Matemtica Financiera Carlos A. Martnez Zaragoza

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CAPITALIZACIN SIMPLE

La capitalizacin simple es un tipo de capitalizacin de recursos financieros que se caracteriza porque la variacin que sufre el capital no es acumulativa. Los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital para el clculo de los nuevos intereses del siguiente periodo. De esta manera los intereses generados en cada uno de los periodos sern iguales.

Se dice tambin que la capitalizacin constituye un medio de financiamiento para las empresas, mediante la inyeccin de capital para poder desarrollar sus proyectos, al respecto hay dos opciones que tienen las empresas, por una parte, el financiamiento propio y por otro el financiamiento externo, en donde nuevamente se encuentra con dos opciones, por una parte la posibilidad de recurrir al mercado crediticio y por tanto solicitar un prstamo de consumo a un banco (sin perjuicio del costo de oportunidad).

La capitalizacin simple se utiliza generalmente para operaciones a corto plazo es decir menores a un ao.

De la frmula de Inters Simple tendremos capital ms intereses:

Sacando P factor comn en la expresin anterior, tendremos:

Donde:

VF: Es el monto (M) = Capital ms inters simple.

P: El capital o dinero prestado

n: Tiempo o Perodo (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, das)

i: Tasa de inters (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, das)

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EJEMPLOS:

Una persona contrae una deuda por $120,000.00 que debe pagar dentro de 9 meses. Si la tasa de inters cargada a la operacin es de 14% simple anual, determine qu suma se deber pagar para cancelar la deuda. Diga cunto se habr de pagar por concepto de intereses.

Antonio Snchez deposit $136,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el % mensual. Cul ser el balance de la cuenta al cabo de 7 meses

ACTUALIZACIN SIMPLE

La actualizacin o el descuento simple es la operacin inversa a la capitalizacin simple. Consiste en la obtencin del valor en la fecha actual o presente de un capital que se recibir o que vencer en una fecha futura. Al Valor Actual tambin se le conoce como Valor Presente, Capital o Principal y, generalmente, trata sobre el valor que habra que invertir para disponer al cabo de un tiempo de un monto predeterminado. Se refiere tambin al valor de una deuda, en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento.

La actualizacin simple se utiliza generalmente para operaciones a corto plazo es decir menores a un ao.

De la frmula de capitalizacin, despejando tendremos:

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Donde:

VF: Es el monto (M) = Capital ms inters simple.

VP: El capital (P) o dinero prestado.

n: Tiempo o Perodo (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, das)

i: Tasa de inters (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, das)

EJEMPLO:

Qu suma se debe invertir hoy al 12% simple anual para poder disponer de $90,930.00 dentro de 5 meses?

Ruddy Lugo tom prestada una suma de dinero al 18 % simple anual y a los 10 meses la cancel pagando $363,562.50. Determine la cuanta del prstamo y cunto pag por concepto de intereses.

Javier Gmez recibe un documento cobrable dentro de 9 meses por un valor final de $130,610.00. Si para recibir efectivo anticipadamente negocia el documento con una compaa que opera en base a una tasa del 15% simple semestral, determine qu suma recibir el Sr. Gmez.

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DIAGRAMAS UTILIZADOS EN MATEMATICA FINANCIERA La representacin de los datos de la decisin en forma grafica puede mejorar en gran manera la compresin del problema. Los diagramas del flujo de efectivo son medios para ayudar al tomador de decisiones a comprender y resolver estos problemas. Durante la construccin de un diagrama de flujo de efectivo, la estructura de un problema con frecuencia se hace distintiva. Por lo general es ventajoso definir primero el tiempo en el que ocurren los flujos de efectivo. Esto establece la escala horizontal, que se divide en periodos, por lo general en aos. Los ingresos y desembolsos entonces se ubican en la escala de tiempo segn las especificaciones del problema. Los pagos o recepciones individuales se designan por lneas verticales; las magnitudes relativas pueden sugerirse por la altura de las lneas, pero realizar una escala es una perdida de tiempo. Si un flujo de efectivo es positivo o negativo depende del punto de vista que se representa. Aunque los diagramas de flujo de efectivo son simples representaciones graficas de los ingresos y egresos, deben exhibir tanta informacin como sea posible. Es til mostrar la tasa de inters, y podra ayudar a identificar que debe resolverse en un problema. Algunas veces puede clasificarse la situacin al poner en lnea punteada las flechas que representan los flujos de efectivo de magnitud desconocida DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR Este diagrama es una grfica que consiste en un segmento de recta horizontal (eje de tiempo) sobre el cual se indican mediante flechas verticales las sumas de dinero o capitales, ubicndolas en sus correspondientes vencimientos

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EJEMPLOS

Valor de Vencimiento con Descuento en Diagrama de Tiempo Valor.

Valor de Vencimiento con Descuento en Fecha Focal Diagrama de Tiempo Valor

DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA Mide la relacin entre los ingresos y egresos.

EJEMPLOS

Prstamo Hipotecario de $100,000.

Ahorro para estudio de Maestra.

INGRESOS

EGRESOS

( + )

( - ) 0 n

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ELECCIN ENTRE VARIAS OPCIONES DE PAGO O ALTERNATIVAS DE INVERSIN. Con mucha frecuencia se presentan situaciones en las que, disponiendo de varias opciones, se debe elegir la forma de pago o la alternativa de inversin que convenga ms a los intereses de quien realiza el anlisis. Para llevar a cabo la evaluacin, el dinero sera la base de comparacin. De esta manera, en el caso del pago de una deuda, se obtienen los valores actuales (o valores de contado equivalentes) de los pagos asociados a las diferentes opciones, eligindose la que envuelva la menor erogacin. Si se tratara de elegir una alternativa de inversin, esto podra hacerse comparando, o las tasas de rendimiento de la inversin o los montos a que ascenderan tales inversiones al cabo de un periodo de tiempo, todo bajo el supuesto de un mismo nivel de riesgo. En los ejemplos incluidos a continuacin que envuelven varias opciones de pago de una deuda, se introducir el uso de los diagramas de tiempo-valor o diagramas temporales para visualizar mejor los pagos, las fechas y la(s) incgnita(s) del problema a resolver. EJEMPLOS: Una persona dispone de 3 formas de pago para saldar una deuda: a) $52,000.00 de contado; b) $55,120.00 dentro de 5 meses; c) $20,000.00 de inicial, $15,560.00 al cabo de 3 meses y $19,360.00 dentro de 9

meses. Qu forma de pago le resultara ms ventajosa a dicha persona, si pudiera invertir en forma segura el dinero disponible a un 15% simple anual?

a) Es el mismo valor en el momento cero, por consiguientes es $52,000

Concluiremos que conviene la opcin b, por ser la de menor erogacin de dinero.

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Qu es ms ventajoso: a) Depositar en una cuenta de ahorros que abona el 9.5% simple anual, o b) Invertir en una industria lctea que garantiza que lo invertido se aumente en un

31% cada 3 aos?

Un cliente debe a un centro de capacitacin $20,000 que vencen dentro de 30 das y otro capital de $20,000 que vence dentro de 60 das. Este cliente solicita liquidar esta deuda haciendo un nico pago dentro de 75 das. Cul ser el importe de este pago si el inters pactado es el 12% anual?

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EQUIVALENCIAS FINANCIERAS DE CAPITALES Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos puede resultar conveniente saber cul de ellos es ms atractivo desde el punto de vista financiero. Para definir esto, es necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los montos, fundamentalmente debemos considerar, el instante donde estn ubicados los capitales. Equivalencia financiera es el proceso de comparar dos o ms capitales situados en distintos momentos a una tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en que son medidos. Para ello utilizamos las frmulas de las matemticas financieras de capitalizacin o descuento. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES Si el principio de equivalencia se cumple en un momento concreto, no tiene por qu cumplirse en otro (siendo lo normal que no se cumpla en ningn otro momento). Afectando esta condicin la fecha en que se haga el estudio comparativo, el mismo, que condicionar el resultado. Dos capitales, VA1 y VA2, que vencen en los momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. Este principio es de aplicacin cualquiera sea el nmero de capitales que intervengan en la operacin. Si dos o ms capitales son equivalentes resultar indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por ninguno en particular. Contrariamente, si no se cumple la equivalencia habr uno sobre el que tendremos preferencia que nos llevar a elegirlo. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA El canje de uno o varios capitales por otro u otros de vencimiento y/o valores diferentes a los anteriores, slo puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para determinar si dos alternativas son financieramente equivalentes tendremos que valorar en un mismo momento y precisar que posean iguales montos. Al momento de la valoracin se le conoce como Fecha Focal o simplemente como fecha de anlisis. Para todo esto el acreedor y el deudor debern estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:

Momento a partir del cual calculamos los vencimientos.

Momento en el cual realizamos la equivalencia, sabiendo que al cambiar este dato vara el resultado del problema.

Tasa de valoracin de la operacin.

Establecer si utilizamos la capitalizacin o el descuento. No se debe olvidar que solo se pueden sumar o restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha.

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CLCULO DEL CAPITAL COMN INTERS SIMPLE Es el VA de un capital nico que vence en el momento n, conocido y que sustituye a varios capitales VA1, VA2, , VAn, con vencimientos en n1, n2, , nn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantas y tiempos. Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a la tasa acordada, por una parte, los capitales iniciales y, por otra, el capital nico desconocido que los va a sustituir. EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $1,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendra que abonar si la tasa de inters simple fuera de 15% anual.

CLCULO DEL VENCIMIENTO COMN INTERS SIMPLE Es el instante n en que vence un capital nico C conocido, que suple a varios capitales VA1, VA2, ,VAn, con vencimientos en n1, n2 nn, todos ellos conocidos en valores y tiempos. La condicin a cumplir es: Para determinar este vencimiento procedemos de la misma forma que en el caso del capital comn, siendo ahora la incgnita el momento donde se sita ese capital nico.

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EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $2,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola de $14,000. Determinar el momento del abono con una tasa de inters simple de 15% anual? La fecha de anlisis es el momento cero.

CLCULO DEL VENCIMIENTO MEDIO INTERS SIMPLE Es el instante n en que vence un capital nico VA, conocido, que suple a varios capitales VA1, VA2, , VAn, con vencimientos en n1, n2, ,nn, todos ellos conocidos. La condicin a cumplir es: VA = VA1+ VA2 + ...+ VAn El clculo es semejante al vencimiento comn, lo nico que vara es el valor del capital nico que suple al conjunto de capitales iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmtica de los montos a los que remplaza. El vencimiento es una media aritmtica de los vencimientos de los capitales iniciales, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderacin.

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EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $1,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola. Determinar el valor futuro y el momento de pago si la tasa de inters simple fuera de 15% anual. La fecha de anlisis es el momento cero? La fecha de anlisis es el momento cero. 1 Calculamos la Media Aritmtica de los vencimientos de los Capitales.

2 Calculamos el valor actual de los capitales, actualizndolos al instante cero.

3 Calculamos el monto total a pagar en 8.23 meses

BIBLIOGRAFICA Alfredo Daz Mata y Victor Aguilera (2008). Matemtica Financiera, Cuarta edicin, Editorial Mc Graw Hill, Mxico. Javier Miner (2003). Curso de Matemtica Financiera, Segunda Edicin, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, Espaa. Cesar Aching Guzmn, Matemticas Financieras para toda de Decisiones Empresariales, Serie Mypes. Tulio A. Mateo Duval. Inters Simple, Apuntes, Santo Domingo, Republica Dominicana. http://apuntesingenieriaeconomica.blogspot.com/2010/10/diagramas-de-flujo-efectivo.html 12/08/2012