Cap 9 Sec 9.1 9 - MATE 3172 – Precálculo II – Profa. Rodriguez | Sitio que da apoyo a los...
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Cap 9 Sec 9.1 – 9.3
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Cap 9 Sec 9.1 – 9.3
Una sucesión infinita es una función cuyo
dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
Podemos denotar una sucesión como una
lista
a1 , a2 , a3 , … an , …
◦ Donde cada ak es un término de la sucesión y k
indica la posición del término en la sucesión.
La sucesión también se puede denotar como
un todo, describiendo una fórmula para el
término enésimo usando {an} .
EJEMPLO
1) 2,4,6,8,10, …
2) 3 1na n
EL DOMINIO SE COMPONE
DE LA POSICIÓN RELATIVA
DE CADA TÉRMINO.
1 2 3 4 5 … DOMIINIO:
3 6 9 12 15 … Alcance:
EL ALCANCE SE
COMPONE DE LOS
TÉRMINOS DE LA
SUCESIÓN.
La regla o ecuación de la sucesión anterior es
an = 3n,
donde an representa el enésimo término de la sucesión.
n
an
La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los términos de la sucesión 3, 6, 9, 12, 15 …
Sucesiones Infinitas
Escribe los primeros seis términos de la sucesión: an = 2n + 3.
a 1 = 2(1) + 3 = 5 Primer término
a 2 = 2(2) + 3 = 7
a 3 = 2(3) + 3 = 9
a 4 = 2(4) + 3 = 11
a 5 = 2(5) + 3 = 13
a 6 = 2(6) + 3 = 15
EJEMPLO
Solución
Segundo término
Tercer término
Cuarto término
Quinto término
Sexto término
Escribe los primeros seis términos de la sucesión,
f (n) = (–2)
n – 1 .
f (1) = (–2) 1 – 1 = 1 1er término
2ndo término
3ro término
4to término
6to término
f (2) = (–2) 2 – 1 = –2
f (3) = (–2) 3 – 1 = 4
f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8
f (5) = (–2) 5 – 1 = 16
f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32
5to término
EJEMPLO
Solución
Si los términos de una sucesión tienen un patrón
determinado entonces, podemos escribir el enésimo
término de la sucesión y su ecuación.
Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la
ecuación del enésimo término de la sucesión
EJEMPLO
1 3
, 1 9
, 1 27
, 1 81
1 2 3 4 n
términos 1 243
5
1 3
4
1 3
1 , 1
3
2 , 1
3
3 , 1
3
5 términos
Solución
1 3
La ecuación del enésimo término es an =
n
−1
3,1
9, −1
27,1
81, …
2 6 12 20
La ecuación del enésimo término es f (n) = n (n+1).
términos
5(5 +1)
Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del
enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,….
5
30
1 2 3 4
1(1 +1) 2(2 +1) 3(3 +1) 4(4 +1)
n
Solución
EJEMPLO
5(6) Rescribe términos 1(2) 2(3) 3(4) 4(5)
Se puede graficar una sucesión representando • en el eje horizontal, los números enteros
positivos (el dominio) • los términos en el eje vertical (el alcance).
EJEMPLO
Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).
an = n2
Series 1
2 4 6 8 10
2468
101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698
100102104106108
x
an
(1,1)(2,4)
(3,9)
(4,16)
(5,25)
(6,36)
(7,49)
(8,64)
(9,81)
(10,100)
Gráfica de una sucesión
Trazar la gráfica de:
Grafiquemos la sucesión
Grafiquemos los pares
ordenados
para n = 1, 2, 3, …
,1
nnn
n n/(n+1)
1
2
3
4
10
1/2
2/3
3/4
4/5
10/11
Podemos definir una sucesión recursivamente
si declaramos…
◦ el primer término de la sucesión, a1 , y
◦ una regla para obtener cualquier término ak+1
partiendo del término anterior, ak , siempre y
cuando k ≥ 1 .
Estudiando los patrones que surgen en los
términos sucesivos, muchas veces podemos
construir una fórmula general para la
sucesión partiendo de la definición recursiva.
Ejemplo: Definimos
◦ a1 = 3 , y
◦ ak+1 = 2ak .
Los primeros términos de la sucesión an :
Una forma general sería,
• La suma de todos los términos de una sucesión se conoce como una sumatoria o una serie.
• Una sumatoria puede ser finita o infinita. • Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma
parcial. • Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de
la sucesión.
Sumatorias y series
. . .
Sucesión
Suma parcial
3, 6, 9, 12, 15
3 + 6 + 9 + 12 + 15
Sucesión infinita
Serie infinita
3, 6, 9, 12, 15, . . .
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .
Representamos la suma de los primeros m
términos de la sucesión con el símbolo de
sumatoria.
Leemos: la suma desde k igual a 1 hasta m de a sub k.
Escribe la serie usando la notación sigma.
5 + 10 + 15 + + 100 . . .
Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2),
el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los
términos se generan con la fórmula
de la serie se pueden escribir como: an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20
La sumatoria es 5n. 20
n = 1
EJEMPLO
Solución
Sea ak = k2(k – 3), determinar
𝑘2 𝑘 − 3
4
𝑖=1
𝑘2 𝑘 − 34𝑖=1 =
= 12 1 − 3 + 22 2 − 3 + 32 3 − 3 + 42 4 − 3
= −2 − 4 + 0 + 16
=10
Note que para cada término, el denominador de la
fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los
términos de la serie se pueden escribir como:
ak = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . k
k + 1
Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).
La serie se escribe como k = 1
k k + 1
.
EJEMPLO
Solución
1
2+2
3+3
4+4
5+⋯
FÓRMULAS DE SUMATORIAS
n
i = 1 1 = n
i = n (n + 1)
2
n
i = 1
1
2
3
suma de los números naturales desde 1 hasta n .
suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n .
i 2 = n (n + 1)(2 n + 1)
6
n
i = 1
Suma de n veces 1 .
4 suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n .
i 3 = n2
(n + 1)2 4
n
i = 1
Uso de Fórmulas de Sumatorias
¿Cuántas chinas habrá en una pirámide cuadrada de diez capas de altura?
EJEMPLO
El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas
de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.
n 1 2 3
an 1 = 1 2 4 = 2 2 9 = 3 2
Podemos observar que en cada etapa la
cantidad de chinas se puede determinar con
la fórmula an = n 2
Solución
Entonces, sabemos que el enésimo término de la sucesión es an = n
2, donde n = 1, 2, 3, …10
10
n= 1 n
2 = 12+ 22 + + 102 . . .
10(11)(21) =
6
= 385
Habrán 385 chinas en la piramide.
=
6 10(10 + 1)(2 • 10 + 1)
Solución -continuación
Determinar el siguiente término.
1) 𝑎𝑛 = {6, 12,20, 30,42,… }
EJEMPLOS
2) 𝑎𝑛 = {3, 6, 10, 15, 21,… }
3) 𝑎𝑛 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, … }
El siguiente término es 56.
El siguiente término es 28.
El siguiente término es 8.
4) 𝑎𝑛 = {4, 11, 30, 85,… }
El siguiente término es 248.
𝑎𝑛= {6, (6 + 6), (6 + 6 + 8), (6 + 6 + 8 + 10), (6 + 6 + 8 + 10 + 12), … }
𝑎𝑛 = {3, 3 + 3 , 3 + 3 + 4 , 3 + 3 + 4 + 5 , (3 + 3 + 4 + 5 + 6),… }
𝑎𝑛= {0, 1, (0 + 1), (1 + 2), (3 + 2), , … }
𝑎𝑛 = {(1 + 3), (2 + 32), (3 + 33), (4 + 34), … }
Una sucesión 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … es una sucesión aritmética si existe un número real d tal que para cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑 El número 𝑑 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 se conoce como la diferencia común de la sucesión.
EJEMPLO
diferencia común
diferencia común
Muestre que la sucesión que se ofrece a continuación es una sucesión aritmética y determine su diferencia común.
Si 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 , entonces para cada entero k,
Solución
Por lo tanto la sucesión es una sucesión aritmética y su diferencia común es 3.
El término enésimo, an , de una sucesión
aritmética con una diferencia común d está
dado por
an = a1 + (n – 1)d .
Hallar el una fórmula para el término enésimo
EJEMPLO
diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =-3 + (n – 1)5
an =-3 + 5n – 5
an =-8 + 5n o an =5n - 8
diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =17 + (n – 1)(-7)
an =17 - 7n + 7
an =24 - 7n
EJEMPLO Hallar el una fórmula para el término
enésimo
EJEMPLO Los primeros tres términos de una sucesión
aritmética son: 20, 16.5, y 13. Hallar 𝒂𝟏𝟓.
◦ Primeramente hallamos d:
d = a2 – a1 = 16.5 – 20 = –3.5 .
◦ Luego, usamos la fórmula dada con n = 15
a15 = 20 + (15 – 1)(–3.5) = 20 – 49 = –29 .
Si el cuarto término de una sucesión aritmética es
5 y el noveno término es 20, determinar 𝑎1 𝑦 𝑎20
Solución
Como hay 4 términos entre 𝑎4 𝑦 𝑎9, la sucesión es
aritmética, podemos razonar que tenemos que
sumar la diferencia común 5 veces para llegar de
𝑎4 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑎9,
𝑎9 - 𝑎4 =5d
20 – 5 = 5d
15 = 5d
d = 3
a4 = a1 + (n– 1)d 5 = a1 + (4 – 1)3 5 = a1 + 9 5 - 9= a1 a1= - 4
a20 = a1 + (n– 1)d a20 = - 4 + (20– 1)3 a20 = - 4 + (19)3 a20 = - 4 + 57 a20= 53
Una sucesión 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … es una sucesión geométrica si 𝑎1 ≠ 0, y si existe r ≠ 0 tal que para cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘𝑟
El número r=𝑎𝑘+1
𝑎𝑘 se conoce como la razón común
de la sucesión. Ejemplo: Hallar la razón común.
r=−12
6=24
−12=−48
24= −4
El término enésimo, an , de una sucesión
geométrica con una razón común r está dado
por
an = a1r(n–1) .
Ejemplo: El primer término de una sucesión
geométrica es 3 y la razón común es –½ ;
hallar
◦ los primeros 5 términos
◦ el término enésimo
Solución ◦ Si multiplicamos a1 = 3 por r = –½ repetidamente,
entonces los primeros 5 términos son
◦ a2 = 3 −1
2= −
3
2
◦ a3 = 3 −1
2−1
2=3
4
◦ a4 = 3 −1
2−1
2−1
2= −
3
8…etc.
◦ La fórmula general la obtenemos usando
an = a1r (n–1)
3 3 3 33, , , , .
2 4 8 16
an = 3 −1
2(n–1)
El tercer término de una sucesión geométrica
es 5 y el sexto término es -40. Hallar una
fórmula explícita para 𝑎𝑛.
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒓:
𝑎1𝑟5
𝑎1𝑟2=−40
5
𝑟3 = −8
𝑟 = −83
𝑟 = −2
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐, 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝟏:
an = a1r (n–1) an =
5
4(−2) (n–1)
La fórmula explícita
Los siguientes teoremas dan una fórmula
para 𝑆𝑛, la suma parcial enésima, de
sucesiones aritméticas y geométricas:
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión aritmética
es
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión
geométrica es
Hallar la suma de los primeros 20 términos de:
𝑎𝑛 = 4, 6, 8, 10, ...
Solución
𝑎𝑛 es una sucesión aritmética con una diferencia común de 2. Para encontrar la suma, necesitamos saber el último término Ahora estamos listos para hallar la suma:
Hallar la suma de los primeros 5 términos de:
𝑏𝑛 = 1 , 0.3 , 0.09 , …
Solución
Si b1 = 1, r = 0.3 , y n = 5
Evaluar la serie representado por
1− 3𝑘
14
1
Solución
1 − 3𝑘 es una serie aritmética, la diferencia común es
1 − 3 𝑘 + 1 − 1 − 3𝑘 = 1 − 3𝑘 − 3 − 1 + 3𝑘 = = −3 Queremos sumar -2 + (-5)+ (-8) +…+ (-41)
𝑠𝑛 =14(−2 − 41)
2 =14(−43)
2 = −301
Si 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica
infinita 𝑎1 + 𝑎1𝑟 + 𝑎1𝑟2 +⋯+ 𝑎1𝑟
𝑛−1 +⋯
tiene una suma dada por
𝑆 =𝑎11 − 𝑟
Expresar 5.427 como un número racional
Solución
El número 5.427 es equivalente en número decimal
a 5.4272727…
5.4272727… es equivalente a
Comenzando en el segundo término la serie
0.027+0.00027+0.0000027… es geométrica con
𝑎1 = 0.027 y r = 0.01
Expresar 5.427 como un número racional
Solución
La suma de esta serie infinita es
5.427 como un número racional es
𝑆 =𝑎11 − 𝑟
=0.027
1 − .01 =0.027
0.99 =27
990 =3
110
5.4 +3
110= 594
110+3
110= 597
110
