ues los elementos de matriz de X son nulos exce to entre estadoscon j’=j o j’=j 1 y m’ = m1

Cap 8 Adicion Momentos Angulares

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