UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

TEMATEMA :: Fluidos en MovimientoFluidos en Movimiento

CURSOCURSO :: Flujo de FluidosFlujo de Fluidos

PROFESORAPROFESORA :: Ing. Zoila Díaz CórdovaIng. Zoila Díaz Córdova

Fluidos en movimiento

En este capítulo describiremos la cinemática de los fluidos en movimiento sin considerar las fuerzas y

los momentos que lo causan, incluimos varios conceptos cinemáticos relacionados con los fluidos

fluyentes ,aquí se podrá adquirir una buena comprensión de la velocidad, aceleración,

visualización de flujo con la finalidad de entender mejor la variación de la presión cuando los fluidos están en movimiento, se conocerá el método de

volumen de control que se utiliza para la deducción y aplicación de ecuaciones de cantidad de

movimiento, energía y la ecuación de continuidad ,que son las ecuaciones básicas para la

solución de problemas de flujo.

Al final del capitulo el alumno deberá :Entender los conceptos de velocidad del método lagrangeano y del método euleriano.

Conocer los patrones de flujo.

Entender las numerosas maneras que se desplazan y se deforman los fluidos

Entender la utilidad del teorema de transporte de Reynods.

VELOCIDAD Y VISUALIZACIÓN VELOCIDAD Y VISUALIZACIÓN DE FLUJODE FLUJOEn la mayoría de los problemas de ingeniería En la mayoría de los problemas de ingeniería conocer el valor de la velocidad de flujo es de conocer el valor de la velocidad de flujo es de vital importancia así por ejemplo si el flujo vital importancia así por ejemplo si el flujo atraviesa piezas internas o estructuras de atraviesa piezas internas o estructuras de una máquina, conocer la velocidad permite el una máquina, conocer la velocidad permite el cálculo de las presiones y fuerzas que cálculo de las presiones y fuerzas que actúan en su estructura, importante para actúan en su estructura, importante para determinar lo que ocurre en los procesos de determinar lo que ocurre en los procesos de reacciones, por lo que teniendo problemas reacciones, por lo que teniendo problemas de flujo de cualquier forma se deberá de flujo de cualquier forma se deberá obtener la velocidad ya sea por métodos obtener la velocidad ya sea por métodos experimentales o analíticos.experimentales o analíticos.

Velocidad : punto de vista de Lagrange y Euler.

Existen dos formas de describir las ecuaciones para fluidos en movimiento una de ellas es describir el movimiento de fluidos desde el punto de vista de Lagrange, en donde el movimiento de una partícula específica de fluido se registra para todo tiempo (método conocido en dinámica).

La velocidad de la partícula se obtiene al derivar el vector de posición respecto al tiempo, si se emplea el sistema de coordenada cartesianas del vector posición se expresa como. r(t)= xi +yj+zk r(t)= xi +yj+zk Derivando la ecuación con respecto al tiempo, la Derivando la ecuación con respecto al tiempo, la velocidad de la partícula serávelocidad de la partícula será

O bienO bienV (t) = ui+vj+wk

Como es lógico el movimiento de una partícula de fluido es inadecuado para describir todo un campo de flujo, por lo que debe considerarse simultáneamente el movimiento de todas las partículas de fluido.

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxtV )(

En la descripción En la descripción lagrangiana, lagrangiana, debe seguirse la debe seguirse la huella de la huella de la posición y de la posición y de la velocidad de velocidad de cada partícula.cada partícula.

para este caso el movimiento en el campo de flujo se obtiene al resolver la ecuación de newton del movimiento (F=ma) para cada una de las partículas del campo de flujo.Otra forma de expresar la velocidad de un fluido es con el concepto de Euler , tomando atención en un cierto punto en el espacio y describir el movimiento de las partículas de fluidos que pasan por el punto a través del tiempo.

En la descripción En la descripción euleriana se definen euleriana se definen las variables de un las variables de un campo, como el campo, como el campo de presión y campo de presión y el campo de el campo de velocidad, en velocidad, en cualquier lugar y cualquier lugar y cualquier instante.cualquier instante.

1

),,,( tzyxu 2

),,,( tzyxv 3

),,,( tzyxw

Con el método euleriano observamos el movimiento de partículas que pasan por un punto específico del espacio lo contrario al método de Lagrange en el cual se hacía el seguimiento a la posición de una partícula especifica a través del tiempo ;por el método Euler para describir todo el campo de flujo debemos conocer el movimiento de fluido en todos los puntos del campo.

Entonces la velocidad de las partículas del fluido que pasan por un punto dependen de la ubicación del punto en el espacio y del tiempo:

Como es un trabajo engorroso hacer Como es un trabajo engorroso hacer el seguimiento de las posiciones de el seguimiento de las posiciones de todas las partículas de un campo de todas las partículas de un campo de flujo ya que estos cambian.flujo ya que estos cambian.También existe otra forma de También existe otra forma de expresar la velocidad usando el expresar la velocidad usando el punto de vista de Euler para punto de vista de Euler para describirla como función de posición describirla como función de posición a lo largo de una línea de corriente y a lo largo de una línea de corriente y a través del tiempo.a través del tiempo.

V = V(s,t)V = V(s,t)

Líneas de corriente y patrones Líneas de corriente y patrones de flujode flujo

La línea de corriente se define como líneas La línea de corriente se define como líneas que pasan por el campo de flujo en forma tal que pasan por el campo de flujo en forma tal que el vector de velocidad del fluido en todos que el vector de velocidad del fluido en todos y cada uno de los puntos de la línea de y cada uno de los puntos de la línea de corriente es tangente a esa línea en ese corriente es tangente a esa línea en ese instante, por lo tanto una tangente a la curva instante, por lo tanto una tangente a la curva en cualquier punto a lo largo de la línea de en cualquier punto a lo largo de la línea de corriente nos proporciona la dirección del corriente nos proporciona la dirección del vector velocidad en ese punto del campo de vector velocidad en ese punto del campo de flujo.flujo.

Figura. Figura. Para el flujo bidimensional en el Para el flujo bidimensional en el plano xy, la longitud de arco dr= (dx,dy) plano xy, la longitud de arco dr= (dx,dy) a lo largo de una línea de corriente es a lo largo de una línea de corriente es tangente en todo punto al vector tangente en todo punto al vector velocidad.velocidad.

FiguraFigura

Vectores de velocidad para el Vectores de velocidad para el campo de flujo del ejemplo. Se campo de flujo del ejemplo. Se muestra a escala las curvas muestra a escala las curvas trazadas con líneas continuas en trazadas con líneas continuas en negro representan las formas negro representan las formas aproximadas de algunas líneas aproximadas de algunas líneas de corriente, con base en los de corriente, con base en los vectores de velocidad vectores de velocidad calculados. calculados.

Figura. Un tubo de corriente consta Figura. Un tubo de corriente consta de un haz de lineas de corriente .de un haz de lineas de corriente .

Patrón de flujo son demostraciones gráficas Patrón de flujo son demostraciones gráficas

que demuestran la dirección de flujo.que demuestran la dirección de flujo.

Flujo uniforme y no uniforme.Flujo uniforme y no uniforme.

En un flujo uniforme la velocidad no cambia En un flujo uniforme la velocidad no cambia

de un punto a otro a lo largo de cualquiera de un punto a otro a lo largo de cualquiera

de las líneas de corriente. Por lo tanto, se de las líneas de corriente. Por lo tanto, se

dice que la línea de corriente que describe dice que la línea de corriente que describe

este flujo deben ser rectas y paralelas. este flujo deben ser rectas y paralelas.

Matemáticamente se expresa:Matemáticamente se expresa:

Flujo uniformeFlujo uniforme Flujo no Flujo no

uniformeuniforme

0s

V0

s

V

a) b)

a) b)

Fig. a) Fig. a) Patrones Patrones de flujo de flujo uniformesuniformes

Fig. b) Fig. b) Patrones Patrones de flujo de flujo para flujo para flujo no no uniforme.uniforme.

Flujo permanente o estacionario y Flujo no Flujo permanente o estacionario y Flujo no

permanentepermanenteSi la velocidad no varía en magnitud o Si la velocidad no varía en magnitud o

dirección con el tiempo se llama flujo dirección con el tiempo se llama flujo

permanente.permanente.

Matemáticamente se expresa como:Matemáticamente se expresa como:

Flujo permanente Flujo permanente Flujo no Flujo no

permanentepermanente

0t

V0

t

V

Flujo laminar y turbulentoFlujo laminar y turbulento

Para flujo turbulento son evidente dos Para flujo turbulento son evidente dos

efectos. Primero; debido a que los efectos. Primero; debido a que los

remolinos hacen que el flujo se mezcle remolinos hacen que el flujo se mezcle

en forma completa la distribución de en forma completa la distribución de

velocidad en la mayor parte de la velocidad en la mayor parte de la

sección es más uniforme que el flujo sección es más uniforme que el flujo

laminar.laminar.

El segundo efecto de la turbulencia es El segundo efecto de la turbulencia es

que al flujo se agregan componentes de que al flujo se agregan componentes de

velocidad que fluctúan de manera velocidad que fluctúan de manera

continua.continua.

En un instante dado, la distribución de la En un instante dado, la distribución de la

componente de la velocidad en la componente de la velocidad en la

dirección de flujo es irregular pero si dirección de flujo es irregular pero si

promediamos la velocidad sobre un promediamos la velocidad sobre un

período suficientemente largo en período suficientemente largo en

diversos puntos de la sección se tiene un diversos puntos de la sección se tiene un

flujo más uniforme.flujo más uniforme.

Si consideramos la velocidad media Si consideramos la velocidad media

temporal (promedio con respecto al temporal (promedio con respecto al

tiempo) en un punto dado la velocidad tiempo) en un punto dado la velocidad

es prácticamente constante.es prácticamente constante.

u

u

Flujo laminar Flujo laminar

y turbulentoy turbulento

MÉTODO ANALÍTICOMÉTODO ANALÍTICO

Métodos NuméricosMétodos Numéricos

Un nuevo campo de conocimientos Un nuevo campo de conocimientos

técnicos, llamado dinámica técnicos, llamado dinámica

computacional de fluidos, ha emergido computacional de fluidos, ha emergido

con el perfeccionamiento de métodos con el perfeccionamiento de métodos

numéricos y procedimientos para numéricos y procedimientos para

resolver las ecuaciones fundamentales resolver las ecuaciones fundamentales

para fluidos en movimiento.para fluidos en movimiento.

MÉTODOS PARA CREAR PATRONES DE MÉTODOS PARA CREAR PATRONES DE FLUJOFLUJO

Método experimentalMétodo experimental

En otros casos, como en el de estudios En otros casos, como en el de estudios

básicos de investigación, los métodos básicos de investigación, los métodos

experimentales también se utilizan para experimentales también se utilizan para

definir el patrón de flujo. En estos definir el patrón de flujo. En estos

procedimientos, es frecuente la procedimientos, es frecuente la

utilización de corrientes de tintura o utilización de corrientes de tintura o

partículas flotantes en un flujo de partículas flotantes en un flujo de

movimiento. movimiento.

Las partículas producen marcas Las partículas producen marcas luminosas que indican las trayectorias de luminosas que indican las trayectorias de las partículas durante el tiempo de las partículas durante el tiempo de exposición. exposición.

Cada una de las estas marcas luminosas Cada una de las estas marcas luminosas

es un segmento de una línea de es un segmento de una línea de

trayectoria de una partícula dada. trayectoria de una partícula dada.

La línea de trayectoria es una línea que La línea de trayectoria es una línea que

pasa por el campo de flujo en forma tal pasa por el campo de flujo en forma tal

que define la trayectoria que ha que define la trayectoria que ha

tomado una partícula dada.tomado una partícula dada.

Hemos estudiado líneas de corriente, Hemos estudiado líneas de corriente,

líneas de trayectoria y líneas de traza, líneas de trayectoria y líneas de traza,

las cuales en una u otra forma se las cuales en una u otra forma se

encuentran asociadas con un patrón de encuentran asociadas con un patrón de

flujo. Para un flujo permanente.flujo. Para un flujo permanente.

Flujo en una, dos y tres Flujo en una, dos y tres dimensionesdimensionesPara flujo entre dos paredes paralelas Para flujo entre dos paredes paralelas en las que no existe componente de en las que no existe componente de velocidad en la dirección normal a la velocidad en la dirección normal a la pared es un caso de flujo bidimensional.pared es un caso de flujo bidimensional.

El campo de flujo más sencillo es el caso El campo de flujo más sencillo es el caso de una dimensión, en el que sólo es de una dimensión, en el que sólo es necesaria una coordenada para necesaria una coordenada para relacionar cambios de velocidad y de relacionar cambios de velocidad y de propiedad. propiedad.

Un ejemplo es el flujo en un conducto (o Un ejemplo es el flujo en un conducto (o ducto), en el que la velocidad es ducto), en el que la velocidad es uniforme en toda el área transversal de uniforme en toda el área transversal de cada sección, pero varía con la distancia cada sección, pero varía con la distancia a lo largo del conducto.a lo largo del conducto.

En realidad, la velocidad nunca es En realidad, la velocidad nunca es uniforme por completo en el área uniforme por completo en el área transversal de una sección del conducto. transversal de una sección del conducto. Sin embargo, para problemas en los que Sin embargo, para problemas en los que tenemos interés en el promedio de tenemos interés en el promedio de velocidad paralela al conducto, este tipo velocidad paralela al conducto, este tipo de flujo se llama flujo unidimensional.de flujo se llama flujo unidimensional.

En este caso, estamos interesados en En este caso, estamos interesados en

los cambios en el promedio de los cambios en el promedio de

velocidad y presión que se presentan a velocidad y presión que se presentan a

lo largo del conducto, en lugar de los lo largo del conducto, en lugar de los

cambios en su sección transversal. cambios en su sección transversal.

Este concepto se utiliza en forma Este concepto se utiliza en forma generalizada en aplicaciones de las generalizada en aplicaciones de las ecuaciones de cantidad de movimiento ecuaciones de cantidad de movimiento lineal y energía.lineal y energía.

El termino de flujo unidimensional se El termino de flujo unidimensional se refiere por lo general a casos en los refiere por lo general a casos en los que estamos interesados en la que estamos interesados en la velocidad media, o promedio, en un velocidad media, o promedio, en un conducto.conducto.

Flujo volumétricoFlujo volumétrico

A veces simplemente llamado tasa de A veces simplemente llamado tasa de flujo o descarga, el flujo volumétrico se flujo o descarga, el flujo volumétrico se refiere a la rapidez con la que el refiere a la rapidez con la que el volumen de flujo pasa por una sección volumen de flujo pasa por una sección dada en una corriente de flujo.dada en una corriente de flujo.

Es posible concluir que el volumen de Es posible concluir que el volumen de flujoflujo

que ha pasado por la sección A-A en que ha pasado por la sección A-A en el tiempo el tiempo t está dado por el producto t está dado por el producto de AV de AV t, donde A es el área de sección t, donde A es el área de sección transversal de la tubería. transversal de la tubería.

TASA DE FLUJO (O CAUDAL)TASA DE FLUJO (O CAUDAL)

Si embargo, estamos más interesados Si embargo, estamos más interesados

en el flujo volumétrico que pasa por A-en el flujo volumétrico que pasa por A-

A, que esA, que es

//t = V t = V t A/t A/t. Si hacemos que Q t. Si hacemos que Q

sea el símbolo de flujo volumétrico, sea el símbolo de flujo volumétrico,

entonces tenemos Q = V entonces tenemos Q = V t A/t A/t o t o

Q=VA.Q=VA.

Tasa de flujo con velocidad Tasa de flujo con velocidad variablevariableEn general, la velocidad es variable en En general, la velocidad es variable en toda la sección por la que fluye. toda la sección por la que fluye. Entonces la tasa de flujo que pasa por Entonces la tasa de flujo que pasa por un área diferencial de la sección es VdA, un área diferencial de la sección es VdA, y el flujo volumétrico total Q se obtiene y el flujo volumétrico total Q se obtiene por integración sobre toda la sección de por integración sobre toda la sección de flujo:flujo:

En forma semejante, el flujo másico que En forma semejante, el flujo másico que pasa por una sección está dado porpasa por una sección está dado por

AVdAQ

A

o

VdAm

Si la densidad es constante en total el Si la densidad es constante en total el área de sección de flujo, el flujo másico área de sección de flujo, el flujo másico está dado porestá dado por

En los cálculos precedentes, el área de En los cálculos precedentes, el área de sección transversal siempre se orientó en sección transversal siempre se orientó en forma normal al vector de velocidad. Si se forma normal al vector de velocidad. Si se consideran otras orientaciones, como la consideran otras orientaciones, como la que se muestra en la figura, en donde se que se muestra en la figura, en donde se presenta un flujo que pasa por la sección presenta un flujo que pasa por la sección A-A.A-A.

A

o

QVdAm

Se puede observar que sólo la Se puede observar que sólo la componente normal de velocidad (la componente normal de velocidad (la componente x en este caso) contribuye componente x en este caso) contribuye al flujo que pasa por la sección.al flujo que pasa por la sección.

Flujo de Flujo de

fluido en fluido en

una una tubería:tubería:

velocidad velocidad constante.constante.

En consecuencia, para evaluar una tasa En consecuencia, para evaluar una tasa de flujo, siempre debemos considerar ya de flujo, siempre debemos considerar ya sea el área de una sección normal a la sea el área de una sección normal a la velocidad total o la componente de velocidad total o la componente de velocidad normal al área dada. Así, la velocidad normal al área dada. Así, la descarga para el caso de la figura, está descarga para el caso de la figura, está dada pordada por

Flujo Flujo entre entre fronteras fronteras paralelasparalelas

Si definimos un vector de área como aquel Si definimos un vector de área como aquel que tiene la magnitud del área en cuestión que tiene la magnitud del área en cuestión y que está orientado de manera normal al y que está orientado de manera normal al área, entonces, por definición. área, entonces, por definición. VcosVcosdA=V·dA, y la descarga se puede dA=V·dA, y la descarga se puede escribir comoescribir como

oo A

dAVQ cosAdAuQ

A

o

dAVm ·

AdAVQ

y el flujo másico es

Si la velocidad es constante en toda el área, entonces la descarga está dada como

En las ecuaciones precedentes, debido al producto escalar, o punto, sólo la componente de velocidad se multiplica por el área para obtener la descarga.

AVQ ·

Velocidad media o promedioVelocidad media o promedio

En numerosos problemas, por ejemplo En numerosos problemas, por ejemplo los relacionados con el flujo en una los relacionados con el flujo en una dimensión en tuberías, es posible dimensión en tuberías, es posible conocer el caudal y que sea necesario conocer el caudal y que sea necesario hallar la velocidad media (promedio) hallar la velocidad media (promedio) sin conocer la distribución real de sin conocer la distribución real de velocidad en el área de sección de la velocidad en el área de sección de la tubería.tubería.

La velocidad media, por definición, es la La velocidad media, por definición, es la descarga dividida entre el área total de descarga dividida entre el área total de sección transversal.sección transversal.

AQ

V

Para flujo turbulento en tuberías, la Para flujo turbulento en tuberías, la velocidad media puede ser una velocidad media puede ser una aproximación muy cercana a la aproximación muy cercana a la distribución real de velocidad en la distribución real de velocidad en la mayor parte de la sección, como se mayor parte de la sección, como se puede observar en la figura. Sin puede observar en la figura. Sin embargo, para el flujo laminar, la embargo, para el flujo laminar, la velocidad media difiere velocidad media difiere considerablemente de la velocidad en considerablemente de la velocidad en gran parte de la sección de flujo. Se gran parte de la sección de flujo. Se acostumbra omitir la barra el símbolo de acostumbra omitir la barra el símbolo de velocidad y simplemente indicar la velocidad y simplemente indicar la velocidad media con una V.velocidad media con una V.

AceleraciónAceleración

La aceleración de una partícula de fluido La aceleración de una partícula de fluido cuando se mueve a lo largo de una línea cuando se mueve a lo largo de una línea de trayectoria, es la rapidez de cambio de trayectoria, es la rapidez de cambio de la velocidad de la partícula con de la velocidad de la partícula con respecto al tiempo.respecto al tiempo.

La componente normal de aceleración aLa componente normal de aceleración ann estará presente siempre que una estará presente siempre que una partícula de flujo se mueva en una partícula de flujo se mueva en una trayectoria curva (es decir, aceleración trayectoria curva (es decir, aceleración centrífuga. centrífuga.

La componente tangencial de La componente tangencial de aceleración aaceleración att estará presente si la estará presente si la partícula está cambiando la velocidad.partícula está cambiando la velocidad.

Partícula de fluido moviéndose sobre una Partícula de fluido moviéndose sobre una línea de trayectoria a) velocidad y b) línea de trayectoria a) velocidad y b) aceleración.aceleración.

Mediante los componentes normal y Mediante los componentes normal y tangencial, la velocidad de una partícula tangencial, la velocidad de una partícula de fluido en una línea de trayectoria, se de fluido en una línea de trayectoria, se puede escribir comopuede escribir como

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)(1)

donde donde V(s,t) V(s,t) es la rapidez de la es la rapidez de la partícula, que puede variar con la partícula, que puede variar con la distancia a lo largo de la línea de distancia a lo largo de la línea de trayectoria trayectoria ss y el tiempo y el tiempo t.t. La dirección La dirección del vector de velocidad está dada por un del vector de velocidad está dada por un vector unitario evector unitario ett. Empleando la . Empleando la definición de aceleración:definición de aceleración:

. . . . . . . . . . . . (2)(2)

te)t,s(vv

td

edVe

dt

Vd

dt

dVa t

t

Para evaluar la derivada de la rapidez , Para evaluar la derivada de la rapidez , podemos utilizar la regla de la cadena podemos utilizar la regla de la cadena para una función de dos variables.para una función de dos variables.

. . . . . .. . . . . .(3)(3)

En un tiempo dt, la partícula de fluido se En un tiempo dt, la partícula de fluido se mueve una distancia ds, de modo que la mueve una distancia ds, de modo que la derivada ds/dt corresponde a la rapidez derivada ds/dt corresponde a la rapidez V de la partícula, y la ecuación 3 se V de la partícula, y la ecuación 3 se convierte enconvierte en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)(4)

t

V

td

sd

s

V

td

tsVd

),(

tV

sV

VtdVd

En la ecuación (2), la derivada del vector En la ecuación (2), la derivada del vector unitario deunitario dett/dt es diferente de cero /dt es diferente de cero porque la dirección del vector unitario porque la dirección del vector unitario cambia con el tiempo cuando la partícula cambia con el tiempo cuando la partícula se mueve a lo largo de la línea de se mueve a lo largo de la línea de trayectoria. La derivada es trayectoria. La derivada es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)(5)

donde r es el radio local de curvatura de donde r es el radio local de curvatura de la línea de trayectoria y ela línea de trayectoria y enn es un vector es un vector unitario que es perpendicular a la línea unitario que es perpendicular a la línea de trayectoria y apunta hacia dentro, al de trayectoria y apunta hacia dentro, al centro de curvatura.centro de curvatura.

nt e

r

V

td

de

Sustituyendo las ecuaciones (4) y (5) en Sustituyendo las ecuaciones (4) y (5) en la ecuación resulta la aceleración de la la ecuación resulta la aceleración de la partícula de fluido:partícula de fluido:

. . . . . . . . . . . . . . (6)(6)

El primer término muestra que si la El primer término muestra que si la rapidez de una partícula de fluido está rapidez de una partícula de fluido está cambiando, existe una componente de cambiando, existe una componente de aceleración tangencial a la línea de aceleración tangencial a la línea de trayectoria. El segundo término muestra trayectoria. El segundo término muestra que una línea de trayectoria curva da que una línea de trayectoria curva da lugar a una componente de aceleración lugar a una componente de aceleración normalnormal

..

n

2

t er

Ve

t

V

s

VVa

Componentes cartesianasComponentes cartesianas

Con frecuencia es conveniente expresar Con frecuencia es conveniente expresar una aceleración por medio de una aceleración por medio de componentes en un sistema de componentes en un sistema de coordenadas cartesianas. Por el método coordenadas cartesianas. Por el método de Euler, las componentes de velocidad de Euler, las componentes de velocidad son funciones de espacio y tiempo, son funciones de espacio y tiempo,

AsíAsíV = u i + v j + w kV = u i + v j + w k

donde u= fdonde u= f11(x,y,z,t), v= f(x,y,z,t), v= f22(x,y,z,t) y (x,y,z,t) y w=fw=f33(x,y,z,t).(x,y,z,t).

La aceleración de una partícula de fluido La aceleración de una partícula de fluido en la dirección x está dada poren la dirección x está dada por

Donde u es la componente x de velocidad Donde u es la componente x de velocidad a medida que seguimos la partícula. a medida que seguimos la partícula.

. . . .(7). . . .(7)

dt

duax

t

u

dt

dz

z

u

dt

dy

y

u

dt

dx

s

uax

En un tiempo dt, una partícula de fluido En un tiempo dt, una partícula de fluido se mueve en la dirección x una distancia se mueve en la dirección x una distancia dx=udt, de modo quedx=udt, de modo que

y, del mismo modo,y, del mismo modo,

yy

Así, la componente de aceleración aAsí, la componente de aceleración axx de la de la partícula está dada porpartícula está dada por

. . . . .(8). . . . .(8)

dt

dxu

dt

dyv

dt

dzw

t

u

z

uw

y

uv

x

uuax

Asimismo, para los componentes y y z, Asimismo, para los componentes y y z, obtenemosobtenemos

. . . . .. . . . .(9)(9)

. . . . .. . . . .(10)(10)

En resumenEn resumen

t

v

z

vw

y

vv

x

vuay

t

w

z

ww

y

wv

x

wuaz

Aceleración convectiva y localAceleración convectiva y local

Una inspección de las ecuaciones (8) al Una inspección de las ecuaciones (8) al (10) deja ver que algunos términos (10) deja ver que algunos términos abarcan derivadas con respecto al abarcan derivadas con respecto al tiempo, es decir, du/dt. Estos términos tiempo, es decir, du/dt. Estos términos se llaman aceleraciones locales. se llaman aceleraciones locales. Los términos de aceleración local se Los términos de aceleración local se presentan sólo cuando un campo de flujo presentan sólo cuando un campo de flujo es no permanente.es no permanente.

En un flujo permanente, la aceleración En un flujo permanente, la aceleración local es cero. Los términos restantes (es local es cero. Los términos restantes (es decirdecir

etc.) se llaman aceleraciones etc.) se llaman aceleraciones convectivas.convectivas.

)/( xuu )/( yvv

Las aceleraciones convectivas se Las aceleraciones convectivas se presentan cuando la velocidad es una presentan cuando la velocidad es una función de posición en un campo de función de posición en un campo de flujo. En flujos uniformes, la aceleración flujo. En flujos uniformes, la aceleración convectiva es cero.convectiva es cero.

Las aceleraciones local y convectiva son Las aceleraciones local y convectiva son evidentes en la ecuación (6). La evidentes en la ecuación (6). La aceleración centrífuga también en una aceleración centrífuga también en una aceleración convectiva porque se aceleración convectiva porque se presenta como resultado de un cambio presenta como resultado de un cambio de velocidad (en dirección) a lo largo de de velocidad (en dirección) a lo largo de la línea de trayectoria.la línea de trayectoria.