Hugo Grisales RomeroProfesor titular

CAPÍTULO 5

DISTRIBUCIONES TEÓRICAS

Experimento: Proceso por medio del cual una medición se obtiene.

Variable Aquella que toma diferentes valores como resultado de unaleatoria: experimento aleatorio.

Clasificación: Discretas y Continuas

• Discreta: Toma un número limitado de valores enteros.

• Continua: Toma cualquier valor o resultado dentro de un intervalo.

Distribución de Probabilidad: Posibles resultados de un experimento y sus posibilidades de ocurrencia.

La distribución de frecuencias que se observa para una variable aleatoria esla base para construir una distribución de probabilidad.

Su cálculo exige dividir la frecuencia absoluta de cada resultado entre el totalde resultados (frecuencia relativa).

CONCEPTOS BÁSICOS

Un suceso que solo puede presentar dos resultados independientes

EXITOProbabilidadde Éxito=P

FRACASOProbabilidad deFracaso=q=1-p

• V.A.X=“Número de éxitos en n repeticiones independientes del suceso”

• Posibles valores de la V.A.X:0,1,2,...,n

• Parámetros: n,p

( ) ( )

( )( )( )( )pn,x;B X Simbolismo

Varianza

XE Media!!

!

,...,2,1,0

2 npqXV

npxnx

nxn

nxqpxn

xXPxf xnx

==

==

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −

σ

μ

∼

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Función de distribución

Ejemplo 1: La llegada tarde a un consultorio odontológico particular de losempleados, en total 5, se ha determinado que tiene una probabilidad de 0.40.¿cuál es la probabilidad de que lleguen tarde:a) Todosb) Ningunoc) Como máximo 3d) A lo menose) Entre 2 y 4

Ejemplo 2.- Un examen de admisión a una IPS como auxiliar de odontologíaestá compuesto de 15 preguntas, con 5 posibles respuestas cada una, de lascuales sólo una es correcta. Uno de los aspirantes que realiza el examencontesta las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contestecorrectamente:a) 7 preguntas?b) Al menos 10?c) A lo más 5 preguntas?d) Entre 7 y 10?

• V.A.X “N° de sucesos o eventos en una unidad de medida, intervalo de tiempo, espacio o volumen”

• Parámetro: λ N° promedio de sucesos por unidad de medida.

• Posibles valores de la V.A.X: 0,1,2,...,∝.

• Proporciona un modelo para eventos raros .

( ) ( )( )( )

( )λλσ

λμ

λλ

;

,...2,1,0!

2

xpXSimbolismoXVVarianza

XEMedia

xx

xXPxfx

==

==

∞====−l

∼

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Función de distribución

Supuestos:• Existe un promedio λ constante, que representa el valor promedio de y.• Los eventos ocurren en el espacio, tiempo volumen o cualquier otra

unidad .• Los eventos son independientes.

Caso I Uso directo de la distribución Poisson.

Ejemplo 3- Se sabe que en un consultorio odontológico asisten en promediodiariamente 8 pacientes con enfermedad periodontal. Suponiendo que elnúmero de pacientes que asiste diariamente sigue una distribución dePoisson, encuentre la probabilidad de que en un día determinado, hayan idoal consultorio:a) Exactamente 6 pacientesb) Como máximo 6c) Cómo mínimo 5d) Menos de 5e) Entre 3 y 7 inclusivef) Entre 3 y 7 exclusive

Caso II. Distribución de Poisson como aproximación de la Binomial.

• El modelo Poisson aproxima al modelo binomial si n≥20 y p≤0.05.

• Si n≥100 y np≤10: la aproximación es excelente.

• λ = np: Promedio de ocurrencias por unidad de tiempo, volumen o espacio,

Ejemplo 4Se sabe que al 5% de los pacientes que asisten a un consultorioodontológico se les hace un procedimiento equivocado. Calcular laprobabilidad de que haya un procedimiento equivocado en 2 de 100pacientes atendidos.• n = 100• E: Que haya un procedimiento equivocado, F: Que no haya procedimiento

equivocado• p = .05, q = .95• Independientes.• Y ~ el número de pacientes a quienes se les hizo un procedimiento

equivocado, Y = 0,1,2,3,…,100.

n = 100 y p = 0.05, se aproxima a la Poisson. Así, λ = np = 100*.05 = 5Promedio del número de procedimientos equivocados.

084224337.0!2

)71828128.2(25!2

5)2(

552

====−−e

YP

Ejemplo 5: Una compañía de seguros contra incendios tiene 3840 asegurados.Si la probabilidad de que alguno de ellos presente una reclamación en un añocualquiera es 1/1200, calcular la probabilidad de que a lo más 3 de losasegurados presenten una reclamación en un año cualquiera.

• n = 3840 > 100• E: que presenten reclamación, F: que no presenten reclamación• p = 1/1200 = .000833 < .05, q = .99917• Son independientes las reclamaciones• Los valores que puede tomar Y = 0, 1, 2,…,3840

λ=np=3840(1/1200)= 3.2 :Promedio de reclamaciones en un año cualquiera.

P(Y≤3) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3)= 0.6025

• Abraham de Moivre, 1733.

• Es la distribución continua más importante de probabilidad.2 2( ) / 21( )

2xf x e μ σ

πσ− −=

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Características:

• Hay familias de distribuciones normales.

• El punto más alto es la media.

• La distribución de probabilidad normal es simétrica (Asimetría =0).

• Es asintótica

• Las desviaciones estándares determinan el ancho de la curva.

• Coeficiente de apuntamiento=3

En esta distribución, la esperanza, μ = 0 y su desviación típica σ = 1.

Función de densidad se reduce a :

.x 2

2xe

2π1f(x) ∞<<∞−

−=

La Distribución Normal Estándar (N(0,1)

Funciones de densidad de probabilidad normales para diferentes valores de μ y σ2.

Ejemplo 6: En un programa de entrenamiento de auxiliares de odontología cuyacantidad de horas depende que ellas adquieran las destrezas necesarias, laduración promedio es de 500 horas, con una desviación estándar de 100 hrs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa? Rpta: 0.5

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una candidata elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa? (Rpta: 0.4332)

Ejemplo 7: La jefatura de una gran entidad estatal de salud ocupacionaltiene como meta reducir los tiempos de respuesta a quejas de sustrabajadores afiliados que asisten a sus sucursales. Un grupo de expertosintenta identificar a las sucursales cuyos tiempos de respuesta estén 10%más bajos, o quienes toman más del 90%. Las primeras serán las máseficientes. Los datos muestran que los tiempos promedio de respuestapara una sucursal es de 12.8 minutos, con una desviación estándar de 3.7minutos. ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo promedio de respuesta seacomo máximo 5 minutos?

P (X<5)=P(Z<-2.1)=0,0179σμ−

=xz

7.38.125z −

= 1.27.3

8.125Z −=−

=

Ejemplo 8: Los diámetros de los tornillos fabricados por una compañíaestán distribuidos normalmente con media 0,25 pulgadas y desviaciónestándar 0,02 pulgadas. Se considera defectuoso un tornillo si su diámetroes menor o igual que 0,20 pulgadas o mayor que 0,28 pulgadas.a) Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos por la compañía.b) Si se escoge un tornillo al azar, cual seria la probabilidad de que tenga

un diámetro entre 0,24 y 0,26 pulgadas.c) Si se escoge un tornillo al azar, cual seria la probabilidad de que tuviesemas de 0,24 pulgadas.

- Sea X: Diámetro de un tornillo en pulgadas: X es N(0.25,0.022)

a) Un tornillo es defectuoso si X>0.28 ó X<0.20 . Se pide: P(X<0.20)+P(X>0.28)

0,0730.06680,0062

1,5)P(Z2,5)P(Z)0.02

0,250.28P(Z)0.02

0.250.20P(Z0.28)P(X0.20)P(X

=+

=>+−<=−

>+−

<=>+<

b) P(0.24<X<0.26)=

3830.03085.06915.0)5.0Z(P)5.0Z(P

)02.0

25.024.002.0

25.0X(P)02.0

25.026.002.0

25.0X(P)24.0X(P)26.0X(P

=−=−<−<

=−

<−

−−

<−

=<−<

c) P(X>0.24)=1-P(X<0.24)=1-P(Z<(0.24-0.25)/0.02)=1-P(Z<-0.5)=1-0.3085

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA • Distribución del tipo continuo.

• De amplio uso en Inferencia Estadística.

Propiedades de la distribución• Asume valores mayores o iguales a cero.• Es asimétrica. Tienen colas estrechas sesgadas a la derecha. • Cuando n>2, la media es n-1 y la varianza es 2(n-1). • El valor modal de una distribución se da en el valor (n-3).

Función de densidad de la distribución

Valor crítico de una distribución Ji-cuadrada a un nivel del 0,05 y 6 grados de libertad.

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT• Distribución del tipo continuo.

• Fue definida por W.S. Gosset a principios del siglo XX.

• Uso para n’s <= 30 y la desviación estándar de la población no se conoce.

Propiedades de la distribución t• Es una curva simétrica.

• Es más plana que la normal pero con colas más anchas.

• Su media es menor que la de una distribución normal.

Parámetro de la distribución t: Grados de libertad

Número de valores que se pueden elegir libremente en una muestra.

Ejemplo 15: Supóngase una muestra de dos datos cuyo promedio es 18. Esdecir: (a+b)/2 = 18. Si a toma un valor de 10, entonces b ya no es libre detomar cualquier valor, ya que sólo le queda 26. ES decir, se tiene n-1 g.l

Tabla de la distribución t de Student

• Muestra áreas y valores de t sólo para algunos porcentajes.

• Algunos textos muestran niveles de significación u otros confianzas.

• Se debe especificar los grados de libertad que se manejan.

Ejemplo 16: Si n=10, y α =5%, hallar t(α, n) para una y dos colas..

Ejemplo 17: Si n= 20, y α =10%, hallar t (α, n) para una y dos colas.

DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR• Distribución del tipo continuo.

• De amplio uso en Diseño de Experimentos y Control de calidad.

Propiedades de la distribución F• Nunca adopta valores menores de 0.• Es asimétrica positiva. • Depende de dos parámetros, grados de libertad del numerador y del

denominador.

Representación típica de la función de densidad de una F para varios grados de libertad

¿Cuándo usar esta distribución?

Es la distribución de la razón de dos varianzas en dos poblaciones.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de una razónespecífica con v1=n1-1 y v2=n2-1 g.l en muestras de tamaño n1 y n2.

Permite hacer cálculos sobre varianzas y atribuir cambios importantesen el comportamiento de las poblaciones en estudio.

0x

22v1v

1x*2v1v*

22v*

21v

121v

x*21v

2v1v*

22v1v

)x(f

densidadFunción

>+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

=

Forma de la curva de esta distribución según v1 y v2

¿Cómo usar las tablas?

Extraer muestras de dos poblaciones y estimar las desviaciones estándar.

Determinar los grados de libertad (v1 y v2) tal que v1=n1-1 y v2=n2-1.

Calcular el valor de F=s12/ s2

2.

Si se conocen las varianzas entonces F=(s12 *σ2

2) / (s22 * σ1

2).

Localizar la probabilidad asociada a los valores de F, v1 y v2. Puede interpolar.

Ejemplo 18: Si F es igual 3.28 con v1=12 y v2=8 grados de libertad, el valorde la probabilidad menor que el es 0.95, pues se localiza en la segundacolumna a la izquierda tal y como se muestra a continuación.

Algunas distribuciones de probabilidad discretas y continuas