Capítulo 10 -Orificios y Vertederos - Version 06.pdf

captulo 10

Singularidades en contornos abiertos y cerrados. Orificios y vertederos.

Resumen:

En este captulo se desarrollan los conceptos bsicos correspondientes a dos estructuras hidrulicas importantes: los orificios y los vertederos. La importancia de estas estructuras radica en su utilizacin con fines de medicin y regulacin de caudales, en particular relacionados con el flujo a presin en conductos (orificios) y el flujo por gravedad en canales (orificios y vertederos).

Contenido:

. 10.1 Conceptos generales .................................................................................................................................... 364 10.2 Orificios .......................................................................................................................................................... 365

10.2.1 Elementos de un orificio....................................................................................................................365 10.2.2 Orificio perfecto.................................................................................................................................365 10.2.3 Orificio en pared horizontal ...............................................................................................................368 10.2.4 Velocidad de llegada no despreciable..............................................................................................368 10.2.5 Contraccin parcialmente suprimida ................................................................................................369 10.2.6 Contraccin incompleta ....................................................................................................................370 10.2.7 Orificios de arista redondeada..........................................................................................................371 10.2.8 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga .....................................................................371 10.2.9 Orificios en pared intermedia............................................................................................................373 10.2.10 Orificios en pared gruesa..................................................................................................................373 10.2.11 Orificios totalmente sumergidos .......................................................................................................376 10.2.12 Orificios parcialmente sumergidos....................................................................................................387 10.2.13 Orificios bajo carga variable..............................................................................................................387

10.3 Vertederos ...................................................................................................................................................... 390 10.3.1 Elementos de un vertedero...............................................................................................................390 10.3.2 Caractersticas del flujo sobre vertederos ........................................................................................391 10.3.3 Vertederos de pared delgada ...........................................................................................................391 10.3.4 Vertederos de pared intermedia .......................................................................................................396 10.3.5 Vertederos de pared gruesa.............................................................................................................399

10.4 Cuadros resumen .......................................................................................................................................... 401 10.4.1 Orificios .............................................................................................................................................401 10.4.2 Verdederos .......................................................................................................................................403

10.5 Problemas propuestos.................................................................................................................................. 404

CAPTULO 10

364

10.1 Conceptos generales El flujo a travs de orificios y vertederos adquiere gran importancia ya que estas dos estructuras son las ms utilizadas para la regulacin y/o medicin de caudales. El flujo a travs de estas estructuras se caracteriza por el hecho que las lneas de corriente slo se pueden considerar rectas paralelas en puntos singulares del flujo (usualmente la seccin conocida como vena contracta). Hemos visto que el flujo potencial permite modelar flujos en los cuales las lneas de corriente no son rectas paralelas, sin embargo si se desprecian las prdidas de forma que se producen en estas singularidades el error que se comete (en particular en el clculo de caudal) es importante. Por lo tanto es difcil enunciar una teora general y cada estructura debe considerarse en forma individual. Debido a lo difcil de establecer procedimientos totalmente analticos para su clculo, en general es necesario recurrir a la experimentacin. Cuando las estructuras hidrulicas a disear son de gran importancia es usual realizar su ensayo en modelos (vertederos en grandes presas por ejemplo). Sin embargo algunos estudios analticos complementados con ensayos de laboratorio, permiten arribar en ciertos casos a resultados que coinciden con la experimentacin. Algunos ejemplos de la utilizacin de estos elementos son: Orificios: desage de tanques, medicin de caudales mediante placa orificio, regulacin de presin mediante placa orificio, descarga de presas pequeas. Cabe destacar que una vlvula puede considerarse como un orificio cuyo pasaje es variable y sus ecuaciones son similares a las de los orificios. Vertederos: medicin de caudales en canales, regulacin de caudales de salida en equipos de tratamiento de aguas, regulacin de caudales de riego, regulacin de presas de embalses. Denominamos orificio a toda abertura practicada en la pared de un depsito, un canal o un conducto a presin y en la cual el escurrimiento llena completamente su contorno. Denominamos vertedero a toda abertura en la cual en la parte superior de la misma hay una superficie libre. De esto se desprende que un orificio que no se encuentra totalmente sumergido en el recipiente o canal se comporta como un vertedero. Tanto para los orificios como para los vertederos puede darse el caso que aguas abajo el tirante lquido se encuentre por encima del orificio (o vertedero) o bien por debajo del mismo (sin embargo el fluido en el orificio debe ocupar todo el contorno sino se comportara como un vertedero y para su clculo se debera aplicar las ecuaciones que corresponden a ste). En el primer caso se dice que el orificio (o vertedero) est totalmente sumergido y en el segundo que el desage se produce a descarga libre. En el tipo de flujo que se produce tanto para los orificios como para los vertederos es de importancia fundamental el espesor de pared de los mismos por lo cual podemos distinguir entre orificios (o vertederos) de arista viva, de pared fina o de pared gruesa. Algunos de los casos enunciados se pueden ver en la figura f:10.1 Enfatizamos, asimismo, que la presente publicacin no pretende ni debe reemplazar a los buenos manuales de hidrulica (ver la bibliografa citada al final del captulo) de donde se pueden obtener los coeficientes a utilizar en la prctica, los valores dados aqu son indicativos. La intencin de este captulo es por lo tanto resaltar las caractersticas fsicas fundamentales que le permitan al ingeniero seleccionar los mismos adecuadamente, pues de ello depender la exactitud de los clculos. Un orificio se considera de pared delgada cuando el espesor de la pared es menor a la mitad de la dimensin ms pequea del orificio. Si el espesor de la pared se ubica entre la mitad y tres veces la menor dimensin del orificio se dice que el espesor es intermedio. Si el espesor es superior a tres veces la menor dimensin decimos que el orificio es de pared gruesa. Para una mejor comprensin de lo dicho ver la figura que sigue:

SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS - ORIFICIOS Y VERTEDEROS

365

f:10.1

10.2 Orificios

10.2.1 Elementos de un orificio Un orificio es, en principio, cualquier abertura practicada en una pared, de aqu se desprende que el lquido contenido se derrama a travs de l. Algunos elementos caracterizan el orificio son: A0, rea de su seccin transversal, e, longitud o espesor de la pared, H, carga o altura de lquido desde el baricentro del orificio hasta la superficie de nivel, d0, dimensin vertical del rea

f:10.2 d0 >10

eH (carga)

vena contractarea A0

V

10.2.2 Orificio perfecto Analizaremos el caudal que descarga por un orificio que cumple ciertas condiciones al que denominaremos perfecto o ideal. Luego analizaremos las variantes sobre ste para obtener la expresin de la descarga de otras posibles conformaciones del orificio. El orificio perfecto cumple las condiciones mencionadas en la columna izquierda de la siguiente tabla:

Orificio perfecto Variantes ubicado en una pared vertical ubicado en una pared horizontal (ver 10.2.3) la velocidad de llegada V es despreciable la velocidad de llegada no despreciable (ver 10.2.4)

CAPTULO 10

366

Orificio perfecto Variantes la contraccin del chorro descargado por el orificio es completa (vena contracta)

la contraccin est parcialmente suprimida (ver 10.2.5) o es incompleta (ver 10.2.6)

la arista del orificio es viva, el ngulo de la descarga es mayor a 10

la arista es redondeada (ver 10.2.7)

el orificio es pequeo y la pared tiene tamao infinito, por lo tanto la carga puede ser considerada constante

el orificio es de gran abertura vertical respecto a la carga (ver 10.2.8)

la pared es delgada (e


367

Debido a la hiptesis de pared infinita la velocidad de llegada (velocidad sobre la seccin 1-1) debe ser despreciable, adems la suma del trmino de presin ms la energa potencial se mantiene constante para toda la seccin y por lo tanto es igual a la aceleracin de la gravedad por la altura de la superficie libre. La diferencia de energa interna entre la superficie libre y la vena contracta u mide la prdida de energa debido a la friccin entre capas del fluido y de ste con la estructura. Finalmente la presin en la superficie libre es la atmosfrica al igual que en la vena contracta (lneas de corriente rectas paralelas). Por lo tanto luego de simplificar obtenemos:

uVHg 221 21

Y por lo tanto:

uHgV 12 2 Lo usual es expresar la prdida de carga afectando la velocidad con un coeficiente que llamaremos coeficiente de velocidad, que ser menor que la unidad, con lo cual se puede escribir:

ec:10.1 12 2 HgCV v Ntese que la altura H1 es la altura desde el baricentro de la vena contracta hasta la superficie libre del depsito, la cual en orificios practicados en paredes verticales es esencialmente igual a la altura desde el baricentro del orificio. En cambio para orificios practicados en paredes horizontales dicha altura no coincide exactamente con la altura del baricentro como se ver ms adelante. El valor de Cv para orificios practicados en paredes horizontales tal como la mostrada vara entre 0,96 y 0,99 siendo lo usual adoptar 0,98. De acuerdo con la ecuacin de continuidad el caudal volumtrico valdr:

ec:10.2 122 2 HgCAVQ v Donde A2 es el rea contracta. Si referimos dicha rea al rea del orificio (A0) definiendo el coeficiente de contraccin Cc, como la relacin A0 /A2, la anterior se puede reescribir:

ec:10.3 10 2 HgACCQ cv Este coeficiente de contraccin fue determinado para algunos casos especiales en forma analtica y en general en forma experimental, dando como resultado que su valor vara entre 0,6 y 0,7 adoptndose en la prctica el valor de 0,63. Finalmente la ecuacin del caudal se puede expresar:

ec:10.4 10 2 HgACQ d En la cual Cd es el coeficiente de descarga y es igual al producto: ec:10.5 cvd CCC

En general este coeficiente depende de: la forma del orificio, tiende a ser menor para el crculo que para el cuadrado y en ste menor que en el

rectngulo, es mayor cuanto ms alargado es el rectngulo, para grandes valores de la carga (H1) no interesa la posicin del orificio, para una misma carga y forma de la seccin es menor cuanto mayor es el orificio, es funcin del nmero de Reynolds, en orificios circulares con valores del nmero de Reynolds mayores

que 100.000 tiende a 0,6, aumenta con la temperatura del fluido. Por lo tanto el caudal para un orificio de pared delgada en posicin vertical, con descarga libre y con una abertura despreciable respecto de la carga se puede establecer como:

ec:10.6 10 26170 HgA,Q

Ejemplo 10.1

CAPTULO 10

368

En el centro de la pared vertical de un tanque con nivel de lquido de 5 m se practica un orificio de 10 mm de dimetro. El tanque es suficientemente grande como para despreciar las variaciones de nivel debido al desage. El lquido en el tanque es agua de densidad relativa 1. Determinar el caudal desaguado por el orificio y la velocidad de salida en la vena contracta.

Solucin El caudal lo obtenemos de la ecuacin ec:10.6:

h/m,h/sms/m,m,,HgA,Q 3222

10 7271360058924010617026170

Para determinar la velocidad en la vena contracta utilizamos la ecuacin ec:10.1 con Cv = 0,98:

s/m,ms/m,,HgCV v 79589298022

1

10.2.3 Orificio en pared horizontal Cuando la pared en que se practica el orificio es horizontal en lugar de vertical (figura f:10.4), como se haba anticipado la altura H1 de la superficie libre respecto del orificio no coincide con la altura de la vena contracta, sino que sta se encuentra ms baja dando lugar a un aumento de la velocidad y por lo tanto a un aumento del caudal pues la superficie de la vena contracta no se ve influenciada por la posicin del orificio. Remitindonos a la figura f:10.4, la velocidad en la vena contracta se modificar respecto de la encontrada para dar:

212 2 zHgCV v

f:10.4

2 2e

H1

z2

Que tambin se puede expresar:

1

1

212 2 HH

zHgCV v

1

1

212 2 HgH

zHCV v

El valor de z2 es del orden del tamao de la abertura y en la prctica usualmente se lo desprecia.

10.2.4 Velocidad de llegada no despreciable Cuando la velocidad de llegada en la seccin 1-1 es mayor o igual a 0,3 m/s, usualmente no se puede despreciar. La ecuacin de la energa por lo tanto ser:

uVHgV 22121 21

21

Donde es el coeficiente de correccin de la energa cintica, como se vi en el punto 3.6 del captulo 3. Para canales, es usual adoptar para el valor de 1,1. De aqu:

2112 212 VuHgV

Que como se ha dicho puede ser escrita como:


369

ec:10.7

2112 212 VHgCV v

Y por lo tanto el caudal desaguado cuando la velocidad de llegada no es despreciable ser:

ec:10.8

2110 212 VHgACQ d

10.2.5 Contraccin parcialmente suprimida Como ya se ha resaltado la contraccin de la vena ocurre debido a que los filetes de fluido adyacentes al orificio son obligados a girar 90 para alcanzar la salida. Obviamente que si algn lado del orificio es paralelo a una de las superficies (por ejemplo la inferior) como podra ser el caso de un canal mostrado en la figura f:10.5, la contraccin no ser completa se dice que la contraccin est parcialmente suprimida.

f:10.5

ps = l p = 2.(l+a)

ps = l + 2.ap = 2.(l+a)

Vista lateral Vista de frente

Vena con contraccin inferior suprimida

e

H1

ps, permetro suprimidop, permetro del orificio

rea A0

al

al

rea A2

Por otra parte este aumento de la seccin producir un aumento del caudal respecto al caudal que se obtiene con contraccin completa. Llamando ps al permetro del rea suprimida y p al permetro total del orificio se debe corregir el caudal de descarga calculado como orificio de contraccin total de acuerdo a los siguientes coeficientes:

Tipo de orificio segn Bidone segn Weisbach Rectangulares Cs=1+0,156 ps/p l>0,2m a>0,1m: Cs=1+0,157 ps/p

l

CAPTULO 10

370

f:10.6

a=0,5m

H1y=2,5m b = l = 1mV1

Solucin Aqu a priori no se puede despreciar la velocidad de llegada. Por otra parte la contraccin de vena se encuentra restringida por el fondo y los bordes del canal. Entonces para encontrar el caudal utilizaremos la ecuacin ec:10.9:

2110 212 VHgACCQ ds

La velocidad V1 es la velocidad en el canal la cual no es conocida, pero como conocemos la seccin y el tirante la ecuacin de continuidad nos permite reemplazar la velocidad en el canal mediante:

ybQV 1

Por lo tanto:

2

10 212

ybQHgACCQ ds

Despejando el caudal de la anterior resulta:

222222

1

221

ybabCC

HgQ

ds

Adoptando el factor Cs de acuerdo a Weisbach, resulta:

10515012502115701

221570115701 ,

m,mm,m,

abab,

pp,C ss

Adoptando el valor de Cd como 0,617 y el factor = 1,1:

s/m,

m,mm,m,,

m,s/m,Q 3

2222222222

22872

52125016170105121

25289

La velocidad de llegada en el canal ser:

s/m915,0m5,2m1

s/m287,2V3

1

Si se hubiera considerado la compuerta como un orificio perfecto el caudal habra resultado:

s/m,m,s/m,m,m,Q 32 04922528925016170

10.2.6 Contraccin incompleta Asimismo cuando la distancia del orificio a las paredes del recipiente es menor a 3 veces la menor dimensin del mismo tambin el alineamiento de los filetes hace que la contraccin de la vena sea ms suave que en el caso de la contraccin completa, dando lugar a caudales mayores que en dicho caso. A este tipo de contraccin se lo denomina incompleta (figura f:10.7) y los coeficientes de correccin son:


371

Tipo de orificio Rectangulares 1907601 ns ,C Circulares 1821140456401 ns ,,C

Donde n es la relacin entre el rea del orificio y la superficie transversal del canal de llegada.

f:10.7

10.2.7 Orificios de arista redondeada En el orificio de aristas agudas, el objetivo es miminizar las prdidas por friccin minimizando el contacto entre el orificio y el lquido. Por otro lado, la forma del orificio de arista redondeada acompaa las lneas de corriente en la descarga, con lo cual el coeficiente de contraccin igual a Cc=1,00 y el coeficiente de descarga es de Cd=0,98.

f:10.8

Orificio de arista redondeada

10.2.8 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga Como definimos al principio del captulo, la carga del orificio es la altura de lquido desde el baricentro del orificio hasta la superficie de nivel. En el desarrollo de las ecuaciones de caudal anteriores se supuso que la velocidad del fluido no variaba en toda la abertura del orificio y se mantena constante en toda el rea del mismo. Sin embargo la velocidad del fluido vara desde la parte superior del orificio hasta la parte inferior por efecto del aumento de la carga a medida que aumenta la profundidad. Por lo tanto si la distancia entre el baricentro del orificio y la superficie libre respecto de la altura de la abertura del orificio es pequea ser necesario tener en cuenta en el clculo del caudal esta variacin de velocidad. En lo que sigue vamos a tratar de determinar cundo en un orificio la variacin de carga se puede despreciar y cundo no. Sea un orificio de gran abertura vertical como se muestra en la figura f:10.9 trataremos de calcular el diferencial de caudal dQ correspondiente a un diferencial de rea dA:

f:10.9

H1 z Hi

Hj

t

dz a

l

a) b)

Orificio de gran altura respecto a la carga

CAPTULO 10

372

ec:10.10

21

21

212

212

VzgdztCdQ

VzgdACdQ

zd

d

ec:10.11 dzVzgtCQjH

iHzd

21212

Donde hemos supuesto que el coeficiente de descarga se mantiene constante en toda la seccin. Si consideramos una seccin rectangular (figura f:10.9.b) de altura a, ancho l (es decir t(z)=cte=l) y considerando la velocidad de llegada despreciable la ecuacin ec:10.11 se puede reescribir:

dzzglCQjH

iHd 2

ec:10.12

2323232

ijd HHglCQ

Si calculamos el caudal de desage como si se tratara de pequea abertura (velocidad constante en toda la seccin e igual a la velocidad en el baricentro) tendramos:

12 HgalCQ dap Donde H1 es la altura del baricentro. Si consideramos que una aproximacin de 0,5% es adecuada para nuestros clculos tendremos:

21

1

23

23

329950

Ha

HH,

QQ ij

ap

Y como Hj = H1 + a/2 y Hi = H1 a/2

21

1

23

123

1

21

1

23

123

1 21

21

4951224951

aH

aH

aH

,Hb

aHaH,

Resolviendo la anterior para H1/a = 1,684 se obtiene un error de 0,5% que en general est muy por debajo de los errores que se cometen con el resto de las suposiciones. Por lo tanto y como regla general se puede decir que cuando la carga es mayor que dos veces la altura de la abertura (H1>2a) el considerar la velocidad uniforme e igual a la velocidad en el baricentro es aceptable a los fines prcticos. Siguiendo un razonamiento anlogo se llegara a una conclusin similar para un orificio de seccin circular.

Ejemplo 10.3 Encontrar el caudal que escurre bajo la compuerta del ejemplo 2 si el tirante en el canal es de 1 metro. Solucin En este caso la carga sobre la compuerta sera de 0,75 m, es decir una vez y media el valor de la abertura vertical, por lo tanto a fin de mantener el error por debajo del 5% deberamos considerar a la compuerta como un orificio de tamao vertical apreciable con respecto a la carga, y no deberamos calcular entonces la velocidad (y el caudal) con la carga en el baricentro, sino que debemos integrar a lo largo de la compuerta. Para este caso recurriendo a lo visto en el Ejemplo 10.2 resulta:

dzyb

QzgbCCdQ ds

2

212


373

Integrando la anterior para toda la compuerta:

ay

yds dzyb

QzgbCCdQ2

212

Realizando la sustitucin: 2

21

ybQzgu ; dzgdu ;

221

ybQygyu ; 2

21

ybQaygayu

E integrando resulta:

221

2

21

23

232

yb

Qayg

ybQyg

dsu

gbCCQ

23

223

2

21

212

32

ybQayg

ybQYg

gbCCQ ds

Reemplazando valores:

23

2

2

23

2

2

211

11215089

1111

211892

32

89

161701051mm

Q,m,sm,

mmQ,m

sm,

sm,

m,,Q

Resolviendo la anterior por aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson o cualquier otro mtodo resulta:

s

m,Q3

3941

10.2.9 Orificios en pared intermedia No vistos en el alcance del curso.

10.2.10 Orificios en pared gruesa Cuando el espesor de pared supera tres veces a la menor dimensin del orificio el orificio se comporta en forma distinta que si dicha dimensin es menor a media vez dicha dimensin, es por ello que se diferencia entre orificios de pared delgada y orificios de pared gruesa. La pregunta que nos debemos hacer es bsicamente cul es la diferencia fsica que produce esta diferencia de comportamiento. La respuesta es que mientras en el caso de la pared fina la vena contracta se produce en contacto con el aire en el caso de orificios de pared gruesa dicha vena se produce en el interior de la pared. Como el efecto de la contraccin de la seccin produce un aumento de la velocidad del fluido tambin aumentar la energa cintica en la seccin, dicho aumento de la energa cintica respecto a la entrada y a la salida del orificio debe ser hecha a costa de disminuir la presin en la seccin como se infiere de la ecuacin de la energa. Ahora bien como a la salida del orificio la presin del ambiente es la atmosfrica la presin en la seccin contrada debe ser inferior a la atmosfrica y por tanto se produce un efecto de succin adicional al correspondiente a la descarga libre que se ve reflejado en un aumento efectivo del caudal de descarga especto al caudal que escurrira en caso de la descarga libre. Esto est en lnea con las mediciones experimentales.

CAPTULO 10

374

Finalmente el reflujo de lquido que se produce en la contraccin produce una prdida por friccin que atena parcialmente el efecto de succin antes mencionado. Sea el orificio de pared gruesa mostrado en la figura:

f:10.10

Para encontrar la velocidad en la vena contracta aplicamos la ecuacin de la energa al volumen de control mostrado resultando como en los casos anteriores:

ec:10.13 2

222

211VpuHgu

Donde el trmino de presin es negativo pues hemos trabajado con presiones manomtricas y la presin en la seccin 2-2 es una depresin es decir es menor que la atmosfrica. Bernoulli determin que esta depresin era sensiblemente igual a:

ec:10.14 12 43 Hp

Reemplazando la ecuacin ec:10.14 en la ecuacin ec:10.13:

12

1212

1212

2

22

1211

247

472

47

2

243

HgCV

HguuV

HguuV

VHguHgu

v

Y por lo tanto el caudal ser:

cCAVAVQ 0222 Donde, como vimos anteriormente, A0 es el rea a la salida y CC es el coeficiente de contraccin de forma tal que CC = A0/A2. Reemplazando en la expresin hallada.

10cv Hg247AC.CQ

Si adoptamos para Cv y Cc los valores indicados para orificios de pared delgada, es decir 0,98 y 0,63 respectivamente y efectuando las operaciones indicadas resulta:

ec:10.15 10 28170 HgA,Q Valor que se aproxima mucho a los valores obtenidos experimentalmente. Esta expresin corrobora lo dicho respecto a que el caudal desaguado supera al caudal desaguado en el caso de pared delgada para el cual el caudal vala (punto 10.2.1):

10 26170 HgA,Q


375

Es decir que el caudal desaguado por un orificio de pared gruesa supera en 32% aproximadamente al orificio de pared fina. Sin embargo hay que notar que la depresin en la vena contracta no puede superar el lmite terico de la presin atmosfrica, es decir que para valores de la carga que superen el valor:

m ,HH4310,33agua el para m ,pp atm 78133310 112 ,

los efectos de la pared gruesa comienzan a desaparecer. Debe tenerse en cuenta que este lmite es menor pues antes de esto comienza a aparecer cavitacin, es decir que el agua se vaporiza y tiende a disminuir el rea de pasaje con lo cual tambin disminuye el caudal desaguado, es decir que el lmite depende fuertemente de la presin del lugar y de la temperatura del agua.

Tubos adicionales, entrantes o de Borda

El caudal que desagua por un orificio puede ser modificado dentro de ciertos lmites por la inclusin de tubos adicionales normales al recipiente. Cuando se agrega a un orificio de pared delgada un tubo adicional cilndrico normal al recipiente y exterior al mismo tal como se muestra en la figura f:10.11 el efecto producido es el mismo que si el orificio se comportase como un orificio de pared gruesa y dentro de los lmites establecidos se podr advertir un aumento de caudal como el descrito. Si en lugar de un tubo cilndrico se agrega un tubo convergente, dentro de un determinado rango del ngulo de convergencia el caudal que se obtiene es mayor que para los tubos cilndricos. El efecto mencionado es potenciado si se hace una entrada redondeada pues los filetes de fluido son mejor guiados. Con este tipo de tubos se pueden lograr coeficientes de desage del orden de 0,98 para ngulos del orden de los 13. Este es el caso de las boquillas de las lanzas de incendio.

f:10.11

Las secciones divergentes para pequeos ngulos de divergencia se comportan como las convergentes en tanto que para ngulos mayores se comportan como descarga libre. Cuando el tubo adicional es interior y con una longitud entre 2 y 2,5 veces el tamao de la mayor dimensin del orificio se lo denomina tubo de Borda. El agregado de este tubo hace que los filetes de fluido en las proximidades de la boca de salida en el interior del recipiente deban girar 180 en lugar de 90 y por lo tanto la vena se contrae an ms que en el caso de tubos de pared delgada, lo cual sugiere que el caudal que desagua es an menor. Esto ha sido corroborado por la experimentacin que ha demostrado que el coeficiente de descarga para este caso se sita entre 0,51 y 0,53.

CAPTULO 10

376

f:10.12

Tericamente puede encontrarse una aproximacin a estos valores tal como sigue. Sea el recipiente mostrado en la figura f:10.12 y apliquemos la ecuacin de continuidad y la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin del movimiento a un volumen de control tal como se muestra en la figura. De la ecuacin de la energa si se desprecian las prdidas obtenemos la velocidad en la vena contracta (seccin 2-2) resultando como ya hemos visto:

12 2 HgV De la ecuacin de cantidad de movimiento:

VC SC

AdVVdVt

.extF

Por ser el flujo permanente la derivada de la integral sobre el volumen de control es cero. En la direccin del movimiento las nicas fuerzas externas que actan son las debidas al desequilibrio de presin producido por el orificio, y en la nica superficie de control donde hay flujo de cantidad de movimiento es sobre la vena contracta por lo tanto segn la direccin del movimiento la anterior se reduce a:

22

211 AVAHg Reemplazando por el valor de velocidad encontrado:

2111 2 AHgAHg De donde resulta:

50501

2 ,C,AA

c Como se adopt que no haba prdidas, es decir Cv = 1, resulta, Cd = 0,5, valor muy prximo al encontrado experimentalmente.

10.2.11 Orificios totalmente sumergidos En lo que respecta a los orificios totalmente sumergidos se presentan tres casos de inters: desage de tanque a tanque a travs de un orificio, desage de una represa a un canal a travs de una compuerta, orificios en conductos a presin. 10.2.11.1 Desage de tanque a tanque a travs de un orificio

Sean los depsitos mostrados en la figura f:10.13 de los cuales supondremos que su volumen es suficientemente grande como para considerar que su nivel no vara mientras se produce la descarga a travs del orificio mostrado.


377

f:10.13

Supondremos adems que las velocidades de llegada son despreciables (obvio de la hiptesis anterior). Si aplicamos la ecuacin de la energa a un volumen de control tal como el mostrado:

22

2212

11 21

21 HgVuHgVu

Nuevamente por ser la velocidad en la seccin 1 despreciable podemos poner:

uVHg 2221

Donde H es la diferencia de niveles entre las superficies libres de cada recipiente y es constante para toda la seccin del orificio. Por lo tanto en este caso no hay orificios que se comporten como de gran altura o pequea altura con respecto a la carga. De la anterior inferimos:

uHgV 2 Y como ya dijramos:

HgCV v 2 Y por lo tanto el caudal se puede expresar:

ec:10.16 HgACQ d 20 Las experiencias demostraron que el coeficiente de desage en este caso es levemente inferior que en el caso de desage a la atmsfera resultando el mismo en un 2% inferior al anterior. Dichos coeficientes se hallan tabulados en los manuales correspondientes. Esta disminucin del caudal probablemente pueda adjudicarse a la mayor prdida por friccin entre filetes del fluido que entre filetes del fluido y el aire.

10.2.11.2 Desage de una represa a un canal

Un caso de inters prctico es el que ocurre en la descarga de una represa a un canal a travs de una compuerta. La entrega puede realizarse mediante compuertas deslizantes, compuertas radiales o compuertas de cilindro. Tambin puede realizarse en el caso de compuertas deslizantes y de cilindro por entrega inferior y/o superior. La parte superior acta como vertedero por lo cual es de aplicacin lo que se ver ms adelante, en tanto la parte inferior acta como orificio (ver figura f:10.14)

CAPTULO 10

378

f:10.14

La compuerta del canal cumple en general dos propsitos: regulacin del caudal de suministro y disipacin de energa. El segundo propsito usualmente se logra mediante la generacin de un resalto hidrulico y tiene por objeto evitar erosionar el canal que por razones econmicas generalmente ser construido de tierra, excepto en la zona donde se produce el resalto hidrulico. Esto hace de suma importancia determinar la ubicacin del mismo, pues las obras de proteccin a realizar en el canal sern funcin de dicha ubicacin. En lo que sigue nos referiremos a las compuertas de tipo deslizante con descarga inferior y tamao vertical de la compuerta menor que el tirante crtico en el canal. Los casos que se pueden dar son: Descarga libre: Este tipo de descarga ya ha sido cubierta en los puntos anteriores. Descarga sumergida. Pueden darse tres casos, segn sea que el tirante aguas abajo del resalto (tirante

conjugado) que se forma a la descarga de la compuerta: a) coincida con el nivel del tirante en el canal (sea este el uniforme o el obtenido con la interposicin de un obstculo), b) sea menor que el tirante a la descarga del canal, c) sea mayor que el tirante a la descarga del canal.

En la figura f:10.15 se muestran estos tres casos. Desde el punto de vista del control de erosin en el canal, el caso a) es muy favorable, pues ubica el resalto muy precisamente y por lo tanto la zona a proteger queda bien definida. El inconveniente que presenta es que slo se da para una condicin de caudal, pero la demanda del canal seguramente variar con el tiempo. El caso c) si bien es el ms conservador desde el punto de vista del control de la erosin tiene el inconveniente que la disipacin de energa es escasa, y por lo tanto la erosin en el canal natural puede ser importante. El caso ms comn y general es el b).

f:10.15


379

En los tres casos la compuerta se comporta como un orificio sumergido, cuando en particular el tirante aguas abajo es el mismo que el tirante en la represa el caudal es nulo. Si se desprecia la velocidad de llegada el caudal a travs de la compuerta se puede expresar mediante:

ec:10.17 02 ygalCQ d Donde l es el ancho de la compuerta, a la altura de la misma e y0 es el tirante en el embalse. Expresando el caudal de esta forma la ecuacin puede utilizarse para descarga libre o sumergida. Henry expres el coeficiente de descarga Cd en funcin de las experiencias que realiz. En la figura f:10.16 se encuentra el grfico desarrollado por Henry donde en abscisas se ha representado la relacin entre el tirante en el embalse y la altura de la compuerta, en ordenadas el valor del coeficiente de descarga, y como parmetros la relacin entre el tirante aguas abajo del resalto y la altura de la compuerta, y el valor del nmero de Froude de la compuerta (F0).

f:10.16

Otro punto importante es determinar la posicin de la superficie libre. Para ello en caso de descarga libre y de los casos a) y b) vistos, es necesario posicionar la vena contracta. Lo usual es ubicar la vena contracta a una distancia de la compuerta igual a la altura de la misma (a). De esta forma ubicada la vena contracta y conociendo la pendiente del canal, se pueden determinar las curvas de la superficie libre y calcular los tirantes en que se desarrollan.

Ejemplo 10.4 Determinar el caudal desaguado a travs de una compuerta deslizante de 1 m de altura que alimenta en un canal de 5 m de ancho cuando el tirante en el embalse es de 8 m para los siguientes casos: a) El tirante aguas abajo es de 6 m. b) El tirante aguas abajo es de 4 m. c) El tirante aguas abajo es de 2 m. Solucin a) Para el tirante de 6 m, ingresamos en el grfico de la figura 10.10 con el valor de y0/a = 8m/1m = 8 e interceptamos en vertical con la curva y2/a = 6m/1m = 6, de la cual obtenemos el valor de Cd = 0,32. Reemplazando en la ecuacin.

s/m,ms/m,mm,ygalCQ d32

0 035208822153202 b) Para el tirante de 4 m, ingresamos en el grfico de la figura 10.10 con el valor de y0/a = 8 m/1m = 8 e interceptamos en vertical con la curva y2/a = 4m/1m = 4, de la cual obtenemos el valor de C = 0,5. Reemplazando en la ecuacin.


0 30531882215502 c) Para el tirante de 2 m, la relacin y2/a = 2 la vertical trazada por y0/a = 8, no intercepta a la curva. Es decir que el escurrimiento ocurre como si se tratase de una descarga libre. El coeficiente de descarga lo obtenemos de la curva de descarga libre y es aproximadamente 0,58 resultando:

CAPTULO 10

380


0 940368822155902 Es decir que en los casos a) y b) la compuerta trabaja como un orificio sumergido, en tanto en el caso c) trabaja como si se tratase de una descarga libre. Calcularemos a continuacin los caudales para los tres casos con los valores vistos siendo para los dos primeros casos:

HgACQ d 20 Siendo en ambos casos:

06511251560115601 ,

mm,

pp,C ss

O sea: para el caso a) sm,msm,mm,,Q 32 5712028921561700651 para el caso b) sm,msm,mm,,Q 32 0912948921561700651

para el caso c) sm,m,sm,mm,,Q 32 83539578921561700651 Valores que como se pude observar aproximan con un error no mayor al 10% los valores de ensayo.

10.2.11.3 Orificios en conductos a presin

Los orificios en conductos a presin sirven para propsitos de medicin, regulacin o reduccin de presin. Los orificios pueden ser fijos o variables, dentro de los primeros se encuentran las placas orifico, los venturmetros, los diafragmas, las vlvulas de seguridad, las vlvulas todo-nada (on-off). En el segundo grupo se pueden reconocer las vlvulas reguladoras. Aqu veremos lo concerniente a las placas orificio, cuyos conceptos bsicos pueden extrapolarse al resto de los enunciados, teniendo en cuenta que en las vlvulas reguladoras el coeficiente de descarga vara con la posicin de apertura. En conductos a presin es usual el empleo de las llamadas placas orificio para la medicin y/o reduccin de presin. La tcnica del empleo consiste en interponer en el flujo una placa de seccin circular y dimetro del orificio menor que el dimetro de la caera y a travs de la cual se produce una cada de presin que como se demostrar es proporcional al caudal que circula por el conducto, de esta forma midiendo la diferencia de presin entre las secciones aguas abajo y aguas arriba de la placa se puede conocer el caudal que circula. En la prctica esta diferencia de presiones usualmente es traducida a una seal electrnica (corriente de 4 a 20 mA) la cual es enviada a un sistema de control donde se produce la medicin o bien el control de la variable. En la figura f:10.17 se muestra una placa como usualmente se encuentra en la prctica. Apliquemos al volumen de control mostrado en la figura la ecuacin de la energa suponiendo que el fluido que circula es incompresible (lquido):

ec:10.18 Qp

VuQp

Vu

22

2212

11 21

21

f:10.17

1

1

2

2

(velocidad en la contraccin)

volumen de control

V1 V2D0 D2D1

Hagua

placa orificio


381

Si bien en la figura se muestra una placa instalada horizontalmente, en el caso que la placa se encuentre instalada en forma vertical es lo mismo dado que el aumento o disminucin de nivel ser compensado por el aumento o disminucin de la presin esttica. Aplicando la ecuacin de continuidad al volumen de control mostrado y teniendo en cuenta que las placas orificios se utilizan bsicamente en conductos de seccin circular:

21

14

DQV ; 2

22

4DQV

Reemplazando en la ecuacin ec:10.18:

21214

241

21

22

21214

142

42

41

2

2

242

2

2

21

41

2

2

1

8

8

88

ppuuDD

DDQ

ppuuDDDDQ

pD

Qup

DQu

Donde u1 u2 es la prdida de energa mecnica por unidad de masa que se produce por la prdida de carga localizada correspondiente. Como anteriormente este factor puede ser reemplazado por un coeficiente de velocidad. Adems debe advertirse que D2 es el dimetro de la vena contracta que no es conocido, en la prctica lo usual es referir el caudal al tamao de la placa D0 en lugar de la vena contracta, con lo cual la anterior se puede expresar:

ec:10.19 2140412

12

0

8

pp

DD

DDCQ d

Donde D0 y D1 representan el dimetro de la placa y el dimetro de la caera respectivamente. Por otra parte si reemplazamos la diferencia de presin por su equivalente en metros de columna de agua:

aguaagua Hgpp 21 Reemplazando en la anterior resulta:

aguaaguad HgDD DDCQ 40412

12

0

8

Como adems el caudal puede expresarse mediante:

ec:10.20 HgDCQ agua 242

0

Igualando con la anterior:

HgDCHg

DD

DDC aguaaguaagua

d

2

48

20

40

41

21

20

De donde:

ec:10.21 rd

r

d C

DD

CC

11

1

14

41

40

El coeficiente C es por tanto una funcin de la relacin de dimetros del orificio y de la caera (), de la densidad especfica del fluido, y Cd es funcin del nmero de Reynolds. En la figura f:10.18 se muestran los valores de 4d 1/C tabulados en funcin del nmero de Reynolds de la caera. Aunque las deducciones anteriores fueron desarrolladas para lquidos, las placas orificios tambin son utilizadas para medicin de gases y vapores. Para ello en la frmula anterior se incluye el llamado factor de

CAPTULO 10

382

compresibilidad Y que tiene en cuenta esta caracterstica de los gases y vapores. De este coeficiente se trata en el captulo 11 sobre fluidos compresibles. El caudal que circula por la placa tambin es funcin de la temperatura del fluido, puesto que al aumentar la temperatura el material de la placa orificio (usualmente acero inoxidable 18-8) se expande y por lo tanto aumenta el tamao del orificio. Adems como los puntos de medicin de presin son fijos y la vena contracta vara de acuerdo con la relacin entre el dimetro de la placa y el de la caera, tambin se requiere una pequea correccin de la medicin. Cuando se requiera exactitud en las mediciones se deber consultar las normas de aplicacin. Para los fines de medicin y control el valor de Hagua puede fijarse arbitrariamente. Lo usual es fijar este valor en 2540 mm de columna de agua (100) y con los datos del rango de caudal proceder a determinar el tamao de la placa a utilizar.

f:10.18


383

Ejemplo 10.5 A fin de medir el caudal de agua circulante por una caera de 200 mm de dimetro se instalar una placa orificio. Calcular el dimetro de dicha placa para una prdida de carga de 2540 mm de columna de agua. El caudal medio en dicha caera es de 200 m/h. Solucin De la ecuacin ec:10.20 se puede despejar el dimetro de la placa:

aguaHgCQD

24

0

El coeficiente C se puede obtener de la figura en funcin del nmero de Reynolds y de la relacin de dimetros. Como la relacin de dimetros requiere conocer el dimetro de la placa deberemos operar por iteracin. Previamente calculamos el nmero de Reynolds:

3536781020003600

2004426

3

12

1

11

s/mm,hs

hmD

DQD

AQDV

Adoptamos un valor de C arbitrario por ejemplo 0,7; calculamos el dimetro de la placa y comparamos el valor de que surge del valor calculado con el valor adoptado. Si no coincide usamos el valor de C que surge de la figura f:10.18 con el nuevo dimetro hasta que coincida el valor de que se obtiene con la frmula con el valor adoptado. Como la densidad relativa es 1 el valor que obtenemos de C es directamente el que surge de la figura f:10.18, sino habra que afectarlo por la raz cuadrada de la inversa de la densidad relativa:

655060200012001200

5428927036002004

0 ,C,,,m,

,,,/D

Con este nuevo valor de C calculamos el dimetro de la placa obteniendo: mmm,D,C,m,D 12412406550618012370 00

Dado que en este ltimo paso el valor de C convergi al valor anterior, el dimetro obtenido es el requerido.

10.2.11.4 Vlvulas

Un orificio a presin de mucha utilidad prctica, al igual que las placas orificios, son las vlvulas. stos son elementos que se intercalan en los sistemas de caeras y que bsicamente pueden cumplir tres funciones: bloqueo regulacin seguridad Las vlvulas de bloqueo sirven para habilitar o interrumpir la circulacin del fluido. Las hay de numerosos tipos, tamaos y materiales dependiendo de la presin del sistema, tipo de fluido y tamao de la lnea entre

CAPTULO 10

384

otros factores. Debido a la resistencia de forma que generan producen una prdida de carga localizada, como se vio en el captulo 8 al tratar sobre prdidas de carga localizadas. Las vlvulas de regulacin son vlvulas que controlan una determinada variable de proceso como por ejemplo caudal, presin, temperatura, nivel, concentracin, etc. Para cumplir con este cometido censan la variable a controlar y en forma directa o indirecta actan sobre un obturador que cierra parcial o totalmente un orificio de forma y dimensin determinadas. Las vlvulas de regulacin ms comunes son las denominadas del tipo globo. En la figura f:10.19 se muestra una vlvula de este tipo. El movimiento ascendente del vstago permite una mayor o menor apertura del orificio, lo cual (para una diferencia de presin dada) produce una variacin del caudal tal que modifica la variable a controlar. Un sistema de posicionamiento y control asociado al vstago y no mostrado en la figura realiza la regulacin de la variable deseada.

f:10.19

Por lo tanto una vlvula reguladora es un orificio variable y el caudal a travs de ella tendr la misma expresin que para los orificios sumergidos y en particular la correspondiente a la placa orificio (ecuacin ec:10.19):

ec:10.22 21

40

41

21

20

8

pp

DD

DDCQ

eq

eqd

Donde D0eq es el dimetro equivalente del orificio de la vlvula (variable) y D1 el dimetro de la caera. Los organismos de normalizacin y los fabricantes de vlvulas han convenido en denominar:

40412

12

0

8 eq

eqdvalv

DD

DDCC

Que se denomina coeficiente de la vlvula. Puede observarse que este coeficiente no es adimensional sino que tiene dimensiones de rea. Reemplazando este valor en la ecuacin ec:10.22 queda:

21 ppCQ valv

Si en la ecuacin anterior reemplazamos la densidad del fluido por su densidad relativa:

aguarvalv

ppCQ 21

Si la diferencia de presiones se expresa en kPa (kilopascales) y la densidad del agua en kg/m la anterior se puede reescribir:

rvalv

ppCQ 21

La cual si Cvalv se expresase en m nos permitira expresar Q en m/s.


385

Este coeficiente fue definido en dimensiones del sistema ingls como el orificio para el cual con una diferencia de presin de una libra por pulgada cuadrada por la vlvula circula un galn por minuto. Entonces si adems de las dimensiones indicadas se quiere expresar el caudal en m/h, el Estndar ISA (Intrument Society of America) para dimensionamiento de vlvulas de regulacin operando con lquidos estipula:

r

valvkPappC,

hmQ

213 08650

Usualmente la dimensin de la vlvula de control es de menor tamao (dimetro) que la caera en la cual se instala. Para tener en cuenta las conversiones de energa cintica y energa de presin y las prdidas en las reducciones y expansiones, la norma define un coeficiente que se denomina factor de geometra de la caera Fp. Con lo cual la anterior se expresa:

ec:10.23

rvalvp

kPappCF,h

mQ

213 08650

El clculo de este factor puede obtenerse de la publicacin indicada. Aqu por simplicidad supondremos que la vlvula es del mismo dimetro que la caera y por lo tanto Fp = 1. Dado que el orificio de las vlvulas es mucho menor que el de la caera el fluido sufre un incremento de velocidad importante, a expensas de la presin, por lo cual las vlvulas se deben verificar a la cavitacin cuando trabajan con fluidos en condiciones cercanas a la tensin de vapor y/o con presiones relativamente bajas.

Ejemplo 10.6 Una vlvula de control se utilizar para regular la presin en una caera. La presin absoluta a regular es de 1000 kPa. El caudal que circula por la lnea es de 100 m/h y la presin aguas arriba de la vlvula flucta entre 2500 kPa y 4500 kPa. Determinar a qu porcentaje de apertura trabajar la vlvula en uno y otro caso si el CV al 100% (mxima apertura de la vlvula) es de 36. La vlvula de control tiene la misma dimensin que la lnea y el fluido que circula es agua a 10C y densidad relativa 1. Solucin De la ecuacin ec:10.23:

r

valv kPapp,

hmQC

21

3

08650

Cuando la contrapresin es de 2500 kPa el CV es:

85291000250008650100

2500 ,,_Cvalv

Cuando la contrapresin es de 4500 kPa el Cv es:

54191000450008650100

4500 ,,_Cvalv

Por lo tanto:

%,,apertura%

%,,apertura%

kPa

kPa

285410036

5419

928210036

8529

4500

2500

Puesto que las vlvulas en general deben operar (por motivos de vida til y regulacin) entre un 15% y 100% de su mxima apertura, en este caso la vlvula funcionar en condiciones ptimas. Las vlvulas de seguridad son elementos que instalados en una lnea o equipo permiten mantener la presin del mismo dentro de lmites seguros evacuando fluido del mismo. Cuando la masa desalojada mantiene la presin mediante la expulsin de masa fuera del sistema en forma tal que la presin se mantiene en un nivel determinado, las mismas se denominan de alivio y operan en forma similar a lo visto para las vlvulas de regulacin.

CAPTULO 10

386

Las vlvulas de apertura instantnea en cambio abren totalmente descargando o bien a la atmsfera o bien contra una lnea colectora de venteos cuando la presin en el interior vence a la fuerza ejercida por un resorte calibrado para mantener la vlvula cerrada hasta alcanzar la presin de apertura. Una vlvula de este tipo se muestra en la figura f:10.20.

f:10.20

Cuando la vlvula abre la prdida de carga en el asiento produce que la presin en la caera o equipo sea mayor que la de apertura para compensar la misma. Los orificios de estas vlvulas se encuentran calibrados y clasificados de acuerdo a una letra caracterstica. El orificio de descarga se dimensiona para la presin de seteo de la vlvula de acuerdo a la contrapresin y al tipo de fluido. La normalizacin de los orificios de venteo y las expresiones para el clculo del orificio fue realizada por API (American Petroleum Institute). Para lquidos el dimetro del orificio se calcula mediante:

ec:10.24

kPappKKKKminlQ,mmA

rvcwd

21

2 7811

Frmula totalmente anloga a la de un orificio, afectada por coeficientes que pasaremos a definir: Kd: Coeficiente de descarga de la vlvula que se obtiene del fabricante. Se adopta para clculos

preliminares 0,65. Este coeficiente es anlogo al Cd definido para orificios. Kw: Factor de correccin por contrapresin. Este factor vale 1 cuando se desagua a la atmsfera y para

los tipos de vlvula convencionales. En lo sucesivo lo adoptaremos como unitario. Kc: Factor de correccin por combinacin con disco de ruptura. El disco de ruptura es una placa fina que

rompe cuando se alcanza cierta presin. Si la vlvula se instala sin disco de ruptura este coeficiente vale la unidad.

Kv: Factor de correccin por viscosidad. Este coeficiente es funcin del nmero de Reynolds y slo supera la unidad en fluidos muy viscosos con muy bajo nmero de Reynolds. Para el caso del agua y los gases este coeficiente es aproximadamente 1.

Ejemplo 10.7 Se desea proteger un recipiente a presin con agua a fin que la presin en el mismo no supere los 1200 kPa. El caudal mximo posible de inyeccin al mismo viene dado por una bomba cuya capacidad mxima es de 100 m/h y el desage de la vlvula de seguridad a instalar es a la atmsfera. Calcular el rea de oficio necesaria para aliviar la presin, si el coeficiente de descarga es de 0,65. Solucin En este caso Kw, Kc, Kv valen la unidad. Por lo tanto la ecuacin ec:10.24 ser:

kPappK minlQ,mmA rd 212 7811 Reemplazando por los valores correspondientes:


387

8871012001650 166778112 ,,,mmA Con este valor del rea se selecciona el orificio ms cercano superior. De acuerdo a Norma API 526 (no mostrada en el texto) el orificio superior ms cercano es de 1186 mm que corresponde a un orificio tipo K.

10.2.12 Orificios parcialmente sumergidos Los orificios parcialmente sumergidos son aquellos en los cuales el caudal del depsito (o canal) aguas abajo tiene un nivel tal que se encuentra entre la parte superior e inferior del orificio tal como se muestra en la figura.

f:10.21

Orificio parcialmente sumergido

Se puede calcular la descarga de los mismos considerando que el caudal que escurre por la parte superior del orificio es el que corresponde a descarga libre, y el que escurre por la parte inferior es el que corresponde a descarga sumergida, siendo el caudal total la suma de ambos. Esta forma de clculo es slo aproximada pues los coeficientes de descarga no coinciden con los coeficientes de descarga reales. Si se requiere gran precisin en el clculo del mismo debe recurrirse a la experimentacin.

10.2.13 Orificios bajo carga variable Cuando el nivel de la superficie del recipiente vara con la descarga o la carga el flujo deja de ser estacionario. En lo que sigue consideraremos dos casos tpicos: a) Vaciado de un tanque de seccin prismtica constante en toda su altura con un orificio que desagua por su parte inferior. b) Vaciado desde un tanque donde desciende el nivel a otro donde asciende el mismo, ambos de seccin prismtica constante con la altura. a) Sea el recipiente mostrado en la figura f:10.22 y el volumen de control mostrado.

f:10.22

Donde: H1: carga inicial; S: superficie de recipiente; h: carga en el instante t genrico;

CAPTULO 10

388

A0: rea del orificio de salida. Los volmenes de control adoptados hasta ahora haban sido fijos, en cambio el volumen adoptado es ahora variable. Para hacer esto en lugar de la derivada parcial de la masa en el volumen de control se debe adoptar la derivada total de la masa en el volumen de control:

VC SC

AdVdtd

El primer trmino constituye la variacin de masa en el volumen de control que para un instante t dado vale:

VC

dtdhSd

dtd

En tanto que el flujo msico a travs de la superficie de control es el flujo a travs del orificio:

SC

d hgACAdV 20

Igualando ambos trminos:

hdh

gACSdt

hgACdtdhS

d

d

2

2

0

0

El tiempo T que tarda en desaguar todo el tanque lo podemos calcular integrando la altura h entre H1 y 0:

ec:10.25 10 2

2 HgAC

STd

b) Sean los tanques mostrados en la figura f:10.23 donde a travs de un orificio sumergido se produce el desagote del tanque de mayor nivel de agua hacia el de menor nivel.

f:10.23

Donde: H1: carga inicial del tanque 1. H2: carga inicial del tanque 2. S1: superficie del tanque 1. S2: superficie del tanque 2. h1: carga en el instante t genrico del tanque 1. h2: carga en el instante t genrico del tanque 2. A0: rea del orificio que interconecta los tanques. De la figura f:10.23 y por consideraciones geomtricas resulta:

21222111 HHHhhhhH Diferenciando la ecuacin anterior:


389

0222111 HhdhhdhHd Planteando la descarga para el tanque 1 de la misma forma que lo visto para el caso anterior pero teniendo en cuenta que el orificio desagua sumergido:

dthhgS

A.ChHdhhgA.Cdt

hHdS dd 211

011210

111 22

De la misma forma para el tanque 2: dthhg

SA.CHhdhhgA.C

dtHhdS dd 21

2

022210

222 22

Reemplazando en la ecuacin diferencial resulta:

2121

210112 hhddtSS

hhgACd

21

21

21

210 2hhhhddt

SSSSgA.Cd

De esta ltima ecuacin podemos calcular el tiempo que tarda en igualarse los niveles entre ambos tanques integrando entre la diferencia de niveles al comenzar la operacin (H1-H2) y 0 con lo cual obtendremos:

0

21 21

21

021

210 2

HH

Td

hhhhddt

SSSSgA.C

ec:10.26 2102121

22

SSgACHHSS

Td

Ejemplo 10.8 Dos tanques de hormign como se muestra en la figura estn divididos por un tabique de 300 mm. Cuando se abre una compuerta se conectan mediante un orificio de 100 mm de dimetro. Si la compuerta se abre cuando la altura en el tanque de la izquierda es de 5 m sobre el centro del orificio, en tanto que el otro se encuentra vaco, determinar el tiempo requerido para que se igualen las alturas de ambos y dicha altura.

f:10.24

Solucin En la ecuacin ec:10.26 reemplazamos los valores que se obtienen del enunciado y los grficos. Como se trata de un orificio de pared gruesa (el espesor del orificio es tres veces el dimetro del mismo) el coeficiente a adoptar es el que surge de la ecuacin, es decir 0,817. Adems como la carga es sensiblemente inferior a 13m no existe riesgo de que se produzca cavitacin. Por lo tanto el tiempo T de desage ser:

minhs

mmmmsm,m,,

mmmmmT 4583148520202020892

4108170

5202020202

22

CAPTULO 10

390

La altura que alcanzar el agua ser de 2,5 m pues ambos tanques son iguales, como surge de plantear la igualdad de volmenes inicial y final.

m,HmmmmHmm ff 522020202020205

10.3 Vertederos En la introduccin del presente captulo se han sealado los distintos tipos de vertedero y sus aplicaciones ms usuales. Respecto de las limitaciones y usos especficos podemos agregar que debido a su relativa fragilidad estructural los vertederos de pared fina se ven constreidos a la medicin (aforo) de caudales. Los vertederos de pared intermedia que copian la forma de la vena lquida son los ms usados en los vertederos de alivio en represas, en tanto los vertederos de pared gruesa propiamente dicha se utilizan en presas de pequeos arroyos. Como ya se dijo la seccin transversal de los vertederos es usualmente rectangular, trapecial o bien triangular. Los vertederos pueden estar orientados en cualquier direccin respecto al canal de llegada pero los ms usuales son los normales al eje del canal y los paralelos al eje del canal, a estos ltimos se los llama vertederos laterales.

f:10.25

10.3.1 Elementos de un vertedero Los elementos que componen el vertedero son: Umbral: Es la arista o superficie inferior de la abertura del vertedero. Longitud del vertedero (l): Para vertederos rectangulares y trapeciales es la longitud del umbral. Canal de llegada: Para aquellos vertederos que se instalan en canales es el canal aguas arriba del

vertedero. Velocidad de llegada: Es la velocidad media en el canal de llegada. Altura del vertedero (P): Es la altura desde el fondo del canal o presa hasta el umbral. Carga del vertedero (H1): Es la altura medida desde el umbral del vertedero la superficie libre no afectada

por la presencia de ste. En la figura f:10.26 se esquematizan los diferentes elementos.

f:10.26

Planta Vista Corte a-a

aa

b

lP P

e

y H1bl


391

10.3.2 Caractersticas del flujo sobre vertederos Si observamos atentamente el flujo en las inmediaciones y sobre el vertedero podemos advertir las siguientes singularidades: Al igual que lo visto para los orificios y por las mismas razones expuestas anteriormente, la lmina

vertiente sufre contracciones inmediatamente aguas abajo de las aristas vivas de las aberturas. Para vertederos rectangulares y trapeciales se puede distinguir entre contracciones laterales y contraccin de fondo. La contraccin de fondo y las contracciones laterales sern mximas cuando la altura del vertedero sea mayor a tres veces la carga (P > 3H1) o bien el ancho del canal mayor que tres veces la longitud del vertedero (b > 3l), respectivamente. En caso contrario la contraccin ser incompleta.

La lnea de superficie libre se curva en las proximidades del vertedero de forma tal que las lneas de corriente convergen hacia el umbral. Esta depresin suele denominarse remanso del vertedero. Este efecto es debido a que al disminuir la seccin de pasaje del lquido el fluido se acelera aumentando su velocidad y por lo tanto su energa cintica. Este aumento de energa cintica se realiza a expensas de una disminucin en la energa potencial. Se considera que a una distancia aguas arriba del vertedero mayor que cuatro veces la carga (4H1), los efectos de la depresin son despreciables para cualquier tipo de vertedero. Esa es la posicin ms conveniente para medir la carga en los aforos pues de hacerlo aguas arriba la medicin estara influida por la curva de remanso del movimiento uniformemente variado en el canal.

La forma de la lmina vertiente depende de la relacin entre la carga y la altura del vertedero. Cuanto menor es la relacin menor es la sobreelevacin de la lmina inferior, es decir menor es la contraccin de fondo. Se ha establecido que para vertederos de pared delgada la distancia entre el borde de ataque y el punto donde la lmina intercepta a la horizontal que pasa por dicho punto es de aproximadamente 0,66 H1 se concluye que los vertederos cuya pared sea mayor a la dimensin enunciada seguramente no se comportarn como vertederos de pared delgada (ver figura f:10.27).

f:10.27

10.3.3 Vertederos de pared delgada

10.3.3.1 Vertedero perfecto

Es el vertedero mostrado en la figura f:10.28 y que admitiremos cumple con las siguientes condiciones: Contraccin lateral nula: b = l Contraccin de fondo mxima: P > 3H1 Velocidad de llegada despreciable. Pared delgada e < 0,5H1, vertical y normal a la direccin de la corriente. Umbral horizontal y seccin rectangular. Cada libre y lmina destacada (aireada).

CAPTULO 10

392

f:10.28

b

l

H1

Py

V1

zdz

V2 (z)

volumen de control

2

2

1

1

H1

P

Si le aplicamos la ecuacin de la energa a un volumen de control tal como el mostrado en punteado la figura, resulta:

VC SC..

AdVhgVpudet

WQ

2

21

Que como siempre, tratndose de flujo permanente y sin transferencia de calor o potencia en ejes podemos reescribir:

AdVzgVpuSC

2210 Como slo hay flujo msico en las secciones 1-1 y 2-2, la integral la debemos evaluar nicamente sobre stas, y adems siendo el fluido incompresible, resulta:

ec:10.27 1 22

22

2

1

12

11

1 21

21

SCSC

AdVzgVpuAdVzgVpu

Analizaremos los componentes de la energa en la seccin 1-1: energa interna: u1=cte energa de presin y energa potencial: 1111 HgpzgzHgpzgp atmatm

energa cintica: la velocidad V1 no es realmente constante, sino variable con la altura, pero se podr

tomar la V1 media en la seccin, corrigindola con el coeficiente de Coriolis , quedando: cteV 22

1

Analizaremos ahora los componentes de la energa en la seccin 2-2: En esta seccin slo hay flujo sobre el vertedero. Se puede considerar sin mayor error que las lneas de corriente son rectas paralelas y si adems en la superficie libre y en la superficie inferior del chorro hay presin atmosfrica, la distribucin de presiones en el interior de la seccin es uniforme e igual a la atmosfrica. Con respecto a la velocidad, no se considerar uniforme en toda la seccin, sino variable en funcin de z, como se ver a continuacin, con una variacin parablica. Resulta entonces:

- energa interna: u2=cte

- energa de presin y energa potencial: zgpzgp atm 22

- energa cintica: V2=V2(z) Reemplazando todos estos valores analizados en la ecuacin ec:10.27 y sacando los trminos constantes fuera de la integral, resulta:


393

2

22

2

2

1

21

11 22SC

)z(

SC

atm

SC

atm dQV

zgdQpudQVHgpu

Si diferenciamos la anterior, resulta:

dQV

zgdQpudQVHgpu )z(atmatm

22

22

2

21

11

Dividiendo m. a m. por dQ, resulta:

22

22

2

21

11)z(atmatm VzgpuVHgpu

De la anterior, despejaremos el valor de la velocidad en la seccin 2-2

22

21

1212VzgHguuV )z(

Consideraremos la prdida de carga, dentro del factor de velocidad:

gVzHgCV V)z( 2

22

112

Si se desprecia la velocidad de llegada, la expresin de la velocidad quedara similar a lo visto para orificios:

ec:10.28 zHgCV V)z( 12 2 A continuacin calcularemos el caudal de un elemento de rea diferencial de la seccin 2-2 y lo integraremos por el ancho del vertedero l y la altura H1:

22

22 ldzVQldzVdQ )z()z(

El lmite inferior de integracin de z es el borde de ataque del vertedero: z=0, el lmite superior es la superficie libre, pero sta no se conoce exactamente, por lo cual integraremos hasta z=H1, que es la carga, y se afectar el caudal a un coeficiente de contraccin, como se hizo en el caso de orificios.

ec:10.29

1

0

21

21

1 22

H

VC dzgVzHlgCCQ

La integral se podr resolver por sustitucin, llamando:

gVzHm 2

21

1 , y dm=-dz

ec:10.30

23

21

1

23

212

32

21

2

21

1

21

2232

32

gVH

gVuduu

gV

gVH

Y finalmente, reemplazando la ec:10.30 en la ec:10.29, resulta:

23

21

23

21

1 22322

gV

gVHlgCCQ VC

Si al trmino CcCv2/3 lo denominamos Cd (coeficiente de descarga), podemos reescribir la ecuacin anterior de la siguiente manera:

CAPTULO 10

394

ec:10.31

23

21

23

21

1 222

gV

gVHlgCQ d

En particular, para el vertedero perfecto, la velocidad de llegada puede ser despreciada (V1=0), con lo que resulta:

ec:10.32 23

12 HlgCQ d El coeficiente de descarga fue encontrado en forma analtica por Boussinesq y en forma experimental por numerosos investigadores. El valor de Cd segn estos estudios vara entre 0,407 y 0,435, siendo en casi todos los casos funcin de la carga y de la altura del vertedero. Boussinesq determin analticamente un valor de 0,423. Como se puede observar, adoptando este ltimo valor, el error esperado estar en el entorno de 5%, lo cual es suficiente en la mayora de los casos. Sin embargo, si se requiere mayor precisin, ser necesario consultar manuales de hidrulica especficos y aplicar el coeficiente dentro del rango de validez de los ensayos efectuados para determinarlo. Cuando el canal de llegada es ms ancho que la seccin del vertedero se producir la contraccin de la vena con la correspondiente disminucin del caudal. En particular si la distancia entre las paredes del canal y la arista del vertedero es mayor a tres veces la menor dimensin del vertedero la contraccin de la vena ser completa. Este efecto usualmente es tenido en cuenta modificando la longitud del umbral del vertedero y disminuyendo su valor en un 10% respecto a la altura por cada contraccin es decir que para un vertedero rectangular con contraccin en ambas aristas la longitud de clculo lc ser:

ec:10.33 120 H,llc

Ejemplo 10.9 En el extremo de un canal de 1 m de ancho se dispone un vertedero rectangular que ocupa todo el ancho del canal. Si el tirante aguas arriba del vertedero es de 1 m y la altura H1 (carga) sobre el vertedero es de 0,2 m, determinar cual es el caudal circulante por el canal. Solucin Dado que no podemos a priori despreciar la velocidad de llegada, utilizaremos para el clculo de caudal la ecuacin ec:10.32, reemplazando en la misma la velocidad de llegada por su expresin en funcin del caudal:

23

21

223

21

2

1 222

ylgQ

ylgQHlgCQ d

Vamos a adoptar Cd = 0,41 y = 1,1; valores que reemplazamos en la ecuacin anterior.

2

3

22

223

22

22

189211

18921120892410

mlmsm,Q,

mlmsm,Q,m,lmsm,,Q

De donde podemos calcular el valor del caudal mediante aproximaciones sucesivas, resultando:

sm,Q 316410 10.3.3.2 Vertederos con seccin no rectangular

Adems de los vertederos de seccin rectangular son muy usados los vertederos de seccin triangular y los vertederos de seccin trapecial. Para estos vertederos resulta que la seccin de pasaje es funcin de la carga H1 y por lo tanto el caudal debe ser calculado teniendo esto en cuenta. Sea el vertedero de seccin triangular que se muestra en la figura f:10.30:


395

f:10.29

De acuerdo a lo visto para el vertedero perfecto (ecuacin ec:10.28):

zHgCV V 12 2 Expresin que no depende de la forma de la seccin (aunque como veremos el coeficiente de velocidad no resulta el mismo). Por lo tanto el caudal se podr calcular como:

dztgtgzzHgCCdQ

dztgztgzCCdQ

vc

vc

211

21

2

Si adoptamos: 1 = 2 = /2 resultar tg (/2) + tg (/2) = 2 tg (/2) y podemos reescribir la anterior de la siguiente forma:

dztgzzHgCCQ vc 222 1 Reemplazando como antes: H1 z = y dm = dz, resulta:

dmtgmHmgCCdQ vc 222 1

dmmmHtggCCQHH

vc

10

231

0

21

222

25125

1vc H52H

32

2tg2g2CCQ

ec:10.34 25

1222

158 HtggCCQ vc

Si llamamos:

gCCC vc 2158

Y teniendo presente que el vertedero triangular ms usual es el de 90 resulta la siguiente expresin:

ec:10.35 25

1HCQ d El valor de Cd es aproximadamente 1,346 y casi independiente de la velocidad de llegada. Tambin es casi independiente de la distancia al fondo y las paredes laterales lo cual lo hace muy adecuado para ser usado en aforos. Los canales trapeciales son tambin muy usados porque las aberturas del trapecio sirven para compensar la disminucin de caudal que se produce en vertederos rectangulares debido a la contraccin lateral. Uno de los vertederos trapeciales ms difundidos es el vertedero Cipolletti muy usado en canales de riego y cuyo gasto se puede calcular mediante:

ec:10.36 23

1861 Hl,Q Las ecuaciones ec:10.35 y ec:10.36 no son dimensionalmente coherentes, por lo que hay que utilizar las siguientes unidades: [l]=[m], [H1]=[m], [Q]=[m/s]

Ejemplo 10.10 A los fines de suministrar la cuota de riego correspondiente a un propietario, se ha dispuesto un vertedero triangular de ngulo 90. Si el caudal de agua a suministrar es de 10 l/s: para que carga se deber ajustar el

CAPTULO 10

396

mismo? Si se reemplaza el vertedero por un vertedero trapecial tipo Cipolletti con umbral de 30 cm. cunto valdr la carga? Solucin Para responder a la primera pregunta despejamos de la ecuacin 10.35 la carga H1, tomando como coeficiente de descarga 1,464:

mmm,,,

CQH 1411410

3461010 5

252

1

En caso de utilizar un vertedero tipo Cipolletti utilizamos la ecuacin 10.36:

mmm,,,

Ql,

QH 680680030861861

32

32

1

10.3.3.3 Aireacin de la napa inferior en un vertedero de pared fina

En la descarga libre de cualquier lquido a la atmsfera parte del aire circundante es ocluido dentro del chorro de lquido inyectado. Este efecto se puede visualizar fcilmente pues las napas en contacto con el aire tienen una velocidad finita y por lo tanto transfieren cantidad de movimiento (arrastrando) al aire circundante. Cuanto ms turbulento sea el flujo mayores sern las componentes aleatorias y por lo tanto mayores las posibilidades de oclusin de aire en el chorro. Si por algn motivo las napas no se encuentran suficientemente aireadas (es decir el caudal de aire que ingresa es inferior al caudal de aire ocluido) se producir un vaco y el correspondiente descenso de la presin circundante con respecto a la atmosfrica. Esto puede ocurrir en la napa inferior de los vertederos de cresta delgada cuando, por razones estructurales, en los costados del vertedero es necesario incluir paredes laterales (por ejemplo vigas estructurales). Esta disminucin de presin de la napa inferior tiene los siguientes efectos: La presin atmosfrica actuando sobre la parte superior es mayor que la presin inferior de la vena y por

lo tanto hace que sta tienda a pegarse o directamente se pegue contra la pared del vertedero (figura f:10.30).

Debido a que la presin en la salida disminuye por debajo de la atmosfrica el caudal del vertedero es mayor que el caudal con descarga aireada. Este efecto usualmente es acompaado con inestabilidad debido a que cuando la presin disminuye la aireacin tiende a aumentar y por lo tanto la presin vuelve a subir manteniendo ciclos en los cuales vara la carga y el caudal lo que perjudica sensiblemente cuando el vertedero se quiere usar con propsito de aforo.

La presin puede disminuir tanto que se ubique por debajo de la presin de vapor del agua dando lugar a cavitacin. Este fenmeno es destructivo y se debe prevenir especialmente en estructuras importantes como el caso de vertederos de presas.

f:10.30

10.3.4 Vertederos de pared intermedia Los vertederos de pared delgada usualmente no son apropiados para usar en grandes estructuras debido a su inherente debilidad estructural. Por lo tanto para vertederos de presas de embalse se requiere utilizar vertederos ms anchos. Adems estos vertederos requieren el uso de paredes laterales por lo cual deben ser diseados cuidadosamente a fin de evitar la cavitacin. En la figura se muestra el vertedero de la represa del


397

dique Tierras Blancas del complejo El Nihuil. En el costado izquierdo del vertedero se advierte las esclusas de derivacin.

f:10.31

Para disear la forma del vertedero sin que se produzca disminucin de la presin en la napa inferior el primer intento fue disear el fondo del vertedero con la misma forma que tendra la napa inferior para una descarga libre. Si suponemos que la nica fuerza actuante sobre una partcula de fluido en dicha napa es la gravitatoria su trayectoria sera similar a la de un proyectil. De acuerdo a la figura:

f:10.32

ec:10.37 1

20

0

21 CtgsentVy

costVx

Despejando de t la ecuacin en x y reemplazando en la ecuacin en y:

cosVxt

0

1

2

000 2

1 CcosVxgsen

cosVxVy

Si adimensionalizamos la ecuacin dividiendo ambos miembros por la carga H1:

CAPTULO 10

398

1

1

122

0

12

11 2 HCtg

Hx

cosVHg

Hx

Hy

Ecuacin que puede ser reescrita:

CHxB

HxA

Hy

1

2

11

La cual es la ecuacin de una parbola. Los valores de A, B y C han sido determinados experimentalmente por el U.S. Bureau of Reclamation. Sin embargo en la realidad existen otras fuerzas actuantes adems de las gravitatorias como por ejemplo la presin, la cual es mayor que la atmosfrica porque en el vertedero las lneas de corriente no son paralelas sino convergentes. Adicionalmente en los vertederos de presa aparece la friccin sobre el piso de los mismos lo que hace imposible anular las presiones negativas (aunque s se las puede mantener bien por encima de la presin de vapor a fin de evitar la cavitacin). Los estudios del Waterways Experiment Station (WES), dependiente del U.S. Army Corps, determinaron que para vertederos con paredes verticales la curva de fondo responda adecuadamente si se la construa con un exponente de 1,85 en lugar de 2 como es en la parbola. En la figura se muestra un vertedero de este tipo:

f:10.33

H1

P

H x

y

y=

V1/2g

Ax 1,85

La ecuacin de la curva del vertedero se obtiene mediante:

ec:10.38 yHKx nn 11 Donde K y n dependen de la pendiente de la pared del vertedero aguas arriba. Para una pendiente vertical como se muestra en la figura: n=1,85 y K=2 El caudal de descarga de este tipo de vertederos puede calcularse mediante la siguiente ecuacin:

ec:10.39 23

HlCQ d Siendo H=H1+V12/2g, es decir H es la carga del vertedero ms la altura de energa cintica. Mediante ensayos se ha comprobado que la velocidad de aproximacin (V1) es insignificante en vertederos altos (P/H1>1,33). En estas condiciones el coeficiente Cd ser de 2,225. y H=H1 para unidades SI. En vertederos bajos (con P/H1


399

m,,lC

QHd

66551002252

3000 23

23

Entonces podemos determinar la carga del vertedero H1 mediante la siguiente expresin:

m,sm,mm

sm

m,gA

QHg

VHH 6475892100450500

30006655

222

2

23

2

221

1

Verificaremos ahora la condicin de vertedero alto: P/H1=50/5,647, en efecto es mayor a 1,33 Ahora determinaremos la forma de la curva entre la cresta del vertedero y el punto tangente. Utilizando la ecuacin 10.38, y utilizando n=1,85; K=2 y H1=5,647m.

y,x ,, 850851 64752

Y la curva se puede construir mediante la ecuacin: 7118

851

,xy

,

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

160144128112

968064483216

y x( )

x

10.3.5 Vertederos de pared gruesa Los vertederos de pared gruesa como queda dicho son aquellos en los cuales el espesor de pared es mayor que tres veces la carga H y no mayores que 15 veces la misma. Cuando el espesor supera dicho valor el vertedero se considera un canal ms. Sea un vertedero de pared gruesa tal como se muestra en la figura f:10.34:

f:10.34

.V1/2g

H H1V2/2g

H2

H

P

e

3H1

CAPTULO 10

400

ec:10.40

g2VHHHg2V

21

212

Donde hemos supuesto que las lneas de corriente son rectas paralelas en las secciones 1 y 2 lo cual est alejado de la realidad pero dicho apartamiento puede tenerse en cuenta en el factor de desage. Si analizamos atentamente el flujo vemos que el mismo se acelera sobre el vertedero a medida que se acerca a la descarga. De aqu surge una pregunta: cmo la naturaleza decide el caudal de desage para una carga dada? Esta decisin no es aleatoria pues para un vertedero dado y un caudal determinado el nivel a la salida es siempre el mismo. En el captulo 9 (9.3.3. Energa especfica) analizamos que variando el nivel del lquido hay un valor para el cual la energa especfica es mnima y el caudal mximo. Como la naturaleza siempre tiende a minimizar la energa puesta en juego, es lgico pensar que la altura del vertedero a la salida va a alcanzar ese valor de tirante. Como vimos dicha seccin es la crtica. El valor del caudal en la seccin 2 ser:

22 HlVQ y el caudal por unidad de longitud:

22 HVlQq

Reemplazando el valor de V2 obtenido en la ecuacin ec:10.40 y reemplazando en la anterior se obtiene:

ec:10.41 222 HHHHgq Para determinar el valor de H2 que hace el q mximo, debemos derivar la expresin e igualarla a cero.

HHH

HHHH

HHHgHHHg

gH

HHHgHgHHHgdHdq

232

22

0

22221

2

22

22

2

2221

22

ec:10.42 HHH 32

2

Finalmente, reemplazando el valor H2 encontrado en la ecuacin ec:10.42, en la ecuacin ec:10.41, se obtendr el caudal por unidad de longitud del umbral:

23

23

23

12

2

2

HHHg

31

32=q

HHg31

32=q

HHg32HH

32=q

HH32HHgHH

32=q

Y recordando que:

ec:10.43 23

2 HgCq d


401

23

23

13850131

32

HH,

HHCd

Si las prdidas son despreciables Cd = 0,385 valor que coincide bastante bien con las experiencias realizadas.

Ejemplo 10.12 Calcular la carga sobre un vertedero de cresta ancha por el cual circula un caudal de 50 m/s. El vertedero tiene una longitud de 10 m y una altura de 10 m. Solucin El caudal por unidad de longitud del vertedero es de 5 m/s. De la ec:10.43 se puede despejar el valor de H:

m,sm,,

smgC

qHd

04928923850

52

32

2

232

Para obtener el valor de la carga H1 indicado en la figura f:10.34:

gHPqH

gVHH 22 21

221

1

Reemplazando valores:

221242

1 892105110492

sm,Hms/m,m,H

Obteniendo el valor de H1 por aproximaciones sucesivas: m,H 04021

10.4 Cuadros resumen

10.4.1 Orificios Descarga

Tipo de pared

Denominacin Velocidad

Caudal de descarga

Contraccin completa

A0 >10e

H1

A2

1

1

2

2

volumen de control

211v2 V21Hg2CV

Si V1

CAPTULO 10

402

Descarga

Tipo de pared


Caudal de descarga

Contraccin parcialmente suprimida

A0

e

H1

A2

al

d0

Seccin del orificio

rectangular circular

2110ds V21Hg2ACCQ

Cd=0,617; A0=rea orificio; = 1,1; V1=Q/(b.y) Cs segn siguiente tabla:

Bidone Weisbach l>0,2m a>0,1m: 1+0,157 ps/p Rectangulares 1+0,156 ps/p l13,78 m para que en la vena contracta no se supere el lmite terico de la presin atmosfrica. [Q]=m/s; [H1]=m; [V]=m/s; [lc]=m

Parcialmente sumergida

Tanque a tanque

A0

eH1

A2H2

H

Hg2ACQ 0d A superficie libre

Represa a canal

0d yg2alCQ Cd se obtiene de la figura f:10.16 l: longitud de la compuerta a: altura de la abertura de la compuerta y0: profundidad del flujo aguas arriba

Totalmente sumergidos

Placa orificio

D0 D2D1

Hagua

placa orificio

agua2

0 Hg2D4CQ

C: coeficiente que se obtiene de la figura f:10.18

Conductos a presin

Vlvulas de regulacin

r

21valvp

ppCF0865,0Q

Fp=1 (si vlvula y caera tienen igual dimetro) Cvalv=segn especificaciones del fabricante [Q]=m/hr; [p1]=[p2]=kPa;


403

Descarga

Tipo de pared


Caudal de descarga

Vlvula de seguridad

r

21VCwd

ppKKKKAQ

Kd: Coeficiente de descarga, segn especificaciones del fabricante (se adopta para clculos preliminares 0,65). Kw: Factor de correccin por contrapresin. Vale 1 cuando se desagua a la atmsfera Kc: Factor de correccin por combinacin con disco de ruptura. Vale 1 sin disco de ruptura.

Kv: Factor de correccin por viscosidad. Este coeficiente es funcin de (para el caso del agua y los gases este coeficiente es aproximadamente 1) [Q]=l/min; [A]=mm2; [p1]=[p2]=kPa

Referencias: e espesor de la pared del orificio A0 rea del orificio Cd coeficiente de descarga

H1 Altura desde el baricentro de la vena contracta hasta la superficie libre del depsito

A2 rea de la vena contracta Cv Coeficiente de velocidad

d0 dimetro del orificio circular V1 Velocidad de llegada Cc Coeficiente de contraccin A/ A0 Q Caudal de descarga V2 Velocidad de la vena

contracta Coeficiente de correccin de la

energa cintica

Verificar siempre V1>0,3 m/s La velocidad no es despreciable H1

CAPTULO 10

404

Descarga

Tipo de pared Denominacin

Vista frontal

Caudal de descarga

H1

P

H x

y

y=(x^1,85)/A

1/2g

Experiment Station)

P/H1>1.33 => Cd=2,225

P/H1 Cd=F(H/Hd) consultar manuales especficos

gVHH2

21

1

Ecuacin de la curva del vertedero:

yHKx 1n1n , siendo n y K funcin del

tipo de pendiente de la pared de aguas arriba. Para pared vertical n=1.85 y K=2 [Q]=m/s; [H]=m; [l]=m

pared gruesa 3H1


405

1. Calcular el dimetro del orificio de arista viva requerido para desaguar 10 m/h de lquido del recipiente de la figura. La carga sobre el orificio es de 5 m y constante. Si el orificio se ubica 1 m sobre el terreno calcular la distancia x a que impacta respecto del reservorio

respuesta: d0 = 24 mm; x = 4,38 m

H1=5m

1 m

x

d0

2. Calcular la presin requerida para desaguar 400 m/h de agua ( = 1000 kg/ m) por un orificio circular de 50 mm de dimetro como se muestra en la figura

0,2m

d00,2m

0,2m

0,2mzz

0,4m

PP

3. Para el orificio de la figura, calcular el caudal del lquido desaguado.

respuesta: Q = 5,57 m/s 4m

0,5m

1m 2m

Vista lateral Vista frente

4. Determinar el tirante y requerido en el canal para que circulen 50 m3/s por la compuerta de la figura.

a=2m

y H1

a=2m

l=b=5m


5. Calcular el caudal que circula por el desage de la figura. La velocidad de llegada es despreciable.

respuesta: Q = 1,509 m3/s

1m

a=0,5m

0,5m l=b=1m


6. Calcular el caudal que circula por el desage de la figura y la velocidad de llegada al mismo.

a=0,5m

a=0,5m l=b=1m


0,3m

2,2m

CAPTULO 10

406

7. Para el desage de la figura calcular la carga requerida para que circule un caudal de 20 m/s

respuesta: H1 = 7,64 m

H1

a=1m a=1m

l=2m

Vista lateralSeccin del orificio

8. Calcular el caudal desaguado por el orificio de la figura si la carga sobre el mismo es de 5 m. Despreciar la velocidad de llegada.

H1=5m

d0=1m

Vista lateral

Seccin del orificio

d0=1m5m

9. En el sistema de la figura circula agua ( = 1000 kg/ m; = 10-6 m/s). Siendo la caera de acero y despreciando las prdidas de carga localizadas, determinar el dimetro de la placa orificio a instalar para que el caudal sea de 300 m/h.

respuesta: d = 131 mm

4z=10m

Placa orificio

L=200m=200mm

2 3

10. Por una caera de 200 mm de dimetro circula un caudal de agua de 200 m/s. La presin en un punto de la misma es de 50 N/cm. Para dicho caudal se requiere disminuir la presin a 40 N/cm intercalando una placa orificio. Determinar el dimetro de placa necesario. Considerar =1000 kg/ m y =10-6 m/s.

11. En una caera que conduce agua, de

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