Capitulo 6_Heterocedasticidad_14 de Febrero de 2013
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CAPÍTULO 6 HETEROCEDASTICIDAD
UNSCH
24 de octubre de 2012
Econ. Juan A. Huaripuma Vargas
![Page 2: Capitulo 6_Heterocedasticidad_14 de Febrero de 2013](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062503/577cceca1a28ab9e788e4758/html5/thumbnails/2.jpg)
CONTENIDO
Naturaleza
Estimación
El Método de Mínimos Cuadrados Generalizados
Consecuencias de utilizar el MMCO ignorando la Heterocedasticidad
Detección de la Heterocedasticidad
Medidas correctivas
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NATURALEZAEspecificación del Modelo Econométrico …
Dado el siguiente modelo:
Donde: ,
iii XY 221
0),/( jiji XXE 0)/( ii XE
22 )/( iii XE
Covarianza
Varianza
Media
Es fija !!
),0(~ 2 NIDi
iX 2
Distribución normal e independiente
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NATURALEZATipos de perturbación …
22 )/( ii XE 22 )/( iii XE
Caso heterocedasticidadCaso Homcedasticidad
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NATURALEZAHeterocedasticidad existe por diversas razones …
,
Lógicas errores de medición y especificación:
Modelos de aprendizaje sobre errores
Más Ingresos discrecionales
Mejoras en la técnica de recolección
Presencia de factores atípicos
Asimetría en la distribución
Transformación de los datos
Forma funcional incorrecta
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,
ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …
Siendo el objetivo estimar:
iii XXYE 21)/(
iii XY 21
Dado el siguiente modelo econométrico:
En presencia de heterocedasticidad el estimador mínimo cuadrático es:
22
ˆi
ii
xyx
Pero, ahora su varianza es:
22
22
2 )()ˆ(
i
ii
xx
Var
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,
ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …
Siendo:
iiiiiiiiii wXwwXwYw 21212 )(ˆ
Como:
0)( iE
Calculando su valor esperado se tiene:
)()ˆ( 212 iiiii EwXwwE
Entonces:
22 )ˆ( E
0 iw 1iiXw
El estimador del MMCO es insesgado!!!
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,
ESTIMACIÓNVarianza de las perturbaciones en presencia de Heterocedasticidad …
Ahora, siendo:
Entonces:
)(ˆ22 iiw
Por definición se tiene:
22
222 )()ˆ()ˆ( iiwEVarE
222112 )...()ˆ( nnwwwEVar
)2...2...()ˆ( 112121222
222
21
212 nnnnnn ccwwwwwEVar
222 )ˆ( iiwVar
22
22
2 )()ˆ(
i
ii
xx
Var
¿Es mínima?
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ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Sea el siguiente estimador lineal:
Reemplazando se tiene:
iiYc2ˆ̂
Siempre y cuando que:
iiiiiiii cXccXc 21212 )(ˆ̂
Aplicando el operador de esperanza matemática:
22 )ˆ̂( E
1 iiXc 0ic 0)( iE
Este estimador arbitrario es lineal e insesgado … bajo ciertas condiciones.
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ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Si esas ciertas condiciones se cumplen:
Despejando, elevando al cuadrado y aplicando el operador de esperanza matemática, se tiene:
22222 )()ˆ()ˆ̂( iicEEVar
222112 )...()ˆ̂( nncccEVar
)2...2...()ˆ̂( 112121222
222
21
212 nnnnnn cccccccEVar
222 )ˆ̂( iicVar
iic 22ˆ̂
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ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Considerando los multiplicadores de Lagrange:
La varianza será mínima si se cumple que:
0
icZ
01
Z
02
Z
iiiii XcccZ 2122
01
icZ
0)1( iii
XccZ
02 212
iiii
XccZ
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ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
De lo anterior:
][21
2221
i
i
ii
Xc
0])()1([21
2221 i
i
ii
Xc
1)()([21
2
2
2212 i
i
i
i
iii
XXXc
[2]
[3]
[1]
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ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Resolviendo el sistema [2] y [3] se tiene:
222
2
2
2
1
)]([)]()][1([
])(2
i
i
i
i
i
i
i
XX
X
222
2
2
2
2
)]([)]()][1([
])(2
i
i
i
i
i
i
i
XX
X
222
2
2
2222
)]([)]()][1([
)]1()()()[1(
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
ii XX
XX
c
Reemplazando en [1]:
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ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
En conclusión: Este estimador mínimo cuadrático, es lineal, insesgado y tiene varianza mínima … Es un estimador eficiente …
22222
2222
2)]/([)]/()][/1([
)/()/()/()[/1(ˆ̂
iiiii
iiiiiiii
XX
YXYX
222
22
22
2
2)]/([)]/()][/1([
)/1()ˆ̂(
iiiii
i
XXVar
Como:
iiYc2ˆ̂ 22
2 )ˆ̂( iicVar Y Reemplazando:
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ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …
Supongamos el siguiente modelo Heterocedástico:
Si
Donde:
2i
1][1][][ 22 iii
i
i
i EEVar
iii XY 21
es conocido:
][][]1[ 21i
i
i
i
ii
i XY
Modelo Ponderado
Modelo Original
Modelo Ponderado Homocedástico
El estimador mínimo cuadrático del modelo ponderado es eficiente!!!
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ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …
Dado el siguiente modelo muestral ponderado:
Donde:
*2
*01
ˆˆ*ˆ ii XXY
i
ii
YY
*ˆi
ii
XX
*i
X1*
0 i
ii
*
Considerando el método de mínimos cuadrados ordinarios:2*
2*01
2 )ˆˆ( iii XXYe
0)ˆˆ(2ˆ*0
*2
*01
1
2
XXXY
eii
i
0)ˆˆ(2ˆ
**2
*01
2
2
iiii XXXYe
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ESTIMACIÓN El método de mínimos cuadrados ponderados …
De donde se deduce las siguientes ecuaciones normales:
Resolviendo el sistema se tiene:
**02
2*01
*0
* ˆˆii XXXXY
2*2
**01
2** ˆˆiiii XXXXY
22222
2222
2)]/([)]/()][/1([
)/()/()/()[/1(ˆiiiii
iiiiiiii
XX
YXYX
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CONSECUENCIAS Estimación MMCO considerando heterocedasticidad …
Se puede demostrar que:
)ˆ()ˆ̂( 22 VarVar
Por tanto:
Los intervalos de confianza son innecesariamente grandes
Las pruebas t y F nos proporcionan resultados imprecisos
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CONSECUENCIAS Estimación MMCO ignorando la heterocedasticidad …
Es el caso más probable: La varianza utilizada es sesgada.
Se sobre estima o subestima.
El sesgo depende de la relación que existe entre la varianza de las perturbaciones y la variable exógena.
Las conclusiones que se lleguen a hacer con base a la inferencia estadística son erróneas.
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DETECCIÓN Reglas prácticas …
Informales:
Naturaleza del problema
Método gráfico
Pruebas Formales:
Prueba de Park
Prueba de Glejser
Prueba de correlación por grado de Spearman
Prueba de Goldfeld-Quandt
Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey
Prueba de White
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SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 1:222 )( ii XE
Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
i
i
ii
i
XXXY 21
1
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222
2 ][1][ i
ii
i EXX
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico:
![Page 22: Capitulo 6_Heterocedasticidad_14 de Febrero de 2013](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062503/577cceca1a28ab9e788e4758/html5/thumbnails/22.jpg)
SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 2:
ii XE 22 )( Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
i
i
ii
i
XXXY 21
1
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222 ][1][ i
ii
i EXX
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico:
![Page 23: Capitulo 6_Heterocedasticidad_14 de Febrero de 2013](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062503/577cceca1a28ab9e788e4758/html5/thumbnails/23.jpg)
SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 3:222 )]([)( ii YEE
Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
)()(1
)( 21i
i
ii
i
YEYEYEY
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222 ][)(
1])(
[ i
ii
i EYEYE
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico: