LNEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURASISOSTTICAS... Continuacin

! Influencia Mxima debido a un Tren de Cargas! Mxima Fuerza Cortante! Mximo Momento Flector! Mxima Fuerza Cortante Absoluta! Mximo Momento Flector Absoluto

F2

x1 x2F1

F3

x

MCab/L

VC

x

(b/L)

(-a/L)

AB

Ca b

Influencia Mxima en un Punto Debido a una Serie de Cargas Concentradas

AB

Ca b

x

MCab/L

F2

x1 x2F1

F3

'3V'2V

'3M'2M

VC

x

(b/L)

(-a/L)

)()()/()'( '33'221 VFVFLbFVCR ++=

)()()/()'( '33'221 VFVFLaFVCL ++=

)()()/(' '33'221 MFMFLabFM ++=

AB

Ca b

VC

x

(b/L)

(-a/L)

x

MCab/L

F2

x1 x2F1

F3

''1V

''1M

''3V

''3M

)()/(')'( ''332''11 VFLbFVFVCR ++=

)()/(')'( ''332''11 VFLaFVFVCL ++=

)()/('' ''332''11 MFLabFMFM ++=

AB

Ca b

VC

x

(b/L)

(-a/L)

x

MCab/L

F2

x1 x2F1

F3

'''2V

'''2M

)/('')'( 3''22 LbFVFVCR +=

)/('')'( 3'''22 LaFVFVCL +=

)/(''' 3'''22 LabFMFM +=

VC

x

0.75

-0.25

4 kN

1 m 3 m1 kN

Cortante 6 kN

AB

C2 m 6 m

VC

x

0.75

-0.25

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

0.625

0.25

(VC)1 = 1(0.75) + 4(0.625) + 6(0.25) = 4.75 kN

AB

C2 m 6 m

Caso 1

VC

x

0.75

-0.25

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

-0.125

0.375

AB

C2 m 6 m

(VC)2 = 1(-0.125) + 4(0.75) + 6(0.375) = 5.125 kN

V1-2 = 5.125 - 4.75 = 0.375 kN

(VC)1 = 1(0.75) + 4(0.625) + 6(0.25) = 4.75 kN

Caso 2

VC

x

0.75

-0.25

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

(VC)3 = 6(0.75) = 4.5 kN

AB

C2 m 6 m

V2-3 = 4.5 - 5.125 = - 0.625 kN(VC)max = (VC)2 = 5.125 kN

(VC)2 = 1(-0.125) + 4(0.75) + 6(0.375) = 5.125 kN

Caso 3

La posicin crtica de las cargas puede determinarse en una manera directa hallando elcambio del cortante, V, que ocurre cuando la carga se mueve del Caso 1 al Caso 2,luego del Caso 2 al Caso 3, y as. Si la pendiente de la lnea de influencia es s, luego:(y2 - y1) = s(x2 - x1), y por lo tanto:

V = Ps (x2 - x1)

Lnea de Inclinacin

Si la carga se mueve pasando un punto donde hay una discontinuidad o salto en la lneade influencia, tal como el punto C, entonces el cambio en el cortante es simplemente:

V = P (y2 - y1)

Salto----------(2)

----------(1)

AB

C2 m 6 m

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

VC

x

0.75

-0.25

V1-2 = 1(-0.25 - 0.75) + 1(1/8)(1) + 4(1/8)(1) + 6(1/8)(1) = 0.375 kN

(VC)2 = (VC)1 + V1-2 = 4.75 + 0.375 = 5.125 kN

s = 1/8

(VC)1 = 1(0.75) + 4(0.625) + 6(0.25) = 4.75 kN

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

VC

x

0.75

-0.25

V2-3 = 1(1/8)(1) + 4(-0.25-0.75) + 4(1/8)(2) + 6(1/8)(3) = -0.625 kN

(VC)3 = (VC)2 + V2-3 = 5.125 -0.625 = 4.5 kN

s = 1/8

AB

C2 m 6 m

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

MC

x

(2)(6)/8 = 1.5

AB

C2 m 6 m

Momento

MC

x

1.5 1.250.5

(MC)1 = 1(1.5) + 4(1.25) + 6(0.5) = 9.5 kNm

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

AB

C2 m 6 m

Caso 1

MC

x

1.5

(MC)2 = 1(0.75) + 4(1.5) + 6(0.75) = 11.25 kNm

0.75 0.75

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

AB

C2 m 6 m

M1-2 = 11.25 - 9.5 = 1.75 kNm

(MC)1 = 1(1.5) + 4(1.25) + 6(0.5) = 9.5 kNm

Caso 2

MC

x

1.5

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

AB

C2 m 6 m

M2-3 = 9 - 11.25 = -2.25 kNm

(MC)3 = 6(1.5) = 9 kNm

Caso 3

(MC)mx = (MC)2 = 11.25 kNm

Podemos tambin usar el siguiente otro mtodo para determinar la posicin crticade cargas concentradas tal que produzcan el mayor momento en un punto especficode una estructura. De hecho, primero es necesario dibujar la lnea de influencia delmomento en el punto y determinar la pendiente s de los segmentos de lnea. Para unmovimiento horizontal (x2 - x1) de una fuerza concentrada P, el cambio que se tieneen el momento, M, es equivalente a la magnitud de la fuerza por el cambio en laordenada de la lnea de influencia tbajo la carga, esto es:

M = Ps (x2 - x1)

Lnea de Inclinacin----------(3)

MC

x

1.5

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

AB

C2 m 6 m

mkNM =++= 75.1)1)(65.1)(64()1)(

25.1(121

mkNMMM CC =+=+= 25.1175.15.9)()( 2112

(MC)1 = 1(1.5) + 4(1.25) + 6(0.5) = 9.5 kNm

MC

x

1.5

4 kN

1 m 3 m1 kN

6 kN

AB

C2 m 6 m

mkNM =++= 25.2)3)(65.1(6)2)(

25.1(4)1)(

25.1(132

mkNMMM CC ==+= 925.225.11)()( 3223

(MC)2 = 11.25 kNm

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

AC

B

4 m 4 m

Determinar el mximo cortante producido en el punto B de la viga mostrada en lafigura inferior debido a las cargas bajo las ruedas de un camin en movimiento.

Ejemplo 1

AC

B

4 m 4 m

-0.5

0.5VB

x

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

0.1250.375

SOLUCIN

Caso 1

VB Der = 4(0.5) + 9(0.375) + 15(0.125) = 7.25 kN

VB Izq = 4(-0.5) + 9(0.375) + 15(0.125) = 3.25 kN

-0.5

0.5VB

x

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

-0.375

0.25

AC

B

4 m 4 m

Caso 2

VB Der = 4(-0.375) + 9(0.5) + 15(0.25) + 10(0) = 6.75 kN

VB Izq = 4(-0.375) + 9(-0.5) + 15(0.25) + 10(0) = -2.25 kN

-0.5

0.5VB

x

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

0.25

AC

B

4 m 4 m

Caso 3

-0.125 -0.25

VB Der = 4(-0.125) + 9(-0.25) + 15(0.5) + 10(0.25) = 7.25 kN

VB Izq = 4(-0.125) + 9(-0.25) + 15(-0.5) + 10(0.25) = -7.75 kN

-0.5

0.5VB

x

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 mA

CB

4 m 4 m

Caso 4

-0.25

VBR = 9(0) + 15(-0.25) + 10(0.5) = 1.25 kN

VBL = 9(0) + 15(-0.25) + 10(-0.5) = -8.75 kN

El Cortante Mximo que ocurre en el punto B es -8.75 kN

A C

B

2 m 2 m3 m

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

Ejemplo 2

Determinar el mximo momento positivo y el mximo momento negativo que seproduce en el punto B de la viga mostrada bebido a las cargas sobre las ruedasde una grua.

xMB 2(3)/5 = 1.2

-0.8

A CB

2 m 2 m3 m

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

MB = 3(1.2) + 8(0) = 3.6 kNm

SOLUCIN

Momento Positivo

CASO I

A CB

2 m 2 m3 m

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

x

MB 1.2

-0.8

MB = 8(1.2) + 3(0.4) = 10.8 kNm

0.4

CASO II

A CB

2 m 2 m3 m

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

x

MB 1.2

-0.8

CASO III

MB = 4(1.2) + 8(0) + 3(-0.8) = 2.4 kN m

El mximo momento positivo producido en el punto B es 10.8 kN. m

A CB

2 m 2 m3 m

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

x

MB 1.2

-0.8

MB = 8(-0.8) + 4(0.4) = -4.8 kNm

0.4

Momento Negativo

CASO I

3 kN8 kN

4 kN

2 m3 m

x

MB 1.2

-0.8

MB = 4(-0.8) = -3.2 kNm

A CB

2 m 2 m3 mCASO II

El mximo momento negativo peoducido en el punto B es - 4.8 kN.m

LCL

L/2 L/2

FR

xF1 F2 F3

d1 d2

2 'x

xx '

A B

Ay By

)]'(2

)[(1:0 xxLFL

AM RyB ==

Mximo Cortante y Momento Absolutos

A(L/2 - x)

F1d1

V2

M2

)]'(2

)[(1 xxLFL

A Ry =

2

L

CL

L/2 L/2

xF1 F2 F3

d1 d2

2 'x

xx '

A B

Ay By

FR

1122 )2(:0 dFxLAMM y ==

11)2)]('(

2)[(1 dFxLxxLF

L R=

11

2

2'

2'

4dF

LxxF

LxFxFLFM RRRR +=

0'22 =+=LxF

LxF

dxdM RR

2'xx =

Para maximizar M2 requerimos:

LA B

CL

L/2 L/2

F1 F2 F3

x1 x2

xx 2

FR

x

xx +1

FR

F1 F2 F3

x1 x2

b

b

2x

FR

F1 F2 F3

x1 x2

b

b

2x

a b

M x

''2/ MLab =

''3M''1M

''33''22''111 MFMFMFM S ++=

L

A B

CL

FR

F1 F2 F3

x1 x2

a

a

22 xx

a b

'''33'''22'''112 MFMFMFM S ++=

M x

'''3/ MLab ='''1M

'''2M

L

A B

CL

El mximo momento absoluto es comparando MS1 y MS2.

1200 kg 400 kg

8 m30 m

AB

Ejemplo 3

Determinar el mximo momento absoluto en la viga simplemente apoyada debidoa las cargas en las ruedas de un vehculo como se indica.

CL

15 m 15 m

M@1200 kg = 0 :

)8(400)0(12001600 +=x

mx 2=

AB

b

b

3 m 3 m

1600 kg

1200 kg 400 kg

6 mmx 2=

CL

MS = (1200)(7.47) + (400)(3.74)

= 10 460 kgm

14 m 16 m

M1200 x

(14)(16)/30 = 7.47

3.74

+ MB = 0:Global:

Ay = 746.67 kg

1600 kg

1200 kg 400 kg

6 m2 m

a

a

1 m1 m

1

A14 m

1

Ay = 746.7 kg

V1

M1

+ M1 = 0:

M1= 10 460 kgm

AB

0)30()14(1600 = yA

O usando las condiciones de equilibrio:

CL

M400

(18)(12)/30 = 7.2

x

4

18 m 12 m

b

b

3 m 3 m

1600 kg

1200 kg 400 kg

6 m2 m

AB

MS = (1200)(4) + (400)(7.2) = 7680 kg m

Por comparacin, Mmx = 10 460 kg m

4.6 T 8.2T 8.2T

4.2 m 1.2 m20 m

AB

Ejemplo 4

Determinar el mximo momento absoluto y el mximo cortante absoluto en laviga simplemente apoyada sometida al tren de cargas mostrada.

4.6 T 8.2T 8.2T

4.2 m 1.2 m

M@ 4.6 T = 0 :

)4.5(2.8)2.4(2.8)0(6.421 ++=x

mx 75.3=

FR=21 T

x

45.02.4 = x

20 m

AB

Mximo Momento Absoluto

AB

4.6 T 8.2T 8.2T

FR=21 T

4.2 m 1.2 m

1.875 m10 m 10 m

M4.6T x

a = 8.125 m b = 11.875 m

4.823.12

2.63

MS = (4.6)(4.82) + (8.2)(3.12) = 69.32 Tm+ (8.2)(2.63)

CL

4.6 T 8.2T 8.2T

FR=21 T

4.2 m 1.2 m

0.225 m

CL

10 m 10 m

M8.2T x

+ MB = 0:

0)20()225.10(21 = yA

Global:

Ay = 10.74 T

+ M2 = 0:

M2= 90.50 Tm

A

10.225 m 2

Ay = 10.74 T

V2

M24.6 T

4.2 m

AB

2 O usando condiciones de equilibrio:

a = 10.225 m b = 9.775 m

52.95 4.39

MS = (4.6)(2.95) + (8.2)(5) + (8.2)(4.39) = 90.57 T m

Por comparacin, Mmx = 90.57 T m

20 m

A B

4.6 T 8.2T 8.2T

4.2 m 1.2 m

xVB

10.940.73

Mximo Cortante Absoluto

(Vmx)1 = 4.6(0.73) + 8.2(0.94) + 8.2(1.0) = 19.27 T

20 m

A B

xVA

1

4.6 T 8.2T 8.2T

4.2 m 1.2 m

0.79 0.73

(Vmx)2 = 4.6(1) + 8.2(0.79) + 8.2(0.73) = 17.06 T

20 m

A B

xVA

1

4.6 T 8.2T 8.2T

4.2 m 1.2 m

0.94

(Vmx)3 = 8.2(1.0) + 8.2(0.94) = 15.91 T

Por Comparacin, Vmx = 19.27 T

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

AB

8 m

Ejemplo 5

Determinar el mximo momento absoluto de la viga simplemente apoyada quepresenta el tren de cargas mostrado.

M@ 4 kN = 0 :

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

FR=38 kN

x

1.74 m 0.26 m

AB

8 m

)5(10)3(15)1(9)0(438 +++=x

mx 74.2=

SOLUCIN

a = 3.13 m b = 4.87 m

x

M9 kN (3.13)(4.87)/8 = 1.911.13

0.341.30

MS = 4(1.30) + 9(1.91) + 15(1.13) + 10(0.34) = 42.74 kNm

4 kN9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

FR=38 kN

0.87 0.87

AB

4 m 4 m

CL

FR0.13 m4 kN

9 kN 15 kN 10 kN

1 m 2 m 2 m

0.13 m

a = 4.13 m b = 3.87 m

x

M15 kN (4.13)(3.87)/8 = 2.01.03

0.55 0.97

3

+ MA = 0:Global:

By = 18.38 kN

B2 m

15 kN 10 kN

3

18.38 kN

3.87 mV3

M3

+ M3 = 0:

-M3 -10(2) + 18.38(3.87) = 0

M3= 51.13 kNm

AB

4 m 4 m

CL

0)8()87.3(38 =+ yB

O usando condiciones de equilibrio:

MS = 4(0.55) + 9(1.03) + 15(2.0) + 10(0.97) = 51.17 kN m

Por comparacin, Mmax = 51.17 kN m

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