Captulo 3

Esttica de tluidos

Por definicin, un fluido debe deformarse continuamente cuando se Ie aplica un esfuerzo de cortede cualquier magnitud. La ausencia de movimiento relalivo (y, en consecuenci4 de deformacinangular) implica la ausencia de esfuerzos de cofe- Por tanto, los fluidos ya sea en reposo o enmovimiento de un "cuerpo rlgido", slo son capaces de soportar esfueros nomrales. El anlisisde los casos hidrostticos es, por tanto, mucho ms simple que el de fluidos sujetos a deformacinangular (vase seccin 5-3 .3).

La mera simplicidad nojustifica nuestro estudio de un tema. Las erzas normales transmitidaspor fluidos son importantes en muchas situaciones prcticas. Empleando los principios de lahidrosttic4 podemos calcular las fuerzas sobre objetos sumergidos,_desarrollar instrumentos paramedir presiones y deducir propiedades de la atrnsfera y de los ocanos. Es posible tambin, usarlos principios de la hidrosttica para determinar fuerzas generadas por sistemas hidrulicos enaplicaciones tales como las prensas industriales o los frenos de automvil.

En un fluido esttico y homogneo, o en un fluido somtido al movimiento de un cuerporfgido, una partlcula de fluido mantiene su identidad todo el tiempo. Puesto que no hay movimientorelativo dentro del fluido, un elemento de fluido no se deforma. Podemos aplicar la segunda leyde movimiento de Newton oaa evaluar la reaccin dc la oart{cula ante las fuerzas aolicadas.

3I LA ECUACIN BSICA DE LA ESTTrcA DE FLUIDOSNuestro objetivo primario es otrtener una ecuacin que permitir determinar el campo de presindentro de un fluido esttico- Par hacer esto, aplicamos la segunda ley.de Newton a un elementode fluido difeencial de masa dn = pd* , con lados &, dy y dz, como se muestra en la figura 3.1.El elemento de fluido es ftjo respecto al sistema de coordenadas rectangulares flio que se muesa.(Los fluidos en el movimiento de un cuerpo rlgido se tratan en Ia seccin 3-7.)

De nuestra discusin anterior, recuerde que pueden aplicarse a un fluido dos tipos generalesde fuerza: msicas y de superficie. La nica fuerza msica que debe considerarse en la mayor partede los problemas de ingenierla, se debe a la gravedad. En algunas situaciones pueden estar presenteslas fuerzas msicas que son producto de campos elctricos o magnticos, stas no se considerarnen el texto.

En un elemento de fluido diferencial, la fu erza msica" dFa , esdFp = p dn: p dv

3N LA ECUACIN BASICA DE LA ESTTICA DE FLUIDOS

o+fi!x*a"v-i

Flg, 3.1 Elemento dferBncial de fluldo y furas de presin en la diroccin y.

donde f es el vector de gravedad local, p es la densidad y d V es el volumen del elemento. Encoordenadas cartesianas d V : & dy dz, asl que

dFs : pl dx dy dz

En un fluido esttico no pueden presentarse esfuerzo\ de corte. Por consiguiente, la nicafuerza de superficie es la de la presin, siendo st4 una cantidad de campo,p : flr, z); la presinvara con la posicin dentro del fluido. La fuerza de presin neta que resulta de esta variacin,puede evaluarse mediante la suma de las fuerzas que actrlan sobre las seis caras del elemento defluido.

Seap la presin en el.centro, 4 del elemento. Para determinar la presin en cada una de lasseis caras del elemento, utilizaemos una expansin, de la serie de Taylor, de la presin en tomoal punto O. La presin en la cara izguierda del elemento diferencial es

.ap. ' ,

.apldy\ dpdyn. = n,- ._ryL_y)= p++l_+ l : p_ +_'- , , , ' dy-- dy\ t dy2

(Los trminos de orden mayor se omiten porque se vuelven cero en el proceso d lmitesubsecuente.) La presin sobre la cara derecha del elemento diferencial es

dpp*';,( * dv. do d't

R-y)= p+ ayLu fuenas que achlan en las dos superficies del elemento diferencial se muestran en la

figura 3.1. Cada fuerza de presin es un producto de tres trminos. La magnitud de la presin esel priniero. La magnitud se multiplica por el rea de la cara para obtener la fuerza de presin,mienas que un vector unitario se inhoduce para indicar la direccin. Observe tambin, en la frgura3.1, que fa fuerza de presin en cada cara t(ta en contra de la misma. Una presin positivacorresponde a un esfuerzo normal compresivo.

Las fuerzas de la presin sobre las otras caas del elemento se obtienen de la misma milnera.La combinacin de todas ests fuerzas pmduce la fuerza superficial neta que actua sobre elelemento. Por tanto

CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

a r, :(o -'**)", a,xi> * (, * *4!)u, o1-. F -'#+7" - o, x; >. (,.'fi !)ro, o1-. F -'# +)'. o'ut'. ('. u**)

3.1 LA ECUACIN BSICA DE LA ESTATICA DE FLUIDOS

dF_=pa:u

. , : , , . . . .Sustituyendo para d F/d V de Ia ecuacin 3.2, obtenemos

-grad p + P = 0firerza msicapor l

unidad de volumen i : 0

en un punlo l

-grad p+pP:O (3.3)Vamos a revisar brevemente nuestra deduccin de esta ecuacin. El sisnificado fisico de cada

trmino es

59

(3.4)

| fuerza de presin netaj por unidad de volumenI en rm punro

Esta es una ecuacin vectorial, lo que signifca que consta de tses ecuaciones componentes quedeben satisfacerse individualment. Las comDonentes son

-A n- +pe.=0

. lxAD

' -- : - + pS"=VdyAD

- -+ps,=0t lz

direccin

direcciny

direccin z

Las ecuaciones 3.4 describen la variacin de presin en cada una de las tres direcciones decoordenadas en un fluido esttico. Paa simplificar an ms, es lgico elegir un sistema decoordenadas tal que el vector de la gravedad se alinee con uno de los ej es coordenados. Si el sistemade coordenadas se elige tal que el eje z est dirigido verticalmente, entonces g, = 0, g), = 0 yg, = - g. Bajo estas condiciones, las ecuaciones componentes se convierten en.

(3.5)

Las ecuaciones 3.5 indican que de acuerdo con las suposiciones hechas, la presin es independiente

Nivel de prosn

Presin afnoslfica101 .3 kPa (14.696 psa)

a condiciqps stndaresal nivel dl mar

dD^dD^dDdx

=v dy=u dr=-Pg

Flg, 3.2 Presiones absoluta y manomtrca; se indlcan los nlvoles de referencia.

60 CAPITULO 3 ESTATICA DE FLUDOS

de las coordenas x y es decir, depende slo dez. Puesto quep es una funcin de una sola variable,es posible usar una derivada total en lugar de una derivada parcial. Con estas simplificaciones, lasecuaciones 3.5 finalmente se reducen a

-pc = -r (3.6)

Resficciones: l) Fluido esttico2) La gravedad es la rlnica fuerza de cuerpo3) El ejez es vertical

Esta ecuacin es la relacin bsica de presin-altura de la esttica de fluidos, sujeta a lasrestricciones indicadas. Por ello, debe aplicarse slo donde estas restricciones sean razonables parala situacin fisica. Para determinar la distribucin de presin en un fluido esttico, la ecuacin 3.6puede integrarse y las condiciones de frontera apropiadas se aplicadas.

Antes de considerar los casos especfficos que se hatan con facilidad analfticamente, esimpoante notar que los valores de presin debn establecerse resp@to a un nivel de referencia.Si dicho nvel es el vacio, la presiones se denomintt absolulas, como se indica en la fig:ra3.2.

La mayor parte de los medidores de presin leen wr difercnciq de presin -la diferenciaentre la presin medida y el nivel del medio ambiente (usualmente la presin atmosfrica). Losniveles de presin medidos con respecto a la presin atmosfrica se llaman presiones mqnomtri-cas. De tal modo,

Pbrclur = Pmoontio a P.ot*

La presiones absolutas deben utilizarse en todos los clculos con gas ideal u otras ecuacionesde estado.

3.2 VARIACIONES DE PRESION EN UN FLUIDO ESTATICOHemos visto que la variacin de presin en un fluido esti4tico se describe mediante la relacinbsica de Dresin-altura

dz-

(3.6)

A pesar de que pg puede definirse como el peso especJlco,1, se ha escrito como pgen la ecuacin3.6 pam subrayar que ambos, py g, deben considerarse variables. Con el fin de integrar la ecua-cin 3.6 para encontrar la distribucin de presin, deben hacerse suposiciones acerca de lasvariaciones tanto de p como de g.

Para la mayor parte de las situaciones prcticas de ingeniera, la variacin en g es despreciable.Slo para una situacin tal como elclculo muy preciso del cambio de la presin en una diferenciagrande de altitud, serfa necesaio incluir la variacin de g. A menos que se establezca de otro modo,asumiremos que g se constante con respecto a la altitud en cualquier posicin dada.

En muchos problemas prcticos de ingenier4 la variacin n p ser apreciable y se requerirnresultados precisos que lo confirmen. Varios tipos de variacin son fciles de tratar anallticamente.

3.2 VARIACIONES DE PRESIN EN UN FLUIDO ESTTICO 61

Es posible evaluar las variaciones de presin en un flujo compresible, integrando la ecuacin3.6. Antes de que esto pueda efectuarse, la densidad debe expresarse como ua flncin de una uotra de las variables en la ecuacin. Es factible utilizar informacin apropiada o una ecuacin deestado para obtener la relacin requerida de la densidad.

La densidad de los gases depende, por lo general, de la presin y la temperatura. La ecuacinde estado de sas ideal es

p=pRT ( 1.1)donde R es la constante de gas (vase Apndice A) y ?'la temperatura absoluta, modela con exacti-tud el comportamiento de la mayor parte de los gases bajo condiciones de ingenierfa. Sin embargo,el empleo de la ecuacin 1.1 introduce la temperatur del gas como una variable adicionat. Enconsecuenci4 debe realizarse otra suposicin adicional respecto a la variacin de la temperaturaantes de que sea posible integrar la ecuacin 3.6.

Para un fluido incompresible, p : constante. Entonces para gravedad constante,

ff:-.os="onx^t"Para determinar la variacin de presin, debemos integrar y aplicar condiciones de fronteraapropiadas. Si la presin en el nivel de referenci4 z, se designa comopo, entonces la presin, p,en la oosicin z. se encuenfia mediante intesracin

o

p- po: -pq? - z: pSko-z)

Para llquidos, a menudo es conveniente tomar el origen del sistema de coordenadas en lasuperficie libre (nivel de referencia) y medir las distancias como positivas hacia abajo, a partir dela superficie libre. Con , medida positiva hacia abajo, entonces

zo- z: h

p- po: p|h (3.7)La ecuacin 3.7 indica que la diferencia de presin ente dos puntos en un fluido esttico, puededeterminarse midiendo la diferencia de altura entre los dos puntos. Los dispositivos utilizados paraeste propsito reciben el nombre de manmetros.

La presin atmosfrica puede obtenerse de un barmetro, en eI cual se mide la altura de unacolumla de mercurio. La altura medida puede convertirse en unidades de ingenierfa empleando laecuacin 3.7 y los datos para la densidad relativa del mercurio, dados en el Apndice A. Aunquees posible despreciar la presin de vapor de mercurio (vase problema 3.8), para trabajo deprecisin, es necesario aplicar correcciones de altitud y temperatura al nivel medido y tomar encuenta los efectos de la tensin superficial.

fo ap:- l ' ps a,

62 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

Ur manmetro simple de tubo en U se muesa en la figura 3.3. Puesto que la rama derechaest abierta a la afnsfera" las mediciones de h y h2 permitLn la determinacin de la presinmanom:trica en l. Empleando la notacin de la figura 3.3 y aplicando la ecuacin 3.7 entre,{ yB y entre

-B y C, obtenemos

pA- pB = ptg(za- z i =-ptght

PB- Pc = P2gkc- zs): P2gh2

Sumando estas dos ecuaciones

PA- Pc: P26h" PrEhr

Puesto que p6 = ro, entonces p,4 - pc = p,a".,ricSi la densidad p' es despreciable comparada con p, entonces p6* 6i- : p2 g h 2. Advierla

que las presiones B' y B son iguales, porque estn a la misma elevacin en una extensin continuadel mismo fluido.

Los manmetros son dispositivos simples y de poco costo que se usan con frecuencia en lasmediciones de presin. Los estudiantes algunas veces tienen problemas al analizar situaciones demanmetros de tubo mrlltiple. Las siguientes reglas empfricas son tiles:

l. Cualesquiera dos puntos a lamisma altura en una longitud continua del nismo liquido, estn a la mismapresin.

2. La presin aumenta conforme se deJcede en una columna de lfquido (ecurde el cambio de presinal nadar en una alberca).El problema ejemplo 3 . I ilustra el empleo de un manmetro de lquido mltiple para medir

la diferencia de presin. Debido a que el cambio de nivel del lquido es pequeo a baja diferencialde presin, puede resultardiffcil leer con exactitud un manmeto de tubo en U. El cambio de nivelpuede aumentarse modificando el diseo del manmetro o empleando dos lquidos inmiscibles dedensidad un poco dif'erente. El anlisis de un diseo tpico de manmetro de depsito se ilustra enel problema ejemplo 3.2.

Abierto a la atnlera

Fig, 3.3 Manmetro de tubo en U para medr la presin manomtrica en A.

3.2 VARIACIONES DE PRESIN EN UN FLUIDO ESTATICO

EJEMPLO 3.1 Manmetro de lqudo mltiple

Agua circula por los tubos I y B. Aceite, con densidad relativa de 0.8, est en la parte superior dela U invertida. Mercurio, con densidad relativa de 13.6, se encuenha en la parte inferior de losrecodos del manmetro. Determine la diferencia de presin p; - pr, en unidades de lbf/pulgr.

PROBLEMA EJEMPLO 3.1DATOS: Un manmtfo de tubo mltiple como el mostrado. La densidad relativa del aceite es 0.8;

la densidad relativa del mercurio es 13.6.

ENCUENTRE: La diferencia de presin, p,r - pB, en unidades de lbf/pulg2.

SOLUCIN:

63

Ecuaciones bsicas:

Suposiciones: l)2)

Por tanto,

dp= pgdh v lo 'p- lo 'peJp Jh,

Paa p : constante

p2_ p1= pg(h2_ hr\Empezando en el punto I y aplicando la ecuacin entre puntos sucesivos alrededor del manmetro, se

dp dodz dh

Fluido estticolncomprsible

DR= PPno

d1=10'H2O

64 CAPITULO 3 ESTATICA DE FLUIDOS

Pc- PA= +P+pgd I

PD - Pc : -PHsgd2

PE- PD= +P*a"gds

PF - PE = -P\g d4

PB- PF= -PHpgds

Sumando, obtenemos

pA - pB = (pA - pc) + (pc - pD) + (po - pa\ + le - pr) + (pr - pe)=

-Pnog + psSdz - P*e;rgdt + gngda + 1gd5

Sustituyndo p = DRAo se obtiene

pA - pB = Ce fit"o + l3.6p4pd2 - O.8pupdt + l3.6npda + p1a,dt)= E PH,o(-dr + l3.6dz - 0.8dt + l3.6d.q + ds)= g,p(-10 + 40-A - 3.2 + 68 + 8) pulg.= g PH,o x 103.6 Pulg._32.2p!9).1.94!y).103.6pulg. p ie

.

p ie2 . , . lbf .s2

s2 - pid " " 12 pulg. " t44 pulg2 " slug . pie

p,4 - pB = 3.74 lbf/p!18.2

EJEMPLO 3.2 Manmetro de depstoUn manmetro de depsito se consuye con undimefo de tubo de l0 mm y un dimetro deldepsito de 30 mm. El llquido del manmetro esaceite rojo Meriam. Determine la sensibilidad del 30 mmmanmetro, esto es, la sepaacin en milfmetros pormilimetro de presin diferencial del agua aplicada.

PROBLEMA EJEMPLO 3.2DATOS: El manmetro de depsito mostrado-

d: l0mmD=30mm

r . - ,_._l_

Nive del liquico,/ :l,vc oe, n.iuruu./ 'i

en equilibdo

ENCUENTRE Separacin del llquido, , en millmtros por milmetro de presin diferencial delagua aplicada.

3.2 VARIACIONES DE PRESIN EN UN FLUIDO ESTATTCO 65

SOLUCIN:Ecuaciones bsicas:

Suposiciones: l)2)

Por tanto,

Para p = constante,

dp= -pe d" y J ,oo = - J",**

^T: -Pe oR= P.E p|/.,o

Fluido estticoIncomFesible

P2- Pt = -P8(22- z)

P1 - P2 = Pg\22 - zt) = .pt g(h + H)

Para eliminar 1, advcrtimos qte el volumen del lfquido del manmeho debe pemanecer confante. Detal modo, el volumen desplazado del depsito debe ser el mismo que el que aumenta en l tubo,

+en=I*n , o=Hfo4La sustitucin produc" ' \" )

pr-pz=pashl ' .14l l| \ "J lt ' ' l

Esta ccuacin puede simplificarse expresando ra diferencial de presin aplicada como una columna deagua equivalente, de altura.A4,

pt- p2: l ,Hzog Ah,,

y otando que pedi. = D&ai&pH,o. Entonces

pH,,AAh"= On""r"a","glf r * f{flI t") |

oLJhl

.

Ah: D&*"tl + (/D)1Para aceite rojo Meriam, DR = 0.827 (tabla A.l). por consiguiante, la sensibilidad es

-

h: I : ,no

ah, 0.8271 + ( 10/30)21

J Este problema ilustra los efectos del diseo del manmetro y de la eleccin del lfquido Ilmanomtrico en la sensibilidad. I

66 CAPTULO 3 ESTICA DE FLUIDOS

En muchos lquidos, la densidad es slo una funcin que depende poco de la temperatura. Apresiones muy bajas, es posible considerar a los llquidos como incompresibles. Sin embargo, apresiones elevadas, los efectos de compresibilidad pueden ser impofantes. Los cambios en la pre-sin y la densidad en los lquidos se relacionan por medio del mdulo de compresiblidadvolumtrica, o rdlrlo de elasticidad,

^ dpL "

= :--;--';-':\ap/ p) (3 8)

Si el mdulo volumtrico se supone constante, entonces la densidad ser slo una funcin de lapresin (el fluido es barotrpico)y laecuacin 3.8 proporcionar la relacin de densidad adiciinal,necesaria para integra la relacin bsica presin-altura. Los datos del mdulo volumtrica paraalgunos llquidos comunes se presentan en el Apndice A.

3.3 LAATMOSFERAESTANDARVarios congresos internacionales de aeronutica se han llevado a cabo para que los expertos de laaviacin de todo el mundo puedan comunicarse mejor. El resultado de uno de tales congresos re

Ikm

dI

I

52.4 km47.3 km

XM

I

20,1 km

11.0 km

0

a50

e@

10

-r20 -00 -80 -60 -40 -20 0Temperatura {C)

F9. 3.4 Varacn de la temperatura con la altitud en la atmsfera estndar.

3-3 LAATMSFERA ESTANDAR 87

una defmicin, aceptada internacionalnente, de la atmsfera estndar. Las condiciones al niveldel mar de la ansfera estndar, se resumen en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Condiciones alnivel del mar de la atmsfera estndar

Propicdd Sistcm interncionl Sistem itrgls

TcmpraturaPresinDensidadPeso especfficoViscosidad

288 K101.3 kPa (abs)t.225 krrl

1.781 x l0-5kdm.s(Pa.s

59F14.696 psia0.00237? slug/pid0.0765 I lbf/pid3.719 x l0-7 tbf . lpid

ppfp

El pefil de temperatura de la atmsfera estndar se muestra en la figura 3.4. En el apndiceA, se tabulan valores de propiedades adicionales como finciones de la altitud.

EJEMPLO 3.3 varlacln de la presln y la densldad en la atmsfra

La capacidad mxima de salida de potencia de una mquina de combustin intema disminuye conla altitud, debido a que decrece la densidad del aire y, por tanto, la de la tasa del flujo de masa. Uncamin sale de Denver (altitud de 5280 pies) un dla en que la temperatura local y la presinbaomtica son 80 F y 24.8 pulg de mercuriq respeclivamente. Viaja por vail Pass (altitud de! 0 600 pies), donde la temperatura es 62 F. Detemrine la presin baromtica local en Vail Paqs yel cambio porcentual en la densidad, si se supone que la tempratura es una funcin lineal de Iaaltitud.

PROBLEMA EJEMPLO 3.3DATOS: Un camin que viaja de Denver a Vail Pass.

Denver:z:5280piep = 24.8 pulg. Hgr= 80F

ENCUENTRE: Prcsin atmosfica en Vail Pass.

SOLUCIN;

Ecuaciones bsicas:

Vail Pass: z = l0 600 picT=62F

Cambio po.centual en la densidad del aire entre Denver y Vail.

dpd.z

=-pg p= pRT

Fluido estticoEl aire se comport como un gas idealLa temDeratura varfa linealmontc con la altitud

r)Suposiciones:

68 CAPTULOS ESTTICA DE FLUIDOS

La sutitucin en la relacin bsica presin-altur produce

dpDdDdz RT' p

_C_eRT

P lT tr^^Po \Isl

. = a"-* = O##fo; = -3.38 x ro-r F/pie

s_ =32.2et_:, (-l) pie_ "

lbm .R x slus )< _l!!_{ = _<

3.5 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 69

3.4 SISTEMASHIDRAULICOSLos sistemas hidrulicos se caracterizan por tener presiones muy altas. Como una consecuenciade estas presiones tan elevadas del sistem4 a menudo es posible despreciar las variaciones de lapresin hidrosttica. Los frenos hidulicos de los automviles desarrollan presiones hasta de l0MPa (1500 psi); los sistemas de accionamiento hidrulico de aviones y maquinaria, con frecuencia

..sgjisean para presiones hasta de 30 MPa (4500 psi) y los galos hidrulicos utilizan presioneshasta de 70 MPa (10 000 psi). Comercialmente se dispone de equipos de laboratorio para usarsea presiones hasta de 1000 MPa (150 000 psi)!

Aunque lor lo general los liquidos se consideran incompresibles a presiones ordinarias,pueden ser apreciables los cambios de densidad a altas presiones. El mdulo de compresbilidadde los fluidos hidrulicos tambin puede vaxiar a:bruptamente a presiones elevadas. En losproblemas que comprenden flujo inestable, tanto la compresibilidad del fluido como la elasticidadde la estructa de la frontera deben ser consideradas. El anlisis de problemas tales como el ruidoy la vibracin en sistmas hiulics, servomotores y amortiguadores es sumamente complejo yse encuentra ms all del alcance de este libro.

3-5 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDASAhora que hemos determinado la manera en la cual la presin varla en un fluido esttico, podemosexaminar la fuerza sobre una superficie sumergida en un lquido.

Con el fin de determinar por completo la fuerza que actua sobre la superficie sumergida,debemos especificar:

l. La magnitud de la fuerza-2. La direccin de la fuerz.3. La lnea de accin de la fuerza resultante.

Debemos considerar superficies sumergidas tanto planas como cufvas.

3-5.1 FueJza hidrosttica sobre una superficie plana sumergidaUna superficie plana sumergida, sobre cuya cara superior deseamos determinar la fuerza hidros-ttica resultante, se muestra en la figura 3.5. Las coordenadas se han elegido de manera que lasuperficie yazga en el plano r/.

Puesto que no puede haber esfuerms de corte en un fluido esttico, la fuerza hidrosttica sobrecualquier elemento de la superficie debe actuar normal a la misma. La fueiza de presin actuandosobr un elemento de la superficie superio I d i : & dy I , est dada por

dF: -pdi (3.e)La direccin positiva del vector d i es la normal al re4 dibujada hacia aftrera; el signo

negativo en la ecuacin 3.9 indica que la fuerz4 d F , acta contra la stperfrcie, en una direccinopuesta a la de dl . Lafuerza resultante que actua sobre la superficie se encuentra sumardo las

70 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

Presin ambisnte, poSuperficie dl fqudo

liquido = p

Vsta de canto

Plano yvisto desd aibaDnsidad del

Punto d aplicacion de (centro de Presin)Fig, 3.5 Suporcie plana sumergida.

contribuciones de las fuerzas infuritesimales sobre el rea completa. De tal modo.

ae'\

(3.10)

Para evaluar Ia integral en la ecuacin 3 . I 0, tanto la presin, p, como el elemento de rrea, d A , sedeben expresar en trminos de las mismas variables. Es posible escribir la relacin bsicaDresin-alura en un fluido esttico. como

: p8

donde & se mide positiva hacia abajo desde la superficie libre del lquido. Por tanto, si la presinen la superficie libre ( : 0) es po, podemos integrar la relacin presin-altura para obtener unaexpresin para la presin,p, a cualquier profundidad, fr. De tal modo, puesto que p = constante,

p = po+ lo

ps dh: ps+ pgh

Esta expresin parap pude entonces sustituirse en la ecuacin 3.10. La geometrla de--lq superficiese expresa en trminos der yy; como la profundidad, , se expresa en trminos de esto es, :y seno, la ecuacin puede integrarse para determinar la fuerza resultante.

El punto de aplicacin de la fuerza resultante debe ser tal que el momento de la misma erltomo a cualquier eje, sea igual al momento de la fuerza distribuida alrededo del mismo eje. Si elvector de posicin, desde un origen arbitrario de coordenadas hasta el punto de aplicacin de lafuerza resultante, se designa como i', entonces

-Fn: )o-e dA

dpdh

- i - fi 'xFR:JxdF =-JAx pdA (3.1 l )

3-5 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 71

Refirindonos a la figura 3.5, vemos que i' = x' + jy,, : ix + jy y d i = dl . puesto quela fuerza resultante,

-Fn, acta contra la superficie (en una direccin opuesta a la de dl), entoniesF n = - Fa . La sustitucin en la ecuacin 3.1 I produce

Gx'+jy)x-Fn: : l ix+ jy lxar =-[ (x+ jyx p ae i< $-', ffi : :rz wr^, = lo''' t. d, = li '' oru. o, : ,r, [o''' o o,

tD2/a: pe,

lo 1D- f,ax\tz dx

tD D2 Fn, :

lo nw dy o^" =

.J. pw dxPaa podr integra, necesitamos expresiones relativas a p(r/) y p(r) a lo largo de Ia superficie de lacompuerta.

ff= oe, norto lr" dp: psdh

Si suponemos p = constante, entonces

P: Pa + PEhcomo la presin atmosfica acta tanto sob. la parte sulerio de la compuefa como sobre la superficielibre del lquido, no hay una conhibucin neta de la derza de ta presiOn atnosferica. por tanto, aldetermina la fuerza debida at llquido, tomamos p = pgh.

Despus de esto necesitamos una exprcsin para i = h(|t) y h = h("x) a lo lago de la superficie defa compuert4 donde = D - j,. puesto que la ecuacin de la superficie de ta cpuerta ";

, = tr,:.toop1l l: lago de la compuerta y : {axtt2 y por etto, fuede escribirse tambin como =

= ps,b " --? J;,','" = or,[T - ? a #]: r+p

F "=

eeels x e.8l { x s., (4)lm, " .f rf{ = zor w

Para encontrar la llnea de accin de lR , el momento de F, en tomo al eje z a travs de O,debe ser igual a la suma de los momentos de dFa en tomo amismo eie.

Y'FR,: IA,vp dA, v r '={f^. tnae,, ' : { l ' ,o.or= {l ' ,oro.,or:r#[ ' , ,r-r*

{o ap:[ 'pgan

1rDpgw luy y ' I: - - l - - - - -^- lfRH L JIO

, pRwDs ppwD' l 2 I D 4m' 6Fns 6 lpgwD2 l 3 3 """ '

3.6 FLOTACION Y ESTABILIDAD

E -t /2 t . t ,

Para encontar la lnea de accin de Fi, el momento de Fx, alrededor del eje z a travs de q debe serigual a la suma de los momentos de dFl en tomo al mismo eie.

x'Fn,.= [o,xe dA" y x' =

1 tD2/o,0. O* =

Jo r pghte dx =1 lDz/oo* l"

I t;- | xP dAl

P! ' l - ' - , to -rRv Jo

-

p|w lp , t _? E.rr lo"" -

ps* | Dt _2 D5 l - pcwDsFa" l2 ' " 5 ' """ lo FRv l2a2 5 n - a5/2 I l0Fx,a2

pswDs | 3a I: to;rL;). 3D2 3 )2 m2 1

- .r , : : roo = io* ' - " '

, 4=1.2nI Este problema ejemplifica el clculo de las componentes de la fuerza resultante sobre una superficie Ilcurvasumergrca. I

-36 FLOTACIONYESTABILIDADSi un objeto est sumergido en un lfquido, o flotando en su superficie, la fi.rerza vertical neta queacta sobre l debido a la presin del lfquido se llama flotacin. Considere un objeto totalmentesumergido en un lfquido esttico, como se muestra en la figura 3.7.

La fuerza vertical sobe el cuerpo, debida a la presin hidrosttic4 puede encontrarse msfcilmente consideando elementos de volumen cilndricos similares al que se muestra en la figura3.7. En un fluido esttico

doih= Pg

Integrando con p constante, se obtienep= po+ p|h

La fuerza vertical neta sobre el elemento es

d F, : (p+ pgh) dA- (po+ pght) dA: p9(h2- ht) dAPero (hz - ht)dA : dY, es el volumen del elemento. Por tanto

" Esta secc puede ornitirse sin perder continuidad en el material del texto.

a2 CAPTULO 3 ESTATICA DE FLUIDOS

(3.1s)donde V es el volumen del objeto, de modo que la rerza vertical neta debida a la presin, oflotacin, sobre el objeto, es igual a la fuerza de gravedad sobre el llquido desplazado por el objeto.Se dice que esta relacin fue utilizada por Arqulmedes en el ao 220 a.C. para determinar elcontenido de oro en la corona del Rey Hiero II. Por ello, a menudo se le llama "Principio deArqufmedes". En las aplicaciones tcnicas ms actuales, la ecuacin 3.15 se emplea para disearembarcaciones, dispositivos de flotacin y batscafos.

Es necesario subrayar que la ecuac5n 3 . I 5 predice la fuerza vertical neta sobre un cuer?o queest totalmente sumergido en un fluido simple. En casos de inmenin parcial, deben considerarse

' directamente las fuerzas superficiales en lugar de intentar trata con los volmenes desplazados.La llnea de accin de la fuera de flotacin puede determinae utilizando los mtodos de la

seccin 3-5.2. Puesto que en los cuerpos flotantes estn en equilibrio las fuerzas msicas y deflotacin, la localizacin de la lnea de accin de la fuerza de flotacin determina la estabilidad.como s muestra en la figura 3.8.

La fuerza msica debida a la gavedad sobre un objeto acta a travs de su centro de gravedad,CG. En la figura 3.8a, la fuerza de flotacin est desequilibrada y produce un par que tiende amover la embarcacin hacia la derecha. En la figum 3.8, el par tiende a volcar la embarcacin.En la navegacin, las cargas del viento producen fuerzas adicionales sobre las embarcaciones;dichas fuerzas deben considerarse al analiar la estabilidad.

, " : loo=[,osdv: osv

Flg. 3.7 Curpo inmerso en un liqudo esltico.

F9. 3.8 Estabilidad de cuerpos flotantes.

-}7 FLUIDOSEil@U fl^uido en un cuerpo rfgido en movimiento se mueve sin deformacislrdo. Puesto que no hay deformacin. n;;;";;:::I :j':"rmacrn, como si tuenl un cuerpo*""";:ittill:,",;ifffi t11ii':1i,.;r:*i:ti::.,x,;..J.Til;;ff ;':;11;el fluido no t" "ro'nt' Cool;"J"-:: t:ltidid' tn el movimienro dmovrmrento de Newton p*u ",.,r,1,1T-o 9tl

n'io" 'i"".'p"i'rw uc un cueryo rfgido Dorsue

cuerpo risido especificado. ninar el campo d; p.;;;; il';::il1"*";:ffii:jfl :En la seccin 3_l derivamos rg.au"aua que a"tuu;.' ,"lffi;:lilijf.",flJffi i""fiffi ,"$] 8;ffi"l: presin y a rao

OF =(_gaA p+ pE\dV

La segunda ley de Newton se escribi

F:Aa*=pdy oSustituyendo la ecuacin 3.2, obtencmos

- grad. p+ p! = pEl significado flsico de cada trmino en esta ecuacin es

-gradp + p = odj fuerzarcta de presin I f fuerza ."i.o

-^. , _{ nor unidad de vorum* l* I *-i'i'i',1:i,tj:_ l_ ItS."f"I } [acereracin de )renunpunro j i;;;,*,,",,1:1#i*.j "1lxrfi[T" I

Esta ecuacin vectorial consta de tres er,.;^--- ^^_-mente.Encoorieni'dis.J"'#fi#:,:::|c;lf:i[:li"Tf"T:"T:*lensatisracerseindividuar--# * oo = *, direccin jop. i-6 * Pgt = po" direcciny ( e.t7)

-# * ou = *" direccin z iLas ecuaciones componentes para o

)expresion apropia'jal';;:#::^tl:"tas de.coordenadas pueden escribirse empteando tapor .. -.r coordenadas cilfndricas el operador vectorial, V, est dado.. Eslaseccin puede omitirse sin perde. continuidad e el aterial del texto.

3.7 FLUIoos EN EL MoVIMIENTo DE cUERPo RfGIDo &

ar-; ; =-srad. D+nUJ (3.2)

dFdv

(3.16)

t4 CAPULO 3 ESTTICA DE FLUIOOS

, = A, *

+ Ae: d0+ k dz (3.18r

donde , y 6e son vectores unitarios en las direcciones / y 0, respectivamente. Por tanto,

An ln dpstad P:P=a,#+ae:+kfr (3.1e)

EJEMPLO 3.8 Lquido en el movimento de un cuerpo rgido con aceleracin linealComo resultado de un ascenso, lo transfieren de su adscripcin presente a otra localidad. Usteddebe tansportar una pecera en la parte posterior de su camionet. La pecera es de t2 x 24 x 12pulg. Qu cantidad de agua debe dejar usted en la pecera para asegrrar razonablemente que nose drrama duante el viaie?

PROBLEMA EJEMPLO 3.8DATOS: Pecera de 12 x 24 x 12 pulg llena parcialmente con agua que se transportar en una

camtoneta.

ENCUENTR.E: La prorndidad permisible del agua paa asdgurar de manera razonable que no sederramar durante el viaie.

SOLUCIN:El primer paso en la solucin es formula un enfoque que traslade el problema general a uno miisespecfico.

Advertimos que habr movimiento de la suprficie del agua como resultado del dsplaz aminto dlautomvil sobre protubemncias en la carotora, cuvas, etc. No obstante, suponemos que el efectoprincipal sobre la superficie del agua es poducto de aceleaciones lineales (y desaceleraciones) del auto;despreciarcmos los denamnientos.

De este modo, hemos educido el problema al de determinar el efecto de una aceleracin linealsobre la superlicie libre. Artn no hemos decidido Ia orientacin del tanque relativa a la dieccin delmovimiento. Si se elige la coodenada en la direccin de movimiento, debemos alinea eltanque conel lado largo paralelo o aon l perpendicular a la direccin de movimiento?

Si se supone que no habr movimiento relativo en el agu4 debemos asumi que stamos tatandocon una aceleracin constante, t. Cul es la forma de la superficie libre bajo estas condiciones?

Vanos a volver a enunciar el problema para espondcr las preguntas originales sin hacer ningunasuposicin restictiva l principio.

DATOST Pecera pacialmente llena con agua (a una profundidad d pulg) sujeta a aceleracin linealconslate,4r. La altura de la pecera es de 12 pulg; la longitud paalela a la direccin demovimiento es pulg. El ancho perpndicular a Ia direccin del movimionto es c pulg.

ENCUENTRE: a) La forma de la superficie lihe bajo a,constante.

) La altura permisiblc del agu4 d, para evi- elta el deramaniento como funcin de ' y Yde la orientacin de la pcera,

c) La orientacin ptima de la pecea y la pro- (fundidad Dormisible.

SOLUCIN:

Ecuaciones bsicas:

Por tanto,

+\ - -a'Jopc.ncic librc CEn el diagram4

/ = profirndidad original

? : altura sobe la profunidad original

: longitud de la pecera paalela a la dircccin de movimieto

b ^ b( dv\ bc I re =: tan 0 =: l -=l : ; : lvl idaslo para d s ; l" ' \ * )$.-n; .n. ' | ' )

l .p 4dD : dp\- l i i + j i + k i l+ p( i s, + i sr + k s) = p( ia, + j a, + ka,)

\d dy o4/

Puesto quep no os unafi)ncin de z, Ap/az = 0. Tambin, g, = 0, g, = -g, g" = 0, y q: d": 0.

...-tf i-;ufi- ioe=i*,Las ecuaciones componentes son:

dp f Recuerde que la derivadadx

=-pa, I parcial significa que rodas

q : _ ""

1 las otrasevaiables indepcndientes

dy " I en la diferenciacin.El problema ahora es encontra una expresin pafa p = p(t, y)- Esto nos permitir encontrar la

ecuacin de Ia suporficie libre, pero quiz no tengamos q hacer eso.Puesto que la presin es p = p( y), entonces la diferencia en la presin entle dos puotos (

.t ) y(x + dt, y + dy) as

.dpdDdp: -- dx + i- dy'dxdy

Como la superficie librc es una linea de prcsin constante, entonces a lo largo de clla,p : constanto,por loquedp=0y

o = fr a, +dfiat -- -pa, dx - pg dy

3.7 FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DE CUERPO RGIDO 85

- ip+pi=pd

{La superficie libre es una lfnea recta- )

En vista de que desamos que e sea lo ms pequea para una a, dada, cl tanque debe aliease con la lo monos posible. Debcmos aliear el tanque con l lado largo perpendicula a Ia direccin demovimiento, esio es, elegir = 12 putg. b

86 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

Con= 12 pulg

e:6!pr ig.a

El valor mximo permisible de e : 12 - d pulg. Por tarto,

lz-d.= -ax -- ' ( t .o? I ant= tz-o-

Si la mxima se asume igual a ?g, entonces el valor permisible de des 8 pulg.Paa permitir un magen de seguridad, tal vez debamos seleccionar d : 6 pulg. d

Recurdese que se supuso una acelemcin uniforme en este problem4 es deci, el automvil tenla quemanejarse con rzDt o cuidado.

I Este problema se ha incluido para demostrar: II t) .no rodos los problemas estn claramente definidos ni tienen espuestas nicas.f[ i) la apficacin de la ecuacin, -V p+ pd= p.i I

EJEMPLO 3.9 Lquldo en el movimento de un cuerpo rgdocon velocidad angular constante

Un recipiente cilndrico lleno parcialmente con lquido, se hacegirar a una velocidad angular constante,

3-7 FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO A7

(^p . ^ lap.

"ap\-1",i * "u;ie

+ KF l- K pt = p\ea + e$e + t@z)\ - *)

Ademsaa = az=0Y4= -?-r .

( .p ^ lap .p).', - le-- + e0- a^ - K-: l: -efiv'r I kop

( , t roo or).ap.ap^aDLas ccuaciones componentes son: i- pa'r, =\), y;= -pg

De las ccuaciones componentes, vemos que la presin o es una fincin de 0; sino de r y z solamente.En virtud de q\e p = p(r, z), el cambio diferencial, dp, en la presin ene dos puntos con

coordenadas ( 4 z) y (r + dr,0, z + ) est dado por

ar= dfr),a, -

fi),a,dp = pa2r d.r - pg d.z

Para obtcner la diferencia de presin entre un punto de referencia (r, z), donde la presin esp, yel pnto abitraio ( z), donde la presin es debemos integrar

lp , ( ' .I dp= | p

88 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

Con rotacin,

Entonces

Finalmente,

| . . ,2D41R2ho = 1hfi2 + =-:L IL +8 1

(R)2nt=no--

4o

-

l@R\2 (.Dr\zZ=ho- t + -48 z8

, luR)2 f l / \2 ' lZ = t0 - -=- | : - | = | |z8 Lz \Kt J

Podemos resolver, pa'u la altura r bajo condiciones de rotacin, en tminos de la altua originalde la superficic, o' en ausencia de rotacin. paa hacer esto, nos servimos del hecho que muesha queel volumen del liquido debe pcrmanecer constante. Sin otacin,

y = Rz ho

v = l^ l ' zo, az a, = [ ' zn* a, = f^ z.( ,* f f ) , a,v = z"[n,] *fff = .[0,^, .ff]

z\f )

J Este problema ilustra la aplicacin de la segunda ley de Newton en coordenadas cillndricas y elj comportamiento fisico de un llquido con una superficie libre sujeta a la otacin de un cuerpoI nglqo.

3.8 RESUMEN DE OBJETIVOSDespus de completarel estudio del captulo 3, usted ser capaz de efectuar lo siguiente:

l. Escribi la ccuacin bsica de la esttica de fluidos en forma vecorial e indicar el sienificado fisicode cada trmino.Escibir la relacin bsica presin-altura para un fluido esttico e integrarla paa asf determimr lavaiacin de la presin para cualquier variacin de las propiedades dcl fluido.Estblecer la relacin entre las pesiones absoluta y manomtrica.Determinar la difeencia de presin indicada por las lecturas d diversos manmeaos.Definir las condiciones de temperatura y presin paa la atmsfera est.rida.Paa una superficie plana sumergida:a) Determinar lafuerzresultne debidaal fluido queachasobre la superficiey su llneade accin.) Deerminar la(s) fucrza(s) extema(s) requerida(s) para mantener la superficie en aquilibrio.

4.

6.

rr8,

r,rg.

10,

PROBLEMAS 89

Para una superficic sumergida con curvatura en un plano:a) Dctcrminar las componentes de la fura resultante dobida al fluido que actua sobre la superficie

y sus llneas de accin.) Determinar la(s) fueza{s) cxtcma(s) necesaria(s) para mantener la superficie en equilibrio.Dterminar la fuerza de flotacin sobre un cuerpo sumergido en, o flotando sobre la superficie de,un llqido; determinar la estabilidad dol objeto flotante.Aplicar la ecuacin hidrosttica bsica para dcerminar el campo de presin y/o la forma de lasuperficic libre en cualquier cuerpo de fluido en el movimiento de un cuerpo rgido.Resolve los problemas al final del capltulo que se elacionan con el material que usted ha estudiado.

Un dispositivo conocido como calibrador de pesos mucrtos se emplea como patrn para calibrarmanmetros mcicos (ol r"go til va de 30 kPa a 3 5 MPa aproximadamente). Se generan presionesconocidas cargando pesos sobr un arcglo vetical de cilindembolo. El mbolo con los pesos shacc girar para minimizar los efectos de la friccin. La mxima caga convenicnte es de 100 kg.Determine un tamao de mbolo apropiado para cubrir el rango dc presin especificado,La ccuacin presin-altu.a paa un fluido esttico incompresible se integr suponiendo que laaceleracin gravitacional, g, era constante. La ley de la atraccin gravitacional es

/R Y8=80!?+r , /

donde -R es el radio de la Ticrra y es la altitud sobre la supcrficic. Encuenh la variacin porcontual

engpalalossiguientesdoscasos(considereR=4000millas):)=6millasdealtitudy)l=-4 millas de altitud.Un montacargas neumtico se va I disea para un taller de reparacioes. La pfesin manomhicadel aire que provee la instalacin es dc 600 kPa. El montacagas debe levanta automviles de hasta3000 kg. La friccin cn el mecanismo de cilindo-mbolo y los sellos generar uta era de 980 Nque se opone al rnovimiento del mbolo. Detemine el dimeto del mbolo neccsario para bindala fueza de elevacin. Qu presin deb mantenese en el cilindro de elevacin para bajar consuavidad un auto con um masa de 895 kg?La tubela del gasoducto de Alaska tine un dimetro inemo de 1.22 m. Se emplean espesores deparcd de I I y 14mm, Los tramos de la tuberla se taparon y pobaron hidostticamente a unapresinde l0 MPa. Calcule el esfuerzo de tensin mximo en la pared de la tuberfa, La direccin del esfuerzomximo en la paed de la tuberia sr axial o circrnferencial?Un tanque cilldrico de dimeo D = 0.25 m y longitud = 1.3 m se carga con nitgenocomprimido, El gas en el tanque est a una presin absoluta de 20 MPa y a ua temperatura de 20C. Calcule la masa de gas en cl tanque. Si el esfuorzo mximo permisible en la paed dl tanque es210 MPa, dclemine el espso mfnimo toico de la pared del cilindro.Un catucho de COz para un dfle de aire tiene 60 mm de largo y 16.5 mm de dimetro interior. Elespesor de la parcd s de 0,5 mm. La ctiqueta indica que contienc 12 g de CO:. Estime la presinmxima denho de un aartucho completamente cagado. Suponiendo un estado de esfucro biaxialen la pared cilfndric4 calcule los esfuers mximos axial, circunfercncial y cortnte en la misma-Un mamero mecico unido al tanque del depsito cerado de un compresor de airc indica uria

Pf,OBLEMAS3.1

! t

a1

3.6

a' ,

*r Este objtivo sc aplic a una seccin que puede ofnitiNe sin perder cortinuidad en cl material del taxto.

90 CAPITULO 3 ESTATICA DE FLUIDOS

presin de 827 kPq en un dla en que la altura del barmeao es 750 mm de mecurio. Calcule laprcsin absoluta en cl tanque. Qu presin indicaa el medidor si la lectura del barmetro cambiama 775 mm de mercurio?

3.8 Un recipiente cerado contiene aguaaunaprofundidad de 5 m. Lapresin absoluta sobre Ia supeficiedel agua es 0.3 atn. Calcule la presin absoluta inlerior sobre la superficie del fondo del recipiente.

3.9 La presin de vapor del mercurio esp, = 2,5 x lO-s psia a 70 F. Calcule el enor en la altura delbarmetro debido a la no consideracin de la Dresin de vapor del mercurio. Lsera detectable enclculos de ingeniera?

3.f0 La alturaeal de la columnade un barmctro de mecurio es : 29.5 pulg cuando ?': 70 F. Encuentrela presin atrnosfrica en lbflpid. Expese la altura dcl barmetro en mm de mcrcurio a 0 C.

3.f I Muahas instalaciones recreativas usan estructuras de "burbuja" inflables. Una burbuja que encearcuatro canchas de tenis, s bosqueja como un semicilindro circular con un dimetro de 30 m y unalongitud d 60 m. Los sopladores utilizados para inflar la structura pueden mantener la presin deaire dento de la burbuja a l0 mm de agua por ariba de la presin anbiente, La "piel" del tejido dela burbuja es de espesor uniforme. Determine la mxima densidad del matc al, en masa por reaunitaria, que puede emploarse para fabricar una bubuja sopotada por presin.

3.12 El tubo que se muesta es llenado con mercurio a 20 C. Calcule la fuerza aplicada al mbolo.

d=0.37spurs. I l--

i l"=-T,,",,,t'*,n EJf

P3.12 P3.t3

3.f3 Un cubo de I pie de roble slido se mantiene sumergido mediante una conea como se muestra.Calcule la crza real del agua sobre la superficic de la base del cubo y la tensin en la correa.

3.14 Un cubo con aristas de 4 pulg se sumerge en un lquido y se suspende mediante una cuerda de modoque su parte supeior est hoizontal y a 6 pulg por debajo de la superficie. La masa del cubo esM = 0.569 slug; la tensin en la cuerda es ?' = I 1.5 lbi Calcule la densidad y la densidad relativadel llquido.

3.15 La chimenea de una centnl elctrica tiene ua altura 1l = 75 m. La temperatura promedio del gasen lachimene es Is = 210 C. Considere el gas de Ia chimenea como un gas ideal con las propiedadestermodinmicas del aire. La presin en la salida de la chimenea es igual a la del aire circundante alamisma elevacin. Suponga condciones estndares, fuera do la base de la chirnene4 del aire al ni-vel del ma. Calcule la presin en elgas que se encuentmen el fondo de lachimenea. Evale la dife-rencia de prosin (expresada en milmetros de agua) entre el aic y el gas de la chimenea en la base.

3.16 So muestra una bomba de mbolo manual domstica, El agua levantada por olmbolo s lleva hastala de$caga de la bomba mediante un tubo de 0.75 pulg de dmetro interior. La vailla y el mbolode la bomba pesan 30 lbi La velocidad mxima de bombeo sin problemas es de 50 carreras porminuto. La ventaja mecnica de la manija de la bomba es 7:1. Evale la presin sobre el mbolocuando toda la llnea de descaga est llena de agua. Calcule la fuerza sobre la manija de la bomba"necesaria paa ernpe,zat a move el agua (desprecie la friccin entre el mbolo y la cubierta).Considerando que no hay fugas, determine Ia carea del rbolo requeida si se va a entregar unflujo de 2.5 gpm por medio de la bomba.

omtro, D = 1.6pu19.

P3.12

PM-EI|AS 9l

2 = 4 Pulg. d=3,8eurs.--l l-_

r o.rs pulg.

P3.163.17 Ciefo dla tranquilo, una inversin moderada provoca que Ia temperatura atmosfrica permanezca

constate a 30 C entr 6l niveldel mary una altura de 5 km. Bajo estas condiciones, calcule el cambiode altitud para el cual ocure una reduccin de I por ciento en la presin del aie.

3.18 Determine el cambio de altitud necesario para conseguir una rcduccin de i 5 por ciento en la densidadde una atnsfera isotrmica a 20 C.

3.t9 Suele considease incompresible el agua cuado se evalan las vaiacions de la presin esttica.En realidad, es aproximadamente 100 veces ms compresible que el acero. Suponga que el mdulovolumtrico es constante. Calcule el cambio porcentual cn la densidad de agua que se ha llevado auna presin manomtrica de 100 atm.

3.20 Chonos de agua a alta velocidad se utilizan paa cortar cocreto y otros materiales compuetos, porejemplo, componcntes de aviones. La presiones mximas se encuentran en la vecindad de 50 000psi. Esperara usted razonable la suposicin de densidad costante para clculos de ingenierla?

3.21 Se usa aceite lubricante como fluido de trabajo en un sistema hidulico de alta presin. Estimc elcambio porcentual en la densidad del aceite cuando su presin se eleva de las condiciones ambientea 300 atm (manomtrica). La densidad constante es un modelo razonable para el aceite?

3.22 La atmsfera de Marte se comporta como un gas ideal con masa molecula media de 32.0 ytempratum constante de 200 K. La densidad atmosfrica en la superficie del plarieta es p : 0.015kglm3 y la gravedad maciana es 3.92 m/s'?. Calcule la densidad de la atmsfer de Marte a una alturade z

-

20 km sobre la superficie.3.23 Al nivel del suelo en Denver, Colorado, Ia presin atmosfica y la temperatura son 83.2 kPa y 25 C.

Calcule Ia presin sobrc el Monte Pike a una elevacin de 2690 m sobre la ciudad suponiendo unaatmsfera d) incompresible y ) adiabtica.

3.24 Un recipiente cillndrico invefido desciende lentsnent bajo la superficie del agua de un alberca.EI air atrapado en el recipiente se compim isotrmicamente conforme aumenta la prgsinhidrosttica. Desarolle una exprsin paa la altura del agu4 denbo del recipient, en trminosde la altua del mismo, H, y de la profundidad a la que se sumerge, l.

3.25 Suele considerase incompresible el agua cuando se evalan las variaciones de la presin esttica.En realidad, sucompresibilidad puede ser importante en el diseo de vehiculos sumergl'bles. Supongaqueelmdulo volumtrico delagua es constante. Calcule lapresin y ladensidad, aunaprofundidadde 4 millas, en agua de mar. Exprese el camhio de densidad como un porcentaje de la dnsidad alnivel del mar.

3.26 Naves de investigacin ocoanogrfica han descendido hasta l0 km debajo del nivel del mar. A estasprofundidades extremas, es posible que la compresibilidad del agua de mar sea significativa. Puedemodelase el comportamiento del agua de ma considerando qu su mdulo de compresibilidadvoumtricapefmance constante. Empleando esta suposicin, evale las desvaciones en ladensidad

I /=80

II

_t

pE

1-1caela IT-i f*, =-tp,,s.

92 CAPULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

y en la presin cuando se compann con los valores calculados, utilizando la suposicin deincompresibilidad a una profindidad de I 0 km en agua de mar. Exprcse sus respuestas en porcentaj e.

3.21 Si se considera el airc como un gas ideal, el conocimiento de Ia variacin de la tempatura con laaltitud pefmite determinar la presin a cualquier altitud cuando las condiciones se conocen a unaelevacin de refeencia, zo.a) PwaT = fo(l + z), obtcnga la ecuacin para la variacin de presin, como una funcin de

la altitud, si la presin en la elevacin de referencia es po.) Utilizando los esultados de la palte ), dmuestre que la variacin de la presin en el caso

isotrmico (ra -t 0) est dada por= e-G/aTo)lz-zoJ

3.28 Suponiendo constante el mdulo volumtrico para agua de mar, deduzca una expresin para lavariacin de la densidad con la profundidad, l, bajo la superficie. Muestre que el rcsultado puedeescibirse

p- pp+ bh

donde po es Ia densidad en la superficie. Evale la constante . Empleando luego la aproximacin,obtenga una ecuacin para el cambio de la presin con respecto a la profundidad debajo de lasuperficic. Determine el erro porcentual en la presin, predicho modiante la solucin aproximad4a una protundidad dc 1000 m.La presin en una tuberfa se mide utilizando el manmetro de dos fluidos que se muestra. Evale lapresin manomtrica en la tuberla.

f .zs

pPo

Id2 = 15 pulg.

__L ;:W3.31

P3.29 P3.30

Un manmeto se coNruy a partir de un tubo de vidrio con dimetro intrior unifome, D = 6.35mm, como se muestra. El tubo en U se llena pacialmente con agua" Luego se aade un volumenV = 3.25 cm3 de aceite rojo Meriam al lado izquierdo, segn se indica. Calcule la altura dc equilibrio,11, cuando ambas iamas del tubo en U estn abiertas a la ahnsfeaEl manmetro que se muesa cofltiene agua y keroseno. Con ambos tubos abiertos a la atmsfer4

P3.31 P3.32

PROBLEAS 93

las alturas de la superficie libre difiorn en l1o = 20.0 mm. Determine la diferencia de altura cuandose aplica una presin de 98.0 Pa (manomtica) al tubo derecho.El manmetro de la figura contiene dos llquidos. El lquido,4 tiene DR = 0.88 y l llquido B,DR = 2,95. Calcule la spamcin, l, cuando la diferncia de presin aplicada e s pr - pz = 870 Pa.Consider el manmetro do dos fluidos mostrado. Calcule la diferencia de presin aplicada.

AguaAceite

-Tc =70

IId.t.Agua

El manmeo que se muesha contiene tres llquidos. Cuadopr = 10.0 kPa (manomtrica), determinela distancia de separacirl d.Determine la pesin manomtrica en psig en el punto , si el llquidol tiene DR = 0.75 y el llquido4 DR : 1,20. El lquido que rodea el punto a es agua y el tnque de la izquierda est abierio a laatmsfera.

P3.36

3.36 El depaltamento de ingeniera de la Corporacin NIH evala un sofisticado sistema lser de 80000dlares pala medir la diferencia de nivel en dos gandes tanques de almacenamiento de agua, Esimportante que se midan con exactitud pequeas diferencias. Usted sugiee que el trabajo puedeefectuasc con un a[glo de manmetro de 200 dlaes. Un aceitc menos denso que el agua puedeutilizarse para da una amplificaciri de l0:l del movimiento del menisco; una pequea difrenciade nivel entre los tanques provocar l0 veces la separacin en los niveles de aceite eo el manmetro.Determine la densidad relativa del aceite requerida para la amplificacin de l0: l.

3.31 Considere un manmetro conectado como se indica- Calculc la diferencia de presin.3.38 Un tanque rectangular, abierto a la atmsferA se llna con agua a una profundidad de 2.5 m n la

332

3.33

T-a=50mm

*

tT-

=30mm

DR = 0.88

3.34

Aceite, DR < 1.0

Ipurg.

)4*

CAPTULO3 ESTTICA DE FLUIDOS-T--II

3mII

P3.38

forma indicada. Un manmetro de tubo en U se conecta al tanque en una posicin a 0.7 m sobre labase del recipicnte. Si el nivel cero del fluido manomtrico azul Meriam es de 0.2 m por debajo dela conexin, deermine la altura / dcspus de que se ha conectado el manmetro y se ha sacado todoel aire del conducto de conexix.

3.39 El fluido del manmetro del problema 3.38 se sustituye con mercurio (mismo nivel cero). Se sellael tanque y la presin de aire se aumnta hasta un valor manomtrico de 0.5 atm. Determine la al-tura

3.40 Un manmeto de depsito se calibra para usase con un liquido de densidad relativa de 0.827. Eldirmeho del depsito es de ; pulg y el dimetro del tubo (venical), de + pulC. Calcule la distanciarequerid4 entre las marcas sobrc la escala vertical, para I pulg de difercncia d presin del agua.

3.4f Un estudiante desea disea un manmeho con mejor sensibilidad que un tubo en U de dimetroconstante lleno de agua- El concepto del estudiante implica el uso de tubos con dimeos diferentesy dos lquidos, como se muestra. Evale la altu4 , de este manmetro, si la diferencia de presinaplicada es Ap = 250 N/m2. Dtermine la sensibilidad del manmetro.

,t {Ptm Patm

, r ' li t l lIHU

Para elmanmetro de dgpsito de tubo inclinado que se muestr4 obtenga una expresin gencralpaala separacin del llquido, , en la rama inclinad4 en trmiros de la diferencia de presin aplicada,Ap. Obenga tanbin una expresin general para la sensibilidad del manmetro.

I

Il0 mm

Acette(0R = 0.85)dz=15nn

Agua

c=6l0mmo = 1610 m

P3.37

P3.42 a P3.,18

3,45

3.48

3.52

3.50

PROBLEMAS 95

Considere el manmetro de tubo inclinado de la figua. Suponga que 6 = 15.0., D = 72.0 mm, d =6.35 mm y e1 llquido es azl Meriam. La separacin del lquido en el tubo iclinado es = 230 mmcuando el manmeto sc aonccta a un diferencial de presin Ap. Evalfe Ap. Dtermine la sensibilidadde este manmetro.El manmetro de depsito de tubo inclinado indicado en la figura so utiliza para medir presiones enun hinel de viento. El lfquido es aceite rojo Meriam. Suponga 0 = 15.0", D = 19.l mmyd= 6.35mrn. Calcule la diferencia de presin a tavs del manmetro cuando la separacin del llquido, a lolargo del tubo inclinado, as L : 32.7 mm.Eva.le la sensibilidad de ese manmeho.El manmetro de tubo inclinado que se muestra tiene D = 90 mm y d: 6 mm; el llquido es aceiteojo Meriam. La longitud del tubo de medicin es 0.6 m; 0 = 30". Determine la presin mxima" enP4 que puede ser medida con este manmetro, Evahle la sensibilidad del mismoEI manmetro de tubo inclinado tiene D = 3 pulgyd = 0.15 pulg, y se llena con aceite ojo Meriam.Calcule el ngulo, fl que producir urta separacin de 5 pulg del aceite a lo lago del tubo inclinado,para una presin aplicada de I pulg de agua (manomtrica). Detormine la sensibilidad de estemanmetro.El mismo manmetro de tubo inclinado tien e D = 96 mmy d:8 mm. Determine el ngulo, 0,necesario para brindar un aumento de 5: I en la separacin del llquido, l, comparado con la separacintotal en un manmetro normal de tubo en U. Evale la sensibilidad de este manmefo de tuboinclinado.En la figur4 se indican las dimensiones bsicas de un manmefo de depsito d tubo inclinado enun laboratorio de mecnica de fluidos. Suponga que el rea de depsito esl = 277 mm2, d : 3.64mm y 0 = 10.5". Una presin manomtrica equivalente a 10.2 mm de agua se aplica al depsito; eltubo incliado est abierto a la atrnsfera. Encuentr la distancia de separacin, I, del llquido delmanmho a lo largo del tubo, si el lquido es aceite rojo Meriam. Detemine la sensibilidad de estemanomelro.Si el tanque del problema 3.38 se sella hemticamene y se exae lentamente agua del fondo deltanque, detrmin la sepaacin, /, despus de que el sistema ha alcanzado el equilibrio.La tensin superficial provoca que el menisco ascienda en un manmetro lleno con agua- Estefenmeno de arcr2so capilar se v]uelve signicativo en tubos de dimeto pequeo. Desarolle unaexpresin par el ascenso capilar de agua en un tubo vertical. Demueshe que e1 resultado es

20 cos9pcR

donde R es el radio de tubo y 0, el ngulo de contacto. Evale y grafique los rcsultados paa el aguaen tubos de I a l0 mm de dimeho interior.Resuelva el problema 3.50 para la depresin cagilar de mercurio en un tbo. Evahle y graflque paatubos de entre I y l0 mm de dimetro imerior. 'Las variaciones de presin qu resultad dccambios de alltud puedn provooa que "$uenen" losoldos y algunas molestias para.los pasajcfos d avin o'para arluellos que manejan en zonasmota1osas. Cada individuo es afectado de manera diferente, pero en promedio truenan una vez losoldos por cada 75 m de cambio en la eleva6i. Detemine el cambio do presin, expesdo enmilmetros de agu4 que coesponde a esta difeencia dt elevacin en un d{a normal a una dtitud de2000 m.Debido a que la presin desciende, el agua hierve a una empQratura menoi con el aurnento de.laaltitud. En conscuenci4 las masas de psteles y los huevos dwos, enhe oaos alirnentos, debenelaborarse con difercntes tiempos de cocimiento. Dtemine la tenperatura de ebullicin dl agua a1000 y 2000 m de elevacin en un dla nomal y compare con el valg al nivel del mar.Una seccin de pared vertical se va a constuir con mezcla de concreto vertido ente los moldes. La

3.53

96 CAPTULOS ESTTICA DE FLUIDOS

3.55

356

358

3.59

pad tendr 3 m de altur

0.25 m de espesor y 5 m de ancho. Calcule la fuerza ejercida por la mezclade concrcto sobre dda moldc. Determine la lna de aplicacin de la fuerza.Una puert de I m d ancho y 1.5 m de altura se localiza en una pared vertical plana de uh tanquede agua- La puerta so aicula a lo largo de su borde superior, quo est I m abajo de la suprficie delagua. La Fesin afnosfrica actua sobre la superficie exterior de la pueta y en la suporficie del agua-Dotermine la magnitud y la llnea de accin de la fuerza resultantc total de todos los fluidos que achiansobre la puertaSi, en el problema 3.55, la prcsin nanomtrica de la superficie del agua aumenta a 0.3 ahn, determinela magnitud y la lna de accin de la fuerza rosultate total de todos los fluidos que act{ran sobre lapuertaUna puerta de I m de ancho y 1.5 m de altura se localiza en la pared vertical pana de n tanquc deagua. Lapuerta se adicula a lo largo de su borde supe or, quese encuentra a I m abajo de la superliciedel agua" La presin atnosfrica actia sobre la supcrficie cxterior de la puerta- Si la presin en lasuperficie del agua os la atnosflic, qu fuerza debe aplicarse en el borde iferio de la puerta conel fin de evitar que se abra?Si, en el problma 3.57, la pesin manomtrica en la superfici del agua es 0.5 atm, qu fueradebe aplicarse cn el borde inferior de la puef para cvitar que se abra?Un tanque con una divisin er el cento tiene una pequea "puerta" dc 0.5 m de ancho por I m dealtura en la base. Esta puerta se articula a lo lago del borde superior. El lado iz4uierdo tielle 0,6 mdc agu y cl lado dcrecho contiene I m de cido nitrico (DR = 1.5). Qu fuerza (iagnitud ydireccin) se requiere en el borde infrior do la puata pa"a mantenerla cerrda?La puefa que se mucsha mide 5 pis de ancho y I 0 pies de altura Encuentre la fuerz resultante detodos los fluidos que acta sobre la puerta"

Aire

s.60

p=5Psi8Aceite

DR = 0,8

3,61

\ 3.62

P3,60Una pueta de acceso triangular debe incluirse en el lado de un molde que contiene concreto llquido.Empleando las coordenadas y las dimensiones que sc indiaa\ determine la erza resultante queacta sobre la puefa y su punto de aplicacin.La puerta de accoso circular en el lado de una tuberla vortical de agua tiene un difunefio de 0.6 m yse mantiene la mediante ocho tomillos igualnente espaciados alededo de la circunferencia. Si eldirnetro de la tuberla es de 7 m y el ccntro de la pueia se localiza a 12 m por debajo de la superficielibre del agu4 deterrnine a) la fucr lotal sobr la pueta y ) el dimeto de tomillo apropiado.

P3.63

5 pies10

P3.64

3.63

3.65

PFOBLEMAS 97

La compueia que se muesha en P3.63 se aticula en L La aompuerta tiene 2 m de ancho normal alplano del diagama. Calale la fuerza requerida en,4 para mantgner la compueta cerrada.La compuert que se presenta en P3.64 tiene un ancho do 3 m y, para el arlisis, puede considerarsesin masa. Para qu Fofundidad del agua ost compuerta rectangular estar en equilibrio como semuestr?Una compuerta plana se mantiene en quilibrio mediante la fuerza 4 distdbuida uniformemcnJe porancho unitario, segn se indica. La compuata pesa 600 lbflpie de anaho y su cenho de gravedad esta 6 pis de la articulacin on O. Encuentre F cuando D = 5 pis y 0 = 30'.

Una compuertra de 2000 kg de masa se monta en una articulacin sin friccin a lo lago del bordeinfrior. La longitud del depsito y la compuerta (perpendicular al plano de la figura) es de I m. Enlas condiciones de equilibio mostradas, calcule el alcho, , de la compuerh.Uria compuerta plana de espeso urifome se sostiene en el agua por la pade dc atrs, a la profundidadque se indica. Encuenhe el peso mlnimo necesario paa mantener la compueria cerrada.

3.66

3,61

| : 2.5 pie

P3.67 P3.68

El nivel de agua se controla mediantg una compuerta plana de espesor uniforme de la manera que seindica, El ancho de la compuefa normal al diagtama es w = l0 pies. Determine la mas4 M, necesariapara mantener el nivel del agua a una profirndidad ii o menor, si se desprecia la masa de la compuerta.

P3.65 P3.66

P3.67

r4

P3.69 P3.70

98 CAPTULO 3 ESTATICA DE FLUIDOS

3.69 La compuerta rctangula,48 de la llgua P3.69 tiene 2 m de ancho. Encuentre la fuerz por unidadde ancho, ejercida contra el tope en ,{. Suponga que la masa de la compuerta es despcciable.

3.70 La compverta AOC que se muestra en P3.78 tino un ancho de 6 pies y s articula a lo largo de O.. Despreciando el peso de la compurta, deermine la firerza en labana AB.3.71 Conforme asciende el agua en el lado izquierdo de la compuerta rectangula, sta se abrir

auomticamcnte. A qu pofundidad sobre la articulacin ocurir lo anterior? Desprecie la masade la comDuerta

r-,--.1

P3'71 P3'72

3.72 Un largo bloque cuadrado de madcra puode gia en tomo a una de sus aristas. Et bloque est enequilibrio cuando se encuenha sumergido en agua a la profundidad indicada. Evalle la densidadelativa dc la maderg si sc desprecia la friccin en el pivote.

3.73 Considere una pileta semicillndica de adio R y longitud . Desafolle una expresin general parala magnitud y la llnea de accin de la fuerza hidrostlitica sobre un extremo, si la pileta est llena dcagua y abierta a la atnsfera,

3.74 Un submarino se encuentra a 100 pies por debajo de la suprficie del ma como se muestra, Encuentola fuerza net4 4 requerida para abrir la escotilla circular cua.ndo se aplica de la manera sealada. Lapresin dentro del submarino es igual a la atrnosfrica

d arliqiacin

P3,74 P3.75

3.75 Una ventna en la forma d un bingulo issceles y articulada en su pafe superior se coloca en lapared vrtical de un molde que contiene concreto llquido. Determine la fuerza mlnima que debeaplicars en el punto D paa mantener corada la vcntana segn la configuracin mostrada del moldcy el cocreto.

3.76 Las compuertas en cl Poe Lock eD Sault Ste. Maie, Michigan, cierran un canal de ,t/ = I l0 pies deancho, l, = 1200 pies de longitud y D = 32 pies de profundidad. Se muesha la geometrla de un parde compuertas; cada una sc aticula cn la paed del canal. Al crars, los bordes de la compuertason forados a unirsc en el cenho del carial po la presin del agua, Evaltie la fueEa ejercida por elagua sobre la compueda,4. Determine la magnitud y dcccin de las componentes de la fuerzaejercida por la compuerta sobre la atculacin. (Desprecie el peso de la compucrta-)

Aim

P3.71

P3.76 P3.77, 3.85, 3.86, 3.913,17 La compuerta parablica de la figura tienc 2 m de ancho. Determinc la magnitud y la llna de ac-

cin de la fuerza vertical, debida al agua, ejercida sobe la compuerta, c = 0.25 m-r, D = 2 m yH=3m.

3.78 El ancho de la compuerta quc se muestra es de 1.5 m. Determine la magnitud y el momento de lacomponente vertical de la erza en tomo a q = 1.0 m 2, D: 1.20 m y 1= 1.40m.

P3.78, 3.87, 3.88, 3.90 P3.79, 3.89

3.79 S va a conshuir una presa a lo ancho del rlo wabash emplando la sccin tansversal indicada.Para una altura del agua dc 11 = 2.5 m, calcule la magnitud y la lfnea de accin dc la fuerza verticaldcl agua sobre la cara de la presa. Suponga que el ancho dc la presa es w = 50 m.

3.80 Una compuerta da un vertedero constuida en forma de un arco circula tiene un ancho de w m.Encucntre la magnitud y la lnea dc accin de la componentc vcrtical de la fuera debida a todos losflidos oue actan sobrc la comDuerla"

3.8f Un bnque abierto se llena con agua a la profundidad indicada- La presin atrnosfrica achla sobrotodas las superficies exteriores del tanquc. Determine la magnitud y la linea de accin de lacomponertc vertical dc la rerza del agua sobre la pafe curva de la base del tanque.

3.82 Determine la magnitud y la llnca de accin de la fueza vertical sobe la seccin curva l4 que tienunachodelpic.Lapresinanosfricaactfiaenlasuperficielibre;l=l.0piet,D=4piesy11 = 6 Dies.

md",\k-tZ pies---l P3.8t

100 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

3.85

P3.82 A P3.8t, P3.84El anque que se mucsha tiene un ancho de 2 pies (perpendicular al plano z). Se llena con agua auna protdidad de 8 pies. El aie enhe la parte superior del tanque y el agua est presurizado a l0psig. Determine la magnitud y la lfnca dc accin de la fuerz vetical sobre la porcin curva deltanque; = 0.5 pies-r,D = 8 piesy 1 = 12 pies.Si la profundidad dol ag4 D, cn el tanquo del probloma 3.83 se reduce a 4 pies y se mantien lapresin del aire cn l0 psig, determine la magntud y la llnea de accin de la fuerza venical sobre laporain curva del tanque,Para las condiciones dcl poblema3.77, determine la fuerza horizontal, aplicadaenl, ncesaria paamanener la compucrta en equilibrio.Con respecto a la compuertia paraMlic del Foblema 3.77, suponga que oo se apica ningn momentoen cl origen; donde la compuerta est articulada. Evale la fuerza vertical que debe aplicarse en elpunto / paia :nantencr la la compuertPara las condiciones del problema 3.78, determine a reaccin en O requerida para el equilibrio.Para la compuert cbica delproblema 3.78, suponga que no s aplicaningn momento en el origen,dondc se aticula la compucrta, Evale la fuera horizontal qu debe aplicase en el punto I paramartener Ita la compuerta"Considere otra vez la presa del problema 3.79. Es posible que el agua volque la presa? En qucircunstancias?Si permanece agua a una profundidad de 0.5 m a la izquierda de la compuerta del problema 3.78,determine ol momeno total en torno a O.La profundidad del agua a la derecha de la compuerta del problema 3,77 aumenta de cero a m.Deermine la profundidad Z, requerida para reducir el momento alrededor de O al 50 por ciento delvalor paa = 0.Una compuert4 en lfoma de un cuarto de cilindro, aficulada en,4 y sellada en B, mide 2 m deancho. La base de la compuerta es a 3 m por debajo de la superficie del agua- Determie la fuetzasobre el tope en, s i lacompuertaesdeconcreto;=2myD=3m.

3.83

3,86

3.873,88

3,89

3.m

3.9r

3.92

P3.92 P3.93

Se muestsa una compuea Tainter utilizada para controlar el flujo de agua de la presa Uniontown

3.94

PROBLEMAS 101

en el rlo Ohio; el ancho de la compuerta os w = 35 m. Determine ta magnitud, direccin y lnea dcaccin de la fuera dcl agua que actua sobre la compuerta-Se va a verter una mezcla de concreto dentro del molde que se muestla. A usted se le pide gfectuarlos clculos sobre los que s basar el diseo de la estuctura necesaria para mantener fo el moldecilfndrico (el anchoel molde es 1, = 6 pies). Calcule la fuera vrtical ejercida por el concrcto sobrela pate cilndica del molde y encuentre su llnea de accin.

P3.95

Una vertedeo cillndrico tienc u dineto de 3 m y n longitud de 6 m. Encuente la magnitud ydicccn de la fuerza resultarite del agua sobrc el vetedero.Un tronco cilndico de dimebo D descansa contra la pane superior de una presa- El agua est alnivel de la parte superior del tonco y el cntro de ste, en el mismo nivel de la parte superio de laprosa. Obtenga expresiones paa ) la masa dcl tronco por unidad de longitud y ) la fuerza d contactopor unidad de longitud ontro el honco y Ia pres&Se muesha una superficie curva sumergid4 en la forma do un cuarto de cilindro, con radio R = 0.3m. El molde se llena a una profindidad It = 0.24 m, co concreto llquido. El ancho es w = 1.25 m.Calcule la magnitud de la fueza hidrosttica vertical del concreto sobre el molde. Encuente la llncade accin de la fuerza.

P3.94

3.96

3.95

3.97

3.98 Una superficie curva es formada como un afco circula con R = 0.750 m de la manera que se indica.El ancho de la superficie es w = 3.55 m, A la derecha de la superficie curva hay agua con unaprofundidad de fl = 0.650 m, Calcule la fuerza hidosttica vertical sobre la superficie curva. Evalela llnea de accin de esta fuerz" Encuenh la magnitud y la lfnea de accin do la fuerza horizontalsobre Ia superficie.

3.99 Una canoa s represnta por mcdio de un smicilindro circular reco, con R : 0.35 m y = 5.25 m.La canoa flota en agua que tiene una profundidad d = 0.245 m. Establezca la expresin algebraicageneral, como una fincin de la profimdidad, para la mxima masa total (la cnoa y su contenido)quc puede flotar. Eval{e para las condiciones dadas,

]3.100 El cilindro mostrado so sostiene mediante un lfquido incomprosible de densidad A y se articula a lolago dc su loryitud. El cilindro, de masa ,1, longitud y radio & se sumerge en un llquido a unaprofundidad L Obienga una expresin gencral para la densidad relativa del cilindro conta el cociente

l Es posible que usied desee empler progrtras de computadora sencillos, como yula para resolver los problemasmacados con obeliscos.

P3.97 PI,98

102 CAPITULO 3 ESTTICA OE FLUIDOS

= 1 pis3

ente la-profundidad del lquido y el radio del cilindro, a = IilR, necesario para mantcner el cilindroen squilibio para 0 = a, l. Grafique los esultados.3'l0l Encuntre gl peso especffico de la esfera que se muestra, si su volumen es l pir. Establezca todslas suposiciones. Es el peso necesario para que la esfera flote?3'102 una pueta de observacin hemisfric4 de radio R = 0.75 m, se instala a una proiindidad / = 2.5m, en el lado de un acuario lleno de agua de ma, como se indica. Evale las magnitudas de las fuerzasvertical y horizotal del agua que acta sobre la pueta de observacin.

P3.f02 P3.103

3'103 un hidmeho es un indioado de densidad relativ. el valor es indicado por el nivel ar cual lasuprficie libre intesecta er vstago cuando flota en un fquido. La maca 1.0 es el niver en el casode aga dastilada. paa la unidad que se muesh4 el volumin sumergido en agua destilada es de I5cm3. EI vstago tiene 6 mm de difunoao. Encuentre la aisancia 7, aesa" la marca 1.0 hasta lasuperficie cuando er hidfmeto se pone en una solucin de cido nitrico de densidad erativa iguala t .5.3'104 La propocin entre grasa y msculo de una persona puede determinase a pa,, de una medicinde densidad elatiya. La medida se efectia sumergiend'o el cuerpo en un tanque de agua y midiendoel peso neto' Desarrolle una expresin para la dsidad relativa de una persona en terminos de supeso en el aire, el peso neto en el agua y DR = /(I) pan el agua.3.105 Cuantifiquo el enunciado, ,,Slo se ve la punta de un icebeg (en agua de mar),,.3'106 En la pelcula visualizacin der flujo. se emplean burbujas de hidrgeno para visualizar ras lineas detraza del flujo de agua. El dimeholpico de una burbuj aie hidrgen"o

",

= O. OZ: ,.. las burbuj astienden a ascendr lentamente en el agua debido a h fltacin has'ta alcazar, finalment, la velocidadterminal. La fuez de arraste del agua sobre una burbuja est dada por Fo : 3pV, donde p" esla viscosidad del agua y / es la velocidad de la burbuja relariva ul'ug*. ln"u"nt "

la fuerza deflotacio que achra sobre una burbuja de hidrgeno inniersa en agua. Efstrme la velocidad terminalde una bubuja asaendiendo en agua.3'107 un catilogo de un fabricante incruye un compensador de flotacin, cB (similar a un chaleco flotador),paxa buceo. El CB indica una sufentacin hasta de 40 lbf, que s obtiene de un cartucho de infladoque contiene 25 g de dixido de carbono. Evale la indi;in del fabricante si Ia masa del CB esdespreciable. A qu profundidad en agua de mar puede el cB poducir la sustentacin indicada?3.108 un modemo buque cisiema tiene una capacidad de almacenamiento dc medio milln de toneladas

P3.100 P3.r0t

P3.103

PBOBLEMAS 103

mtricas de petrleo crudo con DR = 0.8, El buque es en esencia rectangular con una longitud de400 m y rnanga (ancho) de 65 m. La masa del buque es de apoximadamente 230 000 toneladasmtricas, Cuando est descargado, es necesario tener un lastre de agua de ma con el fin de manteneel calado suficiante pam la estabilidad y mantcne sumergida la hlice; el calado minimo que serquiere es de 20 m. Detormine el calado mximo del buque cornpletamente cargado en agua de ma.Detrmino tambin la accin a la cual l buque debe llenarse, cuando viaja descargado, con lastrede agua de mar.

3.109 Los globos aeroestticos de aire caliente son un depore popular. De acurdo con un artlculo reciente,"los vohlmencs de aie caliente deben scr grandes debido a que el aie calentado a 150 F arriba dela temperatura ambiente, sustontan slo 0.0 I 8 lbf/pier en comparacin con 0.066 y 0.0? I paa helioe hidrgeno, respectivameto". Verifique cstas afirmaciones para las condiciones al nivel del mar.Calcule el cfecto de icrementar la temperatura mxima del aire caliente a 250 F por encima de laambiente.

3.110 Un pie cbico de un material qua pesa 67 lbf se sumerge en agua de la manera que se indica. Unabarra ccula de madera de 10 pies dc lago y 3 pulg'?en seccin transvenal, se une al peso y tambina la pared. Si la barra pesa 3 lbf, cul sor el ngulo, 0, paa el equilibrio?

P3.t t 0

3.111 El catlogo de un fabricante de tanques de aire de aluminio para buceo, afirma que stos flotanindependientement cuando estn vaclos. Un tarque contiene 50pies cbicos estndar de aire cuandose llena a 3000 psi& tiene 6.9 pulg de dimetro exterior, un espesor de pared de 0.467 pulg y 19 pulgde largo. Evale la afirmacin.

3.112 Un globo aerosttico de helio lvantar un carga hasta una altitud de 40 km, donde la presinatmosfrica y la tempemtura son 3.0 mbar y -25 C, respectivament. El fono del globo es polistercon densidad relativ de 1.28 y espesor de 0,015 mm. Paa mantener una forma esfric4 el globo seprcsuriza a una pesin manomtrica de 0.45 mbar. Determine el dimetlo mximo del globo si elesfuerzo de tensin permisible en el fono se limita a 62 MN/m'z. Qu carya puede transpofarse?

3.113 Los globos aeroslticos cienficos, que operan en equilibrio de pesin con los alrcdcdores, se hanutilizado para levanta paquetes de instrumentos a altitudcs sumamente grandes. Uno de tales globos,hecho de poliestireno con un cspesor del forro de 0.013 mm, levant una carga de 230 kg hasta unaaltitud de aproximadamente 40 km, donde las condiciones atmosfricas eran 0.95 mbar y -20 C. Elgas helio en el globo estaba a una tempcatura cercma a -10 C. La densidad relativa del mateialdl forro cs L28. Determine el dimetro y la masa del globo. Suponga que ste es esfrico.

3.114 Una esfe4 de radio R, se sumorge parcialmente a una profundidad 4 on un lquido de densidadrclativa DR. Obtenga una expresin algebraica para la fuerza de flotacin que acta sobre la esfer4como una funcin de la profundidad de inmersin, paa 0 s d s 2R.

3.115 Una esfera de radio lR, elaborada con un material de densidad relativa DR, se sumerge n un tanquede agua. La esfera se coloca sobre un agujero, de radio a, en el fondo del tanque, Desarolle unaexpresin general para el rago de densidades relativas para las cuales, la esfera flotar hacia lasuprficie. De acuerdo con las dimcnsiones dadas, determine la DR mlnima requerida para que laesfera se mantenga en la posicin mostnda-

1 pie,|

f04 CAPTULO3 ESTTICA DE FLUIDOS

P3.1153.116 Un popote est hecho de plistico, con densidad relativa DR = l. l. El popote tiene 5 mm de dimetro

interiory el espeso del plstico es 0.4 mm. Su longitud es 250 mm. Los experimntos han demostradoque cuando s le coloca en un vaso de bebida (DR = 1.055), el popote permanece sumergido. Estimela fuerz extema requerida para mantener sumegido el popote de manera vertical en una bebid4 auna Fofundidad de 100 mm, Suponga que la tensin superficial, o, de la bebida es simila a la delagua"

3.117 Un madero cuadrado de roble con lados ,t/y longitud , floia en agua de mar. Calcule la profundidadde equilibio d, a Ia cual flota el madcro en agua tanquila. Estim el momento de torsin necasaiopaa mafitener el madero en una posicin rotada 15" en el sentido de las manecillas del reloj, a patirde su posicin de equilibrio no perturbado.

3.118 Considere un objo largo con seccin transversal cuadrada (a m por lado) flotando horizontalmenteen la superficie de un lquido. Suponga que al principio, una cuafa parte del objeto est sumergida.Considerdo slo pequeos dcsplazmiento arigularcs, obtenga una expresin para el momento detorsin que ende a regresa el objcto a la posicin horizontal. Evale el rango de posiciones delcento de gravodad (CG) simtrico para el cual el objeto permanecer estable.

3.t19 Un madero cilindrico, con D = 0.3 my Z = 4 m, se sobrecaga en su extremo infeior de maneraque flota verticalmente con 3 m sumergidos en agua de mar. Cuando se desplaza verticalmnte desu posicin de equilibrio, el madero oscila o se "alza" en direccin vertical al soltarlo. Estime lafrecuencia de oscilacin en este modo de alzamiento. Desprecie los efectos de la viscosidad y elmovimiento del agua.

3.120 Un recipiente cilndrico, similaral que se analiz en elproblema ejemplo 3.9, giraavelocidad angularconstante alrededo de su je. El cilindro tien un pie de diimetro y al inicio contien agua a unaprofundidad de 4 pulg. Determine la tasa mxima a la cual el recipiente puede girarse antes de quelasuperficie libre del lfquido apenas toque elfondo deltanque. Su respuesta depende de ladensidaddel lquido? Eplique.

3.121 Un acelermetro rudimentario puede conshuirse a patir de un tubo en U lleno de lquido. Deriveuna exprcsin paa la acelern A, en trminos de la diferencia de nivel del llquido, ,r, la geometradol tubo y las propiedadcs del fluido.

fa= 10 pie/s,

Ps.l2t

PROBLEMAS 105

3.122 Un recipiente rectangula de agua est sujeto a una aceleracin constante hacia abajo en un planoinclinado, como se ilustra Determine la pendiente de la superficie libre empleando el sistema decoordenadas indicado.

3.123 Un corodor ntena pala un maratn en una pista de careas bajo techo. Decide llevar una botellade agua llena a la mitad para calmar su sed, Suponga que cone a una velocidad uniforme, / = 5.3m/s, alrededor de vueltas de radio R = 17.5 m. Calcule laaceleracin radial del coredor y del agua.Estimeel ngulo d inclinacin promedio de Iasuperficie delagu4 marcando clararnente ladireccin.

3.124 Una cman hermtica, que contiene aceite manomtrico (DR = 0.8), gira en tomo a su eje convelocidad angular, o. Deduzca una expresin para el gradinte de presin radial en el aceite, plar,en trminos del radio, r, y la velocidad angular, (,.'.

3.125 Un tubo de ensayo se hace girar en una centrifugadora. El soporte del tubo est montado sobre unpivote de modo que el tubo se balacea hacia aer4 cualdo aumenta la velocidad de rotacin. Aelovadas velocidades, el tubo est prcticamente horizontal. Encuenbe a) una expresin para lacomponnte radial de laaceleacin deunelementode llquido, localizado a un radio,,, ) elgadientede presin radial dpldr y c) la prcsin mxima en el fondo del tubo de esayo, si ste contiene agua.(La superficie libre y el radio dl fondo son 50 y 130 mm, respectivamente.)

3.126 Un micromanmetro centrfugo puede mplease con elfin de crear presiones diferencials pequeasy exactas en aire, utilizadas en mediciones de altapecisin. El dispositivo consta de un pa de discospamlelos que rotan paa genera una diferencia de presin radial. No hay flujo entre los discos.Obtengauna expresin para la diferencia de presin en trminos de la velocidad de rotacin, el radioy la densidad del aire, Evale la velocidad de rotacin requerida para desarrolla una presindiferencial de 8 rm de agu4 empleando un dispositivo de 50 mm de radio.

3,127 El tubo en U que se muestra est lleno de agua a Z = 20 C. Est cerrado en,4 y abiefio a la atmsferaon D. El tubo se hace girar en tomo al eje vertical ,48. Para las dimensiones mostadas, calcule lavelocidad angular mxima si se supone que no habr cavitacin.

P3.127

3.128 A unacajacbic4 de I mdelado, llena a la mitad con aceite (DR : 0.80), se le da una aceleracinconstant horizontal de 0.29. Determine la pendiente de la superficie libre y la presin a lo largo delfondo de la caja.

3.129 Un recipiente rectangular, de dimensiones de 0.4 m x 0.2 m en la base y 0,4 m de altura" se llenacon agua a una profudidad de 0.2 m; la masa del recipiente vacio es l0 kg. El recipiente se pone enun plano inclinado a30o respecto a la horizontal. Si elcoeficiente de friccin de deslizamiento entreel rccipiente y el plano es 0.3, determine el ngulo de la superficie del agua relativa a la horizontal.

3.130 Si el ecipiente del problema 3.129 se desliza sin friccin, determine el ngulo de la superficie delagua relativa a la horizontal. Cul es la pendiente de la superficie libre para la misma aceleracinhacia aniba dcl plano?

3.131 Una lata parcialmente llena de bebida se coloca en el borde exterior de un carrusel, a una distancia

106 CAPTULO 3 ESTTICA DE FLUIDOS

R: 1.5 m del eje de rotacin. El difunetro y la altura de lalatasonD = 65 mmyl/ : 120 rmr.respectivamente. La lata est llena a la mitad, con densidad relativa DR = 1,06. Evale lapendienrede la superficie liquida en la lat4 si el camrsel gira a 0.3 evoluciones por segundo. Calcule lavelocidad de giro a la cual la lata se desbordarl4 suponiendo que no hay scparacin ente el fondode la lata y el carrusel. Sea ms probable que la lata se deramaa o quc deslizara fuera del crrusel?

3.132 Una cubet4 de I pie do difunotro y I pie de profundidad, pesa 3 lbfy contiene 8 pulg de agua. [,acubeta gira en un crculo venical dc 3 pies dc radio a una velocidad de 15 pieVs. Suponga que elagua se mueve como un cuerpo rigido. En el instante en que lacubetase encuenaa en la pate supeiorde su trayectori4 calcule la tensin en la cuerda y la presin del agua sobre el fondo de la cubeta.

3.133 Centfugas de gas se utilizan en un proceso paa producir uranio enriquecido para barras decombustible nuclear. La velocidad perifrica mxima de una centrlfuga de gas est limitada, porconsideraciones de esfuerzo, hasta aproximadamente 300 n/s. Suponga una centrlfuga que contienegas de hexafloruro de umnio, con masa molecat M, = 352y comportramiento de gas ideal. f)eduzcauna expresin para el cocient entre la presin mximay la presin en eleje dc la centrfuga. Evalela razn de presin para una temperatura de gas de 325 C.

3.134 Un recipiente rectangular, de 0.4 m X 0.2 ln de dimensiones en la base y altua de 0.5 m, so llenacon agua a una profundidad de 0.2 m; la masa del recipiente vacio es l0 kg. El recipiente se colocaen unasuperficie horizontal y se somcte a una fuerza horizontl constanto de 150N. Siel coeficientede friccin de deslizamiento enae el recipiente y la suprficie es 0.25 y el tanque se alinea con ladimensin corta a lo largo de ladieccin de movimiento, detemine a) la fuerza del aga sobre cadaextremo del tanque y ) la fuerza del agua sobrc el fondo del tanque.

3.135 Un automvil que viaja a 90 km,/h rcorre unacurva larga de 250 m de adio. Elaire acondicionadoest enceridido y las ventanas estn cerradas d modo que el aire dentro del auto se mueveesencialmente como un cuerpo rgido. Un nio en elasiento postrior sostien la cuerda de un globolleno de helio, En un trano recto lacuerda est vertical, pero en la curvano. Dtermine la magnitudy la direccin del ngulo de la cueda cuando se mide desde la vertical.

3.13 Se utilizan molds de hierro o acero fundido en una mquina mandriladora para hace fundicionestubulaes, tales como cilindos y tubos. Una caga de metal fundido se viene dentro del moldegiratorio, Laaceleracin radial permite que se formen scciones de pared con espesorcasi unifome.Un cilindro de acero, de longitud = 2 m, radio exterior r = 0.15 m y radio interiorr: 0.10 m,se va a forma mediante este proceso. Para alcanr un espesor casi uniforme, la aceleacin radialmnima debe ser l0g. Determine a) la velocidad angular requerida y ) las presiones mrxima yminima sobre- la superficie del molde-