Cap2_MovRect.pdf

FISICA I

Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui

2. MOVIMIENTO RECTILINEO.En este movimiento la trayectoria que describe el mvil es una lnea recta. En este

caso consideraremos nuestro sistema de referencia en el punto o sobre la trayectoria

rectilnea y la posicin del mvil puede describirse en trminos de una sola

coordenada.

Figura 3.1

En el instante de tiempo t0 el mvil se encuentra en el punto A y su posicin esta dada

por la coordenada X0.En el instante de tiempo cualquiera t el mvil se encuentra en un punto cualquiera B y

su posicin esta dada por la coordenada X.

VELOCIDAD MEDIA ( mV )

La velocidad media o promedio en el movimiento rectilneo es una cantidad escalar.

En el tramo AB de su trayectoria la velocidad media de la partcula es:

tx

ttxxV

0

0m =

= (2.1)

VELOCIDAD INSTANTANEA (V)La velocidad instantnea de la partcula en el punto B se puede calcular haciendo el

intervalo de tiempo t lo ms pequeo posible. Es decir calculando la velocidadmedia para un instante de tiempo y en un punto determinado de la trayectoria del

mvil.

txlimVlimV

0tm0t ==

Pero esta es la definicin de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es

dtdxV = (2.2)

ACELERACION MEDIA )( maLa aceleracin media en el movimiento rectilneo es una cantidad escalar que se

puede calcular de la siguiente forma en el tramo AB

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tV

ttVVa0

0m =

= (2.3)

2.4. ACELERACION INSTANTANEA. )(aLa aceleracin instantnea en el movimiento rectilneo es una cantidad escalar que se

puede calcular haciendo 0t .

tVlimalima

0tm0t ==

Pero esta es la definicin de la derivada de V con respecto al tiempo; esto es

dtdva = (2.4)

Problema 2.1.

La posicin de un mvil est dada por 62 0.1t4.8t2.17x(t) += , donde x se da en

metros y t en segundos. Obtenga su posicin y aceleracin en los instantes que tiene

velocidad cero.

Solucin:

Sabemos: 562 0.6t9.6t)0.1t4.8t(2.17dtd

dtdxv =+==

45 3t9.6)0.6t(9.6tdtd

dtdva ===

Para v=0-, 2st00.6t9.6t 5 ==

Para = 2st 14.97mx = ; 38.4m/sa =

Problema 2.2.La aceleracin de un cuerpo en funcin del tiempo, que se mueve a lo largo de una

lnea recta est dada por: a = 4 2t + 6t2, donde a se da en m/s2 y t en segundos.

Encontrar las expresiones de la velocidad y el desplazamiento en funcin del tiempo,

suponiendo que para t=3s, v=2m/s y x=9m.

Solucin:Considerando como condiciones iniciales: t0 = 3 s, V0 = 2 m/s, x0 = 9 m.

Sabemos:

tdvda =

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==

=

=

t

3st

V

2m/sV 00

dtadV

dtavd

Resolviendo la integral:

( ) ( )3232t3

32

t

3

2

2(3)34(3)2tt4t3

6t2

2t4t2v

dt)6t2t(42v

++=

+=

+=

5524 32 += tttV

La posicin x del mvil en cualquier instante de tiempo t, se puede calcular:

ttt

st

x

x

ttttdttttVdtdx

dtVdxdtdxV

3

432

3

32

3

554

232

4)5524(00

+=+==

=

=

=

Luego:

5.11523

2

)3(554)3(2

3)3(

2)3(4

232

432

0

432432

0

+=

+

+=

tttxx

tttxx

Del grafico, el desplazamiento del mvil est dado por d = (x-x0) Finalmente:

5.11523

243

2+=

tttd

Problema 2.3.Un cuerpo tiene un movimiento rectilneo de acuerdo con la siguiente

relacin: 53 23 = ttx . Estando x en metros y t en segundos. Cul es eldesplazamiento del cuerpo mientras la velocidad vara de 9m/s a 45m/s.

Solucin:La velocidad del mvil est definida por:

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dtdxV =

Luego;

)53( 23 = ttdtdV

)1(63 2 = ttVLa ecuacin (1) es la velocidad del mvil para cualquier instante de tiempo t.

Si en el punto A de la trayectoria del mvil, su velocidad es smVA /9= , en la

ecuacin (1):

0320963

63963

2

2

2

2

=

=

=

=

AA

AA

AA

AAA

tt

tt

tt

ttV

)2(3 = st ASi en el punto B de la trayectoria del mvil, su velocidad es smVB /45= , en la

ecuacin (1):

015204563

634563

2

2

2

2

=

=

=

=

BB

BB

BB

BBB

tt

tt

tt

ttV

)3(5 = stBReemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin de la posicin con respecto al

tiempo ( 53 23 = ttX ), tenemos:

mxx AA 55)3(3)3( 23 ==mxx BB 455)5(3)5( 23 ==

Luego el desplazamiento entre los puntos A y b de l trayectoria rectilnea del mvil es:

)5()45( mmxxd AB ==md 50=

Problema 2.4.La aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo se define mediante la

relacin: a = - KV3/2. La partcula en t=0; X=0; parte con una velocidad inicial V0

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a) Demostrar que la magnitud de la velocidad y de la posicin en cualquier instante t

se relacionan mediante la ecuacin: 0vvtx

=

b) Determinar el valor de K. Sabiendo que V0=100 m/s y la partcula se detendr al

recorrer 5m

Solucin:a) Sabemos:

dtadVdtdV

a

=

=

Del problema:

dtKdVV

dtVKdV

=

=

23

23

Integrando:

tKVV

VV2

KtV1

V12

Kt2V

Kt2

1V

dtKdVV

0

0

0

V

V

21

V

V

21

t

0t

V

V

23

0

0

00

=

=

=

=

=

=

Luego:

)1(20

0

=

VVVV

Kt

Luego tambin podemos hacer:

dxadVVdxdVV

a

dxdV

dtdx

dxdx

dtdV

a

=

=

=

=

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Integrando:

=

=

x

x

V

V

dxadVV000

Del problema reemplazando la aceleracin e integrando:

( ) xKVVxKV

xKV

dxkdVV

dxkVdVV

V

V

V

V

x

x

V

V

x

x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

0

21

21

0

21

0

23

2

2

21

0

0

00

00

Luego:

( ) )2(2 0 = VVKxDe la ecuacin (1) y (2), tenemos:

( )

=

0

0

0

2

2

VVVV

K

VVK

t

x

Finalmente:

0VVtx

=

b) Segn el problema para x0=0, V0=10 m/s, y para x=5m, V=0. Reemplazando en la

ecuacin (2):

( )001025 =K

Finalmente:2/12/14 = smK

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2.5. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU).En este movimiento la velocidad del mvil se mantiene constante durante toda la

trayectoria, y por lo tanto su aceleracin es cero.

Figura 2.2

Considerando el tramo AB de la trayectoria de un mvil con movimiento rectilneo

uniforme.

Por definicin de velocidad:

dtVdxdtdxV

=

=

Integrando:

= tt

x

x 00

dtvdx

Como la velocidad es constante (V = constante)

)tv(txx 00 =

Luego:

)tv(txx 00 += (2.5)

Es la ecuacin que nos da la posicin del mvil que se mueve con velocidad constante

en funcin del tiempo.

2.6. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.En este movimiento, el mvil se mueve en una trayectoria rectilnea con aceleracin

constante. Tambin es llamado movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV).

Figura 2.3

Considerando el tramo AB de la trayectoria de la partcula, donde el punto B es un

punto cualquiera de su trayectoria:

t0 : instante de tiempo en el punto A de la trayectoria de la partcula.

x0 : posicin de la partcula en el punto A.

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t : instante de tiempo cualquiera.

x : posicin de la partcula en un punto cualquiera.

Por definicin de aceleracin:

dtadvdtdva

=

=

Integrando entre los lmites dados por el tramo AB mostrado en la figura 4.3:

= tt

V

V 00

dtadv

Como la aceleracin es constante:

)ta(tVV 00 += (2.6)

La ecuacin (2.6) nos da la velocidad en funcin del tiempo para una partcula que se

mueve con aceleracin constante.

Luego, por definicin de velocidad:

dtVdxdtdxV

=

=

Integrando entre los lmites dados por el tramo AB mostrado en la figura (4.3):

= tt

x

x

dtVdx00

De la ecuacin (4.5):

[ ] += tt

00

x

x 00

dt)ta(tvdx

Luego:

( )2

tta)t(tvxx2

0000

++= (2.7)

La ecuacin (2.7) muestra la relacin de la posicin de la partcula en funcin del

tiempo.

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Tambin podemos hacer lo siguiente:

dVVdxadxdVVa

dxdV

dtdx

dxdx

dtdVa

=

=

=

=

Integrando:

= VV

t

t 00

dVVdta

Finalmente:

)t2a(tVV 020

2+= (2.8)

La ecuacin (2.8), relaciona la velocidad de la partcula con el tiempo.

Problema 2.5.Un avin recorre 280 m en una pista antes de despegar; parte del reposo, se mueve

con aceleracin constante y est en el aire en 8s. Qu rapidez en m/s tiene cuando

despega?

Solucin:Inicialmente t0=0; x0=0; v0=0 y antes de despegar t=8s; x=280m.

En la ecuacin (2.7):

( ) 222

20

000 8.75m/s(8s)2(280m)

t2xa

2tta)t(tvxx ===++=

En la ecuacin (2.6): 70m/sv0)-(8s8.75m/s0v 2 =+=

Problema 2.6.Un venado con aceleracin constante cubre la distancia de 70m entre dos puntos en 7

segundos. Su rapidez al pasar el segundo punto es 15m/s. a) Qu rapidez tena en el

primer punto? b) Qu aceleracin tiene?

Solucin:Consideremos en el primer punto x0=0; t0=0; y en el segundo punto x=70m; t=7s;

v=15m/s

De la ecuacin (2.6): )0000 t-a(tvv)t-a(tvv =+= (1)

En la ecuacin (2.7):( )

2tta)t(tvxx

20

000

++=

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De la ecuacin (1)

( ) ( )2tavt

2taat)(t)-(vx

22

=+=

22 1.429m/st

2xt

2va ==

En la ecuacin (1)

5m/ss)1.429m/s(715m/sv 0 ==

Problema 2.7.Un motociclista que viaja al este pasa por un letrero con aceleracin constante de

4m/s2. En t=0, est a 5m del letrero, movindose al este a 15m/s. a) Calcule su

posicin y velocidad en t=2s. b) Dnde est el motociclista cuando su velocidad es

de 25 m/s?

Solucin:Las condiciones iniciales son: t0=0, x0=5m, v0=15m/s

a) De las ecuaciones (2.7) y (2.6) para t=2s y a=4m/s2:

( ) 43m2

2s4m/s15m/s(2s)5mx22

=++=

23m/s(2s)4m/s15m/sV 2 =+=

b) De la ecuacin (2.6) con v=25m/s

2.5st4m/s(t)15m/s25m/s =+= . En la ecuacin (2.7):

( ) 55m22.5s4m/s)15m/s(2.5s5mx

22

=++=

Problema 2.8.Un tren en reposo parte de una estacin y acelera a 1.6 m/s2 durante 14 s, luego viaja

con rapidez constante 70 s y finalmente frena a 3.5 m/s2 hasta parar en la siguiente

estacin. Calcule la distancia total cubierta por el tren.

Solucin:En el primer intervalo 10 acelera a1=1.6 m/s2; t0=0; x0=0; v0=0; t1=14s


( ) 156.8m2

0)(14s1.6m/s002

tta)t(tvxx222

01101001 =

++=

++=

De la ecuacin (2.6): 22.4m/s0)-(14s1.6m/s0v)t-(tavv 2101101 =+=+=

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En el segundo intervalo 21 se mueve con velocidad constante; t1=14s; x1=156.8m;t2=84s; v2=v1=22.4m/s.

En la ecuacin (2.5);1724.8m1568m156.8mx

14s)-s22.4m/s(84156.8m)t(tvxx

2

12212

=+=

+=+=

En el tercer intervalo 32 desacelera a3=3.5 m/s2; t2=84s; x2=1724.8m; v2=22.4m/s;v3=0. En la ecuacin (2.6):

90.4s84s6.4sta

vvt)t-(tavv 23

32323323 =+=+

==


( )

1796.5m71.68m1724.8mx2

84)(90.4s3.5m/s84s).4s22.4m/s(90xx

2tta-)t(tvxx

3

22

23

2233

23223

=+=

+=

+=

Problema 2.9.En el instante en que un semforo se pone en luz verde, un auto arranca con

aceleracin constante de 3.2 m/s2. En el mismo instante, un camin que viaja con

rapidez constante de 20m/s alcanza y pasa al auto. a) A qu distancia de su punto de

partida el auto alcanza el camin? b) Qu rapidez tiene el auto en ese momento?

Solucin:a) El auto se mueve con aceleracin constante a=3.2m/s2 y t0 =0; x0=0; v0=0.

En la ecuacin (2.7):( )

2tta-)t(tvxx

20

000

+=

22 t1.6m/sx )(= (1)El camin se mueve con velocidad constante v=20m/s

En la ecuacin (2.5); )tv(txx 00 +=

t(20m/s)x = (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2): 12.5st =

Reemplazando en la ecuacin (1): 250mx =

b) De la ecuacin (2.6); con a=3.2m/s2 y t0 =0; v0=0; t=12.5s:

40m/s)ta(tvv 00 =+=

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Problema 2.10.Un conductor que viaja a velocidad constante de 15m/s pasa por un cruce de

escolares cuyo lmite de velocidad es de 10m/s. En ese momento, un polica en su

motocicleta que est parado en el cruce arranca para perseguir al infractor, con

aceleracin constante de 3m/s2. a) Cunto tiempo pasa antes de que el polica

alcance al infractor? b) A qu velocidad va el polica en ese instante? c) Qu

distancia total ha recorrido cada vehculo hasta ah?

Solucin:En el cruce t0=0, x0=0.

a) Para el conductor que se mueve con velocidad constante de la ecuacin (2.5).

(t)15m/sx =

Para el polica con aceleracin constante, a=3m/s2, v0=0, en la ecuacin (2.7)

( )2

t3m/sx22

=

De las dos ecuaciones anteriores: t=10s.

b) De la ecuacin (2.6), m/s(10s)3m/sV 2 30==

c) La distancia total recorrida por cada vehculo es: x=150m.

ProblemaUn meteorito se mueve en el espacio con movimiento uniformemente acelerado y

rectilneo. Su velocidad inicial es 7 m/s. En el instante t1 = 5 s su velocidad es 12 m/s y

en t2 = 9 s su velocidad es 16 m/s. Cul es su velocidad media en el intervalo de

tiempo comprendido entre esos dos tiempos (t1 y t2)?

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2.7. MOVIMIENTO VERTICAL.El movimiento vertical de un cuerpo sobre la superficie de la tierra es un movimiento

con aceleracin aproximadamente constante. La aceleracin con la que se mueven los

cuerpos en movimiento vertical es llamada la aceleracin de la gravedad y denotada

con g que tiene un valor aproximado de 9.8m/s2.

Despreciando la resistencia del aire (movimiento en el vaco) y la curvatura de la tierra

(alturas relativamente bajas).

Figura 4.4

La figura 4.4 muestra una partcula que esta subiendo verticalmente. Consideraremos

el punto O como nuestro origen del sistema de referencia y adems consideremos el

tramo AB de su trayectoria, donde:

t0: instante de tiempo en el punto A de la trayectoria de la partcula.

y0: posicin de la partcula en el punto A.

t : instante de tiempo cualquiera (punto B).

y: posicin de la partcula en un punto cualquiera (punto B).

V0: velocidad de la partcula en el instante de tiempo t0 (punto A)

V: velocidad de la partcula en el instante de tiempo t (punto B)

Como este movimiento es tambin un movimiento rectilneo uniformemente acelerado,

se puede demostrar:

2tgtVyy

2

00 += (2.9)

tgVV 0 = (2.10)

)y2g(yVV 020

2= (2.11)

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Problema 2.10.Se deja caer una piedra desde la azotea de un edificio. La piedra choca con el piso en

2.5s. a) Qu altura tiene el edificio? b) Qu magnitud tiene la velocidad de la piedra

justo antes de llegar al suelo?

Solucin:De la ecuacin (2.9) con t0=0; y0=0; v0=0; t=2.5s

30.63m2

(2.5s)9.8m/sy22

==

De la ecuacin (2.10) con

-24.5m/s(2.5s)(9.8m/s)v ==

Problema 2.11.Se deja caer una moneda desde una torre; parte del reposo y cae libremente. Calcule

su posicin y velocidad despus de 2s.

Solucin:De la ecuacin (2.9), con y0=0, t0=0, v0=0

De la ecuacin (2.10), con t0=0, v0=0

19.6m/s(2s)9.8m/sV 2 ==

Problema 2.12.Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio con una

velocidad de 15 m/s. Obtenga a) la posicin y la velocidad de la pelota 1s y 4s

despus de soltarla b) la velocidad cuando la pelota esta 5m sobre la azotea. c) la

altura mxima alcanzada.

Solucin:a) De las ecuaciones (2.9) y (2.10), con y0=0, t0=0, v0=15m/s.Para t=1s:

5.2m/s(1s)9.8m/s15m/sV 21 ==

Para t=4s

m/s(4s)9.8m/s15m/sV 24 2.24==

19.6m2

)2(9.8m/sy22

==

10.1m2

1s)(9.8m/s15m/s(1s)y22

1 ==

-63.4m2

s)(9.8m/s15m/s(1s)y22

4 ==4

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b) De la ecuacin (2.9) con y=5m

==2.68s0.38s

t2

t9.8m/s-15m/s(t)5m22

La velocidad cuando la pelota sube es: m/s(0.38s)9.8m/s15m/sV 2 3.11==

La velocidad cuando la pelota baja es: m/s(2.68s)9.8m/s15m/sV 2 3.11==

c) La altura mxima es cuando v=0, de la ecuacin (2.10)

1.53stto == )/8.9(/15 smsmEn la ecuacin (2.9)

11.5m2(1.53s)9.8m/s-s)15m/s(1.53y

22

==

Problema 2.12. (2.48)Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 40m/s.

Puede despreciarse la resistencia del aire. a) En qu instante de ser lanzada la

piedra est subiendo a 20m/s? b) En qu instante est bajando a 20m/s? c) Cundo

es cero el desplazamiento respecto a la posicin inicial? d) Cundo es cero la

velocidad de la piedra?

Solucin:a) De la ecuacin (2.10) con t0=0; y0=0; v0=40m/s; v=20m/s

)t-t(gVV 00 =

s04.2t)t(s/m8.9s/m4020m/s 2 ==

b) De la ecuacin (2.10) con t0=0; y0=0; v0=40m/s; v= - 20m/s

)t-t(gVV 00 =

s12.6t)t(s/m8.9s/m4020m/s- 2 ==

c) De la ecuacin (2.9) con t0=0; y0=0; v0=40m/s; y=0

2)t-t(g)t-t(Vyy

20

000 +=

s16.8t2

)t(9.8m/s)t(s/m400022

=+=

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d) De la ecuacin (2.10) con t0=0; y0=0; v0=40m/s; v=0 m/s

)t-t(gVV 00 =

s08.4t)t(s/m8.9s/m400 2 ==

Problema 2.43Se lanza un objeto hacia arriba desde la azotea de un edificio, a 12m del suelo, con

rapidez inicial de 5m/s. Para el movimiento desde el lanzamiento hasta el suelo, Qu

magnitud y direccin tienen a) la velocidad media del objeto? b) su aceleracin

media? c) cuantos segundos despus de ser lanzado toca el suelo el objeto? d)

Qu rapidez tiene el objeto justo antes de tocar el suelo?

Problema 2.44Un globo aerosttico sube verticalmente con una velocidad constante de 5m/s, se

suelta un saco de arena cuando el globo est a 40m sobre el suelo. a) Calcule la

posicin y velocidad del saco a 0.25s y 1s despus de soltarse. b) cunto tardara el

saco en chocar con el suelo? c) Con que rapidez chocara? d)Qu altura mxima

alcanza el saco sobre el suelo?

Problema 2.45Un estudiante lanza un globo lleno con agua, verticalmente hacia abajo desde un

edificio, con una rapidez inicial de 6m/s. a) Qu rapidez tiene despus de caer

durante 2s? b) Qu distancia cae en ese lapso? c) Qu magnitud tiene su velocidad

despus de caer 10m?

Problema 2.48Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba, con una rapidez inicial de 40m/s. a)

En qu instante despus de ser lanzada la piedra est subiendo a 20m/s? b) En

qu instante est bajando a 20m/s? c) Cundo es cero el desplazamiento respecto a

la posicin inicia? d)Cundo es cero la velocidad de la piedra?

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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. a) Una piedra cae desde un globo que desciende a una velocidad uniforme de 12

m/s. Calcular la velocidad y la distancia recorrida por la piedra despus de 10 s.

b) Resolver el mismo problema para el caso cuando el globo se eleva a la misma

velocidad. (4 puntos)

2. Un globo se eleva verticalmente con una velocidad constante de 5 m/s, abandona

un lastre en el instante en que el globo se encuentra a 30 m sobre el suelo. Al cabo

de cuantos segundos de ser abandonados el lastre, llegara a tierra? (4 puntos)

3. Un estudiante ocioso suelta una sanda desde una azotea y oye que la sanda se

estrella 5.00 s despus. Qu altura tiene el edificio? La rapidez del sonido es 340

m/s. Ignore la resistencia del aire.

4. Por el pozo de una mina caen gotas de agua a un intervalo constante de tiempo 1s.

Un ascensor que sube por el pozo de la mina con una velocidad constante de 30

pies/s es golpeado por una gota de agua cuando se encuentra a 300 pies por debajo

del nivel de la tierra cundo y donde golpeara al ascensor la siguiente gota?

5. Un automvil parte del reposo y recorre una trayectoria recta de 270 m. La

trayectoria recta de 270m. La trayectoria durante los tres primeros segundos tiene una

aceleracin constante, luego con la velocidad adquirida, (la aceleracin se hace cero)

el automvil se mueve durante 6 segundos ms, con lo cual completa su recorrido.

Hallar la aceleracin del mvil durante el primer segundo.

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