Capítulo 4 Control_estadistico_de_la_calidad

8/3/2019 Capítulo 4 Control_estadistico_de_la_calidad

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Control estadıstico de la calidad:

Diagramas de control

50403020100

Sample Number

S a m p l e M e a n

X-bar Chart

Mean

UCL

LCL

Fernando Jimenez Torres

Pedro Jodra Esteban

Departamento de Metodos Estadısticos

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1. Control Estadıstico de la Calidad

Control estadıstico de procesos

Proceso industrial: Esta siempre sujeto a un cierto grado de variabilidad.

Fuentes de variabilidad

• Causas aleatorias: variabilidad natural del proceso o ruido de fondo.

• Causas atribuibles: variabilidad debida a deficiencias detectables y corregibles.

Un proceso industrial que funciona en presencia de causas atribuibles se conside-

ra fuera de control y solo cuando lo hace bajo causas aleatorias de variabilidad

se asume bajo control estadıstico.

Objetivos del control estadıstico de procesos (SPC)

• Detectar on–line causas atribuibles que originan cambios en un proceso indus-

trial para tomar acciones correctoras antes de fabricar productos no conformes.

•Reducir la variabilidad del proceso.

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1. Control Estadıstico de la Calidad

Causas de la variabilidad

Las causas de variabilidad en la produccion se agrupan en torno a las llamadas 5 M:

• Mano de obra

• Maquina

• Materia prima

• Metodo de fabricacion

• Medio ambiente

Los graficos de control son, desde un punto de vista estadıstico, una secuencia

cronologica de contrastes de hipotesis frente a los valores promedios observados

cuando el proceso esta bajo control.

Si se detecta que el proceso no esta bajo control es necesario localizar entre las 5 M’s

la fuente o fuentes de variabilidad que originan el fuera de control.

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1.1 Introduccion: Graficos de controlde Shewhart

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1.1 Introduccion

Graficos de control de Shewhart. Construccion

Los diagramas de control constan de una lınea central, un lımite de control superior

y un lımite de control inferior. Se toman como lımites aquellos entre los cuales esta

aproximadamente el 99% de la produccion cuando el proceso esta bajo control.

Si Y es un estadıstico que mide alguna caracterıstica de calidad de interes, siendo su

media µY y su desviacion tıpica σY , los lımites de control superior (UCL) e inferior(LCL) y la lınea central (CL) se seleccionan de la forma:

U CL = µY + kσY ,

CL = µY ,

LCL = µY − kσY ,

siendo habitual utilizar los lımites conocidos como de 3 sigmas, es decir, k = 3.

Destacar que la desviacion σY es la desviacion tıpica del estadıstico utilizado en la

construccion del diagrama de Shewhart y no la desviacion de la caracterıstica de

calidad examinada.

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1.1 Introduccion


Se recogen cronologicamente datos que se van representando en el grafico.

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Sample Number

S a m p l e M e

a n

X-bar Chart

Mean

UCL

LCL

Observar datos fuera de los lımites de control, o bien patrones aparentes en la se-

cuencia representada, ya no se atribuye a la variabilidad natural del proceso sino a

causas asignables que deben ser identificadas y eliminadas.

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1.1 Introduccion


Los graficos de control de Shewhart se construyen siempre que sea posible a partir

de valores medios de las observaciones, agrupando en muestras, y no a partir de

observaciones individuales.

Razones estadısticas

1. Los valores medios muestrales tienen aproximadamente una distribucion normal

con base en el teorema central del lımite

2. Los valores medios muestrales son mas sensibles a las variaciones de la media

del proceso que los valores individuales consecuencia de la disminucion de la

varianza al trabajar con datos promediados:

X ∼ N (µ, σ) , X ∼ N

µ,

σ√n

.

Consecuencia. Se detecta con mayor rapidez que la media de un proceso est a cam-

biando trabajando con muestras pequenas que con datos individuales.

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1.1 Introduccion

Graficos de control de Shewhart. Clasificacion

Clasificacion general de los diagramas de control

• Grafico de control de variables: la caracterıstica de produccion en estudio se

modela a traves de una variable de tipo continuo.

•Grafico de control de atributos: la caracterıstica de produccion en estudio se

modela a traves de una variable de tipo discreto.

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Sample Number

S a m p l e M e a n

X-bar Chart

Mean

UCL

LCL

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1.2 Graficos de control de variables

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1.2 Graficos de control de variables

Control de la media y de la desviacion tıpica

Metodologıa

Verificar que un proceso esta bajo control exige controlar una medida de locali-

zacion, generalmente la media, y simultaneamente una de dispersion, habitualmente

la desviacion tıpica.

Dado que el grafico de la media depende de la dispersion, es conveniente realizar enprimer lugar el control de la dispersion para verificar que la variabilidad permanece

estable y en segundo lugar comprobar que el proceso esta bajo control en media.

Graficos de control de variables de uso mas frecuente:

• Control de la media: grafico de control X .

• Control de la dispersion: grafico de control S .

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1.3 Diagrama de control para lamedia

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1.3 Diagrama de control para la media

Grafico de control X

Caracterıstica de calidad que se controla en la produccion:X (variable aleatoria normal)

Supongase que en un proceso bajo control los parametros media y varianza de X son

µ y σ2, es decir, X ∼ N (µ, σ2), siendo ambos conocidos.

Entonces en el intervalo: µ− 3

σ√n

, µ + 3σ√

n

se encuentra el 99.73% de la produccion.

Grafico de control X (µ0 conocida)

U CL = µ + 3σ√

n,

CL = µ,

LCL = µ− 3σ√

n.

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1.3 Diagrama de control para la media

Grafico de control X



desconocidos. Entonces se estiman a partir de datos historicos.

Se aconseja tomar un mınimo de 20 o 25 muestras para obtener la media historica xy la cuasidesviacion tıpica muestral s.

Grafico de control X (µ0 no conocida)

U CL = x + 3

s√n

,

CL = x,

LCL = x− 3s√n

.

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1.4 Diagrama de control para ladispersion

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1.4 Diagrama de control para la dispersion

Grafico de control S



desconocidos. Entonces se estiman a partir de datos historicos.

Graficos de control de variables de uso mas frecuente para la dispersion:

• Grafico de control S (recomendado).

• Grafico de control S 2.

• Grafico de control R (no utilizar con muestras de mas de 3 unidades).

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Supongase X ∼ N (µ, σ) siendo los parametros media y varianza desconocidos.

Se estiman a partir de datos historicos mediante los estimadores X y

S 2, cuyas

propiedades son:

E [X ] = µ, E [ S 2] = σ2, E [ S ] = c4σ, donde c4 =

2

n− 1

1/2 Γ(n/2)

Γ((n− 1)/2).


U CL = s + 3s

c4 1− c24

,

CL = s,

LCL = s + 3s

c4

1− c24.

donde s =1

m

m

i=1 si y m es el numero de muestras observadas.

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Grafico de control S 2


Supongase X ∼ N (µ, σ) los parametros media y varianza desconocidos. Se estiman

a partir de datos historicos mediante los estimadores X y

S 2, cuyas propiedades son:

E [X ] = µ, E [ S 2

] = σ2

.

Grafico de control S 2

U CL =s2

n− 1χ21−α/2;n−1,

CL = s2,

LCL =s2

n− 1χ2α/2;n−1.

donde s =1

m

mi=1

si y m es el numero de muestras observadas.

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Grafico de control R


Supongase X ∼ N (µ, σ) los parametros media y varianza desconocidos. Se estiman

a partir de datos historicos mediante los estimadores X y R:

R: amplitud de la muestra, es decir, R = xmax − xmin.

Si el tamano de la muestra es pequeno el metodo de estimar σ mediante

la amplitud produce un estimador razonablemente bueno. En el caso de

valores moderados del tamano de cada muestra pierde su eficiencia dado

que no toma en consideracion toda la informacion en la muestra.

Construccion

Sigue la misma metodologıa de los diagramas anteriores. Conocidos los diagramas

de S y S 2 carece de sentido su estudio teorico en este curso. Unicamente se imple-

mentaran utilizando Minitab.

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1.5 Aplicaciones

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1.5 Aplicaciones

Diagramas de control de la media y la dispersion

En un proceso de fabricacion de anillos de piston para motores se desea controlar estemediante diagramas de control. Se toman 25 muestras de tamano 4 (ver tabla) en un

proceso que bajo control tiene distribucion normal de parametros media µ = 74 y

desviacion tıpica σ = 0.025. Establecer si el proceso se encuentra bajo control.

Número

muestra

1 73,9811 74,0017 74,0041 73,9995 2 74,0078 74,0228 74,0103 74,0187

3 74,0218 73,9720 73,9741 74,0034

4 74,0118 73,9645 74,0139 74,0067

5 74,0155 74,0115 74,0131 73,9953

6 74,0182 73,9877 73,9934 73,9918

7 73,9911 74,0002 73,9523 73,9729

8 74,0135 74,0429 74,0143 74,0062

9 73,9766 74,0423 74,0050 74,0311

10 73,9974 73,9756 73,9967 74,0066

11 73,9811 73,9956 74,0123 73,9741

12 73,9530 74,0153 74,0118 74,0096

13 74,0066 73,9921 74,0193 74,0044

14 74,0053 74,0100 74,0433 74,0230

15 74,0163 73,9873 73,9824 74,0187

16 73,9940 73,9946 73,9991 73,9862

17 73,9986 73,9985 73,9964 74,0081

18 74,0058 73,9941 74,0135 73,9617

19 73,9896 73,9709 73,9799 73,9708

20 74,0372 73,9957 74,0336 74,0212

21 74,0136 73,9901 73,9699 74,0048

22 73,9878 73,9977 74,0051 74,0275

23 73,9965 74,0170 74,0173 74,0047

24 74,0163 74,0241 74,0204 73,9735

25 74,0384 74,0020 73,9920 73,9970

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1.5 Aplicaciones


Se realiza en primer lugar un analisis de los datos en el que se observa la normalidad

de las observaciones obtenidas.

74,0374,0173,9973,9773,95

95% Confidence Interval for Mu

74,00774,00273,997

95% Confidence Interval for Median

Variable: Anillos

73,9976

0,0169

73,9979

Maximum3rd Quartile

Median1st QuartileMinimum

NKurtosisSkewnessVariance

StDevMean

P-Value:

A-Squared:

74,0067

0,0224

74,0055

74,043374,0142

74,004273,991373,9523

1003,66E-02-2,4E-013,71E-04

0,019374,0017

0,255

0,461

95% Confidence Interval for Median

95% Confidence Interval for Sigma

95% Confidence Interval for Mu

Anderson-Darling Normality Test

Descriptive Statistics

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1.5 Aplicaciones


Se realiza el analisis a traves de Minitab utilizando los graficosX

yS

.

252015105Subgroup 0

74,045

74,035

74,025

74,015

74,005

73,995

73,985

73,975

73,965

73,955

S a m p

l e M e a n

Mean=74

UCL=74,04

LCL=73,96

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00 S a m p

l e S t D e v

S=0,02303

UCL=0,05219

LCL=0

Xbar/S Chart for Anillos

Conclusion. El proceso esta bajo control (no se observan muestras fuera de l ımites

ni patrones).

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1.5 Aplicaciones


Se realiza el analisis a traves de Minitab utilizando los graficos X y R.

252015105Subgroup 0

74,045

74,035

74,025

74,015

74,005

73,995

73,985

73,975

73,965

73,955

S a m p

l e M e a n

Mean=74

UCL=74,04

LCL=73,96

0,10

0,05

0,00 S a m p l e R a n g e

R=0,05148

UCL=0,1174

LCL=0

Xbar/R Chart for Anillos

Conclusion. El proceso esta bajo control (no se observan muestras fuera de l ımites

ni patrones).

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1.6 Graficos de control de atributos

1 6 G ´fi d t l d t ib t

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1.6 Graficos de control de atributos

Diagramas de control de proporciones y artıculos con defectos

Diversas caracterısticas de calidad se representan a traves de variables discretas enlugar de hacerlo utilizando variables continuas.

En estos casos los artıculos inspeccionados se clasifican en:

• conformes

• disconformes

dependiendo de si cumplen o no con las especificaciones tecnicas de la caracterıstica

objeto de estudio.

Graficos de control de atributos de uso mas frecuente:

• Control de la proporcion de disconformes: grafico de control p.

• Control del numero de disconformes: grafico de control np.

• Control del numero de disconformes por unidad: grafico de control c.

•Control del numero medio de disconformidades por unidad: grafico de control

u.

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1.7 Diagrama para la proporcion dedefectuosos

1 7 Di l i ´ d d f t

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1.7 Diagrama para la proporcion de defectuosos

Diagrama de control p

Se supone que en el proceso de produccion bajo control la probabilidad de obtener

un artıculo defectuoso es p, 0 < p < 1, y que los artıculos que se producen son

independientes.

El diagrama de control de la proporcion disconforme se basa en el modelo binomial:

•Artıculo i defectuoso: X i

∼B( p).

• Numero de artıculos defectuosos en muestra de tamano n, X ∼ B(n, p):

P (X = k) =

n

k

pk(1− p)n−k, k = 0, 1, . . . , n .

E [X ] = np, V ar[X ] = np(1−

p).

• Proporcion disconforme en muestra de tamano n: p =X

n.

Si no se conoce p se estima a partir de muestras previas tomadas en el proceso bajo

control. Si se estima a partir de m muestras:

p = m j=1 pim

1 7 Diagrama para la proporcion de defectuosos

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Diagrama de control p

Grafico de control p ( p conocida)

U CL = p + 3

p(1− p)

n,

CL = p,

LCL = p−

3

p(1− p)

n

.

Grafico de control p ( p no conocida)

U CL = p + 3

p(1− p)

n,

CL = p,

LCL = p− 3 p(1− p)

n.


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Diagrama de control p. Aplicacion

Un proceso produce chips de ordenador. Se dispone de informacion (ver tabla)

recogida para 20 muestras, de tamano 100 cada una, con los chips que no super-

aron un control de calidad relativo a su velocidad.

El proceso de fabricacion de los chips se comporta bajo condiciones estables con una

tasa de fallo del 5%. Establecer si el proceso en estudio esta bajo control.

Número muestra Chips defectusos en

la muestra

Número muestra Chips defectusos en

la muestra

1 4 11 5

2 11 12 9

3 7 13 8

4 8 14 9

5 1 15 11

6 9 16 97 3 17 5

8 7 18 9

9 9 19 11

10 9 20 8


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Diagrama de control p. Aplicacion

Se realiza el analisis a traves de Minitab utilizando el grafico de control p.

20100

0,10

0,05

0,00

Sample Number

P r o p o r t i o n

P Chart for Chips

P=0,05

UCL=0,1154

LCL=0

Concusion. El proceso esta fuera de control. No se observar valores fuera de los

lımites de control. Sin embargo, existe una tendencia (patron) que conduce a pensar

que la proporcion de defectuosos aumenta dado que la mayor parte de las muestras

observadas presentan una media con valor superior a p = 0.05.

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1.8 Diagrama para el numero dedefectos por unidad

1 8 Diagrama para el numero de defectos por unidad

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1.8 Diagrama para el numero de defectos por unidad

Diagrama de control c

Se supone que en el proceso de produccion bajo control el numero medio de defectos

por unidad es c > 0 y que cada unidad producida es independiente del resto.

El diagrama de control del numero de defectos por unidad se basa en el modelo

Poisson:

•Numero de defectos en la unidad i: X i

∼Poisson(c).

P (X i = k) =ck

k!e−c, k = 0, 1, . . .

E [X i] = c, V ar[X i] = c.

Si no se conoce c se estima como la media muestral observada a partir de muestras

previas tomadas en el proceso bajo control.


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Diagrama de control c

Grafico de control c (c conocida)

U CL = c + 3√

c,

CL = c,

LCL = c− 3√

c.

Grafico de control c (c no conocida)

U CL = c + 3√

c,

CL = c,

LCL = c− 3√

c.

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Capítulo 4 Control_estadistico_de_la_calidad

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