CAPITULO 1

TEORIA DE CONTROL

CAPITULO 1CONCEPTOS PRELIMINARES.

Ing. Diego Valladolid, Mgt.

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN

205/10/2015 Ing. Diego Valladolid, Mgt.

La Teoría de control trata de comprender y controlar los fenómenos físicos par enbeneficio de la Humanidad.

La Teoría de control no esta limitada a ninguna disciplina en particular de la ingeniería.

Un sistema de control es interconexión de elementos que a su vez forman un sistemaque proporcionará una respuesta en su salida dependiendo de su señal de entrada.



1.1 Visión general e historia de los sistemas automáticos.

Primeros sistemas de control con flotadores en el periodo 300 a. C.

Primer regador con realimentación automáticausado en un proceso industrial fue inventadopor James Watt 1769 para el control demaquinas de vapor.



MODELACION MATEMATICA:

El modelo matemático equivale a una ecuación matemática (ED) o un conjunto deellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.

El modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debidoa lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso.

Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas contieneninformación complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcionela información de interés para cada problema en particular.

Ejercicio: Obtener el modelo matemático de un sistema:Masa-Resorte-AmortiguadorCircuito R-L-C.

CAPÍTULO 1: Concepto de Realimentación


Procesos. Se define proceso a cualquier operación o serie de acciones físicas, químicas, económicos o biológicos que se desea controlar.

Sistemas. Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizanun objetivo determinado.

Perturbaciones. Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema.

Control realimentado. El control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base en esta diferencia. También son considerados sistemas de lazo cerrado



VENTAJAS:

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de larealimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible alas perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetrosdel sistema.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazoabierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no esun problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una funciónprincipal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir acorregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitudconstante o cambiante.



Por lo general, es conveniente que el sistema diseñado exhiba lamenor cantidad posible de errores, en respuesta a la señal de entrada. Aeste respecto, debe ser razonable el amortiguamiento del sistema. Ladinámica del sistema debe ser relativamente insensible a variacionespequeñas en sus parámetros. Las perturbaciones no deseadas deben estarbien atenuadas.

Un sistema de control de lazo abierto utiliza un dispositivo de actuaciónpara controlar el proceso directamente sin emplear realimentación.

Un sistema de control en lazo cerrado usa una medida de la salida y larealimentación de esta señal para compararla con la salida deseada(referencia)

CAPÍTULO 1: La Transformada de Laplace


El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

El método de Laplace sustituye las ecuaciones diferenciales por una expresión algebraica de resolución relativamente fácil.

La transformada de Laplace existe para ecuaciones diferenciales para las cuales la transformación integral sea convergente.

0

∞

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 < ∞



La Trasformada de Laplace para una función para una función del tiempo f(t) es:

𝐹 𝑠 = 0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = ℒ 𝑓(𝑡)

La Trasformada inversa de Laplace esta dada por:

𝑓(𝑡) = 𝜎−𝑗∞

𝜎+𝑗∞

𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠 = ℒ−1 𝐹(𝑠)



Ejemplo 1: Obtener la Transformada de Laplace de f(t)= cte (K).

𝐹 𝑠 = 0

∞

𝐾𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

𝐹 𝑠 = 𝐾1

𝑠𝑒−𝑠𝑡 ∞

0

𝐹 𝑠 = −𝐾

𝑠𝑒−𝑠∞ +

𝐾

𝑠𝑒−𝑠0

𝑭 𝒔 =𝑲

𝒔



Ejemplo 2: Obtener la Transformada de Laplace de f(t)=t

Aplicamos la formula general

𝐹 𝑠 = 0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = ℒ 𝑓(𝑡)

Reemplazamos y resolvemos la integral:

𝐹 𝑠 = 0

∞

𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = −1

𝑠𝑡𝑒−𝑠𝑡 −

1

𝑠2𝑒−𝑠𝑡 ∞

0

𝐹 𝑠 = −1

𝑠∞ 𝑒−𝑠∞ −

1

𝑠2 𝑒−𝑠∞ +1

𝑠0𝑒−0𝑡 +

1

𝑠2 𝑒−0𝑡

𝐹 𝑠 =1

𝑠2



TAREA 1:

Encontrar la Trasformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo.

1.) 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡

2.) 𝑓 𝑡 = sin𝜛𝑡

3.) 𝑓 𝑡 = cos 𝜛𝑡

4.) 𝑓 𝑡 = 𝑡𝑒−𝑎𝑡



Teoremas de la Transformada de Laplace

Supondremos siempre que f(t) se una función continua y convergente

a) LinealidadSi 𝑐1 𝑦 𝑐2 ∈ ℝ y 𝑓1 𝑡 , 𝑓2(𝑡) son funciones donde respectivamente sus trasformadas de Laplace son 𝐹1 𝑠 , 𝐹2 𝑠 , por lo tanto:

ℒ 𝑐1𝑓1 𝑡 + 𝑐2𝑓2(𝑡) = ℒ 𝑐1𝑓1 𝑡 + ℒ 𝑐2𝑓2 𝑡 =𝑐1𝐹1 𝑠 +𝑐2 𝐹2 𝑡



b) Traslación

El equivalente de desplazamiento en el plano «s»

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠), entonces ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎),

c) Cambio de escala.

El equivalente de desplazamiento en el plano «s»

ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠), entonces ℒ 𝑓 𝑎𝑡 =1

𝑠𝐹(

𝑠

𝑎),



d) Transformada de la derivada

Si f y f’ son continuas. Entonces existe:

ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑓 0 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)

e) Transformada de la derivada generalizada

Si f , f’ y 𝑓𝑛−1son continuas. Entonces existe:

ℒ 𝑓𝑛 𝑡 = 𝑠𝑛ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − 𝑠𝑛−2𝑓′ 0 − … . −𝑠𝑓𝑛−2 0 − 𝑓𝑛−1 0



f) Transformada de la integral

ℒ 0

𝑡

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =1

𝑠𝐹(𝑠)

g) Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial permite determinar las condiciones iniciales de f(t) a partir de su transformada de Laplace. Entonces el teorema se expresa como:

𝑓 0 = lim𝑡→0

𝑓(𝑡) = lim𝑠→∞

𝑠𝐹(𝑠))



g) Teorema del valor final

El teorema del valor final permite determinar las condiciones finales de f(t) a partir de su transformada de Laplace. Entonces el teorema se expresa como:

𝑓 ∞ lim𝑡→∞

𝑓(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠𝐹(𝑠)

DEMOSTRACION:

CAPÍTULO 1: Sistemas de Ec. y modelos


Tener en cuenta las variable relevantes

Existen variables que aportar mayormente al modelo que se quiere representar matemáticamente «Según las circunstancias en la que se encuentre».

Representación en ED lineales.

Linealizar el fenómeno en el punto de análisis, después de ello realizar el análisis correspondiente a modelación y control posterior.



Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales se utiliza para la descripción matemática de los sistemas físicos en el dominio temporal.

Ejemplos de EDO

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= −𝐶𝑎 2𝑔ℎ

𝐿𝑑2𝑞

𝑑𝑡2 + 𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝑐𝑔 = 𝑣(𝑡)

Ejemplo de EDP

𝑎2𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝜕2𝑢

𝜕𝑡2



Para clasificar los modelos diferenciales se definen los siguientes términos:

El orden: se refiere a la mayor derivada contenida en la ecuación.

El grado: se refiere al exponente de la mayor derivada contenida en laecuación.

Ecuación lineal: esta formado por términos lineales (de grado uno para lasvariables dependientes y sus derivadas). Para determinar la linealidadutilizar el teorema de superposición.

Ecuación diferencial homogénea: se dice que una ED es homogénea si lavariable dependiente y sus derivadas están en todos y cada uno de lostérminos de la ecuación; en caso contrario, se dice que la ecuacióndiferencial es no homogénea



Una ecuación diferencial lineal de orden n esta definido como:

𝑎𝑛

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯+ 𝑎1

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑜𝑟(𝑡)

El termino que hace que la ecuación diferencial no homogénea es de sumaimportancia en los sistemas de control.

Se interpreta como la entrada que se le aplica al sistema que produce unasalida y(t).

CAPÍTULO 1: Aplicaciones de la transformada de Laplace


Numero complejo: tiene una real y una parte imaginaria constantes

Variable compleja: Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables.

El la transformada de Laplace, usamos la Notación «s» como variable compleja.

𝒔 = 𝝈 + 𝒋𝝎Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.720.860.9250.962

0.982

0.992

0.998

0.450.720.860.9250.962

0.982

0.992

0.998

123456

System: g

Gain: 0

Pole: -0.5

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 0.5

System: g

Gain: 0.00215

Pole: -2

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 2

System: g

Gain: 0

Pole: -4

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 4

0.45



La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial de orden n por unaecuación algebraica de grado equivalente al orden de la ecuación diferencial.

Por lo tanto el sistema puede se representado por:

𝐺 𝑠 = 𝐾𝑠 + 𝑧0 𝑠 + 𝑧1 …

𝑠 + 𝑝0 𝑠 + 𝑝0 …

Las raíces del polinomio del numerador se les denomina ceros, los mismos sonrepresentados con círculos en el plano s.

Por otra parte a las raíces del polinomio se les denomina polos y se representa con+ en el plano s.



Ejemplos:

Función de Trasferencia. Circuito R L C (v(t) vs i(t) y v(t) vs q(t))

Función de Trasferencia. Masa Resorte Amortiguador (f(t) vs x(t) y f(t) vs v(t))

Sistemas híbridos.

CAPÍTULO 1: Investigación


INVESTIGAR:

FRACCIONES PACIALES PARA ENCONTRAR LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:

CAPITULO 1

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