Cap´ıtulo 3. Caracterizaci´on de pozos cu´anticos m...

Capıtulo 3.

Caracterizacion de pozos cuanticos multiples asimetricos

Las heteroestructuras formadas por materiales semiconductores han sido ac-

tualmente estudiadas ampliamene, tanto teorica como experimentalmente,

siendo notable en el estudio teorico el hecho de que en su gran mayorıa los

casos estudiados son simetricos.

El estudio de heteroestructuras formadas por dos o mas pozos cuanticos

asimetricos ha tenido un gran auge en los ultimos anos desde que se reporto

el laser en cascada cuantica (Quantum Cascade Laser, QCL) por Faist et al.

[19-22] . Estos sistemas formados por dos o mas pozos cuanticos asimetricos

han sido muy estudiados desde el punto de vista experimental y son aplicados

principalmente a la fabricacion de laseres que trabajan en el mediano o lejano

infrarojo [23-27]; para esto se hacen calculos teoricos breves, fundamentados

principalmente en la aproximacion de la funcion envolvente [29, 30].

Otros trabajos con pozos cuanticos multiples asimetricos, que estudian

efectos como el efecto Stark confinado y la cascada Stark (Stark cascade)

en presencia de un campo electrico externo y el estudio del momento dipo-

67

68 3. Caracterizacion de pozos cuanticos multiples asimetricos

lar de un pozo doble asimetrico aparecen reportados en [31, 32]. Tambien

existen trabajos sobre excitones en pozos cuanticos multiples asimetricos

con campo electrico externo [32-34] usando el metodo variacional. Existen

tambien discusiones mas o menos completas sobre el proceso de tunelaje en

pozos cuanticos dobles asimetricos para el caso en que dos niveles son muy

cercanos [36, 37].

Ası pues, vemos que no hay trabajos teoricos que hagan una caracteri-

zacion completa de este tipo de sistemas, a pesar de que cada dıa son mas

importantes en las aplicaciones en los campos mencionados anteriormente.

En el presente capıtulo se hara un estudio de tres sistemas formados por

pozos cuanticos multiples acoplados, siendo los dos primeros pozos cuadra-

dos, casos especıficos de un pozo cuantico doble general, como el que se

muestra en la Fig. 3.1. En el primero de los casos que estudiaremos se fija la

altura de las barreras de potencial, digamos V1 = V2 = V3 = V0, manteniendo

los anchos de los pozos diferentes en general; en el segundo caso, consider-

amos que el ancho de los pozos es el mismo, y una de las barreras exteriores

es diferente, mientras que las otras dos son iguales, digamos V2 = V3 = V0.

El primero de los casos se puede obtener usando dos materiales diferentes,

uno para las barreras y otro para los pozos, mientras que el segundo caso

se puede obtener usando tres materiales, uno para las barreras iguales, uno

para los pozos y otro mas para la barrera diferente.

El metodo a seguir para caracterizar estos dos casos sera la solucion a

la ecuacion de Schrodinger en la aproximacion de la masa efectiva para un

69

Fig. 3.1: Perfil del potencial para un pozo cuantico doble general. Se muestra unicamentela banda de conduccion.

sistema general de dos pozos acoplados, luego se particularizara a los dos

casos de interes usando los valores adecuados de los parametros del sistema;

se obtendran las funciones de onda electronicas y los correspondientes niveles

de energıa.

El tercer caso estudiado es un pozo parabolico doble, al cual se le intro-

duce una asimetrıa al confinar uno de los lados mediante una pared impene-

trable [38, 39]. Obviamente, la ecuacion de la masa efectiva para este sistema

no es tan sencilla como para los casos de potencial constante por regiones, y

se tendra que recurrir a metodos numericos para su solucion.

En el capıtulo siguiente se calculara ademas la eficiencia cuantica de estos

sistemas como funcion de los diversos parametros caracterısticos de cada


sistema; para calcular esta cantidad necesitamos forzosamente calcular los

elementos matriciales del momento dipolar electrico.

3.1 Calculo del gap y masa efectiva en semiconductores ternarios

Para los semiconductores ternarios tales como arsenuro de galio-aluminio

(AlxGa1!xAs), arsenuro de indio-galio (InxGa1!xAs), etc., los parametros

tıpicos del semiconductor, tales como gap de energıa Eg, masa efectiva del

electron (hueco) m$e(m

$H), etc., dependen de la concentracion x.

Esta dependencia en la concentracion se estima usualmente en forma

semi-empırica, tomando mediciones de las magnitudes descritas y ajustando

a una curva teorica, obteniendo ası valores para los parametros necesarios.

Usualmente este tipo de valores se estiman usando como punto de refer-

encia los mismos valores para semiconductores de dos elementos solamente,

i.e. GaAs, AlAs, etc. En la tabla 3.1 se muestran los valores de la masa

efectiva del electron, hueco y gap de energıa para el arsenuro de galio y el ar-

senuro de aluminio [40, 41]. Cabe hacer la aclaracion que incluso estos valores

varıan dependiendo de las tablas o artıculo que se consulte, y se escogieron

los valores mas comunmente usados.

Gap Eg (eV) m$e(m0) m$

H(m0)GaAs 1.43 0.067 0.48AlAs 2.16 0.150 0.79

Tabla 3.1: Valores del gap de energıa y masas efectivas del electron y hueco para lossemiconductores GaAs y AlAs.

3.1. Calculo del gap y masa efectiva en semiconductores ternarios 71

Al momento de introducir un tercer elemento, tal como el aluminio en el

AlxGa1!xAs, se crea una dependencia en la concentracion del elemento para

los valores de las magnitudes mostradas en la tabla 3.1.

Existen algunas formulas semi-empıricas con valores para los parametros

de ajuste, aunque estas dependen de los autores y de los valores que utili-

cen de referencia. Ademas, cabe hacer mencion de que la mayorıa de estas

formulas funcionan unicamente en cierto rango de concentracion, no para to-

dos los valores posibles. A continuacion mostraremos las formulas usadas en

el presente trabajo para calcular el gap de energıa y la masa efectiva, validas

ambas en el regimen de baja concentracion (0 < x < 0.45).

Para estimar la masa efectiva y el gap de energıa en el regimen antes

mencionado [42] usaremos las formulas

mn(p) = [m0n(p) + xm1

n(p)]m0 (3.1)

y

Eg = E0g + 01x. (3.2)

Para el AlGaAs, tenemos los valores de los parametros m0n = 0.067m0, m1

n =

0.083m0, m0p = 0.08m0, m1

p = 0.08m0 y 01 = 1.247 eV. En el presente trabajo

usaremos en su mayorıa sistemas formados por pozos de AlxGa1!xAs/GaAs.


3.2 Ecuacion de la masa efectiva para un pozo doble general

Pasaremos a hacer una caracterizacion de un pozo cuantico doble general,

formado por dos pozos cuanticos de anchos L1, L2, acoplados por una barrera

de potencial de ancho d, y con alturas de barrera V1, V2, V3, cuyo perfil de

potencial se muestra en la Fig. 3.1. La ecuacion de la masa efectiva para un

electron confinado en este sistema de pozos cuanticos se escribe

'

! h2

2

+1

m$(z)

d2

dz2

,

+ Vc(z)! (

(

+(z) = 0, (3.3)

en donde +(z) es la funcion envolvente para el electron confinado, ( es la

energıa debida al movimiento en la direccion z, Vc(z) es el potencial debido

al confinamiento espacial, y m$(z) es la masa efectiva dependiente de la

posicion. Podemos escribir el potencial como

Vc(z) =

!""""""""""""""#

""""""""""""""$

V1 z $ !L1 ! d/2 (Region I)

0 !L1 ! d/2 < z < !d/2 (Region II)

V2 !d/2 $ z $ d/2 (Region III)

0 d/2 < z < d/2 + L2 (Region IV )

V3 L2 + d/2 $ z (Region V )

(3.4)

3.2. Ecuacion de la masa efectiva para un pozo doble general 73

y la masa efectiva dependiente de la posicion como

m$(z) =

!""""""""""""""#

""""""""""""""$

m$2 (Region I)

m$1 (Region II)

m$3 (Region III)

m$1 (Region IV )

m$4 (Region V )

(3.5)

Nuestro objetivo es entonces encontrar las energıas ( y las correspondientes

funciones de onda electronicas +(z) para el electron confinado en la het-

eroestructura.

Tanto la masa efectiva como el potencial de confinamiento son constantes

por secciones, lo que nos permite expresar la funcion de onda tambien por

regiones, como sigue: dentro de los pozos, la funcion de onda satisface la

ecuacion 'd2

dz2+ k2

(

+j(z) = 0, j = II, IV, (3.6)

con vector de onda dado por

k2 =2m$

1(

h2 > 0, (3.7)

como es usual; en las regiones de las barreras, la funcion de onda satisface la

ecuacion 'd2

dz2! q2

(

+i(z) = 0, i = I, III, V, (3.8)


con

q2i =2m$

i+1

h$ (Vi ! () > 0, i = 1, 2, 3. (3.9)

Considerando unicamente estados ligados, tales que ( < Vmin, donde Vmin =

min(Vj) para j = 1, 2, 3, en las regiones de los pozos las soluciones seran

ondas estacionarias, i.e. tendran comportamiento oscilatorio:

+II(z) = A1 sin kz + A2 cos kz (3.10)

+IV (z) = A5 sin kz + A6 cos kz, (3.11)

mientras que para las regiones fuera de los pozos, i.e. en las barreras, la

funcion envolvente tendra la forma de ondas evanescentes, funciones de tipo

exponencial que son caracterısticas de las funciones de onda en regiones del

espacio que clasicamente son prohibidas para la partıcula:

+I(z) = A0eq1z (3.12)

+III(z) = A3eq2z + A4e

!q2z (3.13)

+V (z) = A7e!q3z, (3.14)

con las k y qi definidas anteriormente, se pueden determinar los coeficientes

Ak al aplicar las condiciones a la frontera para la funcion de onda y su

derivada en todas las interfases de la heteroestructura. Estas condiciones a


la frontera tienen la forma

+k(z)|z=zI= +k+1(z)|z=zI

, (3.15)

y1

m$k(z)

d+k(z)

dz

>>>>>z=zI

=1

m$k+1(z)

d+k+1(z)

dz

>>>>>z=zI

(3.16)

Se obtiene ası el siguiente sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes

Ak:

A0e!q1(L1+d/2) = A1 sin k(!L1 ! d/2) + A2 cos k(!L1 ! d/2) (3.17)

A0q1m$

2

e!q1(L1+d/2) = A1k

m$1

cos k(!L1!d/2)!A2k

m$1

sin k(!L!d/2) (3.18)

A1 sin k(!d/2) + A2 cos k(!d/2) = A3eq2(!d/2) + A4e

!q2(!d/2) (3.19)

A1k

m$1

cos k(!d/2)! A2k

m$2

sin k(!d/2) = A3q2m$

3

eq2(!d/2) !A4q2m$

3

e!q2(!d/2)

(3.20)

A3eq2d/2 + A4e

!q2d/2 = A5 sin kd/2 + A6 cos kd/2 (3.21)

A3q2m$

3

eq2d/2 !A4q2m$

3

e!q2d/2 = A5k

m$1

cos kd/2! A6k

m$1

sin kd/2 (3.22)

A5 sin k(d/2 + L2) + A6 cos k(d/2 + L2) = A7e!q3(d/2+L2) (3.23)

A5k

m$1

cos k(d/2 + L2)!A6k

m$1

sin k(d/2 + L2) = !A7q3m$

4

e!q3(d/2+L2) (3.24)


3.2.1 Condicion para los niveles de energıa permitidos

El sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones (3.17-3.24) puede

escribirse mas compactamente usando notacion matricial

M · a = 0, (3.25)

en donde

a = (A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7)T (3.26)

y

M =

?

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@A

!11 "1 !#1 0 0 0 0 0

µ11!11 !µ0#1 !µ0"1 0 0 0 0 0

0 !" # !!02 !!!102 0 0 0

0 µ0# µ0" !µ2!02 µ2!!102 0 0 0

0 0 0 !!102 !02 !" !# 0

0 0 0 µ2!!102 !µ2!02 !µ0# µ0" 0

0 0 0 0 0 "2 #2 !23

0 0 0 0 0 µ0#2 !µ0"2 !µ3!23

B

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCD

(3.27)


en donde se han definido las cantidades

- = sin kd/2, -i = sin k(d/2 + Li),

. = cos kd/2, .i = cos k(d/2 + Li), i = 1, 2

µ0 = k/m$i µj = qj/m$

j+1, j = 1, 2, 3

00,j = e!qjd/2, 0ij = e!qj(d/2+Li)

(3.28)

El sistema de ecuaciones representado por la Ec. (3.25) es un sistema de

ecuaciones lineales homogeneo, el cual tiene solucion diferente de la trivial

unicamente si se cumple que su determinante sea cero [43]; esto es, se requiere

que se cumpla

detM = 0. (3.29)

Esta es la condicion para los niveles de energıa permitidos, y se calculara

explıcitamente en cada uno de los casos particulares que se estudiaran.

3.2.2 Coeficientes de la funcion envolvente

Ahora calcularemos explıcitamente los coeficientes Ak de la funcion envol-

vente; para obtener estos coeficientes, definidos en las Ecs. (3.10-3.14),

podemos proceder de la siguiente manera: como es un sistema de ecuaciones

lineales y homogeneo, al cumplirse la condicion de que el determinante de

la matriz M se anule, se puede fijar arbitrariamente uno de los coeficientes,

digamos A0 = 1, y obtener los demas en terminos de este.

Haciendo A0 = 1, se obtienen inmediatamente A1, A2: dividiendo la Ec.


(3.17) por .1 y sumandole la Ec. (3.18) dividida por -1 se obtiene

A1 =

+µ1011µ0-1

! 011.1

,+-1

.1+.1-1

,!1

; (3.30)

de igual modo, dividiendo (3.17) por -1 y (3.18) por .1 y sumando, se obtiene

A2 =

+µ1011µ0.1

+011-1

,+-1

.1+.1-1

,!1

. (3.31)

Para obtener A3, A4 se utilizan las Ecs. (3.19-3.20). Dividiendo (3.20) por

µ1 y sumando y restando, se obtienen estos coeficientes en terminos de los

anteriormente obtenidos A1, A2

A3 =1

2002

'+µ0

µ2. ! -

,

A1 +

+µ0

µ2- + .

,

A2

(

, (3.32)

y

A4 =1

2002

'+µ0

µ2. + -

,

A1 +

+µ0

µ2-! .

,

A2

(

, (3.33)

respectivamente. Dividiendo (3.22) dividido por µ0 y sumando (3.21) divi-

dido por . y (3.22) dividido por -, se obtiene

A5 =

-+0!102

.+

µ2

µ0

0!102

-

,

A3 +

+002.

+µ2

µ0

002-

,

A4

.+-

.+.

-

,!1

, (3.34)

y restando y dividiendo (3.21) dividida por - y (3.22) dividida por ., se tiene

A6 =

-+0!102

-+

µ2

µ0

0!102

.

,

A3 +

+002-

+µ2

µ0

002.

,

A4

.+-

.+.

-

,!1

. (3.35)


Finalmente, de la Ec. (3.24), tenemos que

A7 =1

023[-2A5 + .2A6] . (3.36)

3.2.3 Normalizacion de las funciones envolventes electronicas

Las funciones de onda obtenidas necesitan ser normalizadas en la forma usual

N2

) #

!#|+(z)|2dz = 1. (3.37)

Escribiendo por secciones la funcion de onda del electron confinado, como se

definio al principio de la presente seccion, tenemos que la integral se separa

en

I =) !d/2!L1

!#A2

0e!2q1zdz +

) !d/2

!d/2!L1

(A1 sin kz + A2 cos kz)2 dz

+) d/2

!d/2

6A3e

q2z + A4e!q2z

72dz +

) d/2+L2

d/2(A5 sin kz + A6 cos kz)

2 dz

+) #

d/2+L2

A27e

!2q3zdz = I1 + I2 + I3 + I4 + I5. (3.38)

Las integrales Ii se obtienen facilmente usando las tablas existentes en la

literatura, p. ej., [44]. Tenemos entonces que la constante de normalizacion

de la funcion envolvente esta dada por

N =1

EFj Ij

. (3.39)


3.3 Doble pozo con anchos diferentes y barreras de la misma altura

El primero de los dos casos especiıficos de pozos cuanticos asimetricos que

se estudiaran en el presente trabajo, sera un sistema formado por dos po-

zos de anchos L1, L2, separados por una barrera de ancho d, teniendo una

profundidad igual ambos pozos, digamos V0, como se muestra en la Fig. 3.2.

Fig. 3.2: Perfil de potencial para un pozo cuantico doble asimetrico con anchos de pozosdiferentes, pero altura de la barrera comun. Se muestra unicamente la bandade conduccion.

Este tipo de sistemas es el mas usado en aplicaciones, tales como laaseres

en el mediano o lejano infrarojo, y se puede lograr una heteroestructura

de esta forma usando capas alternadas de un material con gap de energıa

relativamente bajo (tal como el arsenuro de galio) y un material con un gap

3.3. Doble pozo con anchos diferentes y barreras de la misma altura 81

mayor (como el arsenuro de aluminio, o el arsenuro de aluminio-galio).

El material mayormente usado para las barreras de los pozos en este

tipo de aplicaciones es usualmente el arsenuro de aluminio-galio con una

concentracion del orden de x . 0.35, y los valores de los parametros de

dicho material (masa efectiva del electron, gap de energıa, etc.) seran los

que usemos a lo largo de esta seccion. Dichos valores son m$ - 0.096me,

"Eg - 300 meV.

3.3.1 Relacion de dispersion

De la solucion para el sistema general formado por dos pozos cuanticos

asimetricos acoplados, estudiados en la seccion 3.2, usando valores para los

parametros del sistema tales que V1 = V2 = V3 = V0 y m$2 = m$

3 = m$4,

obtenemos la solucion para este sistema en particular.

Resolviendo explıcitamente el determinante de la matriz M (Ec. (3.27)),

obtenemos la relacion de dispersion para este caso:

e!2qd(µ2 + 1)2 sin kL1 sin kL2 =G2µ cos kL2 ! (µ2 ! 1) sin kL2

H

/G2µ cos kL1 ! (µ2 ! 1) sin kL1

H(3.40)

en donde

µ =k

q

m$2

m$1

, k2 =2m$

1

h2 (, q2 =2m$

2

h2 (V0 ! (). (3.41)

De esta relacion de dispersion podemos apreciar que cuando la separacion d es

muy grande, los pozos se desacoplan, debido a que el termino de la izquierda


de la Ec. (3.40) se anula, y el lado derecho es el producto de relaciones de

dispersion para pozos cuanticos simples; ademas, cuando d " 0, se obtiene

2µ cos kL! (µ2 ! 1) sin kL = 0 (3.42)

con L = L1 + L2, la relacion de dispersion para un pozo cuantico simple de

ancho L.

3.3.2 Niveles de energıa y funciones de onda electronicas

Para calcular los niveles de energıa y las funciones de onda electronicas se

resolvio la ecuacion de la masa efectiva con los parametros apropiados, se

obtuvieron explıcitamente los coeficientes de las funciones por regiones y la

constante de normalizacion (ver seccion 3.2); se resolvio numericamente la

ecuacion trascendente que resulta de la relacion de dispersion; para esto

usuamos una rutina en el lenguaje FORTRAN del metodo de biseccion.

Los resultados obtenidos de los niveles de energıa y las funciones de onda

electronicas para diversos valores de los parametros L1, L2 y d se muestran

en las Figs. 3.3 y 3.4.

Podemos apreciar que con la asimetrıa del sistema las funciones de onda

se parecen mucho a las correspondientes de los pozos desacoplados, esto es,

los electrones se encuentran localizados mayormente en uno de los pozos.

Cuando la razon entre L1 y L2 va acercandose a 1, se recupera el caso del

pozo doble simetrico, estudiado ampliamente en la literatura [45]. Se puede

3.4. Doble pozo con anchos iguales y una barrera diferente 83

apreciar en dichas figuras que para los casos asimetricos, para separaciones d

mayores que alrededor de 4 nm, los pozos practicamente estan desacoplados,

esto es, los electrones se encuentran confinados en un pozo o en el otro.

3.4 Doble pozo con anchos iguales y una barrera diferente

El segundo caso que estudiaremos es un sistema tal que el ancho de los

dos pozos de mantiene igual, digamos L, pero una de las barreras tiene

mayor altura, digamos V0 (ver Fig. 3.5). Este tipo de sistemas no ha sido

reportado en la literatura existente, y su estudio cuidadoso podrıa revelarnos

alguna ventaja (o desventaja) respecto al primer caso estudiado. Como se

habıa mencionado anteriormente, podemos construir un sistema similar a este

usando tres materiales diferentes, dos para las barreras y los pozos (digamos

GaAs). Los materiales para las barreras podrian ser AlAs para la barrera

mas alta, y digamos AlxGa1!xAs para las barreras mas bajas (recordemos

que el gap de energıa del AlAs es mayor que el del AlxGa1!xAs).

3.4.1 Relacion de dispersion

De la solucion para el sistema general formado por dos pozos cuanticos

acoplados, estudiado en la seccion 3.2, usando valores para los parametros del

sistema tales que L1 = L2 = L, V1 = V2 y V3 = V0, y m$2 = m$

3 y m$4 0= m$

2,

se obtiene la solucion para este sistema particular.

Resolviendo explıcitamente el determinante de la matriz M de la Ec.


Fig. 3.3: Perfil de potencial y modulo al cuadrado de las funciones de onda electronicaspara un pozo doble, con L1 = 6 nm, d = 2 nm y (a) L2 = 2.5 nm, (b) L2 = 4.0nm, (c) L2 = 5.5 nm, (d) L2 = 6.0 nm.


Fig. 3.4: Perfil de potencial y modulo al cuadrado de las funciones de onda electronicaspara un pozo doble, con L1 = 6 nm, d = 4 nm y (a) L2 = 2.5 nm, (b) L2 = 4.0nm, (c) L2 = 5.5 nm, (d) L2 = 6.0 nm.


Fig. 3.5: Perfil del potencial para un pozo cuantico doble asimetrico con anchos de pozosiguales, pero diferentes alturas de barrera. Se muestra unicamente la banda deconduccion.

(3.27), se obtiene la relacion de dispersion para este caso:

e!2q1d (µ2 ! µ1) cos kL+ (1 + µ1µ2) sin kL

(µ2 + µ1) cos kL+ (1! µ1µ2) sin kL=

2µ1 cos kL+ (1! µ21) sin kL

(1 + µ21) sin kL

(3.43)

en donde

µl =k

ql

m$l+1

m$l

, l = 1, 2. (3.44)

De la Ec. (3.43), podemos ver facilmente que cuando µ1 = µ2 = µ, se

recupera el caso del pozo doble simetrico, ampliamente estudiado, y que

cuando d tiende a infinito, los pozos se desacoplan, al igual que en el caso

estudiado anteriormente.


3.4.2 Niveles de energıa y funciones de onda electronicas

Para calcular los niveles de energıa y las funciones de onda electronicas, al

igual que en el caso estudiado en la seccion anterior, se resolvio la ecuacion de

la masa efectiva con los parametros apropiados, se obtuvieron explıcitamente

los coeficientes de las funciones por regiones y la constante de normalizacion;

se resolvio numericamente la relacion de dispersion correspondiente a este

caso, dada por la Ec. (3.43), para encontrar los niveles de energıa usando

una rutina en FORTRAN del metodo de biseccion. Los resultados obtenidos

de los niveles de energıa y las funciones de onda electronicas para x = 0.35,

L = 6 nm y diversos valores de d, se muestran en las Figs 3.6-3.8.

Como podemos apreciar en las graficas mostradas, la diferencia entre los

niveles de energıa no es tan marcada como en el caso anterior; esto se debe

a que los niveles de energıa de los pozos aislados son muy parecidos cuando

los anchos son iguales y las alturas de las barreras son del mismo orden de

magnitud; esto contrasta con el hecho de que en el caso estudiado en la

seccion anterior los niveles de energıa dependen del ancho de los pozos, que

son diferentes, y por lo tanto, habra una diferencia mas marcada al momento

de acoplar los pozos.

Se puede apreciar, al igual que en el caso anterior, que cuando el ancho

de la barrera es muy grande los pozos practicamente estan desacoplados; es

notable tambien el hecho de la interaccion entre niveles de energıa cercanos,

pues al igual que el caso anterior, se observa dicha separacion entre niveles,

con respecto a los niveles de los pozos desacoplados.


-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

100

200

300

400

500

E3 = 242.532684 meV

E2 = 79.4428101 meV

E1 = 60.0168419 meV

E (m

eV)

z

Fig. 3.6: Perfil de potencial y densidades de probabilidad electronicas para un pozo doble,con L = 6 nm, d = 2 nm, V1 = 300 meV y V0 = 900 meV (AlAs).

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

100

200

300

400

500

E4 = 292.041107 meV

E3 = 245.779892 meV

E2 = 73.5164948 meV

E1 = 65.3554001 meV

E (m

eV)

z


3.5. Doble pozo parabolico asimetrico 91

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

100

200

300

400

500

E4 = 284.982391 meV

E3 = 246.752914 meV

E2 = 73.5418167 meV

E1 = 65.7894287 meV

E (m

eV)

z


3.5 Doble pozo parabolico asimetrico

Usando las ideas expuestas hasta el momento, en teorıa se pueden disenar

nanoestructuras (y por lo tanto potencial de confinamiento) de forma ar-

bitraria, y ası, podemos por ejemplo maximizar la eficiencia cuantica o la

potencia de un dispositivo construido en base a esta nanoestructura.

En esta seccion se estudiara un sistema un tanto diferente de los vistos

anteriormente. Ya no es un potencial constante por secciones, sino que varıa

continuamente. Consideremos a un electron confinado en un doble pozo

parabolico de la forma [38, 39]

V (z) =1

2m$12(|z|! z0)

2, (3.45)


al cual se le anade un confinamiento espacial adicional, con barreras infinitas

de potencial en z = !a, b, similar al sistema estudiado en [46]. Un esquema

del perfil del potencial de confinamiento se muestra en la Fig. 3.9.

Fig. 3.9: Perfil de potencial para un doble pozo parabolico asimetrico. Se muestraunicamente la banda de conduccion.

Una nanoestructura de este tipo podrıa construirse usando digamos un

material como AlAs para las barreras “infinitas” (ya que tiene un gap de

energıa considerablemente mayor), y capas muy delgadas de AlxGa1!xAs,

variando continuamente la concentracion x para obtener la forma deseada

del potencial. Consideramos que en z = 0 la concentracion es x = 0.35, de

modo que la barrera es de alrededor de 300 meV y en la parte mas profunda

de los pozos la concentracion es x = 0, i.e. GaAs. Recordemos que la masa

efectiva varıa tambien con la concentracion, pero como primera aproximacion


al realizar los calculos, consideramos una masa efectiva promedio de 0.079

m0.

Considerando estos valores, la altura en la discontinuidad en z = 0 sera

siempre V (0) = 300 meV, la cual se obtiene ajustando la frecuencia de os-

cilador como

10 =

*600

m$z20

rad

seg. (3.46)

3.5.1 Funciones de onda y niveles de energıa

Para calcular los niveles de energıa y las funciones de onda, usamos una base

de 300 funciones ortonormalizadas de pozo cuadrado de potencial de barrera

infinita

$n(z) =

*2

a+ bsin

-n,(b! z)

a+ b

.

, (3.47)

las cuales se anulan en z = !a y en z = b; obtenemos los elementos de matriz

del Hamiltoniano

H = ! h2

2m$d2

dz2+ V (z). (3.48)

Estos elementos resultan ser1

Hmn =4(a+ b)

(m2 ! n2),2[mn{(a! x0) + (!1)m+n(b! x0)

+ 2x0 cos(pa) cos(qa)}+ x0(m2 + n2) sin(pa) sin(qa)] (3.49)

1Se realizo un programa en Mathematica para calcular los elementos matriciales.


para m 0= n, y

Hnn =n2,2

2(a+ b)2! 1

12(a+ b)n2,2{3(a+ b)2 ! 2(a3 + b3)n2,2

! 6x0[(a+ b)2 + (a2 + b2)n2,2]! 6x20(a + b)n2,2}

! x0(a+ b)

2n2,2cos(2pa) (3.50)

para los elementos en la diagonal; se definio

p =m,

a + b; q =

n,

a+ b. (3.51)

Se procede entonces a obtener los eigenvalores de la matriz usando una rutina

en el lenguaje FORTRAN, cortando el orden a 300/300; con esto obtenemos

los primeros eigenvalores (solamente nos interesan los primeros tres).

E (meV) Ref. [28] DHOPE1 40 57.4211E2 79 96.4279E3 159 176.4191E31 119 118.9980E32 80 79.9912E21 39 39.0068

Tabla 3.2: Valores de la energıa para el pozo doble parabolico asimetrico y para el pozodoble asimetrico de la Ref. [28].

Para comparar con el sistema de pozos visto en la seccion 3.2, se usan los

parametros a = 14 nm, b = 9.75 nm y z0 = 7.37 nm, con los cuales se obtiene

una buena aproximacion para las separaciones de los niveles de energıa del

pozo de [28]; estos valores se muestran en la Tabla 3.2.


La Fig. 3.10 nos muestra las densidades de probabilidad para un electron

confinado en el potencial de doble pozo parabolico, se muestran tambien

los niveles de energıa y las paredes del confinamiento. Podemos ver gran

similitud en la forma de las densidades de probabilidad de este caso y las del

doble pozo cuadrado asimetrico.

Fig. 3.10: Niveles de energıa y densidades de probabilidad para el pozo doble parabolicoasimetrico, con paredes en a = !14 nm, b = 9.75 nm y z0 = 7.37 nm.

En el siguiente capıtulo, se usaran las funciones de onda obtenidas durante

este capıtulo para calcular los elementos matriciales del momento dipolar

electrico, y ası, poder encontrar la ganancia de un laser disenado usando este

tipo de sistemas, se compararan entre sı, y se analizaran los resultados.

Cap´ıtulo 3. Caracterizaci´on de pozos cu´anticos m...

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