Capítulo #2 Modelado Matemático de Sistemas de Control

Capítulo 2

Modelado Matemático de

Sistemas de control

Teoría de Sistemas Industriales

Cómo analizar y diseñar un sistema de control

2

Controller Actuator Plant

Sensor

-

r

Expected value

e

Error

Disturbance

Controlled variable

n y u

• Lo primero que tenemos que pensar es en

establecer el modelo del sistema

(Modelo matemático)

3

Modelado del sistema

Definición：

Expresión matemática de la relación dinámica entre la salida y la entrada en un sistema de control.

Modelo matemático es la base para analizar y diseñar sistemas de control automático

No hay un modelo matemático de un sistema físico que sea exacto. Generalmente nos esforzamos por desarrollar un modelo que es adecuado para el problema, pero sin hacer el modelo excesivamente complejo.

4 Transformada

de Laplace

Transformada

de Fourier

Tres Modelos Ecuación Diferencial

función de Transferencia

Característica de Frecuencia.

Función de

Transferencia

Ecuación

Diferencial

Frequency

characteristic

Sistema Linear Responde al Estudio del dominio del

tiempo

Responde al estudio Domanio de la

frequencia

5

Métodos de Modelado

Método Analítico

De acuerdo a A. Leyes de movimiento de Newton B. Ley de Kirchhoff C. Los parámetros y estructura del sistema la expresión matemática del sistema de entrada y salida puede ser derivada. Por lo tanto, construimos el modelo matemático (adecuado para sistemas simples).

Métodos de Modelado

6

Métodos de identificación de sistemas Construyendo el modelo del sistema basados en la

señal de entrada - salida del sistema

Este método suele aplicarse cuando hay poca información disponible para el sistema.

Caja Negra Entrada Salida

Caja Negra: El sistema es totalmente desconocido. Caja Gris: El sistema es parcialmente conocido

Redes Neuronales, Sistemas Difusos

7

¿Por qué centrarse en sistema lineales invariantes en el tiempo (LTI)? ¿Qué es un sistema lineal?

sistema 1( )u t 1( )y t

2( )u t 2( )y t1 1 2 2( ) ( )u t u t 1 1 2 2y y

sistema

sistema

¿Es y(t)=u(t)+2 un sistema lineal?

-Aun sistema se puede llamar linear si se aplica

el principio de superposición.

Ventajas de los sistemas lineales

La respuesta global de un sistema lineal puede obtenerse por

8

-- Descomponiendo la entrada en una suma de

elementos de señales

-- Encontrando cada respuesta en la salida con la

señal primaria correspondiente

-- Adicionando todas estas respuestas juntas

Por lo tanto, podemos utilizar la señal primaria típica (e.j.

Escalón unitario, impulso unitario, rampa unitaria) para

analizar el sistema en aras de la simplicidad.

9

• ¿Qué es un sistema invariante en el tiempo?

– Un sistema es llamado invariante en el tiempo si los parámetros son estacionarios con respecto al tiempo durante la operación del sistema

– Ejemplos？

10

2.2 Establecimiento de la ecuación diferencial y linealización

11

Ecuación Diferencial

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

( ) ( 1) (1)

0 1 1

( ) (1)

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n

m

m m

a c t a c t a c t c t

b r t b r t b r t

--- Una amplia gama de sistemas de ingeniería

están modeladas matemáticamente por

ecuaciones diferenciales.

--- En general, se escribe la ecuación

diferencial de un sistema de n-ésimo orden

Modelo en el dominio

del Tiempo

12

Como establecer la EDO de un sistema de control

--- Enumera las ecuaciones diferenciales de acuerdo

a las reglas físicas de cada componente;

--- Obtener el conjunto de ecuaciones diferenciales

eliminando variables intermedias;

--- Obtener la ecuación diferencial general de

entrada y salida del sistema de control.

13

Ejemplo-1 Circuito RLC

R L

C u(t) uc(t) i(t)

Entrada

u(t) sistema

Salida

uc(t)

Definir la entrada y salida según qué relación causa efecto les interesa.

14

)()()(

)(2

2

tudt

tudLC

dt

tduRCtu C

CC

De acuerdo con la ley de Kirchhoff en electricidad

( )( ) ( ) ( ) (1)c

di tu t Ri t L u t

dt

1( ) ( ) (2)Cu t i t dt

C

( )( ) Cdu t

i t Cdt

R L

C

u(t) uc(t) i(t)

Se reescribe en la forma estándar

15

En General •La salida en lado izquierdo de la ecuación •La entrada en el lado derecho •La entrada se coloca del orden mas alto al más bajo

( ) ( ) ( ) ( )C C CLCu t RCu t u t u t

16

Ejemplo-2 Sistema masa-resorte-fricción

m

k

F(t)

Desplazamiento x(t)

f

fricción

resorte

Estamos interesados en la

relación entre la fuerza

externa f (t) y x (t)

desplazamiento de la masa

1 ( )F kx t

2 ( )F fv t

Define: Entrada—F(t); Salida---x(t)

( ),

dx tv

dt

2 ( )d x ta

dt

No se toma en cuenta La Gravedad

F ma1 2ma F F F

17

( ) ( ) ( ) ( )mx t f x t kx t F t

Mediante la eliminación de variables intermedias, obtenemos la ecuación diferencial general de entrada y salida del sistema masa-resorte-fricción.

Recordemos el sistema de circuito RLC

( ) ( ) ( ) ( )c c cLCu t RCu t u t u t

Estas fórmulas son similares, es decir, podemos usar el mismo modelo matemático para describir una clases de sistemas que son físicamente diferentes pero comparten la misma ley de Movimiento.

18

Ejemplo-3 Sistema no lineal

En realidad, la mayoría de los sistemas en efecto no lineales, e.j. El sistema de péndulo, que es descrito por ecuaciones diferenciales no lineales.

L

Mg

2

2sin ( ) 0

dML Mg t

dt

• Es difícil de analizar los sistemas no lineales, sin embargo podemos linealisar el sistema no lineal cerca de su punto de equilibrio bajo ciertas condiciones

2

2( ) 0 (when is small

dML Mg t

dt

）

Linealización de ecuaciones diferenciales no lineales

Varias características no lineales en el sistema de control.

19

input

output

0

Saturation (Amplifier)

input

output

0

Dead-zone (Motor)

20

Métodos de linealización

（1）No linealidad débil, despreciable

（2）Pequeña perturbación/error de método Asumiendo: En el proceso del sistema de control, hay

pequeños cambios sobre el punto de equilibrio en la entrada y salida de cada componente.

Si la no linealidad del componente no está dentro de

su región de trabajo lineal, su efecto sobre el

sistema es débil y puede ser despreciable.

Esta suposición es razonable para muchos sistemas de

control práctico: en sistema de lazo cerrado, una vez que

se produce la desviación, el mecanismo de control

reduce o la elimina. En consecuencia, todos los

componentes pueden trabajar alrededor del punto de

equilibrio.

21

La entrada y salida sólo tengan variación pequeña alrededor del punto de equilibrio. 0( ), ( ) 0nx x x x

0

0 0( )x

dyy y x x

dx

xky Este es el modelo lineal del componente no-lineal.

Example

0 x

y

饱和（放大器）

y0

x0

y=f(x)

A(x0,y0)

A(x0,y0) es el punto de equilibrio. Expandiendo la función no lineal y=f(x) en una serie de Taylor sobre A(x0,y0) tenemos

Saturation (Amplifier) 2

02

2

00 )(!2

1)()(

00

xxdx

ydxx

dx

dyyxfy

xx

22

Nota：Este método solamente es aplicable para sistemas con una no linealidad débil.

0

继电特性

0

饱和特性Relay Saturation

Para sistemas con una no linealidad fuerte, no podemos usar este método de linealización.

23

• Inodoro

valve

piston

float

Water flow

H(t)

Q1

Q2

Ejemplo-4 El modelado de un sistema no lineal

Problema: Derive la ecuación diferencial

del tanque de agua (el área de sección

transversal del tanque de agua es C).

Q1: inflow por unidad de tiempo

Q2: outflow por unidad de tiempo

Nivel inicial de agua: H0

Q10=Q20=0

Defina: Entrada—Q1,Salida—H

24

Solución: El flujo de salida o el flujo entrante en función del tiempo dt debe ser igual a la cantidad total de agua（Q1-Q2）en un cambio de tiempo dt , es decir:

Según el ‘Teorema de Torricelli’, la producción de agua es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la altura del nivel del nivel del agua, así:

R

HQ

2

1 2( )CdH Q Q dt

' is a scale

coefficent.

R

Es obvio que esta formula no es lineal, Sobre la base de la

Expansión de la Serie de Taylor de funciones alrededor de

puntos de operación (Q10,H0 ), tenemos.

,2

1

0

2

R

HH

RHQ

Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales lineal del depósito de agua es:

25

1RQHdt

dHRC

Ejercicio

E1. Por favor, construir las ecuaciones diferenciales de los dos sistemas siguientes.

26

ix

ox

f

1K

2K

Output

Input

Output

Input 1R

2R

C

( )ru t ( )cu tx

A

B

27

1 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2

2

1 1

1

( )c rc r

c

r c

R i i dtC

du dui i i R R C R R u R R C R u

dt dtu R i

u R i u

1

1 2 1 2 1

2

( ) ( )( )

( )

i o o io

o o

K x x f x x dx dxf K K K K x K f

K x f x x dt dt

Soluciones.

(1) RC circuit

(2) Mass-spring system

28

2-3 Función de Transferencia

29

Resolviendo las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo

Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:

• Para encontrar la solución general (que implica resolver la ecuación característica)

• Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (involucrando la construcción de múltiples valores de la función)

30

¿Porqué necesitamos la Transformada de LAPLACE?

Problemas de algebra Dominio de “s”

Solución de Problemas de

algebra

Dominio del Tiempo Problemas EDO

Solución de Problemas en el

dominio del tiempo

Transformada

Laplace (TL)

Inversa

(ITL)

Difícil Fácil

31

Transformada de Laplace

Laplace, Pierre-Simon 1749-1827

0

( ) ( )

( ) st

F s f t

f t e dt

L

La Transformada de Laplace de una función f(t) está definida como

donde es una variable

compleja.

s j

32

Ejemplos

Señal Escalón: f(t)=A

0( ) ( ) stF s f t e dt

0

stAe dt

0

stAe

s

A

s

• Exponential signal f(t)= ate

( )F s 0

at ste e dt

1

s a

( )

0

1 a s tes a

33

Tabla de transformadas de Laplace

f(t) F(s) f(t) F(s)

δ(t) 1

1(t)

t

ate

2 2

w

s w

2 2

s

s w

wte at sin

wte at cos

22)( was

w

22)( was

as

1

s a

1

s

2

1

s

sin wt

cos wt

34

Propiedades de la Transformada de Laplace

(1) Linealidad

1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]af t bf t a f t b f t L L L

(2) Diferenciación

( )( ) (0)

df tsF s f

dtL

(1)1 2 ( 1)( )( ) (0) (0) (0)

nn n n n

n

d f ts F s s f s f f

dtL

Donde f(0) es el valor inicial de f(t).

Usando el método de Integración por Partes para

probar

35

(3) Integración

0( )

( )t F sf d

sL

1 2

1 2 1

( )( )

nt t t

n no o o

F sf d dt dt dt

sL

Usando el método de

Integración por

Partes para probar

(5) Teorema de Valor Inicial

36

（4） Teorema de Valor Final

)(lim)(lim0

ssFtfst

)(lim)(lim0

ssFtfst

The final-value theorem relates the steady-state behavior of f(t) to the behavior of sF(s) in the neighborhood of s=0

37

(6)Teorema de Cambio：

a. Cambio en el tiempo (Dominio real)

[ ( )]f t L

[ ( )]ate f t L

b. Cambio en el dominio complejo

(7) Teorema Convolución Real (Multiplicación Compleja)

1 2 1 2

0

[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

t

f t f d F s F s L

( )se F s

( )F s a

38

Transformada Inversa de Laplace

Definición：la transformada Inversa de Laplace se escribe está dada por

donde C es una constante real。

1[ ( )]F sL

1 1( ) [ ( )] ( ) ( 0)

2

C j

st

C j

f t F s F s e ds tj

L

Nota: La operación de la Transformada inversa de Laplace involucra funciones racionales que pueden ser llevadas para utilizar las tablas de Transformadas de Laplace y la expansión de fracciones parciales

39

El método de Expansión de Fracciones Parciales para encontrar la transformada

Inversa de Laplace 1

0 1 1

1

1 1

( )( ) ( )

( )

m m

m m

n n

n n

b s b s b s bN sF s m n

D s s a s a s a

Si F(s) es descompuesto en sus componentes

1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s

Si la transformada inversa de Laplace de los componentes se puede realizar, entonces

1 1 1 1

1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s L L L L

1 2 ( ) ( ) ... ( )nf t f t f t

Polos y zeros

Polos Un número complejo s0 es llamado pole de una función

de Variable compleja F(s) si F(s0) =∞.

40

Ejemplos:

( 1)( 2)

( 3)( 4)

s ss s

zeros: 1, -2 polos: -3, -4;

2

1

2 2

s

s s

polos: -1+j, -1-j; zeros: -1

• Zeros

– Un número complejo s0 es llamado zero de una

función de Variable compleja F(s) si F(s0) = 0.

41

Caso 1: F(s) Tiene polos reales 1

0 1 1

1

1 1

( )( )

( )

m m

m m

n n

n n

b s b s b s bN sF s

D s s a s a s a

where ( 1,2, , ) are eigenvalues of ( ) 0, and

( )( )

( )

i

i

i i

s p

p i n D s

N sc s p

D s

( )f t 1 2

1 2 ... np tp t p t

nc e c e c e

Parámetros pk dan la forma y los números ck dan las magnitudes.

1 2

1 2

n

n

cc c

s p s p s p

Partial-Fraction Expansion

Inverse LT

2 31 1 1( )

6 15 10

t t tf t e e e

1 1 1 1 1 1( )

6 1 15 2 10 3

F s

s s s

42

1( )

( 1)( 2)( 3)F s

s s s

Ejemplo 1 31 2

1 2 3

cc c

s s s

2

2 ( 21 1

( 1)( 2)( 3) 5)

1

s

cs s s

s

3

3

1 1

( 1)( 2) 03)

( )(

3 1

s

cs s

ss

1

1

1 1

( 1)( 2)1)

( 3) 6(

s

cs s

ss

Partial-Fraction Expansion

43

Caso 2: F(s) tiene polos complejos conjugados

Ejemplo 2

2 2cos 3 si( ) n tte ety t t

2

5( )

4 5

sY s

s s 2

5

( 2) 1

s

s

2

2 3

( 2) 1

s

s

2 2

2

( 2) 1

3

( 2) 1

s

s

s

Transformada de Laplace

Expación de Fracciones Parciales

Transformada Inversa de Laplace

Aplicando condiciones iniciales

1

1

11 1

( ) ( )

n l l l

n l i i

l l

i

c b bc b

s p s p s p s p s p

44

Caso 3: F(s) tiene polos de múltiple-orden

1 2

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ) )( (

l

in r

N s N sF s

D s s s sp pp p s

1

1 ( ) ( ,) ( ) ( ), ,

l l

i is p

s pi

l l

ds p s p

dF s

sb F s b

1

1

1( ) ( ),

( ) (

1 1( ) ( )

! ( 1)! )

i

m ll l

i i

s p s

l m

p

N s N sb b

D s D

d ds p s p

m d ds ss l

Los coeficientes 𝑐1, … , 𝑐𝑛−1 de polos simples pueden ser calculados como en el

en el Caso 1;

Los coeficientes correspondientes a polos de múltiples orden son determinados

Polos Simples Polos de Múltiple-orden

45

Ejemplo 3

3

1( )

( 1)

Y s

s s

31 2 1

3 2( )

( 1) ( 1) 1

bc b bY s

s s s s

Transformada de Laplace: 3 2 2( ) (0) ( 3 ( ) 3 (0) 3 (0

3 ( )

)

3

0

1

) (0

0

)

( ) ( )

s Y s s y sy

sY s y Y s

sy Y s sy y

s

Aplicando condiciones iniciales:

Expanción de Fraciones Parciales

s= -1 es un

polo de orden 3

Resuelva la siguiente ecuación diferencial

46

1 3

0

11

( 1)

s

c ss s

3 2

2 13 11

1 1[ ( 1) ] [ ( )] ( ) 1

( 1)

s s

s

d db s s

ds s s ds s

3

3 13

1[ ( 1) ] 1

( 1)sb s

s s

3

1

1

1(2 ) 1

2! s

b s

Determinando coeficientes:

3 2

1 1 1 1( )

( 1) ( 1) 1

Y s

s s s s

Transformada Inversa de Laplace:

21( ) 1

2

t t ty t t e te e

47

Con la ayuda de MATLAB

1. Transformada de Laplace L=laplace(f)

2. Transformada Inversa de Laplace

F=ilaplace(L)

>> syms t

>> L=laplace(t)

L=

1/s^2

>> L=laplace(sin(t))

L=

1/(s^2+1)

>> F=ilaplace(L)

F=

sin(t)

48

Función de Transferencia

LTI

system Entrada

u(t)

Salida

y(t)

Considere un sistema linear descrito por la ecuación diferencial

1

1 1 0

1 0

1

1

( )( )

( )

...( )

( ) ...

zero initial conditio

m m

m m

n n

n

n

output y tTF G s

input u t

b s b s b s bY s

U s s a s a s a

L

L

( ) ( 1) ( ) ( 1) (1)

1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n m m

n m my t a y t a y t b u t b u t bu t b u t

Asuma todas las condiciones iniciales son zero, obtenemos

la función de transferencia (FT) de el sistema

49

Ejemplo 1. Encuentre la función de transferencia RLC

1) Escriba la ecuación diferencial del sistema de acuerdo con las

leyes físicas:

R L

C u(t) uc(t) i(t) Entrada Salida

2) Asumiendo todas las condiciones iniciales son zero y

aplicando la transformada de Laplace

3) Calculando la función de transferencia ( )G s

2

( ) 1( )

( ) 1

cU sG s

U s LCs RCs

( ) ( ) ( ) ( )C C CLCu t RCu t u t u t

2 ( ) ( ) ( ) ( )c c cLCs U s RCsU s U s U s

Solución:

Ejercicio

Encuentre la función de transferencia del siguiente sistema:

50

2

2

( ) ( )5 4 ( ) ( )

d y t dy ty t u t

dt dt

51 51

Función de Transferencia de componentes típicos

Componentes EDO FT

( )v t ( )i t

R ( ) ( )v t Ri t( )

( )( )

V sG s R

I s

( )v t( )i t

L

( )( )

di tv t L

dt

( )( )

( )

V sG s sL

I s

( )v t ( )i t

C 0

1( ) ( )

t

v t i dC

( ) 1

( )( )

V sG s

I s sC

Propiedades de la función de transferencia

La función de transferencia está definida solamente para un sistema lineal invariante en el tiempo, no para sistemas noliniales.

Todas las condiciones iniciales del sistema se ajustan a zero.

La función de transferencia es independiente de la entrada del sistema.

La función de transferencia G(s) es la transformada de Laplace del respuesta de impulso unitario g(t).

52

53 53

¿Como los polos y los ceros se refieren a la respuesta del sistema?

• ¿Por qué nos esforzamos por obtener modelos

de FT?

• ¿Por qué los ingenieros en control prefieren

usar modelos de FT?

• ¿Cómo se usa los modelos de FT para analizar

y diseñar los sistemas de control?

• Partimos de la relación entre las localidades de

ceros y polos de FT y las respuestas de la salida

de un sistema.

Control System Engineering-2008

54 54

Posición de Polos y Ceros

-a

j

i 0

( )A

X ss a

Función de Transferencia

( ) atx t Ae

Respuesta impulso en el

dominio del Tiempo

0


55 55

1 1

2 2( )

( )

A s BX s

s a b

( ) sin( )atx t Ae bt

-a

j

i

b

0

0


Función de Transferencia Respuesta impulso en el

dominio del Tiempo


56 56

1 1

2 2( )

A s BX s

s b

( ) sin( )x t A bt

j

i

b

0

0



dominio del Tiempo


57 57

-a

j

i 0

( )A

X ss a

( ) atx t Ae



dominio del Tiempo


58 58

1 1

2 2( )

( )

A s BX s

s a b

( ) sin( )atx t Ae bt

-a

j

i

b

0

0



dominio del Tiempo

59 59

Resumen de la posición de los polos y la dinámica del sistema

60

Nota: la estabilidad de sistemas lineales de entrada única, una sola salida completamente se rige por las raíces de la ecuación característica.

Ecuación Característica

1

1 1 0 0n n

ns a s a s a

-Se obtienen mediante el establecimiento del denominador

del polinomio de la función de transferencia a cero

61

Transfer function(TF) models in MATLAB

Suppose a linear SISO system with input u(t), output y(t), the transfer function of the system is

01

1

1

01

1

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sU

SYsG

n

n

n

m

m

m

m

01,...,, bbbnum mm

01,...,,1 aaden n

Descending power of s

TF in polynomial form

>> Sys = tf（num，den）

>> [num, den] = tfdata (sys)

62

TF in zero-pole form

>> sys = zpk（z, p, k）

>> [z, p,k] = tfdata (sys)

Transform TS from zero-pole form into polynomial form

>> [z, p, k] = tf2zp(num, den)

Preguntas de Repaso

What is the definition of “transfer function”?

When defining the transfer function, what happens to initial conditions of the system?

Does a nonlinear system have a transfer function?

How does a transfer function of a LTI system relate to its impulse response?

Define the characteristic equation of a linear system in terms of the transfer function.

63

64

2-4 Diagrama de Bloque y grafica de Flujo de Señal (SFG)

Diagrama de Bloque

Relación de la función de transferencia

65

( ) ( ) ( )Y s G s U s

Puede ser graficada en un diagrama bloque.

G(s) U(s) Y(s)

66

Transformada Equivalente de un diagrama de bloque 1 Conección en series

G(s) U(s) Y(s)

( ) ?G s

X(s) G1(s) G2(s)

U(s) Y(s)

1 2

( )( ) ( ) ( )

( )

Y sG s G s G s

U s

67

2.Conección en paralelo

G(s) U(s) Y(s)

1 2

( )( ) ( ) ( )

( )

Y sG s G s G s

U s

U(s)

G2(s)

G1(s) Y1(s)

Y2(s)

Y(S)

( ) ?G s

68

3. Retroalimentación Negativa

M(s) R(s) Y(s)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Y s U s G s

U s R s Y s H s

the for( w) again of ( )

1

rd path

( ) ( ) 1 gai the loopn of

G sM s

G s H s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s Y s H s G s

Y(s) G(s)

H(s)

U(s) R(s) _

Función de transferencia de un sistema con retroalimentación

negativa

69

Grafica de Flujo de Señal (SFG)

SFG fue introducida por S.J. Mason para la representación causa y efecto de sistemas lineales 1. Cada señal esta representada por un nodo.

2. Cada funcion de transferencia esta representada por una rama.

G(s) U(s) Y(s)

G(s)

H(s)

U(s) R(s) _

Y(s)

G(s)

U(s) Y(s)

G(s) U(s) Y(s) R(s)

-H(s)

1

Diagrama de bloques y su gráfico de flujo de señal

equivalente

70

( )rU s1( )I s

2 ( )I s

( )cU s1( )U s

－ 1

1

R 1

1

sC

－

2

1

R－ 2

1

sC

( )rU s 1( )I s 1( )U s 2 ( )I s ( )cU s

1

1

R 1

1

sC2

1

R 2

1

sC

－1 －1

－1

1 1 1

Nota

71

Un gráfico de flujo de señal y un diagrama de bloques contienen exactamente la misma información (no hay ninguna ventaja de uno sobre el otro, hay sólo preferencias personales)

Regla de Mason

72

1

( ) 1( )

( )

N

k k

k

Y sM s M

U s

kM ganancia del sendero del camino adelante kth.

1 ( all individual loop gains)

( gain products of all possible three loops that do not touch)

( gain products of all possible two loops that do not touch)

k valor de ∆ para esa parte del diagrama de bloque que no

toque el camino adelante kth.

N número total de trayectorias delanteras entre Y(s) de salida y

entrada de U(s)

73

Ejemplo 1 Encontrar la función de transferencia para el siguiente diagrama de bloques

Solution.

Forward path Path gain and the determinates are

1 1

11 ( )(1)M b

s

2 2

1 11 ( )(1)M b

s s

3 3

1 1 11 ( )(1)M b

s s s

31 2

2 31 0

aa a

s s s

1

2

3

1 0

1 0

1 0

1236

12346

123456

b1

1/s

a3

b2

b3

a2

a1

1/s 1/s +

_

_ _

+

+ + Y(s)

U(s) ① ② ③ ④ ⑤

⑥

74

b1

1/s

a3

b2

b3

a2

a1

1/s 1/s +

_

_ _

+

+ + Y(s)

U(s) ① ② ③ ④ ⑤

⑥

Encontrar la función de transferencia para el siguiente diagrama de bloques

Solution.

1

2

1 2 3

3 2

1 2 3

( )( )

( )

Nk k

k

MY sM s

U s

b s b s b

s a s a s a

Applying Mason’s rule, we find the transfer function to be

Ejemplo 1

75

Ejemplo 2 Encontrar la función de transferencia para el siguiente SFG

Solution.

Forward path Path gainand the determinates are

1 1 2 3 123456 M H H H

2 4 1256 M H

Loop path Path gain

1 1 5 232 l H H

2 2 6 343 l H H

3 3 7 454 l H H

4 4 7 6 5 25432 l H H H H

1 2 3 4 1 31 ( )l l l l l l

1

2 2 6

1 0

1 H H

( )U s ( )Y s

5H

1 1H

4H

6H

7H

2H

3H 1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

76

1

1 2 3 4 4 2 6

1 5 2 6 3 7 4 7 6 5 1 5 3

( )( )

( )

1

Nk k

k

MY sM s

U s

H H H H H H H

H H H H H H H H H H H H H H

Solution.

Applying Mason’s rule, we find the transfer function to be

Ejemplo 2 Encontrar la función de transferencia para el siguiente SFG

( )U s ( )Y s

5H

1 1H

4H

6H

7H

2H

3H 1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

Capítulo #2 Modelado Matemático de Sistemas de Control

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