Captulo 7

Funciones iteradas

Funciones numricas discretasUna funcin numrica discreta (f.n.d.) es una funcin f de los nmeros naturales a los nmeros reales.f: IN IR t f(t) = yt f = ( yt ) = ( yo, y1, ... )

Ejemplo

Sea yt = 3t2 + 1,

entonces ( yt ) = ( 1, 4, 13, 28, ... )

Ejemplo

Sea yt una f.n.d. tal que:yt = 2yt-1 + 3, yo = 5,

entonces (yt ) = ( 5, 13, 29, ... )

Operaciones con funcionesnumricas discretasSi f = ( yt ) y g = ( xt ) son dos funciones numricas discretas, se definen las operaciones:

1) Suma: f + g = ( yt + xt )2) Producto: f . g = (yt ..xt )3) Producto por escalar ( IR ): ( f ) = ( yt )4) Diferencia: ( yt ) = (yt+1 - yt )

Ejemplo Si yt = t2 y xt = 2t - 1, entonces:

( yt )= ( 0, 1, 4, 9, 16, ... ) ( xt )= ( -1, 1, 3, 5, 7, ... )( yt + xt ) = ( t2 + 2t - 1 ) = ( -1, 2, 7, 14, 23, ... ) ( yt . xt ) = ( 2t3 - t2 ) = ( 0, 1, 12, 45, ... ) 3( yt ) = ( 3t2 ) = ( 0, 3, 12, 27 , ... ) 2( xt ) = ( 4t - 2 ) = ( -2, 2, 6, 10, ...)

Ejemplo Si yt = t2 y xt = 2t - 1, entonces:

( yt ) = ( yt+1 yt ) = ( ( ( t+1)2 ) - ( t2 ) ) = ( 2t + 1) = ( 1, 3, 5, 7, ... ) ( xt ) = ( xt+1 xt ) = ( ( 2( t + 1) 1) ( 2t 1) ) = ( 2 ) = ( 2, 2, 2, 2, ... )

Diferencia finita de orden nLa diferencia finita de orden n de una funcin numrica discreta ( yt ), se representa por: n ( yt )y se define por: o ( yt ) = ( yt )n ( yt ) = ( n-1 ( yt ) ), n 1

de donde: 1 ( yt ) = ( yt ) = ( y t + 1 - y t )

2 ( yt ) = ( ( yt+1 - yt ) ) = ( ( yt+2 - yt+1 ) - ( yt+1 - yt ) ) = ( yt+2 - 2yt+1 + yt )

Ecuaciones en diferencias finitas

Una ecuacin en diferencias finitas,es una ecuacin funcional, que contiene diferencias finitas de una funcin numrica discreta.

EjemploLa ecuacin en diferencias finitas: 2 ( yt ) - 3 ( yt ) = 4,es equivalente a: ( y t + 2 - 2y t + 1 + y t ) - 3 ( y t + 1 - y t ) = 4,es decir: yt+2 - 5yt+1 + 4yt = 4,donde la incgnita es la funcin ( yt ).

Ecuacin lineal en diferencias finitasLa ecuacin lineal en diferencias finitas Cn yt+n + Cn-1 yt+n-1 + . . . + C1 yt+1 + Co yt = g ( t ),donde: i : Ci IR ( Cn 0, Co 0 ) y g es una f. n. d. ,es equivalente a la ecuacin: E ( yt ) = b ( t ),donde: E ( yt ) = yt+n + An-1 yt+n-1 + . . . + Ao y b ( t ) = ( g ( t ) / Cn ) y i : Ai = ( Ci / Cn )

Ecuacin homognea

La ecuacin E ( yt ) = b ( t ) es homognea,si g(t) = 0.

TeoremaSea E ( yt ) = yt+n + An-1 yt+n-1 + . . . + Ao yt .1)Si y1t y y2t son soluciones de E ( yt ) = 0, entonces k1, k2 IR: ( k1 y1t + k2 y2t )es solucin de E ( yt ) = 0.2)Si yht es la solucin general de E ( yt ) = 0 y ypt es una solucin particular de E ( yt ) = b (t),entonces ( yht + ypt ) es la solucin general de E ( y t ) = b ( t ).

Ejemplo Dada la ecuacin: yt+2 - 5 yt+1 + 6 yt = 8,donde: E ( yt ) = yt+2 - 5 yt+1 + 6 yt , b ( t ) = 8.

Como y1t = ( 2 )t y y2t = ( 3 )t son soluciones de E ( yt ) = 0,entonces yht = k1 ( 2 )t + k2 ( 3 )t es la solucin general de E ( yt ) = 0,

y como ypt = 4 es una solucin particular de E ( yt ) = b ( t ),entonces ( k1 ( 2 )t + k2 ( 3 )t + 4 )es la solucin general de E ( yt ) = b ( t ).

Con las condiciones iniciales yo = 15 y y1 = 32 Se obtiene k1 = 5 y k2 = 6,luego yt = 5 ( 2 )t + 6 ( 3 )t + 4es la solucin de E ( yt ) = b ( t ).

Ecuacin Homognea y Ecuacin CaractersticaDada la ecuacin lineal en diferencias finitas:yt+n + An-1 yt+n-1 + . . . + Ao yt = b ( t ),

su ecuacin homognea es: yt+n + An-1 yt+n-1 + . . . + Ao yt = 0,

su ecuacin caracterstica es: Xn + An-1 Xn-1 + . . . + A1 X + Ao = 0.

EjemploDada la ecuacin: yt+2 5 yt+1 + 6 yt = 8,su ecuacin homognea es: yt+2 5 yt+1 + 6 yt = 0,su ecuacin caracterstica es:x2 5 x + 6 = 0,y las races de la ecuacin caracterstica son:1 = 2 y 2 = 3.

Solucin de una ecuacin linealen diferencias finitas

Dada la ecuacin lineal en diferencias finitas:

E ( yt ) = b ( t ),

donde E ( yt ) = yt+n + An-1 yt+n-1 + . . . + Ao yt .

1) Para cada raz de multiplicidad m de la ecuacin caracterstica, yht la solucin general de la ecuacin homognea E ( yt ) = 0 tiene un trmino de la forma: ( k1 tm-1 + k2 tm-2 + . . . + km ) t . Si m = 1, el trmino correspondiente en yht es de la forma: k1 t .

2) Si b ( t ) = ps ts + ps-1 ts-1 + . . . + po , ypt una solucin particular de la ecuacin E ( yt ) = b ( t ) tiene la forma: ypt = ( qs ts + qs-1 ts-1 + . . . + qo ) tL, donde: L = 0 si el 1 no es raz de la ecuacin caracterstica y L = m si el 1 es una raz de multiplicidad m de la ecuacin caracterstica.

Las constantes: qs, . . , qo se obtienen reemplazando ypten la ecuacin E ( yt ) = b ( t ).

3) La solucin general de la ecuacin E ( yt ) = b ( t ) es yt = yht + ypt .

Las constantes: k1, . . . , kn se determinan usando las condiciones iniciales: yo, . . . , yn-1.

EjemploDada la ecuacin: yt+1- (1 / 2 ) yt = 3, con yo = 11.La ecuacin homognea es: yt+1- ( 1 / 2 ) yt = 0.La ecuacin caracterstica es: x - ( 1 / 2 ) = 0.La raz de la ecuacin caracterstica es: = ( 1 / 2 ).Luego: yht = k1 ( 1 / 2 )t.

Como: b ( t ) = 3 y el 1 no es raz de la ecuacin caracterstica,entonces ypt = qo.Reemplazando ypt = qo en la ecuacin dada,obtenemos qo - (1 / 2 ) qo = 3, de donde qo = 6. Luego: ypt = 6.

La solucin general es: yt = k1 ( 1 / 2 )t + 6.Usando la condicin inicial yo = 11,obtenemos k1 + 6 = 11,de donde k1 = 5.Luego: yt = 5 (1 / 2 )t + 6.

EjemploDada la ecuacin: yt+1 - yt = 2, con yo = 3.La ecuacin homognea es: yt+1 - yt = 0.La ecuacin caracterstica es: x - 1 = 0.La raz la ecuacin caracterstica es: = 1.Luego: yht = k1 ( 1 )t = k1.

Como: b ( t ) = 2 y el 1 es raz de multiplicidad m = 1de la ecuacin caracterstica, entonces ypt = qo t. Reemplazando ypt = qo t en la ecuacin dada,obtenemos ( qo ( t + 1 ) ) - ( qo t ) = 2, de donde qo = 2.Luego: ypt = 2 t.

La solucin general es: yt = k1 + 2 t.Usando la condicin inicial yo = 3,obtenemos k1 = 3.Luego: yt = 3 + 2 t.

EjemploDada la ecuacin: yt+1 + 2 yt = 12 t + 22, con yo = 9.La ecuacin homognea es: yt+1 + 2 yt = 0.La ecuacin caracterstica es es: x + 2 = 0La raz de la ecuacin caracterstica es: = -2.Luego: yht = k1 ( -2 )t.

Como: b ( t ) = 12 t + 22y el 1 no es raz de la ecuacin caracterstica,entonces ypt = q1 t + qo.Reemplazando ypt = q1 t + qo en la ecuacin dada,obtenemos ( q1 ( t + 1 ) ) + qo ) + 2 ( q1 t + qo ) = 12 t + 22,es decir ( 3 q1 ) t + ( q1 + 3 qo ) = 12 t + 22,de donde q1 = 4, q0 = 6. Luego: ypt = 4 t + 6.

La solucin general es: yt = k1 ( -2 )t + 4 t + 6.Usando la condicin inicial yo = 9,obtenemos k1 + 6 = 9,de donde k1 = 3.Luego: yt = 3 ( -2 )t + 4 t + 6.

EjemploDada la ecuacin: yt+2 - yt+1 12 yt = -24,con yo = 14, y1 = 1.La ecuacin homognea es: yt+2 - yt+1 - 12 yt = 0.La ecuacin caracterstica es: x2 - x - 12 = 0.Las raices de la ecuacin caracterstica son: 1 = 4, 2 = -3.Luego: yht = k1 ( 4 )t + k2 ( -3 )t.

Como: b ( t ) = -24y el 1 no es raz de la ecuacin caracterstica,entonces ypt = qo.Reemplazando ypt = qo en la ecuacin dada,obtenemos qo - qo 12 qo = -24, de donde qo = 2.Luego: ypt = 2.

La solucin general es: yt = k1 ( 4 )t + k2 ( -3 )t + 2.Usando las condiciones iniciales yo = 14, y1 = 1,obtenemos k1 + k2 + 2 = 14 y 4 k1 3 k2 + 2 = 1,de donde k1 = 5 y k2 = 7.Luego: yt = 5 ( 4 )t + 7 ( -3 )t + 2.

EjemploDada la ecuacin: yt+2 6 yt+1 + 9 yt = 20,con yo = 9, y1 = 23.La ecuacin homognea es: yt+2 - 6 yt+1 + 9 yt = 0.La ecuacin caracterstica es: x2 6 x + 9 = 0.La raz de la ecuacin caracterstica es: = 3 con multiplicidad m = 2.Luego: yht = ( k1 t + k2 ) ( 3 )t.

Como: b ( t ) = 20y el 1 no es raz de la ecuacin caracterstica,entonces ypt = qo.Reemplazando ypt = qo en la ecuacin dada,obtenemos qo 6 qo + 9 qo = 20,de donde qo = 5.Luego: ypt = 5.

La solucin general es: yt = ( k1 t + k2 ) ( 3 )t + 5. Usando las condiciones iniciales yo = 9, y1 = 23,obtenemos k2 + 5 = 9 y ( k1 + k2 ) ( 3 ) + 5 = 23,de donde k1 = 2 y k2 = 4.Luego: yt = ( 2 t + 4 ) ( 3 )t + 5.

Sistema de ecuacionesen diferencias finitas

El sistema de ecuaciones en diferencias finitas:

y1t+1 = a11 y1t + . . . + a1n ynt + b1 ( t ) . . .ynt+1 = an1 y1t + . . . + ann ynt + bn ( t )

Puede escribirse de la forma:Yt+1 = A Yt + B ( t ) donde:

y1t

b1 (t)

.

.

Yt = . A = [ aij ] n x n Bt = .

ynt n x 1

bn (t) n x 1

El sistema es homogneo, si 0 B(t) = . . 0

EjemploEl sistema de ecuaciones :x t + 1 = -2 xt + 5 y t - z ty t + 1 = xt - 2 y t + 3 z t + 5t 2z t + 1 = 3 xt + z t + 2t .

Puede escribirse de la forma:Yt+1 = A Yt + B ( t )donde:

Solucin de un Sistema de ecuaciones en diferencias finitas1) La solucin general de la ecuacin homognea: Yt+1 = A Yt es: Yh t = At k, donde: Ao = I At = A At-1, t 1 .

b1 ( t )2) Si B(t) = . . bn ( t ) Una solucin particular de la ecuacin:Yt+1 = A Yt + B ( t ) es: p1t . Ypt = . pnt donde: pit tiene la forma correspondiente a bi ( t )

Las constantes en Ypt se obtienen reemplazando Ypt en la ecuacin Yt+1 = A Yt + B ( t )

3) La solucin general de la ecuacin: Yt+1 = A Yt + B ( t ), es: Yt = Yht + Ypt . Las constantes: k1, . . . , kn , se determinan usando las condiciones iniciales: y1o, . . . , yno .

EjemploDado el sistema de ecuaciones:xt+1 = 4 xt -2 yt - 2 yt+1 = 7 xt -5 yt + 2 Se puede escribir de la forma:Yt+1 = A Yt + B ( t ),donde: xt 4 -2 -2 Yt = A = B(t) = yt 7 -5 2

-2

q1

Como B(t) =

, entonces Yp t =

2

q2

reemplazando en la ecuacin dada obtenemos:

q1 = 4q1 - 2q2 - 2 y q2 = 7q1 - 5q2 + 2 ,

de donde: q1 = 4 , q2 = 5

k1

4

La solucin general es: Yt = At

+

k2

5

10

Usando la condicin inicial Yo =

12

obtenemos k1 + 4 = 10 y k2 + 5 = 12,

de donde: k1 = 6 y k2 = 7.

Luego: 4 -2 t 6 4Yt = + 7 -5 7 5

Valores propios

Sea A IRn x n. IR es un valor propio de A,si existe V IRn x 1 ( V 0 )tal que: A v = v.

Vectores propios

Sea A IRn x n.V IRn x 1 ( V 0 ) es un vector propio de A correspondiente al valor propio ,si A v = v .

Ecuacin caracterstica

Sea A IRn x n.La ecuacin caracterstica de A es:det ( I - A ) = 0.

Teorema Sea A IRn x n.

1) es un valor propio de A si y slo si es una raz de la ecuacin caracterstica de A.

2) V es un vector propio de A correspondiente al valor propio si y slo si ( I - A ) V = 0, ( V 0 ).

3) Si V1, . . . , Vn son n vectores propios de A linealmente independientes, correspondientes a los valores propios 1, . . . , n de A, entonces D = P-1 A P, donde P = [V1, . . . , Vn ] y D = [ i ] es una matriz diagonal.

Clculo de A t

Sea A IRn x n.

Si D, P IRn x n son tales que D = P-1A P,entonces At = P Dt P-1.Si D = [i ] es una matriz diagonal,entonces Dt = [ti ].

Ejemplo 4 -2Dada la matriz A = 7 -5Su ecuacin caracterstica es: det ( I - A ) = 0,es decir: 2 + - 6 = 0 y sus races son: 1 = 2 y 2 = -3 .

x

Sea V = tal que ( ( I - A ) V = 0.

y

Si ( = 2,

entonces x = y

y un vector propio correspondiente es

1

V1 =

1

Si ( = -3,

entonces 7x = 2y

y un vector propio correspondiente es

2

V2 =

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