CAPITULO 7

Modelo de programación lineal: método grafico

PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS

Preguntas para análisis

7-1 Exponga las similitudes y diferencias entre problemas de minimización y

maximización utilizando los métodos de solución gráfica de programación

lineal.

7-2 Es importante entender los supuestos que sirven de fundamento al uso de

cualquier modelo de análisis cuantitativo. ¿Cuáles son las hipótesis y

requerimientos de un modelo de programación lineal que debe ser

formulado y utilizado?'

7-3 Se dice que cada problema de programación lineal que tiene una región

factible tiene un número infinito de soluciones. Explique esta afirmación.

7-4 Acaba de formular un problema de maximización de programación lineal y

se está preparando para resolverlo gráficamente. ¿Qué criterios deberá

considerar para decidir si sería más fácil resolverlo con el método de punto

de esquina o el método de línea de isoutilidad?

7-5 ¿En qué condiciones es posible que un problema de programación lineal

tenga más de una solución óptima?

7-6 Desarrolle su propio juego de ecuaciones de restricción y desigualdades y

utilícelas para ilustrar gráficamente cada una de las siguientes condiciones:

(a) un problema ilimitado.

(b) un problema factible.

(c) un problema que contiene restricciones redundantes.

7-7 En una ocasión, el gerente de producción de una gran firma manufacturera

de Cincinnati comentó: "Me gustaría utilizar la programación lineal, pero es

una técnica que opera en condiciones de certeza. Mi planta no la tiene, es

un mar de incertidumbre. Por lo tanto, la programación lineal no puede ser

utilizada aquí". ¿Piensa que este comentario tiene su mérito? Explique por

qué el gerente pudo haberlo dicho.

7-8 La siguientes relaciones matemáticas fueron formuladas por un analista

investigador de operaciones de la Smith- Lawton Chemical Company.

¿Cuáles son inválidas para usarse en un problema de programación lineal y

por qué?

maximizar la utilidad = 4X1 + 3X1X2 + 8X2 + 5X3

sujeta a: 2X1 + X2+ 2X3 < 50

X1 + 4X2+ ≤ 6

1.5X12 + 6X2 + 3X3 ≥21

19X2 - 13

X3 = 17

5X1 + X2 + 3√X3 ≤ 80

-X1 - X2 + X3 = 5

7-9 Analice el papel del análisis de sensibilidad en programación lineal. ¿En

qué circunstancias se requiere, y en qué condiciones piensa que no es

necesaria?

7-10 El objetivo de un programa lineal es maximizar la utilidad = 12X + 8Y. La

utilidad máxima es de $8000, Con una computadora se encuentra que el

límite superior de la utilidad en X es 20 y el inferior 9. Explique los cambios

que ocurrirían en la solución óptima (los valores de las variables y la

utilidad) si la utilidad de X se incrementara a $15. ¿Cómo cambiaría la

solución óptima si la utilidad de X se incrementara a $25?

7-11 La utilidad máxima de un programa lineal es de $600. Una restricción de

este problema es 4X + 2Y < 80. Con una computadora se encuentra que el

precio dual de esta restricción es 3 y que existe un límite inferior de 75 y

uno superior de 100. Explique qué significan estas cifras.

7-12 Desarrolle su propio problema de programación lineal original con dos

restricciones y dos variables reales.

(a) Explique el significado de los números del lado derecho de cada una

de sus restricciones.

(b) Explique la importancia de los coeficientes tecnológicos.

(c) Resuelva gráficamente el problema para encontrar la solución óptima.

(d) Ilustre de manera gráfica el efecto de incrementar la tasa de

contribución de su primera variable (X1) de 50% sobre el valor del valor

que primero le asignó. ¿Cambia la solución óptima?

7-13 Explique cómo un cambio en un coeficiente tecnológico puede afectar a la

solución óptima de un problema. ¿Por qué un cambio en la disponibilidad

de un recurso puede afectar una solución?

Problemas*

QX.7-14 La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos:

acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble

de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de

cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere

3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2

horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de

producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se

pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada

acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada

* Nota: Q significa que el problema puede resolverse utilizando QM para Windows; X significa que

el problema puede resolverse con Excel QM y QX

, significa que el problema puede resolverse con

QM para Windows y/o Excel.

ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15.

Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción de programa-

ción lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de

aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método

gráfico de punto de esquina.

QX.7-15 La administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos

restricciones críticas (vea el problema 7-14). En particular, la

administración decide que para garantizar un suministro adecuado de

acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos,

10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de

ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste

que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de

producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para

encontrar la nueva solución óptima.

QX

:7-16 Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para

publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán

dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta

$200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de

televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la

campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas

personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos,

10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe

ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos

anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?

QX.7-17 La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas

de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques.

La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de

mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el

mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles

1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma

también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada

banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y

10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra

y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de

$20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberán pro-

ducir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el

método gráfico de programación lineal.

QX

:7-18 El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de

cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los

estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos del

licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del

profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en

total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un

promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de

posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado

deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los

profesores se mantengan en su mínima expresión?

QX

:7-19 MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras,

Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas

cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en

que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de

cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se

requieren20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora

Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por

lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de

producción. Las Alpha 4s generan S1200 de utilidad por unidad y las Beta

5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada

modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente

mes.

QX

:7-20 Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir 550,000 al año en el

mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y

una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es

obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el

riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo

de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El

riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada

acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un

resumen de la devolución y el riesgo.

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero

el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto

deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta

inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? "

QX

:7-21 Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 7-20, y suponga

que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner

mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el

riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%.

Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución

óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo- pro-

medio de esta inversión?'¿Cuál es el rendimiento estimado de esta

inversión?

QX

:7-22 Resuelve el siguiente de problema de PL con el método gráfico de punto

de esquina:

maximizar la utilidad = 4X + 4Y

sujeta a: 3X + 5Y ≤ 150

X - 1Y ≤ 10

5X+3Y ≤ 150

X, Y ≥ 0

QX

:7-23 Considere esta formulación de PL:

maximizar la utilidad = $X + 2Y

sujeta a: X + 3Y ≥ 90

8X + 2Y ≥160

3X + 1Y ≥ 120

Y ≤ 70

X, Y ≥0

Ilustre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de línea

de isocosto para indicar cuál punto de esquina produce la solución óptima.

¿Cuál es el costo.de esta solución?

QX

:7-24 La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y

recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por

profesores universitarios. Éstos estaban interesados en factores tales

como crecimiento a corto plazo, crecimiento intermedio y tasas de

dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:

FACTOR

ACCIÓN ($)LOUISIANA GAS AND

POWER

TRIMEX INSULATION COMPANY

Potencial de crecimiento

a corto plazo, por dólar

invertido

.36 .24

Potencial de intermedio 1.67 1.50

(en los siguientes tres

años) por dólar invertido

Potencial de tasa de

dividendos4% 8%

Cada miembro del club tiene una meta de inversión de (1) una ganancia

de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos

$5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo

menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor

puede hacer para satisfacer estas tres metas?

QX

:7-25 Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros

obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada

libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del ali-

mento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y

10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de

vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6

unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos

como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros.

¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra

de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del

producto final?

QX

:7-26 En gran medida, la producción estacional de aceitunas de un viñedo de

Pireo, Grecia, depende de la poda de las ramas. Si los olivos se podan

cada dos semanas, la producción se incrementa. Sin embargo, el proceso

de poda requiere de una cantidad considerablemente mayor de mano de

obra que la que sería necesaria si se permitiese que los olivos crezcan por

sí mismos. Además, el resultado de la poda es una aceituna de menor

tamaño y una mayor cercanía entre los olivos. La producción de 1 barril de

aceitunas por medio de poda requiere 5 horas de mano de obra y 1 acre

de tierra. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal

requiere sólo 2 horas de mano de obra y 2 acres de tierra. Un aceitunero

dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para

cosechar. Debido a la diferencia de tamaño de las aceitunas, 1 barril de

olivas producido por árboles podados se vende en $20, mientras que 1

barril de aceitunas ordinarias tiene un precio en el mercado de $30. El

aceitunero ha decido que por la demanda incierta, se deberán producir no

más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Use la PL gráfica

para encontrar

(a) la utilidad máxima posible.

(b) la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y

no podados.

(c) el número de acres que el aceitunero deberá dedicar a cada

proceso de cosecha.

QX

:7-27 Considere las cuatro formulaciones de PL siguientes. Con un método

gráfico, determine

(a) qué formulación tiene más de una solución óptima.

(b) qué formulación es ilimitada.

(c) qué formulación no tiene solución factible.

(d) qué formulación es correcta como está.

Formulación 1 Formulación 3

maximiza: 10X1 + 10X2 maximizar 3X1 + 2X2

sujeta a: 2X1 ≤ 10 sujeta a: X1 + X2 ≥ 5

2X1 + 4X2 ≤ 16 X1 ≥ 2

4X2 ≤8 2X2 ≥ 8

X1 ≥6

Formulación 2 Formulación 4

maximizar X1 + 2X2 maximizar 3X1 + 3X2

sujeta a: X1 ≤1 sujeta a: 4X1 + 6X2 ≤ 48

2X2 ≤2 4X, + 2X2 ≤ 12

X1 + 2X2 ≤2 3X2 ≥ 3

2X1 ≥ 2

QX. 7-28Grafique el problema de PL siguiente e indique el punto de solución

óptima:

maximizar la utilidad = $3X + $27

sujeta a: 2X + Y≤150

2X + 3Y ≤ 300

(a) ¿Cambia la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a

$4.50?

(b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiese sido de$3X+$37?

QX. 7-29Analice gráficamente el siguiente problema:

maximizar la utilidad = $4X + $6Y

sujeta a: X + 2Y ≤ 8 horas

6X + 47 ≤ 24 horas

(a) ¿Cuál es la solución óptima?

(b) Si la primera restricción se modifica a X + 37< 8 ¿cambia la región

factible o la solución óptima?

QX

: 7-30Examine la formulación de PL del problema.7-29. La segunda restricción

del problema dice 6X + 47≤24 horas (tiempo disponible de la máquina 2)

Si la firma decide que se pueden asignar 36 horas a la maquina 2 (o sea,

12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberá agregar las

horas?

QX

: 7-31Considere el siguiente problema de PL:

maximizar la utilidad = 5X + 6Y

sujeta a: 2X + Y ≤ 120

2X + 3Y ≤ 240

X, Y ≤ 0

(a) ¿Cuál es la solución óptima de este problema? Resuélvalo gráficamente.

(b) Si un avance técnico elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría

este aumento la solución óptima?

(c) En lugar de un incremento en el coeficiente de utilidad X a $8, suponga

que la utilidad fue sobreestimada y sólo será de $3. ¿Cambia la solución

óptima?

QX

: 7-32Considere la formulación de PL que se presentó en el problema 7-31. Si la

segunda restricción cambia de 2X + 37≤ 240 a 2X + 47≤ 240, ¿qué efecto

tendrá este cambio en la solución óptima?

Resultados del problema 7-33

Linear Programming ResultsX Y RHS Dual

Maximize 5. 6.Constraint 1 2. 1. <= 120. 0.75Constraint 2 2. 3. <= 240. 1.75

Solution-> 30. 60. 510.

RangingProblem 7-33 Solution

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX 30. 0. 5. 4. 12.Y 60. 0. 6. 2.5 7.5Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 0.75 0. 120. 80. 240.Constraint 2 1.75 0. 240. 120. 360.

QX

: 7-33Los resultados de computadora que se presentan arriba son del problema

7-31. Úselos para responder las siguientes preguntas.

(a) ¿Cuánto se podría incrementar o disminuir la utilidad de X sin

cambiar los valores de X y Y en la solución óptima?

(b) Si se incrementara el lado derecho de la restricción 1 en 1 unidad,

¿cuánto se incrementaría la utilidad?

(c) Si el lado derecho de la restricción 1 se incrementara en 10

unidades, ¿cuánto se incrementaría la utilidad?

QX

: 7-34Los resultados de computadora siguientes son de un problema de mezcla

de productos y tres restricciones de recursos. Úselos para responder las

siguientes preguntas. Suponga que, en cada caso, se desea maximizar la

utilidad.

(a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberán

producir?

(b) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando?

(c) ¿Cuáles son los precios duales de cada recurso?

(d) Si pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería

obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por ello?

(e) ¿Qué le pasaría a la utilidad si, con los resultados originales, la

administración decidió producir más de una unidad del producto 2?

Resultados del problema 7-34

Linear Programming ResultsX1 X2 RHS Dual

Maximize 50. 20.Constraint 1 1. 2. <= 45. 0.Constraint 2 3. 3. <= 87. 0.Constraint 3 2. 1. <= 50. 25.Solution-> 25. 0. 1,250.

RangingProblem 7-34 Solution

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX1 25. 0. 50. 40. InfinityX2 0. 5. 20. -Infinity 25Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 0. 20. 45. 25. InfinityConstraint 2 0. 12. 87. 75. InfinityConstraint 3 25. 0. 50. 0. 58.

Resultados del problema 7-35

Linear Programming ResultsX X2 RHS Dual

Maximize 8. 5.Constraint 1 1. 1. <= 10. 5.Constraint 2 1. 0. <= 6. 3.Solution-> 6. 4. 68.

RangingProblem 7-35 Solution

Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX1 6. 0. 8. 5. InfinityX2 4. 0. 5. 0. 8.Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 5. 0. 10. 6. Infinity.Constraint 2 3. 0. 6. 0. 10.

QX⋮7-35 Resuelva gráficamente el siguiente problema:

maximizar la utilidad = 8X1 + 5X2

sujeta a: X1 + X2 ≤ 10

X ≤ 6

X1 , X2 ≥ 0

(a) ¿Cuál es la solución óptima?

(b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en lugar de 10) y

resuelva el problema. ¿Cuánto se incrementaría la utilidad como

consecuencia de este cambio?

(c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en lugar de 10) y resuelva

el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad como consecuencia de este

cambio? Examine la gráfica y explique qué sucedería si el valor del lado

derecho se reduce por debajo de 6.

(d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en lugar de 10) y

resuelva el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad con respecto a la

original a consecuencia de este cambio?

(e) Utilizando los resultados de computadora que se dan en esta página,

¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es el límite inferior?

(f) ¿Qué conclusiones se pueden sacar de estos resultados con respecto a

los límites de los valores del lado derecho y el precio dual?

QX⋮7-36 Serendipity1

Los tres príncipes de Serendip

Emprendieron un viaje.

No podían llevar mucho peso;

Más de 300 libras los hicieron vacilar.

Decidieron llevar pequeñas porciones. Cuando regresaron a Ceilán

Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer

Cuando, para su regocijo, el príncine William encontró Una pila de cocos

en el suelo

"Cada uno llevará 60 rupias", dijo el príncipe Richard con una mueca de

1 La palabra serendipity fue acuñada por el escritor inglés Horace Walpole basado en un cuento de hadas titulado Los tres príncipes de Serendip. Se desconoce el origen del problema.

aprobación

Cuando casi se tropieza con una riel de león.

"Cuidado", exclamó el príncipe Robert con alegría

Cuando divisó más pieles de león bajo un árbol.

"Estas valen más de 300 rupias cada una

Si sólo pudiéramos llevárnoslas hasta la playa."

Cada piel pesaba 15 libras y cada coco cinco,

Pero cargaron con todo en un santiamén.

El bote de regreso a la isla era muy pequeño

15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo.

Cada piel de león ocupaba un pie cúbico

Mientras que ocho cocos ocupaba- el mismo espacio.

Con todo estibado se hicieron a la mar

Y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva

riqueza.

"¡Eureka!" gritó el príncipe Rober., "nuestra riqueza es tan grande

Que no existe otra forma de regresar en este estado.

Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído

Ahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco.

Le escribiré a mi amigo Horacé en Inglaterra y con toda seguridad

Sólo él podrá apreciar nuestra serendipity".

Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular "cuál

podría ser su nueva riqueza".

Los problemas 7-37, 7-38, 7-39 y 7-41 ponen a prueba su habilidad para

formular problemas de PL con más de dos variables. No pueden ser

resueltos gráficamente pero le brindarán la oportunidad de plantear un

problema más grande.

QX⋮7-37 El Feed'N Ship Ranch engorda ganado páralos granjeros locales y lo

envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Les propietarios

del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que

deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales

mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de

alimentación. La mezcla de aumentos se puede componer de los tres

granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:

INGREDIENTEALIMENTO (ONZAS)

MEZCLA X MEZCLA Y MEZCLA ZA 3 2 4

B 2 3 1

C 1 0 2

D 6 8 4

El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50,

respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras

del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D.

El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier

circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z per mes del

proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N

Ship Ranch en un memento dado, esto significa que no se puede contar

con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada

vaca por mes.

(a) Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada.

(b) Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.

QX

:7-38 Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente

técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la

NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe pasar a

través de los siguientes departamentos: alambrado eléctrico, taladrado,

ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas por cada

unidad producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente:

PRODUCTO

DEPARTAMENTO UTILIDAD POR UNIDAD

($)ALAMBRA

DO

TALADR

ADO

ENSAMBL

EINSPECCIÓN

XJ201

XM897

TR29

BR788

0.5

1.5

1.5

2

0.3

1

2

3

0.2

4

1

2

0.5

1

0.5

0.5

9

12

15

11

La producción disponible en cada departamento cada mes y el

requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los

contratos son los siguientes:

DEPARTAMEN

TO

CAPACIDAD (HORAS)

PRODUCTO

NIVEL DE PRODUCCIÓN

MÍNIMO

Alambrado

Taladrado

Ensamble

Inspección

15,000

17,000

26,000

12,000

XJ201

XM897

TR29

BR7S8

150

100

300

400

El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los

niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a

formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el pro-

blema de Weinberger mediante PL.

QX⋮7-39 Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa

de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un

pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe

ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades

del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que

ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada

uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra.

En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo

de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a

un costo de S60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos

modelos a S50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de

trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a

fines de este mes.

El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo

normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con

tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales

del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas extra

este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de con-

servar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por

raqueta. Con estos datos formule un modelo de PL para minimizar el

costo.

QX⋮7-40 Modem Corporation of America (MCA) es el más grande productor de

dispositivos de comunicación por MODEM para microcomputadoras. MCA

vendió 9000 unidades del modelo regular y 10,400 del modelo "inteligente"

este septiembre. Su declaración de ingresos del mes se muestra en la

tabla de la página siguiente. Los costos en que se incurrió son típicos de

meses previos y se espera que permanezcan en los mismos niveles en el

futuro próximo.

La firma debe enfrentar varias restricciones durante la preparación de su

plan de producción de noviembre. En primer lugar, ha experimentado una

gran demanda y no ha podido mantener un inventario significativo en

existencia. Se espera que esta situación no cambie. En .segundo, lugar, la

firma está localizada en un pequeño pueblo de Iowa donde no hay mano

de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores pueden ser

cambiados de un departamento de producción de un modem a otro. Para

producir los 9000 modems normales en septiembre se requirieron de 5000

horas de mano de obra directa. Los 10,400 modems inteligentes

absorbieron 10,400 horas de mano de obra directa.

Tabla del problema 7-40

Declaración de ingresos de MCA del mes que termina el 30 de septiembre

MODEMS

NORMALES

MODEMS INTELIGENTES

Ventas 5450,000 5640,000

Menos: Descuentos 10,000 15,000

Devoluciones 12,000 9500

Reemplazos por garantía 4000 2500

Ventas netas 5424,000 $613,000

Costos de ventas

Mano de obra directa 60,000 76,800

Mano de obra indirecta 9000 11,520

Costo de materiales 90,000 128,000

Depreciación 40,000 50.S00

Costo de ventas $199,000 $267,120

Utilidad bruta 5225,000 5345,880

Gastos de ventas y generales

Gastos generales-variables 30,000 35,000

Gastos generales-fijos 36.0G0 40,000

Publicidad 2S.000 25,000

Comisiones sobre ventas 31,000 60,000

Costo total de operación 5125,000 $160,000

Ingreso antes de impuestos $100,000, S185.8S0

Impuestos sobre la renta (25%) 25,000 46,470

Ingreso neto S 75,000 $139,410

En tercer lugar, MCA enfrenta otro problema que afecta al modelo de

modems inteligentes. Su proveedor de componentes sólo puede

garantizar 8000 microprocesadores para entrega en noviembre. Cada uno

de estos modem requiere uno de estos microprocesadores de fabricación

especial. No están disponibles otros proveedores a corto plazo.

MCA desea, planificar una mezcla óptima de los dos modelos de modem

para producirlos en noviembre para maximizar sus utilidades.

(a) Formule, con los datos de septiembre, el problema de MCA como un

programa lineal.

(b) Resuélvalo gráficamente.

(c) Exponga las implicaciones de su solución recomendada.

QX

:7-41 Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George

Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio

fertilizante, llamado "Golding Grow", compuesto por cuatro complejos

químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por

libra de cada complejo

COMPLEJO QUÍMICO CONSTO POR LIBRA $C-30 0.12

C-92 0.09

D-21 0.11

E-11 0.04

Las especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe

constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 juntos deben

constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden

constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y

vende en sacos de 20 libras.

(a) Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro

compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50

libras del fertilizante.

(b) Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.