Capitulo 2 - Álgebra de conmutación

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERIA

CAPITULO 2ALGEBRA DE CONMUTACION

(Álgebra de Boole)

INTRODUCCIÓN

En 1854, George Boole publicó una obra titulada Investigación de las leyes del pensamiento, sobre las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. En esta publicación se formuló la idea de un “algebra de las operaciones lógicas ", que se conoce hoy en día como álgebra de Boole. El álgebra de Boole es una forma muy adecuada para expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Claude Shannon fue el primero en aplicar la obra de Boole al análisis y diseño de circuitos. En 1938, Shannon escribió su tesis doctoral en el MIT (Massachussets Institute of Technology) titulada Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés.

Este capítulo se ocupa de las leyes, reglas y teoremas del álgebra booleana y sus aplicaciones a los circuitos digitales. Se aprenderá a definir un circuito mediante una expresión booleana y a determinar su funcionamiento. También se tratará la simplificación de los circuitos lógicos utilizando el álgebra booleana ,los mapas de Karnaugh. y el procedimiento tabular de Quine-MacCluskey.

POSTULADOS FUNDAMENTALES

1.- Existen Variables que sólo pueden tomar uno de dos valores, 0 ó 1. Es decir

x ≠ 0 si y sólo si x = 1x ≠1 si y sólo si x = 0

2.- El Algebra de Conmutación es un sistema algebraico que consiste del conjunto [0,1] y tres operaciones llamadas:

OR ( + ) AND ( · ) NOT ( ' )

Que se DEFINEN como:

Operación OR Operación AND Operación NOT

0 + 0 = 0 0 · 0 = 0 0' = 1 0 + 1 = 1 0 · 1 = 0 1' = 0 1 + 0 = 1 1 · 0 = 0 1 + 1 = 1 1 · 1 = 1

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PROPIEDADES BASICAS

IDEMPOTENCIA: x + x = xx · x = x

Algunos corolarios:x + 1 = 1 x + 0 = xx · 0 = 0 x · 1 = x

CONMUTATIVIDAD: x + y = y + xx · y = y · x

ASOCIATIVIDAD: ( x + y ) + z = x + ( y + z )( x · y ) · z = x · ( y · z )

COMPLEMENTACION: x + x' = 1 x · x' = 0

DISTRIBUTIVIDAD: x · ( y + z ) = x · y + x · zx + y · z = ( x + y )·( x + z )

Prueba de la Distributividad

Tabla de verdad

x y z x·y x·z y + z x·(y + z) x·y + x·z

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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PRINCIPIO DE DUALIDAD

Si a una expresión se intercambian las operaciones OR y AND y se reemplazan las constantes 0 y 1 por 1 y 0 respectivamente, la expresión resultante se le conoce como LA EXPRESION DUAL.

EXPRESION DE CONMUTACION

Expresión de Conmutación es la combinación de un número finito de variables de conmutación (x, y, etc.) y constantes (0,1) de conmutación relacionadas por medio de las operaciones de conmutación.

ABSORCION: x + xy = xx( x + y ) = x

Algunos corolarios útiles x + x'y = x + y x(x' + y) = xy

CONSENSO: xy + x'z + yz = xy + x'z (x + y)(x' + z)(y + z) = (x + y)(x' + z)

Ejemplo: Simplificar la expresión T(x,y,z) = x'y'z + yz + xz eliminando literales redundantes.

TEOREMAS DE MORGAN

Gobiernan operaciones de Complementación

1.- Involución ( x' )' = x

2.- Dos variables ( x+ y )' = x' · y'( x · y )' = x' + y'

3.- n variables

[ f (x1 ,x2 , ......,xn ,0,1,+,· ) ]' = f (x1' , x2' ,.....xn' ,1,0, · ,+)

Ejemplo: Simplificar la expresión

T(x,y,z) = ( x + y ) [ x' ( y' + z' ) ]' + x'y' + x'z'

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FUNCION DE CONMUTACION

Una función de conmutación f (x1 , x2 ,....,xn ) es una correspondencia que asocia un elemento del algebra ( 0 ó 1 ) a cada una de las 2n combinaciones de valores de las variables x1 , x2 , ...., xn.

La función de conmutación la podemos expresar por medio de una expresión de conmutación o por medio de una tabla de verdad.

Por ejemplo: Tabla de verdad paraT(x,y,z) = x'z + xz' + x'y'

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X y z T

0 0 0 1 0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

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FORMAS CANONICAS

Existen dos formas:Expresión canónica suma de productos yExpresión canónica producto de sumas

Por ejemplo

Decimal x y z F Minterms Maxterms

0 0 0 0 1 x' y' z'

1 0 0 1 0 ( x + y + z' )

2 0 1 0 1 x' y z'

3 0 1 1 1 x' y z

4 1 0 0 0 ( x' + y + z )

5 1 0 1 0 ( x' + y + z' )

6 1 1 0 1 x y z'

7 1 1 1 1 x y z

f (x,y,z) = x' y' z' + x' y z' + x' y z + x y z' + x y z

= Σ ( 0 , 2 , 3 , 6 , 7 )

f (x,y,z) = ( x + y + z' )( x' + y + z )( x' + y + z' )

= Π ( 1 , 4 , 5 )

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FUNCIONES DE DOS VARIABLES

f (x,y) Nombre

0 Inconsistencia

x'y' ( x + y )' NOR

x'y

x' NOT

xy'

y'

x'y + xy' x ⊕ y OR-EXCLUSIVO

x' + y' (x · y )' NAND

xy AND

xy + x'y' (x ⊕ y )' NOR-EXCLUSIVO

y

x' +y

x

x + y'

x + y OR

1 TAUTOLOGIA

COMPUERTAS BASICAS

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EJEMPLOS DE FUNCIONAMIENTO

Funcionamiento compuerta AND

Funcionamiento compuerta OR

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Funcionamiento compuerta NAND

Ejemplo de utilizaciónUna planta de fabricación utiliza dos tanques para almacenar un líquido químico que se requiere en un proceso de fabricación. Cada tanque dispone de un sensor que detecta cuándo el nivel del líquido cae al 25% del total. Los sensores generan una tensión de 5 V cuando los tanques están llenos por encima del 25%. Cuando el volumen de líquido en el tanque cae por debajo del 25%, el sensor genera un nivel de 0 V.

En el panel indicador se requiere un diodo emisor de luz (LED, light-emitting diode) verde que indique que el nivel de ambos tanques está por encima del 25%. Como se indica, se puede utilizar una puerta NAND para implementar esta función.

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Funcionamiento compuerta NOR

Ejemplo de uso

Como parte del sistema de monitorización funcional de un avión, se requiere un circuito para indicar el estado del tren de aterrizaje antes de tomar tierra. Se enciende un LED verde si los tres mecanismos de aterrizaje están correctamente extendidos cuando el interruptor para "bajar el tren de aterrizaje" se ha activado. Un LED rojo se enciende si cualquiera de los mecanismos falla al extenderse antes de aterrizar. Cuando uno de los mecanismos se extiende, el sensor correspondiente genera una tensión a nivel BAJO. Cuando uno de los mecanismos del tren de aterrizaje se retrae, su sensor genera una tensión a nivel ALTO. Implementar un circuito que cumpla estos requisitos.

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IMPLEMENTACION DE FUNCIONES

MINIMIZACION DE FUNCIONES DE CONMUTACIÓN

La manera más común para determinar un criterio de costo es el definir como expresión mínima producto de sumas o expresión mínima suma de productos a las siguientes.

Que posean: - Mínimo número de productos ( o sumas ) y - Mínimo número de literales por producto ( o suma)

Esto implica realizaciones de circuitos con la menor cantidad de compuertas AND y OR y la menor cantidad de entradas a cada compuertas

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Ejemplo:

Haciendo uso de la propiedad Aa+Aa' = A

¿Como poder saber si no existe otra expresión suma de productos con menor cantidad de productos y menor cantidad de literales por producto ?

Para dar respuesta a esta pregunta estudiaremos dos métodos que hacen uso de la propiedad Aa + Aa' = A y que permiten encontrar expresiones mínimas tanto de suma de productos como de producto de sumas.

MAPAS DE KARNAUGH

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PROCEDIMIENTO DE MINIMIZACION

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DEFINICIONES

Celdas Vecinas Dos celdas se dice que son vecinas si entre los vértices que representan existe sólo una variable que cambia

SubcuboUn subcubo es una colección de celdas vecinas donde la función vale 1 y representa un producto de literales.

Subcubo Máximo Subcubo máximo es un subcubo que no está contenido en ningún otro subcubo mayor y representa un producto con el menor número de literales.

El procedimiento de minimización por medio de los mapas de Karnaugh se circunscribe entonces a :

1.- Encontrar los subcubos máximos de la función y2.- Sumar los productos de la menor cantidad de subcubos máximos que cubran todos los unos de la función.

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DEFINICIONES

Subcubo Máximo EsencialUn subcubo máximo es esencial, si cubre a lo menos un vértice de la función, que no está cubierto por ningún otro subcubo máximo

Subcubo Máximo RedundanteUn subcubo máximo es redundante, si TODOS los vértices que cubre, están cubiertos por otros subcubos máximos

CONSECUENCIAS

Un subcubo máximo esencial SIEMPRE participa de la expresión mínima.

Si TODOS los subcubos máximos de la función son esenciales, entonces existe una única expresión mínima

EN CAMBIO, si una función tiene una única expresión mínima, NO necesariamente todos sus subcubos máximos son esenciales. (Vea el ejemplo anterior).

Si TODOS los subcubos máximos de una función son Redundantes entonces la función tiene a lo menos dos expresiones mínimas

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OTROS EJEMPLOS

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DON'T-CARES

Existen ocasiones en que para ciertas combinaciones de valores de entrada no importa cual sea el valor de la función, por lo que son varias las funciones que pueden satisfacer el problema.

En tal caso, a esos vértices se les denomina posiciones "Don't-Cares"

PROCEDIMIENTO1- Formar los subcubos máximos suponiendo todos los "don't-cares" como unos.

2.- Elegir la menor cantidad de subcubos máximos que cubran los unos de la función

EJERCICIODiseñar un conversor de códigos de BCD a Exceso a 3

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EXPRESIONES MINIMAS PRODUCTO DE SUMAS

Expresiones mínimas producto de sumas se obtienen, usando los mapas de Karnaugh, de una manera similar a la obtención de expresiones mínimas productos de sumas. La diferencia está, en que los subcubos se forman considerando los vértices donde la función vale cero. Cada subcubo representa, en este caso, la suma de literales.

FUNCIONES MINIMAS Y SUS PROPIEDADES

COBERTURAUna función de conmutación f( x1,....., xn ) se dice que cubre a otra función g( x1,....., xn ) si f toma el valor 1 cuando g lo hace.

IMPLICANTE PRIMOUn implicante p de una función f es un producto de literales que está cubierto por f, tal que la eliminación de cualquier literal desde p resulta en un nuevo producto que no está cubierto por f.

IMPLICANTE PRIMO ESENCIALUn implicante primo p de una función f se dice que es un implicante primo esencial si cubre a lo menos un vértice de la función que no está cubierto por ningún otro implicante primo.

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PROCEDIMIENTO TABULAR DE QUINE-MCCLUSKEY

EJEMPLO

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OTROS EJEMPLOS

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UN ULTIMO EJEMPLO

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PROBLEMASÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

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1. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

(a) x´ + y´ + xyz´(b) (x´ + xyz´) + (x´ + xyz´) (x + xý´ z)(c) xy + wxyz´ + xý(d) a + a´ b + a´ bć + a´bć´d + ...(e) xy + y´ z´ + wxz´(f) w´x´ + x´ y´ + w´ z´ + yz

2. Encuentre el complemento de cada una de las siguientes expresiones y después simplifíquelas:

(a) x´(y´ + z´) (x + y + z´)(b) (x + y´ z) (y + x´z´) (z + x´ y´)(c) w´ + (x´ + y + y´ z´) (x + y´ z)

3. Demuestre, sin usar inducción perfecta, si cada ecuación es válida o no.

(a) (x + y) (x´ + y) (x + y´) (x´ + y´) = 0(b) xy + x´ y´ + xýz = xyz´ + x´ y´ + yz(c) xyz + wy´ z´ + wxz = xyz + wy´ z´ + wxy´(d) xy + xý´ + xy´z = xz + xý´ + xýz

4. Dado AB´ + A´B = C, pruebe que AC´ + AĆ = B

5. Encuentre el valor de las variables A, B, C y D que resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones simultaneas

A´ + AB = 0AB = ACAB + AC´ + CD = C´D

6. Demuestre que si w´x + yz´ = 0,

entonces, wx + y´ (w´ + x´) = wx + xz + x´ z´ + x´ y´ z

7. Defina el conectivo * para las variables A, B y C, como sigue:

A * B = AB + A´ B´

Sea C = A * B. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son válidas.

(a) A = B * C(b) B = A * C(c) A * B * C = 1

8. Determine la expresión canónica suma de productos para las funciones:

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(a) f(x,y,z) = z + (x´ + y) (x + y´)(b) f(x,y,z) = x + (x´y´ + z´y´)

9. Para cada uno de lo siguiente, pruebe que es válido ,o, muestre un contra-ejemplo

(a) Si A ⊕ B = 0, entonces A = B

(b) Si A ⊕ C = B ⊕ C, entonces A = B(c) A ⊕ B = A´ ⊕ B´(d) (A ⊕ B)´ = A´ ⊕ B = A ⊕ B´

(e) A ⊕ (B + C) = (A ⊕ B) + (A ⊕ C)(f) Si A ⊕ B ⊕ C = D,

entonces, A ⊕ B = C ⊕ D y A = B ⊕ C ⊕ D

10. Una caja de seguridad tiene cinco candados v, w, x, y, z. Las llaves de los candados están distribuidas entre cinco ejecutivos, de la siguiente manera:

El ejecutivo A tiene las llaves de los candados v, x.El ejecutivo B tiene las llaves de los candados v, yEl ejecutivo C tiene las llaves de los candados w, yEl ejecutivo D tiene las llaves de los candados x, zEl ejecutivo E tiene las llaves de los candados v, z.

(a) Determine el mínimo número de ejecutivos requeridos para abrir la caja.(b) Encuentre todas las combinaciones de ejecutivos que pueden abrir la caja. Escriba una

expresión f(A,B,C,D,E) que especifique cuando la caja puede ser abierta, como una función de los ejecutivos presentes.

(c) ¿Cuál es el ejecutivo "esencial" , sin el cual, la caja no puede ser abierta?

11. Se tiene un conjunto de requerimientos para entregar una póliza de seguro. El solicitante puede ser:a.- Una mujer casada de 25 o más años de edad, ob.- Una mujer menor de 25 años de edad, oc.- Un hombre casado menor de 25 años de edad que no ha estado envuelto en un

accidente de tránsito, od.- Un hombre casado que ha estado envuelto en un accidente de tránsito, oe.- Un hombre casado de 25 o más años de edad que no ha estado envuelto en un

accidente de tránsito.

Las variables w,x,y,z toman el valor verdadero 1 en los siguientes casos:w = 1 si el solicitante ha estado envuelto en un accidente de tránsito.x = 1 si el solicitante está casadoy = 1 si el solicitante es hombrez = 1 si el solicitante tiene menos de 25 años de edad

(a) Encuentre una expresión de conmutación que tome el valor 1 cada vez que la póliza pueda ser entregada.

(b) Simplifique la expresión encontrada y proponga un conjunto simplificado de requerimientos.

12. En una Compañía , cinco empleados, A,B,C,D y E deben ser combinados para realizar una tarea bajo las siguientes restricciones:

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- A ó B ó ambos deben ser elegidos- C ó E, debe ser elegido, pero no ambos- A y C deben ser elegidos , o, ninguno de ellos- Si es elegido D, entonces E también debe ser elegido- Si B es elegido, entonces A y D también deben serlo.

(a) Defina las variables A,B,C,D,E tal que si es verdadera significa que el correspondiente empleado ha sido seleccionado.

(b) Determine la expresión que especifica las combinaciones de empleados que pueden ser elegidos.

13. Muestre un circuito con compuertas básicas para cada una de las siguientes funciones.

(a) T(A,B,C) = A(B + C'D') + A'B'(b) T(A,B,C) = A'B + AB'C + B'C'

14. Por medio del uso de los mapas de Karnaugh encuentre las expresiones mínimas suma de productos de cada una de las funciones siguientes:

(a) f1(w,x,y,z) = Σ (0,1,2,3,4,6,8,9,10,11)(b) f2(w,x,y,z) = Σ (0,1,5,7,8,10,14,15)(c) f3(w,x,y,z) = Σ (0,2,4,5,6,8,10,12)

15. (a) Encuentre las expresiones mínimas suma de productos y producto de sumas para la función

f(w,x,y,z) = Σ (1,4,5,6,11,12,13,14,15)

¿ Es su respuesta única ?

(b) Determine la expresión mínima suma de productos para la función

f(w,x,y,x) = Σ (0,2,4,9,12,15) + Σx (1,5,7,10)

16. Dada la función T(w,x,y,z,) = Σ (1,2,3,5,13) + Σx (6,7,8,9,11,15)(a) Encuentre una expresión mínima suma de productos(b) Encuentre una expresión mínima producto de sumas(c) Compare las expresiones obtenidas en (a) y (b); si ellas no representan la misma

función, explique porqué.

17. Dadas las funciones:f1(w,x,y,z) = Σ(1,3,4,5,9,10,11) + Σx (6,8)f2(w,x,y,z) = Σ(0,2,4,7,8,15) + Σx (9,12)

(a) Encuentre f3 = f1*f2 . ¿ Cuantas funciones representa f3 ?(b) Encuentre f4 = f1 + f2 . ¿ Cuantas funciones representa f4 ?(c) Simplifique f1 , f2 , f3 y f4.

18. Sea f = Σ (5,6,13) y f1 = Σ (0,1,2,3,5,6,8,9,10,11,13) . Encuentre f2 tal que f = f1*f2 . ¿ Es f2

única ?. Si no lo es, indique todas las posibilidades

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19. Dado el circuito que se muestra, determine las funciones f2 y f3 , si f1 = xz' + x'z y f(w,x,y,z) = Σ(0,4,9,10,11,12)

20. Por un Bus de 4 lineas llegan mensajes en código BCD. Diseñe un circuito que produzca una salida 1, cada vez que en la entrada aparecen las combinaciones de 0,2,3,5 u 8.

21. Simplifique las funciones siguientes por medio de los mapas de Karnaugh:(a) f1(v,w,x,y,z) = Σ (3,6,7, 8,10,12,14,17,19,20,21,24,25,27,28)(b) f2(v,w,x,y,z) = Σ (0,1,2,4,5,9,11,13,15,16,18,22,23,26,29,30,31)(c) f3(v,w,x,y,z) = Σ (1,2,6,7,9,13,14,15,17,22,23,25,29,30,31)

22. Para la función T(w,x,y,z) = Σ (0,1,2,3,4,6,7,8,9,11,15) ;(a) Muestre el mapa(b) Encuentre todos los implicantes Primos e indique cuales son esenciales(c) Encuentre una expresión mínima para T. ¿ Es única ?

23 Dada la función T(w,x,y,z) = Σ (1,3,4,5,7,8,9,11,14,15) ;(a) Use el mapa para determinar todos los implicantes primos. Indique cuales son

esenciales.(b) Encuentre tres expresiones mínimas para T.(c) Directamente del mapa encuentre el complemento T'.

24. Muestre mapas de cuatro variables que sigan las siguientes especificaciones. Si es imposible, explique porqué.

(a) Para cada una de las especificaciones que siguen encuentre una función con ocho Minterm y :(i) Sin implicantes primos esenciales.(ii) Todos los implicantes primos son esenciales.

(b) Repita (a) para funciones con nueve Minterms.(c) Una función con un número par de implicantes primos, de los cuales la mitad son

esenciales.(d) Una función con seis implicantes primos, de los cuales cuatro son esenciales y dos son

cubiertos por los esenciales.

25. Pruebe o muestre un contra-ejemplo para cada una de las siguientes aseveraciones:(a) Si una función f tiene una única expresión mínima suma de productos, entonces, todos sus

implicantes primos son esenciales.(b) Si una función f tiene una única expresión mínima suma de productos, también tiene una

única expresión mínima producto de sumas. JGL

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(c) Si el producto a pares de todos los implicantes primos de una función f es 0, entonces tiene una única expresión mínima.

(d) Por cada implicante primo p que no es esencial, hay una expresión irredundante que no contiene a p.

(e) Si una función f no tiene implicantes primos esenciales, entonces tiene a lo menos dos expresiones mínimas suma de productos.

26. Use el procedimiento tabular de Quine-McCluskey para generar el conjunto de implicantes primos y obtenga expresiones mínimas para las siguientes funciones:(a) f1(w,x,y,z) = Σ (1,5,6,12,13,14) + Σx (2,4)(b) f2(v,w,x,y,z) = Σ (0,1,3,8,13,14,15,16,17,19,24,25,27,31)(c) f3(w,x,y,z) = Σ (0,1,4,5,6,7,9,11,15) + Σx (10,14)(d) f4(v,w,x,y,z) = Σ (1,5,6,7,9,13,14,15,17,18,19,21,22,23,25,29,30)(e) f5(w,x,y,z) = Σ (0,1,5,7,8,10,14,15)(f) f6(v,w,x,y,z) = Σ (0,4,12,16,19,24,27,28,29,31)

27. (a) Diseñe un conversor de códigos de Exceso-3 a BCD.(b) Diseñe un conversor de códigos de BCD a código 2-de-5

Decimal 2-de-50 1 1 0 0 01 0 0 0 1 12 0 0 1 0 13 0 0 1 1 04 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 06 0 1 1 0 07 1 0 0 0 18 1 0 0 1 09 1 0 1 0 0

(c) Diseñe un conversor de códigos de Código Ringtail a BCD

Decimal Ringtail0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 12 0 0 0 1 13 0 0 1 1 14 0 1 1 1 15 1 1 1 1 16 1 1 1 1 07 1 1 1 0 08 1 1 0 0 09 1 0 0 0 0

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28. Una compuerta de tres entradas llamada BOMBA, cuyas características se muestran en la figura, ha sido fabricada en masa por una desafortunada compañía. Evidencia experimental ha mostrado que las combinaciones de entrada 101 y 010 hace que la compuerta "explote".

Su tarea es determinar si la compuerta está completamente inutilizable o puede ser modificada externamente para implementar otra función sin causar explosión.

Capitulo 2 - Álgebra de conmutación

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