Capitulo 11. ROSSii

38
CAPÍTULO 11 Rendimiento y riesgo El modelo de valuación de activos de capital (CAPM) Los rendimientos esperados de las acciones comunes pueden variar de manera muy notoria. Un determinante esencial es la industria en la que opera la empresa que las emitió. Por ejemplo, de acuerdo con estimaciones recientes de Morningstar, el rendimiento esperado medio de las tiendas departamentales, categoría a la que pertenecen compañías como Sears y Kohls, es de 11.78%, mientras que las firmas de transporte aéreo, como Delta y Southwest, tienen rendimientos medios esperados de 12.75%. Las compañías que fabrican software, como Microsoft y Oracle, tienen un rendimiento medio esperado que es incluso más alto: 14.87%. Estas estimaciones dan lugar a algunas preguntas obvias. Primero, ¿por qué difieren tanto los rendimientos esperados de estas industrias y cómo se calculan estas cifras específicas? También, ¿el rendimiento más alto ofrecido por las acciones de las empresas de software significa que los inversio- nistas deben preferir estos valores en vez de, por ejemplo, las acciones de las tiendas departamen- tales? Como se verá en este capítulo, las respuestas ganadoras del premio Nobel a estas preguntas forman la base de lo que hoy se entiende por riesgo y rendimiento. Valores individuales En la primera parte del capítulo 11 se examinan las características de los valores individua- les. En particular, abordaremos lo siguiente: 1. Rendimiento esperado. Éste es el rendimiento que un individuo espera que gane una acción durante el siguiente periodo. Desde luego, ya que esto es sólo una expectativa, el rendimiento real puede ser mayor o menor. La expectativa de un individuo puede ser simplemente el rendimiento promedio por periodo que el título haya ganado en el pasa- do. Además, la expectativa también puede basarse en un análisis detallado de las pers- pectivas de una empresa, en algún modelo basado en computadora o en información especial (o interna). 2. Varianza y desviación estándar. Hay muchas formas de evaluar la volatilidad de los ren- dimientos de un valor. Una de las más comunes es la varianza, la cual es una medida de los cuadrados de las desviaciones del rendimiento de un valor con respecto a su rendi- miento esperado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. 3. Covarianza y correlación. Los rendimientos de los valores individuales están relacio- nados entre sí. La covarianza es una medición estadística de la interrelación entre dos valores. Por otra parte, esta relación se puede replantear en términos de la correlación entre los dos valores. La covarianza y la correlación son componentes esenciales para comprender el coeficiente beta. 11.1

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Capitulo 11 de Finanzas Corporativas de Ross

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  • CAPTULO 11

    Rendimiento y riesgoEl modelo de valuacin de activos de capital (CAPM)

    Los rendimientos esperados de las acciones comunes pueden variar de manera muy notoria. Un determinante esencial es la industria en la que opera la empresa que las emiti. Por ejemplo, de acuerdo con estimaciones recientes de Morningstar, el rendimiento esperado medio de las tiendas departamentales, categora a la que pertenecen compaas como Sears y Kohls, es de 11.78%, mientras que las firmas de transporte areo, como Delta y Southwest, tienen rendimientos medios esperados de 12.75%. Las compaas que fabrican software, como Microsoft y Oracle, tienen un rendimiento medio esperado que es incluso ms alto: 14.87%.

    Estas estimaciones dan lugar a algunas preguntas obvias. Primero, por qu difieren tanto los rendimientos esperados de estas industrias y cmo se calculan estas cifras especficas? Tambin, el rendimiento ms alto ofrecido por las acciones de las empresas de software significa que los inversio-nistas deben preferir estos valores en vez de, por ejemplo, las acciones de las tiendas departamen-tales? Como se ver en este captulo, las respuestas ganadoras del premio Nobel a estas preguntas forman la base de lo que hoy se entiende por riesgo y rendimiento.

    Valores individualesEn la primera parte del captulo 11 se examinan las caractersticas de los valores individua-les. En particular, abordaremos lo siguiente:

    1. Rendimiento esperado. ste es el rendimiento que un individuo espera que gane una accin durante el siguiente periodo. Desde luego, ya que esto es slo una expectativa, el rendimiento real puede ser mayor o menor. La expectativa de un individuo puede ser simplemente el rendimiento promedio por periodo que el ttulo haya ganado en el pasa-do. Adems, la expectativa tambin puede basarse en un anlisis detallado de las pers-pectivas de una empresa, en algn modelo basado en computadora o en informacin especial (o interna).

    2. Varianza y desviacin estndar. Hay muchas formas de evaluar la volatilidad de los ren-dimientos de un valor. Una de las ms comunes es la varianza, la cual es una medida de los cuadrados de las desviaciones del rendimiento de un valor con respecto a su rendi-miento esperado. La desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza.

    3. Covarianza y correlacin. Los rendimientos de los valores individuales estn relacio-nados entre s. La covarianza es una medicin estadstica de la interrelacin entre dos valores. Por otra parte, esta relacin se puede replantear en trminos de la correlacin entre los dos valores. La covarianza y la correlacin son componentes esenciales para comprender el coeficiente beta.

    11.1

  • 330 Parte III Riesgo

    Rendimiento esperado, varianza y covarianzaRendimiento esperado y varianzaSuponga que los analistas financieros consideran que existen cuatro estados igualmente pro-bables de la economa: depresin, recesin, normal y auge. Se espera que los rendimientos de Supertech Company sigan a la economa de cerca, mientras que no se espera lo mismo de los rendimientos de Slowpoke Company. Los pronsticos de los rendimientos son los siguientes:

    Rendimientos de Supertech, RAt

    Rendimientos de Slowpoke, RBt

    Depresin 220% 5%

    Recesin 10 20

    Normal 30 212

    Auge 50 9

    La varianza se puede calcular en cuatro pasos. Se necesita un paso adicional para calcular la desviacin estndar. (Los clculos se presentan en la tabla 11.1.) Los pasos son los siguientes:

    1. Clculo del rendimiento esperado:Supertech

    . . . .. . %

    20 10 30 504

    175 17 5 RA

    Slowpoke

    . . . .. . %

    05 20 12 094

    055 5 5

    RB

    2. Para cada empresa calcule la desviacin de cada posible rendimiento con base en el rendimiento esperado que se proporcion antes. Este dato se presenta en la tercera co-lumna de la tabla 11.1.

    3. Las desviaciones que hemos calculado son indicaciones de la dispersin de los rendi-mientos. Sin embargo, debido a que algunos son positivos y otros negativos, es difcil trabajar con ellos de esta manera. Por ejemplo, si simplemente se sumaran todas las des-viaciones de una sola compaa, la suma total sera de cero.

    Para darle mayor significado a las desviaciones multiplicamos cada una de ellas por s misma. Ahora todos los nmeros son positivos, lo cual implica que su suma debe ser tambin positiva. Las desviaciones elevadas al cuadrado se presentan en la ltima co-lumna de la tabla 11.1.

    4. Para cada empresa calcule el promedio de los cuadrados de las desviaciones, el cual es la varianza:1

    Supertech. . . .

    .140625 005625 015625 105625

    4066875

    11.2

    1 En este ejemplo, los cuatro estados dan lugar a cuatro posibles resultados igualmente probables. Para calcular el ren-dimiento esperado se saca un promedio ponderado de las probabilidades de los posibles resultados. Para Supertech:

    .25 3 (2.20) 1 .25 3 .10 1 .25 3 .30 1 .25 3 .50 5 .175

    Debido a que los cuatro posibles resultados son del mismo modo probables, para simplificar podemos sumar los resul-tados posibles y dividir entre 4. Si los resultados no tienen las mismas probabilidades, esta simplificacin no funciona.

    Se requiere el mismo tipo de clculo para la varianza. Sacamos un promedio ponderado de las probabilidades de las desviaciones elevadas al cuadrado. Para Supertech:

    .25 3 .140625 1 .25 3 .005625 1 .25 3 .015625 1 .25 3 .105625 5 .066875

    Esto es lo mismo que sumar las posibles desviaciones elevadas al cuadrado y dividir el resultado entre 4.Si usamos datos histricos (como en el captulo 10), el divisor siempre es el nmero de observaciones histricas

    menos 1.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 331

    (1) Estado de la economa

    (2) Tasa de

    rendimiento

    (3) Desviacin respecto al rendimiento esperado

    (4) Valor del cuadrado de la desviacin

    Supertech* (Rendimiento esperado5.175)RAt (RAt2

    __RA) (RAt2

    __RA)

    2

    Depresin 2.20 2.375(52.202.175)

    .140625[5(2.375)2]

    Recesin .10 2.075 .005625

    Normal .30 .125 .015625

    Auge .50 .325 .105625

    .267500

    Slowpoke (Rendimiento esperado 5 .055)RBt (RBt2

    __RB) (RBt2

    __RB)

    2

    Depresin .05 2.005(5.052.055)

    .000025[5(2.005)2]

    Recesin .20 .145 .021025

    Normal 2.12 2.175 .030625

    Auge .09 .035 .001225

    .052900

    Slowpoke

    . . . ..

    000025 021025 0 30625 0012254

    013225

    De este modo, la varianza de Supertech es de .066875, mientras que la de Slowpoke es de .013225.

    5. Para calcular la desviacin estndar sacamos la raz cuadrada de la varianza:

    Supertech

    . . . %066875 2586 25 865 5

    Slowpoke

    . . . %013225 1150 11 505 5

    Algebraicamente, la frmula de la varianza se puede expresar como:

    Var Valor esperado deR R R( ) ( ) 2donde

    __ R es el rendimiento esperado del valor y R es el rendimiento real.

    Tabla 11.1 Clculo de la varianza y la desviacin estndar

    *. . . .

    . . %

    .

    R

    R

    A

    A A

    ( )

    20 10 30 504

    175 17 5

    262Var 7754

    066875

    066875 2586 25 86

    .

    . . . %

    .

    SD R

    R

    A A

    B

    ( )

    005 20 12 094

    055 5 5

    05294

    02

    . . .. . %

    ..Var RB B( ) 113225

    013225 1150 11 50SD RB B( ) . . . %

  • 332 Parte III Riesgo

    Un examen rpido del clculo de cuatro pasos de la varianza deja en claro la razn por la que es una medida de la dispersin de la muestra de rendimientos. En cada observacin ele-vamos al cuadrado la diferencia entre el rendimiento real y el esperado. Luego se saca un promedio de estas diferencias elevadas al cuadrado. El hecho de elevar todas las diferencias al cuadrado las hace positivas. Si usamos las diferencias entre cada rendimiento y el rendi-miento esperado y luego las promediamos, obtendramos cero porque los rendimientos que se encuentran por arriba de la media cancelaran los que estn por debajo de ella.

    No obstante, debido a que la varianza se expresa en trminos elevados al cuadrado es difcil interpretarla. La desviacin estndar tiene una interpretacin mucho ms sencilla, la cual se proporcion en la seccin 10.5. La desviacin estndar es simplemente la raz cuadra-da de la varianza. La frmula general de la desviacin estndar es:

    SD VarR R( ) ( )5

    Covarianza y correlacinLa varianza y la desviacin estndar miden la variabilidad de cada una de las acciones. Aho-ra deseamos medir la relacin entre el rendimiento de una accin y el rendimiento de otra, es decir, entran en juego la covarianzay la correlacin.

    La covarianza y la correlacin miden la manera en que se relacionan dos variables aleato-rias. Explicamos estos trminos mediante la ampliacin del ejemplo de Supertech y Slowpoke.

    Clculo de la covarianza y la correlacin YahemosdeterminadolosrendimientosesperadosylasdesviacionesestndartantodeSupertechcomodeSlowpoke.(Losrendimientosesperadossonde.175y.055deSupertechySlowpoke,respectivamente.Lasdesviacionesestndarsonde.2586yde.1150,encadacaso.)Adems,calculamosladesviacindecadarendimientoposibleenrelacinconelrendimientoespera-dodecadaempresa.Conbaseenestosdatos,podemoscalcularlacovarianzaendospasos.Senecesitaunpasoadicionalparacalcularlacorrelacin.

    1. Paracadaestadodelaeconoma,multipliqueladesviacindeSupertechconrespectoasurendimientoesperadoyladesviacindeSlowpokeconrespectoasurendimientoesperadoenformaconjunta.Porejemplo,latasaderendimientodeSupertechenunadepresinesde2.20,lacualesde2.375(52.20.175)respectodesurendimientoesperado.LatasaderendimientodeSlowpokeenunadepresinesde.05,locualesde2.005(5.052.055)respectodesurendimientoesperado.Sisemultiplicanlasdosdesviacionesseobtiene.001875[5(2.375)3(2.005)].Losclculosrealesseproporcionanenlaltimacolumnadelatabla11.2.Esteprocedimientosepuedeescribiralgebraicamentecomo:

    R R R RAt A Bt B ( ) ( ) (11.1)dondeRAtyRBtsonlosrendimientosdeSupertechySlowpokeenelestado

    __RAy

    __RBsonlosrendimientos

    esperadosdelosdosttulos.

    2. Calculeelvalorpromediodeloscuatroestadosenlaltimacolumna.Estepromedioeslacovarianza,quees:2

    AB A BR R

    Cov ,.

    .( ) 01954

    004875

    ObservequerepresentamoslacovarianzaentreSupertechySlowpokeyaseacomoCov(RA,RB)ocomosAB.Laecuacin11.1ilustralaintuicindelacovarianza.Supongaque,engeneral,elrendimientodeSuper-techseencuentraporarribadesupromediocuandoeldeSlowpokeseencuentraporarribadesuprome-dioyque,deordinario,elrendimientodeSupertechestpordebajodesupromediocuandoeldeSlowpoke

    EJEmplO 11.1

    2 Como con la varianza, dividimos entre N (4 en este ejemplo) porque los cuatro estados dan lugar a cuatro posibles resultados igualmente probables.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 333

    Estado de la

    economa

    Tasa de rendimiento

    de Supertech

    RAt

    Desviacin respecto al rendimiento

    esperado (RAt 2

    __ RA)

    Tasa de rendimiento de Slowpoke

    RBt

    Desviacin respecto al rendimiento esperado (RBt 2

    __ RB)

    Producto de las desviaciones

    (RAt 2 __ RA) 3 (RBt 2

    __ RB)

    (Rendimientoesperado5.175) (Rendimientoesperado5.055)

    Depresin 2.20 2.375(52.202.175)

    .05 2.005(5.052.055)

    .001875(52.37532.005)

    Recesin .10 2.075 .20 .145 2.010875(52.0753.145)

    Normal .30 .125 2.12 2.175 2.021875(5.12532.175)

    Auge .50 .325 .09 .035 .011375(5.3253.035)

    .70 .22 2.0195

    estpordebajodesupromedio.Estomuestraunadependenciapositivaorelacinpositivaentrelosdosrendimientos.Observe que el trmino de la ecuacin 11.1 ser positivo en cualquier estado dondeambosrendimientosseencuentrenporarribadesuspromedios.Adems,laecuacin11.1serpositivaencualquierestadodondeambostrminosseaninferioresasuspromedios.Porlotanto,unarelacinpositivaentrelosdosrendimientosdarlugaraunvalorpositivodelacovarianza.

    Porelcontrario,supongaqueelrendimientodeSupertechseencuentrageneralmenteporarribadesupromediocuandoeldeSlowpokeestpordebajodesupromedioyque,porlocomn,elrendimientodeSupertechseencuentrapordebajodesupromediocuandoeldeSlowpokeseubicaporarribadesupro-medio.Estodemuestraunadependencianegativaorelacinnegativaentrelosdosrendimientos.Observequeeltrminodelaecuacin11.1sernegativoencualquierestadodondeunrendimientoestporarribadesupromedioyelotrorendimientoestpordebajodesupromedio.Porlotanto,unarelacinnegativaentrelosdosrendimientosdarlugaraunvalornegativodelacovarianza.

    Porltimo,supongaquenoexisterelacinentrelosdosrendimientos.Enestecaso,sabersielrendimien-todeSupertechseencuentraporarribaopordebajodesurendimientoesperadononosdicenadaacercadelrendimientodeSlowpoke.Enconsecuencia,enlafrmuladelacovarianzanohabrtendenciaparaquelasdesviacionesseanpositivasonegativasenformaconjunta.Enpromedio,tendernacompensarseentresyacancelarse,locualharquelacovarianzaseadecero.

    Desdeluego,aunsilosdosrendimientosnoestnrelacionadosentres,lafrmuladelacovarianzanoserexactamenteigualaceroenningncasoreal.Estosedebealerrordemuestreo;laaleatoriedadporsmismaharqueelclculoseapositivoonegativo.Sinembargo,enelcasodeunamuestrahistricaquesealosuficientementegrande,silosdosrendimientosnoestnrelacionadosentres,sedebeesperarquelacovarianzatengaunvalorcercanoacero.

    Lafrmuladelacovarianzaparececaptarloqueestamosbuscando.Silosdosrendimientosestnpositi-vamenterelacionadosentres,tendrnunacovarianzapositiva,ysiestnnegativamenterelacionadosentres,lacovarianzasernegativa.Porltimo,yloqueesmuyimportante,sinoestnrelacionados,lacovarianzadebeserdecero.

    (contina)

    Tabla 11.2 Clculo de la covarianza y la correlacin

    AB A B

    AB A B

    R R

    R R

    Cov

    Corr

    ,.

    .

    ,

    ( )

    ( )

    01954

    004875

    CCov

    SD SD

    R R

    R RA B

    A B

    , .. .

    .( )

    ( ) ( )

    0048752586 1150

    16639

  • 334 Parte III Riesgo

    Lafrmuladelacovarianzasepuedeescribiralgebraicamentecomo:

    sAB5Cov(RA,RB)5Valoresesperadosde[(RA2__RA)3(RB2

    __RB)]

    donde__RAy

    __RBsonlosrendimientosesperadosdelosdosvalores,yRAyRBsonlosrendimientosobservados.

    Elordendelasdosvariablesnoesdeimportancia.Esdecir,lacovarianzadeAconBesigualalacovarianzadeBconA.EstarelacinsepuedeexpresardeunamaneramsformalcomoCov(RA,RB)5Cov(RB,RA)osAB5sBA.

    Lacovarianzaquesecalculesde2.004875.Unnmeronegativocomosteimplicaqueelrendimientodeunaaccinpodraubicarseporarribadesupromediocuandoelrendimientode laotrasesitepordebajodesupromedio,yviceversa.Sinembargo,lamagnituddelnmeroesdifcildeinterpretar.Aligualquelacifradevarianza,lacovarianzaestenunidadesdedesviacinelevadasalcuadrado.Hastaquesepuedaponerenperspectiva,nosepuedesabercmointerpretarestefenmeno.

    Resolvemosesteproblemamedianteelclculodelacorrelacin.

    3. Paracalcularlacorrelacindividalacovarianzaentrelasdesviacionesestndardeambosvalores.Enelejemplo,setiene:

    AB A B

    A B

    A B

    R RR R

    CorrCov

    ,, .

    . .( ) ( )

    0048752586 11150

    1639. (11.2)

    dondesAysBsonlasdesviacionesestndardeSupertechySlowpoke,respectivamente.ObservequelacorrelacinentreSupertechySlowpokeserepresentayaseacomoCorr(RA,RB)oAB.Comoenelcasodelacovarianza,elordendelasdosvariablesnoesdeimportancia.Esdecir,lacorrelacindeAconBesigualalacorrelacindeBconA.Deunamaneramsformal,Corr(RA,RB)5Corr(RB,RA)oAB5BA.

    Figura 11.1 Ejemplos de diferentes coeficientes de correlacin: grficas que representan en forma separada los rendimientos de dos valores a travs del tiempo

    0

    Rendimientos

    Tiempo Tiempo

    Tiempo

    0

    AB

    0

    Tanto el rendimiento del valor A comoel rendimiento del valor B son mayores que el promedio al mismo tiempo. Tanto el rendimientodel valor A como el rendimiento del valor Bson ms bajos que el promedio al mismo tiempo.

    El valor A tiene un rendimiento superioral promedio cuando el valor B tiene unrendimiento inferior al promedio, y viceversa.

    AB

    El rendimiento del valor A no tiene ningunarelacin con el rendimiento del valor B.

    A

    B

    Correlacin positiva perfectaCorr(RA, RB) 1

    Correlacin negativa perfectaCorr(RA, RB) 1

    Correlacin de ceroCorr(RA, RB) 0

    Rendimientos Rendimientos

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 335

    Rendimiento y riesgo del portafolioSuponga que un inversionista ha realizado estimaciones de los rendimientos esperados y las desviaciones estndar de ciertos valores y las correlaciones entre los valores. Cmo elige el inversionista la mejor combinacin o portafoliode valores que deber mantener? Por supues-to, al inversionista le gustara un portafolio con un alto rendimiento esperado y una desvia-cin estndar baja del rendimiento. Por lo tanto, vale la pena considerar:

    1. La relacin entre el rendimiento esperado de valores individuales y el rendimiento espe-rado de un portafolio formado de estos valores.

    2. La relacin entre las desviaciones estndar de valores individuales, la correlacin entre estos valores y la desviacin estndar de un portafolio compuesto por estos valores.

    Para analizar estas dos relaciones se emplear el mismo ejemplo de Supertech y Slowpoke. Los clculos relevantes se presentan a continuacin.

    Rendimiento esperado de un portafolioLa frmula del rendimiento esperado de un portafolio es muy sencilla:

    Elrendimientoesperadodeunportafolioesunpromedioponderadodelosrendimientosespera-dosdelosvaloresindividuales.

    Datos relevantes del ejemplo de Supertech y Slowpoke

    Concepto Smbolo Valor

    RendimientoesperadodeSupertech __RSuper .175517.5%

    RendimientoesperadodeSlowpoke __RSlow .05555.5%

    VarianzadeSupertech sSuper2 .066875

    VarianzadeSlowpoke sSlow2 .013225

    DesviacinestndardeSupertech sSuper .2586525.86%

    DesviacinestndardeSlowpoke sSlow .1150511.50%

    CovarianzaentreSupertechySlowpoke sSuper,Slow 2.004875

    CorrelacinentreSupertechySlowpoke Super,Slow 2.1639

    11.3

    Debidoaqueladesviacinestndarsiempreespositiva,elsignodelacorrelacinentreambasvaria-blesdebeserelmismoqueeldelacovarianzaentrelasdosvariables.Silacorrelacinespositiva,sedicequelasvariablesestnpositivamentecorrelacionadas;siesnegativa,sedicequeestnnegativamentecorrela-cionadas;siesdecero,sedicequenoestncorrelacionadas.Adems,sepuededemostrarquelacorrelacinessiempreentre11y21.Estosedebealprocedimientodeestandarizacinqueresultadedividirentrelasdosdesviacionesestndar.

    Sepuedecompararlacorrelacinentrediferentesparesdevalores.Porejemplo,sehaobservadoquelacorrelacinentreGeneralMotorsyFordesmuchomsaltaquelacorrelacinentreGeneralMotorseIBM.Porlotanto,sepuedeafirmarqueelprimerpardevaloresestmsinterrelacionadoqueelsegundopar.

    Lafigura11.1muestralostrescasosdereferenciadedosactivos,AyB.Lafiguramuestradosactivosconcorrelacionesderendimientosde11,21y0.Estoimplicaunacorrelacinpositivaperfecta,unacorrelacinnegativaperfectaylaausenciadecorrelacin,respectivamente.Lasgrficasdelafigurarepresentanlosren-dimientosseparadosdelosdosvaloresatravsdeltiempo.

  • 336 Parte III Riesgo

    Considere ahora dos acciones, cada una con un rendimiento esperado de 10%. El rendi-miento esperado de un portafolio compuesto por estas dos acciones debe ser de 10%, indepen-dientemente de las proporciones de las dos acciones. Este resultado puede ser obvio en este momento, pero se volver ms importante despus. El resultado implica que el rendimiento esperado no se reduce o disipa al invertir en cierto nmero de valores. Ms bien, el rendimien-to esperado del portafolio es tan slo un promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos individuales que conforman el portafolio.

    Varianza y desviacin estndar de un portafolioLa varianza La frmula de la varianza de un portafolio compuesto por dos valores, A y B, es:

    Varianzadelportafolio

    Var portafolio( ) X X X XA A A B A B B B2 2 2 22 .Observe que existen tres trminos del lado derecho de la ecuacin. El primero es la varianza de A (s2A), el segundo es la covarianza entre los dos valores (sA,B) y el tercero es la varianza de B (s2B). (Como ya se afirm en este captulo, sA,B = sB,A. Es decir, el orden de las variables no es relevante cuando se expresa la covarianza entre dos valores.)

    La frmula indica un aspecto de importancia. La varianza de un portafolio depende tanto de las varianzas de los valores individuales como de la covarianza entre los dos valores. La varianza de un valor mide la variabilidad del rendimiento de un valor individual. La cova-rianza mide la relacin entre los dos valores. Para varianzas dadas de los valores individuales, una relacin o covarianza positiva entre los dos valores aumenta la varianza de la totalidad del portafolio. Una relacin o covarianza negativa entre los dos valores disminuye la varianza de la totalidad del portafolio. Este importante resultado parece cuadrar con el sentido comn. Si uno de sus valores tiende a aumentar cuando el otro disminuye, o viceversa, se puede decir que los dos valores se compensan. As, usted obtiene lo que en finanzas se denomina una

    EJEmplO 11.2Rendimientos esperados del portafolio ConsidereelcasodeSupertechySlowpoke.Apartirdenues-trosclculosanteriores,encontramosquelosrendimientosesperadosdeestosdosvaloressonde17.5%y5.5%,respectivamente.

    Elrendimientoesperadodeunportafoliocompuestoporestosdosvaloressepuedeescribircomo:

    Rendimientoesperadodelportafolio5XSuper(17.5%)1XSlow(5.5%)5__RP

    dondeXSupereselporcentajedelportafolioenSupertechyXSloweselporcentajedelportafolioenSlowpoke.Siuninversionistacon100dlaresinvierte60enSupertechy40enSlowpoke,elrendimientoesperadodelportafoliosepuedeescribircomo:

    Rendimientoesperadodelportafolio=.6317.5%1.435.5%512.7%

    Algebraicamente,podemospuedeescribir:

    Rendimientoesperadodelportafolio5XA__RA1XB

    __RB5

    __RP (11.3)

    dondeXAyXBsonlasproporcionesdelosactivosAyB,respectivamente,enelportafoliototal.(Debidoaqueelinversionistapuedeinvertirsloendosvalores,XA1XBdebeseriguala1o100%.)

    __RAy

    __RBsonlos

    rendimientosesperadosdelosdosvalores.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 337

    cobertura, y el riesgo de la totalidad del portafolio ser bajo. No obstante, si los dos valores aumentan o disminuyen en forma conjunta, no hay cobertura. Por lo tanto, el riesgo de la totalidad del portafolio ser ms alto.

    La frmula de la varianza de los dos valores, Super y Slow, es:

    Var portafolio Super Super Super Slow( ) X X X Sup2 2 2 eer X,Slow Slow Slow 2 2 (11.4)Dado el supuesto anterior de que un individuo con 100 dlares invierte 60 en Supertech

    y 40 en Slowpoke, XSuper 5 .6 y XSlow 5 .4. Con base en este supuesto y los datos relevantes de los clculos anteriores, la varianza del portafolio es de:

    .023851 5 .36 3 .066875 1 2 3 [.6 3 .4 3 (2.004875)] 1 .16 3 .013225 (11.4)

    Mtodo matricial Por otra parte, la ecuacin 11.4 se puede expresar en el siguiente formato matricial:

    Supertech Slowpoke

    Supertech X 2Supers2Super

    .0240755.363.066875XSuperXSlowsSuper,Slow

    2.001175.63.43(2.004875)

    Slowpoke XSuperXSlowsSuper,Slow2.001175.63.43(2.004875)

    X2Slows2Slow

    .0021165.163.013225

    La matriz tiene cuatro cuadros. Se pueden sumar los trminos en los cuadros para obtener la ecuacin 11.4, la varianza de un portafolio compuesto por los dos valores. El trmino en la esquina superior izquierda se relaciona con la varianza de Supertech. El trmino en la es-quina inferior derecha se relaciona con la varianza de Slowpoke. Los otros dos cuadros con-tienen el trmino que se relaciona con la covarianza. Estos dos cuadros son idnticos, lo cual indica la razn por la que el trmino de la covarianza se multiplica por 2 en la ecuacin 11.4.

    En este momento, con frecuencia a los estudiantes les parece que el mtodo matricial es ms confuso que la ecuacin 11.4. Sin embargo, este mtodo se puede generalizar fcilmente a ms de dos valores, una tarea que se realiza ms adelante en este captulo.

    Desviacin estndar de un portafolio Dada la ecuacin 11.4, ahora podemos determi-nar la desviacin estndar del rendimiento del portafolio. sta es:

    P 5 5 5

    5

    SD portafolio Var portafolio( ) ( ) ..

    023851

    1544 55 15 44. % (11.5)

    La interpretacin de la desviacin estndar del portafolio es la misma que la interpretacin de la desviacin estndar de un valor individual. El rendimiento esperado del portafolio es de 12.7%. Un rendimiento de 22.74% (5 12.7% 2 15.44%) es una desviacin estndar por deba-jo de la media, y un rendimiento de 28.14% (5 12.7% 1 15.44%) es una desviacin estndar por arriba de la media. Si el rendimiento del portafolio est normalmente distribuido, se pre-sentar un rendimiento entre 22.74% y 128.14% cerca de 68% de las veces.3

    3 Slo existen cuatro rendimientos igualmente probables de Supertech y Slowpoke, por lo que ninguno de los dos valores tiene distribucin normal. Por consiguiente, las probabilidades seran ligeramente distintas en el ejemplo.

  • 338 Parte III Riesgo

    El efecto de diversificacin Es ilustrativo comparar la desviacin estndar del portafolio con la desviacin estndar de los valores que lo componen. El promedio ponderado de las desviaciones estndar de los valores individuales es:

    Promedio ponderado de las desviaciones estndar 5 XSupersSuper 1 XSlowsSlow .2012 5 .6 3 .2586 1 .4 3 .115

    (11.6)

    Uno de los resultados ms importantes en este captulo es el que se relaciona con la diferencia entre las ecuaciones 11.5 y 11.6. En nuestro ejemplo, la desviacin estndar del portafolio es inferior al promedio ponderado de las desviaciones estndar de los valores que lo conforman.

    Antes puntualizamos que el rendimiento esperado del portafolio es un promedio ponde-rado de los rendimientos esperados de los valores individuales. Por lo tanto, obtenemos un tipo de resultado de la desviacin estndar de un portafolio diferente del que logramos del rendimiento esperado de un portafolio.

    Nuestro resultado de la desviacin estndar de un portafolio se debe a la diversifica-cin. Por ejemplo, Supertech y Slowpoke muestran una correlacin ligeramente negativa ( 5 2.1639). Es probable que el rendimiento de Supertech sea un poco inferior al promedio si el rendimiento de Slowpoke es superior al promedio. De manera similar, el rendimiento de Supertech podra situarse un poco por arriba del promedio si el rendimiento de Slowpoke es inferior al promedio. Por lo tanto, la desviacin estndar de un portafolio compuesto por los dos valores es inferior al promedio ponderado de las desviaciones estndar de los dos portafolios.

    Nuestro ejemplo tiene una correlacin negativa. Como es claro, se lograr un menor beneficio de la diversificacin si los dos valores muestran una correlacin positiva. Qu tan alta debe ser una correlacin positiva antes de que se desvanezcan todos los beneficios de la diversificacin?

    Para responder esta pregunta escribamos de nuevo la ecuacin 11.4 en trminos de corre-lacin en lugar de covarianza. La covarianza se puede volver a escribir como:4

    sSuper,Slow 5 Super,SlowsSupersSlow (11.7)

    Est frmula afirma que la covarianza entre dos valores cualesquiera es simplemente la co-rrelacin entre los dos valores multiplicada por las desviaciones estndar de cada uno. En otras palabras, la covarianza incorpora tanto 1) la correlacin entre los dos activos como 2) la variabilidad de cada uno de los dos valores medidos por la desviacin estndar.

    Con base en los clculos que presentamos antes en este captulo sabemos que la corre-lacin entre los dos valores es de 2.1639. Dadas las varianzas que se usaron en la ecuacin 11.4, las desviaciones estndar son de .2586 y de .115 para Supertech y Slowpoke, respectiva-mente. Por lo tanto, la varianza de un portafolio se puede expresar como sigue:

    Varianzadelrendimientodeunportafolio5 X 2Supers

    2Super 1 2XSuperXSlowSuper, SlowsSupersSlow 1 X

    2Slows

    2Slow

    .023851 5 .36 3 .066875 1 2 3 .6 3 .4 3 (2.1639) (11.8)

    3 .2586 3 .115 1 .16 3 .013225

    El trmino medio del lado derecho se escribe ahora en trminos de la correlacin, , y no de la covarianza.

    Suponga que Super, Slow 5 1 es el valor ms alto posible de la correlacin. Adems, que todos los dems parmetros del ejemplo son los mismos. La varianza del portafolio es:

    Varianza del rendimiento del portafolio

    5 .040466 5 .36 3 .066875 1 2 3 (.6 3 .4 3 1 3 .2586 3 .115) 1 .16 3 .013225

    4 Como sucede con la covarianza, el orden de los dos valores no es relevante cuando expresamos la correlacin entre los dos valores. Es decir, Super,Slow 5 Slow,Super.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 339

    Activo Desviacin estndar

    ndiceS&P500 14.69%

    VerizonCommunications 28.23

    FordMotorCo. 38.28

    WaltDisneyCo. 28.13

    GeneralElectricCo. 22.52

    IBM 31.45

    McDonalds 25.53

    Macys 45.35

    ContinentalAirlines 63.60

    Amazon 78.05

    La desviacin estndar es:

    Desviacin estndar del rendimiento del portafolio 5 5 5. . . %040466 2012 20 12 (11.9)

    Observe que las ecuaciones 11.9 y 11.6 son iguales. Es decir, la desviacin estndar del rendimiento de un portafolio es igual al promedio ponderado de las desviaciones estndar de los rendimientos individuales cuando 5 1. La inspeccin de la ecuacin 11.8 indica que la varianza y, por lo tanto, la desviacin estndar del portafolio deben disminuir a medida que la correlacin disminuye por debajo de 1. Esto conduce al siguiente resultado:

    Siemprequer 1,ladesviacinestndardeunportafoliodedosvaloresesinferior alpromedioponderadodelasdesviacionesestndardelosvaloresindividuales.

    En otras palabras, el efecto de diversificacin aplica siempre que la correlacin no sea perfecta (siempre que 1). Por consiguiente, nuestro ejemplo de Supertech y Slowpoke es exagerado. Hemos ilustrado la diversificacin por medio de un ejemplo con correlacin nega-tiva. Pudimos haber ilustrado la diversificacin a travs de un ejemplo con correlacin positiva, en tanto no fuera una correlacin positiva perfecta.

    Extensin a muchos activos La idea precedente se puede ampliar al caso de muchos activos. Es decir, en tanto las correlaciones entre pares de valores sean inferiores a 1, la des-viacin estndar de un portafolio de muchos activos es inferior al promedio ponderado de las desviaciones estndar de los valores individuales.

    Considere ahora la tabla 11.3, la cual muestra la desviacin estndar del ndice Standard & Poors 500 y las desviaciones estndar de algunos de los valores individuales que forman parte del ndice en un periodo reciente de 10 aos. Observe que todos los valores individuales de la tabla tienen desviaciones estndar ms altas que la del ndice. En general, las desviaciones estndar de la mayora de los valores de un ndice estarn por arriba de la desviacin estndar del ndice mismo, aunque algunos de ellos podran tener desviaciones estndar ms bajas.

    Conjunto eficiente de dos activosNuestros resultados de los rendimientos esperados y las desviaciones estndar se presentan grficamente en la figura 11.2. La figura muestra un punto denominado Slowpoke y otro titulado Supertech. Cada punto representa tanto el rendimiento esperado como la desviacin estndar de un valor. Como puede verse, Supertech tiene tanto un rendimiento esperado como una desviacin estndar mayores.

    11.4

    Tabla 11.3 Desviaciones estndar del ndice Standard & poors 500 y varias acciones incluidas en el ndice

    Siemprequelacorrelacinentreparesdevaloresseainferiora1,ladesviacinestndardeunndiceserinferioralpromedioponderadodeladesviacinestndardelosvaloresindividualesdentrodelndice.

  • 340 Parte III Riesgo

    El cuadro, o , que se presenta en la grfica representa un portafolio con 60% invertido en Supertech y 40% en Slowpoke. Recuerde que anteriormente se calcul tanto el rendimiento esperado como la desviacin estndar de este portafolio.

    La eleccin de 60% en Supertech y 40% en Slowpoke es slo uno de un nmero infinito de portafolios que se pueden crear. La lnea curva de la figura 11.3 representa el conjunto de portafolios.

    Considere el portafolio 1. ste es un portafolio formado por 90% de Slowpoke y 10% de Supertech. Debido a que est inclinado de una manera tan fuerte hacia Slowpoke, apa-rece prximo al punto de Slowpoke de la grfica. El portafolio 2 est ms alto en la curva porque se compone de 50% de Slowpoke y 50% de Supertech. El portafolio 3 est cerca del punto de Supertech de la grfica porque se forma de 90% de Supertech y 10% de Slowpoke.

    Existen algunos aspectos de importancia acerca de esta grfica:

    1. Anteriormente argumentamos que el efecto de diversificacin ocurre siempre que la correlacin entre los dos valores sea inferior a 1. La correlacin entre Supertech y Slowpoke es de 2.1639. La lnea recta de la grfica representa los puntos que se habran generado si el coeficiente de correlacin entre los dos valores hubiera sido 1. Observe que la lnea curva siempre se sita a la izquierda de la lnea recta. Considere el punto 1, que representa un portafolio compuesto por 90% de Slowpoke y 10% de Supertech si la correlacin entre los dos fuera exactamente de 1. No existe efecto de diversificacin si 5 1. Sin embargo, el efecto de diversificacin aplica a la lnea curva porque el punto 1 tiene el mismo rendimiento esperado que el punto 1, pero tiene una desviacin estn-dar ms baja. (Los puntos 2 y 3 se omiten para no crear confusin en la figura 11.3.)

    Aunque la lnea recta y la lnea curva estn representadas en la figura 11.3, no exis-ten de manera simultnea en el mismo mundo. O bien 5 2 .1639 y la curva existe o 5 1 y la lnea recta existe. En otras palabras, aunque un inversionista puede elegir entre diferentes puntos sobre la curva si 5 2 .1639, no puede elegir entre los puntos sobre la curva y los puntos sobre la recta.

    2. El punto MV representa el portafolio de varianza mnima, es decir, el portafolio que tiene la varianza ms baja posible. Por definicin, este portafolio tambin debe tener la desviacin estndar ms baja posible. (El trmino portafolio de varianza mnima es

    Figura 11.2 Rendimientos esperados y desviaciones estndar de Supertech, Slowpoke y un portafolio compuesto por 60% de Supertech y 40% de Slowpoke

    Rendimiento esperado (%)

    17.5

    12.7

    5.5

    11.50 15.44 25.86Desviacinestndar (%)

    Supertech

    Slowpoke

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 341

    estndar en las publicaciones sobre el tema, y por esto lo usaremos en el texto. En reali-dad, tal vez sera mejor considerar la desviacin estndar mnima porque la desviacin estndar, y no la varianza, se mide en el eje horizontal de la figura 11.3.)

    3. Un individuo que est estudiando la posibilidad de hacer una inversin en el portafolio de Supertech y Slowpoke enfrenta un conjuntodeoportunidado conjuntofactiblerepre-sentado por la lnea curva de la figura 11.3. Es decir, puede lograr cualquier punto so-bre la curva si selecciona la mezcla apropiada entre los dos valores. No puede alcanzar ningn punto por arriba de la curva porque no puede incrementar el rendimiento de los valores, reducir las desviaciones estndar de los valores o disminuir la correlacin entre los dos valores. Tampoco puede alcanzar puntos por debajo de la curva porque no puede disminuir los rendimientos de los valores individuales, aumentar las desviaciones estndar de los valores o incrementar la correlacin. (Desde luego, no querra alcanzar puntos por debajo de la curva, aunque pudiera hacerlo.)

    Si fuera ms o menos tolerante al riesgo, podra elegir el portafolio 3. (De hecho, podra incluso elegir el punto final e invertir todo su dinero en Supertech.) Un inver-sionista con menos tolerancia al riesgo podra elegir el portafolio 2. Por su parte, uno que quisiera el menor riesgo posible elegira MV, el portafolio de varianza mnima o de desviacin estndar mnima.

    4. Observe que la curva se arquea hacia atrs entre el punto de Slowpoke y MV. Esto indi-ca que, para una porcin del conjunto factible, la desviacin estndar realmente dismi-nuye a medida que aumenta el rendimiento esperado. Con frecuencia, los estudiantes se

    Figura 11.3 Conjunto de portafolios compuestos por tenencias de acciones de Supertech y Slowpoke (la correlacin entre los dos valores es de 2.1639)

    XSupertech 60%XSlowpoke 40%

    Supertech

    Slowpoke

    11.50 25.86

    5.5

    17.5

    2

    3

    1 1

    MV

    El portafolio 1 est compuesto por 90% de Slowpoke y 10% de Supertech ( .1639).El portafolio 2 est compuesto por 50% de Slowpoke y 50% de Supertech ( .1639).El portafolio 3 est compuesto por 10% de Slowpoke y 90% de Supertech ( .1639).El portafolio 1 est compuesto por 90% de Slowpoke y 10% de Supertech ( 1).El punto MV denota el portafolio de varianza mnima. ste es el portafolio que tiene lavarianza ms baja posible. Por definicin, el mismo portafolio tambin debe tenerla desviacin estndar ms baja posible.

    Rendimiento esperadodel portafolio (%)

    Desviacinestndar delrendimientodel portafolio (%)

  • 342 Parte III Riesgo

    preguntan cmo puede un incremento de la proporcin del valor riesgoso, en este caso Supertech, propiciar una reduccin del riesgo del portafolio.

    Este sorprendente resultado se debe al efecto de diversificacin. Los rendimientos de los dos valores estn negativamente correlacionados entre s. Un valor tiende a au-mentar cuando el otro disminuye y viceversa. Por lo tanto, la adicin de una pequea cantidad de Supertech acta como cobertura para un portafolio compuesto slo de Slowpoke. El riesgo del portafolio se reduce, lo que implica el arqueamiento hacia atrs. En realidad, el arqueamiento hacia atrs siempre ocurre si 0. Puede ocurrir o no cuando 0. Desde luego, la curva se arquea hacia atrs slo en una porcin de su longitud. A medida que contina aumentando el porcentaje de Supertech en el porta-folio, finalmente la alta desviacin estndar de este valor ocasiona que la desviacin estndar de la totalidad del portafolio aumente.

    5. Ningn inversionista estara interesado en mantener un portafolio con un rendimiento esperado inferior al del portafolio de varianza mnima. Por ejemplo, ningn inversio-nista elegira el portafolio 1, que tiene un rendimiento esperado menor pero una mayor desviacin estndar que el portafolio de varianza mnima. Decimos que los portafolios que tienen las caractersticas del portafolio 1 estn dominados por el portafolio de va-rianza mnima. Aunque la totalidad de la curva de Slowpoke a Supertech se denomina conjunto factible, los inversionistas consideran slo el arco de la curva que va de MV a Supertech. Por lo tanto, la curva de MV a Supertech se denomina conjuntoeficienteo fronteraeficiente.

    La figura 11.3 representa el conjunto de oportunidad donde 5 2.1639. Vale la pena exa-minar la figura 11.4, la cual muestra diferentes curvas para distintas correlaciones. Como puede verse, entre ms baja sea la correlacin, ms se arquear la curva. Esto indica que el efecto de diversificacin aumenta a medida que disminuye. La mayor inclinacin ocurre en el caso lmi-te donde 5 21. sta es una correlacin negativa perfecta. Aunque este caso extremo donde 5 21 parece fascinar a los estudiantes, tiene poca importancia prctica. La mayora de los

    Cada curva representa una correlacin diferente. Cuanto ms baja seala correlacin, ms arqueada ser la curva.

    Rendimiento esperadodel portafolio

    Desviacinestndar delrendimientodel portafolio

    1 .1639

    0

    .5

    1

    Figura 11.4 Conjuntos de oportunidades compuestos por tenencias de acciones de Supertech y Slowpoke

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 343

    Figura 11.5 Interrelacin de rendimiento y riesgo de las acciones del mundo: portafolio de acciones de Estados Unidos y otros pases

    pares de valores muestran correlaciones positivas. Las correlaciones negativas fuertes, por no hablar de las correlaciones negativas perfectas, son en verdad sucesos muy improbables.5

    Observe que existe slo una correlacin entre un par de valores. Antes dijimos que la correlacin entre Slowpoke y Supertech es de .1639. Por lo tanto, la curva de la figura 11.4 que representa esta correlacin es correcta y las otras curvas deben considerarse meramente hipotticas.

    Las grficas que hemos analizado no son meras curiosidades intelectuales. En lugar de ello, en el mundo real se pueden calcular fcilmente los conjuntos eficientes. Como ya se men-cion, los datos de los rendimientos, las desviaciones estndar y las correlaciones en general se toman de las observaciones histricas, aunque tambin se pueden usar ideas subjetivas para determinar los valores de estos parmetros. Una vez que se han determinado los pa-rmetros, se puede comprar cualquiera de una gran variedad de paquetes de cmputo para generar un conjunto eficiente. Sin embargo, la eleccin del portafolio preferido dentro del conjunto eficiente depende del usuario. Como sucede con cualquier otra decisin de impor-tancia, como qu trabajo elegir, qu casa o automvil comprar y cunto tiempo dedicar a este curso, no existe un programa de computadora para elegir el portafolio preferido.

    Se puede generar un conjunto eficiente cuando los dos activos individuales son portafo-lios en s mismos. Por ejemplo, los dos activos de la figura 11.5 son un portafolio diversificado de acciones estadounidenses y otro, tambin diversificado, de acciones extranjeras. Los ren-dimientos esperados, las desviaciones estndar y el coeficiente de correlacin se calcularon en el pasado reciente. No hubo subjetividad en el anlisis. El portafolio de acciones estado-unidenses con una desviacin estndar de cerca de .151 es menos riesgoso que el de acciones extranjeras, con una desviacin estndar de cerca de .166. Sin embargo, la combinacin de un pequeo porcentaje del portafolio de acciones extranjeras con el portafolio estadounidense

    10.5

    10

    9.5

    9

    8.5

    8

    7.5

    12 14

    Riesgo (desviacinestndar delrendimientodel portafolio)

    7

    Rendimiento totaldel portafolio (%)

    16 18

    0% E.U., 100% otros pases

    10%20%

    30%40%

    80%90%

    100% E.U.

    50%60%

    70%

    Portafolio de varianzamnima

    5 Ocurre una excepcin mayor con los valores derivados. Por ejemplo, la correlacin entre una accin y una opcin de venta sobre la accin es por lo general marcadamente negativa. Las opciones de venta se tratarn ms adelante en este texto.

  • 344 Parte III Riesgo

    reduce el riesgo, como puede verse en la naturaleza del arqueamiento hacia atrs de la curva. En otras palabras, los beneficios de diversificacin provenientes de combinar dos portafolios diferentes compensan con creces la introduccin de un conjunto de acciones ms riesgosas dentro de las tenencias. El portafolio de varianza mnima ocurre con cerca de 60% de los fondos invertidos en acciones estadounidenses y cerca de 40% en acciones extranjeras. Las adiciones de valores extranjeros ms all de este punto aumentan el riesgo de la totalidad del portafolio. La curva que se arquea hacia atrs de la figura 11.5 es informacin de importan-cia que no ha pasado inadvertida para los inversionistas institucionales estadounidenses. En aos recientes, los fondos de pensiones y otras instituciones de Estados Unidos han buscado oportunidades de inversin en ultramar.

    Conjunto eficiente de muchos valoresEl anlisis anterior se refiri a dos valores. All demostramos que una curva sencilla puede esquematizar todos los portafolios posibles. Debido a que los inversionistas generalmente tie-nen ms de dos valores, debemos examinar la misma grfica cuando se trata de ms de dos va-lores. El rea sombreada de la figura 11.6 representa el conjunto de oportunidad o conjunto factible cuando se consideran muchos valores. Dicha rea representa todas las combinaciones posibles de rendimientos esperados y desviaciones estndar de un portafolio. Por ejemplo, en un universo de 100 valores, el punto l podra representar un portafolio de, por ejemplo, 40 valores. El punto 2 representara un portafolio de 80 valores. El punto 3 podra representar un conjunto diferente de 80 valores, o los mismos 80 valores mantenidos en diferentes propor-ciones, o alguna otra cosa. Es obvio que las combinaciones son prcticamente interminables. Sin embargo, observe que todas las combinaciones posibles encajan en una regin limitada. Ningn valor o combinacin de valores puede caer fuera de la regin sombreada. Es decir, nadie puede elegir un portafolio con un rendimiento esperado superior al que proporciona la regin sombreada. Adems, nadie puede elegir un portafolio con una desviacin estndar inferior a la que se muestra en el rea sombreada. Pero todava ms sorprendente es que na-die puede elegir un rendimiento esperado por debajo del que se proporciona en esta rea. En otras palabras, los mercados de capitales realmente impiden que una persona autodestructiva asuma una prdida garantizada.6

    11.5

    Rendimientoesperado del portafolio

    Desviacinestndar delrendimientodel portafolio

    X

    R 1

    W

    2

    3

    MV

    Figura 11.6 El conjunto factible de portafolios compuestos de muchos valores

    6 Desde luego, alguien que est firmemente dispuesto a despedirse de su dinero puede conseguirlo de cualquier manera. Por ejemplo, podra hacer transacciones frecuentes sin propsito, de tal modo que las comisiones superen con creces los rendimientos positivos esperados del portafolio.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 345

    Hasta este momento, la figura 11.6 es diferente de las grficas anteriores. Cuando slo se consideran dos valores, todas las combinaciones yacen sobre una sola curva. Por el contrario, cuando se tienen muchos valores las combinaciones cubren un rea entera. Sin embargo, observe que un individuo querr estar en algn punto en el filo superior entre MV y X. El filo superior, el cual se destaca en la figura 11.6 por medio de una curva gruesa, se denomina conjunto eficiente. Cualquier punto por debajo de l recibira un rendimiento esperado ms bajo y la misma desviacin estndar que la de un punto dentro del conjunto eficiente. Por ejemplo, considere R dentro del conjunto eficiente y W directamente debajo de l. Si W con-tiene el nivel de riesgo que usted desea, debera elegir R en su lugar para recibir un rendimiento esperado ms alto.

    En el anlisis final, la figura 11.6 es muy similar a la figura 11.3. El conjunto eficiente de la figura 11.3 va del punto MV al punto Supertech. Contiene varias combinaciones de los va-lores de Supertech y Slowpoke. El conjunto eficiente de la figura 11.6 va de MV a X. Contiene varias combinaciones de muchos valores. El hecho de que la totalidad del rea sombreada aparezca en la figura 11.6, pero no en la figura 11.3, simplemente no es una diferencia impor-tante; de todos modos, ningn inversionista elegira ningn punto por debajo del conjunto eficiente de la figura 11.6.

    Hemos mencionado que un conjunto eficiente de dos valores puede encontrarse con fa-cilidad en el mundo real. La tarea se dificulta cuando se incluyen valores adicionales porque el nmero de observaciones crece. Por ejemplo, usar un anlisis para estimar los rendimientos esperados y las desviaciones estndar de, por ejemplo, 100 o 500 valores bien puede ser ago-tador, y las dificultades con las correlaciones pueden ser an ms grandes. Existen casi 5 000 correlaciones entre los pares de valores de un universo de 100 valores.

    A pesar de que gran parte de las matemticas de los clculos del conjunto eficiente se derivaron en la dcada de 1950,7 el alto costo del tiempo de computadoras restringi la apli-cacin de los principios. En aos recientes este costo se ha reducido en forma drstica. Nu-merosos paquetes de cmputo permiten el clculo de un conjunto eficiente de portafolios de tamao moderado. En todas partes, estos paquetes se venden muy bien, lo cual implica que nuestro examen es importante en la prctica.

    Varianza y desviacin estndar en un portafolio de muchos activosEn pginas anteriores se calcularon las frmulas de la varianza y la desviacin estndar en el caso de dos activos. Debido a que en la figura 11.6 se consider un portafolio de muchos activos, vale la pena calcular las frmulas de la varianza y la desviacin estndar en el caso de muchos activos. La frmula de la varianza de un portafolio de muchos activos se puede considerar como una extensin de la frmula de la varianza de dos activos.

    Para desarrollar la frmula se emplea el mismo tipo de matriz que se us en el caso de dos activos. Esta matriz se muestra en la tabla 11.4. Suponiendo que existen N activos, se escriben los nmeros 1 a N en el eje horizontal y 1 a N en el eje vertical. Esto crea una matriz de N N 5 N2 cuadros. La varianza del portafolio es la suma de los trminos en todos los cuadros.

    Considere, por ejemplo, el cuadro de la segunda hilera y la tercera columna. El trmino en el cuadro es X2X3 Cov(R2,R3). X2 y X3 son los porcentajes de la totalidad del portafolio que estn invertidos en el segundo y tercer activos, respectivamente. Por ejemplo, si un indi-viduo con un portafolio de 1 000 dlares invierte 100 dlares en el segundo activo, X2 5 10% (5 $100y$1 000). Cov(R3,R2) es la covarianza entre los rendimientos del tercer activo y los rendimientos del segundo activo. A continuacin, observe el cuadro en la tercera hilera y la segunda columna. El trmino en este cuadro es X3X2 Cov(R3,R2). Debido a que Cov(R3,R2) 5 Cov(R2,R3), ambos cuadros tienen el mismo valor. El segundo y tercer valores forman un par

    7 El tratado clsico es de Harry Markowitz, Portfolio Selection (Nueva York: John Wiley & Sons, 1959). Markowitz gan el Premio Nobel de Economa en 1990 por su trabajo sobre la teora moderna de portafolios.

  • 346 Parte III Riesgo

    Stock 1 2 3 N

    1 X 21s21 X1X2Cov(R1,R2) X1X3Cov(R1,R3) X1XNCov(R1,RN)

    2 X2X1Cov(R2,R1) X22s

    22 X2X3Cov(R2,R3) X2XNCov(R2,RN)

    3 X3X1Cov(R3,R1) X3X2Cov(R3,R2) X23s

    23 X3XNCov(R3,RN)

    .

    .

    .

    N XNX1Cov(RN,R1) XNX2Cov(RN,R2) XNX3Cov(RN,R3) X2Ns

    2N

    de acciones. De hecho, cada par de acciones aparece dos veces en la tabla: una vez en el lado inferior izquierdo y una vez en el lado superior derecho.

    Considere ahora los cuadros sobre la diagonal. Por ejemplo, el trmino en el primer cuadro sobre la diagonal es X 21 s

    21. Aqu, s

    21 es la varianza de rendimiento del primer valor.

    De este modo, los trminos diagonales de la matriz contienen las varianzas de las diferen-tes acciones. Los trminos que se encuentran fuera de la diagonal contienen las covarianzas. La tabla 11.5 relaciona los nmeros de los elementos diagonales y no diagonales con el tama-o de la matriz. El nmero de trminos diagonales (nmero de trminos de varianza) siempre es igual que el nmero de las acciones que conforman el portafolio. El nmero de trminos fuera de la diagonal (nmero de trminos de covarianza) aumenta mucho ms rpido que el nmero de trminos diagonales. Por ejemplo, un portafolio de 100 acciones tiene 9 900 trmi-nos de covarianza. Debido a que la varianza de los rendimientos de un portafolio es la suma de todos los cuadros, se puede decir que:

    Lavarianzadelrendimientodeunportafolioconmuchosvaloresdependemsdelacovarianzaentrecadaunodelosvaloresquedelasvarianzasdeellos.

    Tabla 11.4 matriz que se usa para calcular la varianza de un portafolio

    Lavarianzadelportafolioeslasumadelostrminosqueaparecenentodosloscuadros.si esladesviacinestndardelaaccini.Cov(Ri,Rj)eslacovarianzaentrelaacciniylaaccinj.Enladiagonalaparecenlostrminosqueserefierenaladesviacinestndardeunsolovalor.Lostrminosqueserelacionanconlacovarianzaentredosvaloresaparecenfueradeladiagonal.

    Nmero de acciones en el portafolio

    Nmero total de trminos

    Nmero de trminos de varianza (nmero de trminos sobre

    la diagonal)

    Nmero de trminos de covarianza (nmero

    de trminos fuera de la diagonal)

    1 1 1 0

    2 4 2 2

    3 9 3 6

    10 100 10 90

    100 10000 100 9900

    . . . .

    . . . .

    . . . .

    N N2 N N22N

    Tabla 11.5 Nmero de trminos de varianza y covarianza como funcin del nmero de acciones en el portafolio

    Enunportafoliogrande,elnmerodetrminosrelacionadosconlacovarianzaentredosvaloresesmuchomayorqueelnmerodetrminosrelacionadosconlavarianzadeunsolovalor.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 347

    DiversificacinHasta el momento, en este captulo hemos examinado cmo los riesgos y rendimientos de cada activo afectan el riesgo y el rendimiento del portafolio. Tambin mencionamos un aspec-to de este efecto: la diversificacin. Para presentar un ejemplo reciente, el promedio industrial Dow Jones (DJIA, siglas de Dow Jones Industrial Average), que contiene 30 acciones de empre-sas estadounidenses grandes de reconocido prestigio, aument alrededor de 6.5% en 2007, un incremento ligeramente inferior a los niveles histricos. Los ttulos que ms ganaron ese ao fueron los de Honeywell International (aument 36%), Merck (subi 33%) y McDonalds (se increment 33%), mientras que los grandes perdedores fueron Citigroup (perdi 47%), Home Depot (baj 33%) y General Motors (disminuy 19%). Como se puede observar, la variacin entre estas acciones se redujo por medio de la diversificacin. Aunque este ejemplo muestra que la diversificacin es conveniente, ahora examinaremos por qu es conveniente. Y qu tan conveniente es.

    Componentes previstos e imprevistos de las noticiasPara iniciar el anlisis de la diversificacin nos centraremos en las acciones de una compaa que llamaremos Flyers. Qu determinar el rendimiento de las acciones de Flyers, digamos, en el prximo mes?

    El rendimiento de toda accin consta de dos partes. Primera, el rendimiento normal o es-perado de la accin es la parte del rendimiento que los accionistas del mercado pronostican o esperan. Depende de toda la informacin que tienen los accionistas en relacin con el ttulo en cuestin, la cual abarca todo lo que entendemos de lo que influir en la accin el prximo mes.

    La segunda parte es el rendimiento incierto o riesgoso de la accin. Se trata de la parte que proviene de la informacin que se revelar en el transcurso de un mes. La lista de dicha informacin es interminable, pero stos son algunos ejemplos:

    Noticias sobre la investigacin de Flyers.

    Cifras gubernamentales publicadas sobre el producto interno bruto (PIB).

    Resultados de las ltimas conversaciones sobre el control de armas.

    Descubrimiento de que se han hecho alteraciones indebidas en el producto de un rival.

    Noticias de que las cifras de venta de Flyers son ms altas de lo esperado.

    Una sbita cada en las tasas de inters.

    La jubilacin inesperada del presidente y fundador de Flyers.

    Una forma de escribir el rendimiento de las acciones de Flyers del prximo mes es:

    R 5 __ R 1 U

    donde R es el rendimiento total real del mes, __ R es la parte esperada del rendimiento y U re-

    presenta la parte inesperada del rendimiento.

    Riesgo: sistemtico y no sistemticoLa parte imprevista del rendimiento (la parte resultante de las sorpresas) es el verdadero ries-go de toda inversin. Despus de todo, si siempre recibiramos lo que esperbamos, no habra riesgo ni incertidumbre.

    Sin embargo, hay diferencias importantes entre los diversos orgenes del riesgo. Examine de nuevo la lista anterior de artculos noticiosos. Algunos de ellos se relacionan especfica-mente con Flyers y otros son ms generales. Cules de las noticias tienen importancia espe-cfica para Flyers?

    Como es evidente, los anuncios sobre las tasas de inters y el PIB son importantes para casi todas las empresas, mientras que las noticias sobre el presidente de Flyers, la investi-gacin que realiza la empresa, sus ventas o los asuntos de una empresa rival son de inters especfico para Flyers. Dividiremos estos dos tipos de anuncios y el riesgo resultante, pues, en

    11.6

  • 348 Parte III Riesgo

    dos componentes: una parte sistemtica, denominada riesgo sistemtico, y el resto, que lla-maremos riesgo especfico o no sistemtico. Las siguientes definiciones describen la diferencia:

    Un riesgo sistemtico es cualquier riesgo que afecta un gran nmero de activos, cada uno en mayor o menor medida.

    Un riesgo no sistemtico es un riesgo que especficamente afecta un solo activo o un gru-po pequeo de activos.

    La incertidumbre sobre las condiciones econmicas generales, como el PIB, las tasas de inters o la inflacin, es un ejemplo de riesgo sistemtico. Estas condiciones afectan casi todas las acciones en cierta medida. Un aumento imprevisto o sorpresivo de la inflacin afecta los salarios y los costos de los suministros que compran las empresas, el valor de sus activos y los precios a los que venden sus productos. Estas fuerzas a las que todas las compaas son susceptibles constituyen la esencia del riesgo sistemtico.

    En contraste, el anuncio de una huelga en una empresa de combustibles pequea puede afectarle slo a sta o algunas otras. Pero, desde luego, es muy improbable que tenga algn efecto en el mercado mundial petrolero. Para subrayar que dicha informacin no es sistemtica y afecta slo a compaas especficas, esto se conoce en ocasiones como riesgo idiosincrsico.

    La distincin entre riesgo sistemtico y riesgo no sistemtico nunca es tan precisa como podra parecer. Incluso la noticia ms limitada y peculiar sobre una empresa tiene una onda expansiva que repercute en toda la economa. Nos recuerda la historia de la guerra que se perdi porque un caballo perdi una herradura; hasta un acontecimiento intrascendente pue-de tener secuelas en el mundo. Pero este grado de sutileza no debe preocuparnos demasiado. Para parafrasear el comentario de un magistrado de la Suprema Corte de Justicia cuando hablaba de pornografa, quiz no podamos definir con exactitud qu son riesgo sistemtico y riesgo no sistemtico, pero los reconocemos cuando los vemos.

    Esto nos permite dividir el riesgo de las acciones de Flyers en dos componentes: el sis-temtico y el no sistemtico. Como es tradicional, usaremos la letra griega psilon, , para representar el riesgo no sistemtico y escribimos:

    R 5 __ R 1 U

    5 __ R 1 m 1

    (11.10)

    donde hemos usado la letra m para representar el riesgo sistemtico. En ocasiones, el riesgo sistemtico se denomina riesgo de mercado. Esto recalca el hecho de que m influye en todos los activos del mercado hasta cierto punto.

    El punto importante de cmo hemos dividido el riesgo total U en sus dos componentes, m y , es que , en razn de que es especfico de la empresa, no se relaciona con el riesgo espe-cfico de casi todas las dems compaas. Por ejemplo, el riesgo no sistemtico de las acciones de Flyers, F, no se relaciona con el riesgo no sistemtico, por ejemplo, de las acciones de Ge-neral Electric, GE. El riesgo de que el precio de las acciones de Flyers aumente o disminuya debido a un descubrimiento realizado por su equipo de investigacin (o el hecho de no haber descubierto nada) seguramente no se relaciona con ninguna de las incertidumbres especficas que afectan las acciones de General Electric. Esto significa que el riesgo no sistemtico de las ac-ciones de Flyers y General Electric no tiene relacin ni correlacin alguna.

    La esencia de la diversificacinAhora bien, qu sucede cuando combinamos las acciones de Flyers con otras acciones en un portafolio? Debido a que los riesgos no sistemticos, o psilon, de las dos acciones no se correlacionan, psilon puede ser positivo en una accin y negativo en la otra. Puesto que am-bos riesgos se compensan mutuamente, el riesgo no sistemtico del portafolio ser menor que el riesgo no sistemtico de cualquiera de los dos valores en lo individual. En otras palabras, aqu vemos los principios de la diversificacin. Adems, si agregramos un tercer ttulo al

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 349

    portafolio, el riesgo no sistemtico de ste sera inferior al riesgo no sistemtico del portafolio de dos acciones. El efecto contina cuando aadimos un cuarto, quinto o sexto ttulo. De hecho, si pudiramos, hipotticamente, combinar un nmero infinito de valores, el riesgo no sistemtico del portafolio desaparecera.

    Consideremos ahora lo que ocurre con el riesgo sistemtico del portafolio cuando agre-gamos un segundo valor. Si el rendimiento del segundo valor sigue el modelo de la ecuacin 11.10, el riesgo sistemtico del portafolio no se reducir. Por ejemplo, suponga que la infla-cin resulta ser ms alta de lo previsto o el PIB aparece inferior a lo previsto. Es probable que el valor de las dos acciones se reduzca, lo que implica tambin una reduccin del valor del portafolio. Adems, obtendramos el mismo resultado con tres, cuatro o ms ttulos. De hecho, suponga que el portafolio tiene un nmero infinito de ttulos. Las malas noticias eco-nmicas afectaran negativamente todos estos valores, lo que implica un efecto negativo en el portafolio. A diferencia del riesgo no sistemtico, el riesgo sistemtico no puede diversificarse.

    Esta idea se ilustra en la figura 11.7. La grfica, que relaciona la desviacin estndar de un portafolio con el nmero de valores del portafolio, muestra una desviacin estndar alta de uno de los valores. A menudo hablamos de la desviacin estndar como el riesgo total, o simplemente el riesgo, del portafolio. La adicin de un segundo valor reduce la desviacin estndar, o riesgo, lo mismo que un tercer ttulo, y as en lo sucesivo. El riesgo total del por-tafolio se reduce de manera continua con la diversificacin.

    Sin embargo, tenga en cuenta que la diversificacin no permite que el riesgo total se reduzca a cero. Hay un lmite para el beneficio de la diversificacin, porque slo el riesgo no sistemtico es el que se diversifica. El riesgo sistemtico queda intacto. Por esto, aunque la diversificacin es buena, no lo es tanto como podramos haber pensado. El riesgo sistemtico sencillamente no disminuye con la diversificacin.

    En el anlisis previo supusimos en forma implcita que todos los valores tienen el mismo nivel de riesgo sistemtico. Aunque en esencia todos los valores tienen cierto riesgo sistem-tico, algunos tienen ms riesgo que otros. El grado de riesgo sistemtico se mide con algo lla-

    La desviacin estndar de un portafolio disminuye conforme se agregan ms valores alportafolio. Sin embargo, no se reduce a cero. Ms bien, aunque el riesgo no sistemticose puede eliminar con la diversificacin, no es posible eliminar el riesgo sistemtico.

    Desviacinestndar

    delrendimientodel portafolio

    Nmerode valores

    Riesgo idiosincrsicoo riesgo no sistemtico

    Riesgo sistemtico

    1 2 3 4

    Figura 11.7 Relacin entre la desviacin estndar del rendimiento de un portafolio y el nmero de valores que forman el portafolio

  • 350 Parte III Riesgo

    mado beta, un concepto que explicaremos en la seccin 11.8. Pero antes debemos considerar el efecto de otorgar y obtener prstamos sin riesgo.

    Otorgamiento y obtencin de prstamos sin riesgoLa figura 11.6 supone que todos los valores que se encuentran dentro de conjunto eficiente son riesgosos. Por otra parte, un inversionista podra combinar una inversin riesgosa con una inversin en un valor sin riesgo o libre de riesgo, como los certificados del Tesoro de Es-tados Unidos, situacin que se ilustra en el siguiente ejemplo.

    11.7

    Otorgamiento de prstamos y riesgo del portafolio LaseoraBagwellpiensainvertirenlasaccio-nescomunesdeMervilleEnterprises.Adems,laseoraBagwelltomaroconcederfondosenprstamoalatasalibrederiesgo.Losparmetrosrelevantessonlossiguientes:

    Acciones comunes de Merville

    Activo libre de riesgo

    Rendimientoesperado 14% 10%

    Desviacinestndar .20 0

    SupongaquelaseoraBagwelloptaporinvertiruntotalde1000dlares,350enMervilleEnterprisesy650enelactivolibrederiesgo.Elrendimientoesperadodesuinversintotalessimplementeunpromedioponderadodelosdosrendimientos:

    Rendimientoesperadodeunportafoliocompuestoporunactivolibrederiesgoyunactivoriesgoso

    5.1145(.353.14)1(.653.10) (11.11)

    Debidoaqueelrendimientoesperadodelportafolioesunpromedioponderadodelrendimientoesperadodelactivoriesgoso(MervilleEnterprises)yelrendimientodelactivolibrederiesgo,elclculoesanlogoalaformaenquesetratandosactivosriesgosos.Enotraspalabras,aquseaplicalaecuacin11.3.

    Conbaseenlaecuacin11.4,lafrmuladelavarianzadelportafoliosepuedeescribircomo:

    XMervillesMerville12XMervilleXLibrederiesgosMerville,librederiesgo1XLibrederiesgosLibrederiesgo

    Sinembargo,pordefinicin,elactivolibrederiesgonotienevariabilidad.Deestemodo,tantosMerville,librederiesgocomosLibrederiesgosonigualesacero,locualreducelaexpresinanteriora:

    Varianzadelportafoliocompuestoporunactivolibrederiesgoyunactivoriesgoso

    5XMervillesMerville5(.35)3(.20) (11.12)5.0049

    Ladesviacinestndardelportafolioes:

    Desviacinestndardelportafoliocompuestoporunactivolibrederiesgoyunactivoriesgoso

    5XMervillesMerville5.353.20 (11.13)5.07

    EJEmplO 11.3

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 351

    Larelacinentreelriesgoyelrendimientoesperadodelosportafolioscompuestosporunactivories-gosoyunactivolibrederiesgosepuedeverenlafigura11.8.Lareparticinde35-65%quehizolaseoraBagwellentrelosdosactivosserepresentamedianteunalnearectaentrelatasalibrederiesgoyunainver-sinpuraenMervilleEnterprises.Observeque,adiferenciadelcasodedosactivosriesgosos,elconjuntodeoportunidadesrecto,nocurvo.

    Supongaque,enotrocaso,laseoraBagwellsolicitaenprstamo200dlaresalatasalibrederiesgo.Alsumarestacantidadalacifraoriginalde1000dlares,ellainvierteuntotalde1200dlaresenMerville.Surendimientoesperadosera:

    Rendimientoesperadodelportafolioforma-doporlosfondossolicitadosenprsta-moparainvertirenunactivoriesgoso

    514.8%51.203.141(2.23.10)

    Aqu,ellainvierte120%desuinversinoriginalde1000dlaresalsumarelprstamode20%desuinversinoriginal.Observequeelrendimientode14.8%esmayorqueelrendimientoesperadode14%queofreceMervilleEnterprises.Estoocurreporqueellatomafondosenprstamoaunatasade10%parainvertirenunvalorconunrendimientoesperadomayorqueesteporcentaje.

    Ladesviacinestndares:

    Desviacinestndardeunportafolioforma-doporlosfondossolicitadosenprsta-moparainvertirenunactivoriesgoso

    5.2451.203.2

    Ladesviacinestndarde.24esmayorque.20,quecorrespondealainversinenMerville,porquelatomadefondosenprstamoincrementalavariabilidaddelainversin.Estainversintambinapareceenlafigura11.8.

    Hastaestemomento,sehasupuestoquelaseoraBagwellpuedeobtenerfondosenprstamoalamismatasaenquepuedeprestarlos.8Considereahoraelcasoenquelatasadeendeudamientoessuperioralatasadeotorgamientodelprstamo.Lalneapunteadadelafigura11.8ilustraelconjuntodeoportunidaddelasoportunidadesdeobtencindefondosenprstamoenestecaso.Lalneapunteadaestpordebajodelalneacontinuaporqueunatasadeendeudamientomsaltadisminuyeelrendimientoesperadodelainversin.

    Figura 11.8 Relacin entre el rendimiento esperado y el riesgo de portafolios compuestos por el activo libre de riesgo y un activo riesgoso

    Rendimiento esperadodel portafolio (%)

    Desviacinestndardel rendimientode un portafolio (%)

    120% en Merville Enterprises20% en activos libres de riesgo(obtencin de un prstamo a latasa libre de riesgo)

    Merville Enterprises

    35% en Merville Enterprises65% en activos libres de riesgo

    Obtencin de un prstamo para invertiren Merville cuando la tasa deendeudamiento es mayor que la tasade otorgamiento de prstamos

    20

    14

    10 RF

    8 De manera sorprendente, esto parece ser una aproximacin razonable porque muchos inversionistas pueden obte-ner fondos en prstamo de un corredor de acciones (lo cual se denomina transacciones al margen) cuando compran acciones. En este caso, la tasa de endeudamiento es muy parecida a la tasa de inters libre de riesgo, particular-mente en el caso de inversionistas grandes. Se dir ms sobre este tema en un captulo posterior.

  • 352 Parte III Riesgo

    El portafolio ptimoLa seccin anterior se refiri a un portafolio formado por un activo libre de riesgo y un activo riesgoso. En realidad, es probable que un inversionista combine una inversin en el activo sin riesgo con un portafolio de activos riesgosos, situacin que se ilustra en la figura 11.9.

    Considere el punto Q, el cual representa un portafolio de valores. Dicho punto se encuen-tra dentro del conjunto factible de los valores riesgosos. Supongamos que el punto representa un portafolio de 30% en AT&T, 45% en General Motors (GM) y 25% en IBM. Los individuos que combinan las inversiones en Q con las inversiones en el activo libre de riesgo alcanzaran puntos sobre la lnea recta desde RF hasta Q, a la que llamaremos lnea I. Por ejemplo, el punto 1 sobre la lnea representa un portafolio con 70% en el activo libre de riesgo y 30% en acciones representadas por Q. Un inversionista con 100 dlares que eligiera el punto 1 como su porta-folio pondra 70 dlares en el activo libre de riesgo y 30 en Q. Esta eleccin puede replantearse como 70 dlares en el activo libre de riesgo, $9 (5 .3 3 $30) en AT&T, $13.50 (5 .45 3 $30) en GM, y $7.50 (5 .25 3 $30) en IBM. El punto 2 tambin representa un portafolio del activo libre de riesgo y Q, con una mayor cantidad (65%) invertida en Q.

    El punto 3 se alcanza cuando se obtienen fondos en prstamo para invertir en Q. Por ejemplo, un inversionista con 100 dlares de su propiedad solicitara en prstamo 40 dlares a un banco o corredor para invertir 140 en Q. Esto puede expresarse como el hecho de solicitar en prstamo 40 dlares y aportar 100 de su dinero para invertir $42 (5 .3 3 $140) en AT&T, $63 (5 .45 3 $140) en GM, y $35 (5 .25 3 $140) en IBM.

    Estas inversiones se pueden resumir como sigue:

    Punto Q

    Punto I (Prestar $70)

    Punto 3(Pedir $40

    en prstamo)

    AT&T $30 $9.00 $42

    GM 45 13.50 63

    IBM 25 7.50 35

    Librederiesgo 0 70.00 240

    Inversintotal $100 $100 $100

    Tasa libre de riesgo (RF)

    Lnea II (lnea del mercadode capitales)

    40% en el activo libre de riesgo140% en acciones representadas por Q

    35% en el activo libre de riesgo65% en acciones representadas por Q

    70% en el activo libre de riesgo30% en acciones representadas por Q

    El portafolio Q est compuesto por 30% de AT&T, 45% de GM y 25% de IBM.

    Y

    A

    X1

    4

    5

    3Lnea I

    Rendimiento esperadodel portafolio

    Desviacinestndardel rendimientodel portafolio

    2 Q

    Figura 11.9 Relacin entre el rendimiento esperado y la desviacin estndar de una inversin en una combinacin de valores de riesgo y el activo libre de riesgo

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 353

    Aunque cualquier inversionista podra obtener cualquiera de los puntos sobre la lnea I, ningn punto de esta lnea es ptimo. Para entender la razn de ello, considere la lnea II, una lnea que corre desde RF hasta A. El punto A representa un portafolio de valores riesgosos. La lnea II representa portafolios formados por combinaciones del activo libre de riesgo y los valores de A. Los puntos entre RF y A son portafolios en los que se invierte algn dinero en el activo libre de riesgo y el resto se coloca en A. Los puntos despus de A se alcanzan solici-tando fondos en prstamo a la tasa libre de riesgo para comprar ms de A de lo que se podra comprar slo con los fondos originales.

    Como se ha dibujado, la lnea II es tangente al conjunto eficiente de valores riesgosos. Cualquiera que sea el punto que obtenga un individuo sobre la lnea I, obtendr un punto con la misma desviacin estndar y un rendimiento esperado ms alto sobre la lnea II. En realidad, debido a que la lnea II es tangente al conjunto eficiente de activos riesgosos, le proporciona al inversionista las mejores oportunidades posibles. En otras palabras, la lnea II se puede considerar como el conjunto eficiente de todos los activos, tanto riesgosos como no riesgosos. Un inversionista con un grado razonable de aversin al riesgo podra elegir un punto entre RF y A, tal vez el punto 4. Un individuo con una menor aversin al riesgo podra elegir un punto ms cercano a A; incluso ms all de A. Por ejemplo, el punto 5 corresponde a un individuo que solicita dinero en prstamo para incrementar la inversin en A.

    La grfica ilustra un aspecto de importancia. Con la capacidad de prestar y obtener fon-dos en prstamo sin riesgo, el portafolio de activos riesgosos que mantiene un inversionista siempre estara en el punto A. Independientemente de la tolerancia del inversionista hacia el riesgo, nunca elegira ningn otro punto del conjunto eficiente de activos riesgosos (represen-tados por la curva XAY) ni tampoco ninguno de los puntos en el interior de la regin factible. En lugar de ello, combinara los valores de A con los activos libres de riesgo si tuviera una alta aversin al riesgo. Solicitara en prstamo el activo libre de riesgo para invertir ms fondos en A si tuviera una baja aversin al riesgo.

    Este resultado establece lo que los economistas financieros denominan principiodese-paracin. Es decir, la decisin de inversin del inversionista consiste en dos pasos separados:

    1. Despus de estimar a) los rendimientos esperados y las varianzas de los valores indivi-duales, y b) las covarianzas entre los pares de valores, el inversionista calcula el conjunto eficiente de activos riesgosos, representado por la curva XAY en la figura 11.9. Poste-riormente determina el punto A, la tangente entre la tasa libre de riesgo y el conjunto eficiente de activos riesgosos (curva XAY). El punto A representa el portafolio de acti-vos riesgosos que el inversionista mantendr. Este punto se determina slo a partir de sus estimaciones de rendimientos, varianzas y covarianzas. En este caso no se necesita ninguna caracterstica personal, como el grado de aversin al riesgo.

    2. Luego, el inversionista debe determinar la manera en que combinar el punto A, su portafo-lio de activos riesgosos, con el activo libre de riesgo. Podra invertir una parte de sus fondos en el activo libre de riesgo y una parte en el portafolio A. Terminara en un punto sobre la lnea entre RF y A en este caso. Por otra parte, podra solicitar fondos en prstamo a la tasa li-bre de riesgo y aportar tambin una parte de sus propios fondos para invertir la suma resul-tante en el portafolio A. Terminara en un punto sobre la lnea II ms all de A. Su posicin en el activo libre de riesgo, es decir, su eleccin del sitio de la lnea donde l quiere estar, se determina por sus caractersticas internas, como su capacidad para tolerar riesgos.

    Equilibrio del mercadoDefinicin del portafolio de equilibrio del mercadoEl anlisis anterior se refiere a un inversionista. Las estimaciones acerca de los rendimientos esperados y las varianzas de los valores individuales y las covarianzas entre pares de valores son nicamente de l. Por supuesto, otros inversionistas realizaran diferentes estimaciones de es-tas variables. Sin embargo, stas podran no variar de manera considerable porque todos los inversionistas tendran expectativas basadas en los mismos datos acerca de los movimientos his-tricos de los precios y otra informacin pblica.

    11.8

  • 354 Parte III Riesgo

    Con frecuencia, los economistas financieros se imaginan un mundo donde todos los in-versionistas tienen las mismas estimaciones de los rendimientos esperados, las varianzas y las covarianzas. Aunque literalmente esto nunca sera verdad, se puede concebir como un til supuesto simplificador en un mundo donde los inversionistas tienen acceso a fuentes de informacin similares. Este supuesto se denomina expectativashomogneas.9

    Si todos los inversionistas tuvieran expectativas homogneas, la figura 11.9 sera la mis-ma para ellos. Es decir, todos se basaran en el mismo conjunto eficiente de activos riesgosos porque trabajaran con los mismos datos. Este conjunto eficiente de activos riesgosos se repre-senta mediante la curva XAY. Debido a que se aplicara la misma tasa libre de riesgo a todo el mundo, todos los inversionistas consideraran el punto A como el portafolio de activos riesgosos que deberan mantener.

    Este punto A asume una gran importancia porque todos los inversionistas compraran los valores riesgosos que representa. Aquellos con un alto grado de aversin al riesgo podran combi-nar A con una inversin en el activo libre de riesgo que los ubicara en el punto 4, por ejemplo. Otros con baja aversin al riesgo podran solicitar fondos en prstamo para alcanzar, digamos, el punto 5. Debido a que sta es una conclusin muy importante, la replanteamos as:

    Enunmundoconexpectativashomogneas,todoslosinversionistasmantendranelportafoliodeactivosriesgososrepresentadoporelpuntoA.

    Si todos los inversionistas eligen el mismo portafolio de activos riesgosos, es posible de-terminar cul es ese portafolio. El sentido comn nos indica que es un portafolio ponderado por el valor de mercado que incluye todos los valores existentes. Es el portafoliodelmercado.

    En la prctica, los economistas usan un ndice de base amplia como el Standard & Poors (S&P) 500 como una representacin del portafolio del mercado. Desde luego, en la prctica no todos los inversionistas mantienen el mismo portafolio. Sin embargo, sabemos que mu-chos inversionistas mantienen portafolios diversificados, en particular cuando se incluyen los fondos mutualistas y los fondos de pensiones. Un ndice de base amplia es una buena repre-sentacin de estos portafolios ampliamente diversificados de muchos inversionistas.

    Definicin del riesgo cuando los inversionistas mantienen el portafolio del mercadoEn una seccin anterior de este captulo sealamos que el riesgo o desviacin estndar de una accin podra dividirse en riesgo sistemtico y no sistemtico. El riesgo no sistemtico puede diversificarse en un portafolio grande, pero el riesgo sistemtico no. Por consiguiente, un inversionista diversificado debe preocuparse por el riesgo sistemtico, pero no por el riesgo no sistemtico de cada valor que compone su portafolio. Existe alguna manera de medir el riesgo sistemtico de un valor? S, la mejor medicin de este riesgo es la beta, que ilustramos en un ejemplo. Resulta ser que la beta es la mejor medida del riesgo de un valor especfico desde el punto de vista de un inversionista diversificado.

    Beta ConsiderelossiguientesrendimientosposiblestantodelaaccindeJelco,Inc.,comodelmercado:

    EstadoTipo de economa

    Rendimiento del mercado (porcentaje)

    Rendimiento de Jelco, Inc. (porcentaje)

    1IIIIIIV

    AlcistaAlcistaBajistaBajista

    15152525

    25 15 25215

    EJEmplO 11.4

    9 El supuesto de expectativas homogneas establece que todos los inversionistas tienen las mismas creencias en relacin con los rendimientos, varianzas y covarianzas. Esto no implica que todos los inversionistas tengan la misma aversin al riesgo.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 355

    Aunqueelrendimientodelmercadoslotienedosresultadosposibles(15%y25%),elrendimientodeJelcotienecuatroresultadosposibles.Estilconsiderarelrendimientoesperadodeunvalorenelcasodeunrendimientodadodelmercado.Suponiendoquecadaestadoesigualmenteprobable,setiene:

    Tipo de economa

    Rendimiento del mercado (porcentaje)

    Rendimiento esperado de Jelco, Inc. (porcentaje)

    Alcista 15% 20 25 151212% % %

    Bajista 25% 10 5 151212% % ( %)

    Jelco,Inc.,respondealosmovimientosdelmercadoporquesurendimientoesperadoesmayorenlosesta-dosalalzaqueenlosestadosalabaja.Sepuedecalcularahoraenformaexactacmoreaccionaelvaloralosmovimientosdelmercado.Elrendimientodelmercadoenunaeconomaalcistaes20%[515%2(25%)]mayorqueelrendimientodelmercadoenunaeconomaalabaja.Sinembargo,elrendimientoesperadodeJelco,Inc.,enunaeconomaalalzaes30%[520%2(210%)]mayorquesurendimientoesperadoenunestadoalabaja.Deestemodo,Jelco,Inc.,tieneuncoeficientederespuestade1.5(530%y20%).

    Larelacinapareceenlafigura11.10.LosrendimientostantodeJelcocomodelmercadoencadaestadosepresentanenformagrficacomocuatropuntos.Adems,segraficaelrendimientoesperadodelvalorporcadaunodelosdosrendimientosposiblesdelmercado.Estosdospuntos,quesedesignanconunaX,estnunidosporunalneadenominadalnea caracterstica delvalor.Lapendientedelalneaesde1.5,elnmeroquesecalculenelprrafoanterior.Estecoeficientederespuestade1.5eslabetadeJelco.

    Lainterpretacindelabetadelafigura11.10esintuitiva.LagrficaindicaquelosrendimientosdeJelcoaumentan1.5vecesconrespectoalosdelmercado.Cuandostetieneunbuendesempeo,seesperaquelasaccionesde Jelco tenganundesempeo inclusomejor.Cuandoelmercado tienedesempeodeficiente,

    Figura 11.10 Desempeo de Jelco, Inc., y el portafolio del mercado

    Rendimiento del valor (%)

    Rendimiento delmercado (%)

    Lnea caracterstica

    (15%, 20%)*

    Pendiente 1.5

    *(15%, 20%) se refiere al punto donde el rendimiento del mercado es de 15% y el rendimiento del valor es de 20%.

    Los dos puntos marcados con X representan el rendimiento esperado de Jelco en cadaresultado posible del portafolio del mercado. El rendimiento esperado de Jelco estpositivamente relacionado con el rendimiento del mercado. Debido a que la pendiente esde 1.5, decimos que la beta de Jelco es de 1.5. Beta mide la respuesta (sensibilidad) delrendimiento del valor a los movimientos en el mercado.

    (5%, 10%)

    20

    25

    10

    10

    20

    15 5 5 15 25

    I

    II

    III

    IV

    X

    X

    (contina)

  • 356 Parte III Riesgo

    seesperaquelasaccionesdeJelcotenganundesempeoinclusopeor.ImagineahoraunindividuoconunportafolioparecidoaldelmercadoqueconsideralaadicindeJelcoasucartera.DebidoaqueelfactordeaumentodeJelcoesde1.5,elindividuoconsiderarqueestaaccinincrementaengranmedidaelriesgodelportafolio.(Enformaconcisademostraremosquelabetadeunaaccintpicaenelmercadoesde1.)Jelcocontribuyemsalriesgodeunportafoliograndeybiendiversificadoqueunaaccintpicaporqueesmssensiblealosmovimientosdelmercado.

    Para entender mejor todo esto, examinaremos valores con betas negativas. Estos valores se deben considerar como coberturas o plizas de seguros. Se espera que el valor tenga un buen desempeo cuando el mercado tiene un desempeo deficiente y viceversa. Debido a esta caracterstica, aadir un valor con beta negativa a un portafolio grande y diversificado reduce el riesgo del portafolio.10

    La tabla 11.6 presenta estimaciones empricas de las betas de ciertos valores. Como puede verse, algunos valores son ms sensibles al mercado que otros. Por ejemplo, eBay tiene una beta de 2.53, lo cual significa que por cada movimiento de 1% en el mercado,11 se espera que eBay se mueva 2.53% en la misma direccin. Por el contrario, 3M tiene una beta de slo .53. Esto significa que por cada movimiento de 1% en el mercado, se espera que 3M se mueva .53% en la misma direccin.

    Para resumir nuestra explicacin de la beta decimos que:

    Betamidelarespuesta(sensibilidad)deunvaloralosmovimientosdelportafoliodelmercado.

    La frmula de betaLa exposicin que se ha presentado hasta este momento ha puesto de relieve la intuicin que existe detrs de beta. La definicin real de beta es:

    ii M

    M

    R R

    R=

    ( )( )

    Cov ,2 (11.14)

    donde Cov(Ri, RM) es la covarianza entre el rendimiento del activo i y el rendimiento del por-tafolio del mercado y s(RM) es la varianza del mercado.

    Accin Beta

    3M .53

    McGraw-HillCo. .65

    GeneralElectricCo. .99

    Bed,Bath&Beyond 1.20

    HomeDepot 1.26

    Dell 1.64

    CA,Inc. 2.03

    eBay 2.53

    LabetasedefinecomoCov(Ri,RM)/Var(RM),dondeCov(Ri,RM)eslacovarianzadelrendimientodeunaaccin,Ri,yelrendimientodelmercado,RM.Var(RM)eslavarianzadelrendimientodelmercado,RM.

    Tabla 11.6 Estimaciones de la beta de algunas acciones seleccionadas

    10 Desafortunadamente, las pruebas empricas demuestran que pocas acciones, si acaso, tienen betas negativas.11 En la tabla 11.6 usamos el ndice Standard & Poors 500 como representacin del portafolio del mercado.

  • Captulo11 Rendimiento y riesgo 357

    Una propiedad muy til es que la beta promedio de todos los valores, cuando se pondera por la proporcin del valor de mercado de cada ttulo a la del portafolio del mercado, es de 1. Es decir:

    Xi ii

    N

    11 (11.15)

    donde Xi es la proporcin del valor de mercado del ttulo i a la de la totalidad del mercado y N es el nmero de ttulos en el mercado.

    La ecuacin 11.15 es intuitiva, una vez que usted piensa en ella. Si se ponderan todos los ttulos por su valor de mercado, el portafolio resultante es el mercado. Por definicin, la beta del portafolio del mercado es 1. Es decir, por definicin el mercado se debe mover 1% por cada movimiento de 1% en el mercado.

    Una pruebaLos autores han incluido estas preguntas en algunos exmenes anteriores de finanzas corporativas:

    1. Qu clase de inversionista considera en forma racional la varianza (o la desviacin es-tndar) de los rendimientos de un valor individual como la medida de riesgo adecuada de ese valor?

    2. Qu clase de inversionista considera en forma racional la beta de un valor como la me-dida de riesgo adecuada de ese valor?

    Una buena respuesta a estas preguntas podra ser algo parecido a lo siguiente:

    Un inversionista racional con aversin al riesgo considera la varianza (o la desviacin estndar) del rendimiento de su portafolio como la medida adecuada del riesgo de ste. Si por alguna razn el inversionista puede mantener slo un valor, la varianza del rendimiento de ese valor se convierte en la varianza del rendimiento del portafolio. Por lo tanto, la varianza del rendimiento del valor es la medida adecuada del riesgo de ese valor.

    Si un individuo mantiene un portafolio diversificado, considera que la varianza (o desviacin estndar) del rendimiento de su portafolio es la medida adecuada del riesgo de ste. Sin embargo, ya no est interesado en la varianza del rendimiento de cada valor individual. En lugar de ello, se interesa en la contribucin de cada valor a la varianza de su portafolio. La contribucin de un valor a la varianza de un portafolio diversificado se mide mejor con beta. En consecuencia, beta es la medida adecuada del riesgo de cada valor para el inversionista diversificado.

    Beta mide el riesgo sistemtico de un valor. Por lo tanto, los inversionistas diversificados pres-tan atencin al riesgo sistemtico de cada valor. Sin embargo, pasan por alto el riesgo no sistemti-co de cada valor, puesto que el riesgo no sistemtico se diversifica en un portafolio grande.

    Relacin entre riesgo y rendimiento esperado (CAPM)Es comn argumentar que el rendimiento esperado de un activo debe estar positivamente relacionado con su riesgo. Es decir, los individuos mantendrn un activo riesgoso slo si su ren-dimiento esperado compensa su riesgo. En esta seccin estimamos primero el rendimiento espe-rado del mercado de valores en su conjunto. A continuacin estimamos los rendimientos esperados de algunos valores especficos.

    Rendimiento esperado del mercadoCon frecuencia, los economistas sostienen que el rendimiento esperado del mercado se puede representar como:

    __ R M 5 RF 1 Prima de riesgo

    11.9

  • 358 Parte III Riesgo

    Dicho con palabras, el rendimiento esperado del mercado es la suma de la tasa libre de riesgo ms alguna compensacin por el riesgo inherente al portafolio del mercado. Observe que la ecuacin se refiere al rendimiento esperado del mercado, y no al rendimiento real en un mes o ao en particular. Debido a que las acciones tienen un riesgo, el rendimiento real del mercado en un periodo especfico puede, desde luego, ser inferior a RF o incluso ser negativo.

    Debido a que los inversionistas quieren una compensacin por el riesgo, la prima de ries-go es presumiblemente positiva. Pero, con precisin qu tan positiva es? En general, se afir-ma que el lugar donde se debe empezar a buscar la prima de riesgo del futuro es el promedio de la prima de riesgo del pasado. Como se seal en el captulo 10, Dimson, Marsh y Staun-ton determinaron que el promedio anual del rendimiento excedente de las acciones comunes estadounidenses por encima de la tasa libre de riesgo (es decir, los certificados del Tesoro a un ao) fue de 7.4% en el periodo 1900-2005. Nos referimos a ese 7.4% como la prima de riesgo histrica de las acciones estadounidenses. El promedio de la prima histrica de las acciones mundiales fue de 7.1%. Tomando en cuenta diversos factores, establecimos que 7% era una estimacin razonable de la futura prima de riesgo de las acciones estadounidenses.

    Por ejemplo, si la tasa libre de riesgo, estimada por el rendimiento actual de un certificado del Tesoro a un ao, es de 1%, el rendimiento esperado del mercado es de:

    8% 5 1% 1 7%

    Desde luego, la prima de riesgo futura del capital accionario podra ser ms alta o ms baja que la prima de riesgo histrica. Esto podra ser verdad si el riesgo futuro es ms alto o ms bajo que el riesgo histrico.

    Rendimiento esperado de un valor individualAhora que se ha estimado el rendimiento esperado del mercado como un todo, cul es el ren