Capitulo 4 :

PAGE Teora de Circuitos

CApTULO III.

Funciones de tiempo

(Seales, estmulos y respuestas)3.1 Introduccin

3.2 Funcin escaln

3.3 Funcin rampa

3.4 Funcin impulso

3.5 Funciones peridicas

3.6 Valor eficaz Valor medio Factor de forma

3.7 Respuestas a seales de excitacin elementales.

3.1 Introduccin.En el captulo anterior se ha mencionado que las tensiones y las corrientes varan en funcin del tiempo. La relacin entre estas variables y el tiempo se puede especificar analticamente, por medio de ecuaciones matemticas o bien grficamente.

Las seales que representan a las tensiones y a las corrientes se estudian por medio de oscilogramas, que son las formas de onda de esas seales.

3.2 Funcin escaln.

En el mbito de los circuitos elctricos, la funcin escaln nos permite indicar la conexin o desconexin de un interruptor. Adems mediante esta funcin se puede representar fuentes que tengan una duracin finita.

Analticamente una funcin escaln est dada por:

Es decir, la funcin es 1 para tiempos mayores que cero (t > 0) y es cero para tiempos menores que cero (t < 0)

La funcin escaln unitario puede utilizarse para representar otras excitaciones (o funciones) que se apliquen en t = 0.

Una funcin v(t) puede ser representada como:

Ejemplo:

Por otro lado, las excitaciones se aplican muchas veces en instantes de tiempo diferentes de cero. Por lo cual es conveniente el uso de la funcin escaln unitario retardada, a cual esta dada por:

Ejemplo: Dada la forma de onda de la fig. Descomponer dicha onda en funciones escaln elementales.

Representando mediante la funcin escaln:

La forma de onda dada, se puede realizar mediante el circuito mostrado en la fig de arriba. 3.3 Funcin rampa. La funcin rampa es una funcin cuya amplitud vara linealmente con el tiempo, y se define como:

La funcin rampa se puede expresar en trminos de la funcin escaln unitario.

La funcin rampa cuya pendiente es diferente de 1 (uno) y que se presenta en diferentes tiempos diferentes de cero, se puede expresar en la forma:

Expresando en trminos de la funcin

Escaln unitario

Donde:

k= pendiente de la recta

Ejemplo.- Sea la seal, cuya forma de onda es:

Descomponga la seal en ondas elementales.

Las seales elementales sern:

Sumando todas las seales, se reproduce la seal original

Otra forma de expresar la funcin V(t) en trminos de la funcin escaln es:

EMBED Equation.3 Luego

El proceso de sumar seales (ondas) es de mucha utilidad en la construccin de ondas, as como en la descomposicin de funciones complejas en seales componentes mucho ms sencillas.

Ejemplo: La funcin que se muestra en la fig. se denomina funcin rampa modificada, la cual puede ser descompuesta en funciones elementales

3.4 Funcin impulso. Considrese la funcin rampa modificada.

El rea de la funcin pulso es , para cualquier valor de a. Si a0, la altura del pulso tiende a , esto es, ; sin embargo el rea del pulso sigue siendo k.

Cuando a 0, la funcin v(t) se convierte en una funcin escaln, y tiende a tener una altura infinita, con un ancho cero, mientras el rea del pulso permanece constante e igual a k, denominndose funcin impulso.

La derivada de la funcin escaln unitario recibe el nombre de funcin Impulso unitario o funcin delta de Dirac, la cual esta dada por:

En general, la derivada de una funcin cualquiera en un punto de discontinuidad es un impulso. La fuerza del impulso viene definida por el valor del salto de la funcin en el punto de discontinuidad.

La relacin entre las funciones estudiadas hasta el momento es la siguiente

3.5 Funciones peridicas. Las funciones peridicas son aquellas que se repiten despus de un determinado tiempo. Una funcin f(t) es peridica, de periodo T, si satisface:

f(t)= f(t+nT) donde n = 1, 2, 3, .T = es el lapso de tiempo mnimo, llamado periodo, a partir del cual la onda se repite.

En el anlisis de las formas de onda de las funciones peridicas se usan los trminos siguientes.

Ciclo. Es el tiempo que tarda una seal en dar una vuelta completa, y a partir del cual se repite nuevamente. En otras palabras, es la parte de la onda comprendida en el intervalo que va desde t a (t+T). Por ejemplo, la parte de la onda comprendida entre A y A

Fase. Cada punto de un ciclo de una onda (funcin) peridica es una fase de dicha onda, por ejemplo A, B, C, etc.

Diferencia de fase. Sea f(t) una funcin peridica, entonces la funcin f(t-t1) ser tambin peridica; con t1 constante.

Cada fase de f(t) se suceder en la funcin f(t-t1) en un instante posterior y la diferencia entre los instantes en que sucede cada fase ser t1. A este intervalo se lo denomina diferencia de fase entre ambas funciones.

Si t1 > 0 entonces f(t-t1) se dice que va en retraso respecto a f(t) en t1, f(t) va en adelanto respecto de f(t-t1) en un tiempo t1.

Si t1 < 0 entonces f(t-t1) se dice que va en adelanto respecto a f(t) en t1, que f(t) va en retraso respecto de f(t-t1) en un tiempo t1.

Frecuencia: Es la inversa del periodo:

[N de periodos por unidad de tiempo] [= [Hertzio] = [Hz]

Algunas funciones peridicas importantes son:

3.6 Valor medio - Valor eficaz - Factor de Forma.

El valor medio Fmed de una funcin peridica f(t) esta dado por definicin mediante la siguiente expresin:

Donde:

T = periodo de la funcin peridica.

t1= punto cualquiera de la funcin.

El valor eficaz de Fef de una funcin peridica f(t) de periodo T esta dado por definicin mediante:

Al valor medio tambin se conoce como valor promedio.

Al valor eficaz se conoce tambin como raz media cuadrtica (rms).

Al circular una corriente i(t) por una resistencia R, sta disipa una potencia p(t) con un valor medio P. Esta misma potencia P, la puede disipar una corriente constante de intensidad I circulando por dicha resistencia.

Entonces se puede decir que i(t) tiene un valor eficaz Ief =Irms equivalente a la corriente constante I.

La importancia del valor eficaz o rms de una funcin peridica radica en que se construyen muchos instrumentos como voltmetros y ampermetros para tomar lecturas de estos valores.

De la misma manera, al describirse la placa de un equipo elctrico con: 220 voltios, corriente alterna; significa que el valor eficaz de la funcin peridica senoidal es de 220 voltios Ejemplo 1.- Hallar los valores medio y eficaz de la funcin

El periodo es T=2(El valor medio es:

El valor eficaz ser

Ejemplo 2. Un circuito de mando permite variar el ngulo de retraso (de disparo) de la forma de onda de la intensidad de corriente de manera que el valor eficaz tiene como limites inferior y superior 3.1265 y 6.9684 Amperios respectivamente. Hallar los ngulos de retraso para cada caso.

Solucin: El periodo de esta onda es: ( [rad]Por tanto:

Limite inferior:

Resolviendo: =120

Limite superior:

Resolviendo: =30

Ejemplo 3. Si el valor eficaz de la tensin de media onda senoidal rectificada es de 20 [V] Cul es el valor medio?.

Solucin: La expresin analtica de la seal rectificada de media onda se puede expresar como;

El valor eficaz ser:

Por tanto:

Luego el valor medio:

Factor de forma. El factor de forma de una onda peridica, se define como la relacin entre el valor eficaz de la onda entre el valor medio de la misma onda.

El factor de forma (F.F.) indica el grado de distorsin de una onda peridica respecto de una onda senoidal pura.

Si la onda es una seal de c.c., entonces el valor eficaz es igual al valor medio, es decir:

Por tanto:

Si la onda es una senoide pura:

Entonces:

Por lo tanto:

Observe que en cualquier onda peridica, se cumple que:

Es decir, el valor eficaz de una peridica, siempre es mayor o igual que el valor medio.3.7 Respuesta a seales de excitacin elementales.

El problema fundamental del anlisis de circuitos se puede enunciar de la siguiente manera: Dados todos los valores de los elementos pasivos de una red y las formas de onda de las excitaciones o fuentes de la misma, hallar las ondas de las respuestas de corriente y tensin en los elementos, estudiando simultneamente el proceso de transferencia de energa.

Causa EfectoPor tanto, la composicin y estructura de la red determinar la relacin entre Causa y Efecto (Excitacin y Respuesta).

a) Fuente de tensin en escaln aplicada a una inductancia.-

b) Fuente de corriente en escaln aplicada a una inductancia.

c) Fuente de corriente rampa aplicada a una inductancia.

d) Fuente de tensin rampa aplicada a una inductancia.

EMBED Equation.3

Para una capacitancia, el anlisis es similar a la de la inductancia, solo se tiene que aplicar las relaciones.

El anlisis para una resistencia es simple, porque la respuesta ser siempre una onda del mismo tipo que el de la seal de excitacin.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Equation.3

EMBED Visio.Drawing.11

Fuentes

de

Excitacin

Tensiones y corrientes en elementos Pasivos

(Respuesta)

PAGE 13 Ing. Elctrica y Electromecnica

_1400859102.unknown

_1400886869.unknown

_1400888159.unknown

_1400990347.vsd

_1401138321.vsd

_1401216910.unknown

_1401216911.unknown

_1401216883.unknown

_1401138590.vsd

_1401137441.vsdV(t)

t1

t2

t

t1

t2

dVdt

Ka

Funcin rampa modificada.

La derivada de una funcin rampa modificada es un pulso de un ancho a=t2-t1

k

a

a

a=t2-t1

_1401137831.vsdk

V(t)

dvdt

t1=t2

t1=t2

Funcin impulso.

t

t

_1401136726.vsdt0

t0+1

t

r(t)

k

_1401136997.vsdf(t)

C

B

A

C

B

t

A

_1401136320.vsdA

_1400888461.unknown

_1400985481.vsd

+

-

+

-

_1400986829.vsd45

r(t)

t

Grfica de la funcin rampa

_1400987098.vsd1

2

3

t

V(t)

6

-6

V1

V2

V3

Seal descompuesta en otras seales elementales.

_1400986324.vsdV(t)

t

V1

V2

1

2

_1400888471.unknown

_1400888349.unknown

_1400888366.unknown

_1400888252.unknown

_1400887210.unknown

_1400887632.unknown

_1400888077.unknown

_1400887287.unknown

_1400887057.unknown

_1400887157.unknown

_1400886914.unknown

_1400859907.unknown

_1400860171.unknown

_1400860383.unknown

_1400860823.unknown

_1400860215.unknown

_1400860040.unknown

_1400860088.unknown

_1400859913.unknown

_1400859444.unknown

_1400859787.unknown

_1400859881.unknown

_1400859741.unknown

_1400859781.unknown

_1400859529.unknown

_1400859174.unknown

_1400859330.unknown

_1400859127.unknown

_1400856632.unknown

_1400857054.unknown

_1400857933.unknown

_1400858736.unknown

_1400857268.unknown

_1400856916.unknown

_1400856945.unknown

_1400856647.unknown

_1191839063.unknown

_1193159978.unknown

_1193162651.unknown

_1193163711.unknown

_1193802572.vsd|

V(t)

t( seg)

1

2

10

_1400800536.unknown

_1193200505.vsdV1(t)

t

V2(t)

t

V3(t)

t

Derivacin

Integracin

Funcin rampa

Funcin escalon

Funcin impulso

_1193162847.unknown

_1193162272.unknown

_1193160654.vsdV(t)

Funcin rampa modificada.

t

_1191840751.unknown

_1191844432.unknown

_1191844935.unknown

_1191843609.unknown

_1191839199.unknown

_1191781273.unknown

_1191782570.unknown

_1191782967.unknown

_1191781972.unknown

_1191782348.unknown

_1191781828.vsd1

2

3

t

V(t)

6

_1190122650.unknown

_1190126389.unknown

_1190125405.unknown

_1187868455.unknown

_1187870955.unknown

_1190121927.vsd1

to

f(t)

t

_1187870185.unknown

_1187868221.unknown