Cap´ıtulo 11 Espacio af´ın. Transformaciones afines y movimientos

Capıtulo 11

Espacio afın. Transformaciones afines ymovimientos

11.1 Espacio afın y espacio afın metrico

Definicion 11.1 El espacio afın (tridimensional) esta constituido por los siguientes ele-mentos.

• El espacio vectorial IR3

• Un conjunto E3 a cuyos elementos se les llama puntos, y que se denomina espaciopuntual.

• Una aplicacion, a la que se le denomina afinidad, que a cada par de puntos (P,Q)le asigna un vector v ∈ IR3, que se denota v = PQ, denominandose origen de v alpunto P y extremo de v a Q. Ademas al vector v ası definido se le designa comovector de posicion de Q respecto del punto P .

y todo ello de manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

• Para cada punto P ∈ E3 y cada v ∈ IR3, existe un unico Q ∈ E3 que satisfacev = PQ.

• Dados tres puntos P , Q, y R ∈ E3, se tiene PQ+ QR = PR.

La primera conclusion de este resultado es que v = PP = 0, pues PP + PQ = PQ y elelemento neutro de la suma de vectores es 0. Por otra parte, PQ con Q = P es distintode 0 porque hemos visto que PP = 0, y el extremo que produce ese vector dado con eseorigen dado ha de ser unico.

La segunda es que PQ = −QP pues PQ+ QP = PP = 0

P

Q

R

232

CAPITULO 11. ESPACIO AFIN. TRANSFORMACIONES AFINES YMOVIMIENTOS233

Al espacio afın ası definido se le suele denotar simplemente como E3, o E2 si consideramosel plano.

Definicion 11.2 El espacio afın E3 (o E2) recibe el nombre de espacio afın euclıdeo oespacio metrico, si se ha definido en el espacio vectorial un producto escalar.

En este caso el concepto de distancia entre puntos se hereda de las definiciones de distanciay norma en el espacio euclıdeo:

Dados dos puntos P , Q de E3, su distancia es

dist(P,Q) =∥ PQ ∥

Esta definicion de distancia goza de las propiedades de la distancia que se conocen degeometrıa elemental.

dist(P,Q) = 0 si y solo si P = Q

dist(PQ) = dist(QP )

dist(PQ) + dist(QR) ≤ dist(PR)

11.2 Sistema de referencia afın. Coordenadas

Definicion 11.3 Dado un punto origen O ∈ E3 y una base de IR3, {b1, b2, b3}, se dice que{O; b1, b2, b3} es un sistema de referencia o sistema de coordenadas de E3. Cuandola base es ortonormal la referencia se denomina cartesiana o rectangular. Se definenlas coordenadas de un punto P ∈ E3 respecto a dicha referencia como las coordenadasdel vector OP en la base {b1, b2, b3}.

O

P

b1

b2

b3

Consideremos la base canonica de IR3 y el origen O, formando el sistema de referenciaR = {O, e1, e2, e3}

Las coordenadas de O son (0, 0, 0), pues OO tiene coordenadas nulas en cualquier base deIR3.

Dado un punto P , el vector en correspondencia con el par (O,P ) es el vector p. Sip = p1e1 + p2e2 + p3e3 diremos que (p1, p2, p3) son las coordenadas de P respecto delsistema de referencia R, y escribiremos:

OP = p1e1 + p2e2 + p3e3

Por otra parte, OQ = q1e1 + q2e2 + q3e3

PQ = PO + OQ = −OP + OQ = (q1 − p1)e1 + (q2 − p2)e2 + (q3 − p3)e3


11.3 Cambio de sistema de referencia

El cambio de coordenadas en el espacio afın es una consecuencia directa de los cambiosde bases en espacios vectoriales. Supongamos un punto P con coordenadas (x1, x2, x3) enun sistema de referencia {O; b1, b2, b3} y (x′1, x

′2, x

′3) en otra referencia {O′; b′1, b′2, b′3}. La

relacion entre ambas coordenadas viene dada por

O

P

O’

OP = OO′ + O′P [1]

x1b1 + x2b2 + x3b3︸︷︷︸ = w1b1 + w2b2 + w3b3︸︷︷︸+x′1b′1 + x′2b

′2 + x′3b

′3︸︷︷︸

(x′1, x′2, x

′3) son las coordenadas de O′P respecto de la base {b′1, b′2, b′3}. Es decir, [O′P ]B′ =

(x′1, x′2, x

′3).

El cambio de coordenadas de la base B′ a la base B se realiza a traves de la correspondientematriz de cambio de base Q:

Q[O′P ]B′ = [O′P ]B q11 q12 q13q21 q22 q23q31 q32 q33

x′1x′2x′3

=

q11x′1 + q12x

′2 + q13x

′3

q21x′1 + q22x

′2 + q23x

′3

q31x′1 + q32x

′2 + q33x

′3

Q [O′P ]B′ [O′P ]B

Una vez que conocemos las coordenadas de todos los vectores de la ecuacion [1] respectode la base B, podemos escribir la ecuacion, respecto a esta base, como:x1

x2x3

=

q11 q12 q13q21 q22 q23q31 q32 q33

x′1x′2x′3

+

w1

w2

w3

P en ref O,B P en ref O′, B′ O′ en ref O,B

x1x2x31

=

q11 q12 q13 w1

q21 q22 q23 w2

q31 q32 q33 w3

0 0 0 1

x′1x′2x′31

Esta es la ecuacion matricial del cambio de sistema de referencia afın. La inclusion dela cuarta fila en las tres matrices permite expresar el cambio de coordenadas como enespacios vectoriales, mediante un producto matriz vector.


Ejemplo 11.1 En el espacio afın E3, respecto de la base cartesiana {O; e1, e2, e3} seconsideran los puntos A = (3, 1,−2), B = (2, 2, 0), C = (1, 0,−1) y D = (4, 3,−2).Las coordenadas de un punto P en el nuevo sistema de referencia {A; AB, AC, AD} son(x′, y′, z′). Hallar las coordenadas en el sistema original.

Solucion:

O

e1

e2

e3

B

C D

P

A

AB = (2, 2, 0)− (3, 1,−2) = (−1, 1, 2)AC = (1, 0,−1)− (3, 1,−2) = (−2,−1, 1)AD = (4, 3,−2)− (3, 1,−2) = (1, 2, 0)

AP = x′

−112

+ y′

−2−11

+ z′

120

OP = OA+ APxyz

=

31−2

+

−1 −2 11 −1 22 1 0

x′

y′

z′

En lo que sigue utilizaremos la base canonica ortonormal excepto cuandose indique lo contrario.

11.4 Subespacios afines en E3

Se denomina dimension del espacio afın a la dimension del espacio vectorial con el queesta asociado por afinidad. Ası de E3 se dice que su dimension es 3.

Todo subconjunto S de E3 con estructura de espacio afın es un subespacio afın. En estecaso la aplicacion de afinidad existira entre S y un subespacio vectorial S0 de IR

3, de formaque a cada par de puntos P,Q de S se le asocie un vector PQ ∈ S0. Cada subespacio afınesta determinado por un punto P0 contenido en S, o punto de apoyo del subespacio afın,y la direccion dada por S0, que es el subespacio vectorial asociado o subyacente.

Safin(P0, S0) = {X ∈ E3 / P0X ∈ S0}

Considerados dos subespacios afines F1(P, S0) y F2(Q,S′0), tendremos que F1 = F2 si y

solo si S0 = S′0 y PQ ∈ S.

E3 tiene dos tipos de subespacios afines, los planos, que son subespacios bidimensiona-les, y las rectas, que son los subespacios unidimensionales. Seguidamente veremos susecuaciones.

Subespacios afines unidimensionales: rectas

Definicion 11.4 Dados un punto P y un vector no nulo u, la recta que pasa por P ytiene direccion < u > esta formada por los puntos X = (x, y, z) tales que PX = λu, conλ ∈ IR, es decir:

X − P = λu, λ ∈ IR

X = P + λu, λ ∈ IR →

x = p1 + λu1y = p2 + λu2z = p3 + λu3

, λ ∈ IR

Estas son la ecuacion vectorial parametrica y las ecuaciones (escalares) parametricasde la recta.


De u se dice que es el vector director de la recta.

P

+ u

X

Otra forma de definir una recta es a traves de su paso por dos puntos P y Q. La ecuacionvectorial de esta recta sera:

+ + P Q

X = P + λPQ, λ ∈ IR

A partir de las ecuaciones parametricas, despejando λ obtenemos la ecuacion de la rectaen forma continua:

x− p1u1

=y − p2u2

=z − p3u3

si u1, u2, u3 = 0

Si u1 = 0 de la ec. parametrica se deduce x = p1Si u2 = 0 de la ec. parametrica se deduce y = p2Si u3 = 0 de la ec. parametrica se deduce z = p3

u1, u2, u3 no pueden ser simultaneamente cero, pues si el vector director es (0,0,0) la rectase reducirıa al punto P .

La ecuacion continua esta constituida por dos ecuaciones implıcitas, que formanun sistema no homogeneo compatible indeterminado con un parametro libre. La ecuaciontambien recibe el nombre de ecuacion cartesiana, analıtica o intrınseca de la recta.

Las rectas que pasan por el origen O y en la direccion de los tres vectores de la basecanonica se denominan ejes coordenados. La notacion mas habitual para estos es X, Y ,Z, u Ox, Oy, Oz. Tambien reciben el nombre de eje de abcisas, eje de ordenadas y eje decotas.


Subespacios afines bidimensionales: planos

Definicion 11.5 Dados un punto P y el subespacio bidimensional S0 =< u, v >, el planoque pasa por P y tiene direccion S0 esta formado por los puntos X = (x, y, z) tales quePX = λu+ µv con λ y µ ∈ IR.

O

PX

u

v

X − P = λu+ µv, λ, µ ∈ IR ⇒

X = P + λu+ µv, λ, µ ∈ IR →

x = p1 + λu1 + µv1y = p2 + λu2 + µv2z = p3 + λu3 + µv3

, λ, µ ∈ IR

Estas son la ecuacion vectorial parametrica y las ecuaciones (escalares) parametricasdel plano.

De u y v se dice que son los vectores directores del plano.

Otra forma de definir un plano es a traves de su paso por tres puntos P , Q y R. Laecuacion vectorial de este plano sera por ejemplo:

X = P + λPQ+ µPR, λ, µ ∈ IR

La expresion PX = λu+ µv, implica que

∣∣∣∣∣∣u1 v1 x− p1u2 v2 y − p2u3 v3 z − p3

∣∣∣∣∣∣ = 0

Desarrollando el determinante nos queda una ecuacion de la forma:

Ax+By + Cz +D = 0

que es la Ecuacion general del plano, tambien denominada ecuacion en formaimplıcita del plano. A esta ecuacion tambien se le llama ecuacion cartesiana, analıticao intrınseca del plano.

Para el plano que pasa por O, que es el subespacio vectorial S0, la ecuacion correspondienteserıa:

Ax+By + Cz = 0,

(A,B,C) es un vector ortogonal a los dos planos, ya que en el desarrollo del determinanteanterior resulta (A,B,C) = u× v.


Se presenta seguidamente otra justificacion de que (A,B,C) es un vector normal a los dosplanos, basada en ortogonalidad de vectores.

O

PX

u

v

n

n

X

Los planos que pasan por 0 (denotado π0) y por P (denotado π1) tienen la misma direccion(son paralelos entre sı ) y por tanto tienen el mismo vector normal n = (A,B,C).

• π0

Los puntos X = (x, y, z) del plano π0 seran tales que n.OX = 0, por tanto

(A,B,C).(x, y, z) = Ax+By + Cz = 0

La ecuacion implıcita es: Ax+By + Cz = 0

• π1

Los puntos X = (x, y, z) del plano π1 seran tales que n.PX = 0, por tanto

(A,B,C).(x− p1, y − p2, z − p3) = Ax+By + Cz −Ap1 −Bp2 − Cp3 = 0

La ecuacion implıcita de π2 es: Ax+By + Cz +D = 0 ,

con D = −Ap1 −Bp2 − Cp3

El conjunto de todos los planos paralelos, con vector normal (perpendicular) n = (a1, a2, a3),

viene dado por la ecuacion: a1x+ a2y + a3z + a = 0, a ∈ IR

11.5 Subespacios afines en E2

E2 es un espacio afın de dimension 2. Sus subespacios afines son las rectas, que sonsubespacios unidimensionales.

La ecuacion vectorial parametrica de los puntos de una recta en E2 es:

X = P + λu, λ ∈ IR


Las correspondientes ecuaciones parametricas escalares son:{x = p1 + λu1y = p2 + λu2

, λ ∈ IR

Eliminando λ de las ecuaciones anteriores obtenemos una unica ecuacion, de la formaAx + By + C = 0, que es la ecuacion implıcita de una recta en E2. (A,B) es un vectornormal a la recta.

Es frecuente expresar las rectas en E2 mediante ecuaciones de la forma y = mx + n (sededuce directamente de la anterior sin mas que despejar y). Este tipo de expresion sedenomina ecuacion explıcita o ecuacion punto-pendiente.


11.6 Transformaciones afines y movimientos

Una aplicacion f del espacio afın E en E se dice que es una aplicacion afın, tambien deno-minada transformacion afın, si existe un endomorfismo τ en el espacio vectorial subyacentetal que

f(P )f(Q) = τ(PQ)

En lo que sigue consideraremos unicamente aplicaciones f biyectivas, lo que implica queel endomorfismo τ sea tambien biyectivo.

En tales transformaciones se dice que un punto X es fijo, tambien denominado doble oinvariante, si f(X) = X. Una transformacion afın tiene 0, 1 o infinitos puntos fijos.

Si hay rectas y/o planos invariantes tambien se dice de estos que son fijos o dobles, en-tendiendose la invarianza de la recta como tal o del plano como tal, que no implica lainvarianza de sus puntos.

La composicion de transformaciones afines es grupo (operacion cerrada, asociativa, conelemento neutro y elemento inverso).

Expresion matricial de una transformacion afın respecto de un sistema de referenciadado.

OX ′ = Of(X) = Of(O) + f(O)f(X) = Of(O) + τ(OX) ⇒OX ′ = OO′ + τ(OX)

X ′ = O′+τ(OX) (es usual utilizar tambien este tipo de notacion en la que se combinanpuntos y vectores).x′1

x′2x′3

=

o′1o′2o′3

+ τ

x1x2x3

⇒x′1x′2x′3−1

=

| o′1

τ | o′2| o′3

− − − | −0 0 0 | 1

x1x2x3−1

[2]

︸︷︷︸TA

Las coordenadas del punto y de la imagen, con el uno al final, son las denominadascoordenadas homogeneas de los puntos.

Movimientos

Dado un espacio afın euclıdeo en el que esta definida una transformacion afın, se diceque esta es un movimiento si deja invariantes las distancias, es decir, si dist(P,Q) =dist(f(P ), f(Q)) ∀P,Q ∈ E

TEOREMA. Si una transformacion afın es un movimiento, entonces el endomorfismoasociado es una isometrıa.

∥ τ(PQ) ∥=∥ f(P )f(Q) ∥= dist(P ′, Q′) = dist(P,Q) =∥ PQ ∥ ⇒ τ isometrıa

Los movimientos se clasifican en directos o inversos segun las correspondientes isometrıassean directas o inversas, respectivamente.


Dos puntos P y P ′, uno transformado del otro mediante un movimiento en E2, se dice queson puntos homologos.

Los movimientos posibles en E2 son los correspondientes a las isometrıas en IR2 (girorespecto de un punto y simetrıa axial), la traslacion, que trataremos a continuacion, y lascomposiciones entre ellos.

Los movimientos posibles en E3 son los correspondientes a las isometrıas en IR3 (girorespecto de una recta y simetrıa respecto de un plano), la traslacion, y las composicionesentre ellos.

Traslacion

Traslacion dada por el vector v = OV

f(X) = X + V

f(P ) = P + Vf(Q) = Q+ Vf(P )f(Q) = Q − P , por tanto τ(PQ) = PQ es la identidad. La identidad es isometrıa,

por tanto se trata de un movimiento.

Las ecuaciones de la traslacion son:

x′1 = x1 + v1x′2 = x2 + v2x′3 = x3 + v3

⇒

x′1x′2x′3

=

1 0 00 1 00 0 1

x1x2x3

+

v1v2v3

OX ′ = OO′ + τ(OX) (OO′ = OV )

Para v = 0 es la transformacion afın identidad.

La expresion matricial para obtener X ′ = f(X) correspondiente a la traslacion v comoproducto matriz-vector, es decir, utilizando coordenadas homogeneas es:

x′1x′2x′3−1

=

1 0 0 | v10 1 0 | v20 0 1 | v3− − − | −0 0 0 | 1

x1x2x3−1

︸︷︷︸

TA

• La recta que une un punto P y su transformado P ′ se denomina guıa, y es rectadoble, quedando definida la traslacion por el vector PP ′.

• Dos rectas que sean una la transformada de la otra son paralelas, y forman angulosiguales con las guıas.

• En E3 todo plano que contenga una guıa es doble.

• El conjunto de las traslaciones tiene estructura de grupo abeliano con el producto ocomposicion de traslaciones.


Puntos fijos

En E3, los puntos fijos son los X ∈ E3 tales que f(X) = X. Sustituyendo en la ec. [2]X ′ = X, y denotando los elementos de la matriz asociada al endomorfismo τ respecto dela base canonica como tij , tenemos:x1x2x3−1

=

t11 t12 t13 | o′1t21 t22 t23 | o′2t31 t32 t33 | o′3−− −− −− | −0 0 0 | 1

x1x2x3−1

000−0

=

t11 − 1 t12 t13 | o′1t21 t22 − 1 t23 | o′2t31 t32 t33 − 1 | o′3−− −− −− | −0 0 0 | 0

x1x2x3−1

t11 − 1 t12 t13

t21 t22 − 1 t23t31 t32 t33 − 1

x1x2x3

=

− o′1− o′2− o′3

Los puntos fijos son las soluciones de este sistema.

En E2 tendrıamos las dos primeras ecuaciones.

Casos:

En E2

rg[τ − I2] rg[τ − I2 | O′]2 2 Giro respecto de un punto fijo

1 2 Simetrıa deslizante: composicion de simetrıay traslacion paralela al eje de simetrıa

1 1 Simetrıa respecto de una recta de puntos fijos

0 1 Traslacion

0 0 Identidad

En E3

rg[τ − I3] rg[τ − I3 | O′]3 3 Un punto fijo. Composicion de un giro y una simetrıa,

siendo el eje de giro y el plano de simetrıa perpendiculares

2 3 Mov. helicoidal: comp. de giro y traslacion paralela alal eje de giro.

2 2 Giro respecto de una recta de puntos fijos

1 2 Simetrıa deslizante: composicion de simetrıa y traslacionparalela al plano de simetrıa.

1 1 Simetrıa respecto de un plano de puntos fijos

0 1 Traslacion

0 0 Identidad


11.7 Movimientos en el plano

11.7.1 Giro de angulo θ con centro en (a, b)

Composicion de:1) traslacion de C = (a, b) a O = (0, 0)2) rotacion de angulo θ con centro en (0, 0)3) traslacion de (0, 0) a (a, b)

Tafin = T(a,b)RθT(−a,−b) τ ≡ Rθ =

[cos θ −sin θsin θ cos θ

]Para calcular la transformacion afın hay que expresar cada una de las transformacionesen coordenadas homogeneas, aquı y en lo que sigue.

Tafin =

1 0 | a0 1 | b− − | −0 0 | 1

cos θ −sin θ | 0sin θ cos θ | 0− − | −0 0 | 1

1 0 | − a0 1 | − b− − | −0 0 | 1

=

cos θ −sin θ | o′1sin θ cos θ | o′2− − | −0 0 | 1

o′1 y o′2 son cada uno de ellos una expresion dependiente de las variables de a, b y θ,resultante de efectuar el producto de las tres matrices indicadas.

rg[τ−I2] = 2 = rg[τ−I2|O′]. Tiene un punto fijo que es C = (a, b).

• La composicion de dos giros del mismo centro es un giro del mismo centro y anguloigual a la suma de los angulos.

• La composicion de un giro y una traslacion es un giro del mismo angulo. Lo quevarıa es el centro de giro.

11.7.2 Simetrıa axial

Supongamos la simetrıa ortogonal respecto de una recta r que contiene el punto P = (a, b),y que tiene una pendiente θ y vector director u (notese que con uno de los dos ultimosdatos es suficiente, ya que uno se deduce del otro). Indicamos tres formas de obtener latransformacion.

1. Composicion de:

1) traslacion de P = (a, b) a O = (0, 0),

2) simetrıa respecto a recta paralela a r que pasa por el origen

3) traslacion de (0, 0) a (a, b)

Tafin = T(a,b)SimθT(−a,−b)

Seguidamente, recordamos que tenemos dos formas de obtener la matriz de la trans-formacion τ ≡ Simθ.

* La primera es utilizar la expresion deducida en el capıtulo anterior:

τ ≡ Simθ =

[cos 2θ sin 2θsin 2θ −cos 2θ

]* La segunda consiste en obtener la matriz a traves de lo que conocemos de susvectores propios. En efecto, haciendo u = b1, tendremos, f (b1) = b1 y tras obtener


un vector b2 del plano, ortogonal a b1, tendremos f (b2) = −b2. Por tanto la matrizdel endomorfismo en la base de esos vectores normalizados, que denotaremos B =

{u1, u2} esD =

[1 00 −1

], y referida a la base canonica sera: PDP t, con P = [u1 u2].

(La matriz serıa PDP−1 pero hemos utilizado el hecho de que P−1 = P t ya que Pes matriz ortogonal, por ser sus columnas base ortonormal).

τ = Simθ = [ u1 u2 ]

[1 00 −1

][ u1 u2 ]t

2. Composicion de:

1) traslacion de P = (a, b) a O = (0, 0),

2) rotacion R−θ

3) simetrıa axial respecto del eje X

4) rotacion Rθ

5) traslacion de (0, 0) a (a, b)

3. El tercer metodo consiste en determinar los elementos de la matriz de la transfor-macion a partir de lo que se espera de las imagenes de determinados puntos. Escogi-dos dos puntos P y Q de la recta tendremos que sus imagenes son ellos mismos, sonpuntos fijos. TafinP = P y TafinQ = Q.

Tafin

p1p2−1

=

p1p2−1

Tafin

q1q2−1

=

q1q2−1

Por otra parte sabemos que la direccion normal a la recta se refleja. La unica formade tratar el vector normal como un punto es considerar la misma simetrıa en elorigen, lo que equivale a aplicar la transformacion Tafin al punto N de coordenadashomogeneas N = (n1, n2; 0), ya que el valor 0 de la ultima componente elimina elefecto de la parte afın. Entonces TafinN = −N .

Tafin

n1

n2

−−0

=

| o′1

τ | o′2−− −− −− | − −0 0 0 | 1

n1

n2

−−0

=

−n1

−n2

−−0

Con las imagenes de los tres puntos se puede obtener Tafin.

Tafin

p1 q1 n1

p2 q2 n2

−− −− −−1 1 0

=

p1 q1 −n1

p2 q2 −n2

−− −− −−1 1 0

⇒

Tafin =

p1 q1 −n1

p2 q2 −n2

−− −− −−1 1 0

p1 q1 n1

p2 q2 n2

− − −1 1 0

−1

—————————————————


Tafin =

| o′1

τ | o′2−− −− −− | − −0 0 0 | 1

rg[τ − I2] = 1 = rg[τ − I2|O′]. Se tiene una recta de puntos fijosque es el eje de simetrıa.

• La composicion de simetrıa con traslacion perpendicular al eje de simetrıa es unasimetrıa con el eje de puntos fijos paralelo al original.

• La composicion de simetrıa con traslacion paralela al eje de simetrıa se denominasimetrıa deslizante. Este movimiento carece de puntos fijos, pero el eje de simetrıaoriginal es recta invariante.

• En conclusion, la composicion de simetrıa y traslacion es simetrıa con recta de puntosfijos o simetrıa deslizante.

rg[τ − I2] = 1 = 2 = rg[τ − I2|O′]. Simetrıa deslizante.

Ejemplo 11.2 a) En E2, determine la matriz de la transformacion afın correspondientea un giro de angulo 3π/4 con centro en C = (1, 0). b) Obtenga la composicion de latransformacion anterior y una traslacion dada por p = (2, 0) siendo esta la ultima enaplicarse.

a) Tafin = T(a,b)RθT(−a,−b)

Rθ =

[cos 3π/4 −sin 3π/4sin 3π/4 cos 3π/4

]=

[−1/√2 −1/

√2

1/√2 −1/

√2

]

Tafin =

1 0 | 10 1 | 0− − | −0 0 | 1

−1/√2 −1/

√2 | 0

1/√2 −1/

√2 | 0

−−− −−− |−0 0 | 1

1 0 | − 10 1 | 0− − | −0 0 | 1

=

−1/√2 −1/

√2 | 1 + 1/

√2

1/√2 −1/

√2 | − 1/

√2

−−− −−− | − −−0 0 | 1

Notese que el endomorfismo τ es igual al del giro del mismo angulo en el origen, no semodifica con las traslaciones.

b) Tafin2 =

1 0 | 20 1 | 0− − |−0 0 | 1

Tafin =

−1/√2 −1/

√2 | 3 + 1/

√2

1/√2 −1/

√2 | − 1/

√2

−−− −−− | − −−0 0 | 1

Las ecuaciones de esta transformacion afın son:{

x′ = − 1√2x− 1√

2y + 3 + 1√

2

y′ = 1√2x− 1√

2y − 1√

2

Para estudiar este movimiento hallaremos los puntos fijos. Para ello basta sustituir x′ = xe y′ = y en el SL anterior. La matriz ampliada del SL resultante es:[ −1√

2− 1 −1√

2| − 3− 1√

21√2

−1√2− 1 | 1√

2

]


Multiplicando las ecuaciones por√2 y permutandolas:[

1 −1−√2 | 1

−1−√2 −1 | − 3

√2− 1

]f2 = f2 + f1 ∗ (1 +

√2)[

1 −1−√2 | 1

0 −1− (1 +√2)2 | − 3

√2− 1 + 1 +

√2

][1 −1−

√2 | 1

0 −1− (1 + 2√2 + 2) | − 2

√2

]=[

1 −1−√2 | 1

0 −4− 2√2 | − 2

√2

]y =

−2√2

−4− 2√2=

√2

2 +√2

x = 1 + (1 +√2)

√2

2 +√2= 1 +

√2 + 2

2 +√2= 2

La transformacion Tafin2 es un giro de angulo 3π/4 y centro

(2,

√2

2 +√2)

Ejemplo 11.3 a) En E2, determine la matriz de la transformacion afın Ta correspon-diente a la simetrıa ortogonal respecto de la recta x+2y = 4. b) Aplique a Ta la traslaciondada por p = (3, 1) y obtenga las ecuaciones de este movimiento total. c) Aplique a Ta latraslacion dada por p = (−2, 1) y obtenga la matriz de la transformacion resultante. d)Antecedente de la recta y = 2 para la aplicacion Ta.

a) Se presenta la obtencion de Ta por tres metodos distintos:

• Mediante composicion de transformaciones:

r : x+ 2y − 4 = 0. Un vector normal a la recta es (1, 2) y uno director b1 = (2,−1)[2/√5 1/

√5

−1/√5 2/

√5

] [1 00 −1

] [2/√5 −1/

√5

1/√5 2/

√5

]=

[3/5 −4/5−4/5 −3/5

]Un punto de la recta es (0, 2) por tanto la composicion de transformaciones es:

Ta =

1 0 00 1 20 0 1

3/5 −4/5 0−4/5 −3/5 0

0 0 1

1 0 00 1 −20 0 1

=

3/5 −4/5 | 8/5−4/5 −3/5 | 16/5− − | −0 0 | 1

Notese que el endomorfismo τ es igual al de la simetrıa con respecto a la rectaparalela que pasa por el origen, no se modifica con las traslaciones.

• A partir de los homologos de tres puntos

A y B seran puntos de la recta. C correspondera a un punto cuya imagen conocemoscomo transformacion en un espacio vectorial, no en el espacio afın, y de ahı que paraC tomaremos 0 en vez de 1 en la coordenada adicional.

A = (4, 0; 1) → A′ = (4, 0; 1)

B = (0, 2; 1) → B′ = (0, 2; 1)

C = (1, 2; 0) → C ′ = (−1,−2; 0)

Ta

4 0 10 2 21 1 0

=

4 0 −10 2 −21 1 0

⇒


Ta =

4 0 −10 2 −21 1 0

4 0 10 2 21 1 0

−1

=

3/5 −4/5 8/5−4/5 −3/5 16/5

0 0 1

• Combinando ambos metodos

Supuesta conocida la matriz de la correspondiente isometrıa,

[3/5 −4/5−4/5 −3/5

], solo

quedarıan por determinar dos elementos de Ta:

Ta =

3/5 −4/5 t1−4/5 −3/5 t2

0 0 1

Imponiendo seguidamente que A = (4, 0; 1) es punto fijo, tenemos: 3/5 −4/5 t1−4/5 −3/5 t2

0 0 1

401

=

401

, por tanto

{12/5t1 + t1 = 20/5−16/5 + t2 = 0

, ⇒ t1 = 8/5 y t2 = 16/5

Los puntos de la recta r son fijos, pues con esa premisa se obtuvo Ta.

Las ecuaciones de la transformacion son:

{x′ = 3

5x−45y +

85

y′ = −45x−

35y +

165

b) Tb = T(3,1)Ta =

1 0 30 1 10 0 1

3/5 −4/5 8/5−4/5 −3/5 16/5

0 0 1

=

3/5 −4/5 23/5−4/5 −3/5 21/5

0 0 1

No hay puntos fijos. Se trata de una simetrıa deslizante. En efecto el desplazamiento (3,1)se puede escribir como suma de un desplazamiento perpendicular a r y otro paralelo a r.En el desplazamiento perpendicular se produce un nuevo eje de simetrıa r′ de puntos fijos,paralelo al original. En el desplazamiento paralelo la nueva simetrıa “desliza” y dejan deexistir puntos fijos, aunque la recta r′ es invariante.

La descomposicion de la traslacion (3, 1) como suma de traslacion perpendicular y traslacionparalela es:

(3, 1) = α(1, 2) + β(2,−1) ⇒ α = β = 1

Veamos el nuevo eje de simetrıa tras el desplazamiento perpendicular p⊥ = (1, 2),

T(1,2)Ta =

1 0 10 1 20 0 1

3/5 −4/5 8/5−4/5 −3/5 16/5

0 0 1

=

3/5 −4/5 13/5−4/5 −3/5 26/5

0 0 1

Puntos fijos: 3/5 −4/5 13/5−4/5 −3/5 26/5

0 0 1

xy1

=

xy1

⇒ {3/5x− x− 4/5y = −13/5−4/5x− 3/5y − y = −26/5

⇒{−2/5x− 4/5y = −13/5−4/5x− 8/5y = −26/5

Vemos que la segunda ec. es el doble de la primera. El SL es compatible indeterminado.Los puntos fijos son los (x, y) que verifican la ec. que nos queda. Multiplicandola por −5/2


la ec. resultante es: r′ : x+ 2y − 13/2 = 0. Este es el nuevo eje de simetrıa tras efectuarla traslacion perpendicular.

La siguiente componente de la traslacion p∥ = (2,−1) desliza esta simetrıa axial, por tantoTb es una simetrıa deslizante que deja invariante la recta r′

Las ecuaciones del movimiento completo son (ver la matriz al principio del apartado) son:{x′ = 3/5x− 4/5y + 23/5y′ = −4/5x− 3/5y + 21/5

c) T(−2,1)Ta =

1 0 −20 1 10 0 1

3/5 −4/5 8/5−4/5 −3/5 16/5

0 0 1

=

3/5 −4/5 −2/5−4/5 −3/5 21/5

0 0 1

Al ser una traslacion paralela no hay puntos fijos. Se trata de una simetrıa deslizante,siendo la recta invariante la original r.

d) Ta es una simetrıa, por tanto es lo mismo calcular la imagen de un punto que elantecedente de ese punto. Ambos, imagen y antecedente, coinciden.

De la recta s′ : y = 2 puedo obtener dos puntos, por ejemplo A = (0, 2) y B = (1, 2). 3/5 −4/5 8/5−4/5 −3/5 16/5

0 0 1

0 12 21 1

=

0 3/52 6/51 1

Vemos que las imagenes son A′ = (0, 2) y B′ = (3/5, 6/5). La ecuacion de la recta s quepasa por los puntos (0, 2) y (3/5, 6/5) es y = −4/3x+ 2.

y = ax+ b⇒{

2 = a× 0 + b6/5 = a× 3/5 + b

Resolviendo el sistema obtenemos a = −4/3 y b = 2.

Ejemplo 11.4 En E2 obten la matriz correspondiente a un giro de angulo π/3 que trans-forme el punto (2,1) en el (1,0).

La matriz de rotacion es: Rθ =

[cosθ −sinθsinθ cosθ

]=

[1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

]

Tafin =

1/2 −√3/2 t1√

3/2 1/2 t20 0 1

1/2 −

√3/2 t1√

3/2 1/2 t20 0 1

211

=

101

{1−√3/2 + t1 = 1 ⇒ t1 =

√3/2√

3 + 1/2 + t2 = 0 ⇒ t2 = −1/2−√3

Tafin =

1/2 −√3/2

√3/2√

3/2 1/2 −1/2−√3

0 0 1


11.8 Movimientos en el espacio

11.8.1 Giro de angulo θ respecto de un eje

Supongamos un giro de angulo θ alrededor de un eje orientado con direccion y sentido dadospor v y que pasa por el punto (a, b, c). Se obtendra la expresion matricial de la transfor-macion afın, relativa a la base canonica, como composicion de una serie movimientos.

Denotamos en primer lugar u3 =v

∥ v ∥Buscamos dos vectores u1 y u2 unitarios, ortogonales, y tales que u3 = u1 × u2. B ={u1, u2, u3} es base ortonormal. Por ser construida de esta manera, con el tercero productovectorial del primero por el segundo, los vectores tienen la misma orientacion relativa quelos de la base canonica.

La matriz correspondiente al giro de angulo θ respecto de la base B es:

Rθ =

cos θ −sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

P = [ u1 u2 u3 ] es la matriz de cambio de base tal que P [x]B = x, y por ser P ortogonal,P−1 = P t.

La matriz de la transformacion afın se obtendra como la composicion de las siguientestransformaciones:

1) traslacion de (a, b, c) a (0, 0, 0), a fin de que el eje de giro pase por el origen2) cambio de coordenadas de la base canonica a la base B, mediante producto por P t

3) giro de angulo θ respecto al eje con la orientacion dada < v >4) cambio de coordenadas de la base B a la base canonica mediante el producto por P5) traslacion de (0, 0, 0) a (a, b, c)

τ = P

cos θ −sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

P t

Tafin = T(a,b,c)

| 0

τ | 0| 0

− − − | −0 0 0 | 1

T(−a,−b,−c)

Los puntos del plano de simetrıa son puntos fijos.

La composicion de una simetrıa respecto de un plano y una traslacion perpendicular aleje de giro es un giro del mismo angulo con el nuevo eje de giro de puntos fijos paralelo aloriginal.

La composicion de un giro y una traslacion paralela al eje de giro es un movimientohelicoidal. Carece de puntos fijos. El eje de giro original es recta invariante del movimientocompuesto.

Se resumen las dos ultimas afirmaciones en que la composicion de un giro con una traslaciones un giro o un movimiento helicoidal.


La matriz τ de la transformacion afın tiene un unico autovalor real que es λ = 1. Las dosunicas excepciones son el giro de angulo 0 o identidad, que tiene tres autovalores unidad,y el giro de angulo π, con un autovalor 1 y dos autovalores −1. Este ultimo movimientoes la simetrıa respecto de un eje (el eje de giro) o simetrıa axial.

11.8.2 Simetrıa respecto de un plano

Supongamos una simetrıa respecto del plano que pasa por el punto (a, b, c) y con vectorperpendicular v.

Determinemos en primer lugar la matriz para la simetrıa en un plano paralelo al originalque contenga el origen (0, 0, 0). Denotamos u3 =

v

∥ v ∥Buscamos dos vectores u1 y u2 unitarios, ortogonales, y tales que B = {u1, u2, u3} es baseortonormal.

P = [ u1 u2 u3 ] es una base de autovectores, con autovalores asociados 1, 1 y −1 respec-tivamente. La matriz asociada a la simetrıa que tratamos, respecto de esta base, es:

D =

1 0 00 1 00 0 −1

La matriz referida a la base canonica se obtiene a partir de la anterior:

τ = PDP t (P−1 = P t por ser P ortogonal)

La transformacion afın resultante, teniendo en cuenta que debemos hacer inicialmente unatraslacion de (a, b, c) a (0, 0, 0) y deshacerla al final, es:

Tafin = T(a,b,c)

| 0

τ | 0| 0

− − − | −0 0 0 | 1

T(−a,−b,−c)

Los puntos del plano de simetrıa son puntos fijos.

La composicion de una simetrıa y una traslacion perpendicular al plano de simetrıa es unasimetrıa con el nuevo plano de simetrıa de puntos fijos paralelo al original.

La composicion de una simetrıa y una traslacion paralela al plano de simetrıa es unasimetrıa deslizante. Ya no existen puntos fijos. El plano de simetrıa original es invariante.

Se resumen las dos ultimas afirmaciones en que la composicion de una simetrıa con respectoa un plano y una traslacion es una simetrıa con plano de puntos fijos, o una simetrıadeslizante.

La matriz τ de la transformacion afın tiene autovalores 1, 1 y −1. Recordamos que lamatriz de un endomorfismo tiene los mismos autovalores independientemente de la base ala que este referida.

rg[τ − I3] = 1 = rg[ τ − I3 | O′ ]. Simetrıa respecto a un plano depuntos fijos.

rg[τ − I3] = 1 = 2 = rg[ τ − I3 | O′ ]. Simetrıa deslizante.


Ejemplo 11.5 Determinar las ecuaciones de la composicion de un giro de angulo π conrespecto a la recta r : (0, 0, 1)+ t(0, 1, 1) con t ∈ IR con la traslacion de vector v = (1, 1, 0),aplicandose la traslacion en segundo lugar.

El eje de giro tiene la direccion dada por (0, 1, 1). Tomando la base B = {u1, u2, (0, 1, 1)/√2},

siendo u1 y u2 unitarios, ortogonales entre sı y tales que (0, 1, 1)/√2 = u1× u2, la matriz

del giro de angulo π referida a esta base es:

Rπ =

−1 0 00 −1 00 0 1

Para pasar la matriz a coordenadas relativas a la base canonica debemos efectuar el pro-ducto PRπP

t, siendo P = [ u1 u2 (0, 1, 1)/√2 ]

Partiendo de v = (0, 1, 1), dos vectores ortogonales a este son: (1, 0, 0), y (0, 1,−1).Normalizados y con el orden adecuado se tiene B = {(1, 0, 0), (0, 1,−1)/

√2, (0, 1, 1)/

√2}

y P =

1 0 00 1/

√2 1/

√2

0 −1/√2 1/

√2

La matriz del giro referida a base canonica es entonces:

Rπ <(0,1,1)> =

1 0 00 1/

√2 1/

√2

0 −1/√2 1/

√2

−1 0 00 −1 00 0 1

1 0 00 1/

√2 −1/

√2

0 1/√2 1/

√2

=

−1 0 00 0 10 1 0

Rafin =

1 0 0 | 00 1 0 | 00 0 1 | 1− − − | −0 0 0 | 1

−1 0 0 | 00 0 1 | 00 1 0 | 0− − − | −0 0 0 | 1

1 0 0 | 00 1 0 | 00 0 1 | − 1− − − | −0 0 0 | 1

=

−1 0 0 | 00 0 1 | − 10 1 0 | 1− − − | −0 0 0 | 1

︸︷︷︸︸︷︷︸

T(0,0,1) T(0,0,−1)

Tras Rafin =

1 0 0 | 10 1 0 | 10 0 1 | 0− − − | −0 0 0 | 1

−1 0 0 | 00 0 1 | − 10 1 0 | 1− − − | −0 0 0 | 1

=

−1 0 0 | 10 0 1 | 00 1 0 | 1− − − | −0 0 0 | 1

Ecuaciones:

x′ = −x+ 1y′ = zz′ = y + 1

La traslacion no es perpendicular al eje de giro, por tanto tiene componente paralela, yesto significa que el movimiento es helicoidal. Puede comprobarse en las ecuaciones quecarece de puntos fijos.

x = −x+ 1y = zz = y + 1

.

Las dos ultimas ecuaciones muestran de forma inmediata que el sistema es incompatible.

Tambien se podrıa concluir a partir de los rangos, comparando rg[τ − I3] y rg[τ − I3 | O′]

[ τ | O′ ] =

−1 0 0 | 10 0 1 | 00 1 0 | 1

, [ τ − I3 | O′ ] =

−2 0 0 | 10 −1 1 | 00 1 −1 | 1


Mediante eliminacion gaussiana en la ultima matriz obtenemos:

[ τ − I3 | O′ ] =

−2 0 0 | 10 −1 1 | 00 1 −1 | 1

∼−2 0 0 | 1

0 −1 1 | 00 0 0 | 1

rg[τ − I3] = 2 = 3 = rg[τ − I3 | O′] ⇒ movimiento helicoidal.

Ejemplo 11.6 Encontrar las ecuaciones de la simetrıa con respecto al plano 2x+ y+ z−2 = 0.

Metodo 1

Comenzamos calculando la matriz correspondiente a la simetrıa en un plano paralelo alanterior pasando por el origen. Para ello utilizamos la base de autovectores natural parael problema.

τ(2, 1, 1) = (−2,−1,−1)τ(1,−1,−1) = (1,−1,−1)τ(0, 1,−1) = (0, 1,−1)

Notese que los vectores seleccionados son base ortogonal. Pero tomaremos base ortonor-mal:

B = { (1,−1,−1)/√3, (0, 1,−1)/

√2, (2, 1, 1)/

√6 }

Respecto de esta base, la matriz de la simetrıa es: D =

1 0 00 1 00 0 −1

Y la transformacion a la base canonica:

τ =

1/√3 0 2/

√6

−1/√3 1/

√2 1/

√6

−1/√3 −1/

√2 1/

√6

1 0 00 1 00 0 −1

1/√3 −1/

√3 −1/

√3

0 1/√2 −1/

√2

2/√6 1/

√6 1/

√6

=

−1/3 −2/3 −2/3−2/3 2/3 −1/3−2/3 −1/3 2/3

Una vez obtenida la matriz del endomorfismo τ podremos calcular la transformacion afın,teniendo en cuenta que el plano contiene el punto P = (0, 0, 2).

Tafin =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 20 0 0 0

−1/3 −2/3 −2/3 0−2/3 2/3 −1/3 0−2/3 −1/3 2/3 0

0 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 −20 0 0 0

=

︸︷︷︸︸︷︷︸T(0,0,2) T(0,0,−2)

−1/3 −2/3 −2/3 4/3−2/3 2/3 −1/3 2/3−2/3 −1/3 2/3 2/3

0 0 0 1

Ecuaciones :

x′ = −1

3(x+ 2y + 2z − 4)y′ = −1

3(2x− 2y + z − 2)z′ = −1

3(2x+ y − 2z − 2)


Metodo 2

Podemos calcular la matriz de la transformacion afın a partir de las imagenes de trespuntos del plano 2x+ y + z − 2 = 0, y de una direccion.

P = (1, 0, 0; 1) Q = (0, 2, 0; 1) R = (0, 0, 2; 1) N = (2, 1, 1; 0)

Tafin

1 0 0 20 2 0 10 0 2 11 1 1 0

=

1 0 0 −20 2 0 −10 0 2 −11 1 1 0

Tafin =

1 0 0 −20 2 0 −10 0 2 −11 1 1 0

1 0 0 20 2 0 10 0 2 11 1 1 0

−1

=

−1/3 −2/3 −2/3 4/3−2/3 2/3 −1/3 2/3−2/3 −1/3 2/3 2/3

0 0 0 1

11.9 Determinacion de subespacios invariantes en los movimien-tos

Veremos como obtener, para el caso de la simetrıa deslizante y del mov. helicoidal,los subespacios invariantes (eje o plano de simetrıa y eje de giro respectivamente) y latraslacion que experimentan sus puntos, en dicho movimiento.

Partiendo de P ∈ S y supuesto S invariante tendremos, utilizando las expresiones de lastransformaciones afines de la seccion 11.6, los siguientes resultados:{

f(P ) = P ′

f(P ′) = P ′′ ⇒ P ′P ′′ = τ( PP ′)

Por otra parte el desplazamiento v en el subespacio invariante S es constante, tanto en lasimetrıa deslizante como en el mov. helicoidal, por lo que PP ′ = P ′P ′′, por tanto:

τ( PP ′) = PP ′, es decir, (τ − I3) PP ′ = 0

Desarrollando la expresion anterior para eliminar P ′ tenemos:

PP ′ = OP ′ − OP = OO′ + O′P ′ − OP = OO′ + τ(OP )− OP = OO′ + (τ − I3)OP

(τ − I3) PP ′ = (τ − I3)(OO′ + (τ − I3)OP ) = (τ − I3)OO′ + (τ − I3)2OP

⇒ (τ − I3)OO′ + (τ − I3)2OP = 0

Podemos escribir la ultima expresion como: (τ − I3) O′ + (τ − I3)

2 P = 0

Siendo los datos sobre la transformacion afın τ y O′, y denotando las coordenadas de Pcomo (x, y, z), la ecuacion matricial anterior determina el subespacio invariante S.

Se puede demostrar con calculos sencillos que la ecuacion encuadrada es la misma que la

siguiente (Tafin − I4)2

xyz1

=

0000

. Obviamente Tafin =

| o′1

τ | o′2| o′3

− − − | −0 0 0 | 1

Para calcular el desplazamiento v sobre el subespacio invariante obtenemos P ′ = f(P ), yv = PP ′

Para E2 basta con eliminar la coordenada z.


Ejemplo 11.7 Estudiar el movimiento cuya matriz asociada a la transformacion afın es:

Tafin =

√3/2 1/2 11/2 −

√3/2 0

0 0 1

Veremos si tiene puntos fijos mediante la ec.

√3/2 1/2 11/2 −

√3/2 0

0 0 1

xy1

=

xy1

{√

3/2x+ 1/2y + 1 = x1/2x−

√3/2y = y

⇒{(√3/2− 1)x+ 1/2y = −1

1/2x− (√3/2 + 1)y = 0

⇒{(√3− 2)x+ y = −2

x− (√3 + 2)y = 0

⇒{(3− 4)x+ (

√3 + 2)y = −2(

√3 + 2)

x− (√3 + 2)y = 0

=

{−x+ (

√3 + 2)y = −2(

√3 + 2)

x− (√3 + 2)y = 0

Es obvio que el sistema es incompatible, por tanto el mov. carece de puntos fijos.

La isometrıa asociada es inversa |τ | = −1, por tanto se trata de una simetrıa deslizante.

Para obtener la recta invariante aplicamos la ecuacion: (Tafin − I3)2

xy1

=

000

Para este caso: (Tafin−I3)2 =

√3/2− 1 1/2 11/2 −

√3/2− 1 0

0 0 0

√3/2− 1 1/2 11/2 −

√3/2− 1 0

0 0 0

=

3/4−√3 + 1 + 1/4

√3/4− 1/2−

√3/4− 1/2

√3/2− 1√

3/4− 1/2−√3/4− 1/2 1/4 + 3/4 +

√3 + 1 1/2

0 0 0

=

2−√3 −1

√3/2− 1

−1 2 +√3 1/2

0 0 0

; 2−

√3 −1

√3/2− 1

−1 2 +√3 1/2

0 0 0

xy1

=

000

{(2−

√3)x− y +

√3/2− 1 = 0

−x+ (2 +√3)y + 1/2 = 0

⇒{(2−

√3)x− y = −

√3/2 + 1

−x+ (2 +√3)y = −1/2

Multiplicando la primera ec. por (2 +√3) obtenemos:{

(4− 3)x− (2 +√3)y = (2−

√3)/2(2 +

√3)⇒ x− (2 +

√3)y = (4− 3)/2 = 1/2

−x+ (2 +√3)y = −1/2

La segunda ec. es la opuesta de la primera. Nos queda por tanto una ecuacion que es laec. del subespacio invariante o recta de simetrıa: x− (2 +

√3)y − 1/2 = 0

n = (−1, 2 +√3) es un vector normal al eje de simetrıa

A continuacion determinamos el vector de traslacion sobre el eje de simetrıa. Elegimos unpunto P del eje, sencillo, por ejemplo x = 1/2, y = 0, por tanto P = (1/2, 0) y calculamossu transformado P ′.

P ′ = Tafin

1/201

=

√3/2 1/2 11/2 −

√3/2 0

0 0 1

1/201

=

√3/4 + 11/41

,por tanto P ′ = (

√3/4 + 1, 1/4)

v = PP ′ = P ′ − P = (√3/4 + 1/2, 1/4)

Efectivamente PP ′ es ortogonal al vector normal al eje, n.


11.10 Homotecia de centro A y razon k

Estudiaremos a continuacion una transformacion afın denominada homotecia de centro Ay razon k. Esta transformacion esta definida como:

f(X) = A+ k(X −A) con k = 0 [3]

Notese que f(A) = A, por tanto A es punto invariante.

Para k = 1 la transformacion afın es la identidad.

Determinemos a continuacion cual es el endomorfismo asociado. Tomando dos puntos Py Q, las imagenes o transformados son:

f(P ) = A+ k(P −A)f(Q) = A+ k(Q−A)

f(P )f(Q) = k(Q−P ), por tanto tenemos que el endomorfismo asociado es τ(PQ) = kPQ,demostrando que la homotecia es una transformacion afın. Es obvio que para |k| = 1 lahomotecia no es un movimiento, pues no conserva las normas.

Obtengamos la expresion matricial que permite obtener las coordenadas de X ′ a partir delas coordenadas de X, en E3

x′1 = a1 + k (x1 − a1)x′2 = a2 + k (x2 − a2)x′3 = a3 + k (x3 − a3)

⇒

x′1 = k x1 + a1(1− k)x′2 = k x2 + a2(1− k)x′3 = k x3 + a3(1− k)x′1

x′2x′3

=

k 0 00 k 00 0 k

x1x2x3

+

a1(1− k)a2(1− k)a3(1− k)

OX ′ = τ(OX) +OO′

Y como un unico producto matriz-vector:x′1x′2x′31

=

k 0 0 a1(1− k)0 k 0 a2(1− k)0 0 k a3(1− k)0 0 0 1

x1x2x31


Para calcular los puntos fijos hay que resolver la ecuacion matricial:x1x2x31

=

k 0 0 a1(1− k)0 k 0 a2(1− k)0 0 k a3(1− k)0 0 0 1

x1x2x31

⇔0000

=

k 0 0 a1(1− k)0 k 0 a2(1− k)0 0 k a3(1− k)0 0 0 1

x1x2x31

− I

x1x2x31

⇔0000

=

k − 1 0 0 a1(1− k)0 k − 1 0 a2(1− k)0 0 k − 1 a3(1− k)0 0 0 0

x1x2x31

El conjunto de ecuaciones resultante es:

(k − 1)x1 = a1(k − 1)(k − 1)x2 = a2(k − 1)(k − 1)x3 = a3(k − 1)

Si k = 1 todos los puntos son fijos, puesto que hemos visto que la transformacion es laidentidad.

Si k = 1 la solucion es unica, (x1, x2, x3) = (a1, a2, a3). Por tanto el unico punto fijo es elcentro de la homotecia.

Las unicas rectas dobles y los unicos planos invariantes son las/los que pasan por el centrode la homotecia.

La homotecia con k = −1 es la simetrıa central, con centro A.

f(X) = A− (X −A) = −X + 2A


En la figura se presentan dos homotecias en E2, con centro en (0, 0) y razones 2 y −2.

−15 −10 −5 0 5 10 15

−10

−5

0

5

10

−15 −10 −5 0 5 10 15

−10

−5

0

5

10

Cap´ıtulo 11 Espacio af´ın. Transformaciones afines y movimientos

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