Cap.1. Algebra de Números complejos.doc

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Análisis de Variable Compleja Luis Alberto Cadogan – Prof. Ingeniero Capítulo 1: Algebra de Números Complejos – Conjuntos 1. FUNDAMENTACIÓN.......................................................2 2. SINOPSIS HISTÓRICA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.............2 3. CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS........................................5 3.1. Números Complejos. El plano Complejo. Representación gráfica.........6 4. FORMAS DE EXPRESAR NÚMEROS COMPLEJOS.................................6 4.1. Forma binómica.......................................................6 4.2. Forma de Par ordenado................................................6 4.3. Forma trigonométrica.................................................6 4.4. Forma exponencial....................................................7 4.5. Forma polar..........................................................7 5. CASOS GENERALES DE NÚMEROS COMPLEJOS.................................8 5.1. Número real puro.....................................................8 5.2. Número imaginario puro...............................................8 5.3. Potencias de la unidad imaginaria....................................9 6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS....................................9 6.1. Complejo conjugado...................................................9 6.2. Complejo opuesto....................................................10 6.3. Suma – Resta........................................................10 6.4. Multiplicación......................................................11 6.5. División............................................................13 6.6. Potencia............................................................16 6.7. Radicación..........................................................18 7. DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO...........................................19 8. FUNCIÓN ALGEBRAICA – FUNCIÓN TRANSCENDENTAL.........................22 8.1. Teorema Fundamental del Algebra.....................................22 9. CONJUNTOS EN EL PLANO Z.............................................28 9.1. Curvas y Regiones en el plano complejo..............................28 9.2. Puntos característicos – Intervalos – Entorno de un conjunto........34 9.3. Arco de curva simple de Jordán......................................38 Cap. 1 – 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos1. FUNDAMENTACIN......................................................................................................................................22. SINOPSIS HISTRICA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.......................................23. CONJUNTO DE NMEROS COMPLEJOS.................................................................................................53.1.Nmeros Complejos. El plano Complejo. Representacin grfica...................................................................64. FORMAS DE EXPRESAR NMEROS COMPLEJOS...............................................................................64.1.Forma binmica.................................................................................................................................................64.2.Forma de Par ordenado.....................................................................................................................................64.3.Forma trigonomtrica........................................................................................................................................64.4.Forma exponencial............................................................................................................................................74.5.Forma polar.......................................................................................................................................................75. CASOS GENERALES DE NMEROS COMPLEJOS................................................................................85.1.Nmero real puro..............................................................................................................................................85.2.Nmero imaginario puro...................................................................................................................................85.3.Potencias de la unidad imaginaria.....................................................................................................................96. OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS......................................................................................96.1.Complejo conjugado.........................................................................................................................................96.2.Complejo opuesto............................................................................................................................................106.3.Suma Resta...................................................................................................................................................106.4.Multiplicacin.................................................................................................................................................116.5.Divisin...........................................................................................................................................................136.6.Potencia. .........................................................................................................................................................156.7.Radicacin.......................................................................................................................................................187. DESIGUALDAD DEL TRINGULO..........................................................................................................208. FUNCIN ALGEBRAICA FUNCIN TRANSCENDENTAL..............................................................248.1.Teorema Fundamental del Algebra.................................................................................................................249. CONJUNTOS EN EL PLANO Z...................................................................................................................309.1.Curvas y Regiones en el plano complejo........................................................................................................309.2.Puntos caractersticos Intervalos Entorno de un conjunto........................................................................369.3.Arco de curva simple de Jordn......................................................................................................................40Cap. 1 1UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosALGEBRA DE LOS NMEROS COMPLEJOS.CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO.1. FUNDAMENTACIN.La teora de funciones de variable compleja tambin denominada Variables Complejas o Anlisis Complejo es parte fundamental en la formacin de Ingenieros, Fsicos, Matemticos y otras especialidades. Existen muchos conceptos matemticos que se simplifican yunifican cuando se analizan desde la ptica del Anlisis Complejo.Muchosproblemasmatemticospuedenserresueltospormediode: Mtodosque implicanlautilizacindenmeros complejos yfunciones devariablecompleja. Algunossonproblemaselementalesparaloscualesbastaunconocimientodelos nmeros complejos: Ecuaciones matemticas con soluciones que son nmeros complejos, Problemas de circuitos elctricos, Sistemas mecnicos vibrantes, etc.Otros son problemas ms avanzados para los cuales es necesario conocer la teora de Funciones Analticas Complejas (Anlisis Complejo): Dinmica de Fluidos, Conduccin de Calor, Funciones de orden superior (la mayora son analticas), Mtodos de Integracin Compleja, etc.2. SINOPSIS HISTRICA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.La teora actual de las funciones de variable compleja abarca un amplio dominio de las matemticas, hacindose difcil enumerar todas sus ramificaciones. El concepto denmeroimaginarioydespuscomplejoseconocadesdetiempos remotos, introducindose conposterioridadel conjuntodeoperaciones conlos nmeros complejos. Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un conjunto de importantes aplicaciones de los nmeros complejos en diversas ramas de Cap. 1 2UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntosla ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la formulacin de una concepcin nica. Enel sigloXIXllegel momentodecrearlateorageneral delasfuncionesde variablecompleja. Estaetapadelahistoria, secaracterizporlaintroduccinde definiciones precisas de los conceptos fundamentales, como por ejemplo la interpretacin geomtrica del concepto de nmero complejo. Un tratamiento terico lo suficientemente general de la cuestin surgi inicialmente, en los trabajos de Gauss y despus en los de Cauchy. En 1831 Gauss public un trabajo sobre laTeora de los residuos bicuadrticosdonde expuso la fundamentacintericaylainterpretacingeomtricadelosnmeroscomplejos, dndoles por primera vez la denominacin que se ha conservado hasta nuestros das. En una carta de Gauss al astrnomo ymatemtico Bessel, escrita en1811 y publicadaen1880dabalainterpretacinprecisadelosnmeros imaginarios, la definicin de integral en el plano complejo, el teorema integral, conocido actualmente como Teorema de Cauchy, y el desarrollo de una funcin analtica en series de potencias. De estos aspectos merece especial atencin la integracin en el plano complejo, ya que la utilizacin de las variables complejas en los clculos de integralesdefinidas,difciles,ejerciunagran influenciasobre el desarrollode la teora de funciones de variable compleja. Laplace hizosucontribucinal Anlisis Complejo, desarrollandoel mtodode resolucindeecuacioneslinealesendiferenciasydiferenciales, conocidobajola denominacin de Transformada de Laplace. sta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinmica, mecnica y conductividad trmica entre otros. Fue precisamente esta presin de los problemas prcticos, lo que llev a la necesidad de elaborar una teora de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las dems partes del Clculo Infinitesimal. El cumplimientodeestatareafuerealizadofundamentalmentepor Cauchy. Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al clculo de integrales definidas, formulandoel Teorema Integral. Durante los aos siguientes 1826 1829 cre la teora de los residuos, desarrollndolaenaos posteriores ybuscandonuevas aplicaciones. Juntoalos Cap. 1 3UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntostrabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teora de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.Durante los aos 40 qued superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riemann (1826 1866) en los cuales aparecan amplias analogas que vinculaban esta teora con otros campos de las matemticas. Los resultados fundamentales de Riemann aparecen en sus obras "Fundamentos de la teora general de funciones de variable compleja" (1851) y en"Teora de las funciones de Abel" (1857). Entre los problemas analizados por Riemann citaremos el de en qu medida las funciones analticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretacin geomtrica de los nmeros complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas "Superficies de Riemann", tambin investig diversas clases de funciones que satisfacan ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Riemann surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teora de funciones de variable compleja. Otradireccinenel desarrollodela teora defunciones devariable compleja,denominada analtica se form en los trabajos de Weierstrass (1815 1897), quien elabor un sistema de fundamentacin lgica apoyndose en la rigurosa teora de los nmeros reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y mtodos fundamentales. As, en esta poca, la mayora de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en una de las tres direcciones: La teora de las funciones diferenciales de Cauchy, Las ideas geomtricas y fsicas de Riemann y La direccin analtica de Weierstrass.Fuea finales de sigloXIXya comienzos del sigloXXcuandoseunificaron conceptos, creandouna concepcin nica general de la teora de funciones de variable compleja.Cap. 1 4UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos3. CONJUNTO DE NMEROS COMPLEJOS.P: Conjunto de Ns Primos: Ns que son divisibles por si mismos y por la unidad.N:Conjunto de Ns Naturales.0: El cero, y a su izquierda el conjunto de los Ns negativos.Z: Conjunto de Ns Enteros.Q: Conjunto de Ns Racionales: pueden escribirse como el cociente de dos nmeros que pertenecen a los enteros.Q: Conjunto de los Ns Irracionales.R: Conjunto de Ns Reales. Hasta aqu todos los nmeros pueden representarse sobre la recta Real.C: Conjunto de los nmeros Complejos.Ecuacinquedioorigenalos Nmeros Complejos:X2+1=0, al operar con nmerosrealesnosepuedentratar cantidadesdel tipo X , yseintroduceel concepto de nmero complejo: Z = X + iY, se define la unidad imaginaria1 i . El nmerocomplejoconstadeunapartereal Re{Z}ydeunaparteimaginaria Im{Z}.Forma general de un nmero complejo: Z = Re{Z} + iIm{Z} = X + iY.Cap. 1 5Q QRCZN < 0 0 NPUNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos3.1. Nmeros Complejos. El plano Complejo. Representacin grfica.Pararepresentarunnmerocomplejousamosel PlanoComplejo, conocidocomo Diagrama de Argand (Jean Robert Argand).Cap 1-Ejerc.1. Para Z = X + iY. Determinar:1.1. Afijo de Z. Es el par ordenado (X; Y).1.2. Mdulo de Z.2 2Y X Z + .1.3. Norma de Z.2 22Y X Z + .1.4. Fase o argumento de Z.ngulo formado por la recta que va del origen al afijo y el semi eje positivo X.XYZZ } Re{} Im{tg

,_

XYarctg .4. FORMAS DE EXPRESAR NMEROS COMPLEJOS.Podemos escribir un nmero complejo cualquiera Z de la siguiente forma:4.1. Forma binmica.Z = X + iY = Re{Z} + iIm{Z}Re{Z} = X: parte real de Z. Im{Z} = Y: parte imaginaria de Z.4.2. Forma de Par ordenado.Z = (X; Y): el primer elemento: X = Re{Z}; el segundo elemento Y = Im{Z}.4.3. Forma trigonomtrica.X = Re{Z} = Z cos ; Y = Im{Z}= Z sen .Z = X + iY =Z cos + i Z sen = |Z|{cos + i sen }.Cap. 1 6ReImRe{Z}Im`UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.2. Ejemplos de nmeros complejos en forma binmica.2.1. Z = 3 + i4. Z: (3; 4)5 Z; 13 , 53 .2.2. Z = 4 + i5. Z: ( 4; 5) 4 , 6 Z; 13 , 51 ; 65 , 128 180 13 , 51 + 4.4. Forma exponencial.Forma mdulo argumento. Se basa en la frmula de EULER:ei = cos + i sen.Frmula de Euler: ei = cos + i sen, e i = cos i sen.Identidad de Euler: ei + 1 = 0.Z = Z.ei = Z{cos() + isen()}.4.5. Forma polar.Z = Z cos+ isen. Dos nmero complejos en forma polar son iguales si tienen iguales sus mdulos y si sus argumentos son iguales o difieren en un nmero entero de circunferencias.' = 2k k: entero. k = 0; 1; 2; 3 ......) 2 ( k Z Z Z + k: = 0; 1; 2; 3 ......Cap 1-Ejerc.3. Si Z = Z, calcular las componentes X e Y.X = |Z|cos. Y = |Z|sen.Cap 1-Ejerc.4. Dado:Z = 3+ i3, representarlo grficamente, y expresarlo en:4.1.Forma Polar.4,24135.4.2. Forma exponencial. 13524 , 4ie Z .4.3. Forma de Par Ordenado.Z = ( 3; 3).Cap 1-Ejerc.5. Dado: Z = 4345, Expresarlo en:5.1. Forma binmica. Z = 30,4 + i 30,4.5.2. Forma de par ordenado. Z: (30,4; 30,4).5.3. Forma exponencial. 4543ie Z .Cap. 1 7UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.6. Utilizando la Frmula de Euler, escribir en forma exponencial la:6.1. Funcin sen.ie ei i2sen .6.2. Funcin cos.2cos i ie e+ .6.3. Funcin tg.) (tg i ii ie e ie e+.6.4. Funcin cotg. i ii ie ee e ig+) (cot .6.5. Funcin sec. i ie e+ 2cos1sec.6.6. Funcin cosec. i ie eiec 2sen1cos.5. CASOS GENERALES DE NMEROS COMPLEJOS.5.1. Nmero real puro.Z = (X; 0) nmero complejo con la parte imaginaria nula. A = a + i0 = a.Cap 1-Ejerc.7. Expresar en forma: binmica, polar y exponencial el nmero complejo:7.1. Z = (1; 0). Z =1 + i 0 =1(0) = 0 ie .7.2. Z = ( 5; 0). Z = 5 + i 0 =5() = ie .7.3. Z = 1Z = 1 + i 0 =1() = ie .Cap 1-Ejerc.8. Dado Z = 15; expresarlo en forma exponencial. Z = 15ei .5.2. Nmero imaginario puro.A = (0; b) nmero complejo con la parte real nula. A = 0 + ib = ib.Cap 1-Ejerc.9. Expresar en forma polar el nmero complejo:9.1. Z= (0; 1) es la unidad imaginaria. Z = i = 1(/2) = 2 / ie .9.2. Z= (0; 10). Z = i10 = 10(3/2).Cap 1-Ejerc.10. Conversin de la forma rectangular a polar:Cap. 1 8UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos10.1. A = 7 + i 8 = 10,648,8.10.2. B = 6 i 4 =7,21 33,69.10.3. A = 4 + i12 = 12,64108,43.5.3. Potencias de la unidad imaginaria.Cap 1-Ejerc.11. Graficar las potencias de la unidad imaginaria:1 i .12 i i i 314 i i i 5a partir de esta potencia se repite.Dividendo = divisor.Cociente + Resto D = dC + RR C d R dC Di i i i . ) ( +si d = 4R R C Di i i i . ) (4Cap 1-Ejerc.12. Graficar el nmero complejo:12.1. Z = i307.Contar de 1 hasta 307 o considerar que potencias de i van hasta 4 y luego se repite. 307/4 = 76 Resto = 3 Z = i307 = i3.12.2. Z = i507. 507/4 = 126 Resto = 3 Z = i507 =i3.12.3. Z = i 602. 602/4 = 150 Resto = 2 Z = i602 = i2 = 1.6. OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS.6.1. Complejo conjugado.Para: Z = X + iY el complejo conjugado sera: Z* = X iY.Cap 1-Ejerc.13. Para cada nmero complejo definir su conjugado:13.1. Z = 5 i10 = 11,1863,43.Z = 5 + i10 = 11,1863,43.13.2. Z = 5 i10 = 11,18116,56. Z = 5 + i10 = 11,18116,56.13.3. Z = i10 = 10(3/2). Z = i10 = 10(/2).Cap. 1 9""-"

"-UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos6.2. Complejo opuesto.Para: Z = X + iY el complejo opuesto ser:iY X Z Z ' . Cap 1-Ejerc.14. Determinar: El complejo conjugado y el opuesto para:14.1. A = 5 i10. A* = 5 + i10. A = 5 + i10.14.2. B = 3+ i9.B* = 3 i9. B = 3 i9.Cap 1-Ejerc.15. Dado el nmero complejo: Z = 7 + i 8.15.1. Identificar su parte real e imaginaria:Re{Z} = 7 Im{Z} = 8.15.2. Calcular su mdulo y su fase. |Z|=10,63 = 48,8.15.3. Encontrar su conjugado. Z* = 7 i8.15.4. y su opuesto. 8 7 i Z .6.3. Suma Resta.Para calcular suma o resta de dos nmeros complejos debenexpresarse los mismos enforma binmica, yse suman(ose restan) por separadosus partes real e imaginaria. La parte real del resultado es la suma (o la resta) de la parte real de los factores y la parte imaginaria del mismo es la suma (o la resta) de la parte imaginaria de los factores.Adicin en la forma cartesiana: (a, b) + (c, d) = (a + c; b + d).Adicin en la forma binmica: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d).S = A + B = (a + ib) + (c + id)S = (a + c) + i (b + d)R = (B A) = (c + id) (a + ib) R = (c a) + i (d b)Cap 1-Ejerc.16. Para: A = 5 i10 y B = 3+ i9;Calcular: Cap. 1 10 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos16.1. La suma S = A + BS = (5 i 10) + ( 3 + i9) = (5 3) +i( 10+ 9) =2 i.16.2. La diferencia. D = A B D = (5 i 10) ( 3+ i9) = (5 + 3) + i( 10 9) = 8 i19.Cap 1-Ejerc.17. Para: A = 43ei30y B = 92 i 25. Calcular:17.1. La suma y 17.2. La diferencia.A = 43e i30 = 37,23 + i 21,5.S = A + B = 129,23 i3,5. D = A B = 54,77 + i 46,5.6.4. Multiplicacin.Multiplicamos: Z1= (a + ib) y Z2 = (c + id).Z1.Z2 = (a + ib). (c + id) Aplicamos la Propiedad distributiva del producto:Z1.Z2= (ac bd) + i (ad + bc) = (ac bd; ad + bc).Forma trigonomtrica: A =|A|{cos + i sen} B = |B|{cos + i sen}.C = AB = |A|.|B|{cos + i sen}{cos + i sen}C = |A|.|B|{(cos.cos sen.sen) + i(sen.cos + cos.sen).Utilizamos las igualdades trigonomtricas:cos ( + ) = cos.cos sen.sen cos ( ) = cos.cos + sen.sensen ( ) = sen.cos cos.senC = |A|.|B|{cos ( + ) + isen ( + )}El resultado es otro nmero complejo cuyo mdulo es el producto de los mdulos de los factores y cuyo argumento es la suma de las fases de los factores. Para multiplicar nmeros complejos es ms fcil colocar todos los factores en forma polar o exponencial, pero tambin se pueden utilizar las formas cartesiana y binmica.Dados: Z1 = X1 + iY1 y Z2 = X2 + i Y2 se puede calcular el producto de: (Z1*) Z2(Z1*) Z2 = (X1 iY1)(X2 + iY2) = (X1X2 + Y1Y2) + i(X1Y2 X2Y1) = Z1.Z2 + iZ1xZ2Producto Escalar de nmeros complejos:Z1. Z2 = Re{Z1*Z2} = (X1 X2 + Y1Y2).Producto Vectorial de nmeros complejos: Z1x Z2 = Im{Z1*Z2}= (X1Y2 X2Y1).Cap 1-Ejerc.18. Dados los nmeros complejos: Z1; y Z2: Calcular el producto de ambos. 18.1. Z1 = X1 + i Y1 Z2 = X2 + i Y2;Cap. 1 11UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosZ1Z2 = (X1 + i Y1)(X2 + i Y2) = (X1 X2 Y1Y2 ) + i (X1 Y2 X2 Y1)18.2. Z1 = |Z1|eiZ2 = |Z2|ei.Z1 Z2 = |Z1||Z2|ei( + );18.3. Z1 = |Z1| ; Z2 = |Z2| .Z1 Z2 = |Z1||Z2|( + ).Cap 1-Ejerc.19. Probar que:iii i + ,_

+ + 210 51) 3 )( 3 (ii+ ,_

+ 210 5110LCDD.Cap 1-Ejerc.20. Dados dos nmeros complejos Z1 = 3 + i 4 Z2 = 2 i 5Calcular el:20.1. {Z1*Z2}= {(3 i 4)(2 i 5) = 14 i 23.20.2. Producto escalar de ambos: Z1. Z2 = Re{Z1*Z2}= Re{(3 i4)(2 i5)} = 14.20.3. Producto Vectorial de ambos: Z1x Z2 = Im{(3 i4)(2 i5)} = 23.Cap 1-Ejerc.21. Para los nmeros complejos A = (2 3i) y B = (2 + 3i). Calcular21.1. AB 13.21.2. El producto escalar. 5. 21.3. El producto vectorial. 12.Cap 1-Ejerc.22. Calcular el producto de: A = 4 + i3 = 536,87 y B = 3 + i4 = 553,13.AB = (4 + i3)( 3 + i4) = i25.AB = (536,87)(553,13) = 2590.Cap 1-Ejerc.23. Dados A = 10,63 e(i48,81) y B = 9 + i4 calcular el producto.Cap 1-Ejerc.24. Demostrarquemultiplicarunnmerocomplejoporiequivalearotarel radio vector /2 en sentido anti horario.Cap. 1 12UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos ie Z Z 2 / ieie Z Zi i ) 2 / ( +ie Z ZiCap 1-Ejerc.25. Dada la ecuacin compleja calcular los valores de X e Y.(1 Yi) = (X + i)(1 + 2i) 1 iY = (X 2) + i(2X + 1)Paraquedosnmeroscomplejosseanigualesdebenserigualessuspartesreal e imaginaria: X 2 = 1 X = 3.2X + 1 = Y Y = 7.Cap 1-Ejerc.26. Dado el nmero complejo Z:26.1. Determinar el Inverso Aditivo (IA = A = u + iv) tal que: Z + A = 0.(X + iY) + (u + iv) = 0 + i0(X + u) = 0 u = X.(Y + v) = 0 v = Y.26.2. Determinar el inverso multiplicativo (IM = B = u + iv) tal que: Z.B = 1 + i0.(X + iY)(u + iv) = 1 + i0Xu Yv = 1 (1)Yu + Xv = 0 (2)1]1

1]1

X YY XXYu012 2Y X Xu+1]1

1]1

X YY XYXv012 2Y XYv+6.5. Divisin.id cib aBAC++ para racionalizar el denominador multiplicamos, por su conjugado, numerador y denominador :id cid cid cib aC++2 2 2 2d cad bcid cbd acC++++.Forma exponencial: A = Aei B = Bei ) ( iiieBAe Be ABAC.Cap. 1 13UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosForma polar:A = A . B = B . ) ( BABAC .El resultado es otro nmero complejo cuyo mdulo es el cociente de los mdulos de losfactoresycuyoargumentoesladiferenciadelasfasesdelosfactores.Para dividirnmeroscomplejoslaformamsfcil escolocartodoslosfactoresenla forma exponencial o forma polar, pero tambin se pueden utilizar las formas cartesiana y binmica.Cap 1-Ejerc.27. Calcular el cociente de:27.1. A = 4 + i3 = 536,87 y B = 3 + i4 = 553,13.A/B = 0,96 i0,28 = 116,26.27.2. A = 7 i8 = 10,63 e(i48,81)B = 9 + i4 =9,85 e(i23,96).A/B = 0,3 i1.03.Cap 1-Ejerc.28. Dado el nmero complejo: iiZ+23. Determinar:28.1. La parte real del mismo, Re {Z}, Re{Z} = 1.28.2. La parte imaginaria del mismo, Im {Z}. Im {Z} = 1. Cap 1-Ejerc.29. Encontrar el valor dedosnmeroscomplejos demodoquelasumade ambos sea (1 + i6) y el cociente de ambos sea imaginario puro. Considerar que la parte real del divisor (para calcular el cociente) es igual a 1.Z1 = (a + ib)Z2 = (c + id)Z1 + Z2 = (a + 1) + i (b + d) = 1 + i 6. a = 0.2 2211 1 111 1 dbidbdidididibidib aZZ++++++bd = 0;como a = 0, b tiene que ser diferente de cero por lo tanto d = 0.Z1 = i6 y Z2 = 1. Cap 1-Ejerc.30. Resolver:30.1.ii iZ+ +2) 8 3 ( ) 2 (.Z = 1 i3.Cap. 1 14UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos30.2.ii iZ +1) 2 3 )( 4 (. Z = 9,5 + i4,5.30.3.) 3 )( 2 )( 1 (5i i iZ 2iZ .Cap 1-Ejerc.31. Probar que:52524 32 1 ++i iii52)5251( )5251( + +i iLCDD.Cap 1-Ejerc.32. Para que la suma (z + w) dividida por la diferencia (z w) de dos nmeros complejos sea un nmero imaginario puro; verificar que ambos deben tener el mismo mdulo. 2 22b a z + 2 22d c w + ) ( ) () ( ) (.) ( ) () ( ) (d b i c ad b i c ad b i c ad b i c aw zw z + + + ++iYd b c ad b c a d b c aid b c ad b c aw zw z+ + + + + + + +0) ( ) () )( ( ) )( () ( ) () (2 2 2 22 2 2 20) ( ) () (2 22 2 2 2 + + d b c ad b c a0 ) (2 2 2 2 + d b c a ) ( ) (2 2 2 2d c b a + +Para que se cumpla la igualdad debemos tener: z = w LCDD.Cap 1-Ejerc.33. Dado el nmero complejo: 4 33iiXZ++, determinar el valor de Z33.1. Para que Z sea un nmero real puro.2512 3254 94 34 3*4 33 ++++XiXiiiiXZ. 3X 12 = 0 X = 4.33.2. Para que Z sea un nmero imaginario puro.9 + 4X= 0 X = 9/4.6.6. Potencia. Dado: A = Aei; el resultado de elevar dicho nmero a la potencia n. B = AnB = (A) ne i n B = (A)n[cos(n) + i sen(n)].Cap. 1 15UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.34. Desarrollar la Frmula de De Moivre: (ei ) n =(cos + i sen )n .Aplicando la Frmula de Euler: (ei ) n = [cos(n) + i sen(n)](ei ) n =(cos + i sen )n [cos(n) + i sen(n)].Cap 1-Ejerc.35. Demostracin del Teorema de De Moivre: (cos + i sen )n = cos n + i sen n.Utilizamos el Teorema de la Induccin completa:(1) Consideramos para n = 1 y vemos que el Teorema es claramente vlido:(cos + isen) = cos + isen.(2) Suponemos vlido para n = k (cos + isen)k = cos(k) + isen(k).(3) Multiplicamos ambos lados por: {cos + i sen}.(cos + i sen)k{cos + i sen} = {cos(k) + i sen(k)}{cos + i sen}(cos + i sen)(k +1) = cos(k) cos + i cos(k)sen + i sen(k)cos sen(k) sen = = cos(k) cos sen(k) sen + i{sen(k)cos + cos(k)sen} = = cos{(k) + } + i sen{(k) + } = cos{(k + 1)} + i sen{(k +1)}.(cos + i sen)(k +1) = cos{(k + 1)} + i sen{(k +1)}.Ser vlido para todo (k + 1) que es un entero positivo.Cap 1-Ejerc.36. Anlisis de la frmula de De Moivre para n = 2:(cos + isen)2 = cos(2) + isen(2).cos2 sen2+ i2cos.sen = cos(2) + i sen(2) cos 2 = cos2 sen2 sen 2 = 2cos . sen Cap. 1 16UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.37. Anlisis de la frmula de De Moivre para n = 3:(cos + isen)3 = cos(3) + isen(3).cos3 + 3cos2(isen) + 3cos(isen)2 + (isen)3 =Agrupamos parte real e imag.(cos3 3cossen2) + i(3cos2sen sen3) = cos(3) = cos( + 2) = coscos(2) sensen(2) = = cos{cos2 sen2} sen{2cossen} = = cos3 cossen2 2cossen2} = cos3 3cossen2sen(3) = sen( + 2) = sencos(2) + sen(2)cos = = sen{cos2 sen2} + {2cossen}cos = = sencos2 sen3 + 2cos2sen = 3cos2sen sen3(cos + isen)3 = (cos3 3cossen2) + i(3cos2sen sen3) = cos(3) + isen(3).Cap 1-Ejerc.38. Para el nmero complejo dado calcular:38.1. A = 7 i8 = 10,63 e( i 48,81). A2 = 15 i 112 = 11397,63.38.2. Z = 2 i. Z4 = (2,23(26,56)4 = 7 i24.Cap 1-Ejerc.39. Dado el nmero complejo: 3 2) 3 2 (2iiZ+ . Calcular: Re {Z}, Im {Z}.7 , 0 5 , 33 212 5iiiZ + .Z = 3,6169 = 3,6(360169) = 3,6191 = 3,6(180+11).Cap 1-Ejerc.40. Encontrar un nmero complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.Si: Z = X + i Y; entonces: Z2 = (X + i Y)2. yZ* = X iY.X2 + i 2XY Y2 =X i Y.Igualamos entre si las partes real e imaginaria:X2 Y2 =X 2XY= Y21 X23t Y .Cap. 1 17UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos23211i Z + y23212i Z .6.7. Radicacin.La frmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n, y recordando que si a la fase de un nmero complejo le sumamos cantidades enteras de 2 (un giro completo = 360) el nmero complejo no varia.A = A = A ( + k2); k = 0; 1; 2; 3; nkA A Bnn 2 + k = 0; 1; 2; 3; (n 1).Cap 1-Ejerc.41. Encontrar la raz cuadrada de:41.1. Z = 15 i8 = 17( 152) = 17(208).2 360 20817kZ B+ k = 0; 1.B0 = 4,12104. B1 = 4,12284.41.2. Z = 5 + 2i = 5,4(22). Z0 = 2,311 Z1 = 2,3191.Cap 1-Ejerc.42. Resolver: Z = i2/3.1 13 3 2 i Z .Cap 1-Ejerc.43. Determinar 4 254 625 Z .4 360 2545kZ+ Z0 = 563,5. Z1 = 5153,5. Z2 = 5243,5. Z3 = 5333,5.Cap 1-Ejerc.44. Resolver la ecuacin: Z3 = 1.32 01 13 kZ+ ; k = 0; 1, 2. Z0 = 1 Z1 = 1120 Z2 = 1240.Si n = 2 las raices son: Z = + 1 y Z = 1.Para n 3, las raices corresponden a puntos ubicados en vrtices de un polgono regular inscripto en el crculo unitario centrado en el origen. Para n = 3 tenemos un tringulo equiltero:Cap. 1 18UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap. 1 19UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.45. Resolver la ecuacin: Z6 = 1.62 01 16 kZ+ k = 0; 1, 2, 3, 4, 5.Z0 = 1 Z1 = 160 Z2 = 1120Z3 = 1180 Z4 = 1240 Z5 = 1300Los 6 puntos son Vrtices de un exgono regular.7. DESIGUALDAD DEL TRINGULO.Cap 1-Ejerc.46. Verificar la desigualdad triangular: 46.1. | Z1 + Z2 | | Z1 | + | Z2 |. En todo tringulo un lado cualquiera (|Z1 + Z2|) ser siempre menor o igual que la suma de los otros dos lados (| Z1 | + | Z2 |).2222212122 122 1) ( ) ( Y X Y X Y Y X X + + + + + + Elevamos al cuadrado.222222222121212122 122 12 ) ( ) ( Y X Y X Y X Y X Y Y X X + + + + + + + + +) )( (22222121 2 1 2 1Y X Y X Y Y X X + + +21222221 2 1 2 12 Y X Y X Y Y X X + 2122 2 1 2 122212 0 Y X Y Y X X Y X + 0 ) (21 2 2 1 Y X Y X Es verdadero, para cualquier valor deXe Y. Luego volvemos hacia arriba para llegar a la desigualdad del tringulo. LCDD.Cap. 1 20 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos46.2. |Z1+Z2|||Z1||Z2||Entodotringulounladocualquiera |Z1+Z2| ser siempre mayor o igual que la diferencia de los otros dos lados: | Z1 | | Z2 |.|Z1 |= |( Z1 + Z2) + ( Z2)| |( Z1 + Z2)|+ | Z2||Z1 | | Z1 + Z2|+ |Z2| de donde se verfica que:|Z1 + Z2| |Z1 | |Z2|. LCDD.46.3. Formas alternativas de la Desigualdad triangular. Si cambiamos: Z2 por ( Z2).|Z1 Z2| |Z1|+ |Z2|.|Z1 Z2| |Z1| |Z2|.46.4. Desigualdad del tringulo generalizada: En todo trayecto, la distancia menor entre dos puntos es la lnea recta: |Z1 + Z2 + Z 3| |Z1| + |Z 2| + |Z 3||Z1 + Z2 + + Zn| |Z1 |+ | Z2|+ +|Zn|.Verificacin por el Mtodo de la Induccin Completa:Paso 1: tomamos n = 2: |Z1 + Z2| |Z1 |+ | Z2|y ya verificamos que se cumple.Paso 2: suponemos vlida para n = k, un entero cualquiera:|Z1 + Z2 + + Zk| |Z1 |+ | Z2|+ +|Zk|.Paso 3: Y verificamos para n = k + 1:|Z1 + Z2 + + Zk +Zk+1| |Z1|+|Z2 |+ +|Zk|+ |Zk+1|.Aplicamos la Propiedad Asociativa de la suma al trmino de la izquierda:|(Z1 + Z2 + + Zk) +Zk+1 | aplicamos la Desigualdad Triangular ya verificada, y podemos escribir: |(Z1 + Z2 + + Zk) +Zk+1| |(Z1 + Z2 + + Zk)|+ |Zk+1|.Y volviendo a aplicar la Desigualdad Triangular tenemos:|(Z1 + Z2 + + Zk) +Zk+1| |Z1|+|Z2 |+ +|Zk|+ |Zk+1|.La Desigualdad Triangular se cumple para cualquier entero, LCDD.Cap. 1 21UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.47. Verificar la desigualdad del tringulo para:47.1. Z1 =2+i 4 yZ2 =3 +i 647.2. Z1 = 2i 4 yZ2 = 3 i 647.3. Z1 = 2i 4 yZ2 =3 i 647.4. Z1 =2i 4 yZ2 =3 +i 6.Cap 1-Ejerc.48. Desigualdad del paralelogramo. Dados A = p + iq y B = h + ig, Demostrar que: }2 2{ 22 2B A B A B A + + + 2 22q p A + 2 22g h B + 2 2 2 2 2 222 2 } ) ( ) ( g qg q h ph p g q h p B A + + + + 2 2 2 2 2 222 2 } ) ( ) ( g qg q h ph p g q h p B A + + + + + + + + +} { 2 2 2 2 22 22 2 2 22 2b a g q h p B A B A + + + + + + LCDD.Cap 1-Ejerc.49. Para Z= 1 + i2 y w = 3 + i4.Determinar:49.1. Forma polar de Z y de w.Z = 2,2363,43 w = 553,1349.2. Cuadrado de Z y de w.Z2 = 5127 = 3 + i4 w2 = 25106,26 = 7 + i24.49.3. Conjugado de Z y de w.Z = 1 i2 = 2.2363,43 w = 553,13.49.4. Opuesto de Z y de w.Z = 1 i2 w = 3 i4.Cap 1-Ejerc.50. Resolver: ) 2 )( 1 () 1 (2i iiZ+ + .Cap. 1 22UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntosiii iiZ+ + 32) 2 )( 1 () 1 (2Z = 0,2 i0,6.Cap. 1 23UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos8. FUNCIN ALGEBRAICA FUNCIN TRANSCENDENTAL.8.1. Teorema Fundamental del Algebra.Dice que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene tiene n races enel cuerpodeloscomplejos. Noimportaquealgunadelasraicespuedaestar repetida (significa que la grfica corta al eje X varias veces en el mismo punto). Se atribuye la primera demostracin a Gauss. P0(Z)wn + P1(Z)wn1 + .... + Pn1(Z)w + Pn(Z) = 0.Existen muchas formulaciones equivalentes del TFA: Cada polinomio real puede ser expresado como producto de factores lineales reales o cuadrticos reales.Donde: P0(Z) 0;P1(Z) ..... Pn(Z)son polinomios en Z y n entero. Entonces w = F(Z) es una Funcin algebraica de Z. Cualquier F(Z) que no pueda expresarse como una solucin de la ecuacin anterior se dice que es una:Funcin trascendental.Ejemplo de Funcin trascendental: Funcin exponencial: Ze ; en forma genrica: ZKa . Funcin Logartmica. w = LnZ. Funciones Trigonomtricas y sus inversas: senZ; cosZ; tgZ; cotgZ; secZ y cosecZ;arcsenZ; arccosZ; arctgZ; arccotgZ; arcsecZ y arccosecZ. Funciones Trigonomtricas Hiperblicas y sus inversas. Las funciones polinmicas y las trascendentales se llaman Funciones elementales, queesunsubconjuntodelasfuncionesespeciales(Unafuncinespecial esuna funcinmatemticaparticular, quepor suimportanciaenel campodel anlisis matemtico, fsica y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones establecidas.)Algunos ejemplos de funciones no elementales: Funcin mdulo (Valor Absoluto). Z Z F ) ( Funcin escaln unitario.' < 0 10 0) (ttt u.Otro teorema importante del lgebra dice que si un nmero complejo es raiz de una ecuacin, su conjugado tambin es raz de esa ecuacin. De aqu se deduce que un polinomio de grado impar siempre tiene, al menos, una raz real.Cap. 1 24UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.51. Encontrar las races de la ecuacin:51.1. 5Z2 + 2Z + 10 = 0 Z1 = 1,4198. Z2 = 1,4198.51.2. Z2 + Z + 1 = 0.23 123 1 iZt t . Z1 = ( 0,5 + i0,866) Z2 = ( 0,5 i0,866).Cap 1-Ejerc.52. Resolver la ecuacin: Z4 + Z2 + 1 = 0.Hacemos un cambio de variable para simplificar la ecuacin: A = Z2A2 + A + 1 = 0 A1 = 1120; A2 = 11202 360 12011 2 , 1kA Z+ k = 0; 1Z1 = 160 = 0,5 + i 0.866 Z 2 = 1240 = 0,5 i 0.866.2 360 12012 4 , 3kA Z+ k = 0; 1Z3 =1( 60) = 0,5 i 0.866 Z4 =1(120) = 0,5 + i 0.866.Cap 1-Ejerc.53. Resolver: Z2 + ( 3+ i2)Z + (5 i) = 0 A = 1; B = 3 + i2; C = 5 i.28 15 ) 2 3 ( i iZ t 2 208 17 ) 2 3 ( t iZ . Z1 = 1 + i = 1,4145. Z2 = 2 i 3 = 3,6304.Cap 1-Ejerc.54. Encontrar las races de la ecuacin: Z4 3 (1 + i 2) Z2 (8 i6) = 0.Hacemos una sustitucin de variable: Z2 = A. A2 (3 + i 6) A (8 i 6) = 0.224 32 ) 6 3 ( 6 32i i iA + + t +224 32 36 27 6 3 i i iA + + t ++ t +212 5 6 3 i iA A1 = 3 + i4 A1 = i22 360 5351 2 , 1kA Z+ Z1 = 2,2 27Z2 = 2,2 2072 360 9022 4 , 3kA Z+ Z3 = 2,2 45Z4 =2,2207.Cap. 1 25UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. Ingeniero Captulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.55. Encontrar las seis races de la ecuacin: Z6 + 729 = 0Z6 = 729 Nmero imaginario puro. Podemos escribir:Z6 = 729180Mdulo del resultado: 6729 Z= 3.Fase del resultado: 62 k +k = 0; 1; 2; 3; 4; 5k 0 1 2 3 4 5 30 90 150 210 270 330Z0 = 330 Z1 = 390 Z2 = 3150.Z3 = 3210 Z4 = 3270 Z5 = 3330.Los puntos coinciden con los vrtices de un exgono inscripto a la circunferencia con centro en el origen y radio 3.Cap 1-Ejerc.56. Resolver las ecuaciones:56.1. Z4 + 81 = 0.423 ) 2 ( 814 kk Z+ + k = 0; 1; 2; 3.Z0 = 345 Z1 = 3135 Z2 = 3225. Z3 = 3315.56.2. 3 16i Z + .6 360 1201 , 1 120 26kZ+ Z0 = 1,120 Z1 = 1,180 Z2 = 1,1140.Z3 = 1,1200 Z4 = 1,1260 Z5 = 1,1320.Cap. 1 26UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.57. Resolver: 6Z4 25Z3 + 32Z2 + 3Z 10 = 0. Ecuacin Polinmica:A0Zn + A1Zn1 + A2Zn2 +... +An = 0.Identificar el trmino independiente: An = 10 y sus divisores: p: t1 t2 t5 t10.Identifica el trmino A0 = 6 y sus divisores:q: t1 t2 t3 t6.Una de las races del polinomio ser uno de los cocientes de Z = (p/q).Zn = p/q =t1, t1/2, t1/3, t1/6, t2, t2/3, t5, t5/2, t5/3, t5/6, t10, t10/3.6 25 32 3 10 1/2 3 14 23 106 28 46 20 0( ) 0 20 46 28 62110 3 32 25 62 3 2 3 4 + ,_

+ + + Z Z Z Z Z Z Z Z( ) 0 30 24 632212 + ,_

,_

+ Z Z Z Z Z1 = 1/2; Z2 = 2/3; Z3 = 2 + i; Z4 = 2 i.( )( ) 0 2 23221 + ,_

,_

+ i Z i Z Z Z.Cap 1-Ejerc.58. Probar que Z es un nmero real puro si y solo si Z* = Z.Z R Z* = Z. Si: Z = X + iY Z* = X iY + Y no puede ser igual a Y; por lo tanto Y debe ser igual a 0; por lo tanto Z = X + i0 es un nmero real puro.Cap 1-Ejerc.59. Probar que si Z2= (Z*)2para Z no nulo; Z es un nmero real puro o un nmero imaginario puro. Z R o Im; Z = X + i0 o Z = 0 + iY (Z*)2 = Z2.Si: Z = X + iY Z* = X iYZ2 = (X + iY)2= (X2 Y2) + i2XY (1)(Z*)2 = (X iY)2= (X2 Y2) i2XY (2)Para que (Z*)2 = Z2 debemos tener que la parte imaginaria de ambas expresiones (1) y (2) debe anularse pues no podemos tener: 2XY = 2XY. Para esto podemos tenerX = 0 en cuyo caso Z = 0 + iY = iY es imaginario puro o Y = 0 en cuyo caso Z = X + i0 = X es un nmero real puro.Cap. 1 27UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.60. Hallar el valor de a para que el resultado sea un nmero real puro. 60.1.ia i iR) 3 )( 2 3 (2 + .) 3 9 ( ) 2 6 () 2 6 ( ) 3 9 ( ) 3 )( 2 3 (a i aia i aia iR + + + + ++ +.(9 + 3a) = 0 a = 3.60.2.iia iR) 3 )( 2 3 (2 + .) 2 9 ( ) 3 6 () 3 6 ( ) 2 9 ( ) 3 )( 2 3 (2 22 2 2a i aia i aiia iR + + + + .(9 + 2a) = 029i a .Cap 1-Ejerc.61. Para:) 3 4 () 3 (2iia bZ; HallaraybparaqueZ: seareal ydemdulola unidad.254 9253 12) 3 4 () 3 4 (*) 3 4 () 3 (2 2 2a bia biiiia bZ++++Para que Z sea Real:9b 4a2 = 0 (1)Mdulo unitario: 1253 122+a bZ 12b + 3a2 = 25(1)Resolvemos el sistema de dos ecuaciones: a = (3)1/2b = 4/3.Cap. 1 28UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCap 1-Ejerc.62. Para los nmeros: Z1 = X1 + i Y1y Z2 = X2 + i Y2. Demostrar:62.1. (Z1 + Z2)* = (Z1)* + (Z2)*{(X1 + X2) i (Y1 + Y2)} = (X1 i Y1) + ( X2 i Y2){(X1 + X2) i (Y1 + Y2)} = (X1 + X2) i (Y1 + Y2) LCDD.62.2. (Z1.Z2)* = ( Z1)*(Z2)*{(X1 + iY1)(X2 + iY2)}* = {(X1X2 Y1Y2) + i(X1Y2 + X2Y1)}* = (Z1.Z2)* = {(X1X2 Y1Y2) i (X1Y2 + X2Y1)}(Z1)*(Z2)* = (X1 iY1)(X2 iY2) = (Z1)*(Z2)* ={(X1X2 Y1Y2) i(X1Y2 + X2Y1)} = (Z1.Z2)*LCDD.62.3. Z1.Z22 = Z12Z22. Z1.Z22 = (X1X2 Y1Y2)2 + (X1Y2 + X2Y1) 2 2 = Z12 = X12 + Y12 = Z22 = X22 + Y22 = Z12Z22 = (X1X2 )2 2 X1X2Y1Y2 + (Y1Y2)2 + X1Y22+ 2 X1X2Y1Y2 + X2Y1 2 Z12Z22 = X12X22 + Y12Y22 + X12Y22 + X22Y1 2 = Z12Z22 = X12(X22+Y22 ) + Y12(X22Y1 2 + X12) = Z12Z22 = (X12 + Y12) + (X22+Y22 ) = Z1.Z22LCDD.62.4.*2*1*21ZZZZ

,_

) (2121 RZZZZ) ( ) (*21 RZZ) (21*2*1 RZZZZLCDD.Cap. 1 29UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos Conjuntos9. CONJUNTOS EN EL PLANO Z.Conjunto de puntos en el Plano Z significa una coleccin que puede ser finita: Puntos aislados; Soluciones de una ecuacin;o infinita: Puntos de una figura geomtrica.9.1. Curvas y Regiones en el plano complejo.Cap 1-Ejerc.63. Ejemplos de algunas regiones en el plano complejo:63.1. Circunferencia Unitaria, con centro en el origen C en (0; 0) y radio r = 1: |Z|= 1.63.2. Regin exterior a la Circunferencia Unitaria:|Z|> 1.63.3. Circunferencia con Centro en a y radio = |Z a |= .63.4. Regin exterior de la circunferencia: |Z a |> .63.5. Disco Unitario (circulo) Cerrado |Z| 1.63.6. Disco (circulo) Unitario Abierto: |Z|< 1.63.7. Exterior del Disco unitario cerrado. |Z|> 1.63.8. Disco Circular Abierto: Vecindad de a |Z a |< .63.9. Disco Circular Cerrado: |Z a | .63.10. Disco Circular Cerrado con C (3 i) y r = 4 |Z 3+ i| 4.63.11. Anillo Circular Abierto o Corona Abierta: 1 1 son P.E. S2. S3: X2 + Y2 = 1; todos los Zique estn dentro o fuera de la circunferencia son P.E. S4: X2 + Y2 1;todos los Zi S: X2 + Y2 > 1 son P.E. S4.6. Interior de un Conjunto: conjunto de todos los Puntos Interiores del conjunto.7. Exterior de un Conjunto: conjunto de todos los Puntos Exteriores del conjunto.8. Fronteradeunconjunto:conjuntoformadopor todoslos PuntosFronteradel conjunto.9. Contornode unconjunto:todos los puntos noexteriores que sonpuntos de acumulacin de puntos exteriores. Cul es el contorno para el conjunto S2: {P(X; Y)/X2 + Y2 < 1}?Es el conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia:X2 + Y2 = 1.Cap. 1 38UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosClasificacin de conjuntos:10. Conjunto Cerrado: si su complemento es abierto. S es cerrado si cada Punto Lmite de S S. S contiene todos sus P. L. | Z | 2. | Z Z0 | R. (X + iY) (1 + i). S5: {P(X; Y)/ a X b c Y d }. Intervalo Rectangular Cerrado.11. Conjunto Acotado: si se puede encontrar M > 0 tal que | Z | < M. | Z | 2. Si hacemos M = 2 el conjunto est acotado. S7: {i; i/2; i/3; i/4;....} = {i/n}es acotado (e Infinito) si tomamos M = 2todos los Zi estn dentro de un crculo de r = 2 y C(0;0)12. Conjunto Compacto: Si S es cerrado y acotado se dice que el conjunto es compacto. S5: {P(X; Y)/ a X b c Y d }. Conjunto Compacto.13. Conjunto no Acotado: Si S no tiene limite, no puede ser acotado. | Z | > 4. El conjunto no est acotado.14. Conjunto Abierto: Consta solamente de Puntos Interiores. Si cada punto de S tiene una vecindad formada enteramente por puntos que S. | Z | < 2 | Z Z0 | < R (X + iY)< (1 + i).1 0 tq | Z | < Mb) Cules son los puntos lmites de S?S1 Cada P. Dentro o sobre el cuadrado es P. Lmite.S2 Cada P. de S es P. Lmite.c) Es S cerrado? S1 no es CerradoS2 Sid) Cules son sus Puntos Interiores y Fronteras?S1 todo P. que est dentro del cuadrado es P.I. Cada punto sobre la frontera es P.F.S2 todo P. que est dentro es P.I. Cada punto sobre la frontera es P.F.e) Es S abierto? S1Es abierto (est formado solamente por P.I.)S2Es cerrado. No es abierto (contiene P. I.y P. F.).f) Es S conexo? S1 abierto y es conexo. S2no esconexo (no es abierto).g) Es S una regin abierta o Dominio? S1es abierto y conexo por lo tanto es una R. Abierta o Dominio. S2No es abierto ni conexo no es una R. Abierta o Dominio.h) Cul es la clausura de S? deS1 Cde todos los P. dentroysobre la F. del cuadrado.Cap. 1 44"UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnlisis de Variable ComplejaLuis Alberto Cadogan Prof. IngenieroCaptulo 1: Algebra de Nmeros Complejos ConjuntosCS1 : X + iY 1 + i. DeS2el propio S2 i) Cul es el complemento de S?de S1 C de todos los puntos (a + ib)Para 0 < a < 1; 0 < b < 1; a y b son racionales de S1todos los puntos exteriores al cuadrado sobre su Frontera de S2 todos los puntos exteriores al cuadrado.j) Es S numerable? S1 y S2Sik) Es S compacto? S1 No es compacto (no cerrado). S2 Si es compacto (es cerrado y acotado)l) Es la clausura de S compacta? En ambos casos la clausura es cerrada y acotada por lo tanto es compacta.Cap. 1 45