Capítulo 6. Álgebra vectorial

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PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 6. Álgebra Vectorial

Para conceptos como velocidad, aceleración y fuerza, es necesario especificar lugar y dirección en los que se aplican. DEFINICIÓN. Una cantidad o magnitud es escalar si para señalarla basta su magnitud, esto es, su medida, su tamaño. Ejemplos: cinco engranes, 12 horas, ocho varillas, 12 ohms. DEFINICIÓN. Una cantidad o magnitud es vectorial, o simplemente vector, cuando para expresarla es necesario determinar su magnitud y su dirección. El sentido está inmerso en la dirección y sólo se hablará de magnitud y dirección. Cantidades vectoriales: velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético. DEFINICIÓN. Segmento dirigido es una porción de una recta del que se conocen su origen y su final.

En álgebra lineal se utiliza el término vector para cada elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial.

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Un vector se representa con un segmento dirigido, donde la magnitud es el tamaño del segmento y la dirección es la trayectoria recta en la que está ubicado el segmento, junto con la “punta” de la flecha del mismo. Un vector es libre si se representa con infinidad de segmentos dirigidos con la magnitud y la dirección del vector. Los vectores se denotan con letras minúsculas testadas, por ejemplo: , ,a v m . Analíticamente es una terna ordenada de números reales como

1 2 3, ,a a a a , que se llaman componentes escalares o números directores del vector. DEFINICIÓN. Sea el vector 1 2 3, ,v v v v geométricamente

representado por el segmento dirigido denotado por AB con su origen en 1 2 3, ,A a a a y su final en 1 2 3, ,B b b b . Entonces las

componentes escalares del vector v son: 1 1 1 2 2 2 3 3 3; ;v b a v b a v b a

Ejemplo. Obtener las componentes escalares del vector w si está representado por el segmento dirigido PQ donde 5, 2,4P y

2,6, 7Q Solución.

2 5 , 6 2 , 7 4 7, 8, 11w w Ejemplo. Determinar las coordenadas del origen y final de dos segmentos dirigidos que representen al vector 0, 2, 6b .

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Solución. Un segmento dirigido podría ser el OP con el punto origen en 0, 0, 0O y el punto final en 0,2,6P . Otro, aquel cuyo punto origen es 1,5,8M y su punto final en 1,7,14N . Ejemplo. El punto del origen de un segmento dirigido AB , dado por el punto 2, 4, 5A , representa al vector 3, 9, 0u . Determinar las coordenadas del punto final del segmento dirigido. Solución. Basta con sumar a las componentes del vector u , las coordenadas del punto origen del segmento, es decir, del punto A . Así,

1 1

2 2

3 3

2 3 14 9 55 0 5

b bb bb b

Las coordenadas del punto final del segmento son 1, 5,5B . OPERACIONES CON VECTORES DEFINICIÓN. Un vector es nulo o cero aquel cuya magnitud, es decir, su tamaño geométrico es cero y su dirección y sentido no están determinados. Se denota con:

0 0, 0, 0 DEFINICIÓN. Se llama vector de posición al que tiene su punto origen o punto inicial en el origen del sistema coordenado 3 y su punto final en un determinado punto 1 1 1, ,P x y z de 3 . Es la forma vectorial de definir la ubicación de un punto en un sistema coordenado de dos o tres dimensiones. Por ello las

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coordenadas del punto son iguales a las componentes de su vector de posición. En la figura, el segmento OP es el vector de posición del punto 1 1 1, ,P x y z . El punto inicial es O y el final es P

DEFINICIÓN. La magnitud o módulo de un vector es su tamaño, esto es, su longitud como segmento dirigido. Se denota con v .

El módulo, conocido como norma en Álgebra Lineal, se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.

En el triángulo rectángulo O Q R , la hipotenusa " "s equivale a:

2 21 1s x y

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y en el triángulo rectángulo OPQ , la hipotenusa v , que es el

módulo del vector v se obtiene a partir de: 2 2 2 2 2

1 1 1 1v s z v x y z Es evidente que la magnitud del vector nulo es cero. DEFINICIÓN. Un vector es unitario si su módulo es la unidad. Los vectores unitarios son importantes y trascendentes en diferentes áreas de matemáticas y de física. Tres vectores de gran utilidad en el Álgebra Vectorial son los vectores unitarios

1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1i j k

Es conveniente coronar a las letras que definen a vectores unitarios con una testa de cuña invertida, como se observa. Gráficamente, se muestran a continuación:

DIRECCIÓN DE UN VECTOR DEFINICIÓN. Un vector se representa con un segmento dirigido y se llaman ángulos directores del vector a los ángulos que forma el segmento con los ejes coordenados.

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Se denota con al ángulo que forma con el eje de las abscisas, con al que forma con el eje de las ordenadas y con al que forma con el eje de las cotas. Estos ángulos varían entre 00 y 0180 y definen la dirección del vector. En la figura se pueden apreciar estos ángulos para un vector v .

Ejemplo. Sea a un vector cuyos ángulos directores son:

0 0 00 ; 90 ; 90 Determinar los ángulos directores de otro vector b que tenga la misma magnitud, pero dirección contraria al vector a . Solución. Los ángulos directores del vector b son:

0 0 0180 ; 90 ; 90 En la figura se señalan los ángulos directores:

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DEFINICIÓN. Los cosenos directores de un vector son los cosenos de sus ángulos directores. Así, para un vector 1 2 3, ,v v v v , sus cosenos directores equivalen a:

31 2cos ; cos ; cos vv vv v v

Si el ángulo es de 00 , el coseno director es la unidad; si el ángulo es de 0180 , es menos uno; si el ángulo es agudo, es positivo; si el ángulo es de 090 , es nulo y, finalmente, si el ángulo es obtuso, es negativo. TEOREMA. Considérese el vector no nulo 1 2 3, ,v v v v . Entonces la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual a uno, es decir, que:

2 2 2cos cos cos 1 Prueba.

2 2 2

2 2 2 31 2cos cos cos vv vv v v

2 2 22 2 2 1 2 3

2cos cos cos v v v

v

2

2 2 2 2 2 22cos cos cos cos cos cos 1

v

v

2 2 2cos cos cos 1 DEFINICIÓN. Los números directores de un vector paralelo a un vector dado, son cualesquiera múltiplos de sus componentes.

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Ejemplo. Considérese el segmento dirigido que une los puntos dados por 1 20, 5, 1 y 1, 2, 3P P . Obtener sus cosenos directores y la forma general de los números directores de un vector paralelo. Ejemplo. Determinar los ángulos y los cosenos directores del vector 3, 4, 0v .

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Ejemplo. Determinar el coseno director que falta del vector w si los dos conocidos son:

3 1cos y cos2 2

Calcular también el valor de los ángulos directores del vector w. Ejemplo. Determinar el valor de los ángulos directores de un vector 0a cuyos números directores son positivos y sus cosenos directores son iguales.

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IGUALDAD DE VECTORES DEFINICIÓN. Dos vectores 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b son iguales sí y sólo si se cumple que sus respectivas componentes sean iguales, esto es: 1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b ADICIÓN DE VECTORES DEFINICIÓN. La adición de dos vectores 1 2 3, ,a a a a y

1 2 3, ,b b b b es la operación entre ellos de tal forma que se suman sus respectivas componentes, es decir, que se cumple que: 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b Propiedades de la adición TEOREMA. Sean los vectores

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

)Cerradura: es un vectori a b

)Asociatividad:ii a b c a b c

)Existencia del elemento idéntico: 0 0, 0, 0 0iii a a

)Existencia de elementos inversos: 0iv a a a a

)Conmutatividad:v a b b a Se probará solamente la propiedad v . Prueba.

1 2 3 1 2 3a b a a a b b b

1 2 3 1 2 3a b a a a b b b

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1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

a b b b b a a a

a b b b b a a a

a b b a

Observaciones al respecto de estas propiedades: - El conjunto de vectores y la operación adición con las cinco propiedades conforman la estructura algebraica grupo abeliano, en honor a Niels Henrik Abel (1802 - 1829), matemático noruego célebre por haber probado que no hay ninguna fórmula para hallar las raíces de todos los polinomios generales de grado 5n . - El elemento idéntico en la adición es el vector nulo 0 . - Cada vector tiene un inverso aditivo que tiene las mismas componentes en valor absoluto, pero con signo contrario (con excepción del vector 0 ). - Esta operación se llama adición y su resultado equivale al vector suma o simplemente la suma. Representación geométrica de la adición Dos vectores se pueden representar con dos segmentos dirigidos alojados en un plano, no necesariamente un plano coordenado, de tal manera que sus orígenes coincidan con un determinado punto. Se utilizarán como sinónimos vector y segmento dirigido, aunque se sabe que no es así. Para representar gráficamente la adición de vectores se utilizan las dos siguientes formas, que son equivalentes y sus diferencias son, básicamente, de carácter geométrico:

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Regla del paralelogramo. Se hacen coincidir los puntos del origen de dos vectores yu v y después se trazan rectas paralelas a cada uno en sus puntos extremos, con lo que se forma el paralelogramo ABCD. Entonces el vector suma u v es el vector cuyo origen es el punto a partir del cual se trazaron los vectores y cuyo punto extremo es el punto donde coinciden las rectas paralelas. En Mecánica, a este vector suma se le llama vector resultante del sistema formado por los dos vectores dados.

Regla del triángulo. Se traza uno de los vectores y en su punto extremo se traza el otro. La suma resultante es el vector cuyo punto origen es el origen del primer vector y su punto extremo es el extremo del segundo vector.

Este método se puede utilizar para sumar más de dos vectores, aunque no es posible garantizar que estén en el mismo plano.

A

v

uB

C

u v

A

v

uB

C

Du v

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SUSTRACCIÓN DE VECTORES DEFINICIÓN. Sean los vectores ya b . La sustracción de estos vectores se define a partir de: a b a b donde b es el

inverso aditivo de b . Esto es, que al vector minuendo se le suma el inverso aditivo del vector sustraendo. Basta con restar las correspondientes componentes. Así,

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , y , , , ,a a a a b b b b a b a b a b a b Ejemplo. Dados los vectores 5, 3, 2 y 4, 6, 8u v , calcular:

) Su adicióni u v ) Su sustracciónii u v ) El vector tal queiii w w u v

Solución.

) 5, 3, 2 4, 6, 8 1, 3,10i u v u v

) 5, 3, 2 4, 6, 8 9, 9, 6ii u v u v

) 4, 6, 8 5, 3, 2iii w u v w v u w

9, 9, 6w

yu v v u tienen misma magnitud y direcciones opuestas. Representación geométrica de la sustracción de vectores Sean yu v , representados geométricamente como:

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Si en el punto donde coinciden sus puntos origen se traza el inverso aditivo del vector v , esto es, v y se aplica lo estudiado en la suma a través del paralelogramo, se tiene que:

Esto es equivalente a unir el punto final del vector v con el punto final del vector u , como sigue:

El módulo de la suma de los vectores es la diagonal mayor del paralelogramo y el módulo de la resta es la diagonal menor. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR DEFINICIÓN. Considérense el vector 1 2 3, ,w w w w y el escalar . Se llama multiplicación de un vector por un escalar a la operación expresada como: 1 2 3, ,w w w w Propiedades de la multiplicación por un escalar

v

u

u v

v

u

u v u v

v

u

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TEOREMA. Sean los vectores 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b y los escalares 1 2y . Entonces se cumple que:

1

1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2

) es un vector

ii)

)

)

i a

a a a

iii a b a b

iv a a

1

) 1) 0 0) 0 0

v a avi avii

Se demostrará únicamente la propiedad ii . Prueba de ii

1 2 1 2 1 2 3a a a a

1 2 1 1 2 3 2 1 2 3a a a a a a a

1 2 1 2a a a El conjunto de vectores, con las propiedades enunciadas en los dos teoremas anteriores, conforman una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que se estudia en Álgebra Lineal. Otras propiedades adicionales del producto por un escalar son: TEOREMA. Sean el vector 1 2 3, ,a a a a y el escalar . Entonces se cumple que: ) El vector tiene módulo que equivale ai a a

) Si 0 el vector tiene la misma dirección queii a a ) Si 0 el vector tiene dirección opuesto aiii a a

Prueba de i

2 2 21 2 3 1 2 3)i a a a a a a a a

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

2 2 2 21 2 3

a a a a a a a a

a a a a a a

Como el módulo de un vector siempre es positivo, entonces: a a

Se concluye que el resultado de multiplicar un escalar no nulo por un vector diferente del vector cero equivale a un vector con magnitud igual al valor absoluto del escalar por la magnitud del vector original y con la misma dirección que este. COROLARIO. Sea el vector no nulo 1 2 3, ,a a a a . Entonces un vector unitario con la misma dirección que el vector a es:

1 2 31 , ,u a a aa

REPRESENTACIÓN TRINÓMICA DE UN VECTOR Los vectores se representan analíticamente con ternas ordenadas de números reales; también pueden expresarse a través de la representación trinómica, con los vectores unitarios

, yi j k

y las operaciones de adición de vectores y la multiplicación por un escalar. TEOREMA. Sea el vector 1 2 3, ,b b b b . Entonces es posible expresar este vector como:

1 2 3b b i b j b k

Prueba.

1 2 3 1 2 31, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1b i b j b k b b b

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1 2 3 1 2 3, 0, 0 0, , 0 0, 0,b i b j b k b b b

1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,b i b j b k b b b b i b j b k b

Ejemplo. Sean los vectores

2, 6, 1 , 5, 0, 7 y 4, 8, 3a b c Obtener el vector d de tal forma que se cumpla que

2 3 0a b c d Ejemplo. Obtener un vector r que tenga dirección opuesta al

vector 3 2 2 3s i j k

y cuya magnitud o módulo sea de 15 unidades.

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MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Se estudiarán dos formas de gran importancia en matemáticas y física. El producto escalar cuyo resultado es un escalar y el producto vectorial cuyo resultado es un vector. PRODUCTO ESCALAR DEFINICIÓN. Considérense los vectores

1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b Se llama producto escalar (porque el resultado es una magnitud escalar), producto punto (por su notación) o producto interno (porque cumple ciertas propiedades en el Álgebra Lineal) de

ya b a:

1 1 2 2 3 3a b ab a b a b Este producto no tiene en forma directa un significado geométrico, pero sí aplicaciones geométricas y de otros tipos. Propiedades del producto escalar TEOREMA. Sean los vectores

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c y el escalar . Entonces se cumple que:

)

)

)

) 0 si 0

i a b b a

ii a b c a b a c

iii a b a b

iV a a a

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Prueba. Se demostrará solamente la propiedad iv . 0 si 0a a a

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 0a a aa a a a a a a a a a a a

COROLARIO. Sea el vector 1 2 3, ,a a a a ; entonces se cumple

que: 2

a a a

Prueba.

22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3;a a a a a a a a a a a a a

2a a a

Ejemplo. Sean los vectores 2 5 3 y 4 6u i j k v i j k

. Calcular el valor de w u v . Solución.

2, 5, 3 1, 4, 6 2 1 5 4 3 6w u v w w 2 20 18 4w w

Ejemplo. Considérese un vector 2 7 4v i j k

. Determinar el conjunto de vectores w tal que se cumpla el siguiente producto escalar:

0v w

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Ahora se expresará el producto escalar en términos de los módulos de los vectores y del ángulo que forman. TEOREMA. Sean los vectores 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b . Entonces se cumple que:

cosa b a b

donde es el ángulo entre los vectores ya b

. Prueba. Sean los vectores ya b

. Se trazan y se cierra el

triángulo. La unión de sus puntos finales equivale, como ya se sabe, a la resta de los vectores.

Se aplica la ley de los cosenos y se obtiene:

2 2 2 2 2 22 cos 2 cosc a b a b a b a b c

2 2 22 cosa b a b a b

Como se vio con anterioridad, el módulo al cuadrado es igual al producto escalar del vector por sí mismo, luego:

2 cosa b a a b b a b a b

2 cosa b a a b b a a a b b a b b

b

a

c a b

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2 cos 2a b a b cosa b a b Esta forma es importante para el ángulo entre vectores y las condiciones de paralelismo y perpendicularidad. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Se considera el teorema anterior y se obtiene:

cos cos cos a ba b a b a b a b anga b

Esta expresión es válida cuando los vectores son diferentes del vector cero. Si el producto escalar es positivo, el ángulo es agudo y si es negativo, entonces el ángulo es obtuso.

Y el producto escalar es nulo si el ángulo entre los vectores es recto, es decir, si son perpendiculares, como en la figura:

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS VECTORES TEOREMA. Dos vectores 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b son perpendiculares sí y sólo sí 0a b .

b

a

0a b

090

b

a

0a b

b

a

0a b

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Esto no excluye la posibilidad de que uno de los vectores sea el vector cero. Se asumirá que el vector cero es perpendicular a todos los vectores. Se hablará de perpendicular y ortogonal como sinónimos, aunque en sentido estricto no lo son, como se estudia en el Álgebra Lineal al tratar el producto interno entre vectores. UNA CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS VECTORES TEOREMA. Dos vectores no nulos, ya b son paralelos sí y sólo si se cumple que: ; ; 0a b Prueba. La expresión para el ángulo entre dos vectores es:

cos a banga b

Si son paralelos, el ángulo entre ellos es cero, por lo que: 0cos 0 cos0 1a b a b a bang a b a b

a b a b a b

Si ; ; 0a b , entonces: 2 2

1 1b b b b b b Ejemplo. Calcular el ángulo que forman los vectores dados por:

2 5 y 3 6 7u i j k v i j k

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Ejemplo. Verificar que los siguientes vectores son perpendiculares:

3 y 2u i j k v i j k

Ejemplo. Obtener un vector w paralelo al plano XY , que tiene una magnitud de 16 unidades y que es perpendicular al vector

1, 3, 5v .

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Ejemplo. Obtener un vector r perpendicular al triángulo cuyos vértices son los puntos 2, 3, 5 ; 0, 4, 6 ; 1, 7, 8A B C . Este ejercicio se puede resolver de manera más fácil con el producto vectorial entre vectores, como se verá más adelante. COMPONENTES VECTORIAL Y ESCALAR DE UN VECTOR EN LA DIRECCIÓN DE OTRO VECTOR DEFINICIÓN. Se llama componente vectorial de un vector a en la dirección del vector b a la proyección perpendicular del vector a sobre la dirección del vector b . Se denotará con

bcomp vect a

También se usa la notación b

comp vecta .

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La proyección es como la imagen de un vector reflejada en la dirección de otro.

Esta componente vectorial de a sobre la dirección de b , al tratarse de una proyección, se expresa también como

bproy a .

La

bcomp vect a , tiene magnitud y dirección que es la del vector

b o la opuesta. Su magnitud se obtiene como sigue:

Del triángulo rectángulo que se forma, se llega a

cosb

comp vect a a

Si se multiplica y divide el segundo miembro por b :

cosb

a bcomp vect a

b

Pero, cosa b a b Como se explicó antes, cos puede ser positivo, negativo o nulo y además, el módulo de un vector es positivo, luego la magnitud de la componente vectorial será:

ba

bcomp vect a

b

a

bcomp vect a

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b

a bcomp vect a

b

En las aplicaciones tiene importancia el signo del producto escalar a b , por lo que es conveniente expresar lo siguiente: - Si cos 0 , el ángulo es agudo, por lo que la proyección de a en la dirección de b es igual en signo que esta. - Si cos 0 , el ángulo es de 090 , por lo que la proyección de a en la dirección de b es el vector nulo. - Si cos 0 , el ángulo es obtuso, por lo que la proyección de a en la dirección de b tiene signo contrario a esta. Entonces la expresión para calcular la componente vectorial de a en la dirección de b , con magnitud y dirección es:

b

a b bcomp vect ab b

pues al multiplicar el escalar que señala el módulo y dirección de la proyección, por un vector unitario en la dirección de b , se llega al vector componente requerido. El escalar mencionado es la componente escalar de a en la dirección de b . DEFINICIÓN. Se llama componente escalar del vector a en la dirección del vector b , al cociente del producto escalar de ambos vectores entre el módulo del vector b . Se denota con

bcomp esc a y equivale a:

b

a bcomp esc ab

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De acuerdo a lo expresado, la componente escalar es positiva si a tiene la misma dirección de b ; es nula si ya b son ortogonales; y es negativa si ya b tienen direcciones opuestas. En otras disciplinas se estudiarán estos cambios de signo en problemas de aplicaciones diversas. Ejemplo. Dados los vectores

4 4 10 y 5 15 6a i j k b i j k

, obtener:

) ; )

) ; )b b

a a

i comp esc a ii comp vect a

iii comp esc b iv comp vect b

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Ejemplo. Sean los vectores representados en la siguiente figura, localizados en el plano YZ . Determinar:

)v

i comp esc u )

vii comp vect u

) Las coordenadas del punto iii B

Solución. Calculo de las componentes de los vectores yu v :

El vector v solamente tiene componente en k

por lo que 0, 0, 2v

Para el vector u , su componente en j

es 2 . Con este valor y el

ángulo del triángulo rectángulo se calcula la componente en k

al multiplicar 2 por la tangente de 060 , con lo que se obtiene 3.464 . Luego

0, 2, 3.464u

2 2 2

0, 2, 3.464 0, 0, 2)

0 0 2v v

u vi comp esc u comp esc uv

6.928 3.4644v v

comp esc u comp esc u

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0, 0, 2) 3.464

4v v v

vii comp vect u comp esc u comp vect uv

3.464v

comp vect u k

) Las coordenadas del punto iii B . En la figura anterior se

agregan los vectores de posición de los puntos y BA con los cuales se obtendrán las coordenadas requeridas del punto B .

De acuerdo con la adición de vectores, es posible escribir que:

; 0, 3,1 y 0, 2, 3.464b a u a u

0, 3,1 0, 2, 3.464 0, 5, 4.464b b

0, 5, 4.464B PRODUCTO VECTORIAL DEFINICIÓN. Considérense los vectores

1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b Entonces se llama producto vectorial o producto cruz a:

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b a b a b i ab a b j ab a b k

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Se conoce como producto vectorial porque el resultado es un vector y se utiliza una cruz al expresarlo. Hay ciertos autores que a este producto vectorial lo denotan con: a b . La expresión que define al producto vectorial es difícil de memorizar. Para esto se utiliza una herramienta mnemotécnica que consiste en el “pseudodeterminante” siguiente:

1 2 3

1 2 3

i j ka b a a a

b b b

Quien sabe cómo calcular un determinante de tercer orden, puede utilizar este arreglo para resolver de manera más sencilla el producto vectorial sin necesidad de memorizar la expresión matemática de su definición. Propiedades del producto vectorial TEOREMA. Sean los vectores , ,a b c y el escalar . Entonces:

) Anticonmutatividad;i a b b a

) Distributividad por la izquierda;ii a b c a b a c

) Distributividad por la derecha;iii a b c a c b c

) Asociatividad con un escalar: iv a b a b a b

) 0 0 0v a a Propiedades geométricas del producto vectorial TEOREMA. Sean los vectores no nulos ya b . Entonces se cumple que: ) ; es el ángulo entre yi a b a b sen a b .

31


) es un vector ortogonal tanto a como a ii a b a b . ) El sentido del vector es el que se sigue con

la regla de la mano derecha. Si el dedo mediode la mano derecha apunta al prefactor y el dedopulgar al posfactor, entonces el dedo índiceapuntará al

iii a b

producto (véase la figura).

) 0 y son paralelos.iv a b a b

Prueba de i . Sean los vectores 1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b . Por identidades trigonométricas:

21 cosa b sen a b Se sabe que:

cos cos a ba b a ba b

Se sustituye este valor en la expresión anterior y:

2

2 2 21 a ba b sen a b a b sen a b a b

a b

22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3a b sen a a a b b b ab a b a b

32


Con operaciones y simplificaciones algebraicas se llega a:

2 2 22 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b sen a b a b ab a b ab a b

a b sen a b Del teorema anterior, se deducen las consideraciones: - La multiplicación de dos vectores en forma vectorial es cerrada. - El producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano que contiene a los dos vectores. - El producto de dos vectores no nulos puede ser el vector cero, por lo que la propiedad iv del teorema anterior es la otra condición de paralelismo. A través de la propiedad i se puede obtener una aplicación geométrica del producto vectorial. Aplicación del producto vectorial en el cálculo del área de un paralelogramo TEOREMA. Considérese el paralelogramo de la figura siguiente:

Entonces el área del paralelogramo se obtiene a partir de:

Área a b

33


donde ya b son dos vectores que coinciden con dos lados no paralelos del paralelogramo. Prueba.

Área ;

Área Área

a h h b sen

a b sen a b

Ejemplo. Dados los vectores 2, 5, 1 y 3 4 7u v i j k

, obtener:

) ; )i u v ii v u Se ve cómo el producto vectorial no es conmutativo. Son vectores con la misma magnitud y direcciones opuestas. Ejemplo. Calcular el producto vectorial de los siguientes vectores:

34


2 , 7, 3 y 2, 21, 93

v w

Solución.

2 7 3 63 63 6 6 14 14 03

2 21 9

i j k

v w i j k v w

La razón de que este producto vectorial sea el vector cero es porque los dos vectores son paralelos. El vector w equivale a multiplicar el vector v por el escalar 3 . Además esto se puede verificar mediante la expresión:

a b sen a b Así, si los vectores son paralelos, el ángulo entre ellos es de cero grados, luego,

0 00 0 0 0sen a b Ejemplo. Obtener un vector r perpendicular al triángulo cuyos vértices son los puntos 2, 3, 5 ; 0, 4, 6 ; 1, 7, 8A B C Solución. Este ejercicio se resolvió con anterioridad, pero no tan sencillo como se hará ahora mediante el producto vectorial. Los segmentos dirigidos yAB AC devienen, respectivamente, en los vectores

2, 7, 1 y 1, 4, 3v w Evidentemente, estos dos vectores están en el mismo plano del triángulo, por lo que su producto vectorial dará como resultado un vector perpendicular al plano del triángulo. Así,

35


2 7 1 21 4 6 1 8 71 4 3

i j kv w v w i j k

25 5 15v w i j k

Este vector es diferente al obtenido anteriormente que era

5 3r i j k

. Sin embargo, si se multiplican por 5 los números directores de este vector, se obtienen los del vector obtenido en la otra forma tratada para resolver el ejercicio. Por lo que son paralelos, luego ambos son perpendiculares al plano del triángulo. Son una infinidad los vectores perpendiculares al triángulo, es por ello que se pidió “un” vector. Ejemplo. Calcular el área del pentágono irregular cuyos vértices son los puntos:

1, 3, 4 ; 1, 3, 0 ; 4, 3,1 ; 6, 3, 3 ; 3, 3, 5A B C D E Solución. La gráfica se muestra a continuación:

36


El pentágono está alojado en el plano 3y . Si se le observa de manera perpendicular al eje de las ordenadas, se tiene la siguiente figura ABCDE .

Para calcular el área, el pentágono se divide en tres triángulos y el área de cada triángulo es igual, como ya se vio, al área del paralelogramo del cual son la mitad, dividida entre dos. Así, se obtiene:

1 1 1Área2 2 2

AB AC AC AD AD AE

Para resolver estos productos vectoriales se obtienen las componentes de los segmentos dirigidos.

2, 0, 4 ; 5, 0, 3 ; 7, 0, 1 ; 4, 0,1AB AC AD AE

2 0 4 0 14 0 145 0 3

i j kAB AC i j k AB AC

5 0 3 0 16 0 167 0 1

i j kAC AD i j k AC AD

37


7 0 1 0 11 0 114 0 1

i j kAD AE i j k AC AD

Luego,

21 1 1 41Área 14 16 11 Área2 2 2 2

u

PRODUCTO MIXTO O TRIPLE PRODUCTO ESCALAR DEFINICIÓN. Considérense los vectores , ya b c . Entonces se llama producto mixto o triple producto escalar a:

a b c a b c

Observaciones: - Este producto mixto da por resultado una magnitud escalar. - No es necesario colocar paréntesis en este producto mixto, ya que es evidente que primero se realiza el producto vectorial. - No es necesario colocar los símbolos de las operaciones ya que se pueden intercambiar y no se altera el resultado. TEOREMA. Sean los vectores

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c Entonces:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aa b c b b b

c c c

Prueba. 1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, , , ,a b c a b c a a a b c b c bc b c bc b c

1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1a b c a b c b c a b c b c a b c b c

38


2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

b b b b b ba b c a a a

c c c c c c

a a aa b c b b b

c c c

Se llega al mismo resultado con a b c . Algunas propiedades algebraicas del producto mixto TEOREMA. Sean los vectores , ya b c . Entonces se cumple que:

)

)

) 0 si uno de los vectores es el vector cero

i a b c a c b

ii a b c b c a c a b

iii a b c

Prueba. El valor de un determinante cambia si se intercambian dos renglones, lo que demuestra la propiedad i y en la propiedad ii no hay cambio de signo al haber dos cambios de signo. Para probar la propiedad iii , baste decir que un determinante es nulo si un renglón está formado por ceros. Si se idealizan los vectores en una circunferencia, el producto se realiza comenzando con uno cualquiera y continuando con los otros dos siguiendo el sentido de las manecillas del reloj. Así,

39


Algunas propiedades geométricas del producto mixto TEOREMA. Sean , ya b c no nulos. Entonces se cumple que: ) 0 sí y sólo si los tres vectores están en el mismo planoi a b c .

)ii El valor absoluto de a b c es igual al volumen del

paralelepípedo del cual uno de sus vértices es el punto origen de los tres vectores , ya b c . Prueba. )i Si , ya b c están en un mismo plano, el vector a b es perpendicular al plano que contiene al vector c y por lo tanto,

0a b c porque 090 cos 0a b c a b c . Y si el

producto mixto es nulo, esto es, si 0a b c esto implica que el vector a b es perpendicular al vector c , que significa que este vector c puede alojarse en el plano que contiene a y aa b . ) cosii a b c a b c a b c

40


Para calcular el volumen del paralelepípedo se multiplica el área de la base por la altura medida sobre la perpendicular a ella. El área de la base se calcula mediante el producto vectorial a b . Y la altura, por la figura se calcula con:

cosh c Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo se obtiene a través de:

cosV a b c V a b c V a b c

Ejemplo. Calcular a b c

si los vectores , ya b c están dados por:

6, 2, 1 ; 4 7 ; 3 5u v i j k w i k

En ocasiones es más sencillo demostrar teoremas de la geometría elemental con el álgebra vectorial. Ejemplo. Demostrar que si el área de un triángulo rectángulo es igual a un cuarto del cuadrado de su hipotenusa, entonces el triángulo es isósceles.

41


Solución.

Por la hipótesis, se tiene que el área del triángulo es:

21Área4

c

Pero por otro lado, se sabe que esta área se calcula con: 1Área2

a b

Se igualan, se aplica una propiedad del producto vectorial y: 2 2 201 1 1 190 2

2 4 2 4a b c a b sen c a b c

Por el teorema de Pitágoras, 2 2 2

a b c

Se igualan los dos resultados de 2

c y se llega a:

22 2 2 22 2 0 0a b a b a a b b a b

0a b a b Por lo tanto, el triángulo es isósceles. Ejemplo. Calcular, mediante el álgebra vectorial, el volumen del paralelepípedo cuyos vértices son los puntos:

3, 0, 0 ; 3, 4, 0 ; 0, 4, 0 ; 0, 0, 0

3,1, 2 ; 3, 5, 2 ; 0, 5, 2 ; 0,1, 2

A B C D

E F G H

42


CURVAS Como se verá más adelante, al estudiar punto, recta y plano en el espacio, las ecuaciones paramétricas de una recta, siguiendo la representación paramétrica de una función, pero ahora en el espacio, están dadas por:

0

0

0

;x x ay y bz z c

Y si en estas se despeja el parámetro y se igualan, se obtiene la ecuación simétrica de la recta en el espacio:

0 0 0x x y y z za b c

43


En ambas formas, 0 0 0, ,x y z son las coordenadas de un punto de la recta y ,b ,ca son las componentes de un vector paralelo a la misma. Además, la ecuación , , 0F x y z puede representar a una superficie en el espacio y si es de la forma 0Ax By Cz D , representa un plano. Entonces que dos ecuaciones del tipo

1 1 1 1

2 2 2 2

00

A x B y C z DA x B y C z D

pueden representar una recta y dos ecuaciones cartesianas de la forma , , 0F x y z , cuando representan superficies, definen una curva en su intersección, que puede ser plana o alabeada. Es evidente que los planos coordenados se pueden representar mediante las ecuaciones:

0 ; 0 ; 0x plano YZ y plano XZ z plano XY Y las ecuaciones para planos paralelos a los planos coordenados son del tipo:

plano paralelo al plano

plano paralelo al plano ; , constante

plano paralelo al plano

x k YZ

y k XZ k

z k XY

DEFINICIÓN. Una curva el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que satisfacen una de estas condiciones: )i Dos ecuaciones del tipo , , 0F x y z . )ii Una ecuación vectorial en la que interviene un parámetro. )iii Tres ecuaciones paramétricas.

REPRESENTACIÓN CARTESIANA

44


Ejemplo. Sea la curva dada por las ecuaciones:

2 2 225 2 5 0x z yx y z

Determinar si el punto 2, 3,1P pertenece a la curva. Solución. Para que el punto P pertenezca a la curva, debe satisfacer ambas ecuaciones de las superficies, luego,

2 2 22 2 1 3 9 95 2 2 3 1 5 0 0 0

por lo tanto, el punto P sí pertenece a la curva. Ejemplo. Si las ecuaciones siguientes representan una curva, obtener las coordenadas de dos puntos de ella.

2 3 6 05 4 7 0

x y zx y z

Solución. Ambas ecuaciones pertenecen a dos planos que al cortarse, producen una línea recta. Si se da un valor arbitrario a una de las variables, el sistema se reduce a dos ecuaciones. Así, si 1z , se obtiene:

5 32 3 52 3 5 0 235 3 0 5 3

5

yx y xx yyx y x y x

19

5 3 3 1325 15 6 2 13 192 5 4

13

yy y y y yx

Por lo que el punto 4 19, ,113 13

Q

pertenece a la recta. Para

obtener otro punto de la curva, se hace 0x , de donde:

45


3 6 6 33 6 074 7 0 4 7

4

y z z yy zyy z y z z

177 116 3 24 12 7 11 17

4 1511

yyy y y yz

Por lo que el punto 17 150, ,11 11

R

pertenece a la curva.

Al fijar una variable, geométricamente significa cortar a la curva con un plano paralelo a un coordenado. En un caso con el plano

1z y en el otro con el plano 0x . Ejemplo. Considérese la curva dada por las ecuaciones:

2 2 2 4y xx y z

Determinar si la curva que representan estas ecuaciones es una curva plana o alabeada. Solución. Si en las ecuaciones se hace 0x , entonces 0y y

2z . Luego dos puntos de la curva son 1 20, 0, 2 y 0, 0, 2P P .

Otro punto cualquiera de la curva se obtiene al darle el valor de un parámetro 0 a una de las variables. Así, si x , entonces y y 2 24 2z . Si se considera únicamente el valor positivo de z , entonces se tendrá el punto de la curva 2

3 , , 4 2P .

Las componentes de los segmentos dirigidos 1 2 1 3yPP PP son:

21 2 1 30, 0, 4 y , , 4 2 2PP PP

Se realiza el producto vectorial de ambos y se obtiene:

46


1 2 1 3

2

1 2 1 3

0 0 4 4 4 0

4 2 2

4 , 4 , 0

i j kPP PP i j k

PP PP

Esto implica que un vector perpendicular a los dos segmentos dirigidos tiene la misma dirección, por lo que los puntos de la curva pertenecen a un mismo plano. Igual con la raíz negativa. Entonces se concluye que la curva es plana. La primera ecuación es un plano cuya traza con el plano XY es la recta y x ; y la segunda ecuación, si se anula cada variable se obtienen circunferencias por lo que se intuye que es una esfera con centro en el origen y radio igual a dos. La gráfica de la superficie, el plano y la curva intersección, que está contenida en un plano, se muestran en la siguiente figura:

En Cálculo superior se estudia la torsión de una curva, la cual si es nula, significa que la curva es plana.

47


Ejemplo. Graficar la curva representada por las ecuaciones cartesianas:

2 2

0z x yx

Solución. La segunda ecuación, 0x , es la ecuación del plano YZ . Y si en la otra ecuación se hacen cero por separado las variables del segundo miembro se intuye, como se verá después, que ecuación es la de una superficie conocida como paraboloide. Si en esta ecuación se sustituye la segunda se llega a:

20x z y que es la ecuación de una parábola en el plano YZ , con vértice en el origen, que abre hacia arriba y cuyo eje de simetría es el eje z . Esta parábola es la intersección de las dos ecuaciones cartesianas y constituye la curva representada por ellas. La gráfica se muestra en la siguiente figura:

REPRESENTACIÓN VECTORIAL Y PARAMÉTRICA

48


DEFINICIÓN. Una ecuación vectorial de una curva C es una regla matemática que señala el desplazamiento de un vector de posición cuyo inicio coincide con el origen de coordenadas y cuyo extremo dibuja la curva en toda su longitud.

Es común considerar a un parámetro como una variable más, pero, como en las ecuaciones cartesianas de los ejercicios anteriores, las variables son , ,x y z , y en estos casos se pueden describir las curvas con estas variables y un cierto parámetro. Para la representación vectorial de una curva, se utiliza un parámetro, mientras que para la representación de una superficie, son necesarios dos parámetros. Para comprender esto hay que recordar que para una curva se requieren dos ecuaciones cartesianas, como se vio anteriormente y, si en estas ecuaciones se da un valor para una de las tres variables, se tendrá un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas , lo que permitirá obtener un punto de la curva si el sistema es compatible determinado. Una curva tiene entonces un grado de libertad y por ello se necesita de un solo parámetro para representarla vectorialmente. En el caso de una superficie, se representa con una ecuación cartesiana en las tres variables , ,x y z . Entonces se requiere elegir valores para dos de las variables para fijar un punto de la superficie. Es por ello que su representación vectorial requiere de

49


dos parámetros. Las superficies tienen entonces dos grados de libertad. Para representar vectorialmente a una curva se utiliza la siguiente notación que presenta a las variables , ,x y z como componentes del vector de posición que dibuja a la curva, en términos de un parámetro " "t que puede denotarse de muchas formas.

r t x t i y t j z t k

De esta expresión resulta la representación paramétrica:

:x x t

C y y tz z t

La letra " "t es común como parámetro pues en la física denota al tiempo. También se acostumbra usar la letra griega " " . Este símbolo no tiene nada que ver con el ángulo que se utiliza en la representación polar de una curva. La relación entre las variables y el parámetro no necesariamente es una función, aunque sí resulta conveniente que lo sea. Es importante la parametrización, ya que hay problemas cuya solución puede ser muy complicada o imposible si se trabajan con la forma cartesiana, siendo diferente cuando se hace con las formas paramétrica o vectorial. Para parametrizar se usa la geometría, la trigonometría y el álgebra. Ejemplo. Considérese la curva dada por las ecuaciones cartesianas siguientes:

2 2 9:0

x yCz

Representarla vectorial y paramétricamente.

50


Solución. Las dos ecuaciones representan superficies. La primera, en el plano XY , es una circunferencia con centro en el origen y radio igual a tres. Vista en el espacio 3 , es un cilindro circular recto con su eje de simetría en el eje z y con radio igual a tres. Y la segunda ecuación representa al plano XY . La curva resultante es la circunferencia 2 2 9x y del plano XY . Una manera de llegar a las formas vectorial y paramétrica de esta curva es considerando como parámetro a " "t , por lo que se llega a:

2; 9x t y t Y la ecuación vectorial queda como:

2 29 ; 3 3 , 9 , 0 ; 3 3r t t i t j t r t t t t

Y las correspondientes ecuaciones paramétricas son:

2: 9 ; 3 30

x t

C y t tz

Esta parametrización no resulta muy conveniente ya que la segunda ecuación no es una función. Si se considera el signo positivo de la raíz, se estará hablando de la semicircunferencia superior y con el signo negativo, se hablará de la circunferencia inferior. Así, se tendría que:

21

2

, 9 , 0 ; 3 3

: 9 ; 3 30

r t t t t

x t

C y t tz

51


21

2

, 9 , 0 ; 3 3

: 9 ; 3 30

r t t t t

x t

C y t tz

Si ahora se elige como parámetro a la variable " "y , se tendría un problema semejante al anterior y se obtendrían las siguientes expresiones y gráficas:

21

2

9 , , 0 ; 3 3

9: ; 3 3

0

r m m m m

x mC y m t

z

2

1

2

9 , , 0 ; 3 3

9: ; 3 3

0

r m m m m

x mC y m t

z

Para lograr una mejor parametrización, se puede recurrir a la trigonometría. La primera ecuación cartesiana de la curva puede escribirse como:

2 2

19 9x y

Por una analogía con la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen

se llega a:

52


2 22 2y cos

9 9x ysen

De la primera expresión, se tiene que: 2

2 2 29 39x sen x sen x sen

El doble signo dificulta la parametrización, pero se selecciona el intervalo de variación del parámetro tal que se representen todos los puntos de la curva, entonces la ecuación vectorial queda como:

3 3cos ; 0 2r sen i j

Y las ecuaciones paramétricas son:

3: 3cos ; 0 2

0

x senC y

z

La parametrización más usada se basa en considerar a la identidad trigonométrica como 2 2cos 1sen . El cambio de símbolo para el parámetro es debido a que geométricamente son diferentes como se verá más adelante. En este caso la analogía está dada por:

2 2 2 29cos ; 9x y sen Y se llega a la ecuación vectorial:

3cos 3 ; 0 2r i sen j

y a las ecuaciones paramétricas:

3cos: 3 ; 0 2

0

xC y sen

z

Esta forma de parametrizar es mejor que la anterior ya que en aquella el ángulo se mide a partir de la parte positiva del eje de las ordenadas y en sentido de las manecillas del reloj, como se observa en la siguiente figura:

53


0

0 :332:

6 3 32

xA

y

xB

y

Con la última forma de parametrizar, el ángulo se mide a partir de la parte positiva del eje de las abscisas y en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se hace en la trigonometría. Véase la siguiente figura:

30 :

032:

3 3 32

xA

y

xB

y

Si se eligiera un signo negativo en estas dos parametrizaciones, cambiaría el punto donde inicia el recorrido o el sentido de medición del ángulo. Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial y unas ecuaciones paramétricas para la elipse representada por las ecuaciones cartesianas siguientes y graficarla:

2 24 31Elipse : 9 4

4

y z

x

Solución. Esta elipse se localiza en el plano 4x y tiene semiejes 3 2y en los ejes de las ordenadas y las cotas, respectivamente.

54


Se utiliza la última parametrización analizada anteriormente y se obtiene:

2

22 24cos 4 9cos 4 3cos

9y

y y

2

22 233 4 3 2

4z

sen z sen z sen

Finalmente, una ecuación vectorial de la curva está dada por:

4 4 3cos 3 2 ; 0 2r i j sen k

Y las ecuaciones paramétricas son:

4Elipse: 4 3cos ; 0 2

3 2

xyz sen

Ejemplo. Determinar una ecuación vectorial, unas ecuaciones paramétricas y una gráfica aproximada, para la parábola cuyas ecuaciones cartesianas son:

24 2 5Parábola :6

x yz

55


Solución. Se grafica esta curva tomando en cuenta las dos ecuaciones cartesianas dadas y se tiene la parábola siguiente que se encuentra ubicada en el plano 6z .

En este caso, en lugar de una identidad trigonométrica, resulta más conveniente utilizar como parámetro a la variable " "x de la siguiente forma:

2 22 4 4

; 2 5 4 5 52 2

x y y y

De acuerdo con la ecuación de la parábola, la " "x puede tomar cualquier valor real, luego una ecuación vectorial y las correspondientes ecuaciones paramétricas son:

245 6 ;

2r i j k

24Parábola: 5 ;

26

x

y

z

56


Ejemplo. Determinar una ecuación vectorial, las correspondientes ecuaciones paramétricas y una gráfica aproximada, de la hipérbola dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

2 22 2 4Hipérbola :3

x zy

Solución. La gráfica de esta hipérbola es la siguiente:

Para parametrizar es conveniente utilizar la siguiente identidad trigonométrica:

2 2sec tan 1 Se procede como en los ejercicios anteriores y se obtiene:

2 22 2 2 2

2 2 4 14 4

x zx z

2

22 22sec 2 4sec 2 2sec

4x

x x

2

22 22tan 2 4tan 2 2tan

4z

z z

Por lo tanto, una ecuación vectorial de la hipérbola es:

57


2 2sec 3 2 2tan ; 0 2r i j k

y las correspondientes ecuaciones paramétricas son:

2 2secHipérbola: 3 ; 0 2

2 2tan

xyz

En este ejercicio, al fijar el intervalo de variación del parámetro como 0 2 , se garantiza que todos los puntos de la hipérbola están descritos por las ecuaciones paramétricas obtenidas, excepto cuando la secante y la tangente no están

definidas en los valores de 3y2 2 . Esto significa que

para estos valores no existen puntos de la hipérbola. En sentido estricto, en estos valores habría huecos al graficar la hipérbola con las ecuaciones paramétricas obtenidas. Para utilizar estas ecuaciones paramétricas en esta hipérbola sería conveniente hacer uso de intervalos que no consideren los valores

3y2 2 . Considérense al respecto las siguientes

definiciones: DEFINICIÓN. Sean las ecuaciones paramétricas de una curva:

:x f t

C y g tz h t

Se llama intervalo paramétrico y se denota con pI al conjunto de valores del parámetro t para los cuales las variables

, ,x y z existen simultáneamente en las tres ecuaciones paramétricas. Esta definición, en el Cálculo, es la siguiente:

58


DEFINICIÓN. Se llama intervalo paramétrico, denotado con pI , a la intersección de los dominios de las relaciones , ,f t g t h t , esto es,

;p f g hI t t D D D t Ejemplo. Sea la curva dada por:

2

1 11225

r u u i j kuu

Determinar: )i El intervalo paramétrico pI )ii Los valores que pueden tomar las abscisas, las ordenadas y

las cotas. Solución. )i Para obtener el intervalo paramétrico se determina el

dominio de cada una de las funciones que son componentes de la función vectorial que define a la curva. Así, para la primera se tiene que:

1 ; 1 0 1 1; 1,xx u u u D u u u Para la segunda función se obtiene:

2

2

1 ; 25 0 5 5 025

y u u uu

Primera posibilidad: 5 0 55 0 5

u uu u

Segunda posibilidad: 5 0 55 0 5

u uu u

Se grafican estas dos posibilidades en una recta de reales y se ve dónde existen intersecciones, lo que da el resultado de la

59


desigualdad. Si se señala la solución de la primera posibilidad arriba del eje y la segunda debajo, se llega a:

Luego el dominio es 5 5 ;yD u u u . Y para la tercera función componente se tiene que:

1 2 ;2 zz D u u u

u

Por lo que el intervalo paramétrico es igual a: 1, 5 2p x y z pI D D D I

)ii Para calcular los valores que toman las variables , ,x y z se

analiza en cada caso a qué recorrido corresponden los valores del intervalo paramétrico. Abscisas. 1x u . Se elevan al cuadrado ambos miembros y se tiene:

21 1x u x u Se trata de una semiparábola con vértice en 1 y 0u x como se observa en la siguiente figura:

60


Y se concluye que las abscisas están en el intervalo 0, 2 1x .

Para las ordenadas: 2

125

yu

. Ya se vio que el dominio de

esta función está dado por el intervalo 5 5 ;yD u u u

, pero el intervalo paramétrico es 1, 5 2pI . Como se trata de un cociente donde el numerador es constante, cuando el denominador sea menor, es decir, cuando 5u , las ordenadas crecen indefinidamente, esto es, y . Cuando el denominador sea mayor, es decir, cuando 1u , las ordenadas

adquieren su menor valor que es 124

y . Y como 2u , las

ordenadas no pueden tomar el valor de 121

y . Por lo tanto, las

ordenadas están en el intervalo 1 1,24 21

y

.

Para las cotas, esto es, los valores de " "z , se tiene que 12

zu

,

donde 2u . Luego, si 11 1 ; 53

u z u z . Y

además se observa que si 2u z . Si se despeja la " "u

se obtiene 2 1zuz

donde se ve que 0z . Si se grafica esta

función 12

zu

, se tiene, auxiliándose del cálculo, que en el

valor de 2u se presenta una asíntota vertical y que la cota " "z efectivamente no puede tomar el valor de cero.

61


Por lo tanto, las cotas están en el intervalo 1, 1 ,

3z

.

Ejemplo. Sea la curva dada por las siguientes ecuaciones paramétricas con parámetro " " :

2 1: 2cos2 2 ; 0

3

xF y

z sen

Determinar las ecuaciones cartesianas de esta curva, eliminando al parámetro " " , identificar de qué curva se trata y hacer un trazo aproximado de su gráfica. Solución. La ecuación 1 señala que se trata de una curva ubicada en el plano 2x , que es un plano paralelo al plano coordenado YZ .

62


Además, cuando se presentan funciones trigonométricas, para eliminar un parámetro se utilizan identidades trigonométricas. Así, en la ecuación 2 se puede hacer la siguiente sustitución:

2 22 cosy sen Si se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación 3 se obtiene:

2 2z sen De donde

2

2 2 2 2 2 22 cos 2cos 2 cos2

y zy z y z

Y como 2 2cos 1sen , entonces 2

2 2 12

y zz

Luego se lleva esta ecuación a la forma ordinaria de la ecuación de las cónicas y se llega a:

2

2 2 22 11 4 2 22 4

y zz z y z y

Se trata de la ecuación de una parábola en el plano 2x , con vértice en el punto 2, 2, 0 y eje de simetría el eje de las ordenadas, pero dado el intervalo de variación del parámetro , que es 0, , en la ecuación 3 se observa que la variable " "z sólo puede tomar valores positivos y el cero, y las ordenadas toman valores positivos y negativos en el intervalo 2, 2 . Luego las ecuaciones paramétricas dadas representan el segmento de la parábola que se muestra en la figura, recorrido dos veces entre los valores de " "y , de 2 2 y de 2 2a a .

63


Las ecuaciones cartesianas de este segmento de parábola son entonces:

2 1 2 ; 2 2 ; 042

z y y zx

Si se quisiera representar este segmento de parábola con una función vectorial, bastaría con restringir el intervalo de valores del parámetro, de la siguiente forma:

2 2cos2 ; 02

f i j sen k

Esto con el sentido directo de recorrido del parámetro, es decir, en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Considérese el siguiente ejemplo de aplicación que ilustra lo que aquí se ha tratado. Ejemplo. Durante un partido de béisbol un jugador conecta la bola que sigue la trayectoria curva dada por las siguientes ecuaciones:

64


2

14 1: 17 2

6 27 1.2 3

x tF y t

z t t

donde , ,x y z están medidas en metros y " "t en segundos. Si la cerca del fondo tiene una altura de 8 metros y está a una distancia del plato de bateo de 90 metros , se desea saber si la bola alcanzará a librar la cerca y será un jonrón. Solución. Las dos primeras ecuaciones hablan de una línea recta en el plano horizontal y la tercera de un movimiento parabólico de la bola. Se muestran las gráficas del campo con un determinado sistema de referencia y la trayectoria de la bola.

Se sustituye el valor de la altura de la cerca, 8z , en la ecuación 3 , se resuelve la ecuación obtenida y se llega a:

2 2 27 729 163.26 27 1.2 8 6 27 6.8 012

t t t t t

1

2

0.2727 23.794.2312

t st

t s

65


Se considera el tiempo 2 4.23t s que es el correspondiente a cuando la bola cae. Para este valor, se calculan " " " "x y y y se obtiene:

14 4.23 59.22 ; 17 4.23 71.91x x m y y m La posición de los ejes coordenados no tiene importancia ya que de cualquier forma la distancia que recorre la bola es:

2 22 2 59.22 71.91 93.16d x y d d m Lo que quiere decir que la bola libra la cerca y es jonrón.

Capítulo 6. Álgebra vectorial

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