CAPÍTULO 3. VELOCIDAD

3.1 INTRODUCCIÓN.

Dado que el movimiento es inherente a las máquinas, las velocidades y

aceleraciones son muy importantes tanto en el diseño como en el análisis de los

componentes de las máquinas.

Velocidad es la relación entre el cambio de posición de un punto y el

tiempo invertido en tal cambio. Dado su carácter de magnitud dirigida, resulta tener

las propiedades inherentes a un vector.

Cuando se trata de un cambio discreto de posición, donde el tiempo no es

muy reducido, se denomina velocidad media. En cambio, si la medición se realiza en un

intervalo muy corto de tiempo tendiendo a cero, la velocidad resulta entonces

instantánea. En este curso la velocidad que se empleará será siempre esta última.

La velocidad de un punto puede ser absoluta o relativa, según que se

refiera a un punto o sistema fijo, en el primer caso; o a un punto o sistema móvil, en el

segundo. No es necesario que los sistemas de referencia estén completamente en

reposo, ya que esto ocurrirá muy pocas veces para determinar una velocidad absoluta.

Si los puntos que se suponen fijos de un mecanismo, generalmente unidos a una

estructura o armazón, se mueve porque la estructura lo hace, pueden considerarse

absolutas las velocidades de los puntos móviles del mecanismo con relación a sus

puntos fijos. Las velocidades, como ha quedado dicho, son magnitudes

vectoriales, y por ello, sometidas a sus conocidas reglas de adición y sustracción.

Supóngase un punto A con un movimiento plano en el plano XY, Fig. 3.1 que en el

instante inicial se encuentra en A, cuando t = t1 y pasará ocupar la posición A’,

cuando t = t2. Los vectores r y r’ que definen ambas posiciones, tiene de módulos r y r’.

1

El desplazamiento efectuado por el punto A se mide por el vector ∆r, que

como se ve, es ∆r = r’ - r y se admitirá que se trata de un desplazamiento elemental, lo

que equivale a considerar que el ángulo ∆θ es muy pequeño. A la vista de la Fig. 3.1 se

observa que:

∆a + ∆b = ∆r

donde los vectores ∆a e ∆b están indicados en el dibujo de la figura 3.1.

Cuando ∆θ 0, el ángulo α que forman los vectores ∆a e ∆b tiende a π/2.

La velocidad VA del punto A, queda

tb lim lim

t r lim

∆∆

+∆∆

=∆∆

=taVA

donde ∆t = t2 - t1. Ahora puede ponerse que

tudrt

a

t t u r lim

t

0t0tlim ∆=

∆∆

=∆∆

→∆ →∆

θθ (3.3)

ya que el límite la cuerda AB y el arco AB, cuando ∆θ tiende a cero, son ambos iguales.

A la relación (dθ/dt) se denomina velocidad angular y su unidad en todos los sistemas

es el rad/s y se suele utilizar la letra griega ω para su designación. Por su parte, ut es

un vector unitario perpendicular a r.

2

El segundo término de la ecuación (3.2), de forma análoga a la descrita

para el primero, puede desarrollarse para ∆t→0, siendo además ∆θ→0, verificándose

que

rudrtrrb

t u ' lim

t lim r ∆

=∆−

=∆∆

(3.4)

siendo en esta ecuación ur un vector unitario de la dirección de r. Sustituyendo (3.3) y

(3.4) en (3.2) resulta la velocidad del punto A

rtA udtdrurV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= )( ω (3.5)

que muestra que la velocidad del punto A tiene dos componentes ortogonales; la

primera, (rω) esta originada por el cambio de posición (giro) del vector r, y la segunda

(dr/ dt) debida al cambio del módulo del mismo vector de posición.

3.2 ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD

En esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando

las propiedades de sus componentes.

Sea un cuadrilátero articulado ABCD, mostrado en la Fig. 3.2, tal que la

manivela de entrada o impulsora AB (eslabón 1) gira con velocidad angular ω1. El punto

B tendrá una velocidad tangencial dad por

VB = ω1r1 (3.6)

y que será perpendicular al eslabón AB. Esta velocidad puede descomponerse en V’BC

y V“BC, de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del

acoplador BC (eslabón 2) y normal a éste. Es decir:

VB = V’BC + V“BC (3.7)

3

Como el punto B pertenece también al eslabón 2, que al igual que los

restantes es rígido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma

componente de la velocidad según la dirección BC. En particular, el punto C gozará de

tal propiedad. Ahora bien, el punto C también pertenece al eslabón 3 y ha de girar en

torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevando V’CB = V’BC y

trazando por el extremo de V’CB una perpendicular a BC, se obtiene VC.

La determinación de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse

de forma parecida. Descompóngase VB en dos componentes: una de la dirección BE y la

otra normal a ella. La componente V ’BE se traslada a E, ya que V’EB = V’BE, por ser BE

indeformable (el mismo eslabón 2).

De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente V’CE

paralela a la dirección CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE,

se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los extremos de los

vectores V’EC y V’EB, respectivamente a EC y EB. Como práctica podemos intentar

averiguar la a velocidad del punto E (Fig. 3.2).

4

Según las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará

a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por

ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es

siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC).

Aislando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente VB y VC

(Fig. 3.3) se transporta a C el vector VB. Como la proyección sobre BC de ambas

velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos

vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad

de B respecto a C mediante la notación VBC, se tiene

VBC = VB – VC (3.8)

Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. 3.3 es normal a BC. El giro de la barra BC

está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relación

a otro del mismo eslabón. Si se hubiese hallado la velocidad relativa VCB, ésta sería de

sentido opuesto a la encontrada VBC.

La velocidad angular ω2, con que el eslabón 2 está girando con relación al

fijo 4, se obtiene siempre dividiendo el módulo de la velocidad relativa de un punto

extremo de la barra con relación al del otro extremo, por las distancia entre ambos

puntos.

5

Tal como se observa en la Fig. 3.3, ω2 es del sentido de la agujas del reloj

tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas VBC ó VCB y, por lo

dicho, su módulo es

BC

2

2 rVV CBCB ==ω (3.9)

Si, de forma análoga, se desea determinar la velocidad angular del

eslabón 3, al ser VC la velocidad absoluta de C y siendo VD = 0, VC es también la

velocidad relativa de C con respecto a D; esto es, VC = VCD. En consecuencia, la

velocidad angular ω3 (Fig. 3.2) resulta ser

CD

3

3 rVV CCD ==ω (3.10)

De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabón

del mecanismo.

3.3 CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN

Tal como sugirió Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se

pueden considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho

centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. Cuando un

eslabón está efectuando una traslación en un momento dado, su centro instantáneo de

rotación se encuentra en el infinito y en una dirección perpendicular al movimiento del

eslabón. Esto se denota fácilmente porque las velocidades de todos sus puntos son

iguales y sus vectores paralelos.

Imagínese un cuadrilátero articulado ABCD (Fig. 3.4), donde se han

determinado las velocidades VB y VC, tal como se describió en la sección anterior.

6

El eslabón 1 tiene un punto A fijo, luego el centro instantáneo de rotación

del eslabón 1, con relación al eslabón fijo 4 se indicará por la notación P14 y se

confunde con el punto A. Análogamente ocurre con el eslabón 3, y será P3D.

Por su parte, el punto B es la articulación de los eslabones 2 y 1; luego

P12 ≡ B. Por la misma razón P23 coincide con el punto C.

Debe observarse que, cuando se determina el centro instantáneo de

rotación con relación al eslabón fijo 4, las velocidades de sus puntos son normales a los

radios considerados. Así VB es normal a BA y VC lo es a CD.

Para hallar el centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al

eslabón fijo 4, bastará trazar por B y C sendas rectas perpendiculares a las

velocidades en tales puntos y su intersección proporcionará el punto P24. El eslabón 2

es como si en la posición mostrada en la Fig. 3.4 estuviera girando alrededor del punto

P24.

7

Si por el punto C se llevan las velocidades VC y VB se tiene un triángulo

CFE que es semejante al P24BC (por tener sus lados homólogos ortogonales) y, por lo

tanto, se puede escribir que:

BPCP

CECF

24

24= B

C

B

C

rr

VV

= (3.11)

de donde resulta que las velocidades (de los puntos B y C, en este caso) son

proporcionales a sus distancias respectivas al centro instantáneo de rotación (polo

P24). De aquí se deduce que el eslabón 2 está rotando alrededor de P24 con velocidad

angular

r

C

2B

BC

rVV

==ω (3.12)

El punto P24 centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al

eslabón 4, tiene la misma velocidad por ambos eslabones y por lo tanto, por ser fijo el

eslabón 4, resulta que el punto P24 no se mueve. Lo mismo ocurre respecto a

coincidencia de velocidades con los restantes centros encontrados y siempre estos

puntos representan la superposición de otros dos, uno de cada eslabón. Tales puntos

tienen gran utilidad para la localización de velocidades de otros puntos, pero ha de

tenerse en cuenta que tales polos de velocidades solo pueden emplearse en una

concreta posición del mecanismo, ya que un instante después estos puntos pueden ser

sustituidos por otros distintos, y de hecho generalmente lo son.

Por último, resta encontrar el centro de rotación del eslabón 3 con

relación al eslabón 1. Para determinarlo se supondrá realizada una inversión del

mecanismo de la Fig. 3.4, admitiéndose que el eslabón 1 es fijo; esto es, los puntos A y

B son las articulaciones unidas al bastidor del mecanismo.

Si B y A fuesen fijos, los puntos C y D tendrían velocidades normales,

respectivamente, a BC y AD, y sus rectas perpendiculares CB y AD se cortarían en el

punto P31 que es el centro instantáneo de rotación buscado.

8

El número de centros instantáneo existentes en un mecanismo con n

barras o eslabones vendrá dado por la expresión

2)1( −

=nnN (3.13)

que representaría las combinaciones binarias posibles entre eslabones.

Hay una regla práctica para la localización de centros instantáneos.

Obsérvese en la Fig. 3.4que están alineados los cuatro grupos siguientes de puntos

para un cuadrilátero articulado:

1) P31 P14 P34

2) P31 P21 P23

3) P24 P23 P34

4) P24 P21 P14

Conocidos 2 de los tres puntos de una alineación es posible encontrar al

tercero, ya que ha de estar alineado con los dos anteriores. Esta propiedad se

denomina regla de los tres centros o Teorema de Aronhold-Kennedy que dice:

“Cuando tres cuerpos cualesquiera tienen movimiento relativos plano sus

tres centros instantáneos (o centros de rotación relativa), están en línea recta”.

De otra forma podemos decir que en todo mecanismo cada grupo de tres

eslabones con tres centros con "parentesco" entre sí están situados sobre una misma

recta.

9

Fig. 2

Para demostrarlo, fijémonos en la figura-2 en la que representamos tres

cuerpos designados con los números 1,2 y 3, cada uno de ellos con movimiento plano. Si

suponemos que el cuerpo 1 es estacionarlo y el 2 y 3 están articulados a este, las

articulaciones 12 y 13 serán centros puesto que en ambos casos. la velocidad lineal

absoluta es la misma, en este caso cero. Supongamos que el tercer centro el 23

estuviese en la posición del punto A. Es evidente que en esta posición coinciden dos

puntos, uno de cada eslabón y cada uno de ellos tiene una velocidad lineal absoluta.

Pero veamos como son dichas velocidades. Hemos supuesto que el eslabón 2 gire al

rededor del punto 1, luego la velocidad del punto A como perteneciente a 2 será

perpendicular al radio 12-A. Así mismo la velocidad lineal de A como perteneciente al

eslabón 3 será perpendicular al radio 13-A, puesto que dicho eslabón gira alrededor de

13. Independientemente de cual sea su magnitud -que podría ser igual- está claro que

las direcciones de ambas velocidades no coinciden, luego el punto A no puede ser

centro de 23. Prescindiendo de magnitud, lo que queda claro es que para que las

direcciones de la velocidad del punto A con perteneciente al eslabón 2 y al 3 coincidan,

dicho punto A tiene que estar situado en la recta 12- 13 como queríamos demostrar.

10

3.4 DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS

Para localizar los CIR seguimos el siguiente método:

1) Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).

2) Determinar los inmediatos por simple inspección.

3) Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.

En la Fig. 3.6 muestra un mecanismo de biela-manivela donde se han

numerado los eslabones desde el 1 hasta el 4. Al disponer de 4 eslabones, el numero de

centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los

polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura)

y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente conocidos o inmediatos. Los

polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez

construida la figura.

Todos los centros instantáneo localizados en primera instancia se han

detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo

P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de

Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el

infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se

encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y

C y B, por otra.

1 1

Otro mecanismo de corredera está representado en la Fig. 3.7, que

dispone también de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos 1 y 2.

La construcción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la

figura y se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos P14, P34

y P23; restando encontrar otros tres polos más.

El polo P12, al ser el elemento 2 prismático que se desplaza por el eslabón

1, se encontrará en el infinito en la dirección ortogonal a la barra 1. El centro

instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las líneas definidas

por los polos P12 y P23, de un lado y P14 con P34, de otro.

El centro que resta, P24, se encuentra en la recta BC y en la perpendicular

por A al eslabón 1. De esta forma quedan establecidas las posiciones de todos los

centros instantáneos de rotación, y a partir de ellos cabe encontrar velocidades en

todo el mecanismo.

12

La Fig. 3.8 representa una cadena cinemática de 6 eslabonamientos y con

N = n (n - 1)/2 = 6 x 5 / 2 = 15 centros instantáneos de rotación, los cuales quedan

representados.

13

3.5 ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD CON EL EMPLEO DE LOS CENTROS

INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN

Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo

resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad

de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es

necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que

calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que

conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los

dos eslabones.

Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera

simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la

obtenemos en base a uno u otro eslabón.

Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:

1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:

a) El punto de velocidad conocida.

b) El punto de velocidad desconocida.

c) El eslabón de referencia o barra fija.

2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que

estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy.

3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos,

considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad

conocida.

4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya

velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del

eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro

punto del mismo.

14

• Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.

• Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.

3.6 CURVAS POLARES

Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas

por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con

respecto a otro.

La Fig. 3.9a muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones

del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma

velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que

tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar

fija, o base.

Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la

trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24

es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado,

otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneo y configurarán la curva

polar.

Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la Fig.3.9b,

se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el

mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen

tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el

polo de velocidades actual a tal posición.

15

3.7 POLÍGONO DE VELOCIDADES

Uno de los medios más eficaces y rápidos para el análisis de las

velocidades de un mecanismo lo ofrece el polígono de velocidades. Además, como se

verá en el siguiente capítulo, este método proporciona datos fundamentales para el

análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas.

La construcción de velocidades de forma gráfica realmente se funda en la

ecuación vectorial

VX = VA + VXA (3.14)

donde Vx es la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del

mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabón al que

pertenece X y por último, VXA es la velocidad relativa de X con respecto a A. como

quiera que la velocidad relativa Vxa es normal a la recta XA, el trazado de los polígonos

de velocidades se realizará por aplicación de las propiedades descritas.

16

En la Fig. 3.10 puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de

acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, así como las

velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB.

a) Cálculo de VC, VCB, ω2 y ω3. La ecuación (3.14)se escribirá para este

caso mediante

VC = VB + VCB (3.15)

Por un punto O cualquiera se lleva el vector VB y por su extremo se traza

una perpendicular a BC (dirección del vector VCB) y por O una recta normal a CD

(dirección de VC). Estas rectas se cortan cerrando el triángulo de los vectores

implicados en la ecuación (3.15), determinándose VC y VCB.

La velocidad angular ω2 se obtiene por aplicación de la expresión

BCV CB=2ω

y la velocidad angular ω3, se hallaría directamente por medio de

CDV C=3ω

b) Cálculo de VE, VEB y VCE. En esta ocasión la ecuación (3.14) se desdobla

en las dos siguientes

VE = VB + VEB (3.16)

VE = VC + VEC (3.17)

de las cuales son vectores conocidos VB y VC y de los vectores VEB y VEC son también

datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector

VE no se conoce ni dirección ni módulo.

17

Por el extremo del vector VB se traza una perpendicular a BE (dirección

de VEB)y por el extremo del vector VC se construye una recta normal a CE (soporte de

la velocidad VEC). Donde ambas rectas se encuentran (punto E’) se obtiene el extremo

del vector VE buscando. Los restantes vectores, VEB y VEC, forman los triángulos

correspondientes en los polígonos de velocidades para que se verifiquen las relaciones

(3.16) y (3.17), como puede comprobar el lector.

El triángulo E’B’C’ es semejante al EBC del acoplador, tal como se

evidencia de forma inmediata, ya que ambas figuras tienen sus lados respectivos

perpendiculares entre sí. Esta propiedad general tiene interesantes aplicaciones en el

análisis gráfico de velocidades.

3.8 ANÁLISIS ANALÍTICO DE LA VELOCIDAD

Cuando se realiza el estudio del mecanismo por el método analítico, en

general un eslabón vendrá expresado por un vector en forma compleja, tal como se vio

en el epígrafe 1.9.

R = Rejθ (3.18)

18

La velocidad puede determinarse mediante la deriva de (3.18) con

relación al tiempo.

R’ = Rejθ (jθ) + R’ejθ = jω Rejθ + R’ejθ (3.19)

donde: j = 1− , θ representa el ángulo que el vector R forma con el eje x (de sentido

contrario al horario), θ’ = ω, es la velocidad angular del vector R, y R, por último,

indica la derivada del módulo con relación al tiempo. Si el eslabón tiene el módulo

constante, R = 0, y la ecuación (3.2619) se simplifica a

R’ = jωRejθ (3.20)

Supóngase un mecanismo biela-manivela, del que se pretende encontrar la

velocidad del eslabón 3 (punto C) por el método analítico, supuesto conocido el valor

de la velocidad angular del eslabón 1, ω1, así como la posición θ1 .

Realizando el cierre de la cadena, tal como muestra la Fig. 3.11, se

observa que

(3.21)

→→→

=+ ACBCAB

19

Ahora se puede asignar en notación compleja a los vectores anteriores la

nomenclatura ya conocida,

(3.22) ( 0/ /22

11 ====

→→→θθθ RACeRBCeRAB

Jj )

y sustituyendo en la ecuación (3.21), queda la ecuación de cierre

R1ejθ1 + R2ejθ

2 =R (3.23)

Derivando la ecuación (3.23) con relación al tiempo, resulta

jω1R1ejθ1 + jω2R2ejθ

2 = R’ (3.24)

Sustituyendo las expresiones exponenciales por trigonométricas, queda

jω1R1(cosθ1 + jsenθ1) + jω2R2(cosθ2 + jsenθ2) = R’ (3.25)

que separando las partes real e imaginaria

ω1R1cosθ1 + ω2R2cosθ2 = 0 (3.26)

-ω1R1senθ1 - ω2R2senθ2 = R’ (3.27)

De la primera de estas ecuaciones se encuentra la velocidad angular ω2

122

112 cos

cos ωθθω

RR

−= (3.28)

Llevando este último valor a la ecuación (3.27), se puede encontrar la

velocidad del eslabón 3 en función de los parámetros conocidos

20

BC VsenRsenV2

1211

2

12

cos)(

cos)(

θθθω

θθθ −

=−

= (3.29)

El ángulo θ2 se determina por los métodos expuestos en el capítulo

precedente; aunque cabría emplear la relación

2

1

1

2

θθ senR

senR

= (3.30)

para establecer su valor en cada momento.

21