Cap29

LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 30deJunhode2004, as4:21a.m.

ExercıciosResolvidosdeTeoria EletromagneticaJasonAlfr edoCarlson Gallas

ProfessorTitular deFısicaTeorica

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaSEGUNDA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

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Conteudo

29 Cir cuitosEletricos 229.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

29.2.1 Trabalho,energiaeFEM . . . . 229.2.2 Diferencasdepotencial. . . . . 229.2.3 Circuitosdemalhasmultiplas . 429.2.4 Instrumentosdemedidaseletricas 729.2.5 CircuitosRC . . . . . . . . . . 9

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29 Cir cuitosEletricos

29.1 Questoes

Q 29-1.� Nao. O sentidoconvencionalda fem e sempredoterminalnegativo parao terminalpositivo dabateria,in-dependentementedosentidodacorrentequeatravessaabateria.

Q 29-4.� Para medir a fem useum voltımetro com uma re-sistenciaelevadae ligue os terminaisdo aparelhoaosterminaisdabateriasemnenhumoutrocircuito conec-tadoa bateria.Paramedira resistenciainternadabate-ria, utilize umapequenaresistenciaemseriejuntamentecomumamperımetro(tambememserie).A seguirmecaa ddp � atravesdosterminaisdabateriae a corrente� ,quepassano circuito serie considerado.Calculea re-sistenciainternadabateriamediantea seguinterelacao:

�� 29.2 ProblemaseExercıcios

29.2.1 Trabalho, energia e FEM

E 29-2.

Uma correntede � A e mantidanum circuito por umabateriarecarregavel cujafem e de � V, durante� minu-tos. De quequantidadediminui a energia quımica dabateria?� A energiaquımicadabateriae reduzidadeumaquan-tidade�� , onde� eacargaquepassaatravesdelanumtempo�� minutose � e a femdabateria.Se �for a corrente,entao �� e

�� !�#"%$& '��$( !� min$*) �,+ segmin -� ., /.102.3+54167

Note quefoi necessario convertero tempode minutosparasegundosparaasunidadesficaremcorretas.

P 29-4.

Uma determinadabateriade automovel cuja fem e de.�8 V tem umacarga inicial de .�85+ A 9 h. Supondoqueadiferencadepotencialentreseusterminaispermanec¸aconstanteatequeabateriaestejacompletamentedescar-regada,porquantashoraselapoderafornecerenergianataxade .:+;+ W?� Se < e a taxacoma quala bateriaentregaenergia e�� e o tempo,entao ��=�><?�� e a energia entreguenumtempo�� . Se � eacargaquepassaatravesdabate-ria notempo�� e � eafemdabateria,entao ��@�� .Igualando-seasduasexpressoespara� eresolvendo-separa�� , temos

��A� ��< � B.38,+ A 9 h$( B.38 V $.3+,+ W��.&CD C horas

29.2.2 Diferencasdepotencial

P 29-5.

Na Figura29-18, �DE#�F.38 V e �HGI�KJ V. Qual e o sen-tido da correnteno resistor? Quefem esta realizandotrabalhopositivo?Queponto, " ou L , apresentao maisaltopotencial?� O sentidodacorrenteeanti-horario,determinadope-lo sentidodafonte“resultante”defem: � res ��DEM��HGN�.�8%��J��C V.A fontequerealizatrabalhopositivo eaquetemo mes-mo sentidoda fonte “resultante”;nestecasoe a fonte� E . Setivessemosmaisfontesno circuito, todasasquetivessemo mesmosentidoda fonte “resultante”e quefariamtrabalhopositivo.Chamandode �DO e �DP o potencialnoponto " e L , res-pectivamente,temos,pela“regradafem”, aoir doponto" aoponto L passandoatravesdasfontes

� ORQ .38#�SJI�@� PNTouseja � O �?� P �K�UCWVX+ To queimplicaser �MP�Y��DO .

E 29-8.

Suponhaqueasbateriasna Fig. 29-19ao lado tenhamresistenciasinternasdesprezıveis.Determine:(a) a cor-renteno circuito; (b) a potenciadissipadaem cadare-sistore (c) a potenciade cadabateriae sea energia efornecidaouabsorvidaporela.



� (a) Seja � a correnteno circuito e suponhamosqueela sejapositiva quandopassamosdadireitaparaa es-querdade Z�E . Usandoa lei de Kirchhoff dasmalhas:�DE[��Z#G\��Z�E[��HG]��+ . Ou seja

�^� �DE_�2�HGZ EAQ Z G � .�8 V �� VC_` Q Ja` ��+D � A O fato de termosobtido um valor positivoparaa cor-renteindica queo sentidoarbitradoinicialmentefoi osentidocorretodacorrente.

(b) A potenciadissipadapeloresistorZ1E e

< E �� !+7 b� A $ G cC_`U$��d. W Tenquantoquea dissipadapeloresistorZ#G e

< G �� !+7 b� A $ G 'Ja`U$��@8 W (c) Se � representara correntequepassaatravesdeumabateriacom � defem,entaoa bateriaforneceenergia aumataxa <F�K�� desdequea correntee a fem estejamnamesmadirecao. A bateriaabsorve energia a umata-xa <>�K�� sea correntee a fem estiverememdirecoesopostas.Para �7E apotenciae

< E �� '+D � A $& �.�8 V $�� W

e para�HG elae

<eG%�� '+D � A $& '� V $a��f W Nabateria. acorrenteestanamesmadirecaoqueafemdemodoqueestabateriaforneceenergiaparao circuito.A bateriaestadescarregando-se.A correntenabateria8flui nadirecaocontrariada fem, demodoquea bateriaabsorveenergia. Portanto,elaesta carregando-se.

E 29-9.

Umabateriadeautomovel comumafemde12V eumaresistenciainternade +D +;+5CN` estasendocarregadacomumacorrentede �5+ A. (a) Qualadiferencadepotencialentreseusterminais?(b) A quetaxaaenergiaestasendodissipadacomocalornabateria?(c) A quetaxaa ener-gia eletricaesta sendoconvertidaem energia quımica?(d) Quaissao asrespostasdos itens(a), (b), (c) quan-do a bateriae usadaparasuprir �5+ A parao motor dearranque?� (a)

�W� � �� .�8#�X g�5+*$( '+D +,C*$A�K.3+ Volts

(b)

< � � G � g�5+*$ G !+7 +5Ch$^��.:+;+ Watts (c)

< � �i�� .38;$( g�5+;$A�@�,+;+ Watts (d) Parecem-seserasmesmas.Mas achoquenao en-tendia questao...Naoparecefazersentidoperguntar-seisto. Pensar...

E 29-10.

Na Figura 29-20 o potencialno ponto < e de .:+;+ V.Qualeo potencialnoponto j ?� Precisamosdeterminarprimeiramenteo sentidoe ovalor da correnteno circuito, paraentao poderdeter-minar a quedade potencialdevida a cadaumadasre-sistencias.O sentidodacorrentee aqueleimpostopelabateriamaisforte: a de .3�5+ V: sentidoanti-horario. Ovalor da correntee obtido usandoa lei dasmalhas,deKirchhoff. Partindodo ponto j e seguindono sentidoanti-horariotemos:

.��5+a�k8l�h�k�5+a�Wf,�M��+ T ouseja �A�@8,+ A Tendoestevalor, partimosnovamentedo ponto j nosentidoanti-horario,descobrindofacilmenteque

�Dm Q .3�,+#�S8�085+I�n�DoqpK.3+,+ V Portanto � m �d��.3+ V Sugestao: refaca o problemaindo de j para < , poremaplicandoa lei de Kirchhoff das malhasno sentidohorario. Sera quesuasrespostasfinaispoderaodepen-derdosentidoescolhido?

E 29-11.

Na Fig. 29-21,o trechode circuito "]L absorve �,+ Wdepotenciaquandoepercorridoporumacorrente�^�d.A no sentidoindicado. (a) Qual a diferenca de poten-cial entre" e L ? (b) O elementor naotemresistenciainterna.Qualea suafem?(c) Quale asuapolaridade?� (a) Como <K��DOsP , temos:

� OsP � < � � �,+ W. A�n�5+ Volts



(b) Chamando-sede t umpontoqualquerquefiqueen-tre o resistorZ eo elementor , temos

�MOsu��@�DO2�?�Du��Zv�d. A 08�`X�@8 Volts Portantoa femdoelementor sera

�w�@�MOsP?�?�DOsu��,+1�S8��C;J Volts (c) Subtraiaesome� u aovalorde � O �?� P obtendo

�MOw�?�MPx y{z |}�~ �@�MOw�?�Mux y{z |G Q �MuX�S�MPx y(z |4�� Portanto�Mu�YF�DP , ou seja,o terminal L e o terminalnegativo.

P 29-15.

(a) Na Fig. 29-23,quevalor deve ter Z paraquea cor-renteno circuito sejade . mA? Considere�DE��8 V,�HG%�nf V e lE]��:G#�nf#` . (b) Comquetaxaa energiatermicaapareceem Z ?� (a) Supondoqueumacorrente� circulanocircuitonosentidoanti-horarioeaplicandoalei dasmalhasnosen-tido horario, a partir de um ponto“a” localizadoentreosdoisterminaispositivosdasfontesdefem,obtemos

��%�2�HG Q ��:G Q ��Z Q �glE Q �7E�� 3G Q ��lE Q ��Z � �HG\�2�DE B.:+H��:$& 'f Q f;$ Q .:+H��&Z � f1�?81��..:+ �� Z � +7 �,�,CZ � �,�,C%`# (b)

<��]�� G Zn�� B.:+ �� $ G !�,�5Ch$A��D �,C�0�.:+ �M4 Watts P 29-20.� (a) Sendo� a correnteno circuito, a ddp na bateria. e � E ��q�� E e paraquesejanula e precisoque� E ��^�� E . A lei deKirchhoff dasmalhasdiz-nosque8l�?�X�� E �X�� G �X��Z��+ . Substituindo-se��=��l E

nestaexpressaonosforneceZv�� E �� G .(b) Como Z temqueserpositivo, precisamoster �E�Y:G . A ddp atravesda bateriacom a maior resistenciainternapodeseranuladaatravesde umaescolhaapro-priadade Z . A ddpatravesdabateriacoma menorre-sistenciainternanaopodeseranulada.

P 29-22.

(a) Na Fig. 29-5a,mostrequea taxana quala energiae dissipadaem Z comoenergia termicae um maximoquandoZ��= . (b) Mostrequeestapotenciamaximavale <K�� G �H cC;5$ .� (a) A correntenocircuito e dadapelarelacao

�A� � Q Z Comelavemosquea expressao <� !Z1$ queda a energiatermicaliberadaemfuncaode Z e:

<� 'Z�$�� G Zn� � G Z c Q Z�$ G Para encontraro valor procuradode Z vamosprocu-rar o ponto maximo da curva <� 'Z�$ . O ponto de in-flexaode <� !Z�$ eobtidocomoraizdaprimeiraderivada:� <]� � Zv��+ . Ouseja,daequac¸ao

� <� Z � � G c Q Z�$ G � 8l� G Z ' Q Z�$ �� G c Q Z�$ �� Q Z��?85Z%��+D Destaequac¸ao ve-sefacilmentequea raiz procuradaeZF�� . NOTA: paragarantirquea potenciasejareal-mentemaximae precisoaindainvestigar-sea segundaderivadade <� 'Z�$ ! Faca isto.

(b) A potenciamaximaliberadae:

<� 'Zv��5$a�� G �� G c Q 5$ G � � GC;

29.2.3 Cir cuitosdemalhasmultiplas

E 29-29.

NaFig. 29-24determinea correnteemcadaresistore adiferenca depotencialentre � e � . Considere�DE%�v� V,� G �@� V, � � ��C V, Z E �K.3+,+]` e Z G �@�,+%` .� Aplicandoa Lei dasMalhas,no sentidoanti-horario,nasduasmalhasindicadasobtemos:

�DE[��HG\�2� � ��G&Z#G�� + T�U�BE�Z�E Q �HG�� + Thttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de12


quefornecem

�BE�� HGZ E � �.3+,+ ��+D +*� A

��G�� 1�?�#�2C�5+ ��N+7 +,� A Note que � G tem sentidocontrario ao que foi arbitra-do inicialmente no problema. Para encontrarmosadiferenca de potencialentreos pontos � e � computa-mosasquedasdetensaodesde� ate � :

�M� Q C Q ��n� � Deondedescobrimosque: �M�%�?� � �� Volts.

E 29-33.

Duaslampadas,umade resistencia Z E e a outradere-sistencia Z G , Z E Y�Z G estaoligadasa umabateria(a)em paraleloe (b) em serie. Que lampadabrilha mais(dissipamaisenergia)emcadacaso?� (a) Seja� a fem dabateria.Quandoaslampadassaoconectadasemparaleloa diferenca depotencialatrevesdelase a mesmae e a mesmaquea fem dabateria.Apotenciadissipadapela lampada. e <^ER�� G �5Z1E e apotenciadissipadapelalampada8 e �MGW�� G �lZ#G . Co-mo Z1E e maior que Z%G , a lampada8 dissipaenergia aumataxamaior do quea lampada. , sendoportantoamaisbrilhantedasduas.(b) Quandoas lampadassao conectadasem serie acorrentenelase a mesma. A potenciadissipadapelalampada. e agora < E �� G Z E e a potenciadissipadapelalampada8 e < G �@� G Z G . Como Z E e maiordo queZ G , maispotenciaedissipadapelalampada. doquepe-la lampada8 sendoagoraa lampada. a maisbrilhantedasduas.

E 29-35.

Novefiosdecobredecomprimento� ediametro�

estaoligadosemparaleloformandoum unicocondutorcom-postoderesistenciaZ . Qualdeverasero diametrot deum unico fio de cobrede comprimento� , paraqueeletenhaa mesmaresistencia?� DeacordocomaEq.15doCap.28,a resistenciados9 fios juntose

ZK�¡ ��," � ��5¢ � G �lC Tonde " e a areadecadafio individual.A resistenciadeum fio unicoequivalente,commesmocomprimento� e

Z#£U� �¢it G �lC ParaquetenhamosZ��Z £ vemosquee precisoter-set��f � , quee a respostaprocurada.

P 29-39.

Dispoe-sede um certo numerode resistoresde .:+¤` ,cadaum delescapazde dissiparsomente . W. Quenumeromınimodetaisresistoresprecisamosdispornu-ma combinac¸ao serie-paralelo,a fim de obtermosumresistorde .3+%` capazdedissiparpelomenos� W?� Dividaosresistoresem ¥ gruposemparalelo,sendocadaumdestesgruposformadoporumarranjoemseriede ¦ resistores.Comotodosos resistoressao iguais,aresistenciaequivalentee.Z total

� ¥¦iZ Comodesejamosque Z total �KZ , precisamosescolher¦��¥ .A correnteemcadaresistoreamesmaetemosumtotalde ¦ G deles,de modoquea potenciatotal dissipadae< total ��¦ G < , sendo< apotenciadissipadaporapenasum resistor. E pedidoque < total Y§�,< , onde <¨��.W. Portanto,precisamosque ¦ G sejamaior que � . Omenornumerointeiro satisfazendoestacondicaoe f , oqueforneceo numeromınimoderesistoresnecessarios:¦ G �� , ouseja,tresramosemparalelo,cadaramocon-tendotresresistoresemserie.

P 29-40.� (a) Estandoconectadasemparalelo,naoapenasaddpsobreasduasbateriase a mesmacomotambema cor-rente� (positivaparaa esquerda)quecirculapor elase,portanto, 8l� a correntequecircula em Z . A regra dasmalhasnosfornece��2��#�S85��Zv��+ , demodoque

�A� � Q 8,Z A potenciadissipadae

<d�� G Zn� � G Z c Q 8,Z1$ G O valor maximo e obtido colocando-seigual a zero aderivadade < emrelacaoa Z :� <� Z � � G c Q 85Z�$ G � C;� G Z c Q 85Z�$ � � �

G '%�?85Z�$ c Q 8,Z�$ � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5 de12


Destaultima expressao verificamosque < tem um va-lor extremo(quetantopodeserum maximoquantoummınimo),paraZv��,�58 .ParaverificarqueparaZK��,�,8 o valorde < realmentee maximo,voce aindaprecisacalcular

� G <]� � Z G e ve-rificar quetal derivadae negativa para Z��§5�,8 . Naodeixe de conferir e, principalmente,perceberbemquenosproblemasdemaximoe mınimo, e sempreimpres-cindıvel o calculodasegundaderivadaantesdesepoderafirmaranaturezadassolucoes.(b) A taxa maxima de dissipaçao de energia e obtidasubstituindo-seZv��5�,8 naexpressaodapotencia:

< max � � G ,�,8 g8l5$ G � � GJ5 P 29-46.

Na Fig. 29-33, �DEv��f V, �HGd�©. V, Z�EK��` ,Z#GS��8�` , Z � ��Cª` e asduasbateriassao ideiais.(a) Qual e a taxadedissipaçaodeenergia em Z�E ? EmZ#G ? Em Z � ? (b) Qual e a potenciadabateria . ? e dabateria8 ?� (a) Usandoalei dasmalhasea lei dosnosobtemososistemade tresequaçoesenvolvendoastresincognitas� E , � G e � � :

�7E_�� Z � ��E(Z1E�� + T�hG Q ��G&Z#GU��E(Z1E�� + T� � � � EAQ � G Resolvendoestasequaçoes,encontramos:

� E � �DE(Z%G Q �HG&Z �Z�E{Z#G Q Z1E(Z � Q Z#G&Z � � �.3� A T��G�� E Z E �2� G 'Z E�Q Z � $Z�E{Z#G Q Z1E(Z � Q Z#G&Z � �

f.3� A T� � � �DEl 'Z�E Q Z%G3$^��hG:Z1EZ E Z G_Q Z E Z � Q Z G Z � � J.3� A

A potenciadissipadaemcadaresistore

< E �� G E Z E � +D f,C;� W T< G �� GG Z G � +D +*�5+ W T< � �� G� Z � � +D b«5+,� W (b) As potenciasfornecidassao:

<AE�� Q � � �DEU�K.; 8,�,f W<�G�� X��G(�HG]�K�N+D ¬.��5J W

O resultadoparaa segundafontee negativo poisa cor-rente ��G percorre-ano sentidocontrario ao sentidodesuafem.Observeque .; 8,�,f��+D f,C;� Q +7 +;�5+ Q +7 /.3�,J , comode-veriaser.

P 29-50.� (a) O fio decobree a capadealumınio estaoconec-tadosem paralelo,de modoque a ddp sobreelese amesmae,portanto,

��Z#q��O^Z%O Tonde o subındice ‘C’ refere-seao cobre e ‘A’ aoalumınio. Para cadaum dos fios sabemosque Z®� h¯ �(" , ouseja,

Z �° ¯¢i� G T Z O � O ¯¢� !� G �S� G $ Tquesubstituidasem ��Z#q��O^Z%O fornecem

�� G � ��O O� G �S� G Resolvendo estaequaçao juntamentecom a equaçao�^�� Q � O , onde� e a correntetotal,obtem-se

�� G �� !� G �S� G $ wQ � G O��O � g� G �S� G $ �� !� G �S� G $ wQ � G O Numericamente,encontramosparao denominadoro va-lor de f7 /.:+�0�.:+ � E } `q9:¥ � , e

��?��., /.,. A T ��OS��+D J;�,f A (b) Considereo fio de cobre. Sendo �±�±.�8 Volts addp,usamosa expressao

��AZ%q� � ¯¢i� G Tdeondeobtemos

¯ � ¢i� G �� Z �d.38,� metros P 29-51.� Primeiro, devemos obter uma funcao Z1E, c²�$ que

forneca o valordaresistenciadopedaço de Z ~ queestaem paralelocom Z , bem como Z#G, c²�$ , que forneca a



resistenciado pedac¸o restantede Z ~ , de modoquete-nhamossempreZ ~ p³Z�El '²�$ Q Z#G, c²�$ , qualquerquesejao valorde ² .O enunciadodo problemainformaquea resistencia Z ~euniforme, istoe,varialinearmentede + a Z ~ . Portanto,

Z�El c²�$´� ²¯ Z ~ TZ#G, c²�$´� Z ~ �SZ1E, c²�$a�§);.U� ²¯ - Z ~ T

onde ² deve sermedidonamesmaunidadeque ¯ , porexemplo,emcentımetros.Chamando-sede ZNµ o paralelode Z com Z E temosZNµ��¶Z#Z E �7 'Z Q Z E $ e, consequentemente,a re-sistenciaequivalentetotal Z]· docircuito e

Z · ��Z µ Q Z#G]��Z µ Q�¸ .U� ²¯�¹ Z ~ Comoa correntefornecidapelabateriae a mesmacor-rentequepassatantoatravesde Z#G quantodo paraleloZ µ , vemosfacilmentequea diferenca depotencial �Mºsobre Z (que obviamentecoincidecom ��E sobre Z�E )podeserobtidadarelacao

�� Z · � � ºZ µ �� EZ µ $ Touseja,

� º � Z µZ · �� A potenciapedidae entao:

<eº � � GºZ� .ZK» �eZ#Z�E&�7 'Z Q Z�E($ �.U��²�� ¯ $BZ ~ Q Z1Z1E:�H !Z Q Z1E&$�¼

G Tque,simplificada,forneceo resultadofinal

< º � .3+,+;Z� '�i²��5Z ~ $ G B.:+;+,ZI�lZ ~ Q .3+5²��² G $ G Tonde² devesermedidoemcentımetros.

P 29-52.

A Fig.29-11a(pg.143)mostra.38 resistores,cadaumderesistencia Z , formandoum cubo. (a) DetermineZ1E � ,a resistenciaequivalenteentreasextremidadesda dia-gonal de uma face. (b) Determine Z1EB½ , a resistenciaequivalenteentreasextremidadesdadiagonaldo cubo.(Vejao Exemplo29-4,pg.143.)

� (a) Ao aplicar-seumaddp entreos pontos . e f , o‘truque’ e perceberquetemosos pontos 8 e C no mes-mopotencial,bemcomoospontos� e J estaonomesmopotencial.Portantoo circuitopodeserdistorcidodemo-doafazertaispontoscoincidirem,semquetal distorcaoaltereascorrentes......Longoscalculos....:Z E � ��f,ZI��C .(b) Ao aplicar-seumaddpentreospontos. e « , o ‘tru-que’ e perceberquetemosos pontos C e � no mesmopotencial,bemcomoos pontos f e � estao no mesmopotencial.Portantoo circuitopodeserdistorcidodemo-doafazertaispontoscoincidirem,semquetal distorcaoaltereascorrentes......Longoscalculos....:Z E�½ �@�5ZI�l� .29.2.4 Instrumentos demedidaseletricas

P 29-56.

Qual e a corrente,em termosde � e Z , indicadape-lo amperımetro " na Fig. 29-41? Suponhaque a re-sistenciadoamperımetrosejanulaeabateriasejaideal.� Chamemosdea o terminalpositivo dabateria,deb oterminalnegativo, dec o terminaldo amperımetroqueesta ligadoentre 85Z e Z e, finalmente,ded o terminaldoamperımetroqueesta ligadoentreZ e Z .Chamemosde ��E a correntequeflui atravesde 8,Z dea parac. Analogamente,de ��G a correntefluindo de aparad. Finalmente,chamemosde ��O a correntequefluiatravesdoamperımetro,indoded parac. Assim,a cor-rentedec parab sera �BE Q ��O , enquantoquea correnteded parab sera ��G%�q��O . Estasinformacoesdevemsercolocadassobrea Figurado problema,parasimplificaro usodalei dasmalhas.Verifiquequea correntequesaie queentranostermi-naisda bateriatem o mesmovalor, � EUQ � G , comonaopoderiadeixardeser.Da lei dasmalhas,aplicadaaoscircuitosbacbe badbobtemosduasequac¸oesindependentes:

�� 8,Z%�BE Q Z� '�BE Q ��OA$� Z#��G Q ZW '��G\��OA${ Alemdisto,temosque

�M�(¾©� 8,Z#��E�M�(¿À� Z#��G5 Porem, como a resistencia do amperımetro (supostoideal aqui) e nula, sabemosque �DO¨pÁ��¾�¿��Â+ , ouseja,que

�M�(¾[p@��(¿; http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de12


Estastresultimasequaçoesimplicamtermos

��GN�n8l�BEque,substituidonaexpressaoacimapara�M� � nospermi-tedeterminarque � E �n8l��7 g«5Z1$ e que,finalmente,

��O2� �«5Z P 29-58.� A correnteem Z G e � . Seja � E a correnteem Z E e

suponha-aparabaixo. De acordocoma lei dosnos,acorrentenovoltımetroe �s�w� E , parabaixo.Aplicandoalei dasmalhasno laco daesquerdaobtemos

��Z%G\��BE{Z�E[��g��+D Aplicandoa mesmalei no laco dadireitatemos

�BE(Z1E[�� c�e�2�BE&$�Z�Ãq��+D Resolvendoestasequaçoesencontramos

�� Z�E Q Z1ÃZ1Ã � ElTquequandosubstituidanaprimeiradasequaçoesacimafornece-nos

�� !Z EaQ Z Ã $& 'Z G_Q l$Z1Ã ��E Q Z�E[�BEU��+ Touseja

� E � �ÄZ�Ã 'Z E�Q Z Ã $( 'Z G_Q 5$ Q Z E Z Ã A leiturano voltımetrosera,portanto,��E(Z1E , quee dadapor

'f7 + V $& !�7 +W0�.:+ � $( g8,�,+;$ !f,+,+ Q .:+;+;$& !8,�,+ Q �H +�02.3+ � $ Q g8,�5+*$( g�H +�0�.:+ � $expressaoestaquenosforneceo valor

�BE{Z�E�� ., /.38 Volts A correntenaausenciadovoltımetropodeserobtidadaexpressaode �BE{Z�E no limite Z�Ã?ÅÇÆ :

�BE{Z�EU� �ÄZ EZ�E Q Z%G Q � 'fD + V $( !8;�5+#Ù$8,�,+%` Q f;+,+]` Q .:+;+]`� ., /.3� Volts

O errofracionale

Erro � ., /.3�%�X., /.38., /.3� ��+D +;f,+ Touseja,f1È .

P 29-63.A pontedeWheatstone. NaFig.29-44ajustamoso valorde Z1É ate queos pontos � e � fiquemexatamentecomo mesmopotencial. (Verificamosestacondicao ligan-do momentaneamenteum amperımetrosensıvel entre �e � ; se estespontosestiveremno mesmopotencial,oamperımetronaodefletira.) Mostreque,aposessaajus-tagem,a seguinterelacaoe valida:

Z#Ê��@Z É Z GZ�E � Chamandode ��Ë a correntequepassade Z E para Z Ge de � ¿ a correntequepassade Z É para Z%Ê , temos,su-pondo� � �@�M� :��Ë*Z E �� ¿ Z É e ��Ë*Z G �� ¿ Z#Ê7 Portanto,darazaoentreestasduasexpressoesencontra-moso resultadopedido.� Procedimentosugeridopor um aluno: Seja �BE a cor-renteem Z�E e Z%G econsidere-apositivaquandoapontarnadirecaodoponto“a” aopassarpor Z�E . Seja��G acor-renteem Z1É e Z Ê , considerando-apositiva quandoelaapontarnadirecaodoponto“b” aopassarpor Z#É . Comestaconvencaoaregradamalhasfornece 'Z�E Q Z%G3$��BE_�X !Z Ê Q Z1É($��G]��+7 gÌ,$Comoos pontos“a” e “b” estao no mesmopotencial,temos �BE{Z�E��Í��G:Z#É . Esta ultima equaçao nos da��G��>�BE{Z�E3�lZ1É , quequandosubstituidanaequaçao (*)acimaproduz

'Z�E Q Z%G3$h�BEN�d !Z Ê Q Z1É{$ Z EZ%G ��El dondetiramosfacilmenteZ Ê ��Z1É�Z%Gl�lZ�E .P 29-64.

Seospontos� e � naFig. 29-44foremligadospor umfio deresistencia , mostrequea correntenofio sera

�A� �a 'Z1É_��Z Ê $ !Z Q 8l5$( !Z É�Q Z%Ê*$ Q 8,Z É Z#Ê Tonde � e a fem da bateriaideal. Suponhaque Z1E��Z#G#�nZ e que Z ~ �v+ . Estaformulae consistentecomo resultadodoProblema63?e do56?�



29.2.5 Cir cuitosRC

E 29-66.

Quantasconstantesdetempodevemdecorreratequeumcapacitoremumcircuito Z�r estejacarregadocomme-nosde . % desuacargadeequilıbrio?� A equac¸aoqueregea cargadeumcapacitore

�1�nr#�a B.N��Î]Ï,ÐÑ*Ò $��nr#�a B.U��ÎeÏ,ÐÓ $onde Ô e a constantedetempo.A cargadeequilıbrio eatingidapara��vÆ , valendoentao ��r#� . Portanto

.3+,+#�Õ..:+,+ r#�2�nr#�a B.U��ÎeÏ,ÐÓ $ Touseja, Ö/× � .U��+D �;�l�M�d�UCM �;+;�1�K�U��lÔ , fornecendo

��CM �;+;�^Ô7 E 29-68.� (a) Bastaigualar-seasduasexpressoesparaa carga

numcapacitor:

�À� r�� r#� ) .U��Î � ·'Ø�Ù - T

deondetiramosque

��?�� Î;� ·'Ø�Ù Touseja

� �Ô � ln ) .�8#�S�.38Ú- � ln«.38Û �N+D �,f,�D

Destaexpressao,para�A��., fI0.3+ ��Ü segundos,encon-tramos Ô�� ., f�02.3+ ��Ü+7 b�5f;� Û 8H CD.�8\Ý s (b)

rd� ÔZ � 87 CM.38�02.3+ ��Ü.��0�.:+ � �@+7 /.:�D.%0S.3+ ��Þ F P 29-69.

Um capacitorcomumadiferencadepotencialde .:+;+ Ve descarregadoatravesdeum resistorquandoumacha-ve entreelese fechadano instante��+ . No instante

��.3+ s a diferenca de potencialatravesdo capacitore . V. (a) Qual e a constantedetempodo circuito? (b)Qual e a diferenca depotencialatravesdo capacitornoinstante��K.l« s?� (a) A diferenca depotencial� atravesdasplacasdocapacitorestarelacionadaacarga � naplacapositivape-la relacao ��,�,r , onde r e a capacitancia.Comoacarga em um capacitorquesedescarrega e controladapor ��d� ~ Î � ·'Ø�Ù , onde � ~ e a cargano instante�U��+ eÔ e aconstantedetempo,istosignificaque

�� '�B$a�� ~ �*� ·'Ø�Ù Tonde � ~ p�� ~ �5r e a diferenca depotencialexistentenoinstanteinicial. Portanto

Ô��d� �ln !�[�5� ~ $ �� .3+

ln � .l�h.:+;+l� Û 87 ¬.l« s (b) Para ��d.l« s, ��Ô��d.l«,�,8H /.�« Û «h J,f e obtemos

��n� ~ Î � ·'Ø�Ù �� B.:+;+;$HÎ � ½&ß �� Û f7 �,�W0�.:+ � G V P 29-71.

Um capacitorde .]Ý F comumaenergia inicial armaze-nadade +7 b� J e descarregadoatravesde um resistorde. M ` . (a) Quala carga inicial no capacitor?(b) Qualo valor dacorrenteatravesdo resistorno momentoemquea descarga inicia? (c) Determine�M , a voltagematravesdo capacitor, e �Mº , a voltagematravesdo resis-tor, emfuncaodotempo.(d) Expresseataxadegeracaodeenergiatermicano resistoremfuncaodo tempo.� (a) A energia armazenadanum capacitore àA³�� G~ �H g8,r�$ , onde r e a capacitanciae � ~ e a cargainicialnaplaca.Portanto

� ~ ��á 8;rIà � á 87 B.�02.3+ ��Ü F$& '+7 b� J$� .�0�.:+ �� C� . mC (b) A cargaemfuncaodotempoe �� ~ Î � ·'Ø�Ù , ondeÔeaconstantedetempo.A correnteeaderivadadacargaemrelacaoaotempo:

��d� � �� ~Ô Î;� ·'Ø�Ù [O sinalnegativo enecessariopoisacorrentededescar-gaflui nosentidoopostoaosentidodacorrentequefluiuduranteo processodecarga.]



A correnteinicial e dadapelaexpressaoacimano ins-tante�A��+ : � ~ �@� ~ ��Ô . A constantedetempoe

Ôk�@Z�rv�� .I0�.:+ ��Ü F$( �.�0�.:+ Ü Ù$��d. s Portanto � ~ � .�0�.:+ �� C. s

��. mA (c) Substitua�1�@� ~ Î � ·cÙ em �Mq��,�,r obtendoentao

�D] c�B$a� � ~r Î;� ·'Ø�Ù � .�02.3+ �� C.�02.3+ ��Ü FÎ,� ·'Ø&â E sã

� �.�0�.:+;�:$^Î;� · V Tonde� e medidoemsegundos.Substitua�^�� '� ~ �lÔD$HÎ � ·'Ø�Ù em � º ��Z , obtendo

�DºU '�B$´� � ~ ZÔ Î;� ·'Ø�Ù� B.I0�.:+ �� C$& �.�0�.:+ Ü Ù$ B. s$ Î � ·'Ø&â E sã� B.I0�.:+ � $HÎ � · V T

com � medidoemsegundos.(d) Substitua�A�� !� ~ ��ÔD$HÎ � ·'Ø�Ù em <d�� G Z , obtendo

<� c�B$´� � G~ ZÔ G Î,� G ·'Ø�Ù� �.�0�.:+ �� C$ G B.�02.3+ Ü Ù$ B. s$ G Î � G ·'Ø&â E sã� �.3$7Î � G · W T

novamentecom � medidoemsegundos.

P 29-72.

Um resistorde f M ` eumcapacitorde .UÝ F estaoliga-dosemum circuitodeumaunicamalhacomumafontedefem com ��@C V. Apos . s defeitaa ligacao,quaissaoastaxasnasquais:(a) a cargado capacitoresta au-mentando;(b) a energia esta sendoarmazenadano ca-pacitor;(c) aenergiatermicaestaaparecendonoresistore (d) a energiaesta sendofornecidapelafontedefem?� (a) A carganaplacapositivadocapacitore dadapor

��r#� » .U�SÎ � ·'Ø�Ù ¼ Tonde � e a fem da bateria, r e a capacitancia,e Ô e aconstantedetempocapacitiva. O valorde Ô e

Ô��@Z�rv�� 'fW0�.:+ Ü Ù$( �.�02.3+ ��Ü F$��@f s

Para �A�d. s temos

�Ô � . sf s Û +D f;f,fea taxacomaquala cargaesta aumentandoe� �� r#�Ô Î;� ·'Ø�Ù � B.�02.3+ ��Ü F$& cC V $f s

Î;� ~ ß ��Û �D �;��02.3+H� ½ C/s

Observe que ‘Coulombs/segundo’ e a definicao deAmpere,aunidadedecorrente.(b) A energiaarmazenadanocapacitoredadapor àA?�� G �H g8,r�$ esuataxa decargae� à � � � �r

� �� Para �A�d. s temos

�¶� r#� » .U�SÎ � ·'Ø�Ù ¼� �.�02.3+ ��Ü F$( 'C V $ » .U��Î � ~ ß �� ¼Û ., /.:f�0�.:+ ��Ü C T

demodoque� à�� ) ., /.:f�0�.:+ ��Ü C.�0�.:+ ��Ü F - '�D �;��02.3+H� ½ C/s$Û ., +,J�0�.:+7��Ü W

(c) A taxa com a qual a energia esta sendodissipa-da no resistor e dadapor <��´� G Z . A correntee�D �;��02.3+ � ½ A, demodoque

<K�� '�D �;��0�.:+ � ½ A $ G 'fW0�.:+ Ü Ù$ Û 8H ä«�CW0�.:+ ��Ü W (d) A taxacoma quala energia e fornecidapelabateriae

��w�d !�7 b�,��0�.:+7� ½ A $& cC V $ Û fD J*8�0�.:+7��Ü W A energia fornecidapela bateriae ou armazenadanocapacitorou dissipadano resistor. O princıpio daconservacaodaenergiarequerque

�g�w� � à�_� � � Q � G Z� http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina10 de12


Os valoresnumericosacimasatisfazemo princıpio deconservacao,comosepodeverificarfacilmente.

P 29-78.

No circuitodafigura abaixo,�2�K.; 8 kV; rd��7 b�%Ý F;Z�E��Z#Gª�§Z � ��+D b«5f M ` . Com r completamentedescarregado,a chave å e subitamentefechada( �a�n+ ).(a) Determineascorrentesatravesdecadaresistorpara��+ e ��nÆ . (b) Traceumgraficoquedescrevaquali-tativamenteaquedadopotencial� G atravesde Z G desde�%��+ a �]�FÆ . (c) Quaissaoosvaloresnumericosde� G em ��=+ e ��æÆ . (d) De o significadofısico de��nÆ nopresenteproblema.

� (a) Em ��+ o capacitoresta completamentedes-carregadoe a correnteno ramo do capacitore a queterıamosseo capacitorfossesubstituidofor umfio con-dutor. Seja� E acorrenteem Z E ; tome-apositivaquandoapontaparaadireita.Seja� G a correnteem Z G , positivaquandoapontarparabaixo. Seja � � a correnteem Z � ,positivaquandoapontarparabaixo.Usandoa lei dosnose a lei dasmalhasobtemos

Lei dosnos ç ��EU��G Q � � TMalhaesquerdaç ��2�BE{Z�E[��G(Z%G#��+ T

Malhadireita ç ��G:Z%GN�2� � Z � �@+7 Como todasas resistenciassao iguais, podemosdes-prezaros subındices,escrevendoapenasZ , onde Z�pZ�EN��Z#G%��Z � .A ultima dastresequaçoesacimanosdiz que � � �§��Gresultadoque,substituidonaprimeiradasequaçoesaci-ma,nosda � G �� E �,8 . Comisto tudo,naoedifıcil agorausar-seaequaçaodomeioparaobter-seque

�BE[� 85�f,Z � 87 �.; 8�0�.:+ � V $fM '+7 ä«lf�0�.:+ Ü Ù$ Û ., /.�0�.:+ �� A

e,consequentemente,que

� G �� f;Z � ., b8�0�.:+ � VfD '+D b«5f�0�.:+ Ü Ù$ Û �7 ��0�.:+ �M4 A

Em ��nÆ o capacitorestara completamentecarrega-do sendoportantozero a correnteno ramoquecontemo capacitor. Entao ��EU��G e a lei dasmalhasfornece

��E{Z1E[��G&Z#G]��+ To quenosfornecea solucao

�BEU��GN� �85Z � ., b8�02.3+ � V87 !+7 ä«lf�02.3+ Ü Ù$ Û J7 b8�02.3+H�M4 A (b) Considerea placasuperiordo capacitorcomosen-do positiva. Isto e consistentecom a correntequeflui em direcao a estaplaca. As leis dos nos e dasmalhassao �BEd��G Q � � , �n�d�BE{Z��d�BE{Zè�´+ , e�I !�,�5r�$]�� Z Q ��G(Z¡�Ç+ . Use a primeiraequaçaoparasubstituir�BE nasegundaeobter �ª�28l��G(Z��w� � Zn�+ . Portanto ��G§� c�K�� Z�$��H g85Z�$ . Substituaes-ta expressao na terceiraequaçao acimaobtendoentao�I !�,�5r�$\�d '� � Z�$ Q c��,8,$\�d '� � ZI�58,$��¨+ . Substituaagora� � por

� �,� � � obtendo

� � �� Äé f,Z8

� �� Q �r � � 8 Comonao e difıcil de reconhecer, estae a equaçao deumcircuito Z�r emserie,excetoqueaconstantedetem-po e Ô?�>f,Z�r1�58 e a diferenca depotencialaplicadae�^�58 . A solucaoe,portanto,

�H '�B$�� r#�8 » .U�SÎ � G ·'Ø&â � ºs ã ¼ A correnteno ramoquecontemo capacitore

� � '�B$a�� f,Z Î;� G ·'Ø(â � ºs ã

A correnteno ramodocentroe

��G, c�B$�� 85Z � � �8 � �85Z � ��,Z Î;� G ·'Ø(â � ºs ã� ��,Z » f1�SÎ � G ·'Ø(â � ºs ã ¼

enquantoquea diferenca de potencialao atravessar-seZ#G e

� G c�B$a�� G Zv� � ��» f1��Î � G ·'Ø&â � ºs ã ¼ Graficode �MG; '�B$ : faca-ovocemesmo,usandoaequaçaoacima!! E umacurvaquepartedovalor ê5G%��lf , cres-cendoassimptoticamenteparao valor ��,8 .(c) Para ��n+ , o fatorexponencialÎ � G ·'Ø&â � ºs ã e iguala. e � G � � f � .; 8�0�.:+ � Vf ��C;+;+ V



Para ��vÆ , o fatorexponencialÎ � G Ø&â � ºs ã e zeroe

� G � � 8 � ., b8�02.3+ � V8 �@�,+;+ V (d) O significadofısicode“tempo infinito” e um certo

intervalo de temposuficientementegrandeparaquesepossaconsiderarcomosendozeroo valor da correntequecirculano ramocontendoo capacitor. Tal intervalodetempodeverasermuitasvezesmaiorqueaconstantedetempocaracterısticadocircuitoemquestao.


Cap29

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