Capítulo 2. Funciones

1

PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 2 Funciones

CONCEPTOS PRELIMINARES

Conjuntos numéricos

Números naturales 1,2,3,4,5,

Números enteros ; ,p p m n m n

Número racionales

; , ; 0p

r r p q qq

Números irracionales I

Números reales

Variables

Magnitudes constantes y variables

Intervalos de variación

Intervalo abierto , ;a b x x a x b

Intervalo cerrado , ;a b x x a x b

Intervalo semiabierto , ;a b x x a x b

, ;a b x x a x b

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Concepto tradicional

f

2 variableA

1 variableA

2


Notación

" "x variable independiente; " "y variable dependiente

y f x "y es igual a f de x"

; ; ;y g x y F x y x

Ejemplo. Sea 2 5 12f x x x

Obtener: 0 ; 2 ; 3 ; ; 2f f f f a f b

Ejemplo. Sea 4 22 5 10f x x x

Comprobar que: 0f a f a

Ejemplo. Sea xg x a

Verificar que: 1 1g z g z a g z

3


Enfoque con la teoría de conjuntos

Conjunto producto , ,A B a b a A b B

Ejemplo. Dados los conjuntos:

1,0,1 ; 2,3,4 ; 5,6A B C

Calcular: 2; ; ;A B B C C B C

Ejemplo. Sean los conjuntos:

2 3 ; y 3 4 ;A x x x B y y y

Representar gráficamente: 2 2; ; ;A B B A A B

4


RELACIÓN

Definición. Una relación binaria o simplemente una relación,

consiste en:

Un conjunto A

Un conjunto B

Una proposición P que es falsa o verdadera para toda

pareja ordenada ,a b del producto cartesiano A B .

Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es un

subconjunto del producto cartesiano A B , esto es: R A B

Dominio Codominio Recorrido, rango, imagen

Relación , , ; ,R a b a A b B P x y

Ejemplo. Sean 2, 1,0,1,2 3, 2, 1,0,1,2,3A y B

Obtener las siguientes relaciones y dar dominio y recorrido

de cada una:

3

2

1

c

b

a

3

2

1

e d c b

a

4

3

2

1

b

a

R. Multiforme R. Uniforme R. Biunívoca

1

5

4

3

2

1 0

6

2

A

C

B

5


1 , , ;R x y x A y B y x

2, , ; 2R x y x A y B x y

2 2

3, , ; 5R x y x A y B x y

Ejemplo. Representar gráficamente las siguientes relaciones

y dar dominio y recorrido:

1, , ;R x y x y y x

2, , ; 1R x y x y y x

2 2

3, , ; 1

4 1

x yR x y x y

2 2

4, , ; 1R x y x y x y

6


Toda función es relación, pero no toda relación es función

Toda función es una relación y por consiguiente,

subconjunto del producto cartesiano

Definición. Una función es una relación uniforme

Definición. Una función es una terna formada por:

a) Un primer conjunto llamado Dominio de la función.

b) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función.

c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes

propiedades:

- A todo elemento del dominio se le puede asociar un

elemento del codominio.

- Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su

asociado en el codominio.

- Ningún elemento del dominio puede tener más de un

asociado en el codominio.

Ejemplo. Representar gráficamente, con diagramas de Venn,

la siguiente función definida mediante parejas ordenadas:

3,0 , 2,1 , 1,2 , 0,3 , 1,4

5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5f

f

C

fD

fC

fR

f

7


,f x y y f x

en donde f x es la imagen de x en el codominio, obtenida

a partir de la regla de correspondencia y f x

Ejemplo. Dada la siguiente relación, decir si es función,

justificar la respuesta y, en caso de no serlo, analizar la

factibilidad de que fuera función.

2 2, , ; 4R x y x y x y

Condición geométrica para una función: toda recta paralela

al eje " "y debe cortar a su gráfica en un solo punto

Notación

, ;ff x y x D y f x

1 1 2 2 3 3, , , , , ,..., ,n nf x y x y x y x y

; fy f x x D

, ; ff x y y f x x D

: ;f ff D C y f x

8


Representación gráfica

Ejemplo. Considérese la siguiente función y f x x

0, ; ; 0,f f fD C R

Ejemplo. Determinar el dominio y el recorrido, así como

hacer un trazo aproximado de la gráfica de las siguientes

funciones: ) 2 3 ; (ecuación de una recta)i y x

2) 6 ; (parábola; superficie de un cubo en

función de la longitud de cada arista)

ii S x

) 0.204 ; (parábola; tiempo de caída libre en

función de la distancia en metros)

iii t d

2 2

) ; (ecuación de una recta con un hueco)x x

iv f xx

2

4) ; ecuación de una curva asintótica

6v y

x x

22) 9 ; ecuación de parte de una elipse

3vi y x

y f x x

x

y

9


Ejemplo. Dadas las siguientes funciones, obtener su dominio:

2

3 2

1 3) 2 5 1 ; ) ; )

1

) ; ) 2 5 ; ) 3 71

xi y x x ii f x iii y

x x

x xiv f x v y x vi f x x

x

2 21) 16 ; ) 4

2vii y x viii f x x

2

2

4 2 6) ; ) 25 ; )

6 5 5

x xix y x f x x xi y

x x x

10


11


FUNCIONES DEFINIDAS EN VARIOS INTERVALOS

Función valor absoluto 0

0

x si xf x x

x si x

Función escalonada

2 1

1 1 2

4 2

si x

f x si x

si x

Función parte entera de " "x : f x x

Ejemplos ; 2,2f x x x y ; 3,3f x x x x

x

045

y

045

fD 0,fR

12


Ejemplo Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo

aproximado de la gráfica de la función:

2

2

3 9 4 3

3 3 1

4 1 2

2 4 2 4

2 10 4 6

x si x

x si x

f x si x

x x si x

x si x

ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES

Función Constante

; ; ; constantef x y C x f x C C

Función Identidad

; ;f x y x x f x x

Funciones Enteras o Polinomiales

2

0 1 2

n

ny f x a ax a x a x

fD

Una función entera de grado 2 se llama función cuadrática.

2y f x ax bx c

13


donde , ,a b c son constantes y 0a . Una función

cuadrática es una cónica y el saberlo facilita la obtención

del dominio, recorrido y gráfica

1) 3 2 lineali f x x

2

2) 2 5 6 cuadráticaii f x x x

2 3

3) 4 6 2 cúbicaiii f x x x x

6 4

4) 5 2 9 de sexto gradoiv f x x x x

Cabe aclarar que en la asignatura de Álgebra un polinomio

se define como una expresión del siguiente tipo:

11 1 0

n np x a x a x a x an n

Ejemplo. Entre los cero y los 13 minutos, un horno de

incineración aumenta la temperatura 0T C , en función del

tiempo de operación mint , de acuerdo con la siguiente

expresión: 24 2 ; 0 13T t t t

Determinar el dominio, el recorrido y la gráfica de esta

función temperatura.

Solución. Función entera o polinomial. 0,13fD

Se trata de una parábola:

2

2 2 1 1 1 14 2 4 4

2 16 16 4 4

tT t t T t T t

mint

0T C

728

13

24 2T t t 0,728

fR

14


Funciones Algebraicas

Ejemplo. Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo

aproximado de la gráfica de las funciones algebraicas:

1

)i f xx

2 4

)2

xii f x

x x

Funciones Algebraicas Racionales. Aquellas que resultan del

cociente de dos funciones enteras

Funciones Algebraicas Irracionales. Aquellas que además

de considerar las operaciones de la racional, incluyen la

radicación.

Funciones Periódicas. Una función f es periódica si se

cumple que:

f x f x

x 2

2

o

15


para algún valor real positivo " " distinto de cero. Al mínimo

valor de " " que cumple esta relación se le llama periodo

de la función

Importantes aplicaciones en física e ingeniería, en lo que se

refiere a fenómenos que se repiten periódicamente, tales

como el movimiento ondulatorio, vibraciones, etcétera.

Ejemplo. Dos funciones conocidas son

Se observa que para la función “tren de pulsos” el periodo es

4 y para la función “diente de sierra” es 1

Funciones trascendentes

Una función trascendente es aquella que en su definición no

intervienen las operaciones que definen a las funciones

algebraicas. Incluyen las circulares directas

(trigonométricas), las circulares inversas, las logarítmicas, las

exponenciales, y muchas otras más.

1

y

x 2 2 1

función "diente de sierra"

x

y

5 3 1 1 3 5

función "tren de pulsos"

16


Funciones circulares directas

Se definen a partir de un círculo unitario de ecuación 2 2 1x y .

cos x y sen y

Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo

2 , luego:

2 cos 2 cossen sen y

x

y

cos 0

0sen

cos 0

0sen

cos 0

0sen

cos 1

0sen

cos 1

0sen

cos 0

0sen

cos 0

1sen

I cuadrante II cuadrante

IV cuadrante

cos 0

1sen

III cuadrante

s

y

x

cos ,P sen

c

2 2 1x y

O

17


tancos

sen

cos 1cot

tansen

1sec

cos

1csc

sen

Identidades Trigonométricas más importantes

2 2cos 1sen 2 2sec tan 1

cos cos cos sen sen

cos cossen sen sen

2 2 cossen sen 2 2cos2 cos sen

2 1 1cos cos2

2 2 2 1 1

cos22 2

sen

Para graficar estas funciones trigonométricas y determinar su

dominio y recorrido, es conveniente construir la siguiente

tabla:

f 0

6

3

2

2

3

5

6

7

6

4

3

3

2

5

3

11

6

2

Sen 0 1

2 3

2 1

3

2

1

2 0

1

2 3

2 1

3

2

1

2 0

Cos 1 3

2

1

2 0

1

2 3

2 1

3

2

1

2 0

1

2 3

2 1

Tan 0 3

3 3 3

3

3 0

3

3 3 3

3

3 0

Cot 3 3

3 0

3

3 3 3

3

3 0

3

3 3

Sec 1 2 3

3 2 2

2 3

3 1

2 3

3 2 2

2 3

3 1

Csc 2 2 3

3 1

2 3

3 2 2

2 3

3 1

2 3

3 2

18


; , ; ;2

f fD n n R

x

y

1 2 3 5 6

2 2 4

2

2

3

2

3

2

tanf x x

1 2 3 5 6 x

2 2 4

2

2

3

2

3

2

y

cosf x x fD 1,1fR

1 2 3 5 6

x 2 2

4

2

2

3

2

3

2

y

f x senx fD 1,1fR

19


; , ; ;f fD n n R

; , ; , 1 1, ; 22

f fD n n R

x

y

1 2 3 5 6

2 2

4

2

2

3

2

3

2

secf x x

1

1

x

y

1 2 3 5 6 2 2

4 2

2

3

2

3

2

cotf x x

20


; , ; , 1 1, ; 2f fD n n R

Funciones Explícitas. Son aquellas en la que la variable

dependiente se encuentra despejada, es decir, y f x

Funciones Implícitas. Son aquellas que se encuentran dentro

de una ecuación , 0f x y que la involucra a ella y a otras

funciones, y en la que, como se observa, la variable

dependiente no se encuentra despejada

Ejemplo. Dada la ecuación 2 2

19 4

x y , obtener dos funciones

explícitas de ella, dar sus dominios y recorridos y hacer un

trazo aproximado de sus gráficas.

x

y

1 2 3 5 6 2 2

4 2

2

3

2

3

2

cscf x x

21


Función Par. Una función es par si se cumple que

ff x f x x D

Entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje " "y .

Ejemplos 2 cosf x x y f x x

Función Non. Una función es non o impar si se cumple que:

ff x f x x D

Entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Ejemplos 3f x x y f x senx

; 1,1f fD R

3f x x

f x senx

y y

x

1.5 3.375 1.5f f 12 2

f f

;f fD R

x

2f x x cosf x x

y y

x

x

1.5 2.25 1.5f f 0

2 2f f

; 0,f fD R ; 1,1f fD R

22


Funciones expresadas en forma paramétrica

Existe una forma de representar a una función en la que tanto

la variable dependiente " "y como la variable independiente

" "x , se expresan en términos de una tercera variable

conocida como parámetro de la función.

: ; : parámetrox g t

f ty h t

Ejemplos

3 5cos) : ; 0 ; ) : ; 2

3

x t xi f t ii f

y seny t

23


Ejemplo. El mecanismo que acciona los “blancos” en un

campo deportivo consta de una corredera horizontal sobre la

cual se mueve una rueda con una aguja situada en su

periferia. La rueda gira sobre la corredera sin deslizarse.

Cada vez que la aguja toca a la corredera, acciona un

mecanismo que levanta al “blanco”. En la figura se muestra

la trayectoria que describe la aguja al moverse (cicloide)

La forma más sencilla de describir matemáticamente este

movimiento es a partir de ecuaciones paramétricas que son:

1 cos

x a t sent

y a t

0 2 ; ;f fR y y a y D

1 cos cos

cos cos

y a t y a a t

a y a yt t ang

a a

22ay y

x a t sent x at asent x at aa

2cos 2a y

x aang ay ya

22 22a a y ay y

a

t

a y

2a a

a

2 a

y

x

t

24


OPERACIONES CON FUNCIONES

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla

de correspondencia y están definidas en el mismo dominio

con mapeo en el mismo contradominio.

Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones

Definición. Sean las funciones 1 2yf f con sus respectivos

dominios 1 2

yf fD D . Entonces se definen las siguientes

funciones:

1 2 1 21 2) ; f f f fi y f x f x D D D

1 2 1 21 2) ; f f f fii y f x f x D D D

1 2 1 21 2) ; f f f fiii y f x f x D D D

1 1 2

2

1

2

2

) ; ; 0f f f

f

f xiv y D D D f x

f x

Composición de funciones

Definición. Dadas las funciones f y g con dominios

f gD y D respectivamente, se define como la composición

de la función f con la función g a la función:

f g x f g x

f g se lee " composición g"f y se trata de una función

cuyo dominio está formado por todos los elementos " "x que

pertenecen al dominio de " "g , para los cuales g x

pertenece al dominio de " "f , lo que se expresa como:

;f g g fD x x D g x D

25


Forma alternativa:

f g h gD D D

Ejemplo. Sean las funciones siguientes, dadas como

conjuntos de parejas ordenadas ,x y :

1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 0, 3 , 3,2 , 4,1f y g

Entonces:

3,4 , 4,3 1,2 , 2,1f g y g f

Aquí se ve con claridad que:

f g g f g f f gD x x D g x D y D x x D f x D

Ejemplo. Dadas las funciones siguientes, obtener f g y g f

y determinar sus respectivos dominios.

2

)3 2

xi f x y g x

x x

2

) ; 11

ii f x g x xx

A C

B

f g

g

f

x

g x

f g x

26


FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

: f ff D C

Función Inyectiva (uno a uno). Una función : f ff D C es

inyectiva o uno a uno y se denota como 1 1 , si a diferentes

elementos del dominio le corresponden diferentes elementos

del codominio. En esta función, para dos valores

cualesquiera 1 2x y x de su dominio se cumple que:

1 2 1 2x x f x f x

Ejemplo. Sea la función :f dada por 2f x x

27


Si en este ejemplo se limita el dominio de la función es

evidente que se obtienen funciones inyectivas:

: 0f dada por 2f x x

: 0f dada por 2f x x

Comprobación analítica: para cada valor de " "y exista un

solo valor de " "x . Comprobación gráfica: toda recta paralela

al eje " "x corta a la gráfica de la función en un solo punto.

Ejemplo. Sea la función : , ; cos2 2

f f x x

. Si se

grafica se observa que no es 1 1 . Sin embargo, si se cambia

su dominio y ahora se define como:

: 0, ; cosf f x x

se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un

solo punto por lo que sí es 1 1 .

" sí inyectiva"

y

x x

,2 2

fD

"no inyectiva"

0,fD

y

2

0

2

x

y

2 2,x f x 1 1,x f x

1x 2x

1 2x x 1 2f x f x

28


Ejemplo. Dos funciones, una que sí es 1 1 y otra que no

Ejemplo. Verificar analíticamente que la función : 0,f

dada por 2 4f x x , es inyectiva.

Función Suprayectiva (sobre). Una función es suprayectiva o

sobre si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo

menos un elemento de su Dominio, lo que se expresa como:

Sea : f ff D C

f fSi b C existe a D tal que ,

entonces es sobre

f a b

f

Codominio y Recorrido deben ser iguales, esto es, f fR C

1

2

3

a

b

c

d

e

1

2

3

a

b

no es 1-1 sí es 1-1

fD fD fC fC

29


Ejemplo. Sea la función 3 1f x x definida como :f

Ejemplo. Analizar si la función definida como :f dada

por 2f x x es suprayectiva y, en caso de no serlo,

determinar bajo qué condiciones podría serlo.

Ejemplos

Ejemplo. Verificar que la función definida como

: 0, ,0f y dada por f x x , es suprayectiva.

1

2

3

a

b

c

d

e

fD fC

1

2

3

a

b

sí es sobre

fD fC

no es sobre

30


Función Biyectiva (1-1 y sobre). Una función es biyectiva si al

mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre

los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.

Una función puede ser:

)i 1-1 y sobre (biyectiva) )ii 1-1, pero no sobre

)iii No 1-1, pero sí sobre )iv Ni 1-1 ni sobre

Ejemplos

Ejemplo. Dada la función, investigar si es biyectiva y, en caso

de serlo, hacer un trazo de su gráfica:

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

3

4

1-1 sí y sobre no

4

1-1 no y sobre no

a

c

b

1

2

3

a

b

c

1

2

Biyectiva

1-1 y sobre 1-1 no y sobre sí

31


2) : 0, 0, dada por f xi f x

2) : 0,1 0,1 dada por 1ii f f x x

FUNCIÓN INVERSA

Si en una función biyectiva se cambian " " por " "x y y

" " por " "y x , y se despeja la nueva variable dependiente " "y ,

la relación resultante es una nueva función que se llama

“función inversa” y se denota con 1" "f

Definición. Sea f una función biyectiva. Entonces su función

inversa es 1" "f y está definida por la siguiente condición:

1, si y sólo si ,x y f y x f

El dominio de f se convierte en el recorrido de 1f y el

recorrido de f en el dominio de 1f , esto es,

1 1f ff fD R y R D

Las gráficas de 1f y f son simétricas con respecto a la

gráfica de la función identidad y x .

32


Para que una función admita función inversa, debe ser

biyectiva. Lo importante es que sea inyectiva, ya que para

ser suprayectiva bastará considerar siempre que el

codominio es igual al recorrido.

Ejemplo. Investigar si la función dada por:

: , 2 1; 2,2 ;f x y y x x x

es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa y

dar dominio, recorrido y trazo de la gráfica de 1f y f

Ejemplo. Dadas las seis funciones trigonométricas, explicar

las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios

para que tengan función inversa y definir ésta

f x senx . Se limita su dominio al intervalo ,2 2

, y

entonces sí tiene función inversa: ;y senx x seny y angsenx

1

1 ; 1,1 fff x angsenx D R

cosf x x . Se limita su dominio al intervalo 0, , entonces

sí tiene función inversa: cos ; cos cosy x x y y ang x

1

1 cos ; 1,1 fff x ang x D R

33


tanf x x . Se limita su dominio al intervalo ,2 2

y de

esta forma admite función inversa: tan ; tan tany x x y y ang x

1

1 tan ; , fff x ang x D R

cotf x x . Si se fija el dominio al intervalo 0, , entonces

tiene función inversa: cot ; cot coty x x y y ang x

1

1 cot ; , fff x ang x D R

secf x x . Se limita su dominio al intervalo 0,2

,

tendrá función inversa, la que se define como: sec ; sec secy x x y y ang x

1

1 sec ; , 1 1,f

f x ang x D

cscf x x . Se limita su dominio al intervalo , 02 2

y

su función inversa será: csc ; csc cscy x x y y ang x

1

1 csc ; , 1 1,f

f x ang x D

Ejemplo. Dada la función definida como : 0, 1,1f

dada por cosf x x , dar dominio y recorrido de 1f y f y

graficarlas.

Solución.

Se construye la siguiente para graficar las dos funciones:

x 0 6

3

2

2

3

5

6

1y f x

y f x 1 0.866 0.5 0 0.5 0.866 1 x

34


1 10, ; 1,1f ff fD R R D

Ejemplo. Dada la siguiente función, decir si es biyectiva y si

lo es, dar fD ,

fR y gráfica de 1f y f y definir 1f x

:

2 2 2 0

) 60 6

3

x si x

i f x xsi x

21 2 0

)1 0

2

x si x

ii f xsenx si x

2 4 1 4 2

1) 6 2 0

2

240 4

4

x x si x

iii f x x si x

xsi x

x

y

1f

f 1

1

1

1

35


36


Composición de una función con su función inversa. Las

gráficas de 1f y f son simétricas con respecto a la gráfica

de la función identidad. Resulta sencillo probar que:

1 1

1 1

f

f

f f f f x x x R

f f f f x x x D

Verificación gráfica:

FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

En Cálculo en el bachillerato se estudiaron la derivada y la

integral, la primera en su interpretación geométrica y la

segunda como el área bajo la curva y ambas como

operaciones inversas. La primera fórmula que se trató en

integración fue la siguiente:

1

; 11

nn xx dx C n

n

Es evidente que esta expresión no se puede utilizar cuando

1n ¿Qué sucede en este valor?

1x f f x 1x f f x 1f x f x

f 1f

1f f

37


Considérese la función 1

y f xx

que, como se sabe, tiene

como dominio y recorrido a:

0 y 0f fD R

Si se grafica la porción de esta curva, correspondiente al

primer cuadrante, partiendo del hecho de que es la

ecuación de una hipérbola equilátera, se tendrá:

El área señalada en la figura, comprendida entre la curva y

los ejes " " y " "x y , de acuerdo a lo antes expresado, se

puede calcular mediante la integral siguiente:

1

xdtA x

t

Si de esta integral, es decir, del área bajo la curva que es una

función de " "x , se estudian algunas de sus propiedades, se

obtiene:

1 0A

0 si 0 1A x x

0 si 1A x x

0 y 0A uv A u A v u v

1

A A uu

0 y 0u

A A u A v u vv

rA u r A u

1

f tt

y

0 x

A

x

38


Si se comparan estas propiedades de la función " "A x con

las propiedades de una función usada en álgebra elemental

y que es el logaritmo de base positiva y arbitraria 1b , se ve

que:

1 0 ; log 1 0b

A

0 si 0 1 ; log 0 si 0 1b

A x x x x

0 si 1 ; log 0 si 1b

A x x x x

; log log logb b b

A uv A u A v uv u v

1 1

; log logb b

A A u uu u

; log log logb b b

u uA A u A v u vv v

; log logr r

b bA u r A u u r u

Como se observa, con excepción de la notación, las dos

columnas son idénticas. Es por ello que a la función " "A x se

dio por llamarla “función logarítmica”.

La función logb x se define como un número " "n tal que nb x donde a " "b se le conoce como la base. Y esta

potencia está definida, sin embargo, solamente para valores

racionales de " "n ; su gráfica entonces está llena de agujeros

y, como se puede ver, no es diferenciable e integrable.

Como función tiene entonces muy poca utilidad en Cálculo.

La función que se ha venido llamando " "A x , no solamente

tiene las mismas propiedades que el logaritmo elemental sino

que además, como se puede estudiar, es diferenciable e

integrable. Por esta y otras razones es la “natural” función

logarítmica que se usa en el Cálculo y es a la que se llama

“logaritmo natural”. Se acostumbra expresarla como: lnx y Lx

y por lo tanto se tiene que

39


1

lnxdt

A x xt

Esta nueva función lny f x x que equivale a un área,

tiene valores reales, como se observa en la figura que la

define, cuando la variable independiente es mayor que cero

y, como se vio en sus propiedades,

1 ln 1 0f

ln 0 si 0 1f x x x

ln 0 si 1f x x x

Se puede intuir y decir entonces que esta función “logaritmo

natural” tiene como dominio y recorrido a:

0, yf fD R

Es evidente en la figura del área que define a esta función

que su valor siempre crecerá, aunque mientras mayor sea el

valor de la variable independiente " "x , su crecimiento será

cada vez menor. Por el contrario, mientras el valor de " "x se

aproxime más a cero, el valor de la función crecerá más

rápido y esta se aproximará más al eje de las ordenadas,

pero sin llegar a tocarlo, por lo que lo tendrá como asíntota

vertical. Con todo lo expresado se puede construir la gráfica

de la función logaritmo natural, es decir, de lny x , que se

muestra en la siguiente figura.

x

y

lnf x x

1,0

,1e

2.718281828...e

40


Esta nueva función, al ser equivalente a la función

logarítmica, sus valores coinciden con los de la función

logarítmica cuya base es el famoso número " "e , llamado así

en honor al célebre matemático Euler y es por ello que su

gráfica, como se ve en la figura, pasa por el punto ,1e .

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Como la función lnx es biyectiva, admite función inversa y a

esta por el momento se le llamará " "E . Luego, 1lnE

y se sigue que:

si y solo si lny E x y x

Por lo que se trató en la función lnx y lo que se sabe de la

función y su inversa, es posible afirmar que:

ln ln0,

x E x x E xD R y R D

y también es posible escribir que:

ln 0

ln

E x x x

E x x x

De la segunda expresión se deducen las siguientes

propiedades de esta función E x :

Para cualquier yu v :

ln ln ln

ln

ln ln

E u E v E u E v

E u E v u v

E u E v E u v

y por lo tanto E u E v E u v

De manera similar:

ln ln lnE u

E u E vE v

41


ln ln lnE u E u

u v E u vE v E v

y por lo tanto

E u

E u vE v

Ahora, para cualquier número real " "u y racional " "v :

ln ln

ln

ln ln

v

v

v

E u v E u

E u uv

E u E uv

y por lo tanto v

E u E uv

Ahora se verá el porqué del nombre de “exponencial”. Para

cualquier racional " "x , la cantidad xe está definida por las

reglas del álgebra elemental y,

ln ln ; ln ; ln lnx x xe x e e x e E x

y por lo tanto

xE x e

para todo número racional " "x . Las potencias irracionales no

están definidas en el álgebra elemental. Entonces xe no está

definida para valores irracionales de " "x . Entonces se está

en libertad de instrumentar la siguiente definición:

xE x e x

El dominio y el recorrido de esta función son:

y 0,f fD R

Las propiedades anteriormente vistas, en notación

exponencial, están dadas por:

lnxy e x y ln 0xe x x

ln xe x x y x ye e e

42


xx y

y

ee

e

y

x xye e

Dado que esta función es inversa de la logaritmo natural, se

sabe que su gráfica pasa por los puntos 0,1 y 1, e .

Además, como el dominio de esta función exponencial es el

conjunto de los reales, su gráfica se abre asintóticamente al

eje " "x hacia la izquierda y, por otro lado, crece

indefinidamente en el eje " "y . La gráfica es la siguiente:

Esta gráfica puede obtenerse de la de lnx mediante una

reflexión en la recta y x . La gráfica de ambas funciones es:

x

y

0,1

1,e

xy e

1,0

lny x ,1e

x

0,1

1,e

xy e

y

43


Para graficar estas funciones, cuando el argumento es la

variable independiente u otra función de esta variable, se

recomienda utilizar los valores señalados en las siguientes

tablas:

lnf x x xf x e

Ahora se realizarán ejercicios con ambas funciones para

obtener sus funciones inversas, así como los dominios,

recorridos y gráficas de ambas.

Ejemplo. Dada la siguiente función, determinar su función

inversa y dar dominio, recorrido y gráfica de 1yf f .

2 3

) ln 2 1 ; ) ln 3

) ; )x x

i f x x ii f x x

iii f x e iv f x e

x y

0

0 1

1 e

x y

0

1 0

e 1

44


45


Las funciones ln xx y e pueden presentarse con diferentes

“bases”, por lo que se expresarían como log u

bu y a donde

u f x .

Conviene presentar dos formas equivalentes para obtener el

valor de la función logaritmo base " "b en términos del valor

de la función logaritmo natural. lnln

log log

u w

w

b b

u w e e

u e u w e

log ln logb bu u e

loglog

ln ln ln log ln

b u v v

b

b

u v b b u b

u v b u u b

lnlog

lnb

uu

b

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

En las funciones trascendentes, hubo quienes observaron que

determinadas combinaciones de las funciones

exponenciales x xe y e se presentaban con mucha

frecuencia en aplicaciones. La luz, la velocidad, la

electricidad o la radioactividad se absorben o extinguen de

manera gradual, y su decaimiento se puede presentar con

funciones que consideran las combinaciones de funciones

exponenciales como las antes citadas.

Una combinación de estas funciones describe la forma de un

cable colgante, esto es, que si se suspende un cable pesado

y flexible como el de una línea de transmisión o de una línea

telefónica, dicha combinación define la ecuación de la

curva.

46


Estas funciones, combinaciones de funciones exponenciales,

son deducidas de una hipérbola, de la misma forma que las

trigonométricas tienen como base al círculo unitario. Por ello

se llaman Funciones Hiperbólicas.

Se definirán estas funciones hiperbólicas a partir de la

hipérbola 2 2 1x y , de manera semejante a como se

desarrollaron las circulares a partir del círculo 2 2 1x y .

Considérese la circunferencia unitaria 2 2 1x y y sea ,P x y

un punto de ella en el primer cuadrante, como se observa en

la siguiente figura:

De la figura se puede expresar que:

Área del sector circular 2

2

2 2

rOAP u

Área del triángulo 21

2OAB u

de donde

Área del sector circular OAP 21Área del triángulo OAB

2

Entonces el arco puede considerarse como la razón entre

el área del sector circular OAP y el área del triángulo OAB.

También cabría notar que la medida del ángulo puede

x

A

,P x y

B

0

y 21y x

47


definirse como el doble del área del sector circular OAP que

el ángulo determina en el círculo unitario.

Ahora considérese la hipérbola 2 2 1x y y un punto de ella

,P x y en el primer cuadrante.

Se procede de manera semejante al caso del círculo anterior

y se obtiene entonces el número que se define como el

doble del área del sector hiperbólico OAP. Y a este número

se le llama la medida hiperbólica del ángulo AOP, con el

arco AP de la de la hipérbola. Entonces:

Área del sector Área del sector

1Área del triángulo

2

OAP OAP

OAB

El cálculo del área del sector OAP se determina como sigue,

considerando la figura anterior:

Área del sector Área del triángulo ÁreaOAP OCP ACP

donde el área ACP (área bajo la curva) es la limitada por la

hipérbola, el eje de las abscisas y las rectas x A y x C .

Esta área se calcula de la siguiente forma:

2

1Área 1

x

ACP z dz

x

y

C O A

,P x y

2 1y x

B

1 x

48


El cambio de variable se hace debido al límite superior de la

integral, que se resuelve por el método de sustitución

trigonométrica, que se verá en métodos de integración.

Entonces el área requerida es:

2 2 2

1

1Área 1 1 ln 1

2 2

x xACP z dz x x x

Como el área del triángulo OCP es igual a:

Área 2

xyOCP

entonces

2 21Área del sector 1 ln 1

2 2 2

xy xOAP x x x

Como 2 1y x

1 1Área del sector ln ln

2 2 2 2

xy xyOAP x y x y

Y como el área del triángulo OAB es: 1

Área del triángulo 2

OAB

Entonces se llega a:

1ln

Área del sector 2 ln1Área del triángulo

2

x yOAP

x yOAB

Como en el caso de las funciones trigonométricas, para la

hipérbola dada (en la figura), el punto ,P x y y las

condiciones obtenidas, se definen las funciones:

DEFINICIÓN.

Seno hiperbólico de 2

Coseno hiperbólico de cos2

e ePC y senh

e eOC x h

49


De la expresión ln x y es posible obtener que:

lnln

x yx y e e e x y

ln

1ln

ln

1

x y

x y

x y e e

e e ex y

Mediante la ecuación de la hipérbola 2 2 1x y y algunas

operaciones algebraicas, se llega a:

2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2

y x y xy y y xy y x xy yy y

x y x y x y x y

2

22 2

1 112 1

2 2 2 2 2

x yx y

x yx xy y e ex y x y

x y x y

2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2

x x y x xy x xy x y xy xx x

x y x y x y x y

2

22 2

1 112 1

2 2 2 2 2

x yx y

x yx xy y e ex y x y

x y x y

Por lo tanto:

cosh2 2

e e e esenh y

Y en términos de estas dos funciones se definen las siguientes

cuatro:

DEFINICIÓN.

costanh ; coth ; 0

cosh h

senh e e h e e

sene e e e

1 2 1 2sech ; csc ; 0

cosh hh

sene e e e

50


Antes de estudiarlas brevemente, se presenta a continuación

un interesante concepto físico con una de ellas.

LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Si se deja colgar libremente una cadena o un cable entre

dos soportes, se forma una curva llamada catenaria (del

griego katena que significa cadena). Las catenarias se

encuentran por donde uno mire: una reata de tender, un

cable telefónico, los cables de suspensión de un puente,

etcétera. La forma depende del peso y tensión del cable,

pero sus ecuaciones son todas de la misma forma y están

íntimamente relacionadas con la función exponencial. Una

representación gráfica de una catenaria se muestra en la

siguiente figura:

Si se considera una sección de catenaria y se analizan las

diferentes fuerzas que intervienen en ella, como son la

tensión del cable en el punto más bajo (punto mínimo de la

curva) y en otros puntos, el peso del cable y otras

consideraciones, se obtiene la ecuación de la catenaria que

corresponde al coseno hiperbólico, esto es,

cosh2

x xe ey x

IDENTIDADES “TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS”

Así como en la trigonometría circular se tienen las conocidas

identidades trigonométricas, para las funciones hiperbólicas

catenaria

y

x

51


se presentan también identidades entre las cuales las de

mayor importancia son las siguientes (la demostración de los

teoremas se omite, pero el lector la puede hacer

considerando las formas exponenciales de cada función):

TEOREMA. 2 2cosh 1x senh x

TEOREMA. 2 2tanh sec 1x h x

TEOREMA. 2 2coth csc 1x h x

TEOREMA. 2 2 coshsenh x senhx x

TEOREMA. 2 2cosh2 coshx x senh x

Otras identidades importantes son:

2 1 1cosh2

2 2senh x x

2 1 1cos cosh2

2 2h x x

cosh coshsenh x y senhx y xsenhy

cosh coshsenh x y senhx y xsenhy

cosh cosh coshx y x y senhxsenhy

cosh cosh coshx y x y senhxsenhy

cosh cosh 2cosh cosh2 2

x y x yx y

cosh cosh 2 h h2 2

x y x yx y sen sen

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh

2 cosh2 2

x y x ysenhx senhy senh

DOMINIOS, RECORRIDOS Y GRÁFICAS

Seno hiperbólico: 2

x xe ef x senhx

52


El valor de la función es real para cualquier valor real de " "x .

Por lo que su dominio es fD . Su gráfica es:

El recorrido de la función es el conjunto de los números

reales, es decir, fR .

Coseno hiperbólico: cosh2

x xe ef x x

De la regla de correspondencia se infiere que el dominio es

el conjunto de los valores reales, es decir, fD . Su gráfica

es la siguiente:

El recorrido de la función es: 1,

fR

Tangente hiperbólica: tanhcosh

x x

x x

senhx e ef x x

x e e

En la gráfica de coshx se ve que esta función no se anula en

ningún valor de " "x , luego el dominio de esta función tanhx

es el conjunto de los reales, es decir, fD . Su gráfica es:

x

1

coshy x

y

x

y

y senhx

53


x

y

1

1

tanhy x

asíntota

asíntota

Esta gráfica tiene dos asíntotas horizontales ecuaciones

1 1y y y , luego su recorrido es 1,1fR .

Cotangente hiperbólica:

1 cosh

cothtanh

x x

x x

x e ef x x

x senhx e e

La función senhx se hace cero únicamente en el origen,

donde este valor se presenta una asíntota vertical. El dominio

está dado por 0fD . La gráfica es la siguiente:

Tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones

1 1y y y por lo que su recorrido es , 1 1,fR .

x

y

1

1

asíntota

asíntota

cothy x

54


Secante hiperbólica: 1 2

seccosh x x

f x hxx e e

El dominio de esta función es el mismo que el de la función

tanhx , esto es, fD . Su gráfica es la siguiente:

Como se observa en la gráfica, el eje " "x es una asíntota

horizontal (de ecuación 0y ), luego su recorrido es 0,1fR .

Cosecante hiperbólica: 1 2

cscx x

f x hxsenhx e e

Su dominio es el mismo que el de la función cothx , es decir,

0fD . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

Como su asíntota es el eje " "x , su recorrido es 0

fR .

x

y

cschy x

x

y

1

secy hx

asíntota

55


FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Se graficarán y se darán dominios y recorridos. En

cosh secx y hx se limitará el domino para que sus

respectivas inversas sean funciones.

Función seno hiperbólico inversa: 1 1f x senh x

1 1;f ff fD R R D

Función coseno hiperbólico inverso: 1 1coshf x x

1 10, ; 1,f ff fD R R D

x

y

1

coshf x x

1

1 1coshf x x

x

y

1 1f x senh x

f x senhx

56


Función tangente hiperbólica inversa: 1 1tanhf x x

1 1; 1,1f ff fD R R D

Cotangente hiperbólica inversa: 1 1cothf x x

1 10 ; 1,1f ff fD R R D

x

y

1 1

asíntota

asíntota

cothf x x

1 1cothf x x

x

y

1

1

tanhf x x

asíntota asíntota

1 1tanhf x x

57


Secante hiperbólica inversa: 1 1secf x h x

1 10, ; 0,1f ff fD R R D

Cosecante hiperbólica inversa: 1 1cscf x h x

1 10 ; 0f ff fD R R D

x

y

cschf x x

1 1cschf x x

x

y

1

1 1secf x h x

asíntota

asíntota

secf x hx

58


FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE LA LOGARÍTMICA

Las funciones hiperbólicas están en términos de la función

exponencial y ésta es inversa de la función logaritmo natural,

luego las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar

en términos de la función logaritmo natural.

Considérese el caso de la función seno hiperbólico inverso. 1y senh x sí y sólo si x senhy

22

y yy ye e

x senhy x e e

Se multiplican ambos miembros por ye y se obtiene: 2

2 22 4 42 1 0 1

2

y y y x xe xe e x x

Se aplica ahora la función logaritmo natural y: 2 2ln ln 1 ln 1ye x x y x x

Por lo que: 1 2ln 1senh x x x

Como 0ye , entonces 2 1 0x x x

1er Caso: 2 1 0x x

Como 2 21 0 1x x x x

2o Caso: 2 1 0x x

Como 2 1x x no tiene solución en , por lo tanto

1 2ln 1 ;senh x x x x

De manera semejante, para las otras cinco funciones:

1 2cosh ln 1 ; 1, 0x x x x

1 1 1tanh ln ; 1,1

2 1

xx x

x

59


1

21

2

21

2

1 1coth ln ; , 1 1,

2 1

1 1sec ln ; 0,1

1 1csc ln ; , 0 0,

xx x

x

xh x x

x x

xh x x

x x

FORMULACIÓN DE FUNCIONES

Secuela para formular funciones:

Lectura e identificación de magnitudes e incógnitas

Modelo geométrico con magnitudes

Modelo matemático preliminar

Ecuaciones auxiliares

Modelo matemático definitivo

Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la flexión de una

viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado

del peralte de su sección, formular una expresión

matemática que represente a la resistencia de dicha viga en

términos únicamente de su ancho. La viga se saca de un

tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm.

60


Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico

(cilindro circular recto) con tapas semiesféricas. El costo del

material con el que se construye el cilindro es de 120 pesos

por 2m y el de las tapas es de 140 pesos por 2m . Si el

volumen del tanque debe ser de 15000 litros , el ingeniero se

pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones " " y " "x y del

tanque para que el costo de los materiales sea el mínimo?

Para responder a esta pregunta, decide formular la función

que relaciona al costo del cilindro en términos de una de las

variables, ya sea " "x o " "y . Se pide ahora formular un

modelo teórico del costo de los materiales para construir el

tanque, en términos únicamente del radio " "x de las

semiesferas de los lados.

61


Ejemplo. Obtener una expresión que defina el volumen de

un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de

radio 5m y altura 12m, en función exclusivamente del

radio del cilindro.

Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyo

radio de la base es " "x y su altura " "y , en una esfera de

radio " "R . Obtener una expresión para el volumen del cono,

en función únicamente de su altura.

62


Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con

un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 1000m de

cerca lineal, pretende saber qué dimensiones debe tener el

terreno para que el área sea máxima. Y para ello, el

ingeniero construye un modelo matemático con una función

a optimizar que considere como variable únicamente a la

longitud de los lados que no colindan con el muro. ¿Cómo

define este modelo?

Ejemplo. Una recta que pasa por el punto 3,4 forma con

los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo

rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo

formado en términos exclusivamente de la longitud desde el

origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje

de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al

origen.

63


Ejemplo. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa

debe contener 10,000 litros de una determinada substancia

química. Los materiales para su construcción tienen el costo

siguiente: 2$200/m para la base, 2$100/m para la tapa y 2$180/m para la superficie lateral. Obtener una expresión

que defina al costo de la cantidad de material empleado en

la construcción del tanque en función solamente del radio de

su base.

Capítulo 2. Funciones

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