Capitulo 3

En este capítulo...

3.1. lntroducción

3.2. Determinación de los Centros Instantáneos

de Rotación (ClR)

3.2.1. Teorema de los tres centros3.3. Técnicas para la determinacion de velocidades

3.3.1. Método de las velocidades relativas

3.3.2. Método de proyección o componente axial

3.3.3. Cinema de velocidades. Homologías

3.4. Técnicas para la determinación de aceleraciones

3,4.1. Estudio de las aceleraciones relativas

3.4.2" Cinema de aceleraciones. llomologías ,

.:;t,- ':t ,,.' ;.. . . .

:';., ,.'...;¡.,';;;,0;,,.]..rtt;*'':i'l i:;'l -"

'r. i ;,ri t,'. "t,

GA

@ ITES-Paraninfo

^emaltca ae maqutnas

3.1. lrurnoouccróru

El estudio de la cinemática y dinámica de máquinas y mecanismos se fundamenta en la mecánica

del sólido rígido: Vectores Deslizantes Rotación, Teorema del Centro de Masas, Teorema del Mo-mento Cinético, Teorema de la Energía Cinética. En el cálculo de fuerzas reducidas, se utilizará el

Principro de los Trabajos Virtuales.Desde el punto de vista de la ingeniería, se frafará de hacer un planteamiento y uso de los Princi-

pios y Teoremas de la Mecánica que permita una fácil visualización del problema cinemático y diná-mico en un instante dado. Se prestará especial atención al caso de mecanismos planos, pues debido a

su sencillez de diseño y análisis, permiten la realización de la mayoría de las funciones de las má-

quinas en la industria.Se utilizarán técnicas vectoriales, gráficas y analíticas que permitan soluciones rápidas e intuiti-

vas del comportamiento de los mecanismos. En el estudio de los mecanismos espaciales, donde su

tratamiento y simplificación a mecanismos más sencillos no es posible, se deberán aplicar las técni-cas genererles de análisis y modelado mecánico.

En las Figuras 3.1 y 3.2 se presentan las relaciones vectoriales en posición, velocidad y acelera-

ción de dos puntos de un sólido rígido A, B y la aplicación de las leyes de la mecánica del movi-niento relativo usando los correspondientes sistemas de referencia fijo y móvil. Se toma como siste-

ma fijo el eslabón soporte del mecanismo en estudio y como sistema móvil es habitual tomar uno

posicionado en uno de los puntos del sólido rígido que se mueve rígidamente con él u otro también

Cinemática: velocidades

Pea ole5 é '¡'l -'r FCUaClOneSClnemallCaOel : B. r_iqot'.,I.d)cRnovrm¡ento relatrvo para

un sistema fijo SFy un r' \ -r'{, Isistem¿ móvil SN4. \ \ .r. \, ,

I.u*'I*,r. ¡1, =trs r/Fr¿/!.,r -tl, 1., ..

.: -*'l - -

=;.;.-,i;,.*,i,,,f,,,,,, 1,,, :11'{rr -rr''¡ ,,,,u, =(r

Do., r' -L | ¡alo¿ sopo'e , Jl Si.l...rr. t 5F

Figura 3.1. Relaciones vectoriales generales entre dos puntos de un sólido rígido,sujeto a una rotación de velocidad angular r,-r y aceleración angular i.

Cinemática: velocidades

Relaciones vectoriales (A, B e a un sól¡do rigido SR)

rA

J¡T

",

-lg ' ¡8

=n"-+ a x tlr*v*cktt

=tl¡tx(ntxr.-l+-xr,'T '" 1¡' ,. .dlil

(Dado un SF,

Figura 3.2. Relacionessujeto a una rotación

-4o¡ -dcor¡ous

; = ó.r* :zá "t;, =rJ

y un Sl\¡ asociado a un punto del SR y // al SF)

vectoriales entre dos puntos de un sólido rígido,de velocidad angular ó y aceleración angular 7.

Cinemática de máquinas 49

f¡ado a uno de los puntos y que se mantiene en todo momento alineado con el sistema fijo. En

cualquiera de los casos se obtienen las mismas relaciones vectoriales entre velocidades y aceleraciones.

En el primer caso consideramos un sistema móvil en el punto B y ligado al sólido rígido, obser-vamos que las componentes relativas y la aceleración de coriollis son nulas, quedando en las expre-

siones de la velocidad y aceleración únicamente las componentes de arrastre de la velocidad y de laaceleración. Es fácil deflnir los vectores V,qny ds pertenecientes a la componente de arrastre comola velocidad y aceleración de A sobre B y pueden calcularse como la velocidad y aceleración vir-tual que tendría A al rotar sobre ^B con la velocidad angular r.L.r y aceleración angular i del sólidor'ígido. Los mismos resultados vectoriales los podíamos haber encontrado con otro sistema móvil.

Lo anterior nos genera una forma de actuar a tener en cuenta, si calculamos velocidades debere-

mos considerar como muy importante la rotación alrededor del vector velocidad angular ó. Si esta-

rnos calculando aceleraciones deberemos poner la máxima atención sobre el eje de rotación alrede-

dor del vector velocidad angular iD como el correspondiente al vector aceleración angular ?.

Las velocidades y aceleraciones virtuales V¡s y d¡a serán utilizadas como herramienta funda-mental para el análisis de mecanismos planos.

En este punto podemos considerar diversas rnaneras de entender en movimiento general de un

sólido rígido en el espacio y su particularización al caso de movitniento plano. Podemos analizar el

n-tovimiento instantáneo de un punto cualquiera B del sólido rígido en relación al movimiento instan-

táneo de un punto dado A del mismo sólido. También podemos visualizar el movimiento de todos

los puntos del sólido rígido en relación con algún punto singular del mismo. Las anteriores dos ma-

neras de visualizar el movimiento de los puntos del sólido rígido nos permiten una mayor compren-

sión del fenómeno del movimiento instantáneo.

Noueructntuna:

La nomenclatura utilizada a lo largo del capítulo es l;i siguiente:

Valores lineales:

i., vector posición de un punto A respecto a un sistema de ref'erencia fijo.

V^ vector velocidacl de un punto A respecto a un sistema de referencia fijo.

á.\ vector aceleración de un punto A respecto a un sistem¿r de ref'erencia fijo.

A': componente normal de la aceleración de un punto A.

ú'., componente tangencieri de la aceleración de un punto A.

l'u^ vector posición de B sobre A (posición de ^B respecto a un sistema de ref'erencia colocado en A).

in^ vector velocidad de B sobreA (posición de.B respecto a un sistema de ref'erencia colocado en A).

ci1¡,r vector velocidad de de B sobreA (posición de B respecto a un sistema de referencia colocado

en A).

Valores angulares:

aói Vector de velocidad angular cle un eslabón i.

t.í Vector de aceleración angular de un eslabón r.

MOVIMIENTO ENTRE DOS PUNTOS CUALQUIERA DE UN SÓLIDO NíCIOO

El estudio del campo de velocidades producido por un punto cualquiera B de un sólido rígido al

relacionarlo con la velocidad de un punto dado A y del análisis de las ecuaciones que relacionan dos

Duntos del sólido rísido se obtiene:

Vn: Vt * Von

O ITES-Paraninfo

_ ^anaúca oe maqutnas

- Un vector que es la velocidad del punto A, y podemos entenderlo como una traslación V,1.

- Un vector que calcula la velocidad del punto B sobre A al rotar sobre un eje con la dirección

de la velocidad angular ó.

Luego, al relacionar la velocidad de un punto cualquiera B del sólido rígido con un punto Aclado, obtenemos que la velocidad del punto B genérico se obtiene como una superposición de

una traslación según la velocidad Vo más una rotación con velocidad angular ó alrededor del punto

claclo A, luo {t,ér,t, la Figura 3.3). En el caso de mecanismos planos Vu, se identifica de manera

clirecta con el vector velocidad de rotación de B sobre A, es decir, que se visualiza el movimiento de

rotación de B sobre A.

l--- I -l' --.:"4"o"u/z

/'_,/tt/ Yof ,/Figura 3.3. Representación gráfica del vector V"o correspondiente a dos puntos A y B del sólido rígido,

afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular i.

En el c¿rso del campo de aceleraciones no es posible definir de manera sencilla en el espacio un

movimiento que de lugar al campo de aceleraciones de cualquier punto B del sólido rígido en rela-

ción a la aceleración del punto dado A. Del análisis de las ecuaciones que definen la aceleración de

un punto B y A del sólido rígido se obtiene:

á6 : á¡ -l /tu^ con 7t0., : a'|u + r-t'ou

- Un vector que es la aceleración del punto A, y podemos entenderlo como una traslación de

aceleración la de A, d^.

- Un vector que calcula la aceleración de cualquier punto B del sólido rígido sobre el punto

dado A, pero con las siguientes componentes:

¡ Un vector con formato de aceleración tangencial del punto B sobre A, obtenida al rotar

sobre un eje de dirección la de la aceleración angular instantánea d del sólido rígido y que

pase por el punto A, á'o^.. Un vector con formato de aceleración normal del punto B sobre A al rotar sobre un eje de

dirección la velociclad angular instantánea ó del sólido rígido y pasando por el punto B,á"uo.

Luego, al relacionar la aceleración de un punto cualquiera B del sólido rígido con un punto A

daclo obtenemos que la aceleración del punto B genérico se obtiene como una superposición de una

traslación de aceleración do más dos aceleraciones producidas por movimientos de rotación alrede-

rlor de a y i-.La aceleración debida a la rotación de magnitud ó alrededor del punto dado A genera

una aceleración con fbrmato de aceleración Zi'j. ("semi-rotación> normal) y otra aceleración de mag-

-lS-Paraninfo


nitud t alrededor del punto dado A genera una aceleración con fbrmato de aceleración tangencial Z!.0

(.semi-rotación> tangencial, t:éase la Figura 3.4). En la Figura 3.5 se presenta el esquema completo

de los vectores cinemáticos involucrados al relacionar el estado cinemática del punto A y B del sóli-

do rígido (t:éase la Figura 3.5).

ctAp

l

Figura 3.4. Representación gráfica del vector á"o correspondiente a dos puntos Ay B del sólido rÍgido,afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular -.

_:\toh(crinp ú)Ap

--_t**--(,)2d

Figura 3.5. Representación gráfica conjunta del vector VroYá"ocorrespondientes a dos puntos Ay B delsólido rígido, afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular i.

MOVIMIENTO DE LOS PUNTOS DE UN SÓLIDO RÍGIDO

En el caso clel estudio de las velocidades de los puntos de un sólido rígido se vio la naturaleza del

campo cle velocidacles como una rotación alrededor de un punto dado con eje la dirección de la

velocidacl angular y superpuesto a una traslación según la dirección de la velocidad del propio punto

dado. Se puede demostrar por la aplicación de la teoría de los vectores deslizantes que existe una

recta denominacla eje central cuyos puntos tienen velocidad mínima y constante. Entonces, si estu-

diamos el campo de velocidades alrededor del eje central obtenemos de manera natural un movi-

miento helicoidal instantáneo alrededor que nos da en primera aproximación el movimiento real del

sólido rígido en estudio compatible con el campo de velocidades.

i

{

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J temática de máquinas

Para el caso clel campo de las aceleraciones de los puntos de un sólido rígido la existencia de los

vectores velocidacl y aceleración angular, que en general no son colineales, no genera una supelposi-

ción de movimientos simples, por lo que no podemos visualizar un movimiento de naturaleza pareci-

da al helicoidal como se vio para el caso del campo de velocidades; esto nos indica que la aproxirna-

ción a un movimiento sencillo del sólido rígido que sea compatible a la vez con los campos de

velocidades y aceleraciones, en un instante dado, no es en general posible.

Se observa tácilmente que la componente con fbnnato de aceleración tangenciill no es paralela ir

la velocidad riel punto, mientras la componente con fonnato de aceleración normal está dirigida per-

pendicularmente a la velocidad angular.

Aouí. deberíamos ref-erirnos a los estudios del movimiento del triedro intrínseco sobre la trayec-

tori¿r cle un punto genérico del sóliclo rígido y recordar que en general el movimiento de rotación de

este triedro tiene dos componentes: una rotación según la curvatura nonnal y una torsión alrededor

del vector tangente.Para el estudio cle la cinemátlca de mecanismos, y dada la naturaleza compleja de análisis del

cas¡ espacial del movintiento del sólido rígido, tomará gran interés el uso de mecanismos que desa-

rrollen su movimiento en un plano de trabajo fijo. Para este caso, se podrá simplificar el campo de

velocidades y aceleraciones a movirnientos de traslación y rotación alrededor de puntos singulares

(CIR centro instantáneo de rotación o polo de velocidades y 0 polo de aceleraciones). Es de destacar

que el campo de aceleraciones no es un campo de momentos (vectores deslizantes).

En el caso de movimientos en el plano las direcciones de los ejes de rotación para la velocidad

angular r,.r y la aceleración angular z coinciden, con lo que se visualiza meior la obtención de los

campos de velociclades y aceleraciones. El carnpo de velocidades se obtiene colrio una rcltación de

valor rrr alrededor del punto CIR de velocidad nula. El campo de aceleraciones se ohtiene como una

rotación de valor r,-l y z alrededor del punto Q de aceleración nula.

De toclo lo anterior poclemos concluir que el campo de aceleraciones no es un clmpo de momen-

tos (vectores cleslizantes), aunque sí podremos utilizar fbrmulaciones usadas para el campo de velo-

cidades con los debiclos ajustes. En la cinemática de los mecanismos se estudia la geometría dei

movimiento de los esl¿rbones sin atender a las causas que lo proclucen. Ell este capítr,rlo se estudiarán

los principios básicos para el cálculo cinemático y dinárnico por métodos gráficos para una posición

clacla clel mecanisnro. es decir. no se considerará su evolución en el tiempo.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA CINEMÁTICO

En el análisis de mecanisntos planos, el estudio cinemático consiste en obtener la velocidad y acele-

ración cle todos los puntos de interés del mecanismo para una posición y geometría conocida del

nrismcl. Así, todo punto cle un eslabón perteneciente a un rnecanismo se considera que. en un instante

d¿rclo. tiene un movimiento circular alredeclclr de un punto denominado Centro lnstantáneo de Rota-

ción (ClR) o polo cle velocidacles. Con esta suposición, la velocidad del punto será perpenclicular al

radio de giro, es decir, al segmento que une el punto con el CIR (¿'¿tr¡.s¿ Figura 3.6).

3.2. DerenulNActóN DE Los cENTRos lNsrANTÁNEosDE ROTACTÓN (ClR)

Los campos de velocidades de interés en el estudio cinemático de mecanismos son:

- Los campos de velocidades absolutas de los puntos del eslabón'

- Los campos de velocidades relativas. Si entre todas las postbles nos interesan los col'respon-

dientes a los movimientos relativos entre parejas de eslabones del mecantsmo.

-l S-Paraninfo

Movimiento general

Cinemática de máquinas

de un sólido rígido

. El sistema de referencia (SF) es fijo

\''r,:\',r+rr-lnOPtiempo (t)

Fígura 3.6. Representación gráfica del campo de velocidades en un eslabón plano,afectado por la velocidad angular d.

Una vez seleccionado el campo de velocidades a estudiar, por las propiedades del campo de mo-

mentos producido por la rotación ó, podemos calcular el eje central del sistema de rotaciones qtte

están aplicaclas al eslabón y, por tanto, el punto del eje en el plano que, por pertenecer al eje de

velociclacles mínimas y pertenecer a un eslabón que sólo evoluciona en el plano de trabulo. se con-

cluye que dicho punto tiene velociclad nula en el instante considerado; a partir de ahora lo denomina-

remos corno centro instantáneo de rotación CIR del eslabón o polo de velocidades 1.

En el montaje de cada mecanismo existe un eslabón denominado soporte que está anclado al

sistem¿r de ref'erencia fijo o tierra, se suele nombrar como eslabón número L Al existir un punto de

velocidad nula para cada eslabón del mecanismo y para el caso de campos de velocidades absolutas

cle cada eslabón, medidas respecto al eslabón soporte, la nomenclatura que seguiremos para nombrar

el CIR del eslabón i-ésimo será f, y se denomina centro instantáneo de rotación absoluto del

eslabón i. Un mecanismo de ¡r eslabones tiene n - I CIR absolutos.

En el caso de analizar campos de velocidades relativas a un eslabón diferente al eslabón soporte

o tierra, la nomenclatura a utilizar para nombra el CIR del campo de velocidades relativas entre el

eslabón i-ésimo y.7-ésimo será 1,,. Se observa que los CIR relativos entre dos eslabones dados son

idénticos, I,¡ : I¡.¡,ysedenominacentroinstantáneoderotaciónrelativodel eslabóni respectoal jo a la inversa.

El proceso cle determinación de todos los centros instantáneos de rotación de un mecanismo es el

siguiente.

1. Determina el número de eslabones del mecanismo.

2. Calcula el número de CIR's presentes. Para ello se utiliza la f-órmula combinatoria, que rela-

ciona todos los eslabones entre sí dos a dos, donde ly' es el número de eslabones:

53

' /N\tl<rR:Cl:(t,|\-,/

¡/.(N r )

2

3. Determina los CIR inmediatos. Algunos centros, debido a su propiedad de velocidad nula,

son sencillos de determinar, simplemente observando el mecanismo. Es el caso de manivelas

y puntos de unión en pares cinemáticos de rotación y traslación. A continuación, en las Figu-

ras 3.7 a 3.11, se presentan algunos ejemplos típicos.

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_ ^anailca ae maqutnas

4. Por último, determina los CIR restantes aplicando el teorema de los tres centros, o teorema

de Kennedy.

En el caso de la Figura 3.7 el punto de unión entre la manivela y el eslabón tierra es el único de

relocidad 0 para el eslabón 2, por lo que será el CIR 1'r o 1''.

Figura 3.7. CIR relativo entre man¡vela y eslabón tierra.

En el caso de la Figura 3.8, se evalúa la velocidad que tendría uno de los eslabones, por ejemplo

el eslabón 2 si el otro (el 3) no se moviera. En ese caso, el comportamiento es como el anterior. Una

manivela conectada al eslabón tierra. El punto de unión entre los dos eslabones será el CIR 1rr.

Figura 3.8. CIR relativo en un par de rodadura.

En el caso de la Figura 3.9, el CIR se encuentra en el punto de contacto con el eslabón tierra.Esto es debido a que en un pil de rodadura se conoce que la velocidad en el punto de contacto es la

misma en ambos eslabones. y/,(l) : V,,,(.2) y todos los puntos del eslabón 1 tienen velocidad cero.

Por tanto, también lo tendrá el punto en el eslabón 2. El punto 02 no es un CIR puesto que tiene

velocidad de traslación.

Figura 3.9. CIR relativo en un par de rodadura con el eslabón tierra sin unión física.

Cuando se trata de pares de un grado de libertad con deslizamiento, como los presentados en la

Figura 3.10, el CIR relativo se encuentra en el inflnito (ya que el movimiento es de traslación, es

decir. rotación con radio infinito) y en la dirección perpendicular al deslizamiento.

-:S-Paraninfo


Figura 3.10. CIR relativo en un par de deslizamiento.

En el caso de pares superiores, la única información relativa al CIR es que éste se encuentra en

Lrna recta perpendrcular a la tangente de contacto (t'éuse Figura 3.11).

El cir lz: s€ encuentra en la rectaperpendicular a la tangente de

Figura 3.11. CIR relativo en un par superior.

3.2.1. TeOReMA DE LOS TRES CENTROS

El teorema establece que para tres eslabones cualesquiera de un mecanismo los tres centros instantá-neos relativos dos a dos entre eslabones están alineados.

Sean A. .8, C tres eslabones de un mecanismo,La demostración del Teorema de Kennedy se hace al estudiar las posiciones relativas de los cen-

tros relativos entre los tres eslabones y las velocidades relativas que existen entre ellos. Considere-rnos los puntos A.O y I de la Figura 3.12, siendo:

A, el centro relativo entre el eslabón A y B.

C, el centro relativo entre el eslabón A y C.

E. el centro relativo entre el eslabón C y B.

Si nos fijamos en la propiedad de CIR relativo del punto I entre los esl¿rbones C y B, y si anali-zamos las propiedades de las velocidades relativas entre los puntos Ir, [u, [16, se concluye que: elpunto !, se mueve con la misma velocidad relativa respecto al E¡ y al Ic, es decir las velocidadesrelativas del punto I,, respecto al punto E¡ y la velocidad realtiva del punto I¡ respecto al puntoE¿.son paralelas, es decir el ángulo a de la Figura 3.12 es llano (rc radianes). Lo anterior nos pennitecomprobar que los tres puntos centro relativos A, C y E están alineados.

lrz (co)

¡6¡oz7nmo

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C nemática de máqu¡nas

-^9nArFigura 3.12. Disposición de los CIR relativos entre eslabones'

La anterior propieclad es de suma importancia, pues nos permite localizar lugares geométricos de

los CIR relativos entre tres eslabones cualesquiera. Srendo de suma utilidad cuando nos interesamos

por el cálculo de un CIR relativo entre clos eslabones dados y conocemos los CIR's relativos con uno

tercefo.

Ejemplo de aplicación

Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.13:

oocFigura 3.13. Mecanismo cuadrilátero articulado'

Resolucrór.r

Se realizarán los siguientes pasos:

1. Determinar el número de eslabones del mecanismo.

N: ¿l

2. Calcular el número de ClRs presentes: para ello se utiliza la tilrmula combinatoria, que rela-

ciona todos los eslabones entre sí dos a dos.

/4\ 4.t4 I lnctn:ci:(,)-- ,-:6cIR

3. Determinar los CIR inmediatos:Éstos sorl los que aparecen en la Figura 3.14.

Los CIR inmediatos son: 112, Ir, 131, I1t.

i,

-!S-Paraninfo

Figura 3.14. CIR inmediatos.

Cinemática de máouinas 57

4. Los dos que quedan se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Para ello se construye

una figura geométrica inscrita en un círculo con tantos vértices como eslabones tenga el me-

canismo y se unen los vértices dos a dos, con los CIR inmediatos, como aparece en la Figu-

ra 3.15 en la parte derecha del mecanismo.

El resto de los CIR se obtienen cerrando los triángulos dos a dos, así por ejemplo, el CIR 1'., se

encuentra alineado con los CIR /12 e In, ! también se encuentra alineado con los CIR 111 e 1,r.,. Así,

1,., está en la intersección de las dos rectas (r'áase la Figura 3.15):

, f 1,J,.

1rr 1' t1'*1*,

Fl,.

eeoFigura 3.15. Cálculo del CIR /.,..

El CIR 11. se encontrará en la intersección de las dos rectas marcadas en la Figura 3.16:

(L.1,,1.,< '' '-'-

11.¡1,-t

F¡.

'.. l:o B

ee oFigura 3.16. Representación de los CIR del mecanismo

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'e-ática de máqu¡nas

3.3. TÉCmCnS PARA LA DETERMINACIÓN DE VELOCIDADES

El planteamiento del cálculo clel campo vectorial de velocidades de un eslabón cualquiera, de un

¡tecanismo. ha sido visto cn la introclucción. A continuación vamos a particularizar su cálculo al

caso cle mecanismos planos y presentar varias técnicas gráficas y vectoriales que pennitan el cálculo

cle la velocidad cle cualquier punto del eslabón considerado. Para ello usaremos los conceptos de:

rotación, ClR, proyecciones, homologías, etc.

3.3.1. MÉIOOO DE LAS VELOCIDADES RELATIVAS

Puntos sobre el m¡smo sólido rígido

Sean A y B dos puntos pertenectentes a un mismo eslabón y sea conocida la velocidad de uno de los

puntos (el punto A, uéase Figura 3.17). La velocidad del punto B es igual a la suma de la velocidad

del punto A más una velocidad clenominada de A sobre B, muchas veces nos referimos a esta veloci-

dad como <velocidad relativa>. Por ello:

i':i'tin'

ilonde %.. es la velociclad que tendría B si A fuera fijo. Entonces B rotaría sobre A con raclio BA y

con una velocidad ¿tngular igual a la de rotación del eslabón r,-¡. Por lo tanto:

lÚn,tl : '''' BA

su dirección es perpenclicular al radio de giro, segmento AB, y el sentido es el marcado por la veloci-

clad angular. De esta manera se pueden obtener los valores de velocidad de puntos pertenecientes a

un eslabón conociendo uno de los puntos de ese mismo eslabón'

La resolución puede obtenerse de fbrma gráfica, aprovechando la representación gráfica de la

suma cle dos vectores, que fbrman un triángulo. Es habitual resolver problemas donde se conoce uno

de ellos y la dirección de los otros dos. Véanse más adelante las técnic¿ts gráficas (Cínema de veloci-

dades).

Figura 3.17. Aplicación gráfica del método de velocidades relativas'

Puntos sobre diferentes sólidos rígidos

Si estudiamos la relación que existe entre dos puntos situados en dos sólldos rígidos dif-erentes. de-

beremos aplicar la ecuación vectorial corresponcliente a la cinemática del movimiento relativo:

- ! S- Paran i nfo


Anteriormente se clefinió para el caso cle relacionar dos puntos en un mismo sólido rígido el

concepto cle velocidad de un punto sobre otro Vu,.,, doncle se utilizaba el vectot'velocidad angular del

sóliclorígido involucrado para definir el movimiento de rotación virtual de un punto sobre el otro, se

utilizaba un sistema móvil enclavaclo sobre el sóliclo rígido y en uno de los puntos a relacionar. En el

caso que estamos estucliando, cloncle tenemos clos puntos pero en sólidos rígidos dif'erentes. se deberá

seleccionar un sistema móvil ligado a uno de los sólidos rígidos y en uno de los puntos considerados.

Del análisis de la expresión cinemática resultante:

Ío:Ín+io^+ino,

se observa que la expresión es más compleja y abandonamos el triángulo vectorial.

Del estudio de los mecanismos planos y de los pares cinemáticos usados habitualmente observa-

mos que hay dos pares fundamentales: el par de traslación (guía - deslizadera) y el par cle rotación

(articulación), que son los que conectan cada pareja de eslabones.

La técnica de análisis cle mecanismos a usar consiste en analizar eslabón a eslabón y desde cada

eslabón analizaclo y resuelto pasar al que forma par cinemático con é1. Lo que nos es necesarto es

una técnica que conecte las características cinemáticas de los puntos en contacto de un par cinemáti-

co. Si aplicamos la ecuación hallada anteriormente particulariz¿rndo para el caso que el punto B del

sólido rígido i esté en contacto con el punto A del sólido rígido .7, se obtiene que el vector Vnn se

anula, pues al ser A origen del sistema móvil ligado al eslabón j el vector r se anula, quedando la

expresión reducida a

lo-Úr-Úno,

si reinterpretamos el f'actor Von. como Vo,r la expresión a aplicar tiene el mismo fbrmato que la

aplicable cuando los puntos A y B pertenecen al mismos sólido rígido o eslabón. Esta ecuación se

aplica en el caso cle cálculo de velocidades en pares de deslizamiento haciendo posible la obtención

del valor cle velociclad de un punto de una corredera a partir de la velocidad de un punto pertenecien-

te a la guía sobre la que ésta desliza mediante el conocimiento de la dirección de la velocidad relativa

en el par cle cleslizamiento (la tangente a la guía), esta consideración sirve para cualquier tipo de guía.

3.3.2. MÉIOOO DE PROYECCIÓN O COMPONENTE AXIAL

El métoclo se basa en la condición de sólido rígiclo. Las proyecciones de los vectores velocidad de

dos puntos clel mismo eslabón sobre la línea que los une deben ser idénticas.

Sean A y B dos puntos del eslabón representado en la Fi-qura 3.18la condición de sólido rígido

garantiza que la distancia entre los dos puntos se mantendrá constante durante todo el mrlvimiento.

Si AB- : cte. entonces:

(v)¡n: (.vilrc

Figura 3.18. Aplicación del método de la proyección para un eslabón genérico'

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-=-alica de máquinas

.\sí. dada una velocidad en un punto del eslabón, y conociendo la dirección del vector velocidad en

otro de los puntos (a partir, por ejemplo, del CIR) es posible determinar el valor de su módulo en ese

ú1timo punto.

3.3.3. Clneun DE vELoclDADES. Holvlol-ocíns

E1 cinema de velocidades de un eslabón representa el lugar geométrico de los puntos extremos de los

yectores velocidad de todos los puntos del eslabón posicionados sobre el CIR del eslabón. Aun cuan-

do existe un cínema de velocidades por eslabón, es habitual utilizar un punto arbitrario para posicio-

nar todos los cínemas de velocidades.El cinema se obtiene llevando todos los vectores velocidad a un punto elegido arbitrariamente

que se denomina polo de velocidades. El polo de velocidades representa todos los puntos de velocidad

..ro. pot. tanto coincide con los centros instantáneos de rotación absolutos de todos los miembros'

Propiedades del c¡nema de velocidades

1. Entre un eslabón y su cinema existe una relación de homología, que es la velocidad angular del

mismo.2. El cinema de velocidades de un eslabón está escalado (propiedad I ) y girado 90o en el sentido

de la velocidad angular.

El cínema de velocidades es muy útil para calcular la velocidad de cualquier punto del eslabón

considerado, pues utilizando las propiedades geométricas de la homología: conservación de ángulos

y proporciones, es de gran sencillezpasaÍ desde el eslabón del mecanismo al cínema y viceversa'

Existen más técniás geométricas para el cálculo del campo de velocidades, pero las anterior-

mente citadas se considerarán suficientes para la resolución de los problemas en el plano. A conti-

nuación se resuelve el campo de velocidades de un cuadrilátero articulado.

Ejemplo de aPlicación

En el mecanismo de la Figura 3.19, calcular el número de grados de libertad, las velocidades de los

puntos más representativos, así como la velocidad angular de los eslabones.

OA:60 cm AB : 120 cm OP^:150 cm w :7e,31 cm

-l S - Paran rnf o

Figura 3.19. Cuadrilátero articulado.


Resoluclór.r

Para la resolución del cinema de velocidades es necesario conocer y distinguir cada uno de los esla-bones que forman el mecanismo, así como los pares cinemáticos que unen los eslabones entre sí.

1. Número de grados de libertad:

Aplicando la fórmula de Grübler

G : 3.(¡/ - 1) - 2..ft ftdonde: ¡/:4, .ft:4,.f2: O, por tanto @:: .(4 - l) - 2.4 - 0: EE,s un rnecanismo desmodrómico.

El análisis de velocidades se realizará eslabón por eslabón y se analizarán los contactos entre loseslabones.

Eslabón 2: se trata de una manivela; las ecuaciones que gobiernan su velocidad son:

liol: c,t. O.A : (10 rd/s).60 cm : 600 cm/s

dirección L 04sentido, acorde con (r)l

E,ste valor de velocidad se dibuja sobre un punto fijo (en la Figura 3.20), que se llamará 'o' y que

será el punto de aplicación de todos los vectores de velocidad absoluta. Al extremo del vector velo-crdad se le asigna el punto d, que es homólogo al punto A del mecanismo original.

Figura 3.20. Velocidad del punto A.

Eslabón 3: se trata de una biela. Dado que la velocidad de uno de sus puntos es conocida, puede

calcularse la velocidad de otro de los ountos oor medio de la ecuación de velocidades relativas:

vu-vrlvo^-conocida

lionl :,,,.. AB : (?). 120 crn :'l cm/s

dir, - AB

sentido, acorde con r.,rj ('l)

LAB,,, ,,.

Iv0,,1

t

oFigura 3.21. Representación gráfica de la ecuación.

O ITES-Paraninfo

Y

- ^emailca oe maqutnas

Esta ecuación puede plantearse gráficamente añadiendo la infbrmación conocicla del vector 7o,a continuación del vector Vo ya dibujado en el cinema.

Como no es posible obtener más información sobre la velocidad del punto B en el eslabón 3, se

estudiará el siguiente eslabón.Eslabón 4: se trata de una manivela, las ecuaciones de velocidad son las mismas que las utiliza-

clas para el eslabón 2.

lVol: o4 W : (? rd s t.19.31 cm : 'J cmis

dir. L O^B

sentido, acorde con rrr.* ('l)

Del eslabón 4 se obtiene como información la dirección del vector velocidad del punto B. Al serun vector de velocidad absoluta, su punto de aplicación se encontrará en el punto ¿., del cinema.

U: Iv* !'tLtlA conocicla fAB

En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto b homólogo a B del mecanismo.El ounto ó marca el extremo del vector velocidad.

IO+B\,2

\ .,'a/,

IAB "'

Figura3.22. Representación gráfica de la ecuación.

El valor de la velocidad se obtiene midiendo directamente del cinema de velocidades en Figu-).1-'r.

IO¿B

/Lns

-lS-Paranrnfo

Figura 3.23. Obtención en el cinema del punto homólogo a B.

Así. el cínema de velocidades de cadarepresenta en la Figura 3.25. Observe90" respecto a los eslabones.

uno de los eslabonescómo los cinemas de


(representados en la Figura 3.24) se

cada eslabón se encuentran girados

Figura 3.24. Mecanismo original.

Para calcular las velocidades ansulares de todosneales:

¡lO+B

Figura 3.25. Cinema de velocidades equivalente.

los eslabones. se utilizarán las velocidades li-

lor:l : 10 rd¡'s

dir. I plano

sentido antihorario

el valor de la velocidad de Bdirección de velocidad relativa

200 cm¡sE: 120 cm

dir. I plano

sentido antihorario

vl

AB: [1,66 'dC

respecto A se obtiene del(en la Figura3.27).

cinema (Figura 3.26'¡ y su sentido de la

¡IOaB

Figura 3.26. Obtención, a partir del cinema,de la velocidad relativa entre los puntos A y I

del eslabón 3.

Figura3.27. Determinación de la direccióndel vector velocidad anoular del eslabón 3.

@ ITES-Paraninfo

-:-¿itca de maquinas

Ície-.on el valor de la velocidad angular del eslabón 4 (en las Figuras 3.26 y 3'28)

lr/ |lvBl-r o.rB

529 cmis

19,31 cm

dir. I plano

sentido horario

Figura 3.28. Determinación de la dirección del vector velocidad angular del eslabón 4.

3.4, TÉCuCnS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACELERACIONES

para poder estudiar las aceleraciones de un mecanismo es muy importante tealizar correctamente el

estudio clel campo de velocidades del mismo. Así, por ejemplo. será conveniente conocer el valor

cle: las velocidades angulares de todos los eslabones del mecanismo o los cínemas de velocidades de

los diferentes eslabones del mecanismo.

En el caso más sencillo cle una manivela como la presentada de la Figura 3.29, el punto A perte-

neciente al eslabón 2 tiene un movimiento circular alrededor del punto fijo O2. Por tanto. la acelera-

ción del punto A es la suma vectorial de dos componentes, la componente normal y la componente

tangenciáI, obtenidas de las componentes intrínsecas de la trayectoria circunferencial

--ti,-¡0^: LtÁ -t LIA

oFigura 3.29

Paran i nfo

Manivela.


. Componente normal:

t/ t-

- Módulo: ,a'\l - ,',: O,A : +- orA

- Dirección: paralela a la dirección del radio de giro > O4

- Sentido: siempre hacia el centro de giro - de A a 02

o Componente tangencial:

- Módulo: lti'o : , O¡

- Dirección: perpendicular a la dirección del radio de giro > L O2A

- Sentido: acorde con la aceleración angular

La aceleración del punto A se obtiene mediante la suma vectorial de ambas componentes como

aparece en la Figura 3.30.En el ejemplo anterior del cálculo de las aceleraciones en una manivela ha sido obtenido de la

rutina habitual del estudio del movlmiento circular. En el caso del movimiento de eslabones con

traslación el cálculo del campo de velocidades es inmediato. En el caso general del movimiento

IOzA\A

Figura 3.30. gráfico de la aceleración del punto A

instantáneo de un eslabón con traslación y rotación, el cálculo del campo de aceleraciones no es

inmediato y tenemos que aplicar la cinemirtica del movimiento relativo. Al inicio del capítulo se

obtuvieron las relaciones generales que relacionan las aceleraciones en dos puntos dif'erentes de un

mismo sólido rígido 7ts:dts * Zr, según el sistema móvil seleccionado, el término vectorial d,gtendrá una interpretación diferente. En el caso de realizar los cálculos respecto a un sistema móvilligado al sólido rígido en estudio en el punto B laá^o coincidirá con la áoor-.

dr''¡át:do+7i x (aó xl'Ail *

¿, ".7AB+aREr.*ácoo,r,t,ts

ó : Ó, árr,* ,ur,r: 2'ut . 2., : o

En el caso de considerar un sistema móvil ligado al punto B del sólido rígido pero manteniéndo-

se paralelo en todo instante al sistema fijo la duu coincidirá con la expresión vectorial

daóax(aixv¡)* **r^,,

@ ITES-Paraninfo

66 Cinemática de máquinas

Esta expresión vectorial es fácil de interpretar para el caso de un eslabón sólido rígido de un l-neca-

nismos plano. El primer sumando es un vector con formato cle aceleración normal, el segundo sr"r-

mando es un vector con formato de aceleración tangencial'

á,t: átrs + AB + do* I d.uo,,,r,t

i,,t : O. dnrt : 0. d,,,R ,,,, ,., - o

Lo importante de la última expresión es la interpretación análoga al caso del estudio del campo

de velocidades. En el caso cle aceleraciones, para relacionar las correspondientes a dos puntos del

mismo eslabón sóliclo rígido. utilizaremos el mismo esquema conceptual; la aceleración de un punto

A se puecle calcular a partir de la del punto ^B por intermedio de una aceleración Z,o que consiste en

la conespondiente a la que obtendríamos si consideráramos la rotación de A sobre B con la veloci-

clad y aceleración angular del sólido rígido, concluyéndose que:

Para dos puntos A t- B pertenecientes a un mismo eslabón:

t'^: ttû * Vo

Ú^: vô -l vo

7i^-iiûláo

Las anteriores expresiones nos permiten visualizar el movimiento general de un eslabón plano

como una superposición de traslaciones y rotaciones, en definitiva una suma de rotaciones.

De manera análoga al caso del campo de velocidades podemos localizar un punto Q, denomina-

do polo de aceleraciones, con aceleración nula. Lo cual nos permitirá referir el cálculo de las acele-

raclones absolutas al movimiento de cualquier punto del eslabón sólido rígido a una rotación virtual

del punto alrededor de Q con una velocidad y aceleración angular la del sólido rígido.

En el caso del movimiento en el espacio del sólido rígido la interpretación se complica debido a

que en general el vector rotación y el vector aceleración angular tienen direcciones diferentes. En el

aso del campo de velocidades es completamente generalizable desde el estudio del carnpo plano; en

el caso clel campo de aceleraciones el vector ñ,ro tiene un significado que no concuerda con la rota-

ción pura alrededor de un eje.

3.4.1. ESTUDIO DE LAS ACELERACIONES RELATIVAS

De toclo lo anterior podemos concluir con la técnica denominada de las aceleraciones relativas.

donde a partir del estuclio gráfico cle la expresión que relaciona las aceleraciones absolutas de dos

puntos de un sólido rígido en el plano podemos formar un triángulo a partir del conocimiento del

vector aceleración de un punto y obtener el de otro punto cualquiera si conocemos las direcciones

cle los otros dos vectores. Habitualmente. conocemos la dirección de uno de los vectores incógnitr

y parte clel vector aceleración de A sobre B: de este vector siempre es calculable la componente

normal a partir cle la información del campo de velocidades y la componente tangencial siempre se

mantiene perpendicular a ella. creando un lugar geométrico de puntos que verifican la condición

geométrica de triángulo. Necesitaremos un análisis de los pares cinemáticos que concurren en el

punro en estudio para lograr otro lugar geométrico que por intersección nos genera la soluciór

bu scada

. ITES-Paraninfo


En sistemas de referenc¡a fi¡os

E,s clecir. para puntos pertenecientes a un mismo eslabón

rR: rA Í rBA

á6 : án -l ao^

donde d^ es la aceleración cle un punto conocido del eslabón. y Zuo es la aceleración que tienen el

punto B sobre A, es decir, como si el sistema de ref-erencia estuviera colocado en ese punto. En estas

iircunstancias, el eslabón se comportaría como una manivela, considerando que el punto ,B se en-

cuentra giranclo con un movimiento circular alrededor del punto A

únr: o"no - o'ro

La aceleración de B sobre A (habitualmente se la suele denominar relativa) es la suma de dos

vectores:

- 1L'Ln. cuvo módulo es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad angular,

í1;,rl : i,t' .nl la dirección es la clel radio de giro, es decir paralela al segmento BA, y su

sentido va del punto B hacia el centro de giro (que en este caso es el punto A)'

- á'u^, cuyo módulo es directamente proporcional a la aceleración angular, lá'nol: r'.BA; su

dirección es perpendicular al radio de giro (BA) y su dirección debe ser acorde con la direc-

ción del vector aceleración angular.

En sistemas de referencia móviles:

Este caso se considera cuando se pretencle calcular la aceleración de un punto a partir de otro que se

encuentra en un eslabón distinto

io: Ío * 7oo

án: á¡ + ABA + 4,,,,

Cuando existe un par de cleslizamiento entre clos eslabones aparece un término nuevo en la ecua-

ción. consecuencia del movimiento de los sistemas de referencia denominado aceleración de corio-

llis. el valor de este vector en el plano es:

Móclulo: lri,,,,l : 2' t't,' lÚ uo1

La dirección es perpendicular al vector i u^. y el sentido se obtiene aplicando la regla de la mano

derecha al producto vectorial á.,,,: 2.(it, * io,i.., siendo ó,. la velocidad de rotación del sistema de

referencia móvil (al que pertenece el punto A)'En este caso, no se mantiene la analogía con las relaciones de aceleraciones entre dos puntos del

sólido rígido. En este último caso, relacionar las aceleraciones entre dos puntos de contacto del par

cinemátióo en estudio, se observa la aparición de un nuevo término: la aceleración de coriollis. Este

O ITES-Paraninfo

/d\f ; l-VB--V^+VRA\ur /

(i,) -

/ d\( , l- Vn: V,q f Vt,,,

\dr /

(*)-

I

j ^emática de máquinas

nuevo término complica el análisis gráfico, ya no es posible usar un triángulo vectorial. Sin embar-

go, dado que depende únicamente de términos de velocidad, si el campo de velocidades ha sido

resuelto previamente, este vector será siempre calculable. El vector d6o se interpretará como una

aceleración relativa.

3.4.2. Crrueul DE AcELERAcIoNES. Horvlol-ocíAS

Vamos a generalizar el concepto de cínema anteriormente estudiado para las velocidades al caso del

campo de aceleraciones de un sólido rígido eslabón. El cinema de aceleraciones de un eslabón repre-

senta el lugar geométrico de los extremos de los vectores aceleración absoluta de todos los puntos

del eslabón. El cinema se obtiene mediante la composición de todos los vectores aceleración unien-

do los puntos de aplicación en un único punto que se denomina polo de aceleraciones. El polo de

aceleraciones representa a todos los puntos de aceleración cero, y no guarda ningún tipo de relación

con el polo de velocidades o centro instantáneo de rotación.

Propiedades del c¡nema de aceleraciones

1. Entre un eslabón y su cinema existe una relación de homología.

2. El cinema de aceleraciones de un eslabón está escalado (propiedad 1) y girado respecto al esla-

bón dado.

Del análisis del campo cle aceleraciones correspondiente a una manivela (véase la aplicación an-

terior) se puede obtener que la razón de homologla tiene un valor r/r2 + r,ta y una rotación en el

sentido de la aceleración ángular de n - arctg(alo2'¡. De manera similar al caso del cínema de velo-

cidades, del conocimiento de las aceleraciones absolutas de dos puntos diferentes de un sólido rígido

en un plano podemos obtener la de cualquier otro punto por aplicación directa de una homología

desde el mecanismo al cínema o viceversa, ya que aprovecharemos las propiedades de conservación

de ángulos y proporciones en toda homología.

3. A partir del cinema de aceleraciones de un eslabón se puede obtener por homología el punto de

aceleración nula Q del eslabón.

Ejemplo de aplicación

El mecanismo de la Figura 3.31 es el cuadrilátero articulado cuyas velocidades fueron estudiadas en

el ejemplo de aplicación anterior. Calcular las aceleraciones de los puntos más representativos, así

como la aceleración angular de cada uno de los eslabones.

OzA:60 cm ln: nO c^ OzOc: 150 cm

Resolucrót¡

Para el cálculo de las aceleraciones utilizaremos el método de las aceleraciones relativas, apoyándo-

nos en el cinema de aceleraciones. Así,

o Eslabón 2: MANIVELA

: ai.Aor: 1t0 rd/s)z.60 cm:60 m/s2

AOr, sentido cle A a 02

: az'AOz: 100 rd/s2'60 cm:60 m/s2

L AOz, sentido acorde corl í2

(w;tI

{dir.lvilI

Idir.

-ES-Paraninfo

--'t,-¡aA:úÁ-faA


co: = 10 rd/s

o: = 100 rd/J

Oz'_r

Figura 3.31. Cuadrilátero articulado.

Se representa gráficamente en la Figura 3.32 \a suma de los dos vectores para obtener la acelera-

ción del punto A.

tllOzA

Figura 3.32.

Eslabón 3: BIELA

Determinac¡ón gráfica de la aceleración del punto A.

cm : 3,3 m/s2 (despreciable)

u':,k**u^

(la';ol: ufi.ea: (1,66 rdls;2. tzol-Jdir. ll AB, sentido de B a A\-llá'uol -- o.r.AB : ? m/s2I

[air. f AB, sentido acorde con Íj

, -loBA: obAt aBA

(?)

@ ITES-Paraninfo

^^ )^ *;^,,:^^^_ : t:rúd uc t t tdquu td>

Los ralores de velocidades angulares se obtienen de la solución del ejemplo cle aplicación.

dn: ,dt ! du^: ¿^ , i ú'i, + d'uo-__!+ \ YJ \ Y: ._/-J

conocicla conocicla conoc.ielt f ABAB

por otro lado:


en el cine-

b'\r{BO"

LAB ."

Figura 3.33. Determinación gráfica de la aceleración del punto B

Por tanto, el rnódulo de las aceleraciones de A y B es:

ld"l : to,tt .rt' lc¿l : 97,01 misr

Il,i'|,1 : tt¡.-' BO: -I

. f Air.',:Bq, senridc;t¿.,a \

| ,i'nl - t..BO, -I

lai.. r Bor, ,ent

rnos la ecurción vectori

t-.tO:,Ci.^,- ,i'i,

- -conocida conocid¿r

AB

dos direcciones recuadpunto B del mecanismo

1,A

. "rs\u/...Á.f /'e.9 //

dn: d'i¡ -r

Grírficamente resolve

de la intersección de las

ma de aceleraciones dellp

: (6,66 rd/s¡2 .79,3;

idodeBaOa: ? mi's2

:ntido acorde con 2.1

orial siguiente:

,f-li lOnr l: 0n -tl.-? I -;'l¿r lf ¿¡l conocicla

Bor

adradas se obtiene e

no.

_i).-r In s-

á' homólogo

cm:

(?)

r-__lo¡ |\2 1_lL BOtl

DUntO

\r'.

::-::-aninf0

Para el cálculociones tangenciales

de las aceler¿rciones angulares de los eslabones. Estos valores se obtienen del cinema (Figura


es necesario conocet las acelera-

3.34).

IBO.

Figura 3.34. Determinación gráfica de las aceleraciones tangenciales.

Los rrródulos de las aceleraciones tan-eenciales permiten obtener los módulos de las aceleraciones

angulares mediante la fórmula

l,ii' - t..Ag -'.' m ,t -fiJ - l.,^l : /J.L't- - El5ñ¡l-"'l AB l2o.lo -m

dir. I AB, sentido acorde con 73 (antihorario)

tt,'ol-,, Bo,:: m,sr -E;-l:9: *-94: tr3fsr-r--,t'';l| --' I Bo, 19.31 .lo - m

dir. I AB. sentido acorde corl z. (horario)

IAB

PnoaLeMAS RESUELToS

Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.35

Resolucrór.r

Los pasos para el cálcr-rlo de los centros instantáneos de rotación son:


O ITES-Paraninfo

ooFigura 3.35. Mecanismo pistón.

Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la fórmula combinatoria, que relacio-na todos los eslabones entre sí. dos a dos.

. /4\ 4'(4 - t)ncrR:C;:l"l: . :6CIR

\L/ L

Determinar los CIR inmediatos:Éstos son los que aparecen en la Figura 3.36 (ln, Ir, 131, I.).

ooFigura 3.36. CIR inmediatos.

Los dos CIR que quedan se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Se construye una figurageométrica inscrita en un círculo, y se unen los vértices dos a dos.

Cerrando los triángulos en la Figura 3.37:

(1,,1.,t t t''-i'

se encuentra en la intersección entre las dos rectas unidas por los puntos marcados.

(1,.1,,/:, { ,,_.,_- lltrlro

S - trarani nfo


de la misma manera que en el CIR /,., el centro 1,0 se encuentra en la intersección de las dos

rectas formadas por la unión de los CIR mostrados (en la Figura 3'38)'

,,5 r -.'1 |

\r/\ |

\/tl.,-- lr¡ \ i\,,---/-

e

Figura 3.37. Cálculo del CIR /.,..

oeFigura 3.38. Representación de los CIR del mecanismo

@

i > S.2. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.39.

Resolucró¡t

Se seguirán los pasos comentados en el apartado teórico:

1. Determinar el número de eslabones del mecanismo'

N:6

2. Calcular el número de CIRs presentes.

/ó\ 6.t6- lrncrn - C;: ( . )- -:: 1.5 CIR

\-/ 2

- ':nática de máquinas

Figura 3.39. Mecanismo.

Determinar los CIR inmediatos:Estos sor.r los que aparecen en la Figula 3.:10.


-l S- Paran i nfo

Los CIR inmediatos son:

1,.,[... 13, I1¡,, Ior. It.,, Ir, (.r-)

4.


Los restantes se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Para ello se construye una figurageométrica (Figura 3.4 l) inscrita en un círculo con tantos vértices como eslabones tenga el me-canismo y se unen los vértices dos ¿r dos. según los CIR que se obtengan.

Figura 3.41. Gráfico para la aplicación del teorema de Kennedy

El resto de los CIR se obtiene cerrando los triánsulos:

, f 1,1.,lrr 1

[1'-t 1t-.

Y así con el resto.

no es posible resolverlo. de

, f 1.J..lr.r 1--

Utt I t.

, f I r.l.,

U,n 1n-.

, fl.,{.r:¡t.,11r¡1r< (Ur.l.t 5

,^ {,¿",,,.2

, ll.,l,o"t'11,,1,, s

, ltrJt,,"t' l1*, 1, ,,

momento.

@ ITES-Paraninfo

- .emailca oe maqutnas

Volvemos a intentar calcular el CIR.

Estas uniones se traducen en el dibujo del mecanismo en buscar la intersección entre las dos

rectas que forman los tres CIR alineados. Como resultado, los centros instantáneos de rotación,

obtenidos mediante el teorema de Kennedy, se presentan en la Figura 3.42.

Figura 3.42. CIR del mecanismo.

i > g.3. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.43.

Resoluctóru

Los pasos a seguir son:


N:6

2. Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la fórmula combinatoria, que relacio-

na todos los eslabones entre sí dos a dos.

, ftort,L.<I T^.1,.

-IS-Paraninfo

3. Determinar los CIR inmediatos:Éstos son los que aparecen en la Figura 3.44.


Los restantes se calculan aplicando el teorema de Kennedy.

1


4.

Figura3.43. Mecanismoarticulado.


O ITES-Paraninfo

[t..t I t'

U,.1t,

{t ,,1 ,,'

t 1t, 1tul¿a

[t'J"11...1,.

{1t'1't'U:.1.0

I:s

r 16

I [,,1..,

it,t.

It"1"U,,1.,.

[',0@'L1'.1..

[ttt I 'o

U..1.0

Tll5

'26

- a' := :e naqulnas

)Ios Ílt3

( :r,\It^

Figura 3.46. Todos los CIR del mecanismo.

> 3.4. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.47

\ohgb

Figura3.47. Mecanismo.

1V

Resolucloru

Se seguirán los pasos comentados en el apartado teórico:

l. Determinar el número de eslabones del mecanismo'

¡/:3

2. Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la

na todos los eslabones entre sí dos a dos.


f-órmula combinatoria. que relacicl-

/r\/rr.rn - .. : (; )

3. Determinar los CIR inmediatos:Éstos son los que aparecen en la Figurer 3'48 el 1'', y el

eslabón 2 y el 3, sólo puede asegurarse que el CIR relativo

lar a la tangente de contacto.

3 CIR

11,. En el caso del contacto entre el

se encuentra en la línea perpenclicu-

El CIR 1,.1 se calculará con la

Figura 3.,19).


infornración previa y aplicando el teorema de Kennedy (réctse la

fI te de contacto,-- <

[ /r,1r{

dirección de 1.6


@ ITES-Paraninfo

' ':- )ttaA rla mÁat tinac

En la Figura 3.50 se representan todos los CIR obtenidos.

Figura 3.50. Todos los CIR del mecanismo.

> 3.5. En el eslabón de la Figura 3.51 se conoce la velocidad del punto A, de 50 cm/s, en la direcciónperpendicular a la recta que une el punto A con su centro instantáneo de rotación absoluto. Cono-ciendo la posición del centro instantáneo de rotación, calcular, aplicando el método de las velocida-des relativas, la velocidad del punto B.

Rl13

Figura 3.51. Eslabón.

Datos: AB : 88,37 cm.

Resolucrór'¡

Aplicando el método de velocidades relativas:

A y B pertenecen al mismo eslabón.

w -w twvB- vA I vRA

'!S-Paraninfo

El resultado puede obtenerse gráficamente o

(1v,, : ut'BAt'"{ ¿i.. r r¿

I

[sentido acorde

numéricamente.


Numéricamente: Se obtiene la velocidad angular ro a partir de la velocidad conocida del punto A:

lÍ^,: ''''t,,edir. t 1r,A

sentido acorde con (,')

de manera que

Gráficamente: Se realiza la suma

: rt^11',4

r. I plano de traba¡o

nticlo acorde con V,

ctorial con los datos que disponemos (en la Figura3'52)'

rl Í/ I l/vB - v,l ' ,BAt_v) ._/- ,-t-

L I t$ conocido -L BA

Rlr3/\

/l/¡

// r,'o' tt

Figura3.52.Ap|icacióndelaecuacióndeve|ocidadesre|ativasaIes|abón.

dibujando ambas clirecciones obtenemos en la intersección el extrenlo del vector velocidad del punto

B, y cerramos el triángulo marcando la suma vectorial. El resultado aparece en la Figura 3'53'

qlr:

/¡,' rlou t,

(,,)( r.l01

I\sc

Figura 3.53. Obtención de la velocidad en el punto B'

@ ITES-Paraninfo

-:: :a Je maqutnas

En el eslabón de la Figura 3.-54 se conoce:erpendicular a la recta que une el punto A

-rendo la posición del centro instantáneopror ecciones. la velocidad del punto B.

la velocidad del punto A, de 50 cm/s, en la direccióncon su centro instantáneo de rotación absoluto. Cono-

de rot¿rción 1,.,, calcular, aplicando el método de las

Q l'::

/l/t

Figura 3.54. Eslabón.

Datos: AB : 88.37 cm.

Resoluclóru

Aplicamos el método de las proyecciones. Calculamos en primer lugar la proyección de la velocidaddel punto A sobre la recta que une A con B.

(v)^n: (vilM

(.V¡)¡n - I y,rl .cos (43") : 50 cm/s'cos (43") : 36,57 crni's

el valor puede obtenerse numéricamente o gráficamente, como en la Figura 3.-55

Q l'::

V¡ = 50cm/s

Figura 3.55. Proyección del vector velocidad del punto A sobrela recta que une A y 8.

(Va)m

I S -:a ran i nfo


El siguiente paso es trasladar la proyección sobre el segmento AB en el punto B (Figura 3.-56).

Q l,:

(Va)ae

Figura 3.56. Se traslada la proyección de la velocidaddel punto A sobre el punto B.

Y se deshace la proyección, llevando una perpendicular al segmento AB desde el extremo delvector de proyección de la velocidad de B, y, por otro lado, buscamos la dirección de la velocidaddesde el punto B, que se sabe que es perpendicular al segmento que une el punto B con su centroinstantáneo de rotación.

tl/ \ 14<7 ^^ll¿r¿6 -rU.J/ Uln/S

cos (90 - 78) cos ( 1 2")

El vector velocidad se puede obtener gráficamente deshaciendo la proyección(V,,),ro y marcandola dirección del vector velocidad, que como es bien sabido, es perpendicular al segmento que une elCIR 113 con el punto B. El resultado ap¿rrece en la Figura 3.57.

Q l'::

V¡ = 50cm/s

- +(Vn)ea

i-,u-9-ff,,\-' .-^'- a7

- -f e llo = 5o'l-/

-{ g-p".-tLr"-!i7y1:*

Figura 3.57. Obtención de la velocidad de B,

O ITES-Paraninfo

- -:-áttca de máquinas

La relocidad del punto A del eslabón de la Figura 3.58 es conocida y se conoce también el

la relocidad relativa del punto B respecto a A. Determinar la velocidad del punto C'valor de

Figura 3.58. Eslabón genérico.

Resoluclót¡

En primer lugar, calcularemos la velocidad del punto B, aplicando la ecuación de velocidad relativa'

f;o: f;^ - f;sn

La velocidad en el punto B se obtiene, por tanto, realizando la suma vectorial de ambos vectores

de manera gráfica, como aparece en la Figura 3.59'

Figura 3.59. Obtención de la velocidad en B'

para el cálculo de la velocidad del punto C es necesario aplicar el método de la proyección.

Primero se realizará en función del punto A y luego en función del punto B.

(V¡)oc, : (V),tc

(.in)nc:: (li'dnc.

-:S-Paraninfo

Cinemática de máouinas 85

Figura 3.60. Obtención de la velocidad en C respecto de A.

r con la intersección de las dos direcciones perpendiculares a las proyecciones se consigue el extre-mo del vector velocidad buscado. como aDarece en la Fieura 3.61.

Figura 3.61. Obtención de la velocidad en C, respecto de B.

]. El mecanismo de la Figura 3.62 es un cuadrilátero articulado, al que se ha sustituido la biela por una

corredera, proporcionando un par de deslizamiento entre el eslabón 3 y 4. Calcular:

1. Número de grados de libertad.2. Velocidad del punto A.3. Velocidad angular del eslabón 4.

Las loneitudes de los eslabones son:

OrA :58,34 cm oA:56,1r cm opr: 104,43 crn

@ ITES-Paraninfo

tx, - 15 rd/s:

Resolucrórr¡

l. Número de

Figura 3.62. Mecanismo manivela-corredera-manivela.

grados de libertad: aplicando la fórmula de Grübler

G : 3. (N - r) 2..f, .f.

donde: N : 4. f , : 4, fr.: 0, por tanto,

movimiento de uno de los eslabones. el

2.

l%l : ,r.'o1- (7 rcl/s)'58,34 cm:408 cm¡'s

dir. L O.¡sentido. acorde con (r)r

o Eslabón 3:Se trata de una corredera; estos eslabones se consideran en el estudio cinemático como pun-

tuales, por lo que será necesario estudiar el contacto de deslizamiento que existe entre el eslabóncorredera (eslabón 3) y el eslabón sobre el que desliza (eslabón 2). El punto A del eslabón 3

lleva una trayectoria diferente a la del eslabón 2, por tanto puede establecerse una relación entrelos dos puntos a través de la velocidad de deslizamiento (relativa).

2,,:V,,*ú,,,,

dado que el deslizamiento se produce sobre un eslabón de geometría lineal, la direccrón de des-lizamiento será en la dirección del eslabón sobre el que desliza la corredera.


Vt'l - lVr,l : t't¡'O,A - (? rd s) 5ó.ll crn: ?

dtr. L O+A

sentido, acorde con o1 ('?)

[c]::t+ r) 2.1-o:Ees un mecanismo desmodrómico, por tanto, conocido el

resto de los eslabones está perf'ectamente definido.

Velocidad del punto A.


-:>-laraninfo


En la intersección entre la direcclón de cleslizamiento 17,.,.,,¡ y la dirección de {,4 se en-

cuentra el extremo del vector velocidad buscado.

Yr, - /', - V,,, i 7r,,,,!--l

. OtA conocida O.A

El valor de la velocidad se obtiene midiendo en el cinema de velocidades.

lVrrl :613,5 crn,'s

la dirección y el sentido clel vector velocidad aparecen en la Figura 3.63.

áz -- ?q

/'1O.4

Figura 3.63. Cinema de velocidades.

3. Velociclad angular del eslabón 4: se obtiene a partir de los datos proporcionados por el cinema y

lus eculrciones rnLeriores:

t/v A-+

l-t ^

613.5 cm.'s

56,1 I cm

dir. I plano

sentido antihorario

En el mecanismo de la Figura 3.64:

1. Calcular el número de grados de libertad del mecanismo.2. Determinar los centros instantáneos de rotación absolutos.

3. Dibujar el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones del mecanismo.

4. Calcular las velocidades angulares de cada eslabón.

5. Determinar la velocidad del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3

Datos:

O-A:7-5 cm ,SB:150 cm W - 70,40 cm SC - ll5 crn

OtC :80 cm CD : l-59,20 cm

O ITES-Paraninfo

/^ ^;^,,;^^^_ = t.tLa uc r t tdquil tdó

Resolucróru

1. Número de grados de libertad: Aplicando la fórmula de Gruebler.

G : 3.(¡/ - r) 2.ft - fz

donde: N : 6, ft : 7, fz: 0, por tanto,

f :3 (6-r) 2.7-o:Ese trata, por tanto, de un mecanismo desmodrómico.

2. Cálculo de los CIR absolutos.Se obtienen los CIR inmecliatos para su cálculo. Éstos son: I,z, Irt, Itr, I,o, Irr, Iro, 1i¿ y se

muestran en la Figura 3.65.

(l)

(2)

--S-Daraninfo


Figura 3.65. Representación de los CIR inmediatos.


Los dos CIR absolutos que quedan por calcular se obtienen aplicando el teorema de Kenne-dy (uéase la Figura 3.66).

( L.1..r I t- -J

U't1t,,,,{",ir'¿"

oltz

Eslabón 3: BIELA

v - f/ tivB- vA I vUA!,,n-]

conocida

Eslabón 4: MANIVELA

(lvrol: o..AB: (?) lso

{ ¿ir. L ABj

I sentido, acorde con

%"

I

/o

/ \ ¡----) ,/"l/\//

t2Figura 3.66. Representación de los CIR absolutos.

3. Cinema de velocidades: Se realiza el análisis de velocidades para cada eslabón.


lv¡l: a4.O2A - (100 rd/s).75 cm:7.500 cm/s:75 m/s

dtr. L O.lsentido, acorde con úJ?

BF7 lza

(1)

(2)

cm:?

c''ri (?)

cmi s

lval: uta.OaB: (? rd/s) .10,40 cm : ? m/s

dlr. L UrB

sentido, acorde con ro. (?)

t/ r/ rVD -

V^ |._ _L OrB conocid¿r

(3)

T/Y ps

LBA(4)

O ITES-Paraninfo

-.-at¡ca de máquinas

En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto b homólogo a B del mecanls-mo. El punto ó de la Figura 3.67 marca el extremo del vector velocidad.

,,'LAB

Figura 3.67. Desarrollo del cinema de velocidades.

Al pertenecer el punto C al eslabón 4, pueden aplicarse las propiedades de homología exis-tentes entre el cinema de velocidades y el mecanismo.

Su módulo se obtiene por homología:

- o.B+ oc : c¡b. - : 12,45 cm.ooC

?r:240c ob

70.,10 cm

- : 63,16 cm (5)

80 cm

la dirección y el sentido se obtiene del eslabón manivela

dirección L W. y el sentido acorcle con el giro de la manivela 4

¡ Eslabón 5: BIELA

o Eslabón 6: CORREDERA.Al ser una corredera que desliza sobre el eslabón fijo 1, la velocidad del punto D es lineal y,

por tanto, la dirección del vector velocidad debe ser vertical.

in:V, 1i,,,

"t'*'.**^# (1)

En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto r1 homólogo a D del mecanislno.Para representar el cinema de cada uno de los eslabones, en la Figura 3.69 aparecen marca-

dos los cinemas de los eslabones representados en la Figura 3.68.

Se comprueba que todos los cinemas de velocidad están escalados respecto a los eslabones ygirados 90 grados en el sentido de las velocidades angulares.

Cálculo de las velocidades angulares: todos los vectores de velocidad angular tienen direcciónperpendicular al plano de trabajo, por lo que se dará como solución el módulo y el sentido de losvectores.

o Eslabón 2:

r',r2 : 100 rd/s sentido antihorario

(lv,,rl_ ,,t,.DC - ('l).150.20 cm - ? cm s

Úr,- i¡ - V¡,, I dir. I DC'n- lconocida I sentido, acorde con rr;5 ('i)

(6)

:S-Paraninfo

(daro)

rIIl

i


o Eslabón 3: de la ecuación (2)


L-o¿d\ \,/ro,a

/Lco

Figura 3.69. Cinema de velocidadesdel mecanismo.

/lr/ I

\l YBAI meiliclo en el cinenra: "r: t S,Aq -/t)

ttÚ\l"B rreJitl,r cn cl e rnerrlra:_l I .+S m/'s)

(]Vurl rrrediclo cn el cinenr¡: ¿/¿' 48,23 m/s)

1/ |v BAI| ('/1I.'AB

18.89 m s 18.89 m:150 cm 1,50 m

sentido antihorario

o Eslabón 4: de la ecuación (3)

JVrl 71,45 m/s 71,45 m/s

O^B 70,40 cm 0,7040 m

sentido horario

r Eslabón 5: de la ecuación (4)

E: Vl:48,23 m/s _ 48,23 mis _DC 159,20 cm I,5920 m

sentido horario

o Eslabón 6: al ser Llna corredera con movimiento lineal, la velocidad angular del eslabón es nula.

5. Determinar la velocidad del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3.

Para ello, utilizamos la propiedad de homología y el cinema calculado.El homólogo del punto E en el cinema (punto e) se encuentra también en el centro geométri-

co de1 cinema del eslabón 3, por tanto, sólo habrá que marcarlo en el cinema y obtener la veloci-dad de manera gráfica, como se presenta en la Figura 3.70.

li ul : 73,13 rn/s

@ ITES-Paraninfo

_ -:-ailca oe maqutnas

1nn,--/ n vv

Figura 3.70. Obtención de la velocidad del punto E.

3.10. El mecanismo de la Figura 3.71 es el mecanismo del Problema 3.8 donde ahora el movimiento de lamanivela de entrada es acelerado. Calcular:

l. Aceleración del punto A.2. Aceleración angular del eslabón 4.

Las longitudes de los eslabones son:

O,A: 58,34 cm OoA :56,1 l cm OzO+: 104,43 cm

crr = 15 rdlsi

6\co, = 7 rd/s

Figura 3.71. Mecanismo manivela-corredera-manivela.

Resolucróru

Igual que en el caso anterior, se calcula el cinema de aceleraciones estudiando el comportamientoeslabón a eslabón.


cm : 28,59 m/s2

)cm: ó./) m,s-

(la'Ál: ,uj.AOr: (7 rd s)r.58.34I

/dir. 1 AOz, sentido de A a 02

I l¿ll : ar.Ao2: 15 rd/s2 .s8,34

[0i.. f AOz-, sentido acorde con

Vá= 73,13 m/s

S-re.aninfo

aA: d; + dA

Se representa gráficamente la suma deobtener la aceleración del punto A.


los dos vectores, aplicando la regla de la cadena, para

aÁ=ó.lc

\ to.n

Figura 3.72. Determinación gráfica de la aceleración del punto A.

o Eslabón 3: CORREDERA

ü¡t: ,a¡2 + .dn^o., +a,,,,11r,,,,,1:2.c:t2.1V1,¡¡l :2-o rd sl.t45ó.3 cm s):63.88 m s2. .-..- Ieonocrda drr' deslrzrmrenlo )¿ir. r f;oto¿. - L oAo.A ü" '

para obtener el sentido del vector aceleración de coriolis se emplea la regla de la mano derecha.Por otro lado, áo3 : du ya que físicamente es el mismo punto.


- 61,31 m sr

VAI: 195,27 m/s2

(lt;^1 : ,'fi.eoo: (10,93 rdls)2 . 56,1 l cm

. | oir. Ao+, sentid o de A a oocirr: ci,), + 4,,.,

1l,il_*l : ). oo._ ? m srI-

[dir. I AOa, sentido acorde con ea (?)

El valor de velocidad angular se obtiene de la solución del Problema 3.8.Resolvemos gráficamente la ecuación vectorial:

á¡t: á¡+ : ,á,c2, + [-a;;-l : d,), +F l-rl-lvl.-iconocida I dir. deslizamiento I conocida I OrA

Ilo,A, l . .t_t

de la intersección de las dos direcciones recuadradas se obtiene la aceleración buscada (Figura 3.73).Por tanto, el módulo de la aceleración en el punto A es:

@ ITES-Paraninfo

:.emát¡ca de máqu¡nas

\ ror¡

Figura 3.73. Determinación gráfica de la aceleración tangencial.

para el cálculo de la aceleración angular de los eslabones es necesario conocer el valor de

la aceleración tangencial del punto A del eslabón 4. El valor se obtiene del cinema (en la Figu-

ra 3.74).El módulo de la aceleración tangencial permite obtener los módulos de las aceleraciones angula-

res mediante la fórmula

3767

\aÁ',-

-\q)\ \ql\s\s6.

?cL

lñ'..llrl.,l :'rr'eOr:?mt'-l t-, l:#-rrAUt

dir. I 4@r-, sentido acorde cor 14 (horario)

183,30 m/s2

56.11'10 - m

a3-44

= -rS-Paraninfo

Figura 3.74. Determinación gráfica de la aceleración tangencial'


3.11. El mecanismo de la Figura 3.75 se corresponde con el del Problema 3.9.

l. Dibujar el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones del mecanrsmo.2, Calcular las aceleraciones angulares de cada eslabón.3. Determinar la aceleración del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3.

Datos:

OA :75 cm

95

SS : 150 cm O,B :70.-10 cm-:---= -0r(' :80 cm CD - 159.20 cm

BC: 115 cm

Resoluclót¡

1. Cinema de aceleracrones:


doz - a-). -l do.

(F,;,t : ,,,1, . AOr: ( | 00 rd s ): . 75 cml"-ld¡.lllor, sentido de A a O.¿-I ¿:rl - ,,'Ao.:.500 rd sr'75 cm:l-ldir. I AO,, sentido acorde corl 12

,il ozn

o'

- -._4+aÁ = 375 m/s2 \ - .LOzA

Mecanismo.

o: = 100 rd/s

Figura 3.75. Mecanismo.

il/,///)ui.12

Figura 3.76.

@ ITES-Paraninfo

-:-21t.2 ¡la mánttina<

r Eslabón 3: BIELA

238.14 m/s2

Problema 3.9.

rd/s)2'70,40 cm : 1.252,18 mls2

aOz

:t+ (?)

Up

conocidaBO"

dn: d¡ t d'io +\-/J \

-!-

conocida conocidaAB

llO+8. /

";*eJ*i-*(la';ol : of.,ta : .12,6

rdls)2. 150 cm :l-

I _, )dir.l AB, sentido de B a Aon.q : uit¡ *,,oo

) V,uol : r..AB_ ? m s2I

[dir. - AB. sentido acorde con r. (?)

Los valores de velocidades angulares se obtienen de la solución del

át : do I duo: ún + d'Án 1 á'oo\,J

.--l .-/- . ]/-

conocida conocida conocida L AB

orde con

siguiente:

por otro lado:


(l¿',,1 :,','^' Bo, : ( | o 1.5l"

án: a,É * o,, \i:',",t'::: #T", :,,:I'D'I

lOi.. r aA-, sentido ac

Gráficamente resolvemos la ecuación vectorial

de la intersección de las dos direcciones recuadradas se obtiene el punto b'homólogo en el cine-

ma de aceleraciones del punto B del mecanismo (Figura3.l'/).

IO¿B \n

o'/

\ r¡n\ ll ''-

1ABFigura3.77. Determinación gráfica de la aceleración del punto B.

ttozA'|W

-:S-taraninfo


Por tanto, el módulo de las velocidades es:

la¿l : 7.509 m/s ldul: 7.257 mls

Al pertenecer el punto C al eslabón 4, puede calcularse la aceleración del eslabón 4 a partirla aceleración tangencial del punto B, en la Figura 3.78.

ld'ul 209 mls2

BO+ 70,14.10 2 m

dir. I plano de trabajo,

sentido acorde con d'u - antihorario

o Eslabón 5: BIELA

ár: !r* d,,r-

conocida

(la'i,rl:,',i.oc: (30.3 rd s):.t59.20 cm: 1.4ór.60 rn s:

l¿it. DC. senrido de D a Cdoc. : á'L, t o'n,

\ln,rr,,.l _ ,r. DC: ? m/s2

ldt.. t DC, sentido acorde con e. (?)

Los valores de velocidades angulares se obtienen, como ya se ha comentado, de la solucióndel Problema 3.9.

ún: d,..l ú¡-¡, : üc * d'h,. + l,',,-Y 2+r'-,-t'.f-

conocida conocida conocida I DCDC

Figura 3.78.

así, obtenemos el valorFigura 3.79.

dr- - d,tt - úc.crt -

Lo¿B \ lj= ron ^,,', ,lb'"""%

t'',

/,.^%Arl/ '\bY"6Y \llorA/r,4:))' \.fot9'

z'/ /' / ,'Determinación gráfica de la aceleración tangencial del punto 8.

de la aceleración de C que se representa como suma vectorial en la

(a¿l:,',1'co.: (101.5 rcl s):.80 cm:8.2+1.8 m s:l-

, Jait. BOr. senriclo de B a O.,a;- a,. I _

llt¡l : x4'Coa: 295,15 rd/s2.80 cm : 236,36 mis2t_[dir. I COa, sentido acorde con 14 (antihorario)

@ ITES-Paraninfo

- . - a: .a de máquinas

al = 236 m/s2,/

1O¿C

ll otB ,

\\ ...- -L ozA

\ IIAB

Figura 3.79. Determinación gráfica de la aceleración del punto C.

o Eslabón 6: CORREDERA.Al ser una corredera que desliza sobre el eslabón fijo I, la aceleración del punto D es lineal

y, por tanto. la dirección del vector aceleración debe ser vertical.

üD ac, t d'h,. + i'o,---

dir. vertical conocida conocida L DCDC

en la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto d' homólogo a D del mecanlsmo(Figura 3.80).

,ll co

't ,lO+C

-'-\

+/a6c= 1.462 ml* Io+B\

I¡E / ?,

1CD

I I:n'""'

ái= 6.582 mis'? \b'

/a'1AB

\ r IozA

\ II AB

Figura 3.80. Determinación gráfica de la aceleración del punto D.

IO¿B \

";K,f'É/,

/ !//

: -:- nfo

El cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabonesla Fieura 3.82.


de la Figura 3.81 se representa en

Figura 3.81. Mecanismo original. Figura 3.82. Representación delcinema de aceleraciones.

Se comprueba que todos los cinemas de aceleración están escalados respecto a los eslabones

girados.

2. Cálculo de las aceleraciones angulares: todos losción perpendicular al plano de trabajo, por lo quede los vectores.

o Eslabón 2:

zz:500 rd/s2 (dato)

o Eslabón 3: de la ecuacrón

sentido antihorario

Eslabón 4: de la ecuacrónYa calculado

i o o.,l i -i.-i2¡ m s: r--------------lr, l--_-r :l9615.3rsj| | AB 150'10 - m

mcdido en el cinema:

vectores de aceleración an-{ular tienen direc-se dará como solución el rnódulo v el sentido

sentido antihorario

lá'uo] 14.423 mls2)

:r4d:BO^

209 m/s2

sentido antihorario

///i/i,U;;lúi2

(3)

10,14.10 2 m

@ ITES-Paraninfo

- -:-,ática de máquinas

Eslabón 5: de la ecuación (.1)

i)).)uu m/s-lá'rrl|'r DC 159,20.t0 2 m

(ld'or) medido c¡t el cinemr 5.500 m/sr)

sentido horario

Eslabón 6: al ser una corredera con movimiento lineal, la aceleración ansular del eslabónes nula.

3. Determinar la aceleración del punto 6, situado en el centro geométrico del eslabón 3.Para ello, utilizamos la propiedad de homología y el cinema calculado.El homólogo del punto E en el cinema (punto e) se encuentra también en el centro geométri-

co del cinema del eslabón 3, por tanto, sólo habrá que marcarlo en el cinema y obtener la acele-ración de manera gráfica (Figura 3.83).

latl : 1.164 mls

Figura 3.83. Determinación gráfica de la aceleración del punto F

qi/m

Capitulo 3

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