capitulo 4, utilidad

8/14/2019 capitulo 4, utilidad

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Captulo 4

Utilidad


2/74


3/74

x Completas: para cualquier par decanastas x e y siempre es posibledeterminar que

x y

x y x.

~f

~

f


4/74

x Reflexivas: cualquier canasta x essiempre al menos tan preferidacomo ella misma.

x x.~

f


5/74

x Transitivas: six es al menos tan preferida comoy, yy es al menos tan preferida como z,entoncesx es al menos tan preferida como z.

x y e y z x z.

~f ~f ~f


6/74

Funciones de Utilidad

x Una relacin de preferencia que escompleta, reflexiva, transitiva ycontnua puede ser representadapor una funcin de utilidadcontnua.

x Continuidad significa que cambios

pequeos en la canasta deconsumo provocan cambiospequeos en el nivel depreferencia..


7/74

x Una funcin de utilidad U(x)representaa una relacin depreferencias si y slo si:

x x U(x) > U(x)

x x U(x) < U(x)

x x U(x) = U(x).

~

fpp


8/74

x La utilidad es un concepto ordinal.x Por ejemplo, siU(x) = 6 y U(y) = 2

entonces la canasta x esestrctamente preferida a lacanasta y. Pero x no es tres vecespreferida a y.


9/74

Funciones de Utilidad y Curvas deIndiferencia

x Consideremos las canastas (4,1), (2,3) y(2,2).x Supongamos que

(2,3) (4,1) (2,2).x Asignemos a estas canastas nmeros

cualquiera que preserven el orden depreferencias:

por ejemplo:

U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.x A etos nmeros los denominamos niveles

de utilidad.

p


10/74

x Una curva de indiferencia contienecanastas igualmente preferidas.

x

Igualmente preferida

el mismo nivelde utilidad.x En consecuencia, todas las canastas

en una curva de indiferencia tienenel mismo nivel de utilidad.


11/74

x As, las canastas (4,1) y (2,2) estnen la curva de indiferencia con unnivel de utilidad U 4

x

Pero la canasta (2,3) est en la curvade indiferencia con un nivel deutilidad U 6.

x Sobre un grafico, estas curvas de

indiferencia se presentan as:


12/74

U 6U 4

(2,3) (2,2) (4,1)

x1

x2 p


13/74

x Otra forma de visualizar la mismainformacin es graficando el nivelde utilidad sobre el eje vertical.


14/74

U(2,3) = 6

U(2,2) = 4U(4,1) = 4

Grafico en 3D de niveles de consumo

y utilidad de tres canastas

x1

x2

Utilidad


15/74

x Esta visualizacin en 3D de laspreferencias nos puede brindarmayor informacin siincorporamos las curvas deindiferencia.


16/74

U 4

U 6

Curvas de indiferenciams altas contienencanastas ms preferidas.

Utilidad

x2

x1


17/74

x Comparando ms canastas seconstituye una coleccin mayor decurvas de indiferencia y una mejordescripcin de las preferencias delconsumidor.


18/74

U 6U 4U 2

x1

x2


19/74

x Como antes, estas pueden servisualizadas en 3D graficando cadauna de las curvas a una altura

correspondiente a su nivel deutilidad.


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U 6U 5U 4U 3U 2U 1

x1

x2

Utilidad


21/74

x La comparacin de todas las canastasde consumo posibles nos entregauna completa coleccin de curvas

de indiferencia, a cada una de lascuales se les asigna un nivel deutilidad.

x Esta conjunto de curvas deindiferencia representa laspreferencias del consumidor.


22/74x1

x2


23/74x1

x2


24/74x1

x2


25/74x1

x2


26/74x1

x2


27/74x1

x2


28/74x1


29/74x1


30/74x1


31/74x1


32/74

x1


33/74

x1


34/74

x1


35/74

x1


36/74

x1


37/74

x1


38/74

x El conjunto de todas las curvas deindiferencia para una relacin depreferencia dada, es un mapa de

indiferencia.x Un mapa de indiferencia es

equivalente a la funcin de utilidad.


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Funciones de Utilidad

x No hay una funcin de utilidad nicaque represente a una relacin depreferencias.

x Supongamos que U(x1,x2) = x1x2representa una cierta relacin depreferencia.

x

Ahora volvamos a considerar lascanastas (4,1), (2,3) y (2,2).


40/74

x U(x1,x2) = x1x2, entoncesU(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;

es decir, (2,3) (4,1) (2,2).


41/74

x U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).

x Definamos V = U2.

p


42/74

x Entonces V(x1,x2) = x12x22 yV(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16en consecuencia

(2,3) (4,1) (2,2).x V representa los mismos rdenes de

utilidad que U y entonces representa

las mismas preferencias.

p

p


43/74

x U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).x Definamos W = 2U + 10.x

p


44/74

x Entonces W(x1,x2) = 2x1x2+10 y entonces

W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18.

Y de nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).x W representa el mismo rden de

preferencias de U y de V y entoncesrepresenta las mismas preferencias.

p

p


45/74

x

Si U es una funcin de utilidad que

representa a una relacin depreferencias y

f es una funcin estrctamentecreciente,x Entonces V = f(U) es tambin una funcin

de utilidad representativa de la mismarelacin de preferencias.


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Bienes, Males, Neutros

x Un bien es bien cuando una unidadadicional incrementa la utilidad (nos duna canasta ms preferida).

x Un mal es un bien cuando una unidad

adicional disminuye la utilidad (nos duna canasta menos preferida).

x Un bien neutro es un bien cuando unaunidad adicional no cambia la utilidad

(nos d una canasta igualmentepreferida).


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Utilidad

Aguax

Unidadesque sonbienes

Unidadesque sonmales

Alrededor de x unidades, una cantidad adicional deagua es un bien neutro.

FuncinUtilidad

Al f i d ilid d


48/74

Algunas otras funciones de utilidad ysus curvas de indiferencia

x En vez de U(x1,x2) = x1x2consideremos

V(x1,x2) = x1 + x2.Cmo se presentan las curvas de

indiferencia de esta funcin?

C d i dif i d


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Curvas de indiferencia desustitutos perfectos

5

5

9

9

13

13

x1

x2 x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

V(x1,x

2) = x

1+ x

2.


50/74

5

5

9

9

13

13

x1

x2 x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

Todas son lneales y paralelas

V(x1

,x2

) = x1

+ x2

.


51/74

x En vez de U(x1,x2) = x1x2 V(x1,x2) = x1 + x2, consideremos

W(x1,x2) = mn{x1,x2}.Cmo se presentan las curvas de

indiferencia de esta funcin?

C d i dif i d


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Curvas de indiferencia decomplementarios perfectos

x2

x1

45o

mn{x1,x2} = 8

3 5 83

5

8

mn{x1,x2} = 5

mn{x1,x2} = 3

W(x1,x2) = mn{x1,x2}


53/74

x2

x1

45o

mn{x1,x2} = 8

3 5 8

35

8

mn{x1,x2} = 5

mn{x1,x2} = 3

Todas son ngulos rectos con vertices en el rayo

que parte del orgen.

W(x1,x2) = mn{x1,x2}


54/74

x Una funcin de utilidad de la forma

U(x1,x2) = f(x1) + x2

es lneal en x2 y se conoce comocuasi lineal.x Por ejemplo:

U(x1,x

2) = 2x

1

1/2 + x2.


55/74

Curvas de indiferencia cuasi lineales

x2

x1

Cada una de las curvas es una copiaverticalmente desplazada de las otras.


56/74

x Cualquier funcin de utilidad de la forma

U(x1,x2) = x1ax2b

con a > 0 y b > 0 se conoce como

funcin de utilidad Cobb-Douglas.x Por ejemplo:

U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2)V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)


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Curvas de indiferencia Cobb-Douglasx2

x1

Todas las curvas sonhiprbolas, asintticaspero nunca tocan los ejes.


58/74

Utilidd Marginal

x Marginal significa incremental.x La utilidad marginal de un bien es la tasa

de cambio de la utilidad total cuando la

cantidad del bien i cambie. Por ejemplo:

i

i

x

UTUMg

=


59/74

x Por ejemplo si U(x1,x2) = x11/2 x22 entonces

2

2

2/1

1

1

1

2

1xx

xUTUMg

==


60/74

x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22entonces

2

2

2/1

1

1

1

2

1 xxx

UTUMg

==


61/74

x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces

2

2/1

1

2

2 2 xxx

UTUMg ==


62/74

x Por ejemplo, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces

2

2/1

1

2

2 2 xxx

UTUMg ==


63/74

x As, siU(x1,x2) = x11/2 x22 entonces

2

2/1

1

2

2

2

2

2/1

1

1

1

2

2

1

xxx

UTUMg

xxx

UTUMg

==

==

Utilidd Marginal y Tasa


64/74

Utilidd Marginal y TasaMarginal de Sustitucin

x La ecuacin general para una curva deindiferencia esU(x1,x2) k, donde k es una constanteLa diferencia total de esta identidad es:

022

1

1

=+ dx

x

Udx

x

U


65/74

022

1

1

=+ dxxUTdx

xUT

1

1

2

2

dx

x

UTdx

x

UT

=

Reordenando:


66/74

1

1

2

2

dxx

UTdx

x

UT

=

reordenando

y

./

/

2

1

1

2

xUT

xUT

xd

xd

=

sta es la TMgS.

Utilidad Marginal y Tasa Marginal


67/74

Utilidad Marginal y Tasa Marginalde Sustitucin, un ejemplo.

x Supongamos que U(x1,x2) = x1x2. entonces

11

2

22

1

)1)((

))(1(

xxx

UT

xxx

UT

==

==

.//

1

2

2

1

1

2

xx

xUTxUT

xdxdTMgS ===


68/74

1

2

xxTMgS =

TMgS(1,8) = - 8/1 = -8TMgS(6,6) = - 6/6 = -1.

x1

x2

86

1 6U = 8

U = 36

U(x1,x2) = x1x2;

Tasa Marginal de Sustitucin para


69/74

Tasa Marginal de Sustitucin parafunciones de utilidad cuasi lineales

x Una funcin de utilidad cuasi lineal es dela forma U(x1,x2) = f(x1) + x2.

)( 11

xfx

UT=

12

=

x

UT

).(/

/1

2

1

1

2 xfxUT

xUT

xd

xdTMgS ===


70/74

x La TMgS = - f (x1) no depende dex2 en consecuencia, la pendientede las curvas de indiferencia parauna funcin de utilidad cuasi lineales constante a lo largo decualquier de cualquier lneal para

la cual x1 es constante.Cmo esel mapa de curvas de indiferenciaen este caso?


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x2

x1

Cada una de las curvas es una

copia verticalmente desplazada delas otras.

TMgS es una

constante a lolargo de la lneapara la cual x1 esconstante.

TMgS =- f(x1)

TMgS = -f(x1)

x1 x1

Transformaciones Monotnicas y


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Transformaciones Monotnicas yTasa Marginal de Sustitucin

x Aplicar una transformacinmonotnica a una funcin deutilidad crea otra funcin de

utilidad que representa a la mismarelacin de preferencias.x Pero, qu sucede con la TMgS

cuando se aplica unatransformacin monotnica?


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x Para U(x1,x2) = x1x2 la TMgS = - x2/x1.

x Creamos V = U2; V(x1,x2) = x12x22.

Cul es la TMgS para V?

que es la misma TMgS para U.

1

2

2

2

1

2

21

2

1

2

2

/

/

x

x

xx

xx

xV

xVTMgS ===


74/74

x De manera ms general, si V = f(U) donde f esuna funcin estrctamente creciente, entonces

2

1

2

1

/)('

/)(

/

/

xUUf

xUUf

xV

xVTMgS

==

=

U x

U x

/

/

.1

2En consecuencia, la TMgS no cambia por unatransformacin monotnica Positiva.

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