Cap¶‡tulo 5. Din¶amica en una dimensi¶on Ifnl.usal.es/pilar/pm/tema5/tema5.pdf · rozamiento...

Capıtulo 5.

Dinamica en una dimension I

1. Fuerzas de rozamiento

Si en una mesa horizontal larga arrojamos un bloque de masa m con una velocidadinicial vo, llegara a detenerse. Esto significa que mientras se esta moviendo, exper-imenta una aceleracion media a que apunta en sentido opuesto a su movimiento.Si vemos que un cuerpo esta siendo acelerado, siempre pensaremos en una fuerza,relacionada con el movimiento, definida de acuerdo con la segunda ley de New-ton. En este caso declaramos que la mesa ejerce una fuerza de rozamiento sobreel bloque que se desliza, cuyo valore medio es ma. En realidad, siempre que lasuperficie de un cuerpo desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una fuerza derozamiento sobre el otro cuerpo, siendo dichas fuerzas paralelas a las superficies.Las fuerzas de rozamiento automaticamente se oponen al movimiento y nunca loayudan. Aunque no hay movimiento relativo, puede haber fuerzas de rozamientoentre las superficies. En lo sucesivo consideraremos el deslizamiento de una super-ficie seca (no lubricada) sobre otra superficie.

1..1 Rozamiento estatico

Las fuerzas de rozamiento que obran entre superficies que se encuentran en reposouna con respecto de la otra, se llaman fuerzas de rozamiento estatico. La maximafuerza de rozamiento estatico sera igual a la mınima fuerza necesaria para iniciarel movimiento. El valor maximo de la fuerza de rozamiento estatico entre unpar cualquiera de superficies secas sigue las siguientes dos leyes empıricas. (1)Es aproximadamente independiente del area de contacto, dentro de muy amplioslımites y (2) es proporcional a la fuerza normal. Esta fuerza normal es la queejerce cualquiera de los dos cuerpos sobre el otro perpendicularmente a la cara decontacto mutuo. La relacion de la magnitud de la maxima fuerza de rozamientoestatico a la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de rozamiento

107

108 Capıtulo 5

estatico para las superficies de que se trata.

1..2 Rozamiento cinetico

Una vez comenzado el movimiento, las fuerzas de rozamiento que obran entre lassuperficies ordinariamente disminuyen, de manera que basta una fuerza menorpara conservar el movimiento uniforme. Las fuerzas que obran entre superficiesque se encuentran en movimiento relativo se llaman fuerzas de rozamiento cinetico.

La relacion de la magnitud de la fuerza de rozamiento cinetico a la magnitudde la fuerza normal se llama coeficiente de rozamiento cinetico. Tanto el coefi-ciente de rozamiento estatico µs como el coeficiente de rozamiento cinetico µk sonconstantes sin dimensiones, puesto que ambas son la relacion de (las magnitudes)dos fuerzas. Ordinariamente, para una pareja dada de superficies, µs > µk. Losvalores numericos de µs y µk dependen de la naturaleza de las dos superficies queestan en contacto.

2. Fuerzas dependientes del tiempo

Hasta ahora hemos visto las definiciones mas generales que pueden construirsesin tener en cuenta por el momento la dependencia de F . En efecto, F puedeser funcion de x, v, y t. Ahora bien, solo en el caso de que se conozca ademas eindependientemente de la segunda Ley de Newton las funciones x = x(t) y v = v(t),es posible expresar F = F (t) y realizar la integracion del segundo miembro de

F = ma (2.1)

que es una ecuacion diferencial de segundo orden la cual no siempre tienesolucion. Como sabemos una ecuacion diferencial de este tipo posee dos constantesarbitrarias. Para determinarlas se necesitan dos condiciones iniciales (i.e. valoresque toman x0 y v0 para un t0 dado).

Si F = F (t) solamente, entonces (2.1) queda de la forma:

mv −mv0 =

∫ t

t0

F (t)dt (2.2)

cuyo segundo miembro es una integral calculable. Despejando v:

v = v0 +1

m

∫ t

t0

F (t)dt (2.3)

y realizando una nueva integracion:

x = x0 + v0(t− t0) +1

m

∫ t

t0

∫ t′

t0

F (t′′)dt′′ (2.4)

Dinamica en una dimension I 109

Esta expresion da x ≡ x(t) en funcion de dos integrales calculables. Si dichasintegrales no tienen primitiva explıcita siempre podran calcularse por metodosnumericos.

Ejemplo Como ejemplo veamos el de un electron libre de carga −esometido a un campo electrico oscilante a lo largo del eje x:

La fuerza sobre el electron es: F = −eE = −eE0 cos(ωt + α) y ahora (t0 = 0)queda para la velocidad

v = v0 − eE0

m

∫ t

0

cos(ωt + α)dt =

= v0 +eE0 sin α

mω− eE0

mωsin(ωt + α)

y para la posicion, (x0 = 0):

x = −E0e cos α

mω2+

E0e sin α

mω2ωt +

E0e

mω2cos(ωt + α)

que puede escribirse tambien como:

x =E0e

mω2[− cos α + ωt sin α + cos(ωt + α)]

El termino constante es la elongacion necesaria, inicial, para que en t0 = 0 severifique x0 = 0 (ajuste del origen de espacios). En general el espacio aumentaindefinidamente con el tiempo debido al termino lineal aunque con las oscilacionesdel tercer termino, queda en la forma:

Sin embargo, si la fase se ajusta de forma que α = 0, queda para x

x = [cos ωt− 1]eE0

mω2

esto es oscilante con el tiempo y el electron queda confinado entre 0 y − eE0

mω2

110 Capıtulo 5

Representacion de x para diferentes valores de α

3. Fuerzas dependientes de la velocidad

Si ahora F = F (v) (2.1) queda en la forma mdvdt

= F (v), o lo que es lo mismo:

t− t0m

=

∫ v

v0

F−1(v)dv (3.1)

con la integral del segundo miembro calculable. La unica dificultad consiste enque con esa expresion obtenemos una funcion t = t(v) que en general puede no serinvertible dando una v = v(t) . Si consideramos casos en donde es posible hallarla funcion inversa, obtenemos

v = f(v0,t− t0

m) (3.2)

y para x

x = x0 +

∫ t

t0

f(v0,t− t0

m)dt (3.3)

Ejemplo El caso mas importante de fuerzas dependientes de la velocidad es elcaso de las fuerzas de rozamiento. Estas son siempre proporcionales a ella y desentido contrario. En general la forma funcional F (v) sera muy complicada peroen casos sencillos puede considerarse como una potencia simple de la velocidad enla forma:

F (v) = ()kvn


Si n es impar elegiremos el signo menos, pero si n es par no sabemos a priori cuales el signo y hemos de elegirlo opuesto a la velocidad por analisis de las condicionesfısicas del problema.

El ejemplo mas simple es n=1. En ese caso, si la unica fuerza existente es lade rozamiento,

mdv

dt= −kv

es decir:v = v0 exp−

ktm

y para la x, x =∫ t

0v0 exp−

ktm es decir:

x =mv0

k(1− exp−

ktm )

a tiempo infinito v → 0 y x → mv0

k, valor lımite de la posicion alcanzada.

112 Capıtulo 5

4. Problemas

1.) Una partıcula de masa m cae verticalmente en el seno de un fluido que le oponeuna resistencia proporcional tanto a su masa como a su velocidad. Deteminar laposicion, velocidad y aceleracion al cabo de un tiempo t

Solucion

Tomando el origen en la superficie del lıquido, el vector posicion es:

~r = −z~k

La ecuacion del movimiento sera

−mg~k − b~r = m~r

o sea−mg + bz = −mz

En terminos de la velocidad v = z

−mg + bv = −mv

que podemos escribir en forma integral como:

∫mdv

mg − bv=

∫dt =⇒

(1

g

) ∫dv

1− (bv/mg)=

∫dt

Haciendo la integral

−m

bln

[1− bv

mg

]= t + t0

v =mg

b

[1− e−

bm

(t+t0)]

Suponiendo que se suelta en t = 0 con velocidad cero 1 = e−bt0

m

v =mg

b

[1− e−

btm

]

de manera que tiende a una velocidad lımite

vlim =mg

b∫

dz =

∫mg

b

[1− e−

btm

]dt


z =mg

b

[t +

m

be−

btm

]+ k

Fijando z(0) = 0 (se encuentra en la superficie del lıquido

k = −m2g

b2

z =mg

b

[t +

m

be−

btm − m

b

]

114 Capıtulo 5

2.) Hallar el movimiento de una partıcula que se mueve a lo largo de una rectabajo la accion de una fuerza F = −kmv2.

Solucion

La ecuacion del movimiento es:

mx = −kmv2

mdv

dt= −kmv2

Integrando ∫dv

v2= −

∫kdt

−1

v= −kt− 1

v0

=⇒ v = − v0

1 + v0kt

Integrando de nuevo ∫dx =

∫v0dt

1 + v0kt

x =1

kln(1 + v0kt) + x0


3.) Una fuerza F = 6kt actua sobre una partıcula de masa m que se mueve sobreuna recta. Si la partıcula parte del reposo, determinar su velocidad y su posicional cabo de un tiempo t.

Solucion

6kt =dv

dt∫dv =

∫6ktdt

v = v0 + 3kt2∫dx =

∫(v0 + 3kt2)dt

x = xo + vot− kt3

116 Capıtulo 5

4.) Una partıcula en una dimension esta sometida a una fuerza F = aoe−kt. Si

parte del reposo, ¿Que velocidad maxima alcanza?. ¿Que espacio ha recorridocuando la velocidad alcanza dicho maximo?

Solucion

La ecuacion del movimiento es:

a0e−kt = m

dv

dt

integrando

−ao

ke−kt = mv + c1

Como v(0) = 0 =⇒ c1 = ao

k, luego

v =ao

mk

[1− e−kt

]

Integrando de nuevo

x =ao

mk

[t +

1

ke−kt

]+ c2

Si x(0) = 0 =⇒ c2 = − ao

mk2 y por tanto

x =ao

mk2

[kt + e−kt − 1

]

La velocidad maxima se alcanza para t →∞

vm = limt→∞v =ao

mk

Para entonces ha recorrido un espacio infinito


5.) Un conejo se acerca a una zanahoria con una velocidad que es siempre propor-cional a la distancia que hay entre ambos. Determinar el tiempo que necesitara elconejo para alcanzar la zanahoria.

Soluciondx

dt= −kx

∫dx

x= −

∫kdt

ln x = −kt + ln x0

x = x0e−kt

Para que x se haga cero hace falta un tiempo infinito

118 Capıtulo 5

6.) Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad inicial v0. Determinar laaltura que alcanza si la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad.

Solucion

Si tomamos el origen de coordenadas en el suelo

~r = z~k

la ecuacion del movimiento es:

m~r = −mg~k − b~r

o bien

mz = −mg − bz

• Calculo de la velocidad haciendo v = z

mv = −mg − bv

v = −g(1 +b

mgv)

∫dv

1 + bmg

v= −

∫gdt

ln

(1 +

b

mgv

)= − b

m(t + to)

Como v(0) = v0 =⇒ ln(1 + b

mgv0

)= − b

mt0. Por tanto

1 +b

mgv =

(1 +

b

mgv0

)e−

btm

v =mg

m

[(1 +

b

mgv0

)e−

btm − 1

]

• Tiempo de subida La velocidad se anulara cuando

e−bTsm =

1

1 + bmg

v0

=⇒ Ts =m

bln

(1 +

b

mgv0

)(1)


• Calculo del espacio

z =mg

b

[−m

b

(1 +

b

mgv0

)e−

btm − t

]+ c0

c0 lo fijamos con la condicion z(0) = 0 =⇒ c0 = m2gb2

(1 + b

mgv0

)y

x =m2g

b2

[(1 +

bv0

mg

) (1− e−

btm

)− bt

m

]

.

• Altura que alcanza

h = z(Ts) =m2g

b2

[bv0

mg− ln

(1 +

bv0

mg

)](2)

Como ln(1 + x) → x− 12x2

limb→0h → v20

2g

Podemos tambien expresar h en terminos de Ts eliminando v0 entre (1) y (2)

h =m2g

b2

(e

bTsm − 1− bTs

m

)

=v0m

b− m2g

b2ln

(1 +

bv0

mg

)(3)

120 Capıtulo 5

7.) Dos cuerpos de masas m y M con M > m se dejan caer desde la torre dePisa. Si la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, ¿Cual llega antesal suelo?

Solucion

• Espacio y velocidad El problema es como el anterior pero con condicionesiniciales

v(0) = 0 x(0) = h

de manera que:

v = −mg

b(1− e−

btm )

z = h− m2g

b2

(e−

btm − 1 +

bt

m

)

• Tiempo de caıda. Correspondera a z(Tc) = 0

1 +hb2

m2g− bTc

m= e−

bTcm (4)

1+b/m(hb/mg-t)

exp(-bt/m)

bh/mg+m/bT

En la figura se han representado graficamente los dos miembros de la ecuacionpara Tc. Es facil concluir que:

Tc <bh

mg+

m

b

Si consideramos el rozamiento suficientemente importante como para que b2hm2g

> 1entonces

T <bh

mg


la cota para T es inversamente proporcional a la masa luego m tarda en caer masque M

• Podemos ahora combinar estos resultados con los del problema anterior. Siconsideramos una pelota lanzada al aire, con velocidad v0 que alcanza una alturah y luego vuelve a caer, podemos comparar el tiempo de subida Ts y el tiempo debajada Tc dados por (3) y (4)

1 +hb2

m2g= e−

bTcm +

bTc

m= e

bTsm − bTs

m

En la figura se han representado graficamente los tres miembros de la expresionanterior. Es facil concluir que

Ts < Tc

1+b/m(hb/mg)

exp(-bt/m)+bt/m

exp(bt/m)-bt/m

122 Capıtulo 5

8.) Una plataforma de ferrocarril va cargada con cajas de embalaje que tienen uncoeficiente de rozamiento estatico con el piso de 0, 25. Si el tren se va moviendoa razon de 48, 3 km/h.¿Cual sera la mınima distancia en que puede detenerse sinque resbalen las cajas?.

Solucion

• Las ecuaciones para el frenado son

F = ma

s = vot− 1

2aT 2

0 = vo − aT

de manera que, eliminado el tiempo

s =v2

0

2a

F = mv2

0

2s

• Para que las cajas no resbalen

Fr > F

µsmg > mv2

0

2s

s >v2

0

2gµs

= 37 m

puesto que v0 = 13, 6m/sg

9. Un cuerpo cuya masa es m = 0.80 kg se encuentra sobre un plano inclinado30◦. Determinar la fuerza que ha de aplicarse al cuerpo de modo que (a) asciendapor el plano con aceleracion a = 0.1 m · s−2 y (b) descienda por el plano con dichaaceleracion. El coeficiente de rozamiento con el plano es µ = 0.3.


Solucion

a) Ascenso

Fr

α

α

F

mg

El analisis de fuerzas en la direccion paralela a la su-perficie nos lleva a

F − Fr −mg sin α = ma

siendo Fr la maxima fuerza de rozamiento y por tantoFr = µmg cos α. Luego

F = m(a + µg cos α + g sin α)

Obteniendo F = 6.04 N .

b) Descenso

Fr

α

αmg

F

Suponiendo que es necesario aplicar una fuerza en elsentido del movimiento tendremos

F − Fr + mg sin α = ma

siendo Fr la maxima fuerza de rozamiento y por tantoFr = µmg cos α. Luego

F = m(a + µg cos α− g sin α)

Obteniendo F = −1.81 N . El sigo negativo nos indicaque en realidad tendremos que aplicar la fuerza ensentido contrario al supuesto inicialmente.

124 Capıtulo 5

10.) Calcular las aceleraciones de las masas y la tension de la cuerda para elsistema de la figura. Los coeficientes de rozamiento con los planos son µ1 y µ2

para m1 y m2 respectivamente.

Solucion

x1x2

1m g

2m g

N1

N2

α β

T

T

Si suponemos que hay movimiento entonces las fuerzas de rozamiento que inter-vienen son maximas. Hagamos los analisis de fuerzas por separado para las dosmasas. Tomaremos el sentido descendente como el sentido positivo para amboscuerpos. De modo que tendremos para m2 y m1 respectivamente

m2x2 = m2g sin β − T − sgn(x2)µ2m2g cos β,

m1x1 = m1g sin α− T − sgn(x1)µ1m1g cos α

donde sgn(x) significa “el signo de x”. Hemos de tener en cuenta que la fuerzade rozamiento se opone al movimiento y por tanto a la velocidad. En este casopuesto que las dos masas parten del reposo, el signo de la velocidad se correspondecon el signo de la aceleracion. Dependiendo de si el movimiento de una masaes ascendente o descendente la fuerza de rozamiento tendra una orientacion uotra siempre opuesta al movimiento, no ası la tension o la componente del pesocuyas orientaciones son siempre las mismas independientemente del sentido delmovimiento. Por otro lado existe la restriccion x1 + x2 ≡ cte, de modo que x1 =−x2 y por tanto sgn(x1)=−sgn(x2). Aplicando estas relaciones a las ecuacionesanteriores y eliminando T llegamos a

(m1 + m2)x2 = g(m2 sin β −m1 sin α)− sgn(x2)g(m2µ2 cos β + m1µ1 cos α). (4.4)

Para calcular la aceleracion hemos de suponer que el movimiento se produce en unsentido determinado. Si suponemos que x2 > 0 y por tanto la masa m2 desciendetendremos

x2 =gm2(sin β − µ2 cos β)− gm1(sin α + µ1 cos α)

m1 + m2

,

y para la tension

T =m1m2

m1 + m2

g [(sin β − µ2 cos β) + (sin α + µ1 cos α)] .


Los valores numericos de las masas, angulos y coeficientes de rozamiento determi-nan unıvocamente el sentido del movimiento. De modo que si introducimos dichosvalores en las expresion para x2 y obtenemos un valor positivo, eso significa quehemos hecho la suposicion correcta y por tanto el problema esta bien resuelto.Por el contrario si obtenemos un valor no positivo para x2 esto significa que lasuposicion del signo es incorrecta, por tanto hemos de volver a la ecuacion (4.4) ytomar x2 < 0 lo cual nos dara otras expresiones distintas para la aceleracion y latension:

x2 =gm2(sin β + µ2 cos β)− gm1(sin α− µ1 cos α)

m1 + m2

,

T =m1m2

m1 + m2

g [(sin β + µ2 cos β) + (sin α− µ1 cos α)] ,

y ahora esta formula para la aceleracion nos darıa correctamente su valor negativo.

En general cuando hay fuerzas de rozamiento y movimientos relativos hemos derecordar que para hacer el analisis de fuerzas tendremos que asumir un sentidopara el movimiento. Si al final los resultados numericos no son compatibles connuestra suposicion, tendremos que volver al principio y rehacer el analisis de fuerzasasumiendo el sentido contrario para el movimiento. Esto es ası por el hecho deque las fuerzas de rozamiento cambian su orientacion en funcion del sentido delmovimiento.

126 Capıtulo 5

11.) Determinar el coeficiente de rozamiento mınimo µ entre las cubiertas de lasruedas y la superficie de una carretera en cuesta, con angulo de inclinacion α = 30◦,para que un automovil pueda subir por ella con la aceleracion a = 0.6 m · s−2.

Solucion

Fr

Fr

Fr��

��N

mg

El rozamiento entre las cubiertas y el pavimento es precisamente lo que posibilitaque la fuerza de giro del motor pueda transferirse al vehıculo. De modo quela fuerza maxima con la que el motor puede mover el coche es precisamente lafuerza maxima de rozamiento. El coeficiente de rozamiento mınimo para que elcoche ascienda con aceleracion a sera aquel que garantice que dicha aceleracion seadquiere con la fuerza maxima de rozamiento. De modo que tendremos

Fr −mg sin α = ma ⇒ µminmg cos α−mg sin α = ma,

luego

µmin =a + g sin α

g cos α

Obteniendose µmin = 0.65. Si el coeficiente de rozamiento es mayor que estevalor entonces la fuerza de rozamiento maxima aumenta y la fuerza del motornecesaria para mantener la acelaracion de subida sera menor que la fuerza maximade rozamiento.


12.) Sobre una mesa horizontal lisa descanda un cuerpo de masa M = 2 kg, sobreel cual se encuentra otro cuerpo de masa m = 1 kg. Ambos cuerpos estan unidosentre sı por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. ¿Quefuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse alejandosede la polea con aceleracion constante a = g/2?. El coeficiente de rozamientoentre los cuerpos es µ = 0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa esdespreciable.

Solucion

Fr

Fr

��

��

��

F

x

mgT

T

Si hay movimiento relativo intervendran las fuerzas de rozamiento maximas. Lamasa inferior M se movera hacia la derecha alejandose de la polea, de modo que lamasa superior m ejercera la fuerza de rozamiento maxima Fr sobre la inferior endireccion opuesta al movimiento. A su vez, por el principio de accion y reaccion,la masa inferior ejercera una fuerza de igual magnitud y sentido opuesto sobre lasuperior a la que intentara arrastrar. Por tanto el balance de fuerzas para cadamasa es

F − T − Fr = Mx,

Fr − T = −mx.

Combinando ambas expresiones tenenemos F − 2Fr = (M + m)x. Luego

F = 2µmg + (M + m)g

2.

Con los datos del problema F = 24.5 N .

128 Capıtulo 5

13.) Sobre una mesa horizontal lisa descanda un cuerpo de masa M , sobre el cualse encuentra otro cuerpo de masa m < M . El coeficiente de rozamiento entre lasmasas es µ1 y el de la masa inferior con la mesa es µ2. Si se aplica una fuerzaF sobre la masa inferior, estudiar las aceleraciones de los cuerpos en funcion deF en los siguientes casos: (a) µ2 = 0, (b) µ2 6= 0. Considerense tambien ambassituaciones cuando F es aplicada sobre el cuerpo superior en vez del inferior.

Solucion

1.a) Fuerza aplicada en el cuerpo inferior con µ2 = 0

Al aplicar la fuerza podemos esperar varios compor-tamientos: que las masas permanezcan en reposo, queambas se muevan solidariamente con la misma acel-eracion o que la superior deslice sobre la inferior y portanto las dos masas se muevan con distintas acelera-ciones.

f r

f r

��

FM

m

Al aplicar la fuerza F sobre M , la masa superior ejercera una fuerza de rozamientofr sobre la inferior que se opondra al sentido del movimiento, y a su vez la masainferior ejercera una fuerza de igual magnitud fr y sentido contrario para intentararrastrar a la masa superior. Si las masas no se mueven, es decir a = 0 para ambas,los balances de fuerzas seran

fr = 0

F − fr = 0⇒ F = 0.

Por tanto en cuanto F > 0 las masas comenzaran a moverse. La primera etapasera aquella en que las masas se mueven solidariamente con la misma aceleracion,lo cual implica que no hay deslizamiento entre ellas y por tanto que fr < Fr siendoFr la fuerza maxima de rozamiento. En esta etapa tendremos

fr = ma

F − fr = Ma⇒ a =

F

M + m; fr =

m

M + mF .

Luego la aceleracion que adquieren las masas es la que le corresponde a un cuerpocuya masa sea la suma de ambas que esta sometido a la misma fuerza F . A medidaque F aumente llegaremos a a la segunda etapa en la que la masa superior comiencea deslizar sobre la inferior, y por tanto las masas tengan distintas aceleraciones.En esta situacion la fuerza de rozamiento se hace maxima

Fr = ma1 ⇒ a1 = µ1g,

F − Fr = Ma2 ⇒ a2 =F

M− m

Mµ1g,


utilizando que Fr = µ1mg. El valor a1 es la maxima aceleracion que puede adquirirla masa superior. El deslizamiento implica que a2 > a1 lo que nos conduce a

F > µ1g(M + m).

Si la fuerza excede este valor comenzara el deslizamiento entre los bloques. Elsiguiente diagrama muestra las aceleraciones de ambas masas en funcion de lafuerza aplicada:

µ1g(m+M)

2a µ1g

µ1ga1µ1g

mM

a

F

FM

=

=

F(m+M)

a =

1.b) Fuerza aplicada en el cuerpo inferior con µ2 6= 0

En este caso al aplicar la fuerza sobre la masa in-ferior aparecera ademas una fuerza de rozamientocon la mesa fr2 que se opondra al movimiento.Igualmente podremos distinguir distintos tipos demovimiento.

f r1

f r2

f r1

��

FM

m

Si aplicando F las masas permanecen en reposo: a = 0 para ambas y las fuerzasde rozamiento que aparecen no son maximas. De modo que

fr1 = 0

F − fr1 − fr2 = 0⇒ F − fr2 = 0.

Luego mientras F < Fr2 la ecuacion anterior podra verificarse y no tendremosmovimiento alguno. En este case la normal que define Fr2 es la suma del peso deambas masas luego

0 < F < µ2g(M + m) ⇒ REPOSO.

Cuando F exceda la fuerza maxima de rozamiento con la mesa comenzara elmovimiento solidario de las masas. En este caso

fr1 = ma

F − fr1 − Fr2 = Ma⇒ a =

F

M + m−µ2g; fr1 =

m

M + mF−mµ2g.

130 Capıtulo 5

Si la fuerza sigue aumentando entraremos en la etapa de deslizamiento en la quelas masas tendran distintas aceleraciones y todas las fuerzas de rozamiento seranmaximas:

Fr1 = ma1 ⇒ a1 = µ1g,

F − Fr1 − Fr2 = Ma2 ⇒ a2 =F

M− µ2g − m

M(µ1 + µ2)g,

donde ademas se verifica que a2 > a1 lo cual implica que F > g(M + m)(µ1 + µ2).Por tanto tenemos

µ2g(M + m) < F < g(M + m)(µ1 + µ2) ⇒ MOVIMIENTO CONJUNTO

F > g(M + m)(µ1 + µ2) ⇒ DESLIZAMIENTO

El siguiente diagrama muestra las aceleraciones de ambas masas en funcion de lafuerza aplicada:

µ1g

µ2(µ +µ )1 2g(m+M)

a1 µ1g

2a

µ2g

µ2g (µ +µ )1 2 gmM

F

a

g(m+M)

=

FM

=

F(m+M)

a =

2.a) Fuerza aplicada en el cuerpo superior con µ2 = 0

En este caso al aplicar la fuerza F sobre m, la masainferior ejercera una fuerza de rozamiento fr sobre lasuperior que se opondra al sentido del movimiento,y a su vez la masa superior ejercera una fuerza deigual magnitud fr y sentido contrario para intentararrastrar a la masa inferior.

f r

f r

��

Fm

M

Dado que no existe rozamiento con la mesa, en cuanto F sea no nula, las masascomenzaran a moverse. Inicialmente tendremos movimiento conjunto, de modoque

F − fr = ma

fr = Ma⇒ a =

F

M + m; fr =

m

M + mF .


Si aumentamos la fuerza la masa superior comenzara a deslizar sobre la inferior:

F − Fr = ma1 ⇒ a1 =F

m− µ1g,

Fr = Ma2 ⇒ a2 =m

Mµ1g,

y tendra que ser a1 > a2, lo que implica

F >m

M(m + M)µ1g.

El deslizamiento comienza cuando F verifique la relacion anterior. El diagramamuestra las aceleraciones de ambas masas en funcion de la fuerza aplicada:

µ1g(m+M) mM

1a

µ1ga2mM

=mM

µ1g

µ1g

a

F

F= m

F(m+M)

a =

Si comparamos este diagrama con el diagrama para el caso 1.a) vemos que noson iguales, es decir que aplicar la fuerza sobre la masa inferior o superior no esequivalente. Aunque la fuerza maxima de rozamiento que interviene es la misma,la fuerza lımite para que comience el deslizamiento cambia, debido a que la acel-eracion maxima de movimiento solidario esta determinada por la masa del cuerposobre el que no actua la fuerza. Mientras las masas de los cuerpos sean distintas,los diagramas del caso 1.a) y el superior no pueden ser identicos.

2.b) Fuerza aplicada en el cuerpo superior con µ2 6= 0

Ahora hemos de contar con la fuerza de rozamientofr2 que surge entre la masa inferior y la mesa.

f r2

f r1

f r1

��

Fm

M

Esta situacion es ligeramente distinta. Si nos fijamos vemos que la fuerza resul-tante que puede mover la masa inferior es fr1−fr2 . Por tanto esta masa solo podramoverse si se verifica que Fr1 > Fr2 , es decir que la maxima fuerza de rozamientoentre las masas pueda vencer a la maxima fuerza de rozamiento con la mesa. Con-sideraremos por separado las situaciones:

132 Capıtulo 5

2.b.I) Si Fr1 > Fr2 , ( µ1 > M+mm

µ2)En este caso sabemos que la masa inferior podra moverse. Inicialmente para queambas masas permanezcan en reposo tendremos

F − fr1 = 0

fr1 − fr2 = 0⇒ F − fr2 = 0.

Luego mientras F < Fr2 la ecuacion anterior podra verificarse y no tendremosmovimiento alguno:

0 < F < µ2g(M + m) ⇒ REPOSO.

Cuando F exceda la fuerza maxima de rozamiento con la mesa comenzara elmovimiento solidario de las masas. En este caso

F − fr1 = ma

fr1 − Fr2 = Ma⇒ a =

F

M + m−µ2g; fr1 =

M

M + mF−mµ2g.

Si aumentamos la fuerza llegara el deslizamiento:

F − Fr1 = ma1 ⇒ a1 =F

m− µ1g,

Fr1 − Fr2 = Ma2 ⇒ a2 =m

M(µ1 − µ2)g − µ2g,

siendo a1 > a2 lo que significa F > mM

g(µ1 − µ2)(M + m). Por tanto tenemos

µ2g(M + m) < F <m

Mg(M + m)(µ1 − µ2) ⇒ MOVIMIENTO CONJUNTO

F >m

Mg(M + m)(µ1 − µ2) ⇒ DESLIZAMIENTO

Por tanto si Fr1 > Fr2 (µ1 > M+mm

µ2), el diagrama a vs F es el siguiente:

µ2

µ2g

(µ −µ )1 2mM

(µ −µ )1 2mM

µ2gga2

1a µ1

F

a

g(m+M) g(m+M)

F(m+M)

a =

F g=m


2.b.II) Si Fr1 < Fr2 , ( µ1 < M+mm

µ2)En esta situacion la masa inferior no podra desplazarse puesto que la fuerzamaxima de arrastre no puede vencer a la fuerza de rozamiento con la mesa. Portanto solo el bloque superior puede moverse. Para que comience a desplazarse

tendra que ser F > Fr1 y en ese caso adquiere una acelaracion a =F

m− µ1g.

134 Capıtulo 5

14.) Sobre un plano inclinado, con angulo de inclinacion α = 30◦, se coloca unaplancha plana de masa m2 = 10 kg y sobre ella un cuerpo de masa m1 = 5 kg.El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la plancha es µ1 = 0.15, y entre laplancha y el plano µ2 = 0.3. Determinar las aceleraciones de ambos cuerpos. ¿Conque coeficiente de rozamiento µ2 la plancha no se movera?.

Solucion

Para hacer el analisis de fuerzas debemos suponer un tipo de movimiento paralas masa de entre todos los posibles. Supongamos que ambas masas descien-den, y que la masa superior lo hace con una aceleracion mayor que la planchay por tanto desliza sobre esta. Veamos que fuerzas actuan sobre cada masa.

Para el cuerpo superior tenemos:

m1g sin α− Fr1 = m1a1,

Fr1 ≡ µ1N1 = µ1m1g cos α,

despejando la aceleracion

a1 = g(sin α− µ1 cos α).

N1r1

F

1m g

α

Y para la plancha inferior:

m2g sin α + Fr1 − Fr2 = m2a2,

Fr1 = µ1m1g cos α,

Fr2 ≡ µ2N2 = µ2(m1 + m2)g cos α,

despejando la aceleracion

a2 = g

(sin α +

[m1

m2

(µ1 − µ2)− µ2

]cos α

).

N2

2m

r1F

N1

r2F

αg

Con los valores del enunciado obtenemos

a1 = 0.37g = 3.63 m · s−2,

a2 = 0.18g = 1.72 m · s−2,

valores compatibles con la suposicion inicial para el movimiento, de modo que lasolucion es correcta.

Para que la plancha no se mueva se tiene que verificar que Fr2 > Fr1+m2g sin α,lo que nos conduce a

µ2 >m2 sin α + µ1m1 cos α

(m1 + m2) cos α.

Con los datos del enunciado deberıa ser µ2 > 0.43.

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