2. ¿A qué tasa de interés equivalen s/.550 de hace un año y s/. 650 dentro de un año?

SoluciónF=S/.650

P=S/.550

i= ?

650=550 (1+i )i2

1.1818=(1+ i)i2

i =8.63%

Conclusión: para obtener un valor futuro de 650 soles con un valor presente de 550 soles este debe tener un interés 8.63 % alo largo de dos años.

3. ¿Como se explica el hecho de que dos cantidades diferentes de dinero puedan ser equivalentes la una a la otra?

4. Una compañía, invirtió S/. 50 000 en un nuevo proceso hace un año y acaba de obtener una cantidad de S/. 57 500 ¿Cuál ha sido la tasa de retorno basado en esta inversión?

Solución

P= 50 000 F = P (1 + i)1

F = 57 500 57 5000 = 50 000 (1+ i)1

n = 1 1.15 = 1 + i

i =? 0.15 = i

15% = i

Conclusión: La tasa de retorno es de 15% al invertir una cantidad de S/ 50 000 para obtener una cantidad de S/ 57 500

7. Si invierte S/. 10 000 hoy en un negocio que promete producir S/. 14 641. ¿En qué momento debe recibir los S/. 14 641 para obtener al menos 10% anual de interés sobre su inversión?.

SoluciónSe explica debido a la tasa de interés que se aplica a la cantidad de dinero inicial , que con el tiempo gana interés , haciéndose así equivalente a la otra cantidad de dinero .

P=50 000 F=57 5000

P=550 F=650

P = S/. 10 000

F = S/. 14 641

I = 10% anual

n =?

Solución:

F=P∗(1+i∗n )

14641=10000∗(1+0.1∗n )

14641=10000+1000n

n=4.641años

Conclusión:

Se debe recibir los S/. 14 641 en 4 años con una tasa de 10% anual.

10. Cuál es el valor de:

a. Cuál es el valor de s/. 1000 dentro de 8 años, si el interés es 15%

Conclusión: Obtenemos un monto final de s/.3059 dada la capitalización del 15% en el periodo de 8 años.

b) S/. 1 000; 8 años antes, si le interés es de 20%.

Solución

F = 1000 F = P (1 + i) n

n = 8 años 1000 = P (1 +0.20) 8

i = 20% anual 1000 = P (1.20) 8

P = S/232,6

Conclusión: Para obtener un monto de S/1000 a un interés de 20% se tiene que contar con una cantidad de S/232,6

DatosF = ?P = 1000n = 8i = 15 %

Solución

F=P( FP )8

0.15

F=1000 (3.059 )

F=3059 soles

P = S/.1000

F = ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P = S/.1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P=?

F=?

i = 10% anual

F = S/. 14 641P = S/. 10 000

P = S/. 1000 A

0 1 2 … 14 15

P = S/. 1000 F=S/.1180

0 1 2 3

e) Depósitos de S/. 15 000 anuales hechos al final de cada año, durante los próximos 11 años, si el interés es del 35%, calcular el valor actual.

A = S/. 15 000

I = 35% anual

n = 11 años

P =?

Solución:

P=A∗( PA )n

i

P=15000∗(2.752 )

P=41280

P = S/. 41 280

Conclusión: El valor actual es S/. 41 280 habiendo depositado S/. 15 000 anuales durante 11 años con un interés del 35%.

g).S/.1000 al 35%, expresado en una serie de pagos durante 15 años.

A = ?

n = 15

i =35 %

P =1000

Conclusión: el valor presente expresado en anualidades alo largo de 15 años con un interés del 15% es 353.9 soles.

9. Sabiendo que s/. 1000 al 6% de interés simple equivalen a s/. 1180 en tres años. Busque la tasa de interés de capitalización anual compuesta para el cual la equivalencia también es correcta.

P=1000

F=1180

n =3

11. El señor Juan Pérez desea saber el valor presente de una renta anual de s/. 150 000 en 35 años a una tasa de interés del 25.5%

A=P( AP )15

0.35

A=1000 (0.3539 )

A=353.9 soles

F=P (1+ i )n

1180=1000 (1+i )3

i=6.67%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P =?i = 35% anual

A = S/. 15 000

Conclusión: Encontramos el valor presente de s/. 589 725 dada una renta anual de s/. 150 000 en 35 años con una capitalización del 25.5 %

12. ¿Cuánto dinero se acumularía en 25 años si se depositan S/. 60 000 dentro de un año, S/. 24 000 dentro de seis años y S/. 3 300 dentro de 8 años, todo a una tasa de interés del 15%?

Solución

DatosP = ?A = S/. 150 000n = 35i = 25.5 %

P=A ( PA )35

0.255

P=150000 (3.9315 )

P=589725 soles

Solución

( PA

)= 0.30−0.250.30−0.255

=3.333−3.9983.333−x

x=3.9315

0 1 2 3 4 … 34 35

P =? A = s/.150 000

P = 60 000 , P1 = 24 000 , P2 = 3 300 , n = 25 a , i =15 % , F = ?

F=P(1+i)n+P1(1+i)n+P2(1+i)

n

F=60000∗(1+0 .15)24+24000∗(1+0.15 )19+3300∗(1+0.15 )17

F=60000∗28 .625+24000∗14 .232+3300∗10 .761F=1717510 .571+341562 .5195+35512.17121F=2094585 .262

P P1 P2

0 1 6 8… 25

P = S/. 1400 F=S/.14000

0 1 .. 9

Conclusión: Se acumulara dentro de 25 años un monto de S/2094584.262 teniendo en cuenta las condiciones de depósito que se realizó en el transcurso de los 25 años.

15. ¿Cuánto dinero habrá que invertir hoy para disponer de un saldo de 500 nuevos soles dentro de 4 años, si el tipo de interés es del 35%?

F = S/. 500

i = 35% anual

n = 4 años

P =?

Solución:

P=F∗( PF )n

i

P=500∗(PF )4

35%

P=500∗(0.3011 )

P=150.55

P = S/. 150.55

Conclusión: Tendrá que invertir hoy S/. 150.55 para disponer de un saldo de S/. 500 durante 4 años a una tasa de interés del 35% anual.

17. ¿Qué tipo de interés anual eleva una inversión S/. 1 400 a S/. 14 000 en 9 años?

F=14000

P=1400

N=9

i =?

Conclusión: el interés que eleva una inversión de 1400 soles a 14000 soles es 29.15%.

18. ¿Cuantos años se necesitaran para que el saldo que se tiene en una cuenta de ahorros aumente de 1000 nuevos soles a 2500 nuevos soles si el interés recibido es de un 6 %?

DatosP = 1000F = 2500n = ?i = 6 %

P= s/. 1000

F= s/.2500 0

n=??

F=P (1+ i )n

14000=1400 (1+i )9

i=29.15%

0 1 2 3 4

P =?i = 35% anual

F = S/. 500

Conclusión: Se necesitan 15.72 años para poder obtener un monto de 2500 con capitalización de 6% habiendo depositado 1000 inicialmente.

19. ¿Cuántos años tardaría, un depósito de S/. 7900 hecho ahora más un depósito de S/. 15800 hecho dentro de tres años para acumular S/. 50000 a una tasa de interés del 25%?

Solución

i = 25%

F1 = P1 ( (1+i)n P4 = P2 + P3

F1 = 7900 ( 1+0,25)3 P4 = 15800 + 15429,69

F1 = 15429,69 P4 = 31229,69

P3 = 15429,69

F2 = P4 ( 1+i)n-3

50000 = 31229,69 (1+0,25)n-3

ln (1,60104) = ln (1,25)n-3

n – 3 = 2,11

n = 5,11 años

Conclusión: Para acumular S/5000, se tiene que hacer los depósitos de 7900 y 15800 respectivamente a un interés del 25%, durante 5,11 años.

Solución

F=P(1+i)n

2500=1000 (1+0.06 )n

log 2.5=n log 1.06

n=15.72años

22. Una compañía de seguro social particular, tiene un programa de jubilación en el cual los trabajadores inscritos invierten S/. 6 000 anuales durante 30 años, empezando un año después del inicio de sus labores. Si la compañía garantiza la suma de S/. 360 000 en el momento de jubilarse. ¿Cuál es la tasa de retorno de la inversión?

A = S/. 6 000

n = 30 años

F = S/. 360 000

i =?

Solución:

F=A∗( FA )n

i

360000=6000∗( PF )30

i

4% 56.085

X 60

5% 66.439

X−4= 60−56.08566.439−56.085

X= 4.4

i = 4.4%

Conclusión: La tasa de retorno de la inversión para la compañía de seguro social particular es de 4.4% donde los trabajadores invierten S/. 6 000 anuales durante 30 años.

24. ¿Cuál es la cantidad mínima de años durante los cuales una persona debe depositar S/. 8500 por año. Con el objeto de tener por lo menos S/. 150000 en la fecha de su último depósito? Use una tasa de interés del 35% y redondee el año al número entero más alto.

F=150000

P=8500

i =35%

6 -------------14.438x---------------17.6477 ------------- 20.492

(6-x) / (6-7) = (14.438+17.647) / (14.438-20.492)6-x=0.53x=6.53 7 años

F=A( FA )35

0.255

150000=8500 (F / A )n0.35

17.64706=8500 (F / A )n0.35

0 1 2 3 … 27 28 29 30

A A A A A A A A A = S/. 6 000

Conclusión: la cantidad mínima de años para tener 150 000 soles con anualidades 8 500 soles por año es 7 años.

25. ¿Cuánto pagaría como máximo al contado por un carro que se ofrece en venta con la siguiente forma de pago s/. 30 000 de cuota inicial y 24 cuotas mensuales de s/. 50 000 c/u? Se asume una capitalización mensual de 3 %.

0 1 2 3 4 … 23 24

P =? A = s/.50 000

Conclusión: La máxima cantidad de dinero a pagarse por el carro es de s/. 876800 , en 24 cuotas mensuales de 50 000 , capitalización de 3% ;dada ya una cuota inicial de 30 000 .

26. Una compañía le paga a un inventor 500000 nuevos soles de regalías al final de cada año por el uso de una patente que tiene 12 años de futuro. Suponiendo que las regalías sigan siendo abonados a esa tarifa anual. ¿Qué suma podría ofrecerle la compañía al inventor si la tasa aceptable de rendimiento para la compañía es de 45%? ¿Es este precio favorable para la compañía o para el inventor?

Solución

P=A(P/A)1245%

P=500000(2.196)

P=1098000

DatosP = ?Po = S/. 30 000A = s/. 50 000n = 24i = 3 %

Solución

P1=A ( PA )24

0.03

P1=50000 (16.936 )

P1=846800

P=P1+Po

P=846800+30000

P=876800 soles

A i=45% P

0 1 2 3… 12

F = ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 15

P 1 P 2 P3

Conclusión: La compañía ofrece al inventor una suma de S/1098000, a una tasa de 45% pagándole al final de cada año una suma de S/500 000 durante 12 años.

28. Demostrar que las igualdades representan expresiones idénticas.

a. (P/ A )ni −(P/F )n

i =(P /A )n−1i

b. ( A /P )ni −i=(A /F )n

i

( A /P )ni −i=(A /F )n

i

[ i (1+i )n(1+i )n−1 ]−i= 1

(1+i )n−1

i (1+i )n

(1+ i )n−1− 1

(1+i )n−1=i

i (1+i )n−1(1+i )n−1

=i

i (1+i )n−1=i∗( (1+i )n−1 )

i (1+i )n−1=i (1+i )n−i

i (1+i )n−i (1+i )n=1−i

0=1−i

i=1

a. (F /A )ni +(F /P )n

i =(F /A )n−1i

29. ¿Qué gasto anual durante 15 años sería equivalente a gastar 10 000 nuevos soles al cabo del primer año, 20 000 nuevos soles al cabo de cuatro años y 30 000 nuevos soles al cabo del octavo año, si el interés es del 30% anual?

n =14

n =11

n=7

P1=10 000

P2=20 000

F=P1+P2+P3

F=P1(FP )14

0.3

+P2( FP )11

0.3

+P3( FP )7

0.3

F=393740+358440+183250

F=5642.58

P3=30 000

Conclusión: El monto acumulado luego de 15 años será 5642.58, con un interés del 30% anual, luego de gastar10 000 soles el primer año, 20 000 soles luego de cuatro años y 30 000 soles luego de ocho años.

30. Una pequeña compañía refinadora firma un contrato para adquirir materias primas con el acuerdo de pagar s/. 60 000 ahora y s/. 15 000 anuales comenzando al final del quinto año. El contrato tiene una duración de 10 años. Al final del tercer año, debido a beneficios inesperados, la compañía solicita que se le permita hacer un pago único para liquidar por anticipado el resto de la deuda. Ambas partes acuerdan que el 25% anual es un tipo de interés justo. ¿Cuál es el importe de la suma única que debe pagar?

Conclusión: Al tercer año debe pagar s/. 34267.217 en total , sabiendo q el interés es del 25 % y que se dio por adelantado s/. 60 000.

31. Si tenemos que pagar una deuda de S/. 6 000 anuales durante los primeros cinco años, los 8 años siguientes con 12 000 nuevos soles anuales. Por ciertos imponderables se debe pagar en un solo pago al finalizar el tercer año de comenzar a pagar la deuda. ¿Cuál será el monto que se debe pagar si la tasa de interés es del 25%?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

DatosP = ?Po = S/. 60 000A = s/. 15 000n = 10i = 25 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Po= s/. 60 000 A= s/. 15 000

P=??

A A A A A A

A A A A A A A

A=6000 A=12000

Conclusión: Se debe pagar S/40206,72 teniendo en cuenta que la tasa de interés es de 25% y que durante los primeros cinco años se paga S/6 000 y los ocho años siguientes S/12 000.

34. ¿Cuál fue la cantidad del préstamo si la tasa de interés es 1,5% mensual pagadero mensualmente y el prestatario acaba de hacer el primer pago mensual de $ 25 en intereses?

I = S/. 25i = 1.5% mensualn = mensualP =?Solución:

I=P∗i∗n

P= Ii

P= 251.5

P=1666.67

P = S/. 1666.67

Conclusión: La cantidad de préstamo fue de S/. 1666.67 a una tasa de interés de 1.5% mensual siendo su primer pago mensual de $25.

36. ¿a qué tasa anual de interés equivalen $ 450 hace un año y $ 550 invertidos durante 1 año?

F=550P=450

n =2

550=450( FP )2

i

10% --------1.210i ------------1.2212-----------1.254i= 10.45%Conclusión: la tasa anual que genera un valor futuro de $ 550 con un valor presente de $450 es 10.45%.

37. Starburst , Inc. Empleó $ 50 000 en una inversión conjunta en el exterior hace apenas un año y ha reportado una utilidad de $ 7 500 ¿Qué tasa anual está rindiendo la inversión?

P2=F1

P1=F1(P1/F1;0,25,2)

P1=3994.48(0,649)

A=6 000

P=A(P/A;0,125;3)

P=6000(1,44)

Pago=A+P1+P

Pago=6000+25566,72+8640

Pago=40206,72

P2=A(P/A; 0,15;8)

P2=12000(3,329)

P2=3994.48

Conclusión: Para tener una utilidad de s/.7500 en un año dada inversión de s/.50 000 , se debe contar con una tasa del 15 % anual.

38. ¿cuál es la mayor oportunidad de inversión: $ 1000 al 7% de interés simple anual durante tres años, o $ 1000 al 6% anual durante 3 años.

Solución

F = P (1 + i*n) F = P ( 1 + i )n

F = 1000(1+0.07*3) F = 1000(1 + 0.06)3

F = S/1210 F = S/ 1191.016 = S/1191

Conclusión: Notoriamente se observa que le conviene es de interés compuesto ya que el monto es menor que el simple y es de S/1191

41. ¿Cuánto dinero tendrá una joven después de 4 años si ella ahorra $ 1 000 ahora al 7% anual de interés simple?

F =?

DatosF = 50 000 + 7500P = 50 000n = 1i = ? %

Solución

F=P( FP )1

i

F=P(1+i)n

57500=50000(1+i)1

i=0.15=15%

P= s/. 50 000

F= s/.57 500 0

i=?? 1

P F=?

0 1 2 3

0 1 2 3 4

P = $ 1 000i = 35% anual

F =?

i = 7% anual

n = 4 años

P = $ 1 000

Solución:

F=P∗(1+i∗n )

F=1000∗(1+0.07∗4 )

F=1280

F = $ 1 280

Conclusión: La joven tendrá $ 1 280 si ahorra $ 1 000 ahora dentro de 4 años a una tasa de interés simple de 7% anual.

43. si se obtienen $ 1500 ahora en préstamo y se deben rembolsar $ 1850 dentro de dos años, ¿Cuál es la tasa de interés anual del préstamo?

P= 1500i= ?

n= 2

F= 18501850=1500(FP )2

i

Interpolando

10%---------1.210 i--------------1.23012%---------1.254

i =11.05%Conclusión: la tasa de interés anual del préstamo dentro de dos años, con un valor presente 1500 es 11.05%.

44.Una persona acaba de invertir $ 10 000 en un proyecto del negocio de un amigo que promete un retorno de $ 15 000 o más en algún momento futuro ¿Cuál es el número de años mínimo (número completo ) que la persona puede esperar para recibir los $ 15 000 con el fin de hacer 10 % o más compuesto anualmente?.

DatosF = 15000P = 10 000n = ?i = 10 %

Solución

F=P (1+ i )n

15000=10000(1+0.10)n

log 1.5=n log 1.10

n=4.2542=5años

P= s/. 10 000

F= s/.15 000 0

n=??

Conclusión: Con una tasa del 10 % se debe esperar 5 años para poder recibir los $ 15 000 de retorno.

45. Si se invierten $ 3500 ahora en cambio de un ingreso garante rizado de $ 5000 en una fecha posterior, ¿Cuándo se debe recibir el dinero para pagar exactamente un interés simple del 8% anual?

Solución

P= 3500 5000 = 3500 ( 1 + 0.08 *n)

F = 5000 1.43 = ( 1 + 0.08 *n)

i= 8% n = 6 años

Conclusión: el monto de S/5000 lo recibirá después de 6 años teniendo en cuenta que el interés anual es de 8%