cap1 calculo

1 Preclculo

1.1 La Recta Real

Existe un criterio para identificar los nmeros reales con los puntos de unarecta. El procedimiento para producir tal identificacin comienza por asig-nar sendos puntos a los nmeros 0 y 1. Este primer paso convierte ala recta en una recta ordenada: el sentido de avance desde el 0 hacia el1 es considerado el sentido positivo. En las representaciones grficas quehacemos de esta recta, a la que llamaremos recta real, es costumbre ponerel 0 a la izquierda del 1. Usando el segmento [0, 1] como unidad dedistancia, se ubican en la recta los nmeros naturales en su orden:

0 1

u

2 3 4 5figura 1.1

A continuacin, se ubican los nmeros positivos cuya expresin decimaltiene un solo dgito a la derecha del punto(1). Se divide en diez partesiguales el segmento posterior a la parte entera y se ubica el nmero en lamarca indicada por el decimal. Por ejemplo, el punto asignado al nmero

1Usaremos el punto, como en ingls, en vez de la coma espaola, para sealar el finalde la parte entera, para estar de acuerdo con la notacin habitual en calculadoras yordenadores.

2 Captulo 1 - Preclculo

21.3 es el que se ve en el siguiente grfico:

21 21.3 22

figura 1.2

Siguiendo el mismo procedimiento se representan todos los nmeros posi-tivos con expresin decimal finita2. El nmero 21.348, por ejemplo, se inser-tar en la octava marca del segmento (21.34 , 21.35), despus de dividirloen diez partes iguales.

21.34 21.348 21.35

figura 1.3

Para los nmeros positivos con expresin decimal infinita, el procedi-miento es tambin infinito. Dado un nmero a = a0.a1...an..... con a0 unentero no negativo y cada aj un entero no negativo entre 0 y 9 (o seaun dgito), la sucesin acotada de puntos en la recta correspondientes a losnmeros

a0; a0.a1; a0.a1a2; a0.a1a2a3; a0.a1a2a3a4; ............

representados por el procedimiento finito ya descripto, converger hacia unpunto que representar al nmero a. Finalmemte, los nmeros negativosse representan a la izquierda del origen (esto es del 0) en forma simtricarespecto de su recproco, que es positivo.

0 a afigura 1.4

Con esta asignacin (que, insistimos, supone la eleccin de dos puntosde la recta para ubicar los nmeros 0 y 1) la recta real y el conjunto de losnmeros reales quedan identificados. Para nosotros sern la misma cosa yla representaremos con el smbolo R.

Ya ubicados los nmeros reales en la recta, para interpretar en contextogeomtrico las operaciones de suma y producto, es conveniente una segunda

2Las expresiones decimales que terminan con una sucesin infinita de 90s no sonadmitidas, pues corresponden a una expresin decimal finita. 5.34999.... = 5.35

1.1. La Recta Real 3

interpretacin geomtrica de los nmeros, que convivir con la ya descriptade puntos de la recta. Pensaremos tambin a cada nmero real como unvector libre, una flecha con posibilidad de desplazarse por la recta que,cuando su base coincide con el cero, seala con su punta al nmero querepresenta.

La suma se efectatrasladando la basedel segundo vector ala punta del primero.La punta del segundotrasladado seala elpunto que correspondea la suma:

b 0 ba + a

a

b ba +

figura 1.5

a

a2

a21

a

Multiplicar por un nmero posi-tivo significa cambiar la escala delvector multiplicado, expandiendo ocontrayendo lo que el factor indica.Multiplicar por 1 significa invertirla orientacin. Las multiplicacionespor nmeros negativos se obtienencomponiendo las dos acciones ante-riores.

figura 1.6

Para la resta, es mejor pensar as: b a es un nmero que sumado cona da b (a + (b a) = b). Luego, como vector, puesto su origen en elextremo de a debe pinchar a b.

a b

ab

figura 1.7


Ejercicios

1. Representar en la recta real los siguientes nmeros:

0.7; 1.45; 0.3; 12; 1

3.

1.2 Desigualdades

Dados dos nmeros reales no negativos y conocidas las expresiones decimalesque los representan, es fcil saber cul es ms grande. Basta con sabercomparar los dgitos; se comparan las expresiones decimales comenzandodesde la parte entera hasta dnde dejen de coincidir y en esa posicin eldgito de alguno ser mayor que el del otro: se es el mayor. Lo ilustramoscon un par de ejemplos:

5 > 3.475 2.34567 < 2.34576.

Si pensamos ahora en la representacin de los nmeros en la recta realdescripta en la seccin anterior, el criterio de comparacin se traduce en quea < b exactamente cuando a precede a b en el sentido de orientacinpositivo de la recta; es decir, cuando a est a la izquierda de b. Yeste criterio permanece vlido cuando se comparan nmeros cualesquiera(positivos o negativos). Pensamos que es la mejor manera para imaginar larelacin b por b < a. Adems, a b significa a < b a = b. Se escribea < b < c por a < b b < c.

Ejercicios

Demostrar las siguientes proposiciones:

5. a < b b < a

6. a < b c < d a+ c < b+ d

7. a < b c < 0 ac > bc

8. ab > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

9. a, b, c, d > 0 a < b c < d ac < bd

10. a, b > 0 a < b a2 < b2 a 0 1a> 0

Las desigualdades son proposiciones, Hacen una afirmacin acerca desus miembros. Cuando incluyen una variable, son proposiciones abiertasque se llaman inecuaciones. La solucin de una inecuacin es un conjunto:el conjunto de todos los nmeros que puestos en el lugar de la variable hacenverdadera la desigualdad.

Ejemplos:

1. x < 3 es una inecuacin. su solucin es el conjunto S = {x : x < 3}, una


semirrecta cuya representacin grfica es la siguiente

) 3

figura 1.8

2. x 2 es otra inecuacin cuyo conjunto solucin es S = {x : x 2} . Otrasemirrecta:

[2

figura 1.9

El parntesis "redondo" en el dibujo, seala que la semirrecta graficadano incluye el extremo 3. En el otro grfico, el parntesis "cuadrado" in-dica que el 2 s est incluido. Esto est en consonancia con las prximasdefiniciones.

Un signo = precedido por : significa que el miembro de la izquierdaes una nueva denominacin para el miembro de la derecha, cuyo sentido yaes conocido. Esto es una definicin. Por ejemplo:

Si a < b, se define el intervalo abierto (a, b) := {x R : a < x < b} Losintervalos cerrados y los mixtos se definen, similarmente, por:

[a, b] := {x R : a x b}

[a, b) := {x R : a x < b} , (a, b] := {x R : a < x b}

Los smbolos y se aceptan como extremos de intervalos paradenotar las semirrectas:

(, b) := {x R : x < b} (a,) := {x R : a < x}(, b] := {x R : x b} [a,) := {x R : a x}

(,) := R

1.2. Desigualdades 7

Ejercicios

13. Graficar los intervalos I1 =2,

; I2 =

75 ; 3, 5

. Hallar

I1 I2

14. Consideremos los intervalos I1 = (,1) , I2 =(1, 0) , I3 = (0, 1) , I4 = (1,). Dado un nmero a enuno de estos intervalos Ii encuentre a cul intervalo Ijpertenecer 1

a.

Las propiedades bsicas de las desigualdades (1 a 12), permiten resolverinecuaciones y la notacin de intervalos da una herramienta cmoda paraexpresar sus soluciones y graficarlas.

Ejemplos:

3. Consideremos la inecuacin 2 5x > 3. Tal como ocurre con lasecuaciones, la propiedad 3 justifica los "pasajes de trminos". Lainecuacin original es equivalente a esta otra: 1 > 5x. Se puedehacer pasajes de factores?. Slo cuando son positivos. Se usa la regla4. Multiplicando por 15 que es positivo, la inecuacin se transformaen 15 > x. Como de

15 > x se vuelve a 1 > 5x multiplicando por

5, las inecuaciones son equivalentes. Luego,

2 5x > 3 x < 15.

Esta inecuacin ya est resuelta. El conjunto solucin es S =,15

.

4. Para resolver la inecuacin (x+ 2) (x+ 4) < 0, un camino posible esresolver primero (x+ 2) (x+ 4) > 0 y despus pensar. La propiedad8 nos permite decir que

(x+ 2) (x+ 4) > 0 [x+ 2 > 0 x+ 4 > 0][x+ 2 < 0 x+ 4 < 0]

Resolviendo cada inecuacin por separado, tenemos que

(x+ 2) (x+ 4) > 0 [x > 2 x > 4] [x < 2 x < 4]

Ahora cada corchete se resuelve por separado. Para que x sea solucinde dos inecuaciones, debe estar en la interseccin de los conjuntossolucin de ambas. Por ejemplo: x > 2 x > 4 x (2,) (4,) = (2,). Anlogamente, x < 2 x < 4 x < 4.Esto es,

(x+ 2) (x+ 4) > 0 x > 2 x < 4


Si agregamos los puntos donde la expresin se anula, que son 2 y4,

(x+ 2) (x+ 4) 0 x 2 x 4x (,4] [2,+)

Por ltimo, se observa que la propiedad 1 (tricotoma) asegura que

(x+ 2) (x+ 4) < 0 (x+ 2) (x+ 4) 0

Por lo tanto, el conjunto solucin se encuentra tomando el comple-mento de la solucin de la inecuacin negada:

S = {(,4] [2,+)}c = (4,2)

5. Un mtodo alternativo es analizar el signo del producto (x+ 2) (x+ 4)en funcin de los valores de la variable x es analizar cada factor yluego usar la "regla de los signos". Usamos los signos + y pararepresentar > 0 y < 0.

4 2(x+ 2) 0 + +(x+ 4) 0 + + + + + +

(x+ 2) (x+ 4) + + + 0 0 + +

Como se ve, resulta negativo en el intervalo (4,2), confirmando elresultado del ejemplo 4.

Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones:15. 3x 1 < 4 16. 2 3x > 6

17. (x+ 1)(x 2) < 0 18. (x 1)(x+ 1) > 0

19. (x 5)4(x+ 10) 0

Advertencia: Si se multiplica miembro a miembro una desigualdad poruna expresin que contiene a la incgnita, en general no se podr saber si esaexpresin es positiva o negativa (porque eso depende del valor desconocidode la incgnita) y por lo tanto no se sabe si el sentido de la desigualdadpermanece o se invierte.


Ejemplo 6. Consideremos la inecuacin

1

x 3 2.

Lo primero es determinar el dominio de definicin de la inecuacin.Las expresiones involucradas slo tienen sentido para x 6= 3. Por lotanto nos mantendremos en ese supuesto. De acuerdo con la adverten-cia no multiplicamos por (x 3) . Es conveniente llevar la inecuacina la forma

P (x)Q (x)

0 (o )

1

x 3 21

x 3 2 01 2x+ 6x 3 0

2x 7x 3 0.

Usando ahora el mtodo sinptico,

3 72(2x 7) 0 + + +(x 3) 0 + + + + + + +2x7x3 + + + 0 + + +

Se concluye que 2x7x3 0, y por lo tanto

1x3 2,

para x (, 3) 72 ,+

.

Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones

20. 1 + 1x> 0 21. x

25x2 4

22. 2x1 < 3 23.

x24x+3(x2)2 < 0

El primer recuerdo que tenemos del valor absoluto involucra a una maes-tra diciendo que un nmero se compone de dos elementos: su signo y su valorabsoluto. Si es positivo el signo es "+" y no se pone, y si es negativo elsigno es "". Si seguimos esa instruccin obtenemos lo siguiente:

Para a 0, a = |a|Para a < 0, a = |a|

En esa definicin se construa el nmero entero a partir de dos elementosya existentes. Aqu, en cambiom damos como preexistente el nmero y


queremos definir el valor absoluto. De modo que aceptaremos la definicinde la maestra pero dndola vuelta:

|a| =

a si a 0a si a < 0 .

Ntese que |a| 0 siempre, y slo es 0 para a = 0. |a| mide la distancia,en la recta real, desde el punto a hasta el 0. En la interpretacin vectorial,|a| es la longitud del vector a.

Si x 0, existe un nico nmero real no negativo cuyo cuadrado esx. Ese nmero es

x. Considerando x = a2, se ve que |a| verifica las

propiedades que caracterizan aa2: Por una parte, |a| 0 siempre, y por

otra, como |a| = a o bien |a| = a, en cualquiera de los dos casos

|a|2 = a2 o bien |a|2 = (a) (a) = a2.

En consecuencia

2a2 = |a| , (1)

refutando el viejo error de que ndices y potencias se simplifican dando2a2 = a. La identidad (1) es una expresin ms compacta que podra

haberse tomado como definicin de valor absoluto. De hecho funcionarcomo una herramienta ms cmoda que la definicin en algunos casos. Porejemplo,

|a| =q(a)2 =

a2 = |a| ,

sin necesidad de considerar casos.

Como ba es un vector que va desde a hasta b, su longitud |b a| =|a b| mide la distancia entre estos dos puntos.


Ejercicios

Escribir expresiones equivalentes sin usar valor absoluto24. |4 8| 25. |4|+ | 8|

26. |12 0.5| 27. |5 x|, donde x > 5

28. |3 | 29. |a b|, donde a < b

Para las siguientes afirmaciones, pruebe las verdaderas y dcontraejemplos de las falsas.

30. a < b |a| < |b| 31. |a+ b| = |a|+ |b|

32. |ab| = |a| |b| 33. |an| = |a|n

34. |a| a |a|

El teorema que veremos a continuacin tiene una interpretacin ge-omtrica clara: la distancia de un nmero real al origen no supera el valorr si y slo si ese nmero est entre r y r.

r r 0

Zona admisible para x figura 1.11 |x| r

Teorema 1.- Para todo nmero real r, |x| r r x r.Demostracin: La equivalencia entre dos proposiciones se es-tablece deduciendo de cada una la otra.

Veamos primero que |x| r r x r.De la suposicin |x| r se deduce que tambin es r |x|. Si miramos el ejercicio 34, vemos que |x| x |x| .Combinando con las dos desigualdades anteriores se tiene quer x r.Veamos ahora que r x r |x| r.De acuerdo con la definicin de |x|, caben dos posibilidades:|x| = x o |x| = x. En el primer caso, la segunda desigualdad


de la hiptesis asegura que |x| = x r. En el segundo, laprimera desigualdad de la hiptesis multiplicada por (1) dax r. Entonces, |x| = x r.

Ntese que cuando r < 0, las dos proposiciones cuya equivalen-cia afirma el teorema no son satisfechas por ningn nmero x.El intervalo [r, r] = {x : r x r} = , ya que r < 0 < r.Dos proposiciones falsas tambin son equivalentes.

Ejemplos: El teorema da la herramienta fundamental para resolverinecuaciones con valor absoluto.

7. |x 3| < 4 4 < x 3 < 4 1 < x < 7. S = (1, 7) .Geomtricamente, la inecuacin dice: la distancia de x a 3 es menorque 4. La solucin es un intervalo abierto de radio 4 alrededor de 3.

8. |2x+ 1| > 5 |2x 1| > 5No |2x 1| 5|2x 1| 5 5 2x 1 5 6 2x 11 (porque2 > 0) 3 x 112 . Luego S0 =

3, 112

. En consecuencia, la

solucin de la inecuacin original se obtiene tomando el complemento:S =

3, 112

c= (,3)

112 ,+

.

A veces se comete el error de exagerar la potencia del teorema y decir|2x+ 1| > 5 5 > 2x + 1 > 5. Grave error: esta nueva dobleinecuacin tiene solucin vaca, porque si hubiera alguna solucin sera5 > 5.

9. Inecuaciones del tipo |z| < 2 |z| > 1 son triviales. El valorabsoluto de un nmero nunca es menor que un nmero negativo ysiempre es mayor. Las soluciones de las dos inecuaciones dadas son,respectivamente, y R.


Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones.

35. |2x+ 1| 1 36. |x 5| > 2

37. | 3x+ 8| 5 38. | 3x+ 8| < 5

39. |x 1| 12x+ 2 40. |x 40| < |x 50|Nota: En 39. es de aplicacin el teorema 1 con r = 12x+2. En 40.,considerando r = |x 50|, otra vez el teorma 1 convierte la in-ecuacin en dos del tipo del ejercicio anterior. Pero ntese tambinque una adecuada interpretacin geomtrica resuelve el problemade manera trivial: La inecuacin 40. dice que x est ms cercade 40 que de 50. Cabe de paso recordar a aquella ingeniosa seoraque, bien pasados los 50 aos, deca, sin mentir, que ella estabams cerca de los 50 que de los 40.

Dos desigualdades son de gran importancia. Se las conoce como de-sigualdades triangulares.

Teorema 2.- Para x y y nmeros reales, |x+ y| |x|+ |y|y |x y| ||x| |y|| .Demostracin: La primera desigualdad se demuestra usandoel teorema 1. Hay que verificar que

(|x|+ |y|) x+ y |x|+ |y| . (2)Pero esto es fcil usando los resultados de dos ejercicios anterio-res. 34. asegura que

|x| x |x| |y| y |y|y 6. permite sumar las dos desigualdades para obtener (2) .

La segunda desigualdad tambin se prueba usando el teorema1. Haciendo jugar a |x y| el papel de r, se debe probar dosdesigualdades:

|x y| |x| |y| |x y| . (3)La segunda de estas dos requiere de un pequeo truco:

|x| = |(x y) + y| |x y|+ |y| ,


usndo la primera parte del teorema, ya probada. Restando |y|se obtiene |x| |y| |x y|. Ahora la prueba de la primeradesigualdad en (3) es as: Ya probada la segunda, debemosadmitir que ella tambin vale cambiando los roles de x y y.En tal caso, se tiene que

|y| |x| |y x| = |x y| .

Si ahora se multiplica por 1, se invierte la desigualdad y seobtiene el resultado

El nombre "desigualdades triangulares, proviene de la interpretacinvectorial de suma y resta, junto con un teorema de la Geometra: "En untringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que sudiferencia".

b a ab

ba + ba figura 1.12

1.3 Coordenadas en el Plano

As como se estableci un sistema de coordenadas en la recta que permitidescribirla a travs de los nmeros reales, se puede poner un sistema decoordenadas en el plano. El procedimiento es el siguiente: Tmense dosrectas, l1 y l2, que se intersequen en un punto. Dtese a ambas rectas desendos sistemas de coordenadas con el 0 en el punto de interseccin (origen).Dado un punto cualquiera P del plano:

1. La recta que pasa por P y es paralela a l2 corta a l1 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, x.

2. La recta que pasa por P y es paralela a l1 corta a l2 en un nicopunto que tendr una coordenada, digamos, y.

1.3. Coordenadas en el Plano 15

3. Identificamos al punto P con el par ordenado (x, y) .

Los pares ordenados de nmeros reales (ordenados significa que importacul va primero y cul segundo) forman un conjunto que se denota R2.Establecido un sistema de coordenadas, el plano queda identificado con R2.

( )yxP ,=

x

y

1l

2l

figura 1.13

Nosotros usaremos los ejes coordenados (las rectas l1 y l2) perpendiculares.Los ejes dividen al plano en cuatro sectores llamados cuadrantes. Estos seordenan tomando como primero al determinado por los semiejes positivosy continuando con los siguientes segn se gira alrededor del origen en elsentido contrario al de las agujas del reloj.

Si los ejes coordenados fueron tomados perpendiculares, la distanciaentre dos puntos del plano se calcula usando el teorema de Pitgoras:

1P

2P

1x 2x

1y

2y

d

figura 1.14


d = dist (P1, P2) =q(x2 x1)2 + (y2 y1)2. (4)

En particular, si uno de los puntos es el origen de coordenadas O = (0, 0),dist [(x, y) , O] =

px2 + y2.

Ejercicios

41. Localizar los puntos siguientes: (1, 1); (0, 5); (5,2); (1, 0).

42. Localizar los puntos siguientes (12 , 3); (13 ,

12); (

43 , 2); (

14 ,12).

43. a. Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el segundo cua-drante. Es x positivo o negativo ? Es y positivo, onegativo?

b. Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el tercer cua-drante.Es x positivo, o negativo? Es y positivo, onegativo?

44. a. Localizar los puntos (1.2,2.3); (1.7, 3) y calcular su dis-tancia

b. Localizar los puntos (2.5, 13); (3.5,54) y calcular su dis-

tancia.

c. Localizar los puntos2, 1

2

,0, 1

2

y calcular su

distancia.

Muchos subconjuntos interesantes del plano se pueden describir a travsde una propiedad que caracteriza a sus puntos, tal como ocurre en la recta.Que un punto (x, y) verifique esa propiedad es una proposicin abierta enlas variables x y y.

Ejemplos:

1. Un crculo C de centro O = (0, 0) y radio r es el conjunto de puntoscuya distancia a O es r. Ellos deben satisfacer entonces la condicin

dist [(x, y) , (0, 0)] = r.

Si esta condicin se expresa usando la frmula de la distancia (4), seobtiene la ecuacin

px2 + y2 = r, o, lo que es equivalente,

x2 + y2 = r2. (5)


Entonces C =(x, y) : x2 + y2 = r2

x

y

r

figura 1.15

Esta descripcin del conjunto C responde a la estructura

{(x, y) : P (x, y)}

En este caso, la proposicin P (x, y) es una ecuacin con dos variables.

2. El disco D encerrado por el crculo del ejemplo anterior, se describecomo

D =(x, y) : x2 + y2 r2

.

La misma estructura, pero la proposicin P (x, y) es una inecuacincon dos variables.

Sin que esto sea una regla absoluta, por lo general las ecuaciones con dosincgnitas tienen por solucin una curva plana. Llevando todos los trminosa un solo miembro, una ecuacin con dos variables siempre se puede llevar auna expresin igualada con 0. Esa expresin representa a un nmero cuyovalor depende de las variables x y y. Entonces la curva se describe comosubconjunto del plano de la siguiente forma:

C = {(x, y) : F (x, y) = 0} .

"F (x, y) = 0" es la ecuacin de C. Esta forma de describir curvas planasse llama forma implcita.


Funciones

Una funcin es una ley que hace corresponder a cada elemento de unconjunto, llamado dominio, un nico elemento de otro conjunto, que lla-maremos codominio. Aunque digamos "otro" conjunto, bien podra tratarsedel mismo. En particular, por ahora slo estamos interesados en funcionescuyo dominio es un subconjunto de la recta real y su codominio es tambinR (o un subconjunto de R). La ley que establece la correspondencia po-dr venir expresada de diversas maneras, aunque lo habitual es que a cadaelemento del dominio, que en nuestro caso es un nmero, se le asocie otronmero que se obtiene a travs de un clculo. Algunos ejemplos sern msclaros que mil palabras.

Ejemplos:

1. A cada nmero asociarle su cuadrado.

2. Dado un nmero se le hace corresponder su triplo incrementado en 5unidades.

3. A la temperatura en grados Celsius medida en ciertas circunstancias leasociamos su valor en grados Farenheit.

4. A la altura medida en metros de una torre se le asocia el tiempo ensegundos que tarda en llegar al suelo un objeto que se deja caer desdeella.

5. A cada nmero natural entre 2 y 12 le asociamos la probabilidad deobtenerlo haciendo rodar dos dados.

La Matemtica ha creado gran cantidad de lenguaje para manejar estasideas. El truco ms comn es usar variables, que son letras que representanobjetos genricos del dominio y del codominio. La variable que representa alobjeto del dominio se llama independiente. Sobre ella se realiza la operacinque dicta la funcin y el resultado pasa a ser el valor que toma la variable delcodominio, llamada entonces dependiente. En este lenguaje, las funcionesde los ejemplos anteriores se describen de la siguiente manera:

1. x 7 y = x2

2. x 7 y = 3x+ 5


3. TC 7 TF = 1.8TC + 32

4. h 7 t =q

2gh, donde g = 9.8 es la aceleracin de la gravedad.

5. Aqu no hay una frmula pero, como el dominio es finito, se puede daruna tabla:

n : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12p : 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

(Advirtase que la suma de los 11 valores tomados por p es 1).

Pero para el futuro manejo de este nuevo concepto ser insuficiente anesta descripcin. Se pondr nombre a la funcin y su accin ser evocada conese nombre. Si decidimos llamar f a la funcin del ejemplo 1, llamaremosf (x) al nmero que f (o sea la accin de elevar al cuadrado) asocia alnmero x. As resulta que f (x) = x2. Por supuesto, los valores que tomala funcin sobre particulares valores numricos, se obtienen reemplazandola variable por el valor numrico: f (4) = 42 = 16. Ntese que f y f (x)son objetos de distinta naturaleza. El primero es una funcin (una accin)y el segundo representa a un nmero. Sin embargo es usual confundir todoy decir, por ejemplo:

Consideremos la funcin y = f (x) = x2,

sin que nadie se confunda por ello.

El dominio de una funcin f ser denotado Dom f . Si B Dom f , laimagen de B por f es el conjunto f (B) := {f (x) : x B}. Si se tomaA = Dom f , f (A) es el conjunto de todos los posibles valores que puedetomar la funcin. Se lo llama el rango o la imagen de f y se lo denotaRg f . La expresin

f : A B

significar que:

1. f es una funcin

2. A es el dominio de f

3. Rg (f) B.


Ejercicios

45. Sea g(x) = |x| x. Calcule g(1), g(1), g(54)46. Para qu nmeros se podra definir una funcin f mediante

la formula f(x) = 1x22? Cal es el valor de esta funcin

para x = 5?

47. Para qu nmeros se podra definir f mediante la formulaf(x) = 3

x? Cunto vale f(27)?

48. Para qu nmeros se podra definir una funcin f mediantela frmula f(x) = 4

x? Cunto vale f(16)?

49. La relacin entre la temperatura del aire T (en oF ) y la altitudh (altura en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamentelineal. Cuando la temperatura a nivel del mar es de 60o, unincremento de 5000 pies en la altitud disminuye aproximada-mente en 18o la temperatura.

1. Expresar T en terminos de h.

2. Calcular la temperatura del aire a una altitud de 1500pies.

50. La ley de Boyle dice que a temperatura constante, la presinde un gas en un recipiente es inversamente proporcional a suvolumen. Escriba esta ley expresando a la presin comouna funcin del volumen.P inversamente proporcional a V significa que si a V corres-ponde P , entonces a V corresponder P

51. Determinar el dominio de definicin de la funcin f en cadacaso.

a. f(x) = 1x4

b. f(x) = 2x

c. f(x) =4 x

Se dice que una funcin es par si f(x) = f(x) para todox. Se dice que es una funcin impar si f(x) = f(x) paratodo x. Determinar si las funciones siguientes son impares,pares o ni una cosa ni la otra


52. f(x) = x 53. f(x) = x2

54. f(x) = x3 55. f(x) = 1xsi x 6= 0 y f(0) = 0

56. f(x) = x+ x2 57. f(x) = 2x3

Operaciones con funciones

Las operaciones aritmticas realizadas con los nmeros resultantes deaplicar funciones, se pueden pensar como operaciones aritmticas hechas conlas funciones. Los monomios 3x4 y 2x son dos funciones: f : x 7 3x4y g : x 7 2x. El polinomio 3x4 2x, suma de los dos monomios, serconsiderado la suma de las funciones f y g. Esta es una nueva funcin yrecibe el nombre f + g. Para ser concretos, la funcin f + g se define por:

f + g : x 7 f (x) + g (x) .

O bien

(f + g) (x) = f (x) + g (x) . (6)

Aunque usemos el mismo smbolo, el lector debera notar la sutil dife-rencia: En el miembro de la izquierda el + es una suma de funciones. Enel miembro de la derecha el + es una suma de nmeros. La operacin entrenmeros ya exista. A la operacin entre funciones la acabamos de definir.Con respecto al dominio de la funcin suma, es claro que Dom(f + g) =Dom f Dom g.

De idntica manera se definen operaciones con funciones para cada ope-racin con nmeros

(f g) (x) = f (x) g (x) , (7)

(f g) (x) = f (x) g (x) , (8)fg(x) =

f (x)g (x)

. (9)

Dom(f g) = Dom(f g) = Dom f Dom g.Domfg

=

= {x Dom f Dom g : g (x) 6= 0} .


Si esto le parece una tontera, tiene usted razn. Pero usar este pro-cedimiento nos dar algunas facilidades de lenguaje que no queremos de-saprovechar. Lo que s es una idea importante es la operacin de composi-cin de funciones Esta operacin consiste en aplicar dos funciones sucesi-vamente, una despus de la otra.

x 7 f (x) 7 g (f (x))Esta operacin no es conmutativa. Importa en qu orden se componen lasfunciones. Cul acta primero y cul despus. El smbolo usado es :

g f (x) := g (f (x)) (10)Se escribe a la derecha (o sea ms cerca de la variable) la funcin que actaprimero. Es fcil ver que

Dom(g f) = {x Dom f : f (x) Dom g} .

Ejemplos:

6. Si f (x) = x+ 3 y g (y) = y2,

g f (x) = (x+ 3)2 , f g (y) = y2 + 3.El artificio de usar distintos nombres para las variables, permite verla composicin como un reemplazo:

y = f (x)z = g (y)

z = g (y) = g (f (x)) = g f (x)

x = g (y)z = f (x)

z = f (x) = f (g (y)) = f g (y) ,

pero uno debera poder manejar la composicin con cualquier nombrede variables.

7. Sean ahoraf (x) =

x+ 22x 3 , g (x) =

3x+ 22x 1

Entonces,

g f (x) = g (f (x)) = gx+ 22x 3

=3

x+22x3

+ 2

2

x+22x3

1

=

=

3x+6+2(2x3)2x3

2x+4(2x3)2x3

=3x+ 6 + 4x 62x+ 4 2x+ 3 =

7x7= x.

Invitamos al lector a calcular f g

1.4. Grficos 23

Ejercicios

Calcular f+g, fg, fg y fgpara las siguientes funciones.

En todos los casos calcular el dominio de la nueva funcin.

58. f (x) = x+ 2, g (t) =t2 4

59. f (x) =x 2, g (x) = x 4

En los siguientes casos calcular f g, g f y los dominiosde f, g y ambas composiciones.

60. f (x) =x 1, g (x) = x2

61. f (x) = 11x2 , g (x) =

x21x

62. Escribir la funcin f (x) =2x2 3

+ 1 como composicin

de dos, de tres y de cuatro funciones.

1.4 Grficos

El grfico o la grfica de una funcin es un esquema suficiente para des-cribirla que adems facilita comprender sus reglas de comportamiento, cuan-do las hay. Si tomamos el quinto ejemplo, referido a las probabilidadescon dos dados, tratndose de un dominio finito y, consecuentemente, unacantidad finita de valores posibles para la variable dependiente, se puedehacer una tabla de doble entrada mostrando cul de los posibles valorestoma la funcin en cada punto del dominio:

6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

np 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

figura 1.16


En este esquema se ve con mayor claridad cmo la probabilidad de ocu-rrencia aumenta hacia los valores centrales (7) y disminuye hacia los perifri-cos (2 y 12). La misma tcnica de graficacin se puede usar para dominioscontinuos (intervalos). Al fin, el sistema de coordenadas recin introducidopara el plano, no es otra cosa que una tabla de doble entrada continua. SiA R y f : A 7 R se define el grfico de f por:

Gr (f) := {(x, f (x)) : x A} .. (11)

O bien,

Gr (f) =(x, y) R2 : x A, y = f (x)

(12)

Visto as, de las dos condiciones que debe cumplir un punto (x, y) parapertenecer al grfico, la primera es una formalidad. La esencial es la se-gunda: y = f (x), que es una ecuacin con dos variables. Muchas curvashay en el plano descriptas por ecuaciones con dos variables que no repre-sentan el grfico de una funcin. Una curva en el plano es el grfico de unafuncin cuando ninguna recta vertical la corta en ms de un punto.

Ejemplos:

1. Pocas veces podemos llevar a la realidad del papel el grfico exacto de unafuncin. Habitualmente se tiene un dibujo aproximado. El mtodoms rudimentario consiste en ubicar algunos puntos e imaginar elresto, con los mejores motivos que se pueda. Para la funcin y = x2

del primer ejemplo de la serie anterior, ubicamos algunos puntos conuna "tabla de valores"

x : 2 1 12 012 1 2

y : 4 1 14 014 1 4

Esto significa que los puntos (2, 4) , (1, 1) , ..., (2, 4) , pertenecen algrfico. Se los representa en un plano coordenado y se imagina el restode la curva y = x2. En este caso, se sabe que la ecuacin y = x2

representa una parbola, y esa informacin se tiene en cuenta para

1.4. Grficos 25

dibujar la curva.

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

x

y

figura 1.17

2. En el segundo ejemplo de la serie tenemos la funcin y = 3x+ 5. Estees uno de los pocos casos en que el grfico se podr dibujar con exac-titud (dentro de los lmites que el dibujo impone), pues la ecuacinrepresenta una recta, que se determina con dos puntos y se dibuja conuna regla. Una breve tabla de valores provee los dos puntos:

x y

2 1

0 5

-2 -1-1

1

2

3

4

5

x

y

figura 1.18

3. Vimos en la seccin 1.3 que la ecuacin (5) x2+ y2 = r2 describe uncrculo de centro O y radio r. La curva descripta por esta ecuacinno es el grfico de una funcin. Existen rectas verticales que la cortan


en ms de un punto.

x

y

figura 1.19

Ejercicios

Trazar las grficas de las funciones siguientes:

63. f(x) = 3x+ 2

64. g (x) = x3

65. h (x) = 1x+2

Esbozar la grfica de la funcin f(x) definida por las condi-ciones:

66. f(x) = 0 si x 0. f(x) = 1 si x > 0.

67. f(x) = x2 si x < 0. f(x) = x si x 0

68. f(x) = x3 si x 0. f(x) = 1 si 0 < x < 2.f(x) = x2 si x 2.

69. f(x) = |x|+ x si 1 x 1. f(x) = 3 si x > 1[f(x) no estdefinida para otros valores de x.]

70. f(x) = x si 0 < x 1. f(x) = x 1 si 1 < x 2. Cmoexpresara la idea de continuar definiendo f de manerasimilar en los siguientes intervalos 2 < x 3, 3 < x 4...etc.?

71. Trazar las grficas de y = xn y de y = nx para n =

1, 2, 3, 4, ....

Hay dos operaciones frecuentes sobre las variables de una funcin que

1.4. Grficos 27

la modifican sin alterar demasiado el grfico: las traslaciones y los cam-bios de escala. En la prctica, estas modificaciones pueden provenir delcambio de unidades con que se mide la variable fsica. Ambas operacionesse pueden realizar sobre la variable independiente o sobre el resultado dela funcin (variable dependiente). Nos interesa estudiar el efecto sobre lagrfica cuando se realizan estas operaciones.

Algunos movimientos del plano

Traslaciones. Si a R, una traslacin horizontal de magnitud adesplaza a un punto (x, y) del plano horizontalmente en la distancia ysentido que (el vector) a indica:

Ta : (x, y) 7 (x+ a, y) .

La traslacin Ta aplicada a un conjunto, desplaza todos sus puntos paraobtener un conjunto congruente al original a una distancia |a| hacia laderecha o hacia la izquierda, dependiendo del signo (positivo o negativo) dea.

Ta (C) = {(x+ a, y) : (x, y) C}. O, dicho de otro modo, (x, y) Ta (C) (x a, y) C.

Anlogamente, se tienen traslaciones verticales. T b (x, y) = (x, y + b) ,

T b (C) = {(x, y + b) : (x, y) C} . (x, y) T b (C) (x, y b) C.

U ( )UTa a

b

V

( )VTb x

y

figura 1.20


Cambios de escala. Un cambio de escala horizontal de magnitud > 0,dilata o contrae el plano, segn sea > 1 < 1, en sentido horizontal,manteniendo en su sitio el eje x = 0.

S : (x, y) 7 (x, y)

Los cambios de escala verticales son del tipo:

S : (x, y) 7 (x, y) .

Dejan fijo el eje horizontal y = 0.

Aplicar a un conjunto estos cambios de escala, significa aplicrselos acada uno de sus puntos:

S (C) = {(x, y) : (x, y) C} ,S (C) = {(x, y) : (x, y) C} .

De donde se concluye que

(x, y) S (C)x, y C,

(x, y) S (C)x,y

C.

Simetras. Dos puntos (x, y) , (x0, y0) son simtricos respecto de uncentro de simetra (a, b) , si este ltimo es el punto medio del segmento quelos une. Esto ocurre cuando (x0 a, y0 b) = (a x, b y). En particular,dos puntos (x, y) , (x0, y0) son simtricos respecto del origen de coordenadascuando (x0, y0) = (x,y) .

Dos puntos son simtricos respecto de una recta si el segmento que losune es perpendicular a la recta, la cual lo corta en su punto medio. El puntosimtrico de (x, y) respecto del eje x es (x,y) . El simtrico de (x, y)respecto del eje y es (x, y) . Llamaremos d (por diagonal) a la rectabisectriz del primer y tercer cuadrantes, cuya ecuacin es y = x. El punto

1.4. Grficos 29

simtrico de (x, y) respecto de la recta d es (y, x) .

x

y

( )b,a

( )a,b( )y,x

( )y,x ( )v,u( )v,u

d

figura 1.21

En efecto, el punto medio del segmento [(a, b) , (b, a)] esa+b2 ,

a+b2

,

que pertenece a d. La pendiente de la recta que une a estos puntos esbaab = 1, por lo tanto es perpendicular a d.

Ejercicios

72. Hallar y graficar

T2 (1, 3) T12

32 ,2

T 3

12,32

T 13

1,23

73. Sea C el cuadrado de vrtices (1, 1) , (3, 1) , (3, 3) y (1, 3).

Hallar los vrtices y graficar los cuadrados T1 (C) yT 2 [T

1 (C)] .

74. Hallar y graficar S2 (C) y S12

[S2 (C)] para el rectngulo

C de vrtices (2,2) , (2, 1) , (1, 1) y (1,2)


75. a) Hallar el punto simtrico de (1,2) respecto de (0, 0) .b) Hallar el punto simtrico de (1,2) respecto de (1, 0) .c) Hallar el centro de simetra de los puntos (1, 5) y (3, 1)

d) Hallar el centro de simetra de los puntos (x1, y1) y(x2, y2)

e) Respecto de qu recta son simtricos los puntos (1, 5) y(3, 1)?

f) Hallar y graficar el simtrico respecto de la diagonal ddel tringulo de vrtices (4,1) , (6, 1) y (1, 2) .

Modificaciones de grficas de funciones

Traslaciones. Conocido el grfico de la funcin f , consideremos lafuncin g (x) = f (x a), a R.

(x, y) Gr (g) y = g (x) = f (x a) (x a, y) Gr (f). Perohemos visto que (x a, y) Gr (f) es equivalente a (x, y) Ta (Gr (f.))De modo que Gr (g) es la atraslacin horizontal de Gr (f) .

Si en cambio g (x) = f (x) + b, entonces (x, y) Gr (g) y = f (x) +b y b = f (x) (x, y b) Gr (f) . Esto es, Gr (g) = T b (Gr (f)) . Labtraslacin vertical de Gr (f) .

876543210-1-2

25

20

15

10

5

0

-5x

y

x

y

figura 1.22

1.4. Grficos 31

Ejemplo 4: La figura 1.22 muestra el grfico de la funcin f (x) = x2, yaconocido (es una parbola con vrtice en el origen) y los grficos dedos traslaciones. El grfico de g (x) = (x 3)2 , es una parbola igualpero con vrtice en (3, 0) . Sea ahora h (x) = (x 3)2 4. su grficoser una (4)traslacin vertical del grfico de g: una parbola convrtice en (3,4) .HASTAAQUI

Cambios de escala. Nuevamante partimos de una funcin f congrfico conocido y definimos g (x) = f

x

, con > 0. (x, y) Gr (g)

y = g (x) y = fx

x, y Gr (f) (x, y) S [Gr (f)] . Esto es,

Gr (g) = S [Gr (f)] .

Anlogamente, si g (x) = f (x) , entonces Gr (g) = S [Gr (f)] .

Ejemplos:

5. Consideremos la funcin f : [1, 1] R definida por y =1 x2. Sea

g (x) = 139 x2. g : [3, 3] R.. Buscando la semejanza de g con

f , encontramos con simples clculos que g (x) =q1

x3

2= f

x3

.

De modo que el grfico de g se obtiene con una dilatacin horizontalde razn 3 del grfico de f.

6. Tratemos de graficar la funcin

h (x) = 2

s1 (x 4)

2

9.

Consideramos primero g (x) = 2q1

x3

2. Entonces h (x) =g (x 4) , de modo que el grfico de h es una 4traslacin hori-zontal del de g. Por su parte, g (x) = 2f

x3

, con f (x) =

1 x2.

Por lo tanto su grfico se obtiene de dilatar con razn 3 en sentido


horizontal y razn 2 en sentido vertical al grfico de f.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

x

y

figura 1.23 2q1 (x4)

2

9

Simetras. Si g (x) = f (x) , (x, y) Gr (g) y = f (x) (x, y) Gr (f) . Como (x, y) es el punto simtrico de (x, y) respectodel eje de ordenadas, el grfico de g y el grfico de f son simtricosrespecto del eje vertical. Anlogamente, El grfico de y = f (x) y el dey = f (x) son simtricos respecto del eje de absisas.

El grfico de |f (x)| se obtiene del de f reflejando sobre el eje horizontalla parte del grfico de f que vive debajo de ste, mientras se deja inalteradala otre parte.

Ejemplo 7. Sobre la base del grfico conocido de f (x) = 1x, buscaremos

un grfico aproximado de g (x) =3x12x3

2. el procedimiento pasa

por efectuar la divisin entera: 3x 12 = (x 3) 3 3, de donde sededuce

3x 12x 3 =

3

x 3 + 3

La grfica buscada se construye entonces a partir de la grfica de 1x,

a travs de T3 , S3 , reflexin sobre eje x, T

3 , reflexin parcial y T

2

siguiendo los pasos:

1

x7 1

x 3 73

x 3 7 3

x 3 7 3

x 3 + 3 7 3x 3 + 3

7

3x 3 + 3

2

1.4. Grficos 33

-3 3

-3

3

x

y

fig. 1.24.a y = 1x

3 6

-3

3

x

y

fig. 1.24.b y = 1x3

3 6

-3

3

x

y

fig. 1.24.c y = 3x3

3 6

-3

3

x

y

fig. 1.24.d y = 3x3

3 6

3

6

x

y

fig. 1.24 e y = 3x3 + 3

3 6

3

6

x

y

fig. 1.24 f y = 3

x3 + 3


1 2 3 4 5

-2

2

4

6

x

y

figura 1.24 g y = 3

x3 + 3 2

Ejercicios

Dadas las funciones f(x) = 1xy f(x) =

x. trazar para

cada una de ellas la grfica de:

76. f(x 1) 77. f(x+ 3) 78. f(x) 2

79. 1 f(x) 80. 3f(x) 81. 12f(x)

82. f(2x) 83. |f(x)| 84. 2f(x),

85. f(x)

Curvas en forma implcita

Tal vez llame la atencin que en las traslaciones y redimensionamientoshorizontales, el modificante aparece en la expresin de la funcin afectadopor operacin inversa (resta o divisin) mientras que en las verticales lohace en directa (suma o producto):

f (x a) , fx

, contra f (x) + b, f (x) .

Bastar igualar las expresiones a y y pasar los modificantes al otro miem-bro, de modo que acten sobre la variable que estn modificando, para que

1.4. Grficos 35

la asimetra desaparezca:

y = f (x a) , y = fx

, y tambin y b = f (x) , y

= f (x) .

Estas expresiones son ecuaciones de dos variables y sus soluciones curvas enel plano. Son casos particulares de una forma ms general de describir curvasplanas usando funciones de dos variables, que se llama forma implcita. Enforma implcita se incorporan otras curvas que no son grficos de funciones,como circunferencias, elipses e hiprbolas de asntotas oblicuas. Para ellasson tambin vlidas las modificaciones arriba descriptas, de modo que uncuadro sinptico para el caso general podr ser usado tambin en el casoparticular.

accin en ecuacin efecto sobre la grficaF (x a, y) = 0 mover a unidades horizontalmenteF (x, y b) mover b unidades verticalmente

Fx, y, > 0 extender-comprimir horizontalmente con factor

Fx, y

, > 0 extender-comprimir verticalmente con factor

F (x, y) reflejar sobre el eje verticalF (x,y) reflejar sobre el eje horizontal

Ejemplos:

8. Tomamos el crculo unidad C, cuya ecuacin (implcita) es x2+y2 = 1,y lo trasladamos dos veces: C 0 = T1 T

1 (C). La ecuacin es

(x 1)2 + (y 1)2 = 1

Luego expandimos en ambos ejes: C 00 = S3 S2 (C

0), que da la ecuacinhx3 1i2+hy2 1i2= 1

O bien,(x 3)2

9+(y 2)2

4= 1.

Una elipsa de semiejes 3 y 2 con centro en (3, 2) .

9. Ahora partimos del mismo crculo pero dilatamos primero para conver-tirlo en una elipse de semiejes 3 y 2: C 0 = S3 S

2 (C). En un segundo

paso trasladamos 1 y 1: C 00 = T1 T1 (C

0). Obtenemos otra elipsediferente

C 0 :x2

9+y2

4= 1, C 00 :

(x 1)2

9+(y 1)2

4= 1


3

2

11

figura 1.25

Ejercicios

86. Hallar la ecuacin de un crculo con centro en12 , 3

y radio

9.25. Pertenece el origen de coordenadas a ese crculo?

87. Trazar la grfica de la elipse

(x+ 3)2

9+(y 1)2

4= 1.

Dar las coordenadas de los cuatro vrices.

88. Trazar la grfica de la siguiente ecuacin:

x2 +(y 1)2

4= 4.

Curvas en forma paramtrica

Dadas dos funciones definidas en un intervalo, digamos f, g : [a, b] R,queda definida una curva paramtrica en el plano R2 por

1.5. Funciones Trigonomtricas 37

{(x, y) : x = f (t) , y = g (t) , t [a, b]}. Tenemos entonces tres maneras dedescribir curvas en el plano: como grfico de funcin, implcitamente pormedio de una ecuacin y paramtricamente. Muchas veces la misma curvase puede describir de las tres maneras. Por ejemplo, el grfico de la funcinf : [0, 1] R, definida por f (x) = x2 se puede descibir con la ecuaciny x2 = 0, 0 x 1 o bien, paramtricamente, por

x = ty = t2

, 0 t 1.

En cada caso se elegir la manera ms conveniente. Para el crculo x2 +y2 = 1, en cambio, no hay descripcin como grfico de funcin. S veremospresentaciones paramtricas de esta curva al estudiar funciones trigonomtri-cas.

Ejercicios

Graficar las siguientes curvas paramtricas:

89.

x = 2ty = 4 t2 , 0 t 2

90.

x = 10ty = 5t2 + 2t , 0 t 2

91. Dar una parametrizacin del segmento que une los puntos(2, 1) y (4,2)

1.5 Funciones Trigonomtricas

Angulos

Un ngulo (orientado) es un par ordenado de semirrectas de origen


comn en el plano R2.

a

a

b

b

A As s

r

r

figura 1.26

Dado el ngulo determinado por las semirrectas a y b, si se tomacualquier crculo con centro en el vrtice del ngulo, digamos el de radio r,queda determinado un arco comprendido entre las semirectas a y b,recorriendo el crculo en contra de las agujas del reloj (o sea dejando a laizquierda el disco interior al crculo). Entre los lados del ngulo y el arcose encierra un sector circular. En lo que sigue, consideraremos fijado unngulo y trataremos de definir su medida y relacionarla con la longitud sdel arco y el rea A del sector circular.

Conocidos mtodos geomtricos permiten trazar la bisectriz de un nguloy dividirlo en dos. Iterando el procedimiento es posible, para cada n N,subdividir el ngulo en 2n ngulos congruentes. Consideramos ahora los2n tringulos inscriptos en los 2n sectores que la subdivisin determina.Ellos sern 2n tringulos issceles congruentes con bases de cierta longitudbn y alturas de cierta longitud hn.

nbnh

figura 1.27


Por cierto estas medidas dependen del radio: bn = bn (r) y hn = hn (r).Pero ya que los tringulos obtenidos variando el radio son semejantes, elcociente bn (r) /r no depende de r. La longitud de la poligonal inscriptaen la circunferencia, determinada por la subdivisin, mide 2nbn. La longituds (r) del arco de circunferencia es el lmite de la longitud de la poligonalcuando el nmero n de iteraciones tiende a infinito:

s = limn

2nbn (13)

Gracias a que bn (r) /r no depende de r, tampoco lo hace 2nbn (r) /r. Enconsecuencia,

:=s (r)r

= limn

2nbn (r)r

(14)

es independiente de r. Este nmero es la medida (en radianes)3 del nguloque estamos considerando.

Tenemos entonces, dados el ngulo y el radio, una primera relacin entrengulo, radio y longitud del arco sustentado:

s = r (15)

Ahora, con respecto al rea, cada uno de los tringulos anteriormenteconsiderados tiene rea bnhn/2. Su unin es un polgono de rea 2nbnhn/2que tiende a llenar, cuando n crece, el rea A del sector. Esto es,

A = limn

2nbn2

hn =1

2limn2nbn lim

nhn

El primer lmite sabemos que vale r (por (14)) y el segundo, obvia-mente vale r. De manera que

A =1

2r2 (16)

Un ngulo llano tiene por lados semirectas opuestas. Es el nico quecambiando el orden de los lados no cambia su medida. La medida de unngulo llano es lo que se define como el nmero . As es que un semicrculode radio r mide r y el rea del disco de igual radio es r2.

3El cociente entre dos longitudes da una medida adimensional, sin unidades. Se usa, sinembargo la unidad radin, que se abrevia rad, para aumentar la confusin. Subrayamosde paso que las igualdades (15) y (16) slo valen para en radianes


Tambin resulta de esta definicin de la equivalencia entre los dossistemas de medicin de ngulos:

rad = 180o

1rad =180

o1o =

180

rad

Ejemplo 1. Las longitudes de dos ciudades sobre el ecuador terrestre di-fieren en 12o15. Cul es la distancia terrestre que las separa?. Undato adicional es necesario: el radio ecuatorial de la Tierra, que es de6378 km.Por las frmulas de conversin, se deduce que el ngulo desde el cen-tro terrestre que separa a las dos ciudades es de 12.25 180rad, cuyovalor aproximado es de 0.2138028, medido en radianes. Ahora es deaplicacin la frmula (15), que relaciona ngulo, radio y longitud dearco:

s = r = 0.2138028 6378 = 1363Por supuesto, la distancia hallada est medida en kilmetros.

Funciones

Un ngulo se dice que est en posicin estndar cuando su primer ladocoincide con el semieje positivo de absisas.

Dado un nmero real , 0 < 2, existe un nico ngulo en posicinestndar cuya medida es . El segundo lado o lado libre de este ngulo,cortar al crculo unidad (crculo de radio 1 con centro en el origen decoordenadas) en un punto de coordenadas (x, y) . El arco de crculo unidaddesde (1, 0) hasta (x, y) mide . Se definen las funciones seno y cosenousando estas coordenadas:

cos := x, sen := y (17)

Siendo cos y sen las coordenadas de un punto sobre el crculo unidad,cuya ecuacin es x2 + y2 = 1, la satisfacen:

cos2 + sen2 = 1 (18)


Ejemplo 2. El ngulo recto, siendo la mitad del llano, que mide , mide2 . El punto que le corresponde sobre el crculo unidad es el (0, 1).En consecuencia, cos 2 = 0 y sen

2 = 1

x

y

figura 1.28

La funcin tangente se define a partir de las funciones seno y coseno.Para 0 < 2, si cos 6= 0, se define tan = sen cos . Hay una manerade relacionar la tangente con las coordenadas de un punto, sobre un grficoque incluye al crculo unidad, tal como se hizo para el seno y el coseno. Estarelacin explica el nombre de de la funcin, ya que el punto se encuentrasobre la recta tangente al crculo unidad por el punto (1, 0).

tan

1

figura 1.29


Ejercicios

92. Completar la siguiente tabla de valores exactos (sin calcu-ladora)

0 42

34

54

32

74

cos 0sen 1

93. Probar la identidad sen = cos2

para ngulos del

primer cuadrante (0 2 ),

94. Calcular sen y cos de 6 y de3

Hallar los siguientes valores95. . sen 23 96.. sen(

6 ) 97.. cos( +

6 )

98.. cos(2 6 ) 99.. cos54 100.. cos( +

26 )

101. Las coordenadas de Gob. Ing. Virasoro, en la provincia deCorrien-tes, son 28o S, 54oW . La localidad Los Amores, enla provincia de Santa Fe, se ubica tambin en los 28o S delatitud, pero a 60oW de longitud. Si el radio de la tierraes de 6375 km, calcular la distancia entre ambas localidadesmedida sobre la superficie de la tierra.

La definicin de las funciones trigonomtricas se puede extender a valoresfuera del intervalo [0, 2) . Los intervalos de la forma [2k, 2 (k + 1)), sondisjuntos dos a dos y cubren toda la recta real. Dado un nmero real x lest en uno y slo uno de estos intervalos. Es decir, existe un nico enterok tal que x [2k, 2 (k + 1)). Entonces x = x 2k [0, 2) y estperfectamente determinado por x.

El representante x de x en el intervalo [0, 2) se corresponde conla idea geomtrica de considerar ngulos de ms de un giro o ngulos quegiran en el sentido de las agujas del reloj (negativos). Si partiendo desde elsemieje positivo de absisas giramos 2 + 2 radianes, por ejemplo, el ladolibre se sita en el semieje positivo de ordenadas, como lo hace el ngulode 2 radianes. Un giro de

2 equivale a uno de 3

2 . Se puede entonces


definir

senx = senx, cosx = cosx, tanx = tanx.

Con esta definicin es claro que las funciones trigonomtricas resultan2peridicas, esto es: f (x+ 2) = f (x) , x R, de donde claramente seinfiere que f (x+ 2n) = f (x) , para x R, n Z.

Ejercicios

Probar las siguientes identidades de las funcionestrigonomtricas:

102. cos (x) = cosx 103. sen (x) = senx

104. tan (x) = tanx 105. sen (x+ ) = senx

106. cos (x+ ) = cosx 107. tan(x+ ) = tanx

Hallar los valores siguientes:108. tan 4 109. tan

26 110. tan

54

111. tan(2 4 ) 112. sen76 113. cos

76

114. cos 23 115. cos6 116. cos

56

117. cos 3

Trazar las grficas de las siguientes funciones118. y = sen 2x 119. y = cos 3x

120. y = sen(x+ 4 ) 121. y = senx2

122. cos(x 6 ) 123. y = 2 + cos(x 1)

124. Trazar las grficas de las funciones

y = sen1

x, y = x sen

1

x, y = x2 sen

1

x.


Trazar las siguientes curvas definidas paramtricamente:

125.

x = cos ty = sen t

, 0 t 2 126.

x = 2cos 2ty = 2 sen 2t

, 0 t

127.

x = 3 cos ty = 2 sen t

, 0 t 2 128.

x = 12 cos ty = 3 sen t

, 0 t 2

Las "frmulas de adicin" admiten una demostracin sencilla, basadaen el clculo de la distancia entre dos puntos y nuestra definicin de lasfunciones trigonomtricas.

Teorema 3:

cos ( ) = cos cos sen sensen ( ) = sen cos cos sen

Demostracin. Haremos el clculo de cos ( ) para 0 < < < 2. Si en un mismo esquema representamos al cr-culo unidad y los ngulos , y en posicin estndar,quedan determinados en las intersecciones sendos puntos P3, P2y P1, a los que agregamos P0 = (1, 0) (ver fig. 1. 30). Comod (P0, P1) = d (P2, P3), Elevando al cuadrado y haciendo los cl-culos con la frmula (4), se obtiene

(x1 1)2 + y21 = (x3 x2)2 + (y3 y2)2 .

Desarrollando y considerando luego que los puntos Pi estnen el crculo unidad y por lo tanto x2i + y

2i = 1, se obtiene

sucesivamente

x21 + y21 + 1 2x1 = x23 + y23 + x22 + y22 2 (x3x2 + y3y2) ,

2 2x1 = 2 2 (x3x2 + y3y2) ,x1 = x3x2 + y3y2.

Teniendo en cuenta las definiciones de las funciones seno y coseno,la ltima igualdad dice que

cos ( ) = cos cos + sen sen.

1.6. Complementos 45

La prueba de las otras frmulas queda a cargo del lector (verejercicio 164.)

0P

1P

2P

3P

figura 1.30

Ejercicios

Probar las siguientes identidades129.. sen 2x = 2 senx cosx

130.. cos 2x = cos2 x sen2 x

131.. cos2 x = 1+cos 2x2 132.. sen2 x = 1cos 2x2

133.. tan(x+ y) = tanx+tan y1tanx tan y

134.. sennx cosmx = 12 [sen (n+m)x+ sen (nm)x]

135.. cosnx cosmx = 12 [cos (n+m)x+ cos (nm)x]

136.. sennx senmx = 12 [cos (nm)x cos (n+m)x]

137. Hallar una frmula para sen 3x en trminos de senx y paracos 3x en trminos de cosx.

Probar las siguientes identidades:138. sen = tan

1+tan2 139. cos = 1

1+tan2

(Es interesante una demostracin geomtrica para 0 2 )


1.6 Complementos

Ejercicios

140. Muchas veces queremos decir "todos los puntos entre a y b". Sabe-mos que se trata de un intervalo, (a, b) o (b, a), segn cul seaa < b o b < a. En estos casos, cuando ignoremos cul es el mayor,escribiremos (a, b). Esto es,

(a, b) =(a, b) si a < b(b, a) si b < a

,

y lo mismo para intervalos cerrados o mixtos. Probar que si I es unintervalo y x, y I, entonces [x, y] I

Resuelva la desigualdad y exprese en trminos de intervalos.

141. |3 11x| 41 142. | 4x+ 1| 7

143. |3+2x5 | > 2 144. |73x2 | > 1

145. | 3x9 | > 2 146. |2+4xx+5 | 10

Encuentre f(a), f(a),f(a), f(a+ h), f(a) + f(h) cuando

147. f(x) = 3x2 + x 2

148. f(x) = 1x2+1

149. Desde un punto P que se encuentra a distancia h de una circunfer-encia de radio r, se traza una tangente a la circunferencia. Sea y ladistancia del punto P al punto de tangencia T.

a) Exprese y como funcin de h (Si C es el centro de la circunfer-encia, entonces PT es perpendicular a CT.)


b) Suponiendo que el radio de la tierra es de 3960 millas, calculela distancia al horizonte desde un trasbordador que gira a unaaltura de 200 millas.

150. Un globo esfrico se infla con helio. El radio del globo aumenta a raznde 1.5cm/seg, expresar el volumen V como una funcin del tiempo t(en segundos).

Determine el dominio de definicin de las funciones siguientes.151. f(x) =

3x 2 152. f(x) = 3

2x 5

153. f(x) =x2 9 154. f(x) = 17x+9

155. f(x) = x+1x39x

156. Usar el mtodo de completacin de cuadrados para trazar las grficasde las siguientes curvas

1) x2 + y2 2x 2y = 0 2) 4x2 + 9y2 24x+ 18y + 9 = 0

157. Calcular la superficie de un cono sin tapa en funcin del radio r dela base y de la altura h.Sugerencia: Desarrollado en el plano, el cono es un sector circular cuyo radiocoincide con la directriz d de aqul.

d

r

dh

figura 1.31


158. Se sabe que el ngulo de inclinacin del eje de la Tierra respecto dela perpendicular al plano en que vive su rbita es de 23,45o. Conocidala latitud de una ciudad, se pide calcular la duracin de la nochems larga del ao en ella. Como ayuda se dispone de los dos croquisexplicados al final del captulo (figura 1.32)

159. Desde una altura de 2m se lanza horizontalmente un proyectil conuna velocidad de 2m/seg. Dar una descripcin paramtrica de latrayectoria.Suponer que la aceleracin de la gravedad es de 10m/seg2 y recordarque la distancia recorrida en un movimiento uniformemente aceleradoviene dada por la frmula s (t) = s0 + v0t + 12at

2. Suponer que nohay aire.

160. En el vaco, se dispara un proyectil con un ngulo de 45o. La veloci-dad inicial es de 5

2m/seg. Dar una descripcin paramtrica de la

trayectoria, bajo las condiciones adicionales del ejercicio anterior.

161. Un hombre dispone de 20m de malla de alambre para cercar un jardnrectangular. Slo debe cercar tres lados porque el cuarto se apoyarcontra un muro preexistente suficientemente largo. Exprese el rea enfuncin del ancho x del jardn y utilice su grfica para determinar elarea mxima que puede proteger.

162. El tiempo total empleado en detener un automvil desde el momentoen que el conductor se da cuenta de un peligro, se compone del tiempode reaccin (tiempo transcurrido desde el apercibimiento hasta que seacciona el pedal de freno) y del tiempo del frenado (tiempo que tardael coche en detenerse desde que se presiona el pedal correspondiente).La tabla que figura a continuacin relaciona la distancia d(metros)querecorre hasta detenerse un automvil que marcha a una velocidadV (Km/h)en el instante en que se da cuenta del peligro. Representargrficamente d en funcin de V.

Velocidad V (km/h) 30 45 60 75 90 105Distancia d(m) 18 30 48 68 97 132

163. Las ciudades de San Luis y Buenos Aires se encuentran a latitudsimilar, pero sus longitudes son: Buenos Aires 58o 2220 W y SanLuis 66o2012 W. Se quiere calcular la diferencia horaria (solar) entreambas ciudades.

164. Se trata de completar la demostracin del teorema 3 en la seccin1.5. De modo que slo se puede usar de ese teorema lo que se prob


efectivamente: que para 0 < < < 2,

cos ( ) = cos cos + sen sen. (19)

La extensin de la frmula (19) para cualesquiera valores reales de y , se demuestra usando la definicin de las funcions trigonomtri-cas para nmeros fuera del intervalo [0, 2) y los resultados de losejercicios 102 a 107. Es un trabajo que no vale la pena.

a. Probar que cos (+ ) = cos cos sen sen. Sugerencia + = () .

b. Probar que cos2

= sen y que sen

2

= cos. (La

primera sigue de (19) y la segunda de la primera).

c. Probar que sen ( ) = sen cos cos sen. (usar (b)).

165. La torre de la antigua iglesia de Susques, en Jujuy, no proyecta sombraal medioda del 21 de diciembre. En ese mismo momento, un postevertical de 1m de altura en San Luis proyecta una sombra de 0.174m.San Luis est 1096 km al sur de Susques (medido con el Google Earth).Calcular con estos datos el radio de la tierra (Eratstenes hizo esteclculo entre Siena y Alejandra 200 aos antes de Cristo).

166. Graficar la curva paramtricax = cos 2ty = sen t

, 0 t


La vertical en el croquis 1 es el eje de la tierra. La recta que formacon ella un ngulo es la perpendicular al plano orbital. Uno puedeimaginar que a su izquierda es de da y a su derecha es de noche. Las lneashorizontales en este croquis son el ecuador y la rbita de la ciudad. R esel radio de la Tierra y r el radio de la rbita, que es funcin de R y de lalatitud . Si uno calcula h, se traslada al segundo croquis, donde el crculorepresenta la rbita de la ciudad, y puede determinar . El sector de esarbita que queda sumido en la noche, corresponde a un ngulo central de180o + 2.

Algunos ejemplos de latitudes:

Buenos Aires 34o 36Baha Blanca 38o 43San Luis 33o 18Paris 48o 51Ushuaia 54o 48

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