Capítulo 1 - Números Reales, Desigualdades y Valor AbsolutoTeoría Básica

14 de mayo de 2013

Revisa los siguientes sitios en Internet donde encontrarás ayuda pararesolver los problemas propuestos de este capítulo:

↪→calculus100 ↪→@calculotv

↪→Calculotv@gmail.com ↪→calculotv.blogspot.com

Autor: MSc. Alexis Salcedo. Venezuela, Barquisimeto.

�� ��1. Los Números Reales

Los conjuntos de números usados en cálculo son, subconjuntos de R, elconjunto de los números reales.

Números Naturales

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

Números Enteros

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Números Racionales

Q ={ab| a, b ∈ Z b 6= 0

}por ejemplo:

2

15; −1

2; −7, 12; 2 = 2

1 ; 3, 9555...

Números Irracionales

Todos los números reales que no son números racionales se llaman númerosirracionales y se denotan por I , por ejemplo:

π;√2; 3√5; −π/3

El conjunto R de los números reales es el conjunto formado por la uniónde los números racionales con el conjunto de los números irracionales, esdecir,

R = Q ∪ I

�� ��2. La Recta Numérica

El conjunto de los números reales puede ponerse en correspondencia deuno a uno (o biunívoca) con los puntos de una recta horizontal, llamadarecta numérica o recta real.

1

�� ��3. Propiedades Básicas de los Números

Si a, b y c son números cualesquiera, y P el conjunto de todos los númerospositivos, entonces

3.1 Ley Asociativa para la Suma:

a+ (b+ c) = (a+ b) + c.

3.2 Existencia de una Identidad para la Suma:

a+ 0 = 0 + a = a.

3.3 Existencia de Inversos para la Suma:

a+ (−a) = (−a) + a = 0.

3.4 Ley Conmutativa para la Suma:[1]

a+ b = b+ a.

3.5 Ley Asociativa para la Multiplicación:

a · (b · c) = (a · b) · c.

3.6 Existencia de una Identidad para la Multiplicación:

a · 1 = 1 · a = a.

3.7 Existencia de Inversos para la Multiplicación: Para todo nú-mero a 6= 0, existe un número a−1[2], tal que

a · a−1 = a−1 · a = 1.

[1]La resta no tiene esta propiedad, por lo general a− b 6= b− a. El álgebra elemental

demuestra que a− b = b− a únicamente cuando a = b.[2]La división por 0 es siempre inde�nida.

3.8 Ley Conmutativa para la Multiplicación:

a · b = b · a.

3.9 Ley Distributiva:

a · (b+ c) = a · b+ a · c.

3.10 Ley de Tricotomía: Para todo número a se cumple una y sólo unade las siguientes igualdades

i) a = 0.

ii) a ∈ P.

iii) −a ∈ P.

3.11 La Suma es Cerrada: Si a,b ∈ P, entonces a+ b ∈ P.

3.12 La multiplicación es Cerrada: Si a,b ∈ P, entonces a · b ∈ P.�� ��4. Desigualdades

Una desigualdad es una oración con <, >,[3]≤,≥[4] como verbo. Por ejem-plo: 3x − 5 < 6 − 2x. Resolver una desigualdad es hallar el conjunto detodos los números reales que hacen a la desigualdad verdadera y el con-junto de todas estas soluciones es su conjunto solución.

Las siguientes propiedades serán útiles cuando estemos resolviendo de-sigualdades.�� ��5. Propiedades de las Desigualdades

Sean a, b, c, d y k números reales.

1. Si a < b y b < c, entonces a < c. (Propiedad transitiva)

2. Si a < b y c < d, entonces a+ c < b+ d. (Suma de desigualdades)

3. Si a < b, entonces a+ k < b+ k. (Suma de una constante)

[3]Los símbolos < y > Se leen menor que y mayor que, respectivamente.[4]Los símbolos ≤ y ≥ Se leen menor o igual que y mayor o igual que, respec-

tivamente.

2

4. Si a < b y k > 0, entonces ak < bk. (Producto por una constantepositiva)

5. Si a < b y k < 0, entonces ak > bk. (Producto por una constantenegativa)

6. Si 0 < a < b, entonces1

a>

1

b. (Recíprocos)

Se obtienen propiedades válidas y análogas sustituyendo < por ≤ y >por ≥.

�� ��6. Intervalos

Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentancon frecuencia en el cálculo y corresponden geométricamente, a segmentosde rectas.

Tipos de Intervalos

Notación Conjunto Tipo Figura

(a, b) {x | a < x < b} Abierto

[a, b] {x | a ≤ x ≤ b} Cerrado

[a, b) {x | a ≤ x < b} Semiabierto

(a, b] {x | a < x ≤ b} Semiabierto

(a,+∞) {x | x > a} In�nito

[a,+∞) {x | x ≥ a} In�nito

(−∞, b) {x | x < b} In�nito

(−∞, b] {x | x ≤ b} In�nito

(−∞,+∞) R In�nito

�� ��7. Estrategias para Resolver Desigualdades

Resolver una desigualdad lineal o de primer grado:

Se despeja la variable, similar a la resolución de ecuaciones lineales.

Pasos para resolver una desigualdad polinómial:

1. Hallar un una desigualdad equivalente con 0 en el lado derecho.

2. Resolver la ecuación polinómica relacionada.

3. Usar las soluciones para dividir la recta real en k+1 intervalos (dondek es el número de raíces). Luego seleccionar un valor de prueba encada intervalo y determinar el signo del polinomio factorizado sobreel intervalo.

4. Determine los intervalos para los cuales la desigualdad se satisface.Incluir los extremos de los intervalos si el símbolo de la desigualdades ≤ o ≥ .

Pasos para resolver una desigualdad racional:

1. Hallar un una desigualdad equivalente con 0 en el lado derecho.

2. Resolver la ecuación relacionada.

3. Hallar los valores de la variable para los cuales la ecuación relacio-nada no está de�nida (es decir, para qué valores de la variable eldenominador se hace cero).

4. Los números hallados en los pasos (2) y (3) son llamados valorescríticos. Usar los valores críticos para dividir la recta real en k + 1intervalos (donde k es la cantidad de valores críticos). Luego seleccio-nar un valor de prueba en cada intervalo y determinar el signo de laecuación relacionada en ese intervalo.

5. Seleccionar los intervalos para los cuales la desigualdad se satisface.Si el símbolo de la desigualdad es ≤ o ≥, entonces, las soluciones delpaso (2) deben incluirse en el conjunto de soluciones. Los valores dela variable hallados en el paso (3) jamás se incluyen en el conjuntosolución.

3

�� ��8. Valor Absoluto

Si a es un número real entonces su valor absoluto es

|a| ={

a si a ≥ 0−a si a < 0

}En la recta numérica, |a| es la distancia entre el origen y el número a.

��

�

9. Distancia entre dos Puntos en la Recta

Numérica

Sean A y B dos puntos sobre la recta real, y a y b sus coordenadasrespectivas. La distancia entre A y B se denota por d (A,B) y estádada por

d (A,B) = |b− a| = |a− b|

�� ��10. Operaciones con Valores Absolutos

Sean a y b números reales y sea n un entero positivo.

1. |ab| = |a| |b| 2.∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , b 6= 0

3. |a| =√a2 4. |an| = |a|n

��

�

11. Propiedades de los Valores Absolu-

tos

Sea b un número real positivo. Entonces:

1. |a| < b⇔[5]−b < a < b.

[5]⇔ se lee �si y sólo si�, en ocasiones abreviado como, sii.

2. |a| ≤ b⇔−b ≤ a ≤ b.

3. |a| > b⇔ a < −b ó a > b.

4. |a| ≥ b⇔ a ≤ −b ó a ≥ b.

5. |a| = b⇔ a = −b ó a = b.

6. Desigualdad triangular: |a+ b| ≤ |a|+ |b|

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