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Capítulo 4

Control de procesos por variables

1. Fundamentos de los gráficos de control

2. Gráfico de control para la media

3. Gráficos de control para la dispersión

4. Capacidad de un proceso. Índice de capacidad

5. Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles

6. Interpretación de los gráficos de control

Anexo A: Repaso de conceptos sobre inferencia

Anexo B: Índices de capacidad

Anexo C:Tablas para gráficos de control

1Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora dela Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid

1

2 Control de procesos por variables

4.1. Fundamentos de los gráficos de control

Un gráfico de control es la representación de la evolución de una característica de la calidaddel producto o servicio de interés. Un ejemplo de este tipo de gráficos se muestra en la Figura 4.1.Los elementos básicos son la línea central, que representa el nivel medio de los valores de dichacaracterística, y los límites de control: límite de control superior o LCS y límite de controlinferior o LCI. La utilización del gráfico de control es bastante simple: si el proceso está bajocontrol (sólo actúan causas de variabilidad no asignables), la práctica totalidad de las observacionesrepresentadas estarán dentro de dichos límites de control, mientras que si el proceso está fuera decontrol (está actuando alguna causa asignable que se ha de corregir) las observaciones caerán, conmucha probabilidad fuera de dichos límites. Por tanto, cuando una observación caiga fuera de loslímites daremos la señal de alarma e investigaremos si rrealmente está sucediendo algo anómalo.Las observaciones suelen corresponder a mediciones realizadas sobre muestras de artículos: valoresmedios, desviaciones típicas, rangos, etc; aunque también existen gráficos realizados sobre observa-ciones individuales. Estas mediciones se realizan a lo largo del tiempo, por lo que el gráfico es unaevolución temporal, o monitorización, de la calidad. Los puntos representados se unen por líneaspara visualizarlo mejor.

Gráfico de Control

Muestra

Med

ia

Línea central =

UCL = 16,90

LCL = 15,74

0 5 10 15 20 2515

15,4

15,8

16,2

16,6

17

Figura 4.1: Ejemplo de gráfico de control

A pesar de su aparente simplicidad, la interpretación del gráfico de control ha de ser hecha concierta cautela. Como veremos más adelante, incluso si todos los puntos están dentro de los límitesde control, es posible que el proceso esté fuera de control y haya que dar la señal de alarma. En estecapítulo supondremos que la variable que se representa es medida en una escala numérica: tiempo,longitud, peso, etc. Al control estadístico de este tipo de variables le denominaremos control porvariables.

4.1.1. Línea central y límites de control

Sea τ el estadístico que se utiliza para medir la variable de interés (estadístico: función de losdatos que no depende de las características de la población, como la media muestral, varianzamuestral, rango muesrtal, etc). Por ejemplo, supongamos una muestra de n clientes a los que se

4.2 Gráfico de control para la media 3

tarda en prestar un servicio unos tiempos t1, t2, ..., tn. La media aritmética de dichos tiempos es unestadístico que se puede usar como indicador de la calidad de dicho servicio. Tendríamos, entonces,que la magnitud que representaríamos en el gráfico sería

τ = t =t1 + · · ·+ tn

n,

para sucesivas muestras de n individuos. Dicho estadístico τ será una variable aleatoria, pues suvalor depende de los n individuos concretos que analicemos. El gráfico de control será, por tanto, larepresentación de sucesivas realizaciones de la variable aleatoria τ . Sea μτ el valor medio de dichoestadístico (es decir E(τ) = μτ ) y sea στ su deviación típica (es decir, Var(τ) = σ2τ ). La estructurade un gráfico de control es la siguiente

Límite de control superior (LCS) = μτ + LsστLínea central = μτ

Límite de control inferior (LCI) = μτ − Liστ

donde Ls y Li son las distancias de los límites de control a la línea central en términos de ladesviación típica del estadístico que se emplea. En general, se emplea la misma distancia para ellímite superior e inferior, es decir, Ls = Li = L. La idea es elegir L de tal manera que si el procesoesté bajo control sea muy probable que la evolución de τ se desarrolle dentro de los límites, peroque si el proceso sale de control sea muy probable que τ se coloque fuera de dichos límites y sepueda dar una señal de alarma. Si L es muy alto, será muy poco probable que, si el proceso está enestado de control, las observaciones estén fuera de los límites; es decir, una falsa alarma será muypoco probable. Sin embargo, si el proceso está fuera de control por poco margen, sería muy difícildetectarlo. Por el contrario, si L es muy bajo, será muy probable detectar que el proceso está fuerade control, pero será también muy probable dar falsas alarmas. Usualmente, se elige L = 3. Laprincipal razón para justificar el valor L = 3 es que, en el caso en que el estadístico τ utilizado sigauna distribución normal, o razonablemente aproximada, el intervalo de μτ ± 3στ corresponderácon el 99,7% de la población, como ya se vió en el tema anterior. Por tanto, bajo normalidad ysi el proceso está bajo control, la práctica totalidad de las observaciones estarán dentro de dicholímites. Existe, no obstante, una probabilidad de 0.003 (0.3%) de que se esté fuera de los límitessin estar fuera de control. En ese caso se estaría dando una falsa alarma. La utilización de L = 3 haproporcionado muy buenos resultados en la vida real. La forma más general de gráfico de controles, por tanto,

LCS = μτ + 3στLínea central = μτ

LCI = μτ − 3στ(4.1)

De esta forma, si las causas de variabilidad se mantienen estables, la distribución de τ no cam-biará (la media será siempre μτ y la varianza σ2τ ). Los distintos valores observados de τ serándebidos sólo a la variabilidad muestral y, en el caso de τ normal, estarán entre los límites conprobabilidad 0.997, sin embargo, si se produce un desajuste en el proceso que haga cambiar lamedia μτ y/o la varianza σ

2τ la evolución de τ será diferente, y empezará a tomar valores fuera de

los límites con mucha mayor probabilidad.

4.2. Gráfico de control para la mediaEl gráfico de control de la media, también llamado Gráfico X recoge la evolución de la media

muestral, en muestras de tamaño n, de la característica de calidad de interés. Por ejemplo, el tiempo


medio de atención a un cliente tomando muestras de 10 clientes, o el radio medio de un cilindro,tomando muestras de 20 cilindros. Supondremos en este capítulo que dicha media muestral x sigueuna distribución normal. Si la variable x sigue una distribución normal, la media muestral x serátambién normal. Si la variable original no es normal, pero n es elevado, por el teorema central dellímite x será aproximadamente normal. Existen, además, transformaciones que permiten convertiruna variable aleatoria contínua asimétrica en una variable que se aproxime razonablemente a lanormal. Por otra parte, si el proceso está en estado de control, es muy razonable esperar quela variable de interés sea normal (¿por qué?). Por esta razón, la construcción de los gráficos x serealiza suponiendo que la media muestral sigue una distribución normal. Por tanto, las propiedadesde nuestra media muestral serán:

x ∼ N

µμ,

σ2

n

¶,

donde μ y σ2 son la media y varianza, respectivamente, de la variable de interés x cuando lavariabilidad procede sólo de causas no asignables, es decir, cuando el proceso está bajo control,. Bajo esta hipótesis, un intervalo que comprenda al 99.7% de la probabilidad estará comprendidoen μ± 3σ/√n. El gráfico de control tendrá las siguientes características:

LCS = μ+ 3σ√n

Línea central = μ

LCI = μ− 3 σ√n

(4.2)

Se ha de estimar, por tanto, los parámetros μ y σ. Para estimarlos se toman muestras dela producción (o prestación del servicio) durante un periodo prolongado de tiempo en el que sesepa que el proceso está bajo control. Una vez que se ha construido el gráfico, éste se utilizaráen primer lugar para comprobar que realmente el proceso estuvo bajo control mientras se recogíaesta información inicial. En caso contrario se ha de prescindir de aquellas muestras en las que elproceso no estuvo bajo control y se repetirá el cálculo del gráfico. En la utilización de los gráficosde control hay que distinguir, entonces, dos etapas:

1. Contrucción de los gráficos, utilizando la información contenida en un conjunto de muestrasiniciales.

2. Una vez construido el gráfico, se representa la evolución de las muestras obtenidas en tiemporeal, y se controla así el proceso. El gráfico no se vuelve ya a modificar, salvo que hayatranscurrido mucho tiempo y se quieran actualizar sus límites.

El periodo de tiempo en el que se tomen los datos iniciales para la etapa de construcción delgráfico debe ser lo suficientemente amplio para permitir que haya cambios de turno, variabilidaden la materia prima, horas punta del servicio y horas valle, etc. La estimación de los parámetrosserá, además, una tarea que ha de someterse a revisión periódica. Veamos a continuación cómo hade hacerse la estimación de μ y σ.

4.2.1. Estimación de los parámetros del gráfico X

Sea x la variable que mide la calidad de los artículos producidos, o uno de los aspectos de lacalidad que nos interese. Supongamos que se recogen un total de k muestras a intervalos regulares


de tiempo y en cada muestra hay n elementos. Sea xij el valor del elemento j-ésimo (j = 1, .., n)de la muestra i-ésima (i = 1, ..., k). El conjunto total de datos será:

(x11, x12, ..., x1j , ..., x1n)| {z }muestra 1

,(x21, x22, ..., x2j , ..., x2n)| {z }muestra 2

, ...,(xi1, xi2, ..., xij , ..., x2n)| {z }muestra i-ésima

, ...,(xk1, xk2, ..., xkj , ..., xkn)| {z }muestra k

.

Si el proceso estuviese bajo control durante toda la recogida de estos nk datos, éstos constituiríanuna muestra aleatoria simple (de tamaño nk) de una población normal N(μ, σ2). El gráfico seconstruye, entonces, de la siguiente manera:

1. Se calcula la media y varianza de cada muestra. Por ejemplo, para los n datos de la primeramuestra:

x1 =

Pnj=1 x1j

n,

s21 =

Pnj=1 (x1j − x1)

2

n,

s21 =

Pnj=1 (x1j − x1)

2

n− 1 .

Se tendrán, por tanto, k medias y k varianzas.

2. Se calcula la media total. La media total será:

¯x =

Pki=1 xik

.

Este estimador será centrado si la media μ del proceso ha sido constante durante la recogida dela información. Sin embargo, puede demostrase que los estimadores s1 y s1 no son estimadoresinsesgados de σ aun estando el proceso bajo control (E(s1) 6= σ;E(s1) 6= σ). El sesgo depende,además, del tamaño de la muestra n. No obstante, el sesgo para poblaciones normales estátabulado. La desviación típica muestral s es una variable aleatoria que verifica

E(sj) = c2σ, (4.3)

donde los valores de c2 están tabulados para distintos tamaños muestrales. Por tanto se tieneque

σ =E(sj)

c2,

y, entonces, si/c2 sí es un estimador insesgado de σ. Podremos construir un estimador inses-gado de σ promediando los estimadores insesgados sj/c2 de las k muestras:

σ =s

c2, (4.4)

s =

Pki=1 sik

. (4.5)

Otra posible opción sería utilizar un estimador insesgado para la varianza de cada muestra.Por ejemplo, para la muestra 1:

s1 =

sPnj=1 (x1j − x1)

2

n− 1 ,


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14

16

18

20

22

24

media

LCS

LCI

Gráfico para la media

tiempo

Figura 4.2: Gráfico de control para las medias. Datos de20 muestras de tamaño 5.

en lugar de s21. Este estimador verifica que

E(sj) = c4σ, (4.6)

Var(sj) = (1− c24)σ2. (4.7)

Por tanto,

σ =E(sj)

c4,

donde c4 está tabulado en funcion de n. Un estimador insesgado de σ será

σ =sTc4

, (4.8)

sT =

Pki=1 sik

. (4.9)

El análisis realizado con este procedimiento no es muy distinto al que se realice utilizando sjy el correspondiente coeficiente c2. Si utilizamos sj para medir la desviación típica de cadamuestra, el gráfico de control teórico para la media será

LCS = μ+ 3E(sj)

c2√n

Línea central = μ

LCI = μ− 3E(sj)c2√n

(4.10)

y el estimado

LCS = ¯x+ 3s

c2√n

Línea central = ¯x

LCI = ¯x− 3 s

c2√n

(4.11)


Por el contrario, si se utiliza el estimador sj se tendrá el siguiente gráfico de control teóricopara la media

LCS = μ+ 3E(sj)

c4√n

Línea central = μ

LCI = μ− 3E(sj)c4√n

(4.12)

y el estimado será

LCS = ¯x+ 3sT

c4√n


LCI = ¯x− 3 sTc4√n

(4.13)

Recordemos que estamos aún en la etapa de construcción del gráfico de control, y que paraello estamos suponiendo que los datos que se poseen son representativos del proceso en estado decontrol. Esta suposición hemos de corroborarla con este gráfico inicial. Si algún punto saliese delos límites de este gráfico concluiremos que el proceso estaba fuera de control y lo eliminaremos. Acontinuación se recalculará ¯x y s (o sT ) con las muestras restantes, dibujaremos un nuevo gráficoy repetiremos el proceso hasta que todas las muestras estén dentro de los límites. La figura 4.2es un ejemplo de este tipo de gráficos donde se tienen 20 muestras de tamaño 5 cada una. Puedeobservarse que todas las medias se encuentran entre los límites de control.

Otra opción para realizar este gráfico es utilizar el rango como medida de variabilidad. El rangode una muestra es la diferencia entre los valores extremos. Por ejemplo, en la muestra 1:

R1 = max(x11, ..., x1n)−mın(x11, ..., x1n).

El rango será, por tanto, proporcional a la variabilidad de la variable. En muchas ocasiones seanaliza la variabilidad a través del rango, en lugar de la desviación típica muestral. La razónprincipal es su simplicidad de cálculo. Además, en muestras pequeñas, es un estimador de ladesviación típica casi tan eficaz, desde el punto de vista matemático, como la desviación típicamuestral. Supongamos que x ∼ N(μ, σ2) y R es el rango de una muestra de tamaño n de dichavariable aleatoria normal. El rango será también una variable aleatoria. Esta variable aleatoriadepende de σ y de n y fue tabulada por primera vez por Pearson en 1932. La distribución que estátabulada es la de la variable aleatoria

W =R

σ,

para varios tamaños muestrales. Llamemos d2 ≡ E(W ) y d3 ≡pVar(W ), donde d2 y d3 están

tabulados. Entonces:

μR ≡ E(R) = E(W )σ = d2σ, (4.14)

σR ≡pVar(R) = d3σ. (4.15)

Por tanto, de la expresion (4.14) se obtiene que

σ =E(R)

d2.


Por tanto un estimador de σ será

σ =R

d2,

donde

R =

Pki=1Ri

k. (4.16)

Por tanto, el gráfico de control teórico para la media, utilizando el rango como medida de variabil-idad es,

LCS = μ+ 3E(R)

d2√n

Línea central = μ

LCI = μ− 3E(R)d2√n

(4.17)

y el estimado

LCS = ¯x+ 3R

d2√n


LCI = ¯x− 3 R

d2√n

(4.18)

Las constantes d2 y d3 están tabuladas considerando que la distribución de referencia es nor-mal. Sin embargo Burr demostró en 1967 que estas constantes varían muy poco para una ampliavariedad de distribuciones, con tal que n ≤ 10.

4.3. Gráficos de control para la dispersiónEstamos suponiendo que la variable x es normal. Por tanto su distribución no depende sólo

de la media μ, sino de la varianza σ2. Por consiguiente, para comprobar que el proceso esté bajocontrol no basta con demostrar que μ ha sido estable; es decir, que los puntos del gráfico de mediaestán entre sus límites. Hemos de comprobar también que la varianza σ2 de la variable de interésx permanece estable. Esto se puede llevar a cabo con un gráfico de control para las desviacionestípicas. Veamos a continuación gráficos para controlar que la dispersión de la variabilidad es es-table a lo largo de la producción o la prestación del servicio. Veremos dos tipos de gráficos segúnla dispersión se mida a través de la desviación típica o del rango. Al igual que con el gráfico de lasmedias, primero habrá que construir sus límites con un conjunto de información inicial.

4.3.1. Gráfico de control de la desviación típica

El gráfico de control de la desviación típica (corregida por grados de libertad) o Gráfico S seutiliza para controlar que la desviación típica es estable, y por tanto representativa de la variabilidaddebida a causas no asignables. Utilizando las propiedades (4.6) y (4.7) se tiene que, un gráfico decontrol teórico para la desviación típica será:

LCS = E(s) + 3pVar(s) = c4σ + 3

p1− c24σ = B6σ

Línea central = E(s) = c4σLCI = E(s)− 3

pVar(s) = c4σ − 3

p1− c24σ = B5σ

4.3 Gráficos de control para la dispersión 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

d.t.

LCS

LCI

Gráfico para la desviación típica

tiempo

Figura 4.3: Gráfico de control para la desviación típica. 20 muestras de tamaño 5

donde B6 = c4+3p1− c24, B5 = c4σ−3

p1− c24σ están tabulados en función del tamaño muestral.

Como σ es desconocido, se utilizará el estimador insesgado

σ =sTc4

.

Por tanto, el gráfico de control para las desviaciones típicas es

LCS = B6sTc4= B4sT

Línea central = c4sTc4= sT

LCI = B5sTc4= B3sT

donde B3 y B4 están tabulados. La estimación sT es la obtenida en la sección anterior con lasmuestras iniciales. Si algún dato cae fuera de los límites se considerará que el proceso ha estadofuera de control en ese momento, por lo que ese datos no puede emplearse para la construcciónde ningún gráfico de control. Por tanto, la muestra hay que eliminarla tanto para el cálulodel gráfico de medias como de desviaciones típicas. Hay que recalcular, por tanto, ambosgráficos.

La figura 4.3 es un ejemplo de gráfico de control para la desviación típica. Los datos con losque se ha realizado este gráfico y el de la media son los mismos, por lo que puede considerarse queel proceso ha estado bajo control durante la recogida de datos.

4.3.2. Gráfico de control del rango

Utulizando las propiedades del rango muestral vistas en las expresiones (4.14) y (4.15) se tieneque un gráfico de control teórico para el rango tendrá las siguientes características:

LCS = μR + 3σR = d2σ + 3d3σ = D2σLínea central = μR = d2σ

LCI = μR − 3σR = d2σ − 3d3σ = D1σ


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

Rangos

LCS

LCI

Gráfico de rangos

tiempo

Figura 4.4: Gráfico de control de rangos. 20 muestras de tamaño 5

donde D1 = d2 − 3d3; D2 = d2 + 3d3. Como σ será, en general, desconocido, se empleará elestimador

σ =R

d2,

y el gráfico de control será:

LCS = d2R

d2+ 3d3

R

d2= D4R

Línea central = d2R

d2= R

LCI = d2R

d2− 3d3 Rd2 = D3R

donde D3 = (1 − 3d3/d2) y D4 = (1 + 3d3/d2) están tabulados en función del tamaño muestral.La figura 4.4 es un ejemplo de este gráfico. La interpretación de este gráfico es como en los casosanteriores. Si el proceso ha estado bajo control todos los puntos estarán dentro de los límites decontrol. En caso contrario no podremos usar ese dato para la construcción de gráfico y habrá queeliminar dicha muestra y recalcular tanto este gráfico como el de las mediasUna vez que hemos construido el gráfico para la media y para la dispersión con el conjunto

de muestras iniciales, daremos por concluida la etapa de diseño de los gráficos de control y losmantendremos ya fijos. Pasaremos entonces a utilizarlos en tiempo real, analizando la estabilidaddel proceso con nuevas muestras tomadas a intervalos regulares de tiempo. Si una muestra caeentonces fuera de los límites de control habrá que analizar rápidamente qué ocurrió para recuperarel control del proceso. Cada cierto tiempo es conveniente actualizar los límites de control con nuevasmediciones.

4.4. Tamaño de la muestra y frecuencia de muestreo

Cada punto de un gráfico de control corresponde al valor observado del estadístico de interés(pr ejemplo la media muestral, rando,..) evaluado en una muestra de tamaño n en cierto instante.

4.5 Capacidad de un proceso. Índice de capacidad 11

Es necesario, por tanto, determinar dicho tamaño muestral así como la frecuencia con que se com-putará.

En la determinación del tamaño muestral intervienen factores económicos y estadísticos, por loque no se puede establecer un método universal. En general, a mayor tamaño muestral, menor serála varianza del estadístico y más fácil será detectar desviaciones del estado de control. Por ejemplo,la desviación típica de la media muestral es σ/

√n, por lo que si n es alto la desviación típica es

baja. Esto hará que los límites que contengan al 99.7% de los valores en estado de control seránmás estrechos. Por tanto, si el proceso sale fuera de control será más fácil que slos puntos algan delos límites y detectemos el desajuste, sin que aumente la probabilidad de falsa alarma que seguirásiendo del 0.3%.

Sin embargo, en algunos casos, las mediciones de la característica de calidad pueden tener uncoste alto, por lo que no será factible tomar muestras grandes. Por otra parte, para poder teneruna muestra grande será necesario esperar mucho tiempo, por lo que se tardará más en detectarfallos, con el consiguiente coste. Sea p la probabilidad de que un punto del gráfico esté fuera delos límites de control. El cálculo de esta probabilidad es sencillo y dependerá del tamaño muestralseleccionado y del estado del proceso (ver hoja de problemas). Por las propiedades de la distribucióngeométrica, se sabe que el número medio de sucesos hasta que un punto esté fuera de los límites(hasta que suceda el suceso de probabilidad p) es:

Número medio de muestras hasta la detección=1

p.

De esta forma se puede saber el tiempo que se tardará en detectar desajustes. Esta información esde mucha utilidad para decidir tanto la frecuencia de muestreo como el tamaño muestral, aunquela decisión final puede estar influida por más factores. Al número medio de muestras hasta ladetección del desajuste se le llama también ARL, que proviene de las siglas en inglés Average RunLength, (longitud media de la racha) (ver problema 1.d)

4.5. Capacidad de un proceso. Índice de capacidadSe define capacidad de un proceso en el que la calidad se mide a través de una variable cuanti-

tativa x con Var(x) = σ2 como:Capacidad = 6σ,

donde σ es la desviación típica de la variable cuando el proceso está bajo control. La capacidaddel proceso es una medida de la calidad del proceso muy utilizada en la práctica. La capacidades una cualidad negativa. A mayor capacidad mayor variabilidad. Estimar la capacidad se resumeen estimar σ. Esta estimación se hace a partir de los gráficos elaborados anteriormente. Los pasospara estimar la capacidad se pueden resumir de la siguiente forma:

1. Se selecionan n muestras de tamaño k recogidas durante un intervalo amplio de tiempo.

2. Se construye, con los datos obtenidos de dichas muestras, un gráfico de control para x y otropara la dispersión (el de rangos o el de desviaciones típicas).

3. Si alguna muestra está fuera de los límites, se elimina y se recalculan ambos gráficos (mediay dispersión), repitiéndose este proceso hasta que todas las muestras estén entre los límitesde control.


4. Una vez asegurado que los datos proceden de un proceso en estado de control se ha de verificarla hipótesis de normalidad de los datos mediante algún procedimiento estadístico (contrastede normalidad, gráfico en papel probabilístico-normal, etc).

5. La estimación de la capacidad será, si se utiliza la desviación típica de cada muestra sincorregir por grados de libertad:

Capacidad estimada=6σ = 6s

c2.

Si se utiliza la desviación típica corregida:

Capacidad estimada=6σ = 6sTc4

.

Si se utiliza el rango para medir la variabilidad, se tendrá la siguiente estimación de lacapacidad

Capacidad estimada=6σ = 6R

d2.

No debe confundirse la capacidad de un proceso (o máquina o tarea concreta) con las toleranciastécnicas del producto. Las tolerancias son los requerimientos técnicos para que el producto seaadmisible para su uso, mientras que la capacidad es una característica estadística del proceso queelabora dicho producto. Para comparar ambas características se define el índice de capacidadde un proceso Cp de la siguiente manera:

Cp =Intervalo de Tolerancias

Capacidad=LTS-LTI6σ

,

donde LTS es el límite de tolerancia superior y LTI el inferior. Si Cp > 1 se dice que el procesoes capaz, pues prácticamente todos los artículos que produzca estarán dentro de las toleranciasrequeridas. Si Cp < 1 se dice que el proceso no es capaz. Si Cp ≈ 1 habrá que vigilar muy decerca el proceso, pues cualquier pequeño desajuste provocará que los artículos no sean aceptables.

4.6. Gráficos de observaciones individuales y rangos móvilesx-RM

En algunos casos es necesario controlar un procesos basándose en lecturas de observacionesindividuales, en lugar de grupos de ellas. Este es el caso de artículos en los que las medicionesson caras (por ejemplo en ensayos destructivos, o ensayos que requieren condiciones especiales) ocuando la producción en un momento dado es homogénea respecto a la variable de interés (porejemplo, el PH de una disolución química). Este tipo de control es, sin embargo, menos sensibleque los anteriores. Por eso, a veces resulta más adecuado un gráfico x-R convencional con untamaño muestral pequeño que este tipo de gráfico, incluso si el intervalo necesario para conseguirlas muestras es grande. Los pasos a seguir para realizar el gráfico son los siguientes:

1. Conseguir lecturas de un conjunto de k observaciones: x1, ..., xk.

4.6 Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles x-RM 13

2. Calcular la media global:

x =

Pki=1 xik

.

Si el proceso ha estado bajo control durante la recogida de estos datos, este valor será unbuen estimador de la media global y se utilizará como línea central.

3. Calcular rangos móviles entre pares de individuos. Estos rangos móviles se obtienen de lasiguiente manera: el primer rango consiste en

R1 = max(x2, x1)−mın(x2, x1) ≡ |x2 − x1|.

En el segundo rango se añade la tercera observación, pero se prescinde de la primera:

R2 = max(x3, x2)−mın(x3, x2) ≡ |x3 − x2|,

y así sucesivamente. El último rango será:

Rk−1 = max(xk, xk−1)−mın(xk, xk−1) ≡ |xk − xk−1|.

En circunstancias excepcionales podría calcularse rangos móviles con más de dos observa-ciones (tres o cuatro). Por ejemplo, con cuatro observaciones se tendría:

R1 = max(x1, x2, x3, x4)−mın(x1, x2, x3, x4),R2 = max(x2, x3, x4, x5)−mın(x2, x3, x4, x5),...

Rk−3 = max(xk−3, xk−2, xk−1, xk)−mın(xk−3, xk−2, xk−1, xk).

4. Obtener el rango móvil medio. En el caso de rango móvil de pares de observaciones se tendrá:

R =

Pk−1i=1 Ri

k − 1 .

5. Calcular los límites de control para la media a distancia de tres desviaciones típicas respectoa la línea central marcada por x:

LCS = x+ 3R

d2,

LCI = x− 3 Rd2

,

6. Análogamente, para el gráfico de rangos se tiene que

LCS = D4R,

LCI = D3R.


4.7. Interpretación de los gráficos de controlLa interpretación de los gráficos de control se basa en la siguiente idea general: si el proceso está

en estado de control, los gráficos deben mostrar un comportamiento aleatorio dentro de los límitesde control; por tanto una evolución de los gráficos que tenga un patrón no aleatorio o/y fuera delos límites será indicio de existencia de causas asignables.

Se suele interpretar en primer lugar los gráficos de la variabilidad (rango o desviación típica),pues un aumento de la variabilidad puede provocar un aumento de la media muestral, mientras queel fenómeno inverso no ocurre. Los aspectos a analizar son: puntos fuera de los límites, tendenciaso rachas, patrones no aleatorios.

4.7.1. Puntos fuera de los límites de control

Si uno o más puntos de un gráfico de control está fuera de los límites es indicio de que el procesose ha desajustado y conviene analizar el proceso para encontrar la causa. Un punto fuera de loslímites puede ser debido a alguno de los siguientes motivos:

El punto ha sido mal calculado.

Los límites han sido mal calculados o el gráfico mal dibujado.

Hay variaciones en el sistema de medición del dato (nuevos calibres, distinto aparato demedida).

Una variación de la media pero no en la variabilidad puede venir provocada por un desajusteen la maquinaria o desgaste de alguno de sus elementos.

Un aumento de la variabilidad pero no de la media puede venir provocada por envejecimientode alguno de los componentes del proceso o por variaciones en la calidad de la materia prima.

Una disminución de la variabilidad (puntos por debajo del límite inferior) implica una mejoradel sistema, por lo que debe investigarse la causa.

4.7.2. Tendencias o rachas

Cuando un conjunto de puntos consecutivos presentan una tendencia creciente o decre-ciente durante 7 puntos (’regla del 7 ’) es indicio de que algo está ocurriendo en el proceso,pues la probabilidad de que muchos puntos formen una tendencia sólo por azar el práctiamentenula. Por tanto ha de investigarse la presencia de una causa asignable incluso si dichos puntosestán dentro de los límites. Por ejemplo, un desajuste paulatino de una herramienta provocará undesajuste paulatino en la media del proceso. Es necesario detectar ese desajuste y no esperar a queproduzcan valores fuera de los límites de control. Un desgaste en la sujección de una herramientade corte irá aumentando gradualmente la variabilidad en la longitud de corte. Ese desgaste puededetectarse sin necesidad de llegar a que el sistema produzca piezas defectuosas.

Cuando un conjunto de 7 puntos sucesivos se encuentran consistentemente a un ladode la línea central del gráfico (racha) es indicio de anomalía incluso si se encuentran dentro delas líneas de control. De nuevo, la probabilidad de que sólo por azar más de 7 puntos se encuentrenen un lado del gráfico es prácticamente nula, por lo que habrá que investigar la presencia de causasasignables.

4.7 Interpretación de los gráficos de control 15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14

16

18

20

22

24

L. central

LCS

LCI

Zona C

Zona B

Zona A

Zona C

Zona B

Zona A

+1dt

-1dt

+2dt

-2dt

+3dt

-3dt

Gráfico de control

tiempo

Figura 4.5:

4.7.3. Patrones no aleatorios

Además de tendencias o rachas, pueden aparecer otros patrones en los datos que deben llevaral análisis del sistema incluso si los datos evolucionan dentro de los límites de control. Por ejemplo:

Periodicidades en forma de ciclos, con sucesiones regulares de picos y valles.

Inestabilidad: grandes fluctuaciones de la media, producidos, posiblemente por sobreajustesdel proceso, falta de entrenamiento de los operarios o heterogeneidad en la materia prima.

Sobrestabilidad: Ocurre este fenómeno cuando la variabilidad observada es consistentementemenor que la esperada. Esto puede ser debido tanto a un cálculo erróneo de los límites comoa causas asignables que afecten positivamente al proceso. Para detectar la sobreestabilidadconviene trazar dos líneas paralelas en el gráfico de la variabilidad (rangos o desviacionestípicas) a ambos lados de la línea central que dividan el gráfico en seis partes iguales. (gráfico)En condiciones normales, el 68% de los puntos debería estar entre las dos zonas centrales,mientras que el 32% debería estar fuera.

4.7.4. Tests de inestabilidad

Los tests de inestabilidad consisten en la detección de patrones en los gráficos que sean muypoco probables si el proceso está bajo control. La mayoría de los programas informáticos los incluye.Para detectarlos se dividen las dos áreas alrededor del límite central en tres zonas iguales: A, B, C(ver gráfico). Cada línea corresponderá, entonces, a una desviación típica.Existen un total de ocho patrones. Si se detecta la presencia de alguno de ellos se ha de consid-

erar la posibilidad de que sea debido a alguna causa asignable. Estos patrones son los siguientes:

Patrón 1: Un punto fuera de las líneas de control (fuera de la zona A).

Patrón 2: 2 puntos de 3 consecutivos dentro de la zona A o exteriores a ella.


Patrón 3: 4 de 5 puntos consecutivos en la zona B o A.

Patrón 4: 8 puntos consecutivos en la misma mitad del gráfico.

Patrón 5: 15 puntos consecutivos en las zonas C.

Patrón 6: 8 puntos seguidos sin caer en la zona C, aunque estén a ambos lados del gráfico.

Patrón 7: 14 puntos seguidos alternativos (cada uno en una mitad diferente al anterior)

Patrón 8: 7 puntos seguidos creciendo o decreciendo


ANEXO A: Repaso de algunos conceptos sobre inferenciaestadística

La inferencia estadística. Población y muestra

Uno de los principales objetivos de la estadística es el aprendizaje a partir de la observación.En particular, la estadística proporciona el método para conocer cómo es el fenómeno real que hagenerado los datos observados y que generará los futuros. En estadística, el interés final no estátanto en los datos observados, sino en cómo serán los próximos datos que se vayan a observar.Consideraremos que la variable que nos interesa es una variable aleatoria X, y que los datosque observamos son sólo una muestra (conjunto de realizaciones) procedente de dicha variablealeatoria. La variable aleatoria puede generar un número indefinido de datos. Todos los datosposibles (posiblemente infinitos) serán la población. Por eso, muchas veces nos referiremos deforma indistinta a la población o a la variable aleatoria que la genera.Supongamos, por ejemplo, que queremos saber cómo son los artículos manufacturados por un

determinado proceso. Para ello nos concentraremos en algún conjunto de variables medibles quesean representativas de las características de dicho artículo. Por ejemplo, la longitud de alguna desus dimensiones podría ser una variable que nos interese conocer. La longitud de los posibles artícu-los manufacturados será una variable aleatoria, pues todo proceso productivo tiene siemprevariabilidad, grande o pequeña. Las longitudes de los distintos artículos serán, en general, dis-tintas. Diremos entonces que X = longitud de un artículo genérico, es una variable aleatoria dedistribución desconocida. Para poder saber cómo es esa variable aleatoria, produciremos una mues-tra de artículos, y a partir de ella haremos un ejercicio de induccción, para extrapolar lascaracterísticas de la muestra a toda la población.En estadística, al ejercicio de inducción, por el que a partir de la muestra intentamos predecir

cómo será el resto de la población que no se ha observado (la variable aleatoria) se le llamainferencia estadística, o simplemente inferencia. Supondremos que para realizar este ejerciciode inferencia tenemos una conjunto de datos obtenidos al azar de entre la población de posiblesdatos. A una muestra de este tipo se le llamará muestra aleatoria simple. Por simplicidad, ymientras no se diga lo contrario, supondremos que las muestras que obtengamos serán muestrasaleatorias simples, y por tanto nos referiremos a ellas simplemente como muestras. En una muestraaleatoria simple se tienen dos características importantes:

1. Los elementos de la muestra son independientes entre sí. Por tanto, el valor que tome unode ellos no condicionará al de los demás. Esta independecia se puede conseguir seleccionandolos elementos al azar.

2. Todos los elementos tienen las mismas características que la población.

Sea X nuestra variable aleatoria de interés, y sean X1,X2, ...,Xn los elementos de una muestrade tamaño n de dicha variable aleatoria X. Entonces, antes de ver los valores concretos que tomarála muestra formada porX1,X2, ...,Xn, tendremos que la muestaX1,X2, ...,Xn será un conjuntode variables aleatorias independientes e idénticas a X.

Distribución muestral de un estadístico

Volvamos a nuestro ejemplo del proceso productivo, en el que estamos interesados en sabercómo es la variable aleatoria X =longitud de un artículo genérico. Estamos interesados en las


características de la población, es decir, en todas las longitudes posibles. Supongamos que tenemosuna muestra de n = 100 artículos y hemos medido sus longitudes. Supongamos que calculamos unconjunto de medidas características de dicha muestra de 100 longitudes: la media, la varianza, etc.¿Son dichos valores los de la población? Está claro que no. La media de las n = 100 longitudes notiene por qué coincidir con la media de toda la población. La media de la población será el promediode TODOS sus infinitos datos, y sólo por casualidad será igual al promedio de los n = 100 datosque hemos seleccionado al azar. El problema es que si no tenemos todos los infinitos datos, nopodremos conocer las medidas características de la población. Sólo tendremos lo que podamosobtener de la muestra. Por tanto, una primera conclusión que podemos extraer al intentar predecir(inferir) las medidas características de una población utilizando una muestra es la siguiente:

Conclusión 1: Los valores de las medidas características que se obtienen de una mues-tra serán sólo una aproximación de los valores de las medidas características dela población.

Otra segunda limitación de intentar averiguar cómo es una población a partir de la informa-ción de una muestra, es que nuestras conclusiones dependen de la muestra concreta que hayamosobtenido. Con otras muestras tendríamos otros valores en nuestras medidas características y po-dríamos sacar conclusiones diferentes sobre la población. Supongamos que tomamos una muestrade n = 100 artículos y medimos esas 100 longitudes obteniendo una longitud media de X = 23,5cm ¿Quiere esto decir que cada vez que tomemos una muestra al azar de 100 de dichos artículosy los midamos, su media muestral será siempre X = 23,5 cm? Pues obviamente no. Será muchacasualidad que dos muestras distintas nos den exáctamente la misma media. Como son muestrasde una misma población, las medias será más o menos similares, pero no tienen por qué coincidir.Por tanto, se puede concluir los siguiente:

Conclusión 2: Los valores de las medidas características que se obtienen de una mues-tra dependen de los elementos que la constituyen. Muestras diferentes darán portanto valores diferentes.

Como los elementos han sido seleccionados al azar, se dice que los valores de las medidascaracterísticas de una muestra dependen del azar del muestreo. En lugar de hablar de me-didas características de una muestra, hablaremos de forma más general de operaciones matemáticasrealizadas con la muestra. Vamos a introducir entonces un nuevo concepto: llamaremos estadísticoa cualquier operación realizada con una muestra. Por ejemplo, la media muestral es un estadís-tico, así como la varianza, el rango, o cualquier otra medida característica. El estadístico esla operación matemática, no el resultado obtenido. El estadístico tomará, de acuerdo ala conclusión 2 anterior, un valor diferente en cada muestra. Un estadístico será, por tanto,una variable aleatoria pues el valor concreto que obtengamos dependerá del azar del muestreo.El resultado obtenido con una muestra concreta será una realización de dicha variable aleatoria.Cada vez que realicemos el experimento de computar el valor de un estadístico en unamuestra diferente, obtendremos una realización diferente del estadístico. En la práctica,tendremos una sola muestra, y por tanto una sola realización del estadístico.Si queremos dar alguna interpretación al valor de la realización de un estadístico en una muestra

concreta, necesitamos conocer cómo varía el valor que puede tomar el estadístico de unas muestras aotras (ese será uno de los objetivos de este tema). Por ejemplo, supongamos el caso de las longitudesde los artículos antes mencionados. Supongamos también que sabemos por información históricaque si el proceso productivo funciona adecuadamente, la longitud media (μ) de los artículos que


produce debe ser de μ =25 cm. ¿Cómo podemos entonces interpretar que en una muestra detamaño n = 100 se haya obtenido que X = 23,5 cm? ¿Es esa diferencia (25-23.5) evidencia deque la media se ha reducido y por eso la muestra tiene una media menor? ¿O la media no hacambiado y esa discrepancia (25-23.5) puede atribuirse a la variabilidad debida al muestreo? Si noconocemos la función de densidad de X no podremos valorar si 23.5 es un número muy alejado de25, y por tanto sospechoso de que algo ha ocurrido en el proceso; o por el contrario que sea muyfrecuente que muestras de una población de media μ = 25 den alejamientos tan grandes como 23.5.Supongamos ahora que extraemos una segunda muestra de tamaño n = 100 tras haber realizadoalgunos ajustes a la máquina y que obtenemos que la nueva media muestral es X(2) = 24. ¿Quieredecir que los ajustes han provocado un aumento en la media (de 23.5 a 24)?¿o ese cambio (23.5-24)puede explicarse simplente por ser muestras diferentes de una misma población de media 25?.El tipo de preguntas que se plantean en el párrafo anterior son muy importantes en la práctica,

y serán las que querramos resolver con la estadística. Para responder a este tipo de preguntas,es necesario conocer las características del estadístico que nos interese (en el caso del ejemplo, lamedia muestral). A la distribución de un estadístico debido a la variabilidad de la muestra se ledenomina, distribución del estadístico en el muestreo. Esta distribución dependerá de cadacaso concreto.Es importante darse cuenta de que estamos manejando dos niveles de variables aleatorias.

En un primer nivel, más superficial, estaría nuestra variable aleatoria de interés X. En nuestroejemplo sería X = longitud de un artículo genérico de nuestro proceso productivo. Para conocerlas propiedades de dicha variable aleatoria extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño n.Las longitudes de esos n elementos seránX1,X2, ...,Xn. Como hemos dicho anteriormente, antes deextraer la muestra, no sabremos qué valores tomarán X1,X2, ...,Xn. Y al tratarse de una muestraaleatoria simple, estos n elementos pueden interpretarse como un conjunto de n variables aleatoriasindependientes, e idénticas a nuestra variable de interés X. Nuestro objetivo es utilizar la muestrapara saber cómo es X. Para ello, computamos el valor de un conjunto de estadísticos de interéscon los datos de la muestra: X, S2x, etc. Esos estadísticos constituirán, debido a la variabilidad delmuestreo, un segundo nivel de variables aleatorias con características diferentes a X. Para fijarmejor estos conceptos, en la sección siguiente veremos el caso de la media muestral.

La distribución de la media muestral

Supongamos que tenemos una muestra de tamaño n de una variable aleatoria X. Los elementosde dicha mestra serán seránX1,X2, ...,Xn. La media muestral de esas n observaciones es el siguienteestadístico:

X =X1 +X2 + · · ·+Xn

n. (4.19)

Como cada Xi es una variable aleatoria (idéntica a X) tendremos que X es también una variablealeatoria. De esta manera, su valor será, en general, diferente en cada muestra. El objetivo de estasección es analizar cómo es la distribución de X en el muestreo.En primer lugar calcularemos la esperanza matemática de X. Si llamamos E(X) = μ tendremos

que E(Xi) = μ, i = 1, 2, ..., n. Entonces

E(X) = E

µX1 +X2 + · · ·+Xn

n

¶=

E(X1) +E(X2) + · · ·+E(Xn)

n=

nμ

n= μ. (4.20)

Por tanto, aunque X pueda variar de unas muestras a otras, por término medio proporciona elvalor de la media poblacional, que es al fin y al cabo nuestro objetivo. Este resultado es muy


importante, pues nos dice que de los posibles valores que podamos obtener al cambiar la muestra,el centro de gravedad de ellos es la media poblacional.Para ver la dispersión de los distintos valores de medias muestrales alrededor de μ, calcularemos

la varianza de X. Llamaremos Var(X) = σ2. Por tanto Var(Xi) = σ2, i = 1, 2, ..., n. Entonces,

Var(X) = VarµX1 +X2 + · · ·+Xn

n

¶=Var (X1 +X2 + · · ·+Xn)

n2.

Al ser una muestra aleatoria simple, los Xi serán variables aleatorias independientes, y por tantotendremos que

Var(X) =Var(X1) +Var(X2) + · · ·+Var(Xn)

n2=

nσ2

n=

σ2

n. (4.21)

De este resultado se pueden sacar dos conclusiones que son también importantes:

1. La varianza disminuye con el tamaño muestral. Por tanto cuantos más datos se tengan serámás probable que la media muestral sea un valor próximoa μ.

2. La dispersión de X alrededor de μ depende de la dispersión de la variable original X. Así,si σ2 es muy grande hará falta un tamaño muestral grande si queremos asegurarnos que lamedia muestral esté cerca de la poblacional.

Finalmente, vemos que la media muestral puede escribirse como suma de variables aleatorias.Reescribiendo (4.19) tenemos que

X =X1

n+

X2

n+ · · ·+ Xn

n,

y por tanto, por el Teorema Central del Límite (ver tema anterior) tenemos que, indepen-dientemente de cómo sea X, si el tamaño muestral n es suficientemente grande X seráaproximadamente una distribución normal. Se tiene por tanto que si n es grande (en lapráctica, con más de 30 datos)

X ∼ N

µμ,

σ2

n

¶. (4.22)

Por tanto, la media muestral realizada con un número suficiente de datos es una variable aleato-ria simétrica y muy concentrada alrededor de la media poblacional, independientemente de cómosea la naturaleza de X. De esta forma, la media muestral con un tamaño muestral suficientementegrande proporciona una forma bastante precisa de aproximar la media poblacional μ. No olvidemosque en la práctica tendremos una sola muestra, y por tanto una sola realización de X. Por estarazón, es muy útil disponer de resultados teóricos tan interesantes como (4.22), que nos ayuden avalorar la fiabilidad de la media muestral. Nótese que el resultado (4.22) es independiente de ladistribución que siga X si n es grande. En los próximos temas obtendremos más conclusiones yconstruiremos procedimientos estadísticos basados en este resultado.


ANEXO B: Índices de capacidad

Los índices de capacidad comparan la capacidad del proceso con las especificaciones técnicasrequeridas. La capacidad del proceso (6σ) es una medida de la dispersión natural de la variable quemide la calidad del producto o servicio, pero no dice nada sobre si dicha calidad se ajusta o no a lasespecificaciones. Existen algunos analistas que desrecomiendan la utilización de estos índices. Suprincipal argumento es que resultan un resumen demasiado simplista de la evolución del proceso.Una segunda crítica a los índices es que son difíciles de interpretar si la variable de interés no sigueuna distribución normal. Bajo normalidad, el intervalo μ ± 3σ (longitud 6σ) recoge al 99,7% dela población, por lo que bajo normalidad la capacidad del proceso sí es una medida representativade cuál es el intervalo en el que estamos produciendo casi toda nuestra producción. Si no existenormalidad, es muy probable que el intervalo 6σ contenga una cantidad muy inferior al 99.7%. Laacotación de Tchevyshev permite saber que, independientemente de la distribución, en el intervaloμ ± 3σ estará, como mínimo, el 89% de la población. Por tanto, si asumimos normalidad y éstano se cumple, podemos estar cometiendo un error de apreciación de casi un 10%. Por lo tanto, losíndices de capacidad son un buen indicador de la calidad de un proceso, pero han de ser utilizadosconjuntamente con el resto de la herramientas estadísticas.

A continuación se muestran los índices de capacidad más habituales. En este apéndice se uti-lizará la siguiente notación:

LTS= límite de tolerancia superior

LTI=límite de tolerancia inferior

Asímismo, para la interpretación de los índices, se supondrá que la variable de interés se dis-tribuye normalmente.

Índice de capacidad CpEste índice se define como

Cp =LTS-LTI6σ

,

por tanto si Cp < 1, el proceso no será capaz de cumplir las especificaciones. Tradicionalmente sedice también que si Cp ≥ 1 el proceso es capaz. Actualmente, sin embargo, un índice de capacidadcercano a uno se considera insuficiente. Es frecuente utilizar el valor Cp = 4/3 ≈ 1,33 como límiteinferior de la calidad que debe tenerse en la práctica. Esto implica que

LTS-LTI6σ

=4

3⇒ LTS-LTI = 8σ

por tanto serían defectuosos aquellos artículos que estén a más de 4σ de la media; esto es, aproxi-madamente, 64 piezas por millón (bajo normalidad). Por esta razón se dice que

Si Cp < 1 el proceso no es capaz

Si Cp > 1,33 el proceso es capaz

Si 1 ≤ Cp ≤ 1,33 el proceso es capaz pero requiere un seguimiento muy estricto


Índices de capacidad unilaterales CpL y CpUEstos índices se utilizan cuando los límites de tolerancia son unilaterales. Por ejemplo, el nivel

de vibración de un motor, la tensión de rotura de un material, temperatura máxima que admiteun componente electrónico hasta que falle, etc. En estos casos, la tolerancia se mide desde el valornominal central hasta el valor extremo indicado por las especificaciones. Esta cantidad se comparacon 3σ. El índice CpL (o CpI) se utiliza cuando existe una especificación mínima, pero no unamáxima; mientras que el índice CpU (o CpS) se usa cuando se debe cumplir con una especificaciónmáxima. Estos índices se definen de la siguiente manera:

CpL =¯x− LTI3σ

,

CpU =LTS-¯x3σ

.

Cuando cualquiera de estos dos índices es menor que 1, el proceso no cumplirá las especificaciones.Por tanto, son también útiles cuando existen ambas especificaciones, mínima y máxima. Por ejem-plo, el proceso podría estar descentrado (la media ¯x no coincidir con el centro del intervalo deespecificaciones (LTS+LTI)/2). Es fácil comprobar que

Cp =LTS-LTI6σ

=1

2

(LTS− ¯x) + (¯x—LTI)3σ

=CpL + CpU

2.

Por tanto uno de los coeficientes podría ser menor que uno y compensarse con el otro y dar uncoeficiente Cp > 1, produciendo la falsa impresión de que el proceso es capaz. Por esta razón essiempre útil calcular estos dos índices.

Existen procesos en los que se conoce el valor nominal que debe cumplir la característica decalidad. Por ejemplo, la resistencia nominal de un componente eléctrico, o el radio de un cilindro,etc. En esos casos, en lugar de la media muestral ¯x habrá que usar dicho valor nominal μN . En esecaso, la definición de los índices sería:

CpL =μN − LTI

3σ,

CpU =LTS-μN3σ

.

Índice de capacidad unilateral mínimo CpkEste índice es el mínimo de los dos índices unilaterales, es decir:

Cpk = mın (CpL, CpU ) ,

y su interpretación es similar a los anteriores índices.

Índice de capacidad recíproco CrEste índice es el inverso de Cp, es decir, Cr = 1/Cp. Su interpretación es la siguiente:

Si Cr > 1, el proceso no es capaz


Si Cr < 0,75, el proceso es capaz

Si 0,75 ≤ Cr ≤ 1, el proceso es capaz pero precisa de un control estricto

Índice de capacidad modificado CpmEste índice es similar al Cp, salvo que utiliza el valor nominal μN en lugar de la media muestral

¯x en el cálculo de la desviación típica. Por tanto su definición es (estimando σ con k muestras detamaño n)

Cpm =LTS-LTI6σm

,

σm =

Pkj=1 sj,m

k,

sj,m =

rPni=1(xi,j − μN )

2

n.

Este índice es más conservador que Cp (es decir, suele salir más bajo). Suele ser más recomendablecuando se poseen pocos datos.

Coeficiente K

Este coeficiente es una medida de la descentralización del proceso. Se define como:

K =¯x− μN

12(LTS-LTI)

.

Si K > 0, el proceso tiene un sesgo hacia valores superiores al nominal (sesgo positivo), mientrasque si K < 0, el sesgo es hacia valores inferiores al nominal (sesgo negativo). Este índice no estárelacionado con la capacidad, por lo que un proceso puede ser no capaz y tener un valor de K bajo.

Coeficiente n-sigma

Este coeficiente consiste en la expresión de los límites de tolerancia en función de la desviacióntípica del proceso de la forma LTS-LTI=2nσ. Por tanto

n =LTS-LTI2σ

Esta definición de las tolerancias equivale a LTS= μ+ nσ y LTI= μ− nσ. Por tanto, un índice decapacidad Cp = 1 equivale a 3-sigma y Cp = 2 equivale a un nivel de calidad 6-sigma (en ingléssix sigma). Actualmente se considera que una organización ha alcanzado un cota muy alta decalidad si su nivel es 6-sigma. Por esta razón a los programas de formación en técnicas estadísticaspara la calidad se les suele denominar ’six-sigma training’, y muchas organizaciones y empresasrelacionadas con la calidad y la estadística suelen ponerse la etiqueta ’six-sigma’ en sus nombres.

Es frecuente interpretar el nivel de calidad n-sigma en términos de número de artículos defectu-osos por millón. Para ello hay dos posibles alternativas que suelen producir confusión. La primeraalternativa consiste en emplear estrictamente su significado (siempre se supone normalidad). Por


ejemplo, si el proceso está en estado de control y el nivel de calidad es 3-sigma, el 0.0027% de losartículos son defectuosos. También puede decirse en este caso que 2700 artículos por millón serándefectuosos.

Una segunda interpretación, popularizada por la empresa Motorola, consiste en calcular elnúmero de defectos por millón cuando se produce un desajuste en la media de±1,5σ, considerándoseque cualquier causa asignable puede fácilmente provocar este nivel de desajuste. Es útil, por tanto,comparar los límites de tolerancias con la dispersión total del proceso en esta situación de desajuste.En esta nueva situación, el 99,7% de la producción no estará entre ±3σ, sino entre ±4,5σ. Laproporción (tantos por millón) de artículos defectuosos que se producen con y sin el desajuste de1.5σ es, en función de los límites de tolerancia (LTS-LTI) y suponiendo normalidad, la siguiente:

Artículos defectuosos por millónCalidad nσ En estado de control Desajuste de ±1,5σ

1σ 317300 6977002σ 45500 3087003σ 2700 668104σ 63 62105σ 0.57 2336σ 0.002 3.4

Por ejemplo, un artículo defectuoso de entre 160 artículos equivale a una proporción de

1

160= 0,00625 = 6250× 10−6 ⇒ 6250 por millón,

que es, aproximadamente, un nivel de calidad de 4-sigma y equivale a un índice de capacidad de

Cp =8σ

6σ=4

3= 1,33,

que es considerado, como se mencionó anteriormente, el nivel mínimo de calidad que se debe tener.De esta forma, un sistema con nivel de calidad 6-sigma (six sigma) producirá, por término medio,3.4 artículos defectuosos por millón (ver artículo de Larry Seese, pag 38)


Anexo C: Tablas para gráficos de control

Gráficos de medias Gráficos para Rangos Gráficos para deviacionescon dispersión basada en típicas (corregidas)

Observaciones s : sT : R :en la muestra,n c2 c4 d2 D1 D2 D3 D4 B3 B4 B5 B6

2 0.5642 0.7979 1.128 0 3.686 0 3.267 0 3.267 0 2.6063 0.7236 0.8862 1.693 0 4.358 0 2.575 0 2.568 0 2.2764 0.7979 0.9213 2.059 0 4.698 0 2.282 0 2.266 0 2.0885 0.8407 0.9400 2.326 0 4.918 0 2.115 0 2.089 0 1.9646 0.8686 0.9515 2.534 0 5.078 0 2.004 0.030 1.970 0.029 1.8747 0.8882 0.9594 2.704 0.204 5.204 0.076 1.924 0.118 1.882 0.113 1.8068 0.9027 0.9650 2.847 0.388 5.306 0.136 1.864 0.185 1.815 0.179 1.7519 0.9139 0.9693 2.970 0.547 5.393 0.184 1.816 0.239 1.761 0.232 1.70710 0.9227 0.9727 3.078 0.687 5.469 0.223 1.777 0.284 1.716 0.276 1.66911 0.9300 0.9754 3.173 0.811 5.535 0.256 1.744 0.321 1.679 0.313 1.63712 0.9359 0.9776 3.258 0.922 5.594 0.283 1.717 0.354 1.646 0.346 1.61013 0.9410 0.9794 3.336 1.025 5.647 0.307 1.693 0.382 1.618 0.374 1.58514 0.9453 0.9810 3.407 1.118 5.696 0.328 1.672 0.406 1.594 0.399 1.56315 0.9490 0.9823 3.472 1.203 5.741 0.347 1.653 0.428 1.572 0.421 1.54416 0.9523 0.9835 3.532 1.282 5.782 0.363 1.637 0.448 1.552 0.440 1.52617 0.9551 0.9845 3.588 1.356 5.820 0.378 1.622 0.466 1.534 0.458 1.51118 0.9576 0.9854 3.640 1.424 5.856 0.391 1.608 0.482 1.518 0.475 1.49619 0.9599 0.9862 3.689 1.487 5.891 0.403 1.597 0.497 1.503 0.490 1.48320 0.9619 0.9869 3.735 1.549 5.921 0.415 1.585 0.510 1.490 0.504 1.47021 0.9638 0.9876 3.778 1.605 5.951 0.425 1.575 0.523 1.477 0.516 1.45922 0.9655 0.9882 3.819 1.659 5.979 0.434 1.566 0.534 1.466 0.528 1.44823 0.9670 0.9887 3.858 1.710 6.006 0.443 1.557 0.545 1.455 0.539 1.43824 0.9684 0.9892 3.895 1.759 6.031 0.451 1.548 0.555 1.445 0.549 1.42925 0.9696 0.9896 3.931 1.806 6.056 0.459 1.541 0.565 1.435 0.559 1.420

Capítulo 4 - est.uc3m.es · en la materia prima, horas punta del servicio y horas valle, etc. La...

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