1 Introduccin.2 Potencial elctrico. Gradiente.3 Potencial de una carga puntual.4 Potencial de un sistema de cargas puntuales.5 Clculo del potencial elctrico.6 Superficies equipotenciales.7 Potencial creado por un dipolo elctrico.8 Movimiento de una partcula en un campo elctrico.9 Potencial creado por una distribucin continua de carga elctrica .Bibliografa- Alonso; Finn. "Fsica ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.- Gettys; Keller; Skove. "Fsica clsica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill. - Halliday; Resnick. "Fundamentos de fsica". Cap. 29. CECSA.- Serway. "Fsica". Cap. 25. McGraw-Hill.- Tipler. "Fsica". Cap. 20. Revert.

Capitulo 3 : POTENCIAL ELCTRICO

1 INTRODUCCIN

La energa potencial elctrica por unidad de carga es el cociente de la energa potencial elctrica total entre la cantidad de carga.

El trabajo hecho por una fuerza elctrica durante el desplazamiento de una carga desde un punto inicial i hasta un punto final f. dentro de la regin del campo elctrico producido por un sistema de cargas, al colocar una carga q0 en el campo E ,experimenta una fuerza elctrica Fe , la que tiende a mover en la direccin del campo si la carga de prueba es positiva y en sentido contrario si dicha carga es negativa. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA

El concepto de energa potencial por unidad de carga recibe un nombre especial: POTENCIAL ELECTRICODEFINICIONES :El potencial elctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una Fuerza Externa ,en contra del campo elctrico E; para mover una carga positiva(q) desde el infinito (donde el potencial es cero) hasta ese punto, dividido por dicha carga .Es una cantidad Escalar V=V(x,y,z).

En cada punto que rodea a la carga Q ,se puede identificar E y la cantidad escalar potencial elctrico VA y VB .El punto mas cercano a la carga positiva ,tendr mayor potencial , es decir : VA > VB

FIFERENCIA DE POTENCIAL:A menudo lo que interesa es la diferencial de potencial entre los puntos A y B , es decir si en el campo elctrico E de la carga (Q) movemos una carga de prueba ( q ) del punto A hasta el punto B ,entonces la diferencia de potencial entre B y A ser igual al trabajo necesario para mover la carga sobre q.El trabajo WAB , puede ser positivo ,negativo nulo ,En estos casos el potencial elctrico en B ser respectivamente mayor ,menor o igual que el potencial elctrico en A.

Si el punto A est muy alejado ( ) ,entonces Va = 0Por lo tanto :

Una unidad de energa utilizada en Fsica Atmica y Nuclear es el electrn volt (eV) el cual se define como la energa que un electrn(o protn) gana o pierde al moverse a travs de una diferencia de potencial de 1 V .Como 1V= 1J/1C entonces 1 eV = 1,6x10J.

Algunas veces se necesitan unidades mayores de energa, y se usan los:Kiloelectronvoltios (keV), 1 keV=10 eVMegaelectronvoltios (MeV) 1 MeV = 10 eVGigaelectronvoltios (GeV). 1 GeV = 10 eVUNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONALLa unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuacin anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es:

Como el potencial elctrico se mide en volts, se le suele llamar voltaje.

FUENTES DE ENERGIA Y INSTRUMENTOS DE MEDICION

POTENCIAL ELECTRICO E INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO A) Campo Elctrico Uniforme: E = CteConsideremos un campo elctrico uniforme (E ) localizamos dos puntos A y B ,separados una distancia ( d ) ,si por intermedio de un agente externo (F)movemos una carga de prueba q desde A hasta B sin aceleracin entonces por causa de E la carga q experimenta una fuerza Fe= qE ,hacia abajo .Luego para mover la carga q en la forma descrita ,debemos contrarrestar a esa fuerza qE aplicando una fuerza F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba(pero de sentido contrario - qE) . Entonces el trabajo que se requiere para mover la carga q des de A hasta B contra el Campo elctrico E est dado por :

Luego de :

Entonces :

Finalmente se tiene que :

Como VB>VA el agente exterior tendr que hacer un trabajo positivo para mover q de A a B .

Relaciones entre campo y diferencia de potencial

La relacin entre campo elctrico y el potencial es : En la figura, vemos la interpretacin geomtrica. La diferencia de potencial es el rea bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constanteVA-VB=Ed que es el rea del rectngulo sombreado.El campo elctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado se cumple : Dado el potencial V podemos calcular el vector campo elctrico E, mediante el operador gradiente :

La partcula de carga +q se coloca en reposo en el punto A. Es correcto afirmar que la partcula:

a. Ganar energa cintica b. Se mover en linea recta c. Se mover con aceleracin constante d. Todas las anteriores

ASi la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del campo habr ganado una energa cintica K

Si la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del campo habr ganado una energa cintica K.

La figura muestra la misma carga +q en el punto A, movindose con velocidad v, cuando se establece el campo elctrico E.Cuando la carga salga del campo, su energa cintica ser igual a la que tiene en A:

a. Ms K b. Ms una cantidad diferente a K c. Menos K d. Menos una cantidad diferente a K

Dk = W = Trabajo realizado por la fuerza electrosttica +x

El trabajo realizado por fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

El trabajo realizado por fuerzas conservativas slo depende de las coordenadas de las posiciones inicial y final

Las fuerzas electrostticas son fuerzas conservativas

En los sistemas donde actan fuerzas conservativas se puede definir una ENERGA POTENCIAL

1.-Un electrn entra a una regin entre dos placas cargadas a un ngulo de 45 ,ver figura .Si la velocidad inicial del (e- ) es 6.10 m/s y E=2.10N/C dirigida hacia arriba .Si d= 0,02m y L=0,10m a)Chocar el electrn contra alguna de las placas ?b)Si choca con una de las placas ,donde lo hace?Movimiento de una partcula carga en un campo elctrico uniforme ++++++++++++++++----------------------2.-Un electrn es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en una regin donde hay un campo elctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se le aplica una diferencia de potencial de 100 V. Calcular a)La velocidad inicial del electrn antes de entrar en dicha regin. b)El punto de impacto o la desviacin del electrn a la salida de las placas. Datos: carga del e 1.6 10-19 C, masa 9.1 10-31 kg.

RELACION DEL POTENCIAL Y EL CAMPO ELECTRICO EN EL CASO GENERALEs el caso en que el campo no es uniforme y q se mueve segn la trayectoria que no es recta .Debido al campo E ,q experimenta una fuerza Eq ,luego para evitar que la carga de prueba acelere debe aplicarse una fuerza F ,que sea exactamente igual a

, Para todas las posiciones de la carga de prueba, entonces el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo ser :

luego el trabajo total ser :Por la definicin de diferencia de potencial :

Se tiene : Si A est en el entonces VA=0 Luego :

POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL:Si se tiene una carga puntual (Q) y se desea calcular su potencial en cualquier punto a una distancia ( r ). Se coloca una carga de prueba (q0 ) que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

POTENCIAL ELCTRICO DE DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGAEl trabajo infinitesimal producido por la fuerza F para llevar la carga (q) desde A hasta B est definido por:

Donde el vector desplazamiento dl, es tangente a la trayectoria, y dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la direccin radial es decreciente.Para calcular el trabajo total, se integra entre la posicin inicial A, distante del centro de fuerzas y la posicin final B, distante del centro fijo de fuerzas:

De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partcula para ir desde la posicin A a la posicin B. Lo cual implica que la fuerza de atraccin F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. Como:Si consideramos el punto A en el infinito : rA ; entonces VA= 0 ,de la expresin deducida para la diferencia de potencial podemos hallar el potencial debido a la carga ( Q ) a una distancia ( r ) ; esta dado por :

Y la grfica de la funcin potencial es:

Potencial elctrico producido por dos cargas puntuales

POTENCIAL DE UN DIPOLO ELCTRICOEl potencial en el punto P distante r1 de la carga Q y r2 de la carga +Q es :

El potencial se expresa en funcin de r y Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r( 1/r), mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r .

Componentes del Campo ElctricoLas componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del Gradiente de V , expresado en coordenadas polares :

La intensidad del campo elctrico disminuye como el cubo de la distancia r.Definimos momento dipolar al vector p, cuyo mdulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separacin d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.Las componentes de E son:

POTENCIAL DE DISTRIBUCIONES DISCRETASDE CARGAS PUNTUALESEl potencial en el punto ( P ) debido a un grupo de cargas puntuales ,se determinan sumando las contribuciones de cada una de las cargas.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES DE CUERPOS CARGADOS CON DENSIDAD DE CARGA ELCTRICAUna superficie equipotencial es el Lugar geomtrico de los puntos de un Campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numrico de la funcin que representa el Campo , es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuacin de Poisson.

Superficies equipotenciales Placa -puntoSuperficies equipotenciales cilindro-cilindroEquipo experimental

Aplicaciones:1.- Calcule el potencial elctrico debido a la distribucin de cargas mostrada en el punto P(x,y) mostrado en la figura. Evale el potencial en el punto (0, 2a). 2.-La distribucin de carga que se muestra en la figura es conocida como cuadrupolo lineal.Demuestre que el potencial elctrico sobre el eje x, para x > a es:(b) Obtenga un resultado que corresponda al caso x >> a.(c) Usando el resultado exacto calcule el campo elctrico en cualquier punto a lo largo del eje del cuadrupolo lineal para x > a.

3.-Considere un dipolo elctrico ubicado sobre el eje y, como se muestra en la figura. Encuentre el potencial elctrico V en u punto P en el plano xy.

ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA(U) para dos cargas puntuales Movimiento de una carga en un campo no homogneo. qComo Fe es una fuerza conservativa ,entonces el trabajo no depende de la trayectoria seguida por qo puede expresarse como una variacin de energa potencial elctrica.De la definicin de diferencia de potencial se tiene :

ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA(U) para dos cargas puntuales Se define la Energa Potencial Elctrica de un sistema de cargas puntuales q1,q2 , como el trabajo que hay que hacer para formar ese sistema de cargas puntuales al traer (q2) desde una distancia infinita ( VA=0 ) hasta ( r ) de q1 .De la definicin de diferencia de potencial se tiene : ,se cumple que q2=q ,y para

( r ) , VA=0

Finalmente tenemos : La energa representada por este trabajo (wB) se puede considerar que queda almacenada en el sistema q1 + q2 como Energa Potencial Elctrica ( U ) y se expresa como : Luego se tiene , que VB es el potencial en el punto ( B ) debido a ( q1) y est dodo por :

q1q2q3Energa potencial elctrica para tres cargas :Para formar sistemas que contienen mas de dos cargas ,el procedimiento es calcular la energa potencial para cada par de cargas separadamente Y luego se suman algebraicamente .

4.-Calcular el trabajo que se requiere para traer desde el infinito cuatro cargas de 5 C ,dos positivas y dos negativas y colocarlos en los vrtices de un cuadrado de lado (a= 15 m) ;si las de igual signo estn diametralmente opuestas.5.-Consideremos un cuadrado de lado a, con una carga en cada esquina +q y una carga q en el centro. Determine la energa electrosttica total del sistema de cinco cargas .-- q-q-

Clculo del Campo Elctrico E a partir del potencial VSe ha establecido que V y E son descripciones equivalentes y ya hemos analizado como calcular V a partir de E ; es decir ( V ) es la diferencia de potencial :

Donde EL= E Cos es la proyeccin de E en la direccin de dl; luego se tiene:

Luego el valor mximo de dV/dl en un punto dado se llama gradiente de potencial en ese punto ;entonces si tomamos como direccin de (L)las direcciones de los ejes x,y,z podemos hallar las tres componentes de E conociendo V(x,y,z) en cualquier punto como :

CAMPO ELECTRICO A PARTIR DEL GRADIENTE DEL POTENCIAL

A partir del potencial elctrico se puede obtener el campo elctricopero:luego:operador gradiente

APLICACION: 1.-Obtener el campo elctrico a partir del potencial de una carga puntual.

luego:

2.-Un dipolo elctrico se localiza en el eje y, tal como se muestra en la figura:(a) Demuestre que el potencial elctrico en elpunto P , que est alejado del dipolo, r >>a, es:

donde p = 2q a es el llamado momento dipolar del dipolo.(b) Calcule las componentes radial Er y tangencial E del campo elctrico

Recuerde que la expresin para elgradiente en coordenadas polares es: =/rer +1/r/edonde = (r, ) es una funcin de r y . (c) Exprese los resultados de los puntos a y ben coordenadas cartesianas (x, y).y d)Calcule las componentes del campo Ex y Ey.

Potencial elctrico debido a una distribucin de carga continuaPara una distribucin de carga continua y no una rotacin de puntos ; el potencial en el punto P debido al diferencial de carga ( dq ) ,siendo dv el potencial en (P) a una distancia ( r ) ,hallamos integrando .

yPotencial de una lnea finita de cargaxOdxdr1.-Se tiene una varilla de longitud L= 0,04m y =10C/m de densidad lineal de carga , ver figura .Calcular el Potencial en el punto P si la distancia d = 0,06 m.

2.-Sobre una barra delgada no conductora de longitud 2L, se ha distribuido uniformemente una carga +Q con un densidad de carga por unidad de longitud . Determine el potencial elctrico en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular a la barra a una distancia z de su centro.

Potencial debido a un anillo uniformemente cargado1.-Una anillo de radio (a) tiene una densidad de carga ( ) .Calcular:El potencial en el punto P de su eje de simetra.En que punto de su eje el potencial ser mximo?El campo elctrico en el punto P a partir del potencial (V)

2.-Un aro circular de radio (a) se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga lineal = 4C , y su eje coincide con el eje Z.a)Hallar el campo elctrico sobre el eje y a una distancia (z) b)Hallar el potencial elctrico en el mismo punto .c)Hallar el trabajo realizado para llevar un electrn desde el reposo desde el punto P hasta el centro del aro circular d)Si el electrn tiene velocidad inicial v1 en el punto P Cul ser la velocidad cuando pasa por el centro.

Potencial de un disco uniformemente cargadox1.-Se tiene un disco de radio R y densidad superficial de carga ( C/m.Calcular:a)El Potencial a una distancia (x ) en el punto P .b) A partir del potencial calcular el Campo Elctrico en el punto P.

2.-La corona circular mostrada en la figura tiene una densidad de carga uniforme . Calcule el potencial y el campo elctrico a lo largo del eje de la corona. Analice los casos:(a) a 0, b finito(b) a 0, b (c) a finito, b

3.-(a) Calcule el potencial elctrico sobre el ejede simetra de una anillo de radio R, que tiene una carga total Q uniformemente distribuida sobre su dimetro.(b) Una carga puntual Q de masa M se localizaen el centro del anillo. Cuando ste sedesplaza ligeramente hacia la izquierda, lacarga puntual se acelera a lo largo del eje xhacia el infinito. Demuestre que la velocidadfinal de la carga es:4.-Considere un cascarn cilndrico cargado uniformemente con una carga toral Q que tiene radio R y altura h.(a) Calcule el potencial electrosttico en unpunto situado a una distancia d al ladoderecho del cilindro.(b) Repita en punto anterior, para el caso deun cilindro slido, uniformemente cargado

Potencial elctrico de un distribucin de carga esfrica 1.-Calcular el potencial elctrico de una corteza esfrica de radio ( R ) ,conductora cargada con Q coulomb ; para :rRr RGrafique V=V(r)2.-Calcular el potencial elctrico de una esfera maciza no conductora de radio ( R ) y con densidad uniforme de carga (),distribuido en todo su volumen ;para:

a)r Rb)r Rc)Grafique V=V(r)

3.-Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco estn cargados. El primero que tiene un radio de 2 cm y es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de 9.10-9 C/m El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, est uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad - 4/.10-6 C/m3. a)Determinar la expresin del campo elctrico en las distintas regiones: r

5.-Considere una carga Q distribuida en esfera de radio ( R ) ,la densidad de carga volumtrica depende de ( r ) ; = ( r ) .Analizar los dos casos diferentes A y B y Hallar el potencial para rR.A)(r)= a/r ; para 0 < r RB)(r) = o (constante) ; 0< r < R ( r )=0 ; para r > R

6.-Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10-5/ C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -410-9 C.a)Obtener, razonadamente, la expresin del campo elctrico en las siguientes regiones r