CAP5 Aplicaciones de Estructuras de Datos - Grafos

7/23/2019 CAP5 Aplicaciones de Estructuras de Datos - Grafos

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1

Profesor:Mag. Fernando Alva Manchego

Pontificia Universidad Catlica del PerFacultad de Ciencias e Ingeniera

Especialidad de Ingeniera Infor!ticaCurso: AlgoritiaCaptulo ": Aplicaciones de Estructuras de #atos

$%&'($


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2

)rafos


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3

#efinicin

Un grafo G = (V, E) est definido por el par deconjuntos:

*: conjunto finito no vaco de eleentos llaadosv+rtices

E: conjunto de pares de v!rtices llaados aristas

LEVITIN, A. Introduction to The Design and Analysis of Algorithms. 3ra edicin.

USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1

a c #

d e $

V={a,b,c,d,e,f}

E={(a,c),(a,d),(b,c),(b,f),(c,e),(d,e),(e,f)}

GrafoG


4/40

"

)rafos ,o #irigidos

#i las aristas (u, v)$ (v, u) son las isas, se dice%ue los v!rtices u$ vson ad-acentes$ %ue estnconectados por la arista no dirigida(u, v)

Un &rafo Ges llaado no dirigidosi cada una desus aristas es no diri&ida


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1

a c #

d e $

V={a,b,c,d,e,f}

E={(a,c),(a,d),(b,c),(b,f),(c,e),(d,e),(e,f)}

Grafo no dirigidoG


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'

)rafos #irigidos o #igrafos

#i las aristas (u, v)$ (v, u) no son las isas, sedice %ue la arista (u, v) est dirigidadesde elv!rtice u

Un &rafo es llaado dirigido(o digrafo) si todassus aristas son diri&idas

a c #

d e $

V={a,b,c,d,e,f}

E={%a,c&,%#,c&,%#,$&,%c,e&,%d,a&,%d,e&,%e,c&,%e,$&}

Grafo dirigidoG


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1


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erinologa

Un &rafo con todos sus pares de v!rticesconectados por una arista es llaado copleto


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1


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erinologa

Un &rafo con relativaente pocas aristas faltanteses llaado denso

Un &rafo con pocas aristas relativas al n*ero de

sus v!rtices es llaado esparso

es'arso denso


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1


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/epresentacin de

)rafos


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A# )rafo: 0peraciones

-rear un &rafo vaco .nsertar una arista en un &rafo

.nsertar un v!rtice en un &rafo

Verificar si e/iste deterinada arista en el &rafo Verificar si e/iste deterinado v!rtice en el &rafo

Eliinar una arista del &rafo

Eliinar un v!rtice del &rafo .priir un &rafo

0tener el n*ero de v!rtices del &rafo


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A# )rafo: 1Co se representa2

a selecci4n de la estructura de datos correcta pararepresentar &rafos tiene un ipacto enore en el

desepe5o de un al&orito

6epresentaciones usuales:

7atri8 de ad$acencia

Estructura de ad$acencia (con listas de ad$acencia)


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Matri3 de Ad-acencia

9ado un &rafo G = (V, E), la atri3 de ad-acenciaMes una atri8 de orden n x n, tal %ue: n= n*ero de v!rtices M4i5 67 8 &, si e/iste la arista del nodo ial nodoj M4i5 67 8 %, si no e/iste la arista del nodo ial nodoj

a c #

d e $

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

a

b

c

d

e

f

a b c d e f

M =

G = (V, E)


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1


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Matri3 de Ad-acencia

Es la fora s siple de representaci4n

ropiedades:

Es si+tricapara un &rafo no diri&ido M[i, j] = M[j, i], para todo 0


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Estructura de Ad-acencia

9ado un &rafo G = (V, E), la estructura dead-acencia A es conjunto de n listas A(v), una

para cada v!rtice v%ue pertenece a V

-ada listaA(v)es llaada lista de ad-acencia delv!rtice v$ contiene los v!rtices wad$acentes a v

en G

a c #

d e $

G = (V, E)

a

b

c

d

e

f

c d

c f

a b e

a e

c d f

b e

A =


14/401"

19 para un grafo dirigido2

a c #

d e $

G = (V, E)

&

& &

&

& &

& &

a

b

c

d

e

f

a b c d e f

M =

a

b

c

d

e

f

c

c f

e

a e

c f

A =


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Estructura de Ad-acencia

6epresentaci4n s elaorada

ropiedades:

;lacenaiento: 0(


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1

Coparacin de /epresentaciones

Caracterstica Matri3 deAd-acencia

ista deAd-acencia

Alacenaiento 0(


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1

1Cu!ndo usar cada representacin2

#i un &rafo es esparso, la representaci4n por listasde ad$acencia podra usar enos espacio %ue su

correspondiente atri8 de ad$acencia> la situaci4n

es e/actaente opuesta para &rafos densos

En &eneral, cul de las dos representaciones es

s conveniente depende de la naturale8a del

prolea, el al&orito usado para resolverlo $,posileente, el tipo de &rafo (esparso o denso)


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1+

/ecorrido de )rafos


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1

/ecorriendo un )rafo

6ecorrer un &rafo es un prolea fundaental

#e dee tener una fora sistetica de visitar las

aristas $ los v!rtices

El al&orito dee ser lo suficienteente fle/ile

para adecuarse a una diversidad de &rafos

Eficacia:?o dee @aer repeticiones (innecesarias) devisitas a un v!rtice $Ao arista

Correctitud: Bodos los v!rtices $Ao aristas deen servisitados


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2

Estrategia )eneral

7arcar los v!rtices coo ?o visitados

Visitados

rocesados

C

#i se antiene una lista de v!rtices !"ce#ad"#

e/isten dos posiilidades de ipleentaci4n:

-ola ila


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21

=F>: =readth(First >earch

D*s%ueda en aplitud (o por niveles) Estructuras de datos $ variales:

Por *isitar:-ontiene la cola de v!rtices del &rafo %uevan siendo procesados $ a*n faltan visitar

*isitados:-ontiene toda la lista de nodos %ue @an sidovisitados a lo lar&o del al&orito

P: V!rtice del &rafo %ue est siendo procesado en cadapaso (iteraci4n)

?i6os@P: ista de nodos ad$acentes a *+rtice Inicial - *+rtice Final >entidode lectura (@orarioAanti@orario)


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22

=F>: =readth(First >earch

Inicio=F>(Grafo, orVisitar, Vertice.ni, Verticein, #entido)

Cola@Iniciali3ar(orVisitar)

ista@Iniciali3ar(Visitados)

Cola@Enueue(Vertice.ni, orVisitar)

MientrasCola@Es*acia(orVisitar) = FA>09 F Verticein hacer

= Cola@#eueue(orVisitar) $!"ce#a!

ista@Insertar(Visitados, )

HijosI = )rafo@Ad-acentes(Grafo, , #entido)

Paracadau HijosI A u Visitados hacerCola@Enueue(orVisitar, u)

FinMientras

Fin=F>


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23

E6eplo =F>

6ecorra el si&uiente &rafo con D# coen8andopor el v!rtice a $ uscando el v!rtice f:

a c #

d e $


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2"

#F>: #epth(First >earch

D*s%ueda en profundidad Estructuras de datos $ variales:

Por *isitar:-ontiene la pila de v!rtices del &rafo %uevan siendo procesados $ a*n faltan visitar

*isitados:-ontiene toda la lista de nodos %ue @an sidovisitados a lo lar&o del al&orito

P: V!rtice del &rafo %ue est siendo procesado en cadapaso (iteraci4n)

?i6os@P: ista de nodos ad$acentes a *+rtice Inicial - *+rtice Final >entidode lectura (@orarioAanti@orario)


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2'

#F>: #epth(First >earch

Inicio#F>(Grafo, orVisitar, Vertice.ni, Verticein, #entido)

Pila@Iniciali3ar(orVisitar)

ista@Iniciali3ar(Visitados)

Pila@Push(Vertice.ni, orVisitar)

MientrasPila@Es*acia(orVisitar) = FA>09 F Verticein hacer

= Pila@Pop(orVisitar) $!"ce#a!

ista@Insertar(Visitados, )

HijosI = )rafo@Ad-acentes(Grafo, , #entido)

Paracadau HijosI A u Visitados hacerPila@Push(orVisitar, u)

FinMientras

Fin#F>


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2

E6eplo #F>

6ecorra el si&uiente &rafo con 9# coen8andopor el v!rtice a $ uscando el v!rtice f:

a c #

d e $


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2

Cainos M!s Cortos


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2+

Aplicacin en Mapas


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2

Aplicaciones picas

Aplicacin *+rtice Arista

7apa .ntersecci4n -aino

6ed %"u&e! -one/i4n

ro&raaci4n de@orarios

Barea 6estricci4n deprecedencia

;ritrajeJ 7oneda Bipo de caio

'En ec"n"a * finan+a#, arbitrajee# a !-c&ica de &"a! ven&aja de una

dife!encia de !eci" en&!e d"# " -# e!cad"#. !eai+a! una c"binaci/n

de &!an#acci"ne# c"een&a!ia# ue cai&ai+an e de#euiib!i" de "#

!eci"#

SE()E*I+, . *A/NE, . Algorithms. a edicin. USA: Pearson, 2011.

ISBN-13 9!-0-321-31-3


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3

#efinicin

El caino !s corto desde el v!rtice # @asta elv!rtice & en un di&rafo ponderado es un cainodiri&ido desde#@asta &con la propiedad de %ue no

otro caino tiene un peso enor


ISBN-13 9!-0-321-31-3

1

3

"

2

0

K3'K3' K3

K2+

K2+

K32

K3+

K2(

2K3,

K2,

2K3"

2K"2

K'2

2K'+

K3


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31

1Cu!l es el caino !s corto de % a B2

13

"

2

0

K3'K3' K3

K2+

K2+

K32

K3+

K2(

2K3,

K2,

2K3"

2K"2

K'2

2K'+

K3

-aino 7s -orto de a :

2 K2

2 K3"

3 K3

3 K'2


ISBN-13 9!-0-321-31-3


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*ariantes

#esde un nico origen Encontrar los cainos s cortos desde un v!rtice

ori&en#a todos los des v!rtices del &rafo

Con un nico destino Encontrar los cainos s cortos desde todos los

v!rtices del &rafo a un *nico v!rtice destino

Entre un nico par de v+rtices Encontrar el caino s corto entre los v!rtices u$ v

Entre todos los pares de v+rtices Encontrar los cainos s cortos entre cada par de

v!rtices u$ vdel &rafo


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33

Algorito de #i6stra

;plicale en &rafos diri&idos $ no diri&idos con

pesos no ne&ativos

.dea sica:

#e inicia desde un v!rtice#

#e posee un conjunto de v!rtices para cuales conoceos

sus cainos s cortos desde#(inicialente vaco)

En cada iteraci4n, se a5ade a este conjunto a%uel v!rtice

uad$acente al v!rtice actual u'%ue est! s cerca de#

#e dee considerar la distancia desde # @asta el v!rtice

actual u'$ el peso de la arista (u, u')


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3"

E6eplo &

Hallar los cainos s cortos desde el v!rtice a


USA: Pearson, 2012. ISBN-13 9!-0-13-231"!1-1

a

# c

d e

2

3 "


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3'

E6eplo &: >olucin

*isitados Por *isitar

a(L,)


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3

E6eplo $

Hallar los cainos s cortos desde el v!rtice &

1

2

9

!

2

11

3

1

!

3

"

"2

1

9

10

Era4do de: 5':66777.8ees$or8ees.or868reed-a8ori5;s-se-"-di


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3

E6eplo $: >olucin

Hallar los cainos s cortos desde el v!rtice &

1

2

9

!

3 !

!

0

3

"

11

10

1

21

9

Era4do de: 5':66777.8ees$or8ees.or868reed-a8ori5;s-se-"-di


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3+

Eficiencia del Algorito de #i6stra

a ipleentaci4n s siple: El conjunto de v!rtices ,o*isitadoses una lista enla8ada o un

arre&lo

E/traer el nio de ,o*isitadoses una *s%ueda lineal

0(


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3

Jr


40/40

Contacto

Mag. Fernando Alva Manchegoontificia Universidad -at4lica del er*

9epartaento de .n&eniera

#ecci4n de .n&eniera .nforticafKalvaNpucpKpe

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