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Cicerón Jiménez Sierra
CAPÍTULO 3
UNA INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DE PREDICADOS.
“Muchas palabras no dan prueba del hombre sabio, porque el sabio no ha de hablar sino cuando la necesidad demanda, y las palabras han de ser medidas y correspondientes a la necesidad”
Thales de Mileto
TEMAS Pag.
Una introducción a la lógica matemática y conjuntos para estudiantes de ingeniería
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BIBLIOGRAFIA
Bertrand Russell [Trelleck, 1872 – Plas Penrhyn, 1970]
Información tomada de Génesis y evolución del pensamiento científico. Documento de
Henri Poincaré disponible en http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm
Biografía y Vidas: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm
Bertrand Russell
Filósofo y matemático británico. Su abuelo, el notable político y orador John Russell, había sido nombrado conde por la reina Victoria, y
desempeñó los cargos de Primer Lord del Tesoro y Primer Ministro. Los padres del joven Bertrand, de mentalidad liberal con ciertos matices radicales, hubieran deseado para su hijo una brillante carrera política. Y así, luego de la formación recibida en el Trinity College de Cambridge, el joven fue
enviado en 1888 y para largo tiempo a los Estados Unidos, a fin de que pudiera estudiar allí la vida política y las instituciones del país.
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Cicerón Jiménez Sierra
De nuevo en la patria y, en calidad de "fellow", en el Trinity College, se vio alejado de tal institución en 1916 debido a la actitud pacifista intransigente adoptada en el curso de la primera Guerra Mundial. Ello le valió asimismo cuatro meses de cárcel, durante los cuales redactó su Introducción a la filosofía matemática (Introduction to Mathematical Philosophy, 1919).
Anteriormente, en 1900, había publicado un importante libro acerca de Leibniz, y en 1910 Principia Mathematica (en colaboración con el filósofo A. N. Whitehead), texto que proponía una interpretación "logística" de las matemáticas. Dicha tesis de la reducción absoluta de tal ciencia a la lógica había sido también sostenida en Principles of Mathematics, en 1903. La "teoría de los tipos", la de los números como "clases de clases" y la "paradoja de Russell" fueron los resultados más significativos de esta amplia labor de investigación.
En 1920 nuestro autor se hallaba en Rusia. El mismo año llegó hasta Pekín, y en tal ocasión fue considerado muerto por numerosos periódicos europeos; ello se redujo, en la realidad, a una mera pulmonía. Vuelto a Inglaterra, el filósofo publicó, entre 1921 y 1927, algunos libros que difundieron ulteriormente su celebridad: Análisis de la Mente (Analysis of Mind, 1921) y Análisis de la Materia (Analysis of Matter, 1927). Con su segunda esposa, Dora Black, con la cual contrajo matrimonio en 1921 (en 1894 se había casado con Alys Smith), estableció en Londres, de 1927 a 1932, una escuela infantil inspirada en una pedagogía progresiva y despreocupada.
En 1936 celebró terceras nupcias con Patricia Spence, y en 1938 fue llamado a la Universidad de Chicago en calidad de "visiting professor" de Filosofía. El año siguiente enseñó en la California University, de Los Ángeles. En 1940 su cargo en el City College de Nueva York dio lugar a una polémica extremadamente áspera, y provocó apasionadas protestas en algunos ambientes: se le reprochaba la exposición en forma singularmente cruda de sus opiniones acerca de la vida sexual.
Además de las investigaciones de carácter lógico-matemático, Russell, en
efecto, había realizado, con singular fortuna, el estudio de problemas sociales y ético-políticos, y publicado, en consecuencia, textos como Matrimonio y Moral (Marriage and Morale, 1929), La Conquista de la Felicidad (The Conquest of Happiness, 1930) y La Educación y el Orden Social (Education and the Social Order, 1932). En tales obras el autor se revelaba escritor delicado y agudo, a quien el racionalismo y la elegante ironía inducían a soluciones con frecuencia paradójicas, pero siempre muy estimulantes.
En 1950 recibió el premio Nobel de Literatura. En 1952, a los ochenta años, se unía en cuartas nupcias a Edith Finch, y en 1953 publicaba la novela Satanás en los Suburbios y Otras Narraciones (Satan in the Suburbs and Other Stories). En 1955 dio a la imprenta el testamento espiritual de Albert
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Einstein, y se manifestó abiertamente en favor de la prohibición de la guerra atómica y de los conflictos bélicos en general.
Tomado de Biografías y Vidas:
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/russell_bertrand.htm
Friedrich G. Frege
Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo
del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y
desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los
cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.
INTRODUCCIÓN
La Lógica de Predicados o Lógica de Primer Orden, L1 , es una generalización de la Lógica
de Proposiciones, L0. Ahora, en L1, se atenderá a la estrucura interna de las proposciones
atómicas, que comprende concetivos, términos, predicados y cuantificadores.
Un término es la expresión con la que se nombra o se designa un único objeto. Es la
expresión verbal de un concepto o idea. Mientras que, el predicado de una proposción es
todo lo que se dice del sujeto.
Ejemplo 53. Término y predicado de una proposición
Proposición Término Predicado
Neil es ingeniero electrónico “Neil” “es ingeniero electrónico”
Tatiana es química es farmacéutica “Tatiana” “es química es farmacéutica”
5 + 6 = 11 “5 + 6” “es igual a 11”
Este triángulo es equilátero “Este triángulo” “es equilátero”
7 pertenece al conjunto de los reales “7” “pertenece al conjunto de los
reales”
Variable. Una variable es el término más importante de la matemática; su función gramatical
en L1 es semejante a los pronombres y nombres comunes del lenguaje natural en el que
hablamos. Se simbolizan por 1 2 3, , ,..., , , ,...x y z x x x Veamos una ilustración de como se
introducen las variables en el Lenguaje de Predicados.
PROPOSICIÓN EN LENGUAJE
NATURAL
PROPOSICIÓN CON VARIABLES
Todo triángulo equilátero es isósceles Para todo x, si x es un triángulo equilátero
entonces x es isósceles.
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Algunos números enteros son
naturales
Existe por lo menos un x tal que, x es entero y x
es natural.
Cualquier número irracional es real Para todo x, si x es número irracional entonces x
es real.
Alguna persona que estudia las
matemáticas es disciplinado
Existe por lo menos un x tal que, x es persona
que estudia las matemáticas y x es disciplinado.
Todo abogado es deshonesto Para todo x, si x es abogado entonces x es
deshonesto.
Algunos estudiantes son responsables Existe por lo menos un x tal que, x es estudiante
y x es responsable.
Ahora podemos dar una definión de término.
Definición. Un término es una expresión con la que se nombra o se designa un único objeto
o es una variable que puede ser sustituida por una expresión que nombre o designe un objeto
único.
4.1 PROPOSICIÓN CUANTlFICADA
Función proposicional. Una función proposicional es una expresión que tiene la forma de
proposición pero su valor de verdad “verdadero” o “falso” está indeterminado debido a la
presencia de variables. Consta de un término, representado por una variable y un predicado
representado con una letra mayúscula obtenida de la principal palabra del predicado. Una
variable es una cantidad que toma cualquier valor dentro de un universo U de valores. Así
por ejemplo,
: 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U
es una función proposicional donde x es una variable que toma sus valores en el universo de
los números enteros. xI se lee I sub x.
Una función proposicional puede convertirse en proposición de dos maneras. La primera,
consiste en sustituir la variable por un valor determinado del universo. En el ejemplo
anterior, si a x le damos el valor de 8, tenemos 8 + 5 = 7 la cual es una proposición falsa,
mientras que si x es 2 se tiene 2 + 5 = 7, una proposición verdadera. La proposición resultante
mediante este procedimiento se le llama proposición particular debido a que se ha tomado
un valor particular del universo.
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La segunda forma de convertir una función proposicional en proposición consiste en un
procedimiento de cuantificación. Un cuantificador es una expresión que cuantifica los
individuos del universo que cumplen una condición determinada dada en la función
proposicional; se clasifica en universal y existencial.
El cuantificador universal le da sentido a la función proposicional introduciendo todos los
valores del universo como su conjunto solución. Cuantifican universalmente, entre otras
expresiones, todo(a), cualquier(a), para todo, para cualquier, ningún(a), nadie. El
cuantificador universal es simbolizado .
La anterior función proposicional : 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U se
convierte en proposición cuando se cuantifica su variable universalmente:
xx U I : , 5 7Para todo x U x (F)
Esta proposición enuncia que todos los números enteros cumplen la propiedad que al ser
sumados con 5 dan 7, lo cual es evidentemente falso.
Por otro lado, el cuantificador existencial le da sentido a la función proposicional en forma
tal que introduce solo algunos valores del universo en su conjunto solución. Cuantifican
existencialmente, entre otras expresiones, algún(a), existe por lo menos uno, existe aunque
sea uno, hay unos y existe un único. El cuantificador existencial es denotado . El símbolo
! significa existe un único.
La función proposicional : 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U se convierte
en proposición cuando se cuantifica su variable existencialmente:
xx U I : , 5 7Existe por los menos un x U tal que x (V)
Esta proposición enuncia que algunos números enteros cumplen la propiedad que sumados
con 5 dan 7, lo cual es verdadero.
Ejemplo 53. Proposiciones cuantificadas
Consideremos la función proposicional : xP x es primo y su universo de valores para la
variable 1,2,3,4,5,6,...x , la cual hace referencia a la propiedad de ser primo en el
universo de los números naturales. Son proposiciones cuantificadas:
xx P : Para todo x , x es número primo (F) (1)
: Todo número natural es primo (2)
: Cualquier número natural es primo (3)
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Ésta es una proposición cuantificada universalmente. La primera forma está escrita en
lenguaje matemático mientras que la segunda y tercera formas están escritas en lenguaje
español normal.
El diagrama evidencia la falsedad de la proposición porque lo correcto es que “todo primo es
natural” y no al revés. También es proposición,
: , xx P Existe por lo menos un x tal que x es número primo (V) (1)
: Algún número natural es primo (2)
: Hay números naturales que son primos (3)
Este diagrama evidencia la verdad de la proposición porque tan solo hay algunos números
naturales que son primos.
Ésta, está cuantificada existencialmente. Al igual que en el caso anterior, la primera forma
está escrita en lenguaje matemático mientras que la segunda y tercera formas están escritas
en lenguaje español normal.
Las expresiones xx P y xx P son los símbolos para denotar una
proposición cuantificada. Contienen el cuantificador, la variable, el universo y una letra para
representar el predicado generalmente relacionada con la palabra principal del predicado.
Ejemplo 54. Proposiciones cuantificadas
Formar las proposiciones cuantificadas con la función proposicional y su universo:
: yF y es fiel en la relación de pareja ; U = hombres de Neiva
Solución
yy U F : Para todo y U , y es hombre fiel en la relación de pareja
: Todo hombre de Neiva es fiel en la relación de pareja
Dejemos que el género femenino determine el valor de verdad de esta proposición, que creo
debe ser verdadera para ellas.
yy U F :
Correcto Incorrecto
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Existe por lo menos un y U tal que, y es hombre fiel en la relación de pareja
Algún hombre de Neiva es fiel en la relación de pareja
Algunos hombres de Neiva son fieles en la relación de pareja
Ejemplo 55. Proposiciones cuantificadas
Formar las proposiciones cuantificadas con la función proposicional y su universo:
:uE u es número entero; 1,2,3,4,5,...U = conjunto de los números naturales
Solución
Los números que tienen la propiedad de ser enteros son:
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... = Números enteros
La relación entre naturales y enteros gráficamente se muestra a continuación:
En diagramas de Venn:
Así, las proposiciones son:
uu U E : Para todo u U , u es número entero
: Todo número natural es entero
: Cualquier número natural es entero
: Ningún número natural es no entero
uu U E : Existe al menos un u U tal que, u es números entero
: Algún número natural es entero
: Hay números naturales que son enteros
: Existe números naturales que son enteros
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Ejemplo 56. Proposiciones cuantificadas
Expresar la proposición cuantificada en la forma literal x y x y y x
Solución
El símbolo representa el conjunto de los números reales. A continuación una
representación de este conjunto de números:
33 5 60, 1, 2, 3,... , , ,... 2, 3, 6,... , ...
4 2 5Irracionales
Racionales
e
En este ejemplo, es el universo para la función proposicional :xS x y y x , dondeS
significa suma. Los símbolos y e son los números pi y euler respectivamente.
La interpretación literal de la proposición cuantificada es:
x y x y y x [Lenguaje de la lógica matemática]
Para todo x y para todo y , x y y x [Lenguaje matemático]
Para todos los números reales, el orden de los sumandos no altera el total [Lenguaje español]
En el conjunto de los números reales, el orden de los sumandos no altera la suma o total.
Ejemplo 57. Proposiciones cuantificadas
Interpretar literalmente la proposición cuantificada ! 0x y x y y x
Solución
La función proposicional implícita en la proposición cuantificada es 0x y y x y el
universo de valores de las variables ,x y es , el conjunto de los números reales. Su
interpretación en lenguaje matemático y en lenguaje español ordinario es
! 0x y x y y x [Lenguaje de la lógica matemática]
Para todo x , existe y tal que, 0x y y x [Lenguaje matemático]
Para cualquier número real existe un único real tal que sumados dan cero [Lenguaje español
ordinario].
Ejemplo 58. Proposiciones cuantificadas
Consideremos las proposiciones simples:
p: 3 es un número impar (V); [proposición particular]
xx P :Todo número entero impar es primo (F); [proposición cuantificada]
Formalice y enuncie su conjunción, disyunción, condicional y bicondicional
Solución
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Conjunción
xp x P : 3 es número impar y todo número impar es primo (F)
Disyunción
xp x P : 3 es número impar o todo número impar es primo (V)
Condicional
Condicional directo
xp x P : Si 3 es número impar entonces todo número impar es primo (F)
Condicional recíproco
xx P p : Si todo número impar es primo entonces 3 es impar (V)
Bicondiconal
xp x P : 3 es número impar si y solo si todo número impar es primo (F)
4.2 EL TÉRMINO NINGUN EN LAS PROPOSICIONES CUANTIFICADAS Y
NEGACION DE LAS PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
El término ningún. El término ningún niega la existencia de elementos del universo que
cumplen la condición de la función proposicional. Por ejemplo, decir que “ninguna persona
me quiere” significa que “todas personas no me quieres”. Para expresar una proposición que
contiene el término ningún en otra equivalente con el cuantificador universal se sigue la
fórmula siguiente
~x xNingún x U P x U P
Ejemplo 59. Proposiciones cuantificadas
Escribir y simbolizar las proposiciones que contienen el término ningún (cuantificador
universal negativo) en otra equivalente con cuantificador positivo.
1. Ningún cristiano es ateo (V)
U = conjunto de cristianos
: xA x es ateo
~
x
x
Ningún x U A Ningún cristiano es ateo
Todo cristiano es no ateo V
x U A
2. Ninguna persona es no lectora (V)
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U = conjunto de personas
: xA x es lector
~
x
x
Ningún x U A Ninguna persona es no lector
Toda persona es lectora F
x U A
Negación de las proposiciones cuantificadas universalmente. La fórmula para la negación
de una proposición cuantificada universalmente (xU)(Px) es
~ ~x xx U P x U P ,
la cual expresa literalmente: “No es cierto que, para todo x de U se cumple la propiedad P,
equivale a, existe por lo menos un x en U tal que no cumple la propiedad P”.
Negación de las proposiciones cuantificadas existencialmente. La fórmula para la
negación de una proposición cuantificada existencialmente (xU)(Px) es
~ ~x xx U P x U P ,
la cual se expresa literalmente: “No es verdad que, existe algún x de U que cumple la
propiedad P, equivale a, cualquier x en U no cumple la propiedad P”.
Ejemplo 60 Proposiciones cuantificadas
Negar las proposiciones siguientes:
1. uu U E : Todo número natural es entero (V)
2. uu U E : Algún número natural es entero (V)
3. 0x y x y y x (V)
4. xp x P : Si 3 es número impar entonces todo número impar es primo (F)
Solución
1.
~ ~
lg
u uu U E u U E
A ún número natural no es entero F
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2.
~ ~
u uu U E u U E
Todo número natural no es entero F
3. ~ 0 0x y x y y x x y x y y x
4. ~ ~x xp x P p x P
3 es número impar y algún número impar no es primo (V)
PRACTICA 4
"El éxito no es para quienes se quedan pensando que pueden hacer algo sino para
quienes lo hacen"
Anónimo
Cuantificar universal y existencialmente las funciones proposicionales para formar
proposiciones. Simbolizar las proposiciones. Negar cada proposición.
1. x es felino; U = conjunto de gatos
2. y es responsable; U = conjunto estudiantes
3. z es fácil de leer; U = conjunto de libros de matemáticas
4. w es número racional; U = conjunto de los números enteros
5. w es número real; U = conjunto de los números racionales
6. t es número complejo; U = conjunto de los números reales
7. v es polígono; U = conjunto de los triángulos
8. m es polígono; U = conjunto de las figuras geométricas
9. n es región plana; U = conjunto de los ángulos
Expresar literalmente en lenguaje matemático y en lenguaje español las siguientes
proposiciones cuantificadas. Dar su valor de verdad. Escriba por lo menos una proposición
particular de cada proposición cuantificada. Negar cada proposición.
10. x y xy yx : Propiedad conmutativa de la multiplicación de reales
11. , 0 1x y y xy yx : Propiedad del recíproco multiplicativo en los
reales
12. x y z xy z x yz : Propiedad asociativa de la multiplicación de
reales
13. x y z x y z x y z : Propiedad asociativa de la
adición de reales.
14. x y z x y z xy xz : Propiedad distributiva de la
multiplicación de reales respecto a la suma.
15. x y x y y x
13
Cicerón Jiménez Sierra
16. x y x y y x
17. x y xy yx
18. 10 0x x
19. 10 0x x
20. 2 9 3 3x x x x
21. 2 9 3 3x x x x
Sean las proposiciones:
xx C R : Todo cuadrado es rombo (V); : xR x es rombo ; U C cuadrados
xx R C : Algún rombo es cuadrado (V); : xC x es cuadrado ; U R rombo
Simbolizar y expresar literalmente las fórmulas bien formadas y dar su valor de verdad.
Negar cada proposición.
22. x xx C R x R C
23. x xx C R x R C
24. x xx C R x R C
25. x xx R C x C R
26. x xx C R x R C
27. Completar la tabla tal como se ilustra. Expresar una proposición con el término ningún
en otra equivalente con el cuantificador universal
Frase con el término “ningún” Frase con cuantificador universal
Ningún número par es primo equivale todo número par no es primo
Ningún hombre de Neiva es bueno equivale
(Ningún xZ)(x es primo) equivale
equivale todo pato vuela
(Ningún xZ)(x es primo) equivale
Negar las proposiciones
28. Ningún número entero es natural.
29. Ningún triángulo rectángulo es no equilátero.
Algunas de las siguientes proposiciones son particulares y otras cuantificadas. Negar estas
proposiciones.
30. Algún número racional no es entero y 1
2 es racional.
Una introducción a la lógica matemática y conjuntos para estudiantes de ingeniería
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31. Si el sábado estudio fundamentos entonces no estudio geometría.
32. Estudio o escucho rock.
33. Si aprueba el semestre en limpio entonces se va de vacaciones a San Andrés.
34. Si hay oxígeno entonces hay vida.
35. Algún huilense es activo o todo huilense es honesto.
36. Si un auto anda entonces tiene combustible.
37. Si 2³ = 6 entonces 2.2.2 = 6.
38. Un conjunto es vacío si y solo si no carece de elementos.
39. Si alguna figura no es la mitad de un paralelogramo entonces su área 𝐴 ≠𝑏ℎ
2.
40. Paso al tablero si y solo si no me califica.
41. Toda circunferencia tiene longitud y todo círculo tiene área.
Kurt Gödel (1906-1978). Lógico y matemático
estadounidense de origen austriaco. En 1931 publicó el
artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del
Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que
propuso sus dos teoremas de la incompletitud, el primero de
los cuales establece que ninguna teoría finitamente
axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano
(esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la
vez consistente y completa.
En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría
fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas
y las reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo
que sea posible estipular con precisión qué es y qué no es un
axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los postulados de
Peano), incompleta (existirá al menos una proposición matemáticamente válida que no será
derivable de la teoría) o inconsistente.
El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si una teoría es
finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces
dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la demostración de las
imperfecciones del sistema axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos,
para la elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel echó
definitivamente por tierra las empresas formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y
Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación
de las matemáticas basada en dichos instrumentos.
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Cicerón Jiménez Sierra
Aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la
consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez
semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal
establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el
que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se
demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización
completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir
una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero
admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para
probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.
4.3 INFERENCIA
4.3.1
copi
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE UNA ARGUMENTACIÓN
Se puede demostrar la validez de los argumentos que contienen proposiciones cuantificadas
mediante cuatro reglas de inferencia, Instanciación Universal, UI; Generalización Universal,
GU; Generalización Existencial, GE; y, Instanciación Existencial, IE. Obsérvese la siguiente
gráfica.
1. Instanciación Universal (IU)
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Como ya se sabe, una propiedad de las proposiciones cuantificadas universalmente es:
x U Fx si y solo si Fc es verdadera para todo c U , donde c es una constante del
universo U. Es decir, x U Fx es verdadera si y solo si todas las instancias de
sustitución Fc son verdaderas. Esto implica que toda instanciación de sustitución puede
inferirse de la proposición cuantificada:
___________
x U Fx
Fc
Ejemplo. Demostración de la validez de un argumento
“Todo número natural es entero. 100 es número natural. Luego, 10 es entero”.
Formalicemos el argumento:
Todo número natural es entero: x Nx Ex
100 es natural: 100N
Así:
Paso 1 Conclusión
1 1 x Nx Ex Premisa
2 2 100N Premisa
3 1,2 100E Regla de inferencia IU
2. Generalización Universal (GU)
EVALUACIÓN GENERAL
1. Es tautología
A. p p
B. p p
A. Si algún número no es primo entonces 2
no es primo o 0.5no es primo
B. 2 no es primo o no es primo y todo
número no es primo
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Cicerón Jiménez Sierra
C. p p
D. p p *
2. “ x c y c es condición necesaria para
que x y ”. Esta proposición también se
escribe correctamente
A. x c y c es condicioón suficiente
para x y
B. Si x y entonces x c y c *
C. Si x c y c implica que x y
D. x y siempre que x c y c
3. “Si una fbf es disyunción entonces entonces
no es conjunción”. La contrarrecíproca de este
condicional es
A. Si una fbf es conjunción entonces no es
disyunción*
B. Si una fbf no es conjunción entonces
entonces es disyunción
C. Si una fbf es no es disyunción entonces es
conjunción
D. Si una fbf no es conjunción entonces no es
disyunción
4. “Alguna fbf no es tautología”. La negación de
esta proposición es
A. Toda fbf no es tautología
B. Ninguna fbf es tautología
C. Ninguna fbf no es tautología*
D. Alguna fbf es tautología
5. “Si ninguna fbf no es tautolgía entonces
alguna fbf es contradicción”. La
contradirecta de este condicional es
A. Si alguna fbf es tautología entonces
ninguna fbf es contradicción
B. Si alguna fbf no es tautolgía entonces toda
fbf no es contradicción*
C. Si toda fbf no es contradicción entonces
alguna fbf es tautología
D. Si toda fbf es contradicción entonces
alguna fbf no es tautología
6. “Si 2 es primo y 0.5 es primo entonces algún
número es primo”. La negación de esta
proposición es
C. algun número es primo y 2 no es primo o
0.5no es primo
D. *2 es primo y 0.5 es primo y todo
número no es primo
7. La regla de razonamiento que permite deducir
m n de las premisas m n t
y t es
A. Tollendo ponens *
B. Ponendo ponens
C. Tollendo tollens
D. Simplificación
8. La regla de razonamiento que permite deducir
u de la premisa r s u es
A. Conmutativa de la disyunción
B. Simplificación*
C. Ponendo ponens
D. Tolendo tollens
9. De las premisas w z u , v u
, v se deduce
A. z w
B. z w *
C. z w
D. z w
10. De las premisas a b c , d e
a b d se deduce
A. c e
B. c e
C. c e *
D. c e
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¿Cuánto sabemos? EvaluaciónSaber Pro 1
PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON UNA RESPUESTA
Tres valores son esenciales en la vida: responsabilidad, respeto y honestidad. Lea lo
suficientemente despacio para comprender la pregunta y conteste en la hoja de respuestas
señalando una sola opción A, B, C o D. Señale aquellas ítems que NO comprende. Por ningún
motivo conteste al azar.
1. La regla de razonamiento que permite
deducir
a b de las premisas
a b c y c es
A. Tollendo ponens*
B. Conmutativa de la disyunción
C. Ponendo ponens
D. Tolendo tollens
2. “Si una fbf es disyunción entonces entonces no es conjunción”. La contradirecta de este condicional es A. Si una fbf es disyunción entonces
entonces es conjunción B. Si una fbf es no es disyunción
entonces es conjunción* C. Si una fbf no es conjunción
entonces no es disyunción D. Si una fbf es conjunción entonces
no es disyunción 3. La negación de esta proposición
“Cualquier número real es
racional”.
es
A. Algún número real no es racional*
B. Cualquier número real no es
racional
C. Todo número real es racional
D. Algún real es racional
E.
4. “Si alguna fbf no es contradicción
entonces ninguna fbf es tautología”.
La contrarrecíproca de este
condicional es
A. Si ninguna fbf es tautología
entonces alguna fbf no es
contradicción
B. Si alguna fbf es tautología
entonces toda fbf es contradicción
C. Si toda fbf es tautología entonces
toda fbf es contradicción
D. Si alguna fbf es tautología
entonces toda fbf es contradicción*
5. “Si todo número es primo entonces 2
es primo y 0.5 es primo”. La
negación de esta proposición es
A. Si algún número no es primo
entonces 2 no es primo o 0.5no es
primo
B. Si algún número no es primo
entonces 2 no es primo o 0.5no es
primo
19
Cicerón Jiménez Sierra
C. Todo número es primo y 2 no es
primo o 0.5no es primo*
D. Todo número es primo o 2 no es
primo o 0.5no es primo
6. La regla de razonamiento que permite
deducir
a b de las premisas
a b c y c es
A. Ponendo ponens
B. Adición
C. Tolendo tollens*
7. “Alguna fbf no es tautología”. La
negación de esta proposición es
A. Toda fbf no es tautología
B. Ninguna fbf es tautología
C. Ninguna fbf no es tautología*
D. Alguna fbf es tautología
8. Consideremos la siguiente hipótesis:
“Este triángulo es isósceles o
equilátero. Además, si este triángulo
es equilátero, tiene los tres lados
iguales. Pero, este triángulo no tiene
los tres lados iguales”
La conclusión que se obtiene de la
anterior hipótesis es
A. este triángulo es equilátero e
isósceles.
B. *este triángulo es isósceles.
C. este triángulo no tiene los tres
lados iguales.
D. este triángulo no es isósceles
LAS PREGUNTAS 8 A 10 SE
CONTESTAN CON EL SIGUIENTE
TEXTO DONDE SE HA
INTRODUCIDO PARTE DE UNA
DEMOSTRACIÓN
PREMISAS DE
APOYO PASO
CONSECUENCIAS LÓGICAS O
CONCLUSIONES
JUSTIFICACIÓN DEL PASOS
DADO
1p 1 z y Premisa
2p 2 z s m Premisa
3p 3 m q u Premisa
4p 4 q u Premisa
5 ? 6 m ?
9. La consecuencia lógica o conclusión
en el paso 5 es
A. q u
B. q u
C. q u *
D. q u
10. La justificación del paso 6 de la
demostración es
A. Ley de De Morgan en los pasos 5 y
3
B. Modus tollendo tollens en los
pasos 5 y 3*
C. Modus tollendo ponens en los
pasos 5 y 3
D. Modus ponendo ponens en los
pasos 5 y 3
11. El conjunto de premisas de apoyo para
la conclusión en el paso 6 es
A. 2, 3p p
B. 1, 3p p
C. 2, 4p p
D. 3, 4p p *
12. La negación de la fórmula bien
formada de la lógica
x U Fx p q ∼ es
A. x U Fx p q ∼ ∼ ∼
B. x U Fx p q ∼ ∼ ∼
C. x U Fx p q ∼ ∼
*D. x U Fx p q ∼
13. La negación de la proposición
5 10 1 10y y y y
es
Una introducción a la lógica matemática y conjuntos para estudiantes de ingeniería
20
A.
5 10
1 10
y y
y y
B.
5 10
1 10
y y
y y
C.
5 10
1 10
y y
y y
*
D.
5 10
1 10
y y
y y
14. “Que n sea par es condición suficiente
y necesaria para que 1n sea impar”.
Esta afirmación también se puede
escribir como
A. “ n es par si y solo si 1n es
impar”*
B. “Si n es par entonces 1n es
impar”
C. “Si 1n es impar entonces es
par”
D. “ 1n es impar y n es par”
15. “Si un número n es entero entonces
n es par o n es impar”. La
contrarrecíproca de este condicional
es
A. Si n es par o es impar entonces es
número entero
B. Si n no es par o n no es impar
entonces n no es entero
C. Si n no es par y n no es impar
entonces n no es entero *
D. Si n no es entero entonces n no es
par o no es impar
16. “Ninguna fbf no es tautología”. La
negación de esta proposición es
A. Toda fbf no es tautología
B. Ninguna fbf es tautología
C. Alguna fbf no es tautología*
D. Ninguna fbf no es tautología
17. “Si ninguna fbf no es tautolgía
entonces toda fbf es contradicción”.
La contrareciprca de este condicional
es
A. Si alguna fbf es tautología
entonces ninguna fbf es
contradicción
B. Si alguna fbf no es contradicción
entonces alguna fbf no es
tautología*
C. Si alguna fbf es contradicción
entonces toda fbf no es tautología
D. Si alguna fbf no es tautolgía
entonces alguna fbf no es
contradicción
18. “Si algún número es primo entonces
17 es primo o 0,17 es primo”. La
negación de esta proposición es
A. 17 no es primo y 0,17 no es primo
y algún número es primo*
B. Si algún número no es primo
entonces 2 no es primo o 0.17 no
es primo
C. 17 no es primo o no 0,17 no es
primo y todo número no es primo
D. algun número es primo y 17 no es
primo o 0.17 no es primo
19. La regla de razonamiento que permite
deducir
x w de las premisas x y y
y w es
A. Ponendo ponens
B. Adición
C. Silogismo transitivo *
D. Tollendo ponens
20. La regla de razonamiento que permite
deducir
r s u de la premisa u es
A. Simplificación
B. Adición*
C. Tolendo tollens
D. Silogismo disyuntivo
21. De las premisas v , v u ,
w z u , se deduce
A. z w
21
Cicerón Jiménez Sierra
B. z w C. z w *
D. z w
22. De las premisas a b c
,
d e a b d
se deduce
A. c e B. c e *
C. c e
D. c e
23. Considere el siguiente razonamiento.
La lógica matemática es fácil y le
gusta a los estudiantes de
ingeniería. Si la lógica matemática
es fácil, el estudiante de ingeniería
deduce. Si le gusta a los
estudiantes de ingeniería, habrá
aplicaciones lógicas. Por
consiguiente, los estudiantes de
ingeniería deducen y hacen
aplicaciones lógicas.
Se borró las que no son
Una introducción a la lógica matemática y conjuntos para estudiantes de ingeniería
22
23
Cicerón Jiménez Sierra