Capítulo 3: ConjuntosCapítulo 3: ConjuntosCapítulo 3: ConjuntosCapítulo 3: Conjuntos

Autor: José Alfredo Jiménez Murillo

Identificar la similitud entre teoría de conjuntos, lógica matemática y álgebra booleana con la finalidad de aprovechar los conocimientos de conjuntos en esas áreas afines.

Objetivos

Proporcionar las bases de la teoría de conjuntos para una mejor comprensión del material de las unidades lógica matemática, algebra booleana, relaciones, teoría de grafos e introducción a los lenguajes formales.

Aprender a representar conjuntos finitos, conjuntos infinitos, subconjuntos y operaciones entre conjuntos por medio de expresiones matemáticas o bien por medio de diagramas de Venn.

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Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto.

a) La colección de automóviles de 6 cilindros marca Ford.

b) El conjunto de equipos de la liga española.

c) El grupo de los mejores maestros de la especialidad de sistemas computacionales.

d) El grupo de alumnas más guapas de informática.

Los incisos c y d no son colecciones bien definidas.

Conjunto

Un conjunto se indica por medio de una letra mayúscula y los elementos de un conjunto por medio de letras minúsculas, números o combinación de ambos.

Los elementos se colocan entre llaves, { }, separados por comas.

Características de los conjuntos

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Ejemplo

B es el conjunto de letras de la palabra “manzana”.

B = {m, a, n, z, a, n, a} = {m, a, n, z} = {n, a, z, m}

Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento se encuentra dentro del conjunto, y para expresar la pertenencia se tiene la siguiente notación:

x ϵ C Significa que x es elemento del conjunto C.

x C Significa que x no es elemento del conjunto C.

Ejemplo

Sea B = {1, 3, 4, 7, 8}. Entonces: 7 B, 2 B

Características de los conjuntos

Algunas veces es imposible o inconveniente listar los elementos de un conjunto entre llaves, entonces en lugar de esto se utiliza lo que se conoce como notación abstracta:

A = {x / P(x)}

que se lee como “A es el conjunto de las x, tal que cumple con la condición (o condiciones) P(x)”.

A = {x|x es una palabra del idioma español que comienza con la letra “o”}

B={x|x es un número real entre -2 y -1}

Ejemplos

Características de los conjuntos

N = Conjunto de los números naturales = {1, 2, 3,...}Z+ = Conjunto de los enteros no negativos = {0, 1, 2, 3,...}Z = Conjunto de los números enteros = {...-2, -1, 0, 1, 2, 3,...}Q = Conjunto de los números racionales = { a/b | a, b Z; b≠0}R = Conjunto de los números realesC = Conjunto de los números complejos = {x + yi | x, y R; i2 = -1 }U = Conjunto universo = Conjunto vacío

Conjuntos importantes en matemáticas

Con la lista de conjuntos anteriores es posible representar de forma más apropiada algunos conjuntos.

B = {x | x es un número real entre -2 y -1}

Ejemplo

se puede representar también como

B = {x|x R; -2 < x < -1}

Se acostumbra separar con punto y coma (;) cada una de las proposiciones que se deben de cumplir.

Representación de conjuntos

A B

Si A no es subconjunto de B se escribe:

A B

Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B y esto se denota como:

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, si se cumple que

A B y B A

Subconjunto de un conjunto

Subconjuntos básicos

de un conjunto

1) Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo:

A A

2) El conjunto vacío () es subconjunto de todos los conjuntos y en particular de él mismo:

A

U

3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo (U):

A U

U

U U

Si A es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se denota como P(A).

Conjunto potencia

Sea el conjunto A = {a, b, c}Entonces el conjunto potencia de A es:

P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Ejemplo:

Elementos de P(A) = 2n

Subconjuntos básicos

de un conjunto

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos.

U

BA

C

D

E

F

Algunas afirmaciones:

C (A∩B)

(A∩B) ≠

(D∩E) (A-B)

F (A B)

C (B-A)

Unión (A B)La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A y del conjunto B:

(A B) = {x | x A ó x B ó en ambos}

A B

A B

Unión de un conjunto

Intersección (A ∩ B)La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:

(A ∩ B) = {x / x A; x B}

A B

A ∩ B

Intersección de un conjunto

Ley distributivaDados tres conjuntos arbitrarios A, B y C, se puede ver que se cumple la siguiente ley distributiva en la que intervienen la unión y la intersección de conjuntos: A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)

U

B C

B C

A

U

A∩(B C)

B C

A

U

A∩B

B

A

U

(A∩B) ( A∩C )

B C

A

U

A∩C

C

Ley distributiva de conjuntos

Otra presentación de la ley distributiva es:

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A:

A’ = {x / x U; x A}

Complemento de A ( A’ )

A

U

A’

A

Ley de distribución de conjuntos

Sean:

U = {x / x Z} A = {4, 23, 50, 80} entonces:

A’ = {x / x Z; x {4, 23, 50, 80}}

Propiedades del complemento:

a) (A’)’ = Ab) A A’ = Uc) A ∩ A’ = d) U’ = e) ’ = U

Propiedades del complemento de un conjunto

Ley de Morgan

• La negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a la unión de los conjuntos negados separadamente.

(A ∩ B ∩ C)’ = (A’ B’ C’)

• La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección de los conjuntos negados por separado.

(A B C)’ = (A’ ∩ B’ ∩ C’)

Ley de Morgan

Diferencia (A - B)La diferencia entre dos conjuntos arbitrarios A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B:A – B = {x x A; x B}

A B

A - B

Diferencia de conjuntos

Diferencia simétrica (A B)La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero que no están en el conjunto B y también a los elementos del conjunto B que no están en A. Dicho de otra manera, el conjunto (A B) contiene a todos los elementos que se encuentran en (A B) pero que no están en (A ∩ B):

(A B) = {x / (x A y x B) o (x B y x A)}

A B

A B

Diferencia simétrica de conjuntos

Respuesta:

B’={ x / x Z+; x {5,6,7,8,9,10,11}}

Z+

B’

8

7

10

65

911

B’ ∩ C={1}

Z+

B’ C

1

Ejemplo:Sean los conjuntos:

U = {x / x Z+}A = {2, 3, 6, 8, 10}B = { x / x Z+; 4 < x < 12}C = {1, 5, 6, 7, 9, 10}D = {x / x Z+; x<15; x es primo}

Encontrar:(B’∩ C) [(D’-A) C’]

Ejemplo

Z+

D’

5

2

11

31

713

D’={ x / x Z+; x {1,2,3,5,7,11,13}}

Z+D’ 1

A

1113

7

2

3

6810

5

(D’-A)={ x / x Z+; x {1,2,3,5,6,7,8,10,11,13}}

Z+

D’- A C’

2

83

1113

9

10

761 5

(D’-A) C’={2,3,8,9,11,13}

Z+

B’∩C2

83

1113

1 9

(D’-A) C’

(B’∩C) (D’-A) C’={1,2,3,8,9,11,13}

Es posible establecer varias leyes de conjuntos que son útiles para simplificar u obtener expresiones equivalentes en donde intervienen operaciones propias de conjuntos. En la siguiente relación se presentan las leyes de conjuntos más importantes.

1.- Doble negación a) A’’ = A2.- Ley conmutativa a) A B = B A b) A ∩ B = B ∩ A3.- Ley asociativa a) A (B C)=(A B) C b) A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C

4.- Ley distributiva a)A ∩ (B C)=(A ∩ B) (A ∩ C) b)A (B ∩C)=(A B) ∩ (A C)5.- Ley de idempotencia a) A A = A b) A ∩ A = A c) U U = U d) U ∩ U = U e) = f) ∩ =

Leyes de conjuntos

6.- Ley de Morgan a) (A B C)’=A’ ∩ B’∩ C’ b) (A ∩ B ∩ C)’=A’ B’ C’7.- Equivalencia a) A A’ ∩ B=A B8.- Contradicción a) A ∩ A’ = 9.- Propiedades del complemento a) A A’ = U b) U’ = c) ’ = U

10.- Ley de identidad a) A U = U b) A ∩ U = A c) A = A d) A ∩ = e) A A ∩ B=A ∩ (U B)=A

Leyes de conjuntos

Con estas leyes de conjuntos es posible simplificar expresiones matemáticas que contienen conjuntos o bien demostrar la validez de algunas equivalencias.

Usando las leyes de conjuntos, demostrar queA’∩B’∩D’ A’∩B∩D’ A∩B∩D’ A∩B’∩D’ B’∩C∩D = D’ B’∩C

(A’∩D’) ∩(B’ B) (A∩D’) ∩ (B B’) B’∩C∩D = D’ B’ ∩C Ley distributiva 4a(A’ ∩ D’) ∩U (A∩D’) ∩ U B’ ∩C∩D = D’ B’ ∩C Propiedades del complemento 9a. A’ ∩ D’ A ∩ D’ B’ ∩ C ∩ D = D’ B’ ∩ C Ley de identidad 10a. D’ ∩(A’ A) B’ ∩ C ∩ D = D’ B’ ∩ C Ley distributiva 4a. D’ ∩U B’∩C∩D = D’ B’ ∩C Propiedades del complemento 9a. D’ B’ ∩ C ∩ D = D’ B’ ∩ C Ley de identidad 10a. D’ D ∩ B’ ∩ C = D’ B’ ∩ C Ley conmutativa 2b. D’ B’ ∩ C = D’ B’ ∩ C Equivalencia 7a.

Simplificación de expresiones usando leyes de conjuntos

Ejemplo

pq; pApApp’’p(ABB’

C’(A

BB’(pqr)’p’q’qr)’p’q’AB=BAAB=BpqqppqqA(BB) CA(BAB) p(qr)(pq)rp(qr)(pq)A(BB)(A(BB)(Ap(qr)(pq)(p(qr)(pq)(p

A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)

p (q r) p q p rp (q r) (p q) (p r)

A ∩ (B C)=A ∩ B A ∩ CA (B ∩ C)=(A B) ∩ (A C)

Ley distributiva

A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C

p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r

A (B C) = (A B) CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Ley asociativa

A+B=B+AA B=B A

p q q p p q q p

A B = B AA ∩ B = B ∩ A

Ley conmutativa.

(A+B+C)’= A’B’C’(ABC)’=A’+B’+C’

(p q r )’ p’ q’ r’(p q r )’ p’ q’ r’

(A B C)’ = A’ ∩ B’ ∩ C’’(A ∩ B ∩ C)’ = A’ B’ C’

Leyes de Morgan

A B’p q’A - BDiferencia

A’’=Ap’’ pA’’=ADoble negación

A’p’A’Complementación

A Bp qA ∩ BIntersección

A + Bp qA BUnión

A = Bp q; p q A = BEquivalencia

Álgebrabooleana

Lógicamatemática

Teoría deconjuntos

Propiedad

Equivalencias entre teoría de conjuntos,lógica matemática y álgebra booleana

A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)

p (q r) p q p rp (q r) (p q) (p r)

A ∩ (B C)=A ∩ B A ∩ CA (B ∩ C)=(A B) ∩ (A C)

Ley distributiva

A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C

p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r

A (B C) = (A B) CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Ley asociativa

A+B=B+AA B=B A

p q q p p q q p

A B = B AA ∩ B = B ∩ A

Ley conmutativa.

(A+B+C)’= A’B’C’(ABC)’=A’+B’+C’

(p q r )’ p’ q’ r’(p q r )’ p’ q’ r’

(A B C)’ = A’ ∩ B’ ∩ C’’(A ∩ B ∩ C)’ = A’ B’ C’

Leyes de Morgan

A B’p q’A - BDiferencia

A’’=Ap’’ pA’’=ADoble negación

A’p’A’Complementación

A Bp qA ∩ BIntersección

A + Bp qA BUnión

A = Bp q; p q A = BEquivalencia

Álgebrabooleana

Lógicamatemática

Teoría deconjuntos

Propiedad

Equivalencias entre teoría de conjuntos,lógica matemática y álgebra booleana

Expresiones equivalentes

Expresiones equivalentes

Continuación de expresiones equivalentes en teoría de conjuntos, lógica matemática y álgebra booleana.

A+1=1A(1)=AA+0=AA(0)=0A+AB=A(1+B)=A

p q 1p 1 pp 0 pp 0 0p p q p (1 q) p

A U = UA ∩ U = AA = AA ∩ = AA A ∩ B=A∩ (U B)=A

Ley de identidad

A+A’=11’=00’=1

p p’ 01’ 00’ 1

A A’ = UU’ = ’ = U

Propiedades delcomplemento

AA’=00A ∩ A’= Contradicción

A+A’B=A+BqA A’ ∩ B = A BEquivalencia

A+A=AAA=A1+1=11(1)=10+0=00(0)=0

p p pp p p1 1 11 1 10 0 00 0 0

A A = AA ∩ A = AU U = UU U = U = ∩ =

Ley de idempotencia

A+1=1A(1)=AA+0=AA(0)=0A+AB=A(1+B)=A

p q 1p 1 pp 0 pp 0 0p p q p (1 q) p

A U = UA ∩ U = AA = AA ∩ = AA A ∩ B=A∩ (U B)=A

Ley de identidad

A+A’=11’=00’=1

p p’ 01’ 00’ 1

A A’ = UU’ = ’ = U

Propiedades delcomplemento

AA’=00A ∩ A’= Contradicción

A+A’B=A+BqA A’ ∩ B = A BEquivalencia

A+A=AAA=A1+1=11(1)=10+0=00(0)=0

p p pp p p1 1 11 1 10 0 00 0 0

A A = AA ∩ A = AU U = UU U = U = ∩ =

Ley de idempotencia

Conjuntos finitos

Sean A y B dos conjuntos finitos, entonces:

A B

A ∩ B

|A B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

donde: |A| es la cardinalidad de A |B| es la cardinalidad de B y |A ∩ B| la cardinalidad de la intersección de A con B

La fórmula se puede encontrar por suma de áreas del diagrama de Venn.

Ejemplo

En un estudio realizado entre 49 estudiantes de Ingeniería en Sistemas Computacionales se encontró que 31 alumnos utilizan las compuertas NAND para el desarrollo de sus circuitos, 25 usan las compuertas NOR y 10 utilizan ambas compuertas.

¿Cuántos alumnos no dijeron qué compuertas usan para desarrollar sus circuitos?.

Alumnos que no indicaron qué compuertas usan = 49 - 46 = 3

21 10

A B

15

3

49

|A B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 31+25-10 = 46

En el caso de tres conjuntos finitos A, B, y C, la expresión:

|A B C| = |A|+|B|+|C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A∩ B ∩ C|

también se puede determinar sumando y restando las diferentes áreas del siguiente diagrama:

A B

A∩B∩C

C

Ejemplo

a) No tienen correo = 100-70 = 30 b) 11 exclusivamente en hotmail

32 tienen email en yahoo.15 en otro compañía.13 en hotmal y yahoo. 8 en hotmal y otra. 5 en yahoo y otra 2 en yahoo, hotmail y otra.

U

C

36

11

2

BA

28 16

430

a) ¿Cuántos de los encuestados no tienen correo alguno?

b) ¿Tienen correo exclusivamente en hotmail y yahoo?.

Se aplicó una encuesta a 100 jóvenes para determinar la preferencia de compañías de correos electrónicos. Dicha encuesta arrojó los siguientes resultados:

47 de los encuestados tienen cuenta de correo electrónico en hotmail.

|A B C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| |A B C| = 47 + 32 + 15 - 13 - 5 - 8 + 2 =70 Personas que tienen alguna cuenta

Ejemplo

Cuando son más de tres conjuntos se usa el principio de “inclusión exclusión” que establece que se deben sumar las áreas que involucran un número non de conjuntos y se restan las que relacionan un número par. El número de elementos que se suman o restan en la fórmula está dado por (2n-1), donde n es el número de conjuntos que participan.

Ejemplo: para cuatro conjuntos:

|A B C D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C|- |A∩D|-|B∩C| - |B∩D|- |C∩D|+ |A∩B∩C|+ |A∩B∩D|+ |A∩C∩D|+ |B∩C∩D|- | A∩B∩C∩D|.

Observar cómo las cantidades que se suman o restan es (24-1)=15 y que las partes que relacionan números nones de conjuntos se suman y las que involucran números pares se restan.

Generalización de conjuntos finitos

Algunas áreas en donde se aplica la teoría de conjuntos:

• Lógica matemática.

• Álgebra booleana.

• Bases de datos.

• Lenguajes.

• Redes.

• Teoría de grafos.

• Estructuras de datos.

Áreas en donde se aplican los conjuntos