Cap��tulo 1: Algunos hechos sobre el crecimiento

Las cuestiones fundamentales del crecimiento econ�omico son: (1) el por qu�e hay crec-

imiento econ�omico; (2) el por qu�e el crecimiento di�ere entre paises y a lo largo del tiempo

en cada pa��s.

Los macroeconomistas se parecen por un lado a los astr�onomos porque no pueden llevar

a cabo experimentos controlados. Deben observar y adecuar la teor��a a lo observado. Sin

embargo en su otro lado se parecen a los m�edicos porque su teor��a condiciona como actuar

con (no s�olo c�omo observar) la econom��a, por tanto re-crean su propio objeto de estudio.

Comenzaremos por tanto por saber cu�ales son los hechos m�as relevantes sobre el crecimiento,

para adecuar la teor��a a lo observado, y despu�es nos preguntaremos sobre c�omo podemos

in uir sobre el objeto de estudio, es decir sobre los efectos de las pol��ticas econ�omicas.

1.1: La importancia del crecimiento

El primer hecho que hay que resaltar es la relevancia que tiene el crecimiento a largo

plazo sobre el nivel de vida de la poblaci�on. Consideremos por ejemplo los datos de EE.UU.

En 1870 el PIB real (en d�olares de 1985) per capita era 2244 d�olares. En 1990 este PIB real

era 18258 d�olares. Esto corresponde a una tasa de crecimiento relativa

(18258 � 2244)=2244 = 70136 :

Es decir si suponemos una tasa de crecimiento constante (1 + g) tal que (1 + g)120 = 70136

entonces la tasa de crecimiento anual media de la econom��a de EE.UU. fu�e de 1+g = 100165,

ya que 120 log(1 + g) = log(70136) = 100165. Por tanto el efecto de una tasa de crecimiento

media anual de 1065% es que la riqueza de la poblaci�on se ha multiplicado por 7 en 120

a~nos.

Es interesante preguntarse cu�al hubiera sido el efecto sobre la riqueza si el pa��s hubiera

crecido a otro ritmo. Si la tasa de crecimiento hubiera sido un punto menor, es decir

100065 entonces dado que (100065)120 = 20176 la riqueza se hubiera duplicado. Si la tasa de

crecimiento hubiera sido un punto mayor, es decir 2065% entonces dado que (100265)120 =

230071 tendr��amos que la riqueza de los individuos ser��a 23 veces mayor que 120 a~nos antes.

Es decir si EE.UU. hubiera crecido al 0065% su renta per c�apita ahora ser��a 7126 d�olares

(ya que 2244 + (20176)2244 = 7126) en lugar de 18258, es decir menos del doble. Si hubiera

crecido al 2065% su renta ser��a de 54015 d�olares es decir mucho m�as del doble.

La conclusi�on importante es que el efecto acumulado al cabo de muchos a~nos de una

peque~na diferencia en la tasa de crecimiento anual es enorme.

1

1.2: Las regularidades de Kaldor

En general podemos dividir el estudio de los hechos sobre el crecimiento en una dimensi�on

temporal o en una dimensi�on espacial, es decir en el estudio de lo que acaece en un pa��s a lo

largo del tiempo (lo que se llama crecimiento) o en el estudio de la relaci�on entre paises (lo

que se llama desarrollo) en cada instante de tiempo. La combinaci�on de ambas dimensiones

ofrece el estudio completo del crecimiento. As�� por ejemplo, las regularidades de Kaldor nos

ofrecen los hechos en la dimensi�on temporal. Por otro lado, el estudio de la distribuci�on

de la renta nos relaciona los hechos en un pa��s con los hechos en el resto. En ambos casos

existe una dimensi�on temporal pero en el primer caso nos preguntamos sobre el crecimiento

de la renta per capita de un pais, y en segundo nos preguntamos sobre el crecimiento de

varios paises comparativamente.

Las siguientes caracter��sticas sobre el crecimiento enunciadas por Kaldor (1963) repre-

sentan los hechos fundamentales sobre el crecimiento. Las teor��as que construyamos a lo

largo de estas notas deber��an respetar estos hechos si queremos que sean interpretaciones

adecuadas de la realidad econ�omica. Los hechos son:

(1) El producto per c�apita (Y=L) crece en el tiempo.

(2) El capital f��sico per c�apita (K=L) crece en el tiempo.

(3) La tasa de rendimiento del capital (r) es constante.(4) El cociente entre al capital f��sico y el producto (K=Y ) es constante.(5) Las proporciones de la renta nacional que van a pagar al capital (�) y al trabajo

(1� �) son aproximadamente constantes.

(6) La tasa de crecimiento del producto per c�apita di�ere mucho entre pa��ses.

1.4: La medici�on del crecimiento: PPA

Si queremos comparar la renta per capita de los habitantes del pa��s N y del pa��s Spodemos valorar las cantidades que consumen los N -itas con los precios de su moneda,

hacer lo mismo con lo que consumen los S-itas y comparar las cantidades nominales usando

el tipo de cambio del N -dolar y el S-dolar. Sin embargo esto no es corecto porque el tipo

de cambio no se ajusta a lo que debiera ser una "Paridad del Poder Adquisitivo" (PPA), es

decir, no es cierto que si un N -dolar compra un donut en N -landia y lo podemos cambiar

por 5 S-dolares, entonces un donut en S-landia cueste 5 dolares.

Es necesario pues construir ��ndices que permitan convertir N -dolares en S-dolares a unatasa que permita comprar una cesta de consumo igual. Se llaman a estos ��ndices los n�umeros

PPA (o PPP en el mundo anglosaj�on). Construir tales ��ndices que permitan comparar la

renta entre paises muy heterogeneos es una �ardua tarea. Un proyecto de las Naciones Unidas

2

ha permitido construir estos numeros, que combinados con los de la contabilidad nacional,

constituyen la "Penn World Table" que nos permite hacer comparaciones sobre la riqueza

relativa de los individuos de muchos paises.

3

Cap��tulo 2: La Teor��a Malthusiana

El modelo propuesto por Thomas Malthus (1798) es quiz�a la primera sistematizaci�on

de las relaciones a largo plazo entre el producto y la poblaci�on.

2.1: El modelo de Malthus

El modelo de Malthus se basa en dos relaciones: La funci�on de producci�on que liga el

producto y la poblaci�on, y la relaci�on que liga la renta per capita y la poblaci�on. La funci�on

de producci�on agregada representa lo que produce la poblaci�on, en t�erminos reales, del bien

de consumo. Esta funci�on de producci�on es una relaci�on Y = Y (L) que tiene rendimientos

marginales y medios decrecientes. El valor Y es el producto producido. El argumento Lrepresenta la poblaci�on, que en este caso es equivalente al trabajo empleado en producir.

El gr�a�co 1 de la �gura 1 representa las funciones de producci�on Y = Y (L) donde lafunci�on Y (L) = L� para distintos valores de �. Seg�un � crece la curvatura de la funci�on

decrece. Lo relevante de esta funci�on de producci�on de Malthus es que tiene rendimientos

decrecientes, es decir que duplicando el trabajo menos que se duplica el producto. Por

ejemplo, si empleamos dos cantidades de trabajo L2 > L1 entonces ocurre que Y2=L2 <Y1=L1 siendo Yi el producto obtenido con trabajo Li. Veremos m�as adelante que el motivo

de que haya rendimientos decrecientes en el trabajo es que existen otros factores que se

emplean en producir y que se mantien �jos al incrementar el trabajo.

La segunda relaci�on crucial en el modelo es la que liga la tasa de crecimiento de la

poblaci�on con el nivel de vida medio de �esta. Sea el nivel medio de vida y = Y=L, entoncesla tasa de creciemiento de la poblaci�on se determina como la diferencia entre la tasa de

nacimientos y la tasa de defunciones.

El gr�a�co 2 de la �gura 1 dibuja la tasa de nacimientos como una constante independiente

del nivel de vida, y la tasa de defunciones como una funci�on decreciente del nivel de vida.

El punto donde estas funciones se cortan y0 determina el nivel de vida tal que la poblaci�on

no crece ni decrece. A la derecha de este punto la tasa de nacimientos es superior a la

tasa de defunciones y la poblaci�on decrece. A la izquierda de y0 la tasa de defunciones es

superior a la tasa de nacimientos y la poblaci�on decrece. En consecuencia, de todo punto

inicial y1 de donde partamos (excepto el caso extremo de y1 = 0 que no consideramos) la

poblaci�on termina con una renta per c�apita igual a y0.

El gr�a�co 3 de la �gura 1 muestra simult�aneamente la funci�on de producci�on y la relaci�on

Y = y0L. Dado que esta relaci�on proporciona los pares de poblaci�on y renta tales que la

4

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

Figure 1: La funci�on de producci�on

renta per c�apita es aquella que mantiene la poblaci�on constante, el punto donde ambas

se cruzan (L0; Y0) proporciona la poblaci�on y renta de equilibrio de esta econom��a. A la

izquierda del punto L0 (en L1) tenemos que Y (L1)=L1 > y0 luego la poblaci�on crece. A la

derecha de L0 (en L2) tenemos que Y (L2)=L2 < y0 luego la poblaci�on decrece. Por tanto

el equilibrio en esta econom��a est�a determinado por la relaci�on n(y) = d(y) que determina

el nivel de vida y0, y por la relaci�on y0L = Y (L) que determina la poblaci�on y la renta.

2.2: Ejercicios de pol��tica econ�omica

Consideremos ahora la respuesta que proporciona el modelo cuando lo utilizamos para

evaluar el efecto que las politicas econ�omicas tendr��an sobre la econom��a. Supongamos

el primer caso en el que el desarrollo de una nueva medicina hace decrecer el nivel de

defunciones para un mismo nivel de vida. El gr�a�co 4 de la �gure 1 dibuja tal efecto. En

tal caso nivel de vida de equilibrio pasa, como se ve en el gr�a�co 1 de la �g�ura 2, de y0 a

y� siendo y� < y0. Inicialmente la poblaci�on se incrementa progresivamente dado que su

renta per c�apita es mayor que la necesaria para mantener constante la poblaci�on. Esto es

as�� hasta que se alcanza el nivel L�. Por tanto el nivel de poblaci�on y de renta pasan de

(L0; Y0) a (L�; Y�), siendo L0 < L� y Y0 < Y�. Sin embargo dado que hay rendimientos

5

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

Figure 2: La relaci�on entre renta y poblaci�on

decrecientes tenemos que Y�=L� < Y0=L0. As�� pues el nivel de vida ha disminuido. La raz�on

intuitiva es que la poblaci�on ha crecido m�as deprisa que la producci�on.

Supongamos un segundo caso en el que se decubren tierras allende el oc�eano y se col-

onizan, ampliando por tanto la cantidad disponible de tierra cultivable. Esto proporciona

una mejora en la funci�on de producci�on, de modo que con igual cantidad de trabajo se

obtiene una cantidad mayor de producto. La funci�on de producci�on se desplaza como en el

gr�a�co 2 de la �gura 1. Supongamos que la funci�on de producci�on se desplaza pasando de

ser Y1(L) a ser Y2(L). propuestas en el gr�a�co 1 de la �gura 1. En este caso la poblaci�on

pasa de (L0; Y0) a (L�; Y�) con L0 < L� y Y0 < Y�. Inicialmente, en el corto plazo, el nivel

de vida mejora pasando de Y1(L0)=L0 a Y2(L0)=L0. Sin embargo, a largo plazo la renta

per c�apita empeora, es igual. N�otese que a diferencia del caso anterior la renta per c�apita

inicialmente sube para llegar a largo plazo a un punto igual al inicial, mientras que en el

caso anterior la renta disminu��a mon�otonamente. El modelo merece sin duda una cr��tica

razonada.

2.3: Cr��tica al modelo de Malthus

6

Cuando el reverendo Malthus publica su obra, la idea de que el medio que proporciona

el nivel de vida de la poblaci�on en general, es la agricultura era razonable. M�as a�un la

idea de que este medio presenta b�asicamente un �unico input (el trabajo) y que est�a sujeto a

rendimientos decrecientes tambi�en era razonable. En efecto, la sociedad b�asicamente agraria

anterior al siglo XV III roturaba primero las tierras m�as f�ertiles, que proporcionaban m�as

fruto, y cuando este fruto era insu�ciente para mantener a la poblaci�on se roturaban las

tierras menos f�ertiles, de modo que la funci�on de producci�on era c�oncava en su �unico argu-

mento. Sin embargo, Malthus ya conviv��a con la revoluci�on industrial, que iba a transformar

la vida de su Inglaterra primero y del resto de Europa en el siguiente siglo. Las historia

pues va a falsar la teor��a de Malthus. Unos pocos a~nos despu�es de la publicaci�on de su

obra viv��an en Inglaterra el doble de habitantes que unas decenas antes de la misma fecha,

y estos vivian mejor. As�� pues parece que el modelo no ha previsto algo importante en el

sitema econ�omico.

El modelo de Malthus se olvida de un elemento crucial en la funci�on de producci�on:

el factor acumulable (capital), que complementa al factor no acumulable (trabajo). En

el siguiente cap��tulo ver�emos el modelo neoc�asico que incorporan un nuevo elemento que

permite a la sociedad modi�car la funci�on de producci�on m�as all�a de lo que permite hacerlo

el factor trabajo. Para Malthus la disyuntiva era: un individuo tiene una boca y dos manos,

de modo que un trabajador produce pero tambi�en consume. La disyuntiva que vamos a

enfrentar con el modelo neocl�asico ser�a: el individuo come su fruto o lo ahorra. El ahorro

o la acumulaci�on del capital ser�a lo que salve a los individuos del cruel destino imaginado

por Malthus.

7

Cap��tulo 3: El Modelo Neocl�asico

El modelo Neocl�asico est�a basado en los trabajos de Solow (1956). Podr��amos estudiar

primero el modelo b�asico donde el producto se obtiene combinando trabajo (L) y capital

(K), para a~nadir posteriormente un elemento distinto de estos dos factores: el progreso

t�ecnico (A) y ver c�omo A modi�ca los resultados del modelo b�asico. Vamos a seguir un

atajo, incluyendo desde el principio A en la funci�on de producci�on, para eliminarla cuando

convenga, viendo as�� los efectos de que dependen de haber supuesto un progreso t�ecnico.

3.1: La funci�on de producci�on

El elemento fundamental del modelo es la funci�on de producci�on. La funci�on de pro-

ducci�on del modelo es

Yt = F (Kt; At Lt)

siendo Y el producto, K el factor acumulable (capital), L el factor no acumulable (trabajo)

y A el progreso t�ecnico, el estado de la tecnolog��a o la efectividad del trabajo. De este modo

AL es el trabajo efectivo aplicado. En este caso decimos que el progreso t�ecnico es Harrod-

neutral (o incrementador del trabajo). Existen otras alternativas a esta formulaci�on. Si

Y = F (A K;L) decimos que el progreso es incrementador del capital. Si Y = A F (K;L)decimos que el progreso es Hicks-neutral. Consideramos por tanto, que se produce un bien

homogeneo �unico Y , donde los factores K y L son la parte controlable en la producci�on.

Con la formulaci�on Harrod-neutral con la que trabajaremos, la funci�on de producci�on

presenta tres caracter��sticas de�nitorias:

(1) La funci�on de producci�on tiene rendimientos constantes de escala, es decir que es

homogenea de grado uno en capital y trabajo. Luego �F (K;A L) = F (�K;A �L). Intu-

itivamente esto signi�ca que no hay ganancias de especializaci�on, es decir: duplicando el

trabajo y el capital se duplica el producto. Esto es, no podr��amos especializar una parte de

los inputs en la producci�on (como por ejemplo las ganancias en producci�on que se obtienen

en una cadena de montaje) de manera que se produjera m�as del doble de output. N�otese

que los factres de producci�on son capital y trabajo. La variable A recoje lo que no depende

de estos factores.

(2) La funci�on de producci�on tiene rendimientos marginales positivos y decrecientes

respecto de cada factor. Formalmante:

(@F=@K) > 0; (@2F=@K2) < 0;

(@F=@L) > 0; (@2F=@L2) < 0:

8

N�otese que en el factor trabajo tenemos la funci�on de producci�on de Malthus, de modo que

ahora F (K; �) ser��a un modelo de Malthus donde la funci�on de producci�on es modi�cable por

la sociedad. Tenemos por tanto rendimientos decrecientes en cada factor pero constantes

para toda la econom��a.

(3) La funci�on de producci�on veri�ca las condiciones de Inada:

limK!1FK = limL!1FL = 0

limK!0FK = limL!0FL =1

La primera de las condiciones re eja el hecho de que cuando hay mucho capital o mucho

trabajo, incorporar una unidad m�as de uno u otro incrementa poco el producto. La segunda

de las condiciones re eja el hecho contrario: cuando hay poco capital o poco trabajo,

incorporar una unidad m�as de uno u otro incrementa mucho el producto.

3.2: El problema de las Empresas

Supondremos que estamos en una econom��a competitiva, es decir de competancia per-

fecta. El problema que resuelven las empresas es por tanto

maxK;LF (K;AL) � w L� r K

siendo w el pago al factor trabajo (el salario) y r el pago al factor capital. Las condiciones

de primer orden de este problema son

w = FL; r = FK :

Dado que F (K;A L) presenta rendimientos constantes de escala en K y L podemos aplicar

el Teorema de Euler que se detalla en el ap�endice 1, y obtenemos que el pago a los factores

agota el producto, es decir

F (K;A L) = w L+ r K :

En consecuencia la empresa no obtiene bene�cios y por tanto podemos considerar que existe

una �unica empresa o un gran n�umero de ellas indistintamente. El pago agregado que reciben

el factor trabajo y el factor capital son respectivamente

w L

Y

r K

Y:

As�� en el caso de una funci�on Cobb-Douglas

F (K;A L) = K�(A L)1��

9

obtenemos que

w = A(1� �)K�(A L)��

r = �K��1(A L)1��

por tanto

(w L)=Y = 1� �; (r K)=Y = �

por tanto en este caso se cumplen la tercera y la cuarta regularidad de Kaldor. Para la

ecnom��a de EE.UU. el pago al factor trabajo es aproximadamente constante alrededor de

0.66, por tanto si ajustamos una Cobb-Douglas a los datos agregados obtenemos un valor

aproximado 1� � = 0:66.

3.3: Din�amica del Modelo

Vamos a especi�car la din�amica de las variables en tiempo continuo aunque utilizaremos

sub��ndices en lugar de par�entesis. La poblaci�on L crece a una tasa n. La tecnolog��a A crece

a una tasa g. Hay una tasa de ahorro s. El producto generado se dedica al consumo C o a

la inversi�on I que acumula nuevo capital. Dado que la inversi�on es igual al ahorro tenemos

I = sY . Existe una depreciaci�on del capital Æ en cada per��odo. Tenemos por tanto las

siguientes ecuaciones que determinan esta econom��a

_L = nL

_A = gA

Y = C + sY

_K = sY � ÆK

La clave para resolver el modelo es saber cu�ales son las variables que van a ser estables

(sin creciemiento) y escribir en t�erminos de tales variables el modelo. Dado que tenemos

dos tasas de creciemiento ex�ogenas n y g un buen candidato es el cociente X=(AL) paracualquier X. De�namos las variables en t�erminos per c�apita efectiva

y = Y=(AL) k = K=(AL)

y dado que Y = F (K;A L) es homogenea de grado uno podemos de�nir f(k) como

F (K;AL) 1AL

� f(k) y por tanto y = f(k). En el ap�endice 2 se demuestra la igualdad

10

FK = f 0(k). Utilizando el teorema de la cadena podemos escribir la din�amica del capital

per capita efectiva como

_k = (@k=@K) _K + (@k=@A) _A + (@k=@L) _L

= (1=AL)(sY � ÆK � gK � nK)

= sf(k)� (n+ g + Æ)k

sin m�as que sustituir las derivadas. La �gura 3a muestra un gr�a�co de _k respecto de k, esdecir el diagrama de fases. Sea k� el punto donde _k corta al eje de abcisas. Si inicialmente

estamos en un punto k1 < k� entonces _k > 0 y por tanto k crece y se aproxima a k�. Si

inicialmente estamos en k2 < k� entonces _k < 0 y por tanto k decrece y nos aproximamos

a k�. Por tanto k� es un punto de equilibrio estable del sistema.

Veamos qu�e interpretaci�on tiene este diagrama de fases. La �gura 3b muestra las com-

ponentes que determinan _k. El valor de equilibrio se obtiene como el punto k� que hace

sf(k�) = (n+ g + Æ)k�.

3.4: La econom��a en estado estacionario

El valor k� es un estado donde la econom��a est�a estacionaria: es el valor de estado

estacionario. Asociado a este valor tenemos el producto de estado estacionario y� = f(k�),el consumo c� = (1 � s)f(k�) etc�etera. En este caso decimos que la econom��a se encuentra

en una senda de creciemiento estable. Veamos que implica esto para algunas variables. Si

k es constante y no crece, entonces el capital per capita K=L = Ak va a crecer a la tasa

a la que crece A es decir g. De igual manera tenemos que el producto per capita efectiva

y = f(k) no crece, pero el producto per capita Y=L crece a tasa g. Hemos llegado a la

conclusi�on m�as relevante de este capitulo: que a largo plazo el motor del crecimiento es el

progreso t�ecnico A. Si planteamos el modelo de Solow sin progreso t�ecnico (A constante)

entonces en estado estacionario el producto per c�apita no crece.

3.5: Politica Econ�omica

Una vez que hemos modelizado la econom��a podemos preguntarnos sobre cu�al es el

efecto de un cambio en los par�ametros del modelo. Supongamos que queremos analizar

cu�ales ser��an los efectos de un cambio en la tasa de ahorro de esta econom��a. Supongamos

que la tasa de ahorro pasa de s0 a s1 con s1 > s0. Con la nueva tasa de ahorro el nuevo

estado estacionario asociado va a ser k�� en lugar de k�. El nuevo producto por trabajadorser�a (Y=L)�� = Af(k��) en lugar de (Y=L)� = Af(k�), siendo aquel mayor que este. Lo

mismo pasa con en capital per c�apita. Sin embargo su tasa de crecimiento es en ambos

11

casos la de A es decir g. Luego a largo plazo (en estado estacionario) se incrementa el

producto per c�apita. Lo que sucede a corto plazo es que al pasar de s0 a s1 tenemos que

s1f(k�) > (n + g + Æ)k�, y por tanto _k > 0 luego el capital per c�apita K=L = Ak crece a

tasa mayor que g. Este incremento en la tasa de crecimiento es transitorio, luego el efecto

de la politica econ�omica es permanente sobre los niveles, pero transitorio sobre las tasas de

crecimiento.

La transici�on desde el primitivo estado estacionario hasta el nuevo estado es muy r�apida

al principio pero la aproximaci�on va haciendose cada vez m�as lentamente. Es decir, si

pasaramos a un estado estacionario superior, la aproximaci�on ser��a c�oncava. Esto se conoce

t�ecnicamente como el Teorema de la Autopista. El ap�endice 3 detalla este teorema. El pro-

ceso descrito es �util para comparar tasas de crecimiento de paises con valores param�etricos

iguales (es decir con igual estado estacionario). En este caso diferencias en las tasas de

crecimiento de los paises se deben a diferencias en sus posiciones relativas respecto de su

estado estacionario. Por supuesto, la tasa de crecimiento de paises con diferentes estados

estacionarios no son comparables con el modelo neocl�asico. El gr�a�co ilustra la situaci�on.

Dado que nuesta politica econ�omica consiste en hacer variar la tasa de ahorro, la ex-

tensi�on natural ahora es preguntarse cu�al es la mejor tasa de ahorro. El criterio ser�a

maximizar el consumo, buscamos por tanto la tasa de ahorro que proporciona el mayor

consumo. El consumo per capita efectiva es

c = C=(AL) = ((1� s)Y )=(AL) = (1� s)y = (1� s)f(k)

y dado que en estado estacionario tenemos

sf(k�) = (n+ g + Æ)k�

entonces en estado estacionario c� = f(k�) � (n + g + Æ)k�. Ahora la tasa de ahorro en

estado estacionario la obtenemos maximizando la expresi�on anterior, siendo la C.P.O.

@c�

@s= f 0(k)

@k�

@s� (n+ g + Æ)

@k�

@s

es decir el valor �optimo sG est�a dado por la expresi�on f 0(kG) = (n+ g+ Æ). Gr�a�camente lo

que dice la condici�on es que en el punto kG de estado estacionario asociado con la tasa de

ahorro �optima sG, la distancia de f(kG) a sf(kG) se maximiza. En ese punto la pendiente

de f(kG) es exactamente (n+ g + Æ).

3.6: El Residuo de Solow

Vamos a contabilizar el efecto del progreso t�ecnico sobre la tasa de crecimiento del

producto. Este efecto se conoce como TFP o productividad total de los factores.

12

Sea la funci�on de producci�on Yt = F (Kt; AtLt) homogenea de grado uno en K y L.Podemos escribir la derivada

_Y = (@Y=@K) _K + (@Y=@L) _L + (@Y=@A) _A

donde (@Y=@L) = (@Y=@(AL))A y por tanto tenemos

_Y =Y = (@Y=@K)(K=Y )( _K=K) + (@Y=@L)(L=Y )( _L=L) + (@Y=@A)(A=Y )( _A=A)

luego

_Y =Y = �K( _K=K) + �L( _L=L) + �A( _A=A)

siendo �K la elasticidad de Y respecto de K. Dada la homogeneidad de F podemos aplicar

el teorema de Euler y escribir Y = FKK + FLL o bien 1 = �K + �L. por tanto podemos

reescribir la expresi�on de arriba

( _Y =Y �_L=L) = �K( _K=K �

_L=L) +R

donde R = �A( _A=A) es el residuo de Solow. Intuitivamente la expresi�on mide la parte del

crecimiento del producto per capita que no es debida al crecimiento del factor acumulable.

Esta intuici�on se ve clara utilizando una funci�on de producci�on Cobb-Douglas. En tal caso

tenemos

_Y =Y = �( _K=K) + (1� �)( _L=L) + ( _A=A)

y el creciemiento del producto es una media ponderada de los crecimientos de K y de Lmas un factor extra: la TFP.

3.7: Evaluaci�on del Modelo de Solow

El resultado que hemos obtenido en el modelo de Solow es que es el progreso t�ecnico

el que permite que la renta per capita Y=L crezca inde�nidamente en estado estacionario.

Es por tanto A la que libera la econom��a del efecto de los rendimientos decrecientes en el

factor acumulable. Sin A no habr��a creciemiento del producto per capita.

Para evaluar el modelo de Solow vamos a ver c�omo este modelo da cuenta de: (1) las

diferencias entre paises en los niveles y en las tasas de crecimiento de la renta per capita; (2)

la evoluci�on a lo largo del tiempo del nivel y de la tasa de crecimiento la renta per capita.

Las diferencias en los niveles de renta per capita entre paises son explicadas en el modelo

por diferencias en las tasas de ahorro o en las tasas de crecimiento de la poblaci�on. Los

13

gr�a�cos entre Y=L y s o n muestran que estas relaciones son las que predice el modelo: los

paises con mayor tasa de ahorro y menor tasa de crecimiento de la poblaci�on son m�as ricos.

Veamos las implicaciones que el crecimiento de los niveles a lo largo del tiempo tendr��a

sobre el modelo. Consideremos una funci�on de producci�on Cobb-Douglas donde suponemos

constante el progreso t�ecnico. Entonces la renta per capita puede escribirse yt = k�t y la

elasticidad del producto respecto del capital es (@y=@k)(k=y) = � donde � = 1=3 aproxi-

madamente. Si suponemos que la renta per capita se ha multiplicado por 10 en los �ultimos

100 a~nos, es decir y2000 = 10y1900 entonces �y=y = 9 y tomando (�y=y)(k=�k) = � ten-

emos (�k=k) = 27 es decir el capital per capita debe haberse multiplicado por un factor

cercano a 30 en estos 100 a~nos. Esto contradice la cuarta regularidad de Kaldor que ase-

gura que el ratio K=L es aproximadamente constante. Un resultado an�alogo se obtiene si

consideramos el pago al capital r = �k��1A = �y(��1)=�A1=� y calculando la elasticidad

(@r=@y)(y=r) = (�� 1)=� = �2 para � = 1=3. Por tanto el incremento en la renta provoca

un decremento en el tipo de inter�es tenemos (�r=r) = (�2)(�y=y) = �18. Esto contradice

la tercera regularidad de Kaldor que asegura que r es aproximadamente constante. En

consecuencia el modelo explica mal las variaciones de los niveles a lo largo del tiempo.

Veamos las implicaciones del modelo relativas a las tasas de crecimiento entre paises. Si

consideramos que los paises comparten iguales valores en los par�ametros (depreciaci�on, tasa

de ahorro, tasa de crecimiento poblacional y progreso t�ecnico) entonces el modelo todav��a

predice que los paises van a crecer a distintas tasas si est�an en distintas posiciones relativas

respecto de su estado estacionario. Recordemos el teorema de la Autopista que nos dec��a

que la velocidad a la que convergemos al estado estacionario es distinta seg�un que estemos

m�as cerca o m�as lejos de �el. En particular si el cpital inicial k0 es menor que el de estado

estacionario k� entonces convergemos de menos capital a mas capital el en este caso sabemos

que si estamos m�as lejos vamos m�as deprisa que si estamos m�as cerca, o que paises m�as

pobres crecen m�as deprisa que paises m�as ricos. Es por tanto importante preguntarse si los

paises convergen a un estado estacionario (y por tanto convergen entre si) para evaluar el

modelo de Solow.

Vamos a evaluar el modelo de Solow siguiendo el estudio de Mankiw, Romer y Weil

(1992) (en adelante MRW). Estos autores se preguntan qu�e valores tendr��an los par�ametros

si fueran estimados suponiendo que el proceso que genera los datos sigue el modelo de Solow.

En concreto supongamos una funci�on Cobb-Douglas Y = K�(AL)1�� para la funci�on de

producci�on. En este caso los valores de estado estacionario de las variables per capita

efectiva son

k� =�s=(n+ g + Æ)

�1=(1��)

14

y� =�s=(n+ g + Æ)

��=(1��)

luego tomando logaritmos tenemos para la renta per capita

log(Y=L) = a+ b�log(s)� log(n+ g + Æ)

�

siendo a = �log(1=A). MRW hacen una regresi�on de secci�on cruzada tomando g+Æ = 0:05,Y=L igual a PIB real/poblaci�on y s igual a inversi�on real/poblaci�on, para todos los paises.

Los valores de los par�ametros hallados son (desviaci�on t��pica entre par�entesis)

a = 6:87 (0:12) b = 1:48 (0:12) R2= 0:59

por tanto los par�ametros son signi�cativos y posivivos. Sin embargo estos valores de los

par�ametros implican que � dado como �=(1 � �) = b es � = 0:6. Esto quiere decir que el

pago al capital que es consistente con los datos es muy superior al que suponemos a priori.

En otras palabras, el modelo no re eja apropiadamente el papel que juega el capital en el

crecimiento.

Para terminar veamos qu�e diferencias en la renta per capita implica el modelo. Supong-

amos dos paises N y S que tienen igual tecnolog��a y di�eren s�olo en tasas de ahorro y

de natalidad: � = 0:35, sN = 2sS y nN + Æ = 0:8(nS + Æ). Esto implica diferencias en

el producto per capita efectiva en estado estacionario dadas por (suponiendo depreciaci�on

nula)

log(yN )� log(yS)

= (�=(1 � �))�log(sN )� log(sS)

�� (�=(1 � �))

�log(nN + Æ)� log(nS + Æ)

�

= 0:35=0:65�log(2) � log(0:8)

�= 0:49

y dado que exp(0:49) = 1:6 tenemos que diferencias observables en tasas de ahorro y de

natalidad implican diferencias muy moderadas (en relaci�on a lo que se observa) en renta

per capita entre paises. En particular la siguiente tabla ofrece los valores de PNB real por

trabajador en porcentaje con los valores de EE.UU., es decir (Yi=Wi)=(YUSA=WUSA):

Tabla 1

Paises Espa~na Jap�on Argentina Etiopia

1960 0.3350 0.2046 0.4641 0.0220

1970 0.5434 0.3783 0.4750 0.0207

1980 0.6767 0.5137 0.5624 0.0223

1990 0.7170 0.6153 0.3646 No Disp.

15

y por tanto (YETI=WETI=(YUSA=WUSA) es del order de 50, mucho mayor que el valor 1.6

obtenido.

16

Cap��tulo 4: Crecimiento con capital humano

Hemos visto que el modelo Neocl�asico proporciona una interpretaci�on b�asicamente cor-

recta, pero no totalmente satisfactoria, de las variaciones de los niveles y las tasas de cre-

ciemiento de la renta per capita entre paises y a lo largo del tiempo. La estuctura b�asica del

modelo es la funci�on de producci�on que en la formulaci�on Cobb-Douglas es: Y = AK�L1��.

Existen b�asicamente dos vias para mejorar del modelo: (a) interpretar A de manera que la

fuente del crecimiento pasa a ser una variable end�ogena del modelo como la acumulaci�on

de conocimientos que incrementa la productividad de los otros factores. (b) interpretar el

factor acumulable en sentido amplio, de modo que no s�lo se incluye capital f��sico K sino

tambien capital humano H. De este modo el pago al capital � so�lo representa las ganancias

del capital f��sico. La diferencia esencial entre poner la importancia en A o en K y H reside

en la naturaleza de rival o no rival del factor en cuesti�on.

Cada una de las posibles ampliaciones del modelo proporciona mejoras en una u otra de

las dimensiones en las que el modelo representa a la realidad. En particular, la modelizaci�on

de A hace que el modelo re eje mejor el hecho del crecimiento de una econom��a a lo largo del

tiempo. Por otro lado, la inclusi�on de H hace que el modelo re eje mejor la heterogeneidad

que presenta el crecimiento entre paises.

4.1: El capital humano

Debemos distinguir entre el factor acumulable capital humano H y el factor no acumula-

ble trabajo L. Consideraremos que H representa las habilidades y conocimientos adquiridos

por los trabajadores individuales, mientras que L representa las capacidades normales in-

herentes a todo trabajador. Sabemos que el pago al capital f��sico � = 1=3 representa en la

funci�on Cobb-Douglas la importancia de este factor en la funci�on de producci�on. Si consid-

eramos como factor acumulable no s�olo el capital f��sico sino tambi�en el humano, entonces

la importancia del factor acumulable en la funci�on de producci�on ser�a mayor que 1=3. Si

este es el caso, entonces los efectos de una variaci�on en la tasa de ahorro s sobre el productoper capita ser�an mayores. Este es el principal efecto que obtenemos al ampliar el concepto

de capital.

En particular en el modelo neocl�asico el estado estacionario para el caso Cobb-Douglas

est�a dado por

y = k� y k =�s=(n+ g + Æ)

�1=(1��)

17

y la elasticidad del producto respecto de la tasa de ahorro es

@y

@s

s

y=

�

1� �

luego la elasticidad pasa de ser 1=2 si � = 1=3 a ser 2 si � es 2=3, es decir se cuatriplica.Gr�a�camente podemos ver el efecto en la curvatura de la funci�on de producci�on, como se

observa en el gr�a�co.

4.1: El modelo de capital humano

El modelo que nos sirve para estudiar una econom��a con dos factores acumulables se

basa en Mankiw, Romer y Weil (1992). La funci�on de producci�on de esta econom��a es

Yt = K�

t H�

t (AtLt)1����

siendo � > 0, � > 0 y �+ � < 1. Las leyes de movimiento son

_Kt = sKYt _Ht = sHYt_Lt = nLt _At = gAt

tenemos por tanto rendimientos constantes de escala en K, H, y L. Los resultados ser��aniguales si utilizasemos una funci�on gen�erica F (K;H;AL) homogenea de grado uno en K,

H, y L con las condiciones de Inada. De�namos los t�erminos per capita efectiva

y = Y=(AL); k = K=(AL) y h = H=(AL);

de modo que el producto es y = k�h� y an�alogamente al desarrollo del modelo neocl�asico,

obtenemos

_k = sKk�h� � (n+ g) k

_h = sHk�h� � (n+ g) h

Para estudiar la din�amica de la econom��a utilizamos el diagrama de fases. Para con-

struirlo determinamos primero los puntos del plano de fases tales que _k = 0 y _h = 0. Estos

puntos se obtienen despejando de las ecuaciones anteriores y est�an dados por

k =�sK=(n+ g)

�1=(1��)h�=(1��) [1]

k =�sH=(n+ g)

��1=�

h(1��)=� [2]

18

Dado que � + � < 1 entonces �=(1 � �) < 1 luego [1] es c�oncava. Adem�as (1 � �)=� > 1

luego [2] es convexa. Estas curvas dividen el plano en cuatro regiones como se ve en el

gr�a�co. Vamos a determinar c�omo se mover�an cada uno de los puntos del plano a lo largo

del tiempo. Para _k tenemos que _k > 0 para los h mayores que los que hacen _k = 0, _k < 0

para los h menores que los que hacen _k = 0. Para _h tenemos que _h > 0 para los k mayores

que los que hacen _h = 0, _h < 0 para los k menores que los que hacen _h = 0. Por tanto el

punto E donde _h = 0 y _k = 0, es de equilibrio estable, dado que de cualquier punto del

que partamos terminamos en E. Es de notar que este diagrama de fases es exactamente

la versi�on bidimensional del diagrama de fases del modelo neocl�asico. Las implicaiones

cualitativas del modelo no di�eren en absoluto de las del modelo de Solow. En particular

en el estado estacionario las variables per capita crecer�an todas a la tasa ex�ogena g.

4.2: Implicaciones cuantitativas del modelo

Veamos c�omo al haber ampliado el modelo de Solow, obtenemos un ajuste mejor del

modelo a los datos reales. El estado estacionario del modelo est�a dado por las ecuaciones

sKk�h� = (n+ g) k

sHk�h� = (n+ g) h

tomando logaritmos y resolviendo el sistema obtenemos

log(k) =1� �

1� �� �log(sK) +

�

1� �� �log(sH)�

1

1� �� �log(n+ g)

log(h) =�

1� �� �log(sK) +

1� �

1� �� �log(sH)�

1

1� �� �log(n+ g)

y sustituyendo en el producto log(y) = �log(k) + �log(h), tenemos

log(y) =�

1� �� �log(sK) +

�

1� �� �log(sH)�

�+ �

1� �� �log(n+ g) :

Para examinar las implicaciones cu�antitativas del modelo hay que calibrar (es decir buscar

heur��sticamente) valores apropiados para los pagos � y �. Consideramos que el pago al

capital f��sico (�) es 1/3. Los autores MRW calibran el pago al capital humano como sigue.

El salario de un inmigrante sin cuali�car (en EE.UU.) est�a entre 1/2 y 1/4 del salario

medio. Este salario representa el pago al trabajador sin capital humano. Entonces entre

1/2 y 1/4 de la fracci�on del producto que paga al trabajador va a pagar su trabajo y entre

1/2 y 3/4 van a pagar su capital humano. Por tanto � est�a entre (3=4)(1 � �) = 1=2 y

19

(1=2)(1��) = 1=3. Podemos ahora estimar la regresi�on de secci�on cruzada que estimamos

en el caso neoc�asico.

log(Y=L) = a+ b�log(sK)� log(n+ g + Æ)

�+ c

�log(sH)� log(n+ g + Æ)

�+ "

donde los autores consideran la tasa de ahorro sH como la fracci�on de la poblaci�on en edad

de trabajar que est�a en la escuela secundaria. Como antes g + Æ = 0:05 para todos los

paises. Las estimaciones que se obtienen en este caso son

a = 7:86 (0:14) b = 0:73 (0:12) c = 0:67 (0:07) R2= 0:78

Esto representa estimaciones � = 0:31 (0:04) y � = 0:28 (0:03), que son valores razonables

para la importancia de K y H en la funci�on de producci�on.

Veamos en este caso cuales son las diferencias en renta per capita que predice el modelo

para los paises N y S examinados en el caso neocl�asico. Supongamos que sNK

= 2sSK,

sNH= 2sS

Hy nN = (0:8)nS . entonces

log(yN )� log(yS) =�

1� �� �(log(sNK)� log(sSK)) +

�

1� �� �(log(sNH)� log(sSH))�

�+ �

1� �� �(log(nN + g)� log(nS + g))

= (1=3)=(1=6)log(2) + (1=2)=(1=6)log(2) � (1=3)=(1=6)log(0:8) = 4:45

y dado que exp(4:45) = 85:6 tenemos que diferencias razonables en tasas de ahorro y de

natalidad ofrecen diferencias observables en renta per capita. Por tanto, ahora el modelo

se ajusta a lo observado a diferencia del caso neocl�asico.

4.3: Efectos de pol��ticas econ�omicas

Veamos por ejemplo el efecto de una variacio�on en la tasa de ahorro del capital f��sico.

Supongamos que tal tasa de ahorro pasa de s0Ks1Kcon s0

K< s1

K. Como se ve en el gr�a�co,

esto afecta a la curva c�oncava desplaz�andola hacia arriba. Esta variaci�on en sK hace que

el estado estacionario pase de ser E0 a E1, con E1(k) > E0(k) y E1(h) > E0(h). Al

igual que en el modelo de neocl�asico, las variables per capita crecen a tasa g en ambos

estados estacionarios, y s�olo durante la transici�on la tasa de crecimiento es mayor. Por

tanto, el efecto de la pol��tica econ�omica sobre la tasa de crecimiento es transitorio, pero es

permanente sobre los niveles.

20

Cap��tulo 5: Modelos de Crecimiento End�ogeno

Este cap��tulo modeliza expl��citamente la variable A que representa la efectividad de los

factores, es decir la forma en que los factores K y L (omitimos H en este cap��tulo) generan

el producto Y . Esta efectividad suele ser asociada con el progreso t�ecnico, o la acumulaci�on

de conocimientos.

Como dijimos esta modelizaci�on es particularmente �util para modelizar el desarrollo

econ�omico de los paises en su conjunto, sin prestar demasiada atenci�on a las diferencias

entre ellos.

Intuitivamente, la diferencia esencial que distingue un modelo neocl�asico (digamos de

capital humano) y uno de acumulaci�on de conocimientos, es que el capital es de uso rival

mientras que los conocimientos son de uso no rival. En ambos casos tenemos un factor

acumulable, pero sus caracte��sticas son diferentes. T�ecnicamente, vamos a tener en todo

caso modelos del tipo

Y = X K� L�

donde X ser�a el factor de uso no rival, K ser�a el factor de uso rival (quiz�a combinado como

K�1 H�2) y L ser�a el factor no acumulable. El modelo neocl�asico se recupera si �+� = 1 (o

bien �1+�2+� = 1). Voy a denominar modelos de crecimiento end�ogeno a aquellos en que

la tasa de crecimiento de la renta per capita se determine de forma end�ogena. Obtendremos

esto en dos casos: cuando hagamos end�ogena la din�amica de X, o cuandol � = 1 (o bien

� + � = 1) en donde el factor acumulable tiene rendimientos constantes. En el primer

caso la tasa de crecimiento depender�a de los par�ametros de la funci�on de producci�on. En el

segundo caso depender�a de la tasa de ahorro. Por supuesto, existen m�ultiples combinaciones

posibles entre estos modelos.

5.1: La econom��a de las ideas

La variable A ser�a por tanto una medida (��ndice) de la tecnolog��a. es decir representa

el bagaje de ideas que sirven para combinar K y L en la producci�on de Y . Ejemplos son

los siguientes (las fechas son aproximadas)

� Producci�on de fuego para calentarse, cocinar, etc. (tercer per��odo interglaciar, 180000

a.C.)

� Uso del arco y echa para la caza (paleol��tico superior, 50000 a.C.)

21

� Uso de hazadones de madera y piedra para roturar la tierra (neol��tico, 8000 a.C.)

� Especializaci�on del trabajo en masa para la producci�on ganadera y agr��cola (6000

a.C.)

� Primeras marcas en tablillas de barro para guardar registros (Sumer, 4000 a.C.)

� Uso de nueva tecnolog��a para la transformaci�on de metales (3500 a.C.)

� Codi�caci�on legal (Hammurabi en Babilonia, 1800 a.C.)

� Tecnolog��a del hierro (Hititas, 1400 a.C.)

� Acu~naci�on de moneda (Lidia (Asia Menor) 700 a.C.)

� Construcci�on de la V��a Appia (Roma, 325 a.C.)

� Fabricaci�on de jab�on con sebo animal (Plinio, 1 d.C.)

� Difusi�on del molino de agua (400)

� Introducci�on del papel en Espa~na por los �arabes (1150)

� C�alculo diferencial (Leibnitz, 1675)

� Sucesivas mejoras por distintos autores culminan en la m�aquina de hilar de Cartwright

(1786)

� Obtenci�on del acero inoxidable (Krupp, 1812)

� Refrigerador a compresi�on de amon��aco (von Linde, 1873)

� Producci�on del modelo T de H. Ford (1908)

� Primera explosi�on nuclear (Nuevo Mexico, 1944)

� Primer hombre en la luna (1969)

Todos los casos anteriores representan introducci�on de ideas nuevas, introducci�on de pro-

ductos nuevos (que incorporan nuevas ideas), o acaecimiento de hechos que s�olo son factibles

por el uso de ideas y productos nuevos.

La econom��a de las ideas es formalizada en P. Romer (1986) donde se basa este cap��tulo.

Las dos caracter��sticas esenciales que terminan la econom��a de las ideas son: que las ideas

son de uso no rival y que son parcialmente excluyentes. Las ideas son de uso no rival quiere

decir que una vez que una idea a sido creada todo el que la conoce puede aplicarla. Por

22

ejemplo, Toshiba o Compac ensamblan port�atiles sin que el uso de ese conocimiento por

una empresa inter�era en el uso por la otra. Las ideas son de uso (al menos) parcialmente

excluyente quiere decir que el propietario de la idea puede cargar un precio por el uso de

esta. Los copyrights y las patentes hacen que los inventores del tejido tacktel cobren por el

uso de este material por otras empresas. El grado de exclusividad es, sin embargo, variable.

Por ejemplo, la idea de la codi�caci�on de una se~nal digital es muy excluyente (es di�cil de

usar sin pagar por ella), pero la idea de poner una tienda de Todo a Cien es poco excluyente

(es f�acil de imitar sin pagar por ello). La siguiente tabla describe los atributos econ�omicos

de algunos bienes.

Bienes de Uso Rival Bienes de Uso no Rival

Grado de servicio de peluquer��a transmisi�on codi�cada

Exclusividad uso del autom�ovil proyecci�on cinematogr�a�ca

Alto

Grado de uso de la calle para aparcar luces p�ublicas

Exclusividad becas del gobierno c�alculo diferencial

Bajo

Hay dos implicaciones de las anteriores caracter��sticas, que son clave para describir

la econom��a de las ideas: los rendimientos crecientes y la competencia imperfecta. Los

rendimientos crecientes provienen del hecho de que los bienes de uso rival deben ser pro-

ducidos cada vez que se usan, mientras que los bienes de uso no rival deben ser producidos

s�olo una vez. Existe por tanto un (alto) coste inicial �jo y en general un coste marginal

bajo o nulo. Por ejemplo, componer una canci�on puede ser ser costoso y por tanto caro,

pero copiarla en una cinta es f�acil y barato. Escribir un programa de ordenador (el sistema

operativo del ordenador) puede ser muy costoso, pero una vez escrito es relativamente muy

barato su reproducci�on. Consideremos el siguiente ejemplo. Sean Y las copias del programa

W95, X el trabajo en horas empleado para producirlas, F las horas necesarias para producir

la primera copia deW95 y � las horas necesarias para copiarW95. Entonces Y = (X�F )="Supongamos F = 200 = 40 � 50 es decir un a~no y " = 1=60 es decir un minuto. El gr�a�co

muestra la funci�on de producci�on.

La competencia imperfecta queda re ejada en las patentes. Estas establecen monopolios

temporales que permiten a los inventores retomar los bene�cios producidos por la inversi�on

hecha para producir la idea. Sin estos mecanismos no existir��an incentivos a producir ideas

que fueran caras en la producci�on y que no reportaran bene�cios a sus productores. Por

ejemplo, el t��tulo de m�edico signi�ca de facto un monopolio sobre el servicio sanitario y las

leyes penalizan a quien se otorge el t��tulo sin los m�eritos adecuados. Existe un coste �jo alto

23

(obtener la licenciatura) y un coste marginal bajo (pasar consulta). El monopolio permite

(cargando un precio por consulta superior a su coste marginal) recuperar la inversi�on que

�nanci�o el coste �jo.

5.2: El modelo de acumulaci�on de conocimientos

El modelo descrito aqu�� se basa en P. Romer (1990). Este es un modelo de dos sectores.

El primer sector produce bienes y el segundo sector produce ideas, tecnolog��a o conocimien-

tos. Suponemos para simpli�car una tasa de ahorro constante y depreciaci�on nula. El sector

de bienes produce seg�un la funci�on

Yt =�akKt

���AtaLLt

�1��

con 0 < � < 1, donde aK es la fracci�on de capital dedicada a producir bienes y an�alogamente

con aL. Este sector es el modelo de Solow. N�otese que el sector de bienes tiene rendimientos

constantes en K y L, pero crecientes en K, L y A. Esto re eja el hecho de la no rivalidad delas ideas (a diferencia del trabajo y el capital). Si sabemos c�omo fabricar arados de bronce

y duplicamos la tierra arable, los aperos, los bueyes y los labradores se duplica el producto,

pero si adem�as se a~naden nuevas ideas que permiten fabricar arados de hierro, el producto

de la tierra se incrementa en m�as del doble.

El sector de ideas produce siguiendo la ley

_At = B�bkKt

���bLLt

� A�

t

siendo aK+ bK = 1, aL+ bL = 1, B > 0, � � 0, � 0, � � 0. La condici�on � = 0 indica que

los bene�cios en la producci�on de nuevas ideas (que aparecen por el hecho de utilizar ideas

anteriores) se cancelan con la di�cultad que representa producir ideas diferentes de las ya

utilizadas La condici�on � > 0 indica que no se da tal cancelaci�on sino que en la producci�on

de ideas hay una externalidad positiva (tomamos el ��ndice At > 1). Por ejemplo, el hecho

de que Newton descubriera la lay de la gravedad permiti�o a muchos cient���cos posteriores

descubrir otras leyes f��sicas. EL hecho � + = 1 implicar��a rendimientos constantes en Ky L. Tenemos adem�as que

_Kt = sYt y _Lt = nLt

N�otese que el modelo de Solow se recupera tomando � = = 0, bK = bL = 0 y � = 1, con

lo que _A = BA siendo B una tasa de crecimiento ex�ogena.

Para resolver el modelo vamos a estudiar una versi�on todav��a m�as simpli�cada donde

� = 0, es decir, la producci�on de ideas es esencialmente debida a las personas dedicadas a

24

tal labor. Tenemos entonces

_At = B�bLLt

� A�

t

En este caso la tasa de crecimiento gA de A es

gA = _A=A = cAL A��1

siendo cA = Bb L. Podemos entonces calcular

_gA = cA� L �1 _LA��1 + L (� � 1)A��2 _A

�

= cA� n+ cA(� � 1)L A��1

�L A��1

= cA� n+ (� � 1)gA

�gA

y dado que gA es positivo, gA es creciente dependiendo del signo de n + (� � 1)gA.An�alogamente podemos escribir la tasa de creciemiento del capital

gK = _K=K = cK�(AL)=K

�1��

siendo cK = sa�Ka1��L

, luego

_gK = (1� �)gK(gA + n� gK)

Una vez calculadas estas tasas de crecimiento podemos plantear el diagrama de fases como

se ve en el gr�a�co. Las curvas _gK = 0 y _gA = 0 dadas por gK = gA + n y gA = n

1��

dividen el plano (gK ; gA) en cuatro regiones. Para determinar el movimiento en cada una

de las cuatro regiones tenemos en cuenta que: (1) si gA es mayor que el gA que hace _gK = 0

entonces _gK > 0, (2) si gA es menor que el gA que hace _gK = 0 entonces _gK < 0, (3) si

gA > n

1��entonces _gA < 0 y (4) si gA < n

1��entonces _gA > 0. Por tanot el punto E donde

se cruzan las dos curvas es un punto de estabilidad global. En este punto tenemos la senda

de crecimiento estable donde gK = gA + n y gA = n

1��, es decir ocurre que tanto gA como

gK dependen positivamente de n (al contrario que en el modelo de Solow). En este modelo

mayor poblaci�on implica m�as ideas, que son las que producen los rendimientos crecientes

en la econom��a. Estos resultados son chocantes con la evidencia emp��rica de una secci�on

cruzada de paises, pero no con una serie temporal de todos los pa��ses a lo largo de varios

siglos. En particular, la tasa de crecimiento de la poblaci�on y la tasa de crecimiento del

producto per capita tienen una correlaci�on positiva y alta.

5.3: El modelo AK

25

El modelo de acumulaci�on de conocimientos es un modelo de crecimiento donde la tasa

de crecimiento en estado estacionario se determina end�ogenamente. En este sentido el

modelo puede denominarse de crecimiento end�ogeno. Sin embargo, esta tasa depende de los

par�ametros del modelo que podemos llamar estructurales (n, y �) y no de los par�ametros

susceptibles de ser modi�cados por la pol��tica econ�omica (s).

De hecho en todos los modelos vistos hasta ahora un cambio en la pol��tica econ�omica

del gobierno (por ejemplo un cambio en la tasa de ahorro s) produce un cambio en el nivel

de las variables pero no en su tasa de crecimiento estable (en estado estacionario). Vamos

a ver en este apartado el modelo de crecimiento m�as sencillo donde la politica econ�omica

tiene efectos en las tasas de crecimiento de largo plazo.

Tomemos el modelo de Solow con una poblaci�on constante (es decir las variables coinci-

den con sus valores per capita) y un nivel tecnol�ogico �jo. Entonces la funci�on de producci�on

del modelo de Solow se escribe Y = AK� siendo � = 1=3 y A un ��ndice que re eja el nivel

tecnol�ogico. La din�amica del capital es entonces

_K = sAK�� ÆK :

El modelo AK considera que el factor acumulable tiene una importancia mucho mayor en

la funci�on de producci�on, en particular que � = 1. En este caso

_K = sAK � ÆK :

La din�amica del capital ha pasado de ser una relaci�on no lineal a ser una relaci�on lineal.

Veamos los efectos que conlleva esta suposici�on. La din�amica del capital es ahora Por

tanto si inicialmente sA > Æ entonces siempre tendremos un valor positivo para _K y la

econom��a crecer�a inde�nidamente. La tasa de creciemiento del capital es en el caso de

Solow _K=K = sAK�� Æ mientras que en el caso AK es _K=K = sA � Æ. En este �ultimo

caso es constante mientras que en aquel es decreciente en K y tiende a cero. M�as a�un, un

incremento en la tasa de ahorro s incrementa la tasa a la que crece la econom��a en el caso

AK (tiene un efecto permanente) mientras que el efecto es necesariamente transitorio en el

caso Solow.

La clave de los modelos de crecimiento end�ogeno est�a en el hecho de que la funci�on

de producci�on tiene rendimientos constantes en el factor acumulable. En de�nitiva, si

quisieramos representar en un gr�a�co los modelos de crecimiento de Malthus, Solow y AK

podr��amos dibujar la funci�on de producci�on F (K) en t�erminos del factor acumulable como

se ve en el gr�a�co.

Terminamos esta secci�on con una formulaci�on del modelo AK debida a Lucas (1988).

Se combinan en este caso dos factores acumulables, capital f��sico K y capital humano H,

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para producir un bien de consumo en una funci�on de la forma

Y = K�(HuL)1��

siendo u la fracci�on de la poblaci�on que trabaja en la producci�on del bien de consumo. De

este modo la funci�on de producci�on tiene rendimientos constantes en los factores acumu-

lables (conjuntamente en K y H). Si el capital humano se incrementa dependiendo de la

fracci�on de la poblaci�on que se dedica a producir capital humano tenemos

_H = (1� u)H

y entonces H hace el papel del progreso t�ecnico ex�ogeno A del modelo de Solow. N�otese que

en este caso una pol��tica econ�omica que incremente la proporci�on de la poblaci�on dedicada

a producir capital humano, incrementa la tasa de crecimiento a largo plazo.

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