CAPITULO 4 FILTRAJE ESPACIAL - Acervos Digitales...
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CAPITULO 4
FILTRAJE ESPACIAL
4.1 Introduccin
En este captulo se discute como aplicar el concepto de frecuencias espaciales, en el
plano de Fraunhofer. Para as obtener un sistema ptico que sirva para realizar filtrado
espacial de imgenes. La discusin se ilustra con un ejemplo y se muestra el filtrado del
patrn de difraccin de la rejilla circular para obtener el nulo luminoso que finalmente
representa el axicn.
Con la ayuda de un procesador ptico de imgenes, como el que se muestra en la
figura 4.1, es posible realizar operaciones de filtraje espacial en una imagen. Como se
vio en el capitulo anterior, cualquier funcin peridica puede ser aproximada por medio
del calculo adecuado de los coeficientes en su serie de Fourier y cada coeficiente de esta
serie equivale a una frecuencia en el espacio de frecuencias o tambin llamado plano de
Fraunhofer. Por lo que si se elimina una frecuencia se elimina la parte espacial
correspondiente.
4.2 Transformacin de Fourier
Se expresa a la distribucin de amplitud compleja de una onda como la superposicin
lineal de ondas planas del tipo
)(),( MyLxikeyx += , ( 4.1)
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En donde el vector de posicin en el plano z=0 es
kjyixr )0( ++=r . ( 4.2)
El vector de propagacin es
)( kNjMiLkk ++=r
. ( 4.3)
Las variables L, M y N son conocidas como los cosenos directores. Por lo que las
ondas planas en la ecuacin 4.1 se puede expresar tambin como
rkieyxrr=),(
)(2 yMxLie
+=
)(2 yxie += . ( 4.4)
En la ecuacin 4.4 se emplea la notacin
L= ,
M= . ( 4.5)
Las variables y son conocidas como las frecuencias espaciales.
Plano Objeto
Plano de FraunhoferLente
Convergente
Z
x
x
y
f
f
y
Figura 4.1. Dispositivo ptico para visualizar el patrn de difraccin de Fraunhofer
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En el plano de Fraunhofer una onda plana con vector de propagacin como en la
ecuacin 4.3 se visualiza como una mancha luminosa centrada en las coordenadas
(x,y), como se indica en la figura 4.1, tal que
xLf = , yMf = . ( 4.6)
Por lo que
fxL
== , f
yM
== . ( 4.7)
Ahora bien, la integral de superposicin toma en cuenta pesos relativos a cada onda
plana, con frecuencias espaciales ),( . En trminos matemticos se tiene que
+= ddeyx yxi )(2),(~),( ( 4.8)
Plano Objeto
Plano de FraunhoferLente
Convergente
Figura 4.2. Computadora ptica coherente
y x
f
Z
x y
f
f
x
f
y
Es la integral de superposicin que se denota como a la transformada de Fourier
inversa; a la onda plana se le denota como el kernel de la transformacin; y al factor de
peso representa la amplitud compleja de la onda plana.
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Es importante mencionar que si el sistema ptico mostrado en la figura 4.1 se le
complementa de forma simtrica, entonces se obtiene al sistema ptico que se muestra
en la figura 4.2
Fsicamente, la segunda mitad del sistema ptico de la figura 4.2 realiza la operacin
inversa a la realizada por la primera mitad de dicho sistema. Es decir, los puntos
luminosos que focalizan a la onda plana se reconvierten en la onda plana. En trminos
matemticos se tiene que
+ = ydxdeyxyx yyxxi )(2),(~),( . ( 4.9)
Si se coloca un objeto con transmitancia T(x,y) en el plano objeto y es iluminado con
una onda plana que viaja en direccin del eje z. Dado que el objeto es iluminado
uniformemente, la amplitud compleja en el plano del mismo debe ser proporcional a su
transmitancia, lo anterior es esquematizado en la figura 4.3.
xo
Periodo
x
Transmitancia 1
Figura 4.3 Tren de pulsos cuadrado y su amplitud
Por ejemplo, si se tiene una transmitancia formada por tren de pulsos cuadrados, como
se muestra en la figura 4.3 y representado por la funcin 4.10,
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=
=
1
1 0
)()()()(n x
ndxrectayrect
axrectxT , ( 4.10)
Teniendo en cuenta lo anterior, es posible filtrar espacialmente una imagen que est
formada por diferentes periodos con ayuda de una computadora ptica coherente,
mostrada en la figura 4.2. Esto se debe a que cada serie de puntos que forman la imagen
es representada por una frecuencia especfica en el plano frecuencial o plano de
Fraunhofer.
4.3 Filtraje espacial
El filtraje espacial puede ser explicado en 3 simples pasos. Primeramente se obtiene el
patrn de difraccin de Fraunhofer de la imagen a filtrar usando la primer parte de la
computadora ptica coherente, figura 4.4.
tf tf
Patrn de Fraunhofer
Lente
Rejilla
Figura 4.4. Obtencin del patrn de Fraunhofer de la imagen
A continuacin se coloca un filtro espacial elegido de tal manera que solamente deje
pasar la frecuencia escogida y finalmente se reconstruye la imagen con una segunda
lente positiva, como se ve en la figura 4.5.
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if ifFigura 4.5. Obtencin de la imagen una vez filtrada
Ejemplo 1 Filraje espacial de una imagen 2D
En la figura 4.6 se muestra la imagen a filtrar la cual fue impresa en escala de grises
con la finalidad de que la computadora le asigne una densidad de puntos diferente a
cada escala de gris, como se muestra en la imagen 4.7. Cabe notar que existe una
restriccin en campo visual de los resultados debido a que se utiliz una cmara CCD de
0.5cm2 para grabarlos.
Figura 4.6 Imagen a filtrar
Figura 4.7 Ampliacin de 60x de la imagen a filtrar
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El patrn de Fraunhofer de esta imagen se muestra en la figura 4.8. Se denomina una
matriz de puntos cuyo centro es la coordenada (0,0).
Fig. 4.8 Patrn de Fraunhofer de la imagen a filtrar
La frecuencia espacial mas baja de la figura 4.6 es representada en patrn de
difraccin de Fraunhofer con en el centro del patrn denominado el orden cero, (0,0).
Las dems frecuencias espaciales por las que esta formada la figura 4.6 son
representadas por los puntos luminosos restantes. En donde su distancia al centro del
patrn es proporcional a su frecuencia. Por lo que las frecuencias altas se encuentran
lejos del centro del patrn de Fraunhofer y las frecuencias ms bajas (periodos mas
grandes) cerca de l.
Se define el ruido como los puntos en la imagen con periodo que tienda a infinito, por
lo que ste contribuye al orden cero en el patrn de difraccin. Sin embargo si se filtra
solamente el orden cero se puede observar que su naturaleza es la de una constante ya
que sta es de periodo infinito.
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Fig. 4.10 Filtraje del orden (0,0)
Fig. 4.9 Imagen filtrada con el orden (0,0)
En la imagen anterior se puede observar como es que la imagen a filtrar esta formada
en su mayora por ruido, figura 4.9. Debido a que se sigue formando la imagen despus
de haber filtrado el orden (0,0) ms una pequea vecindad; sin dejar pasar el siguiente
orden, figura 4.10.
A continuacin se pueden apreciar las diferentes frecuencias por la que esta formada
la imagen. Dejando pasar los rdenes (1, 1):
Fig. 4.12 Filtraje de los rdenes (1, 1)
Fig. 4.11 Imagen filtrada con los rdenes (1, 1)
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Y finalmente los rdenes (0, 2) y (2,0):
Fig. 4.14 Filtraje de los rdenes (0, 2) y (2,0)
Fig. 4.13 Imagen filtrada con los rdenes (0, 2) y (2,0)
Despus de haber visto que es factible el filtrado espacial de una imagen se puede
proseguir a una de las partes primordiales de esta tesis. El filtrado del patrn de
Fraunhofer que se forma al iluminar uniformemente una rejilla circular; se discute a
continuacin.
4.4 Filtraje espacial de la rejilla circular
Debido a las necesidades de evitar la mayor prdida de energa posible en el patrn de
difraccin de Fraunhofer y ahorrar espacio sobre la mesa ptica es necesaria la
implementacin del sistema ptico que se muestra en la figura 4.15.
Se tiene una rejilla circular binaria que est formada por un tren de pulsos cuadrados
de simetra radial colocada inmediatamente detrs de la lente, L1, y su patrn de
difraccin, figura 4.16, es formado en el plano donde se forma la imagen de la fuente
puntual.
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Rejilla circular Plano de Fraunhofer
2f1 f2
x
z
L1 L2 Haz objeto y y
x
Figura 4.15 Sistema ptico para estudiar el patrn de difraccin producido por una rejilla circular
Antes del filtraje espacial se realiza un barrido del perfil de intensidad del patrn de
difraccin con un sensor de luz (Pasco, M.R.), figura 4.17, para poder determinar el
radio de los nulos concntricos.
El radio del primer nulo o primer orden es de 2.1 x 10-3m y 4.2 x 10-3m para el
segundo nulo o tercer orden; ya que como se vio en captulos anteriores, el segundo
orden es suprimido.
x
Figura 4.16 Patrn de difraccin de Fraunhofer de la rejilla circular
r1r2
y
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F igura 4.17 Perfil de irradiancia axial en x del patrn de difraccin de la
rejilla circular
Irrad
ianc
ia (%
)
Posicin (m)
r2 r1
Irrad
ianc
ia (%
)
Posicin (m)
r2 r1
El filtraje espacial de los diferentes ordenes y combinaciones entre estos se muestra en
la tabla 4.1. Colocando la tabla horizontalmente, la columna de la izquierda denota el
orden del patrn de Fraunhofer filtrado y en la siguiente columna se ve su imagen. En la
tercer columna se muestra la imagen es que formada el filtrado correspondiente y en la
siguiente el barrido de su perfil de irradiancia.
No es posible notar que la imagen formada por un nulo est formada por una funcin
Bessel de clase uno y orden cero como se esperaba. Debido a que la manera en que es
posible de medir el perfil de irradiancia de las imgenes es sobre su fotografa y el CCD
con el que fueron tomadas se encuentra saturado. Sin embargo, su geometra es
suficiente para mostrar que se logra la generacin de una rejilla no-binaria.
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Perf
il de
irra
dian
cia
Imag
en fi
ltrad
a
Patr
n de
Fra
unho
fer
Ord
en
filtra
do
Cer
o,
uno,
tres
Cer
o
Uno
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Perf
il de
irra
dian
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Imag
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ltrad
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Patr
n de
Fra
unho
fer
Ord
en
filtra
do
tres
Cer
o y
uno
Uno
y tr
es
Tabla 4.1 Filtraje espacial de la rejilla circular
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Dados los resultados experimentales se muestra claramente que una imagen pierde
informacin al filtrarle cualquier orden de su patrn de difraccin de Fraunhofer.
En cuanto a las estructuras binarias, se puede observar que las frecuencias ms altas
son las que contribuyen a la formacin de los bordes del pulso cuadrado del que est
formada dicha estructura.
Tambin se puede observar que el perfil de irradiancia con la geometra deseada para
representar el CHG del axicn se obtiene al dejar pasar el orden uno. Debido a que se
genera una rejilla no binaria de crculos concntricos.
A continuacin se estudian 3 rejillas circulares con diferente periodo con el fin de
seleccionar la rejilla que produzca el patrn de difraccin adecuado para representar el
elemento ptico novedoso que ser grabado en pelcula hologrfica.
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Referencias
[1] J. Goodman, Introduction to Fourier optics, McGraw-Hill, San Francisco, 1968
[2] J. Dyson, Circular and spiral diffraction gratings, Royal Soc. of London, 93-106
(1958)
[3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, EUA, 1989.
[4] O. Brygdahl, Radial and circular fringe interferogramas, J. Opt. Soc., 9, 1098-
1104, (1973)
[5] A. Burvall, Axicon imaging by scalar diffraction theory, Royal Institute of
Technology, Tesis Doctoral, Suecia, (2004)
[6] J. H. Mcleod, The axicn: a new type of optical element, J. Opt. Soc. Am. 44,
592 (1954)
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