Sistemas Estructurales VMorales Hidalgo Beatriz

Retana Calderón José Daniel15/agosto/2013

ANÁLISIS CAPÍTULO IIESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Las estructuras se dividen en isostáticas o estáticamente determinadas o hiperestáticas o

estáticamente indeterminadas. Las primeras pueden analizarse utilizando la ecuación de

equilibrio de la estática. Pueden encontrarse las fuerzas cortantes, las fuerzas

flexionantes, fuerzas normales y momentos torcionantes, a partir de condiciones de

equilibrio. Para analizar estructuras hiperestáticas es necesario plantear ecuaciones de

equilibrio, ecuaciones de compatibilidad, de deformación entre los miembros de la

estructura o entre los miembros y los apoyos.

REACCIONES EN LOS APOYOS

Para establecer si una estructura es isostática o hiperestática consiste en calcular el

número de reacciones en los apoyos de la estructura.

Los tres tipos básicos de apoyo son:

Apoyo simple: restringe a la estructura contra desplazamientos verticales pero permites

desplazamientos horizontales y rotaciones.

El apoyo articulado restringe los desplazamientos verticales y horizontales pero permite la

rotación.

El apoyo empotrado restringe los tres movimientos, el desplazamiento vertical y

horizontal y la rotación.

 

Es conveniente realizar el análisis estructural considerado el comportamiento en 3

dimensiones.

Las condiciones reales de una estructura hacen aconsejable en algunos casos plantear

apoyos, que defieren de los casos ideales.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO.

Un sistema de fuerzas se encuentra en equilibrio estático cuando su resultante es nula. Un

cuerpo sólido se encuentra sujeto a un sistema de fuerzas en equilibrio estático,

permanece en reposo, pero el sistema de fuerzas no está en equilibrio estático.

Para determinar si un sistema de fuerzas está en equilibrio se debe revisar que se

cumplan ecuaciones llamadas ecuaciones de equilibrio.

-Sistema de fuerzas paralelas en un plano . Se presenta en estructuras planas sujetas a

cargas por gravedad. Las cargas y las reacciones de apoyo son todas verticales. Las

ecuaciones de equilibrio son dos:

ƩFᵧ = 0 y ƩM₀ = 0

-Sistema de fuerzas no paralelas en un plano. En una estructura plana actúan cargas en

distintas direcciones, estás fuerzas y las reacciones de apoyo constituyen un sistema de

fuerzas no paralelas. Se tiene tres ecuaciones de equilibrio.

ƩFₓ = 0, ƩFᵧ = 0, ƩM₀ = 0 

-Sistemas de fuerzas concurrentes en un plano. Las ecuaciones de equilibrio para un

sistema de fuerzas comprendidas en un plano y que además concurren en un punto, se

puede expresar de tres maneras distintas.

ƩFₓ = 0, ƩFᵧ = 0

 

ƩFᵧ = 0, ƩMA = 0

-Sistema de fuerzas en el espacio. Se presenta en estructuras tridimensionales con cargas

no paralelas. Se tienen 6 ecuaciones de equilibrio.

ƩFₓ = 0, ƩFᵧ = 0, ƩFz = 0 

ƩMₓ = 0, ƩMᵧ = 0, ƩMZ= 0 

ECUACIONES DE CONDICIÓN

Permiten plantear ecuaciones adicionales a las de equilibrio de la estática. Las

articulaciones de momentos son equivalentes a pasadores sin fricción en los cuales no

pueden desarrollarse momentos flexionantes, porque permiten el giro.

ACCIONES INTERNAS

En el interior de los miembros estructurales se desarrollan acciones que pueden ser

fuerzas normales, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y momentos torcionantes.

Un miembro estructural sujeto a un momento flexionante positivo se flexiona de tal

manera que tiende a ser cóncavo hacía arriba.

 

CALCULO DE GRADO INDETERMINACIÓN

Una estructura es isostática, su grado grado de indeterminación es 0 ya que es

estáticamente determinada. Las estructuras hiperestáticas pueden tener distintos grados

de indeterminación. Por cada grado se requiere una ecuación adicional de compatibilidad

de deformaciones.

Vigas: Para calcular el grado de indeterminación, se compara el número de reacciones de

los apoyos con el número de ecuaciones de equilibrio de la estática. Si ambos número son

iguales, la viga es isostática, su grado de indeterminación es nulo. Si el número de

reacciones de los apoyos es mayor que el de la ecuaciones de equilibrio la viga es

hiperestática de grado x, siendo x la diferencia entre ambos números. Si el número de

reacciones de los apoyos es menor que le número de ecuaciones de equilibrio la viga no

puede mantenerse en equilibrio. Se dice que es inestable. 

Si r= n+c

La viga es estáticamente determinada.

Si r> (n+c)

La viga es estáticamente indeterminada.

Si r< (n+c)

La viga es inestable

Armaduras: Las armaduras pueden ser externamente indeterminadas o internamente

indeterminadas. Cuando el número de reacciones de apoyo es mayor que el número de

ecuaciones de equilibrio.

Se puede determinar la armadura con las siguientes formulas:

Si r + b= 2j, La armadura es isostática.

Si (r+b)> 2j, la armadura es hiperestática.

Si (r+b) < 2j, la armadura es inestable.

 

Marcos: Para deducir una expresión que permita calcular el grado de indeterminación de

marcos. Si se hacen secciones en los miembros del marco, de tal manera que cada nudo

sea un cuerpo libre como se indica. Hay tres incógnitas: una fuerza normal, una fuerza

cortante y un momento flexionante. En cada miembro existen seis fuerzas internas

desconocidas independientes. Si m es el número de miembros del marco, el número

total de incógnitas en los miembros será 3m. Denominando r  al número de incógnitas de

reacción en la estructura considerada, el número total de incógnitas será r +3.

Las siguientes ecuaciones pueden determinar el grado de indeterminación de marcos:

Si r + 3m = 3n +c El marco es estáticamente determinado.

Si r + 3m < 3n +c El marco es inestable.

Si r +3m > 3n El marco es inestable.

Inestabilidad geométrica: Existen algunas estructuras que son inestables a pesar de que

al aplicar criterios anteriores resulten estáticamente determinadas o aun

indeterminadas. La inestabilidad se deriva de un número insuficiente o de una

disposición inadecuada de los apoyos, de un arreglo inadecuado de partes de la

estructura. En el primer caso se dice que la estructura tiene una inestabilidad geométrica

externa y en el segundo caso una inestabilidad geométrica interna.

La viga continua del número de reacciones de apoyo es tres, igual al número de

ecuaciones de equilibrio. Se diría entonces que la viga es estáticamente determinada, se

trata de un caso de inestabilidad geométrica externa

 

ANÁLISIS DE VIGAS ISOSTÁTICAS.

La resolución de vigas isostáticas comprende normalmente los siguientes pasos.

-  Determinación de las reacciones en los apoyos. Se determinan planteando las

ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones de condición. Si la viga es isostática, el

numero de esas ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas de reacción,

por lo que se obtiene con dicho numero de incógnitas

-  Determinación del diagrama de fuerza cortante. Para determinar se calcula el

valor de la fuerza cortante en distintas secciones de la viga, se trazan estos

valores como ordenadas a lo largo del eje de la viga y se unen los puntos

obtenidos para definir el diagrama. Los valores de la fuerza cortante puede

calcularse sección por sección, o puede establecerse una ecuación que permita

calcular el valor en cualquier sección.

La fuerza cortante también puede calcularse a partir de la relación matematica

entre carga w, y fuerza cortante, V, que se demuestra en Mecánica de

Materiales:

w=dVdx

Por integración, el valor de la fuerza cortante será:

V= ʃ w dx + C

C es una constante de integración que se determina a partir de la condición de

frontera.

-  Determinación del diagrama de momento flexionante: Se trazan las ordenadas en

distintas secciones y se obtiene el diagrama correspondiente. El momento

flexionante en una sección es igual a la suma algebraica de los momentos de

primer orden de todas las fuerzas que actúan a la izquierda de dicha sección.

Otra manera de calcular los momentos flexionantes en relación entre la fuerza

cortante y el momento flexionante.

V= dM /dx

 

ARMADURAS

Los miembros de una armadura trabajan únicamente a tensión o a compresión. La

resolución consiste en determinar las reacciones en los apoyos y las fuerzas axiales

encada uno de sus miembros

-  Determinación de las reacciones. Planteando las ecuaciones de equilibrio y las

ecuaciones de condición, en función de las reacciones de apoyo, y despeando su

valor del sistema de ecuaciones que resulta. -  Determinación de las fuerzas axiales. Pueden calcularse por el método de los

nodos o por el método de las secciones. El primero consiste en plantear diagrama

de cuerpo libre de cada nudo cuidando que solo aparezcan dos incógnitas. Se

debe empezar con un nudo que solo existan dos incógnita; conforme avanza rn la

solución, las fuerzas ya calculadas. Permiten resolver nudos con los que concurran

varios miembros. Cuando se trata de armaduras en el espacio, en vez de dos

ecuaciones de equilibrio por nudo, se tiene tres ecuaciones. Si al analizar un nudo o una sección, la incógnita resulta positiva al ser despejada,

esto significa que el sentido supuesto es el correcto, independientemente que sea

de tensión o de compresión.

MARCOS.

Son estructuras constituidas por columnas y vigas cuyas uniones son nudos rígidos, es

decir, que no permiten la rotación relativa entre los miembros que concurren en el

nudo. Las vigas y columnas están sujetas a momentos flexionantes y fuerzas cortantes, y

la fuerza normal suele ser importante especialmente en las columnas.

-  Determinación de las reacciones. Se calculan igual que en vigas y en armaduras a

partir de las ecuaciones de equilibrio de la estática. 

 

-  Determinación de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. También se

determinan igual que en vigas, calculando los valores de fuerza cortante y del

momento flexionante.

En el análisis de marcos, resulta revisar el equilibrio de los nudos. Conviene

distinguir los momentos que producen los extremos de los miembros sobre el

nudo, llamados momentos de barra sobre apoyo, de lo que producen los nudos

sobre los miembros, llamados de apoyo sobre barra o momentos en los extremos.

-  Determinación de fuerzas normales. Las fuerzas normales que actúan en los

miembros de los marcos son las reacciones de otros miembros del marco. Las

fuerzas normales pueden calcularse aislando cada miembro del marco, después

de obtener sus diagramas de momento flexionante y fuerza cortante, analizando

las reacciones que producen sobre otros miembros.

DETERMINACIÓN DE REACCIONES, FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS

FLEXIONANTES POR EL METODO DE NEWMARK

Este método permite calcular las reacciones fuerzas cortantes y momentos

flexionantes con un procedimiento numérico tabular que simplifica las operaciones.

También se aplica a la resolución de otros problemas de mecánica estructural, como

cálculo de deformaciones, vigas-columna, pandeo, vibraciones, etc.

-  Cargas distribuidas. El procedimiento para resolver vigas con cargas distribuidas

consiste en sustituir la carga distribuida por cargas concentradas. Deben ser

equivalentes a la carga distribuida, en el sentido de que las fuerzas cortantes y

momentos flexionantes producidos por ambos tipos de cargas sean iguales en

determinados puntos.