Capítulo 06 Mapas de Karnaugh y El Método de Quine McCluskey_1

Capítulo 6 Mapas de Karnaugh y el método de Quine McCluskey

Capítulo 6 Mapas de Karnaugh y el método de Quine

McCluskey

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Mapas de Karnaugh y Quine McCluskeyObjetivos:

1. Conocer las ventajas de usar mapas de Karnaugh al simplificar expresiones booleanas.

2. Simplificar expresiones booleanas usando el mapa-K.3. Conocer la importancia de las condiciones no importa en la simplificación de

expresiones booleanas.4. Usar los implicantes primos esenciales en la simplificación.5. Usar el método de Quine McCluskey para simplificar expresiones booleanas.

6.1. Mapas de Karnaugh

El Mapa de Karnaugh o mapa-K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relación entre las entradas lógicas y la salida que se busca. El mapa–K es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. Las celdas se disponen de manera que la simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas. El mapa–K es aplicable a funciones booleanas de hasta seis variables.

El mapa–K Proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos y productos de sumas más simples posibles.

El uso de los mapas de Karnaugh es uno de los métodos más prácticos y quizás se puede decir que es el más poderoso, cuando el número de variables de entrada es menor o igual a seis; más allá, ya no es tan práctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma gráfica de una tabla de verdad.

El número de celdas de un mapa de Karnaugh es equivalente al número total de posibles combinaciones de las variables de entrada. Si se tienen tres variables, el número de celdas será 23 = 8, si son 4 variables se tendrán 24 = 16, si son 5 variables se tienen 25 = 32 celdas y si fueran 6 variables serían 26 = 64 celdas.

En la figura 6.1 se muestran los mapas de Karnaugh para 2 y 3 variables y en la figura 6.2 se muestran los mapas para 4 y 5 variables y en la figura 6.3 se muestra el mapa para 6 variables.

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Figura 6.1. a) mapa de Karnaugh de dos variables; b) mapa de Karnaugh de tres variables.

Figura 6.2. a) mapa de Karnaugh para cuatro variables; b) mapa de Karnaugh para cinco variables.

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Figura 6.3. Mapa de Karnaugh de seis variables.

Conviene aclarar que el orden en que se pongan las letras, afecta sólo en el lugar que ocuparán los respectivos minterm o maxterm más no así el funcionamiento del circuito que se obtendrá del mapa.

En realidad el mapa de Karnaugh no es más que una extensión de los conceptos de tabla de verdad, diagramas de Venn y minterms. En la figura 6.4 se muestra la transformación de un diagrama de Venn en un mapa de Karnaugh.

Figura 6.4. Transformación de un diagrama de Venn en un mapa de Karnaugh.

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En la figura 6.5 se muestran de nueva cuenta los mapas de 2 y 3 variables indicando el lugar que ocupan los minterms o maxterms y en la figura 6.6 se muestra lo mismo pero para mapas de 4, 5 y 6 variables.

Figura 6.5. Mapas de Karnaugh de dos y tres variables mostrando el lugar que corresponde a cada minterm o a cada maxterm.

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Figura 6.6. Mapas de Karnaugh de 4, 5 y 6 variables indicando el lugar que ocupan los minterms o maxterm en el mapa.

6.2. Determinación de la función mínima utilizando mapas de Karnaugh

Como se analizó en los capítulos anteriores, la reducción algebraica no siempre es fácil decidir si ya se llegó a la mínima expresión. Con el método gráfico del mapa de Karnaugh es mucho más fácil alcanzar la mínima expresión.El método para reducir expresiones lógicas usando mapas de Karnaugh consiste de tres pasos:

1. Dibujar el mapa de Karnaugh2. Formar grupos de 1’s3. Escribir la expresión reducida

En lo que corresponde al paso 1, este se explicó en la sección previa por lo que se pasará al paso 2 que es la formación de grupos de 1’s. Este paso es parte de un método general para reducir expresiones booleanas y sigue las siguientes reglas:

1. Forme los grupos mayores posibles de unos para eliminar cuántas variables sean posibles.

2. Sólo formar grupos de 1, 2, 4, 8,16,..., múltiplos de 2n unos, donde los unos deben de estar colocados en celdas adyacentes.

3. Construya la menor cantidad de grupos posibles.4. Todas las celdas que contengan un 1, deben de estar contenidas en al menos un

grupo.

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En la figuras 6.7, 6.8 y 6.9 se muestran algunas reglas usadas para la agrupación de unos o ceros:

Figura 6.7. Forma correcta de agrupar unos o ceros sobre el mapa de Karnaugh.

Figura 6.8. Forma correcta de agrupar grupos de unos o de ceros.

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Figura 6.9. Forma de agrupación aplicando las reglas para el mapa-K.

En las figuras 6.10 y 6.11 se ilustran más formas de agrupación del mapa-K:

Figura 6.10. Los grupos de unos pueden traslaparse.

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Figura 6.11. Más formas de agrupación en los mapas-K.

A través de los siguientes secciones, se resolverán ejemplos donde se utilizarán estas reglas para visualizar mejor la simplificación:

6.3. Mapas de Karnaugh de 2 y 3 variables

Ejemplo 6.1. Considere que se desea simplificar la expresión F(A,B) = AB’+ AB utilizando el mapa de K.

Si se simplifica esta expresión utilizando el álgebra booleana se obtiene que F(A,B) = AB’+ AB = A(B’+ B) = A

Ahora se comprobará este resultado utilizando el mapa-KPrimeramente se dibuja el mapa-K colocando unos en cada uno de los términos de la función como se muestra en la figura 6.12

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Figura 6.12. Mapa de Karnaugh de F(A,B) = AB’+ AB

Se agrupan los unos adyacentes. En este caso los dos unos son adyacentes por eso están agrupados. Enseguida se observa en el renglón y en la columna, cual variable cambió de valor para eliminarla. En este caso la variable B tiene ambos valores de cero y uno por lo que es eliminada no así la variable A que siempre vale uno en cada uno de los cuadros donde están colocados los unos por lo que permanecerá en el resultado y se tendrá:

F(A,B) = A que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

Ejemplo 6.2. Simplifique la expresión Z(A,B) = A’B’+ AB’+ A’B usando Mapas-KSe dibuja sobre el mapa-K y se agrupan los unos como se muestra en la figura 6.13:

Figura 6.13. Mapa-K de la función Z(A,B) = A’B’+ AB’+ A’B

Para el grupo I se elimina la variable A y se queda B’Para el grupo II se elimina la variable B y se queda A’

El resultado final es Z(A,B) = A’+ B’

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Ejemplo 6.3. Simplificar la tabla de verdad de la figura 6.14 utilizando el mapa-K:

Figura 6.14. a) Tabla de verdad; b) mapa-K; c) Ecuación simplificada; d) diagrama lógico.

Ejemplo 6.4. Simplifique el siguiente mapa-K de tres variables:

6.4. Mapas de Karnaugh de 4 variables

Ejemplo 6.5. Simplifique el mapa-K de cuatro variables mostrado en la figura 6.15:

Figura 6.15. Mapa para el ejemplo 5.

En la figura 6.16 se tiene el mapa con los unos agrupados de donde se obtendrá la función simplificada:

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F = c’


Figura 6.16. Mapas –K con unos agrupados.

La función simplificada será entonces igual a F(a,b,c,d) = ac + bc + cd

Ejemplo 6.6. Dibuje sobre un mapa la ecuación booleana F(a,b,c,d) = acd + a’b + d’ y obtenga la expresión simplificada:

Para resolver este ejercicio, existen diferentes formas como son: escribir la tabla de verdad y colocar uno donde se cumplan cada uno de los términos; una segunda forma consiste en convertir la expresión a minterm como se efectuó en capítulos anteriores y así obtener los minterms y colocarlos en el mapa y la tercera forma y más práctica, será colocar unos directamente sobre el mapa-K en los lugares donde se cumplan cada uno de los términos. Se usará esta última como se indica en el mapa-K de la figura 6.17:

Figura 6.17. Mapa-K para F(a,b,c,d) = acd + a’b + d’

En la figura 6.18 se muestra el mapa agrupado así como la ecuación simplificada:

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Figura 6.18. Mapa con unos agrupados y ecuación simplificada.

6.5. Mapas de Karnaugh con condiciones de no importa

El método del mapa-K puede extenderse fácilmente a funciones especificadas incompletamente. En este caso se colocan las condiciones de no importa, en el espacio que le corresponde y se sustituye por uno o por cero la condición que sea de utilidad para reducir la expresión al mínimo.

Ejemplo 6.7. Encontrar la mínima expresión para F(w,x,y,z) = m(2,3,4,6,8,12,14) + d(0,10,11) utilizando el mapa-K:Primero se colocan en el mapa-K los 1’s y las X’s y se agrupan de forma que se pueda minimizar el resultado como se observa en la figura 6.19:

Figura 6.19. Mapa-K agrupado para F(w,x,y,z) = m(2,3,4,6,8,12,14) + d(0,10,11)

La función simplificada será F(w,x,y,z) = z’+ x’y

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El mapa-K puede ser utilizado para simplificar funciones que estén en maxterms o productos de sumas de la misma forma que se utilizó para simplificar funciones en minterms o suma de productos. En el siguiente ejemplo se muestra como se lleva a cabo la reducción de una función booleana.

Ejemplo 6.8. Encuentre la mínima expresión en productos de sumas de F(w,x,y,z) = M(0,1,4,5,10,11,12)d(3,8,14):Se colocan los 0’s (maxterms) en el lugar asignado en el mapa y se agrupan para obtener la mínima expresión como se indica en la figura 6.20:

Figura 6.20. Mapa-K utilizado con agrupación de 0’s del ejemplo 8.

El resultado final será:F(w,x,y,z) = (y + z)(w + y)( w’+ x + y’)

Es importante especificar que esta misma función se puede obtener utilizando los 1’s que se colocarían en los espacios vacíos del mapa de la figura 6.20 como ya se demostró en capítulos anteriores usando el álgebra de Boole. Es decisión del lector utilizar la expresión que más le convenga al buscar la simplificación.

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6.6. Uso de los implicantes primos esenciales para determinar expresiones mínimas

Implicante. Es un término producto (suma) de una o más literales en una suma de productos. Un implicante se puede traslapar con otro o puede estar totalmente encerrado por otro.

Ejemplo 6.9. Determinar los implicantes que se encuentran en el mapa de la figura 6.21:

Figura 6.21. Identificación de implicantes del ejemplo 9.

Implicante primo. Es un implicante que no puede encerrarse totalmente (no está cubierto) por otro implicante mayor de la función en un mapa-K. Un solo 1 sobre el mapa es un implicante primo si no es adyacente a ningún otro 1. Dos 1’s adyacentes forman un implicante primo si no están contenidos en un grupo de cuatro 1’s y cuatro 1’s adyacentes forman un implicante primo si no están contenidos en un grupo de ocho 1’s. Etc.

Del mapa anterior se tiene que los implicantes primos son: B, A’C

Implicante primo esencial. Es un implicante primo que cubre al menos un minterm que no está cubierto por algún otro implicante primo.

Del mismo mapa se tiene que los implicantes esenciales son: A’C y B

Ejemplo 6.10. Determinar los implicantes del mapa de la figura 6.22.

Figura 6.22. Identificación de implicantes del ejemplo 10.

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Hay 11 implicantes:5 minterm (A’B’C’, A’BC’, A’BC, ABC’ ABC)5 grupos de 2 bits (A’B, AB, A’C, BC’, BC)1 grupo de 4 bits (B)


Ejemplo 6.11. En los mapas-K de la figura 6.23 se ilustran los diferentes tipos de implicantes:

Figura 6.23. Comparación entre los diferentes tipos de implicantes.

Ejemplo 6.12. Determine el valor mínimo de Z y de Z’del mapa de la figura 6.24:

(a) (b)

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( c)Figura 6.24. a) Mapa a simplificar; b) Agrupación para Z; C0 Agrupación para Z’.

El valor para Z = YW’+ XW

Para obtener la función Z’, es necesario complementar cada una de las celdas del mapa-K, es decir, los unos se cambian por ceros y los ceros se cambian por unos como se muestra en la figura 6.24c.

El valor de Z’= Y’W’+ X’W

En seguida se comprobará que este valor es correcto partiendo de la ecuación para Z y aplicándole el teorema de D’Morgan

Z = Y W’+ XW

Z’= (YW’+ XW)’= (YW’)’(XW)’= (Y’+ W)(X’+ W’)= = X’Y’+ Y’W’+ X’W = que aplicando el teorema del concenso se elimina X’Y’

Con lo que se comprueba que la expresión obtenida del mapa para Z’es correcta.

6.7. Mapas de 5 y 6 variables

El uso de mapas de cinco y seis variables es más complejo debido a que es difícil encontrar las adyacencias entre minterms. Debe efectuarse el trabajo con mucho cuidado para asegurarse de obtener la mínima expresión. En los siguientes ejemplos se mostrará el uso de estos mapas.

Ejemplo 6.13. Encontrar a través del uso del mapa de Karnaugh, la mínima expresión de la función F(A,B,C,D,E) = m(2,3,6,7,9,10,12,13,14,16,18,22,26,28,29,30)En la figura 6.25 se muestra el mapa-K con los agrupamientos mínimos de donde se obtiene el valor de F:

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Figura 6.25. Mapa-K del ejemplo 12.

El valor de F(A,B,C,D,E) = DE’+ A’B’D + BCD’+ AB’C’E’+ A’BD’E

Ejemplo 6.14. Determinar la mínima expresión de la siguiente función:F(A,B,C,D,E) = m(0,2,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,26,29,30) + d(4,9,21,22,25)En la figura 6.26 se muestra la agrupación sobre el mapa-K:

Figura 6.26. Mapa-K donde se indican los agrupamientos para el ejemplo 13.

El valor de F(A,B,C,D,E) = AB’+ BC’+ B’D’E’+ A’BD + C’DE’+ ACD’E’+ AC’D’E

Ejemplo 6.15. Simplificar a la mínima expresión F(A,B,C,D,E) = (3,6,7,8,9,10,18,20,21,22,23,25,26,28,29,30)d(2,19,24)En esta ocasión se trabajará con los Maxterms como se indica en el mapa-K de la figura 6.27:

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Figura 6.27. Agrupamiento de maxterms para el ejemplo 14.

La función resultante será: F(A,B,C,D,E) = (A’+ D)(A’+ B +E)(A + D’ + E)(A + C’+ E’)

Ejemplo 6.16. Simplificar la función de seis variables a través del mapa de Karnaugh de la función indicada en la figura 6.28:

Figura 6.28. Simplificación de una función de seis variables.

La función obtenida de este mapa será:F(u,v,w,x,y,z) = y’z’w’+ z’vw’+ zv’w + zu’v’+ x’z uw + xz’uv’w’+ xyu’v’w

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6.8. Método tabular de Quine McCluskey

Aunque el uso del mapa-K es un procedimiento fácil, tiene la desventaja de que el diseñador haga juicios acerca de cuáles combinaciones formarán la mínima expresión además de que para más de cinco variables se complica demasiado para obtener la forma mínima por lo que es necesario utilizar otros métodos para funciones de seis o más variables como lo es el método tabular de Quine McCluskey. La característica general del método de Quine-McCluskey es que es repetitivo, cíclico, de manera mecánica; en comparación con el método de Karnaugh que plantea la minimización en base al ensayo-error de la mejor forma de agrupar las salidas en los mapas. En resumen, las características del método de Quine-McCluskey le hacen idóneo para ser aplicado en programa de computación.

El método de Quine McCluskey consiste en ir obteniendo de forma sistemática, las adyacencias de órdenes crecientes, hasta llegar a la de mayor orden posible que contenga la función. Cada adyacencia recibe el nombre de implicantes primos.El primer paso consiste en encontrar los implicantes primos haciendo una comparación de la siguiente manera: se toma una salida y se compara con todas las demás salidas. Si la diferencia entre las salidas tomadas es una potencia de dos, es decir 1, 2, 4, ... se pone una marca en la posición del bit donde está la diferencia y se reserva esta salida con la marca para otro proceso similar cuando termine esta comparación. Así se toma la siguiente salida y se compara con las demás. Aquellas salidas que no han sido afectadas por ninguna comparación se las denomina implicantes primos y se selecciona para el siguiente proceso.Una vez que se tienen los implicantes primos determinados se procede a identificar aquellos primos que contienen un término de entrada que los demás no lo tienen. Este tipo de primo se denomina implicante primo esencial y es elegido para formar parte de la función simplificada. Los demás implicantes primos candidatos hacen fila para ser eliminados sólo aquellos cuyos todos sus términos están contenidos en los demás implicantes primos esenciales. Se eligen los implicantes primos no eliminados que tienen la mayor cantidad de términos de salida en su contenido.

En resumen: Es un método directo y sistemático para determinar una función mínima que

depende menos de la habilidad del diseñador para reconocer patrones como en el mapa de Karnaugh.

Es viable para el manejo de un gran número de variables. Puede realizarse el algoritmo de manera computarizada. Es tedioso y aburrido cuando se hace a mano y con gran probabilidad de cometer

errores si no se utiliza cuidadosamente. En General: El método de Quine McCluskey realiza una búsqueda lineal ordenada sobre los minterm de la función para determinar todas las combinaciones de minterm adyacentes lógicamente y utiliza:

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Representación Tabular Implicantes Primos Implicantes Primos Esenciales

La determinación de los implicantes primos se basa en la aplicación repetida del teorema XY + XY’ = X

A continuación se aplicará este método para simplificar una función booleana.

Determinación de Implicantes Primos

Ejemplo 6.17. Determine la mínima expresión de la función F(A,B,C,D) = m(0,1,4,5,9,11,14,15) Utilizando el método de Quine McCluskey.

Procedimiento:Arregle los minterms en grupos de acuerdo al número de 1s (Columna 1)Combine términos de grupos adyacentes que difieren por un solo 1 bit. ( Columna 2)Repita el paso 2 con un nuevo grupo de términos (Columna 3); hasta que ya no haya más combinaciones posibles

El próximo paso es seleccionar un grupo mínimo de implicantes primos para representar la función.

Prepare una tabla de implicantes primos vs minterms llamada una carta de implicantes primos como se muestra en la figura 6.29a:

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Figura 6.29. a) Tabla de implicantes; b) Implicantes primos esenciales.

Seleccione los implicantes primos esenciales – aquellos con un solo minterm en la columna como se indica en la figura 6.29b y estos son 0,1,4,5,14,15. Los implicantes primos esenciales van incluidos en la ecuación final, además, los minterm que faltan de cubrir son seleccionados de los minterm restantes. En este caso, los minterm no cubiertos son; 9,11 los que pueden ser cubiertos por el implicante (9,11) = A B’D lo que lleva al resultado final mínimo siguiente:

F(A,B,C,D) = A’C’+ ABC + AB’D

Este resultado se comprueba con la utilización del mapa-K como se indica en la figura 6.30:

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Figura 6.30. Comprobación del ejemplo 15 utilizando el mapa-K.

El resultado que se obtiene del mapa es exactamente el mismo que el obtenido a través del método tabular.

Funciones Incompletamente Especificadas

El método tabular también puede usarse para simplificar expresiones con condiciones no importa como se lleva a cabo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.18: Simplificar la función F(A,B,C,D,E) = m(2,3,7,10,12,15,27) + d(5,18,19,21,23)Paso 1: Hallar los implicantes primos de la misma forma anterior.Paso 2: En la carta de implicantes – omitir los términos no importa.

La carta de implicantes quedará de la siguiente forma:

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Con los implicante primos esenciales se cubren los minterms 2,7,10,12,15,27 faltando únicamente el minterm 3 que corresponde a B’DE(de preferencia por tener un inversor menos) o a B’C’D por lo que la ecuación final será:

F(A,B,C,D,E) = AC’DE + A’CDE + A’C’DE’+ A’BCDE’+ B’DE

Solución de funciones cíclicas con Quine McCluskeyPor otra parte, de vez en cuando se encuentran funciones en las que no hay ningún implicante primo esencial ya que cada columna tiene dos o más X’s. A este tipo de funciones se les llama cíclicas y en el siguiente ejemplo se mostrará una de ellas.

Ejemplo 6.19. Simplificar la función F(A,B,C) = m(0,1,2,5,6,7)

La derivación de los implicantes primos es el siguiente:

La carta de implicantes queda de la forma siguiente:

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La solución se encuentra seleccionando los implicantes primos que cubran todos los minterms de la función. En este caso se tendrán dos alternativas:

a) F(A,B,C) = A’C’+ B’C + ACb) F(A,B,C) = A’B’+ BC’+ AC

Cualquiera de las dos opciones es correcta.

Nota: El método de quine McCluskey solo se utiliza con minterms por lo que cualquier expresión que no esté en minterms, será necesario convertirla.

6.9. Problemas

6.1. ¿Qué representa cada entrada “1”en cada cuadro del mapa-K?

6.2. La ecuación más simple que se obtiene del siguiente mapa-K es:

6.3. Identifique la función que generan los mapas-K mostrados:

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6.4. Encuentre la mínima suma de productos de las siguientes expresiones utilizando los mapas de K

a) F(a,b,c) = m(0,1,2,5,6,7)b) F(a,b,c) = m(1,3,5)c) F(A,B,C) = m(3,5,6,7)d) F(A,B,C,D) = m(0,1,4,6,9,13,14,15)e) F(A,B,C,D) = m(0,1,2,8,9,10,11,12,13,14,15)f) F(A,B,C,D,E) = m(3,4,6,9,11,13,15,18,25,26.27,29,31)g) F(A,B,C,D) = m(1,5,8,10,12,13,14,15,17,21,24,26,31)h) F(A,B,C,D) = m(2,9,10,12,13) + d(1,5,14)i) F(A,B,C,D) = m(1,3,6,7) + d(4,9,11)j) F(A,B,C,D,E) = m(3,11,12,19,23,29) + d(5,7,13,27,28)

6.5. Simplifique las siguientes expresiones utilizando el Mapa-K

a) F(A,B,C) = A’B’ + B’C + A’Cb) F(A,B,C,D) = B’C’D + A’BC’ + ABD’c) F(A,B,C,D,E) = B’C’E’ + B’CE + CD’E + A’BCD’ + ABC’DE’d) F(A,B,C) = A’BC + ABC + ABC’ e) F(A,B,C,D) = AB’C’D’ + ABC’D’ + AB’CD’ + ABCD’ + A’BCD + A’BC’Df) F(A,B,C,D) = A’B’C’D’ + AB’CD’ + ABCD’ + A’BCD’ + A’BCDg) F(A,B,C,D) = A’B’C’D’ + AB’C’D’ + ABC’D’ + A’BC’D’ + AB’CD’ + ABCD’

+ AB’CD + ABCD + A’B’C’D + AB’C’D + ABC’D + A’BC’D

6.6. Identifique los implicantes primos y los implicantes primos esenciales de los siguientes mapas- K.

6.7. Simplifique las siguientes funciones utilizando el método de Quine McCluskey:a) F(W,X,Y,Z) = m(2,3,4,6,10,12,14,16)b) G(A,B,C,D) = m(0,2,5,6,7,9,11,12) + d(4,8,14)c) F(a,b,c,d,e) = m(1,4,6,10,12,16,21,22,26,28,31) + d(9,14,15,19,25)d) F(W,X,Y,Z) = M(0,1,2,4,6,8,10,12,15)D(3,7,9)

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e) G(A,B,C,D,E) = M(0,3,7,10,14,20,21,23,26,29,30) + D(4,9,13,15,25)

6.8 Simplificar las siguientes funciones utilizando el método de Quine McCluskey y comprobar el resultado a través del mapa de Karnaugh.

a) F(x,y,z,u) = xyz’+ x’zu + y’zu’+ x’y’ub) G(x,y,z,u) = (y + z’+ u’)(x + z +u’)(x’+ y’+ u)(x + y’+ z’)c) F(w,x,y,z) = xy’z’+ wxy + wxz’+ w’xz’d) H(v,x,y,z) = (x + y’+ z)(x’+ z’+ v’)(x’+ y’+ v)

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