Cap16 func trigon

Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas

368

16

16.1 ANGULO 16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO 16.3 FUNCIÓN TANGENTE 16.4 VALORES DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS

16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.


369

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo. Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general. Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son

identidades o no. Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.

16.1 ÁNGULO.

ÁNGULO es la abertura que existe entre 2 semirectas que tienen un punto común de

intersección. Esquemáticamente tenemos:

16.1.1 PATRÓN DE MEDIDA

La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad de rotación que tiene que realizar el lado

inicial para coincidir con el lado terminal.

Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.

La medida de un ángulo se la expresa en:

GRADOS (patrón referencial); y/o

RADIANES (patrón de números reales)

Se lo puede denotar de la siguiente manera

También se suele emplear letras del alfabeto griego


370

Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:

π=180 Radianes

A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos:

GRADOS RADIANES

30 6π

45 4π

60 3π

90 2π

150 6

5π 180 π 210

67π

270 2

3π 300

35π

330 6

11π 360 π2 135 120 225 315

16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo.

Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.

Completar

Note que aquí la variable independiente “ x ” representa a un ángulo

En cada posición de giro del radio vector (ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica el valor del COSENO y la ORDENADA indica el valor del SENO. ¿POR QUÉ?


371

Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos:

CONCLUSIONES:

IRxDomxDom == )(cos)(sen

Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.

Sus gráficas presentan SIMETRÍA.

El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=−

El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =−

Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T .

Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =±

Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =±

Son FUNCIONES ACOTADAS.

π

ππ

π

ππ

ππ

2sen02

3sen1

sen0

22

3

2sen1

0sen0sen

2

0

=

=

=

−

=

=xx

π

ππ

π

ππ

ππ

2cos12

3cos0

cos1

22

3

2cos0

0cos1cos

2

0

=

=

=−

=

=xx


372

Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )(

Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir:

1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x

OPCIONAL Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales

serían las características de las gráficas de: xy sen2= .

Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡

)sen( 6π−= xy . Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ

)2sen( xy = .

Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden

ser generalizadas de la siguiente forma:

))(sen( Φ±= xAy ω donde Tπω 2

= entonces ωπ2

=T

))(cos( Φ±= xAy ω Ejercicios Propuestos 16.1 GRAFIQUE: 1. 1)2sen(2 3 +−= πxy 2. )sen( xy −= 3. xy sen=

4. 12sen2 3 +−= πxy

5. 1cos 3 −−= πxy

16.3 FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente se define como xxxy tg

cossen

==

Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es decir en ,...2,1,0;

2)12( =−±= nnx π


373

CONCLUSIONES:

=−±−= ,...2,1,0;

2)12()(tg nnIRxDom π

IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada

Es una función periódica, con período π=T . Entonces Tπω =

Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=− En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω

OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 16.2

GRAFICAR: 1. xy 2tg= 2. 2tg xy =

3. )tg( 3π+−= xy

4. )2tg(2 3π−= xy

5. xy tg=

6. 2tg xy =


374

16.4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS.

Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora.

Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.

x xsen xcos xtg 0 0 1 0

306=

π 21

23

33

454=

π 22

22

1

603=

π 23 2

1 3

902=

π 1 0 ∞

180=π 0 1− 0 270

23

=π 1− 0 ∞

3602 =π 0 1 0

La trigonometría está íntimamente ligada a la geométrica. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° empleamos un triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras sería de mucha ayuda.

16.4.1 Teorema de Pitágoras


375

En todo triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma del

cuadrado de las longitudes sus catetos.

Es decir: 222 bac += 16.4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo

rectángulo Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:

sen Hipotenusa

opuestoLadox = cax =sen

cosHipotenusa

adyacenteLadox = cbx =cos

tgadyacenteLadoopuestoLadox =

bax =tg

También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:

COSECANTE : ac

xx ==

sen1csc

SECANTE:

bc

xx ==

cos1sec


376

COTANGENTE: ab

xx ==

tg1cot

16.4.3 Funciones trigonométricas para los ángulos 45 ,

30 y 60 . Para 45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.

Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que 211 22 =+=c


377

Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual

medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l

Ejercicio resuelto

La operación ( )

45cos45sen30sen45tg4

60csc30tg260sen 2 +−−+ da como

resultado: a) 4

9 b) 49− c) 1 d) 0 e) -1

SOLUCIÓN: Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:

49

41233

434

632

43

42

2114

23

332

43

22

22

2114

3233

223

12

11

2

12

−=−=−=−

///+=

=

//

+−−

⋅+=

+−−

+

/

RESPUESTA: Opción "b"

2145sen = ó

2245sen =

2145cos = ó

2245cos =

145cos45sen45tg =°°

=

⇒

2130sen =

2360sen =

2330cos =

2160cos =

33

3130tg == 360tg =


378

Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo siguiente:

1. Regla del cuadrante:

Cuadrante x I 20 π<< x )()( xfxf =

II ππ << x2 )()( xfxf −±= π

III 23 ππ << x )()( π−±= xfxf

IV ππ 23 2 << x )2()( xfxf −±= π

El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:

2. Regla de los signos

Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg I 20 π<< x + + + II ππ << x2 + - -

III 23 ππ << x - - + IV ππ 23 2 << x - + -

Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los

respectivos cuadrantes son:

Donde

tgsec,csc,tgcos,sen,c

f==


379

Ejemplo 1

Para calcular 135sen , debemos considerar que: 1. En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.

2. 2245sen)135180sen(135sen ==°−°=

Ejemplo 2

Para calcular 210cos , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.

2. 23)30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−=

Ejemplo 3 Para calcular °300tg , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa. 2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−=

Ejercicios Propuestos 16.3 Calcular:

1. °120cos 2. °150tg 3. °225sen 4. °240tg 5. °315cos


380

Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la

función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores.

Ejemplo 1 Para calcular °405sen , debemos considerar que:

( )

22405sen

45sen405sen45sen360405sen405sen

=

=⇒=−=

Ejemplo 2 Para calcular °1125tg , debemos considerar que:

11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°= Ejemplo 3 Para calcular °480cos , debemos considerar que: 1. °=°−° 120cos)360480cos( . 2. 2

160cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=° Ejercicios propuestos 16.4

Calcular: 1. °1080cos 2. °495tg 3. °1050sen

Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes métodos:

1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− , xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera

semejante a lo que ya se ha explicado.

2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=−

Ejemplo Para calcular )30sen(− , podemos considerar que: 2

130sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que, 2

1330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°−


381

16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier valor de x .

Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a la función coseno, tenemos que:

1cossen 22 =+ xx ¿POR QUÉ?

De aquí, al despejar tenemos que:

xx 22 cos1sen −=

xx 22 sen1cos −=

Además se puede demostrar que:

De aquí se deriva que:

Si hacemos xy =

yxyxyx sencoscossen)sen( +=+

yxyxyx sencoscossen)sen( −=−

yxyxyx sensencoscos)cos( −=+

yxyxyx sensencoscos)cos( +=−

yxyx

yxyxyx

tgtg1tgtg

)cos()sen()tg(

−+

=++

=+

yxyxyx

tgtg1tgtg)tg(

+−

=−

xxx cossen22sen =

−

−

−

=

xx

xxx

2

2

22

sen211cos2

sencos2cos


382

Si hacemos 2xx = en 1cos22cos 2 −= xx y en xx 2sen212cos −= ; y luego

despejamos, entonces resulta que:

Ejercicio resuelto 1

Calcular )75sen( SOLUCIÓN: Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+

( )4

13221

22

23

22

30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen(

+=

+=

+=+=


Al simplificar la expresión: ( )xxxx

sen1coscossen1 2

+−+ se obtiene:

a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0 SOLUCIÓN : Reemplazando la identidad xx 22 cossen1 += en la expresión dada, tenemos:

xxx

xxxx

xxxxxx

xxxx

tgcossen

)sen1(cos)1(sensen

)sen1(coscossencossen

)sen1(coscossen1 2222

=

=

++

=

+−++

=+−+

RESPUESTA: opción "c"

2cos1

2cos xx +

±=

2cos1

2sen xx −

±=


383


¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que: xA

AA

A 2sen1

cossen1

cos=

−+

+

se convierta en una identidad? a) Acsc c) Asen e) Acos b) AA cossen d) Atg

SOLUCIÓN: Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:

AxAAx

AAx

xAAA

xAAAAAAAA

xAAAAAA

xAA

AA

coscos

coscossen1

2)sen1)(sen1(

cos2

2)sen1)(sen1(

cossencossencoscos

2)sen1)(sen1(

)sen1(cos)sen1(cos

2sen1

cossen1

cos

2

2

=

=

−=

/=

−+/

=−+

++−

=−+

++−

=−

++

RESPUESTA: Opción "e"

Ejercicios Propuestos 16.5

1. La expresión xxcxcx

tgtgtgtg

−+ , es idéntica a:

a) x2csc b) x2sec c) x2sen d) x2cos e) x2tg

2. Una expresión idéntica a x

xxx2

2

cos11cossen2sen

−

−+ es:

a) xx cossen + c) x2cos1− e) xx cos2sen − b) xsen2 d) 1cos2 −x

3. La expresión x

xx

xsen

cos1cos1

sen ++

+ es equivalente a:

a) xsec21 b) xtg3 c) xcsc2 d) xcos e) xc tg4

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

+

4cos8 πx ?

a) ( )xx sencos2 − c) ( )xsen12 + e) ( )xcos12 − b) ( )xx cossen2 − d) ( )xx cossen2 +

5. La expresión: 2

csctg1

sencos2

−+

αα

ααc

es idéntica a:

a) αtg2 b) -1 c) αtg2 c d) 1 e) αtg


384

6. Una expresión idéntica a x

xxx2

2

sen11sencos2sen

−

−+ es:

a) xx cossen + b) x2sen1− c) xsen2 d) xx cos2sen − e) 1sen2 −x 7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?

a)

=−2

cossencos 22 xxx b) xx 22 sec1tg −=

c)

=+2

cos2cos1 2 xx d) xxx cossen2sen2 =

e)

π+=

2cossen xx

Misceláneos 1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:

a) 21

35cos =π

b) 33

67tg =π

c) π= 8cos0cos

d) 63 cossen ππ =

e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀

2. La expresión xxxx

2cos2sen12cos2sen1

−+++ es IDÉNTICA a:

a) xsen b) xcos c) xsec d) xcot e) xtg

3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+

b) 2

2 SenxCosyxSen =

c) xSenxCos 22 1+=

d) x

xxSen2cos1

2+

=

e) xSenxCosxCos 222 −=

4. El valor de ∆ para que la expresión x

x

x cos

sen11tg

=

−

+∆ sea una IDENTIDAD es:

a) xcos b) xsec c) xsen d) x2cos e)1

5. La expresión xxxx

2cos2sen12cos2sen1

−+++ es idéntica a:

a) xsen b) xcos c) xtg d) gxcot e) xsec

6. El valor de la expresión: 12

3cot1

4cos

6sen

4cos

6sen

−

π+

π+

π

π−

π

es:


385

a)31

− b) 12− c) 3− d)123

− e)123

7. SIMPLIFICANDO xx

xxcos2sencos4cos3 3

−−

, se obtiene:

a) xx cossen + b) xcos21− c) 1sen2 +x d) xsen2 − e) xx sencos −

8. La expresión xxx

x coscossen1tg

++ es idéntica a:

a) tg x b) tg x +1 c) ctgx d)ctgx - 1 e)1

9. La expresión 2

tg1cscsec

++

xxx es IDÉNTICA a:

a) x2cot b) x2sec c) x2csc d) x2sen e) x2cos

10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a: a) xsen− b) xcsc c) xcsc− d) xsen e) xcos−

11. El VALOR de

60cot.45tg

30sec.60tg.45sen , es:

a) 6 b)3

32 c)3

7 d) 32 e)3

1

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