Capitulo 7-Texto Seoane

7/17/2019 Capitulo 7-Texto Seoane

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Curso: Lógica. Prof. José Seoane. 2007. (texto provisorio).

7. Lenguajes de orden uno: semántica

7.1 Introducción

Como se recuerda, el objetivo es elucidar la noción de ‘argumento deductivo” o

“lógicamente correcto’. Luego resulta singularmente valioso -como se discutió en el

caso proposicional- capturar la noción de “consecuencia lógica”; pero esta noción, tal

cual fue definida, es una noción semántica. Luego se hace necesario “interpretar”

nuestro lenguaje, es decir, proveer de “significado” a sus fórmulas. La tarea, dada la

mayor riqueza del lenguaje, es notablemente más sofisticada que en el caso

proposicional. La estrategia expositiva, no obstante, será análoga: primero se ofrece una

aproximación intuitiva y luego se precisan, en términos formales, dichas ideas.

7.2 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista

intuitivo)

En esta sección se explica –en 7.2.1 y 7.2.2- en términos intuitivos y generales

como se confecciona una semántica para un lenguaje de orden uno. Se espera que tales

desarrollos permitan alcanzar una cierta familiaridad con las nociones básicas de tal

construcción; a los efectos de contribuir al logro de ese objetivo se presentan –en 7.2.3-

algunos ejemplos de “construcciones” semánticas informales.

7.2.1 Interpretación (Primera parte)

En primer lugar, conviene recordar que los conectivos siguen manteniendo su

interpretación habitual y los paréntesis continúan cumpliendo su papel de signos de

puntuación. Así pues se debe atender al resto de categorías de símbolos del alfabeto.

Un razonable punto de partida puede ser la interrogación siguiente: ¿qué

significan las variables de individuo?, ¿cómo interpretarlas? . Estas variables “varían”

sobre individuos. Pero ¿qué entidades son estos “individuos”? La respuesta a esta última

interrogante debe ser provista por la interpretación, es decir, para interpretar el lenguaje

en cuestión se debe decir cuál es el universo de individuos al que nos referiremos. Luego

el primer paso en la tarea de proveer una interpretación para el lenguaje consiste en

definir cuál es el dominio de la interpretación, es decir, el conjunto de individuos sobre

el cual toman sus valores las variables. El dominio de la interpretación puede ser, por

ejemplo,ℵ o ℜ. La única restricción que se asumirá es que no sea vacío.



Lógica y argumento – J.Seoane 181

Las constantes de indiviudo, como se dijo, funcionan, para continuar con la

analogía con el lenguaje natural, como nombres propios. Esto quiere decir que mientras

una variable “vk ” puede, en principio, denotar a cualquier individuo del dominio –si se

ha elegido ℵ como dominio, a cualquier número natural-, las cosntantes de individuo

tendrán fija su denotación -por ejemplo, podemos usar la constante “c1” para denotar al

número tres. Es decir, interpretar una constante quiere decir asignarle a dicho símbolo

un individuo específico del dominio de la interpretación.

Las letras de predicado -sean monádicas, sean poliádicas1- deberán corresponder

a relaciones de igual aridad entre individuos del dominio. Por ejemplo, si se desea

interpretar la letra de predicado “R2” y se ha definido el dominio como ℵ, suinterpretación podría ser la relación menor o igual entre naturales. La interpretación de

R2 en tal caso luciría luego así

{<n,m>: <n,m>∈ℵxℵ y n≤m}.

Es decir, interpretar una letra de predicado n-aria quiere decir asignarle una relación

n-aria en el dominio de la interpretación.En el caso de lenguajes con el símbolo de igualdad, la interpretación del símbolo

de igualdad “≈” es la previsible; siguiendo con el ejemplo anterior, se trataría del

conjunto de pares ordenados de números naturales donde la primera y la segunda

proyección del par son el mismo número.

Las letras funcionales se interpretarán atribuyéndoles funciones de igual aridad

en el dominio. Por ejemplo, siguiendo con el mismo dominio, podría interpretarse “f 2”

como el producto entre naturales. Es decir, la interpretación de “f 2” sería una función

que va de ℵxℵ en ℵ y asocia, con cada par de naturales m y n, el resultado de

multiplicar m por n.

Como seguramente el lector ya habrá advertido, la interpretación debe tomar en

cuenta exclusivamente los símbolos del lenguaje particular; por ejemplo, si el lenguaje

posee dos símbolos de predicado (R11, R2

1) , dos símbolos funcionales (f 2, g2) y un

1

Se dice que una letra de predicado es “monádica” si es del tipo R1k

, es decir, “exige” un solo términopara convertirse en una fórmula; se dice que es “poliádica” en otro caso, es decir, “exige” dos o más

términos.




símbolo de constante (c5), la interpretación del mismo deberá atribuir a R11 una relación

unaria y a R21 una relación binaria, a f 2

1 y a f 2

2 funciones binarias y un individuo del

dominio a c5. Esta “porción” del lenguaje -que varía de un lenguaje de primer orden a

otro- se denomina a veces “descriptiva”; en contraposición, los símbolos lógicos están

presentes en todo lenguaje de primer orden.

El caso de los conectivos -como se señaló antes- mantienen su interpretación

habitual. El caso de los cuantificadores, desde el punto de vista intuitivo, es muy

simple.

El cuantificador universal refiere a todos los individuos del dominio, es decir,

∀v1 R1v1

quiere decir que todos los individuos del dominio poseen la propiedad R1-en adelante,nos ahorraremos los superíndices si no afectan la lectura de la letra de predicado.

Siguiendo con el ejemplo de arriba, si se interpreta “R1” como la propiedad ser primo, la

fórmula de arriba afirmaría que todos los números naturales son números primos.

El cuantificador existencial refiere, indeterminadamente, a algún individuo del

dominio, es decir,

∃v1 R1v1

quiere decir que al menos un individuo del dominio posee la propiedad R1; siguiendocon el ejemplo, aseveraría que al menos un número natural es número primo.

Entonces, desde el punto de vista intuitivo, a los efectos de interpretar un

lenguaje de orden uno –dado que la interpretación de conectores y cuantificadores se

mantiene invariable- basta con :

a) fijar un dominio de interpretación -esto es, definir un conjunto no vacío-;

b)

atribuir a los símbolos de constantes de ese lenguaje -si los posee- individuosdeterminados del dominio;

c) atribuir a las letras de relación de ese lenguaje -si las posee- relaciones de igual

aridad en ese dominio y

d) atribuir a las letras funcionales de ese lenguaje -si las posee- funciones de igual

aridad en ese dominio.




Como los símbolos en que puede diferenciarse un lenguaje de orden uno son los

descriptivos, alcanzará (para individualizar un lenguaje) con indicar cuáles de tales

símbolos son los que forman parte de su vocabulario. De modo que se podría, por

ejemplo, individualizar un cierto lenguaje L1 describiendo su vocabulario del modo

siguiente:

dos letras de constante: c1, c2 ;

una letra de predicado binario: R2;

una letra de función unaria: f 1.

Sólo a los efectos de fijar ideas, si se pidiese una interpretación para este

lenguaje L1 se podría -intuitivamente- resolver el problema así: sea ℵ el dominio deinterpretación -es legítimo hacerlo pues, obviamente, ℵ≠∅-, sea c1 el 0 y c2 el 1 -es

legítimo, pues ambos son naturales, es decir, pertenecen al dominio-, sea R2 la relación

menor estricto definida entre naturales -es decir, una relación en el dominio de la

interpretación- y sea f 1 la función unaria sucesor, es decir, la función que, para cada

n∈ℵ, da como resultado n+1 -es legítimo, pues para cada n∈ℵ, da un cierto j∈ℵ,

donde j=n+1.




La pregunta obvia es, dada la interpretación del lenguaje, ¿cómo se interpretan

las fórmulas del mismo? Pues si el interés de la teoría lógica es capturar la relación de

consecuencia (en ese lenguaje), deberíamos ser capaces de decidir, interpretado así el

lenguaje, acerca de la verdad o falsedad de sus fórmulas. Trataremos tal desafío en la

próxima sección.

7.2.2 Interpretación (Segunda parte)

En primer lugar, resulta obvio que, respecto de ciertas fórmulas, se puede decidir

sobre su verdad o falsedad una vez que se realiza la operación semántica descripta en la

sección anterior. Tómese el lenguaje L1 y asúmase la interpretación sugerida hacia el

final de 7.2.1, considérese las dos fórmulas siguientes de L1 :

7.1 Problemas y tareas1. Si su dominio de interpretación es el conjunto de números naturales. Defina

interpretaciones posibles para las siguientes letras de predicado:

a.

R11

b.

R12

c.

R13

d.

R21

e. R22

f. R23

2. Si su dominio de interpretación es el conjunto de números enteros. Defina interpretaciones

posibles para las siguientes letras de función:

a.

f 11

b.

f 12

c.

f 13

d. f 21

e. f 22

f. f 23

3. Proponga un lenguaje de orden uno seleccionando letras de predicado y letras de función

de las listas de arriba. Construya una interpretación para el mismo. Si encuentra

dificultades, consulte la sección 7.3.

4.

Sea L5 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R2

2 y dos

constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje. Si encuentra dificultades,

consulte la sección 7.3.




i) ∀v1∃v2 R2 v2v1

ii) ∃v1∃v2 R2v1v2.

A la luz de la interpretación anterior, resulta claro que i) es falsa: no es cierto que

para todo natural exista un natural menor estricto que él, pues no hay ningún natural

menor estricto que 0. En cambio ii) es verdad, pues es cierto que existe al menos un

natural que es menor estricto que algún natural: digamos el 0 respecto del 1.

Adviértase que tanto en el caso de i) como en el caso de ii), dada la

interpretación del lenguaje antes ofrecida, no ha existido ninguna dificultad para

determinar su valor de verdad. Podríamos preguntarnos si esto es cierto para cualquier fórmula.

Supóngase ahora que se debe responder, para la interpretación dada, cuál es el

valor de verdad de la fórmula de L1 siguiente:

iii) R21c2v2.

Parece que la respuesta no puede darse, pues no se sabe qué valor denota la

variable. Lo que expresa iii) es que 0 es estrictamente menor que el individuo al cual

refiere v2. Mientras no se sepa cuál es el individuo denotado por esta variable lapregunta sobre el valor de verdad de iii) no puede responderse. Obsérvese que aquí no

basta la interpretación construida. Otro ejemplo puede ser

iv) R21v3v4.

Tampoco es posible determinar el valor de verdad de iv). El problema surge, en ambos

casos, a partir de una limitación básica: los términos no quedan interpretados y, luego,

las fórmulas no poseen significado.

Quizá ayude a percibir más nítidamente esta situación notar que, por ejemplo, siasumimos como se dijo arriba que la letra funcional “f 1” denota la función sucesor,

respecto de

v) f 1 v3

no puede determinarse qué número natural denota, hasta tanto no se sepa qué número

denota la variable. En cambio

vi) f 1c1

, dada la interpretación de la constante ofrecida antes, es obvio que este término denotael número 1.




Si se comparan i) y ii) con iii) y iv) quizá el lector sospeche ya dónde radica la

diferencia respecto de las fórmulas: en i) y ii) no ocurren variables que no caigan bajo

el alcance de algún cuantificador ; en iii) y iv), en cambio, sí ocurren variables que no

son alcanzadas o gobernadas por ningún cuantificador . Estas últimas ocurrencias se

denominan libres; las que son alcanzadas o gobernadas por algún cuantificador se

denominan ligadas. Este contraste resulta muy intuitivo si pensamos en la información

semántica que aporta la, por así decir, acción cooperativa del cuantificador y la variable

respectiva en el caso en que el primero “liga”, “alcanza” o “afecta” a la segunda. Por

ejemplo,

vii) ∀v1R1v1

afirma que todos los individuos tienen la propiedad R1. Peroviii) ∀v1R1v2

ciertamente no dice lo mismo, ya que el trabajo cooperativo aludido no se produce. Una

fórmula sin ocurrencias libres de variables (o, más directamente, sin variables libres) se

denomina cerrada; en otro caso se denomina abierta.

Más adelante ofreceremos una definición precisa de estos conceptos; por ahora

estos desarrollos serán suficientes.

La diferencia entonces entre fórmulas cerradas y fórmulas abiertas en esteaspecto podría resumirse en el éxito (fracaso) de las primeras (segundas) en términos de

significatividad. Gruesamente, las primeras poseen significado y las segundas carecen

del mismo, una vez especificado el significado de las diversas categorías sintácticas

(exceptuando las variables).

¿Cómo enfrentar pues el problema del significado de las fórmulas abiertas?

Rápidamente podría responderse así: “haciendo” denotar a todos los términos que

ocurren en la fórmula. Para solucionar el problema de forma radical, esto es, para quetoda fórmula adquiera un valor de verdad, es necesario dotar de significado a todo

término del lenguaje. Lograr esto –una vez que se ha definido una interpretación como

la de arriba- requiere una sola operación adicional: asignar valores a todas las variables

de individuo del lenguaje. Por ejemplo, es claro que si asignamos a vi el número natural

i-1, entonces iii) y iv) son satisfechas para esa asignación por la interpretación

anteriormente ofrecida de los símbolos del lenguaje. ¿Por qué? Porque 0 es menor

estricto que 1 y 2 es menor estricto que 3. Ahora si asignamos a v i el número natural i-2,entonces iii) no es satisfecha (ya que 0 no es menor estricto que 0) mientras iv) sí lo es




(ya que 1 es menor estricto que 2). Se tiene entonces que iii) y iv) son satisfechas para

algunas asignaciones de valores a las variables y para algunas no lo son. Esto es, que iii)

y iv) queden interpretadas depende de que se establezca la asignación de valores a las

variables. En síntesis, para que todas las fórmulas adquieran significado es necesario

ofrecer una interpretación como la ejemplificada arriba y, además, interpretar las

variables. La próxima sección está orientada –como se prometió- a familiarizar al lector

con los conceptos antes expuestos.

7.2.2 Ejemplo en detalle de interpretación

Seguramente el lector recuerda que el alfabeto de todo lenguaje de orden uno

posee un sobconjunto de símbolos comunes y un subconjunto de símbolos específicos,

que varía según el lenguaje particular de que se trate. Luego a los efectos de caracterizar

un lenguaje de orden uno L alcanza con describir el segundo subconjunto de símbolos.

Sea pues L2 un lenguaje de orden uno que cuenta con

Constantes: c1 ;

Letras de predicado: R11, R1

2 , R2

1 ;

Letras de función: f 11 , f 2

1 .

La interpretación de este lenguaje atribuye (y por eso no lo especificaremos en

los casos siguientes) los significados habituales a los símbolos lógicos. Si estamos

interesados en que toda fórmula de L2 adquiera un significado se construye la

interpretación siguiendo estos pasos.

Primero fijamos un dominio de interpretación. Pongamos en este caso ℵ -como

se recuerda la única condición que debe cumplir es que se trate de un conjunto no vacío.

Para fijar ideas podríamos escribirlo así:

Dom=ℵ.Establezcamos ahora el significado de la constante individual –como

seguramente el lector advierte no hay necesidad de comenzar resolviendo el significado

de ésta y no el de, por ejemplo, las letras de función. Dado el dominio, la constante que

tenemos deberá denotar un objeto de ese dominio, a saber, un número natural. Sólo para

fijar ideas podemos expresarlo así (la “flecha ondulada” relaciona, en un sentido

puramente intuitivo y provisional, el elemento lingüístico con su significado):

c1 ≈> 0




Luego definimos el significado de las letras de predicado. Como se trata de dos

letras de predicado unarias y una binaria, debemos definir dos relaciones unarias en ℵ,

es decir, dos subconjuntos deℵ y asociarlos con las letras de predicado unarias y una

relación binaria, es decir, un subconjunto de ℵxℵ, y asociarla con la letra respectiva .Podríamos plantear una posible atribución de significados así:

R11 ≈> {x: x∈ℵ y existe y∈ℵ tal que 2y=x}

R12 ≈> {x: x∈ℵ y no existe y,z∈ℵ, y>1, z>1 tal que yz=x}

R21 ≈> {<x,y>: x,y∈ℵ y x<y}

Luego caracterizamos el significado de las letras de función. En este caso existen

dos letras de función. A la letra de función unaria debemos asociarle una función unaria

de ℵ en ℵ y a la letra de función binaria una función de ℵxℵ en ℵ. Por ejemplo

f 11 ≈> f 1

1 (x) = x

2 ;

f 21 ≈> f 2

1(x,y)=xy.

Cualquier fórmula cerrada de L1 posee un significado bajo esta interpretación.

Por ejemplo

∀v1 (R21c1v1 → R2

1v1f 1

1v1)

es falsa –bajo esta interpretación. Esta fórmula afirma que, si un número natural es

mayor que cero, entonces su cuadrado es mayor que él. Esto no es cierto, pues 12=1.

Si se desea que toda fórmula posea significado –y no sólo las fórmulas cerradas-

entonces se le asigna a cada variable un elemento del dominio i.e. un número natural.

Por ejemplo

vi ≈> i+5.

Luego una fórmula como

R11 v3

es verdadera.

Las ideas intuitivas introducidas en 7.2.1 y 7.2.2 y ejemplificadas en esta sección

se precisan y desarrollan a partir de la sección 7.3.




7.3 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista

formal)

Esta sección se divide en tres sub-secciones. La primera está destinada a ofrecer

la caracterización precisa de los conceptos de estructura-L y asignación, es decir, a

definir rigurosamente lo que ha de entenderse por interpretación (de un lenguaje de

orden uno). Las otras dos se dedican, respectivamente, a estudiar cómo se interpretan los

términos y las fórmulas del lenguaje.

7.3.1 Interpretación = Estructura + Asignación

Tornar más precisas las ideas intuitivas antes expuestas es una operación

exigente. Para facilitar la comprensión de la misma puede resultar útil dividir tal tarea

en diversas etapas. En primer lugar, el interés estará centrado en la interpretación de los

símbolos que se convino arriba pertenecen a la “porción descriptiva” del lenguaje. Es

decir, constantes, letras de relación y letras de función.

7.2 Problemas y tareas

1.

Sea L6 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R22.Construya una interpretación para tal lenguaje.

2. Sea L7 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función: f 1, f 21

,f 22.

Construya una interpretación para tal lenguaje.

3. Sea L8 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función: f 1, f 21

,f 22 y dos

constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje.

4.

Sea L9 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R2

2 y

una constante: c1. Construya una interpretación para tal lenguaje.

5.

Sea L10

un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R

2

1

,R

2

2 ,

dos símbolos de función: f 1, f 2 y una constante: c1. Construya una interpretación para

tal lenguaje.

6. Para cada uno de los cinco lenguajes referidos arriba, construya dos fórmulas

verdaderas y dos fórmulas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha

construido). Obviamente, tales fórmulas deben ser cerradas.

7.

Para cada uno de los cinco lenguajes referidos arriba, construya cuatro fórmulas

abiertas. Dotando de interpretación a las variables logre, para cada caso, que dos de

ellas sean verdaderas y dos de ellas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha

construido).




Como se recordará para efectuar tal tarea debía proveerse un conjunto no vacío,

elementos de ese conjunto y relaciones y funciones definidas en el mismo,

respectivamente. A veces se denomina estructuras a objetos como éstos, a saber: un

conjunto con elementos “distinguidos” y funciones y relaciones definidas sobre el

mismo. En particular, dado un cierto lenguaje L se denominará realización de L o

estructura-L una construcción conjuntista como la descrita que “interpreta” el lenguaje

L. Expresado formalmente.

Definición 7.1 (Estructura-L)Sea L un lenguaje de orden uno. Se denomina

una realización de L o una estructura-L a una estructura compuesta por:

- un conjunto no-vacío A denominado dominio de la realización o estructura-L A ;

-para cada símbolo de constante c j de L, la interpretación del mismo se denota c j* A

y es

un elemento de A;

-para cada letra de función f n de L, la interpretación del mismo se denota f n* A∈A y es

una función de An en A;

-para cada letra de relación Rn de L, la interpretación del mismo se denota Rn*

A

y es unarelación n-aria en A, es decir, Rn*

A ⊆A

n.

En el caso de lenguajes con igualdad, la interpretación de la igualdad se denota

≈* A

y es el conjunto {<x,y>∈M2: x=y}.

Hablando en forma intuitiva, véase que lo que “aporta” la estructura A esa) el dominio A de objetos de los cuales “hablan” las fórmulas del lenguaje;

b) a cada símbolo de constante, le da un objeto de A;

c) a cada letra de relación n-aria, le da una relación n-aria en A;

d) a cada letra de función n-aria, le da una función n-aria en A.

Como puede apreciar el lector, la estructura hace el trabajo de, digámoslo así, la

primera parte de la labor interpretativa desarrollada en el enfoque intuitivo de la secciónanterior –en la sección 7.2.1.




Dicho directamente, la estructura A otorga significado a una serie de símbolos del

alfabeto y, consecuentemente, a una serie de términos del lenguaje. Por ejemplo, dada

una cierta estructura-L A ,y si las expresiones

f 1c1

y

f 2f 1c2c3

son términos de L, entonces quedan perfectamente definidos los individuos de A

denotados por los mismos.

Pero, como se discutió en la sección anterior, no alcanza tal construcción para

que quede asegurado el significado de todos los términos y, consecuentemente, de todas

las fórmulas de L. Cuando es éste, precisamente, el objetivo, debe precisarse cómo dar

significado a todos los elementos de TER(A). La solución, desde el punto de vista

intuitivo, consiste (como se dijo) en atribuir significado a todas las variables del

lenguaje. La idea es construir entonces una función que hace ese trabajo: a cada variable

de individuo del lenguaje le asigna un objeto del dominio de la estructura –a estas

funciones se les denominará asignaciones. Formalmente

Definición 7.2 (Asignación) Sea A una estructura-L. Sea V el conjunto de las

variables de individuo de L. Se denomina una asignación I a una función que asigna a

cada variable de L un individuo de A, es decir, I:V →A.

Luego, hablando rápidamente, puede entenderse por una interpretación de L el

par formado por una estructura-L A y una cierta asignación I. Esquemáticamenteexpresado

Interpretación = Estructura + Asignación

Una interpretación AI –la motivación para la elección notacional es obvia-, dado

un término t cualesquiera, da como interpretación del mismo un objeto del dominio A y,

dada una fórmula, satisface o hace V o F a la misma. Esta síntesis supone una

simplificación brusca de algunos delicados problemas conceptuales; en especial,

aquellas cuestiones vinculadas con la caracterización de la verdad, no serán atendidas en




esta exposición rápida de la semántica clásica de los lenguajes de orden uno. Hasta

donde alcanzo a comprender, tal simplificación no produce equívocos técnicos; en este

modesto libro introductorio es todo lo que aspiro al respecto. El lector interesado puede

consultar la valiosa bibliografía que se ocupa del tema2.

Estudiemos v) -que se señaló como un caso de “insuficiencia” de la sola

estructura para determinar su referencia. Supongamos que A=ℵ, f 11

es interpretada por

la función sucesor i.e. f 11*

A (x)=x+1 (con x∈ℵ) y la asignación I se define así I(v j)=j.

Luego

f 11v3

denota el sucesor de 3, es decir, 4 –porque f 11*

A (I(v3))= f 1

1* A

(3)=3+1=4 .

Un raciocinio análogo se hace para las fórmulas. Tomemos el ejemplo iv) dearriba,

R21

v3v4,

si R21 es la relación menor estricto, entonces si I(v j)=j, parece claro que lo que afirma la

fórmula es cierto ya que <I(v3), I(v4)>∈ R21*A

, es decir, <3, 4)>∈ R21*A

, esto es, 3< 4.

Estas últimas apreciaciones son aún de naturaleza intuitiva pero sugieren en forma

precisa el camino de la formalización. Corresponde ahora ofrecer definiciones más

estrictas. Se enfoca primero el caso de los términos y luego el de las fórmulas.

7.3.2 Interpretación de términos

No parece difícil definir cómo se comporta una interpretación AI respecto de

términos. Esta definición puede lucir así 3

Definición 7.3 (Interpretación de términos) Sea A una estructura-L, sea I una

asignación sobre A, sea t un término cualesquiera de L , los ti (con 1≤i≤n) son términos

de L y el superescrito * A

adicionado a un símbolo del alfabeto denota el objeto que la

estructura A otorga a dicho símbolo. Luego:

a) si t≡vk (k ∈ℵ), AI(t)=I(t)=I(vk );

b) si t≡c j (j∈ℵ), AI(t)=c j* A

.

c) si t≡f n jt1...tn, AI(f n

jt1...tn)= f n

j* A AI(t1) ... AI(tn).

2 La noción de verdad en lenguajes formalizados fue introducida por Tarski en Tarski [1935]. Una

discusión importante sobre su importe filosófico puede verse en Nidham, Asimismo una revisión

revolucionaria de las ideas tarskianas puede leerse en Etchemendy [1991]. En este texto hemos seguido,

desde el punto de vista técnico, un enfoque ligeramente diverso al original –véase, por ejemplo, Manzano,M. [1989].3 Se sigue en la exposición de las nociones técnicas, básicamente, a Manzano, M. [1989].




Adviértase que aquí, directamente, la interpretación conduce a la denotación del

término, es decir, ofrece el elemento del dominio al cual el término denota.

7.3.3 Interpretación de fórmulas

Como se discutió antes, desde el punto de vista intuitivo, para poder dar

significado a la totalidad de las fórmulas de un lenguaje de orden uno es necesario

atribuir valores a las variables libres que intervienen en ella. Usaremos para ello, como

era de esperar, el concepto de asignación. Lo que corresponde es definir rigurosamente

el resultado de aplicar una interpretación AI a una fórmula de L. Pero antes de hacerlo

deberemos introducir un concepto técnico: el de asignación variante. El mismo se

define así:

Definición 7.4 (Asignación variante) Sea I una asignación i.e. I:V →A. La

asignación variante Ixa se define así:

Ixa =(I-{<x,I(x)>})∪{<x,a>}.

La idea es que la asignación variante se comporta igual que I en todos los casos,

excepto (eventualmente) en que atribuye a la variable x el objeto a∈A.

Hagamos más explícito el trabajo de la asignación variante. Supongamos que I

se comporta de modo tal de dar a cada vi el número i. Iv43 es, obviamente, una

asignación variante. La situación puede describirse gráficamente así:

I(v1) = 1 = Iv43(v1)

I(v2) = 2 = Iv43(v2)

I(v3) = 3 = Iv43(v3)

I(v4) = 4 ≠ 3 = Iv43(v4)

I(v5) = 5 = Iv43(v5)

:

:




La definición prometida que permite interpretar toda fórmula del lenguaje puede lucir

luego así:

Definición 7.5 (satisfacción) Sea A una estructura-L. Sea I una asignación i.e. I:

V →A. . Diremos que la interpretación satisface una fórmula ϕ -se nota AI sat ϕ- si1) a) Sea ϕ∈Ato y F≡Rk

j t1t2...tk -k ∈ℵ* , Rk

j es una letra de relación de L , t1, t2, ... ,

tk ∈TER(A) .

AI sat F si y solamente si:

<t1* AI

,...,tk * AI

>∈Rk * AI

;

b) Sea ϕ∈Ato y -si el lenguaje es un lenguaje con igualdad- ϕ≡t1≈t2 -donde

t1,t2∈TER(A). Entonces

< AI> sat t1≈t2 si y solamente si

t1* AI

= t2* AI

.

2) Sea ϕ ≡¬G, entonces

AI sat ϕ si y solamente si no AI sat G, es decir, la interpretación AI no satisface la

fórmula G;

3) Sea ϕ≡(G∧H), entonces

AI sat F si y solamente si AI sat G y AI sat H ;

4) Sea ϕ≡(G∨H), entonces

AI sat ϕ si y solamente si AI sat G o AI sat H;

5) Sea ϕ≡(G→H), entonces

AI sat ϕ si y solamente si no AI sat G o AI sat H;

6) Sea ϕ≡(G↔H), entonces AI sat ϕ si y solamente si AI sat G y AI sat H o no AI sat G y

no AI sat H;

7) Sea ϕ≡∀v jG , entonces AI sat ϕ si y solamente si, sea cual sea el elemento a∈A, se

tiene que

A Ivja sat G;

8) Sea ϕ≡∃v jG , entonces

AI sat ϕ si y solamente si, para al menos un elemento a∈A, se tiene que A Ivja sat G .

Como es relativamente fácil observar esta definición recoge las ideas intuitivas

antes expuestas. En particular, cuando la fórmula ϕ es cerrada -adviértase los items 7 y 8

de la definición- la atribución particular de valores a las variables no juega ningún papel,




tal cual fue discutido antes. Cuando se está en ese caso, es decir, si ϕ es cerrada, puede

escribirse consistentemente que en una estructura A, ϕ se cumple. i.e.

A sat ϕ

esto puede leerse como “ A satisface ϕ” o “ϕ es verdadera en A” o “ A es un modelo de

ϕ”. Es obvio que también puede “agregarse” cualquier asignación, es decir, si se da el

caso de arriba, entonces para cualquier asignación I, AI sat ϕ.

La idea de que una estructura es un modelo de una fórmula o un conjunto de

fórmulas serán especialmente importante en nuestra disciplina. De hecho, una de las

ramas más bellas y fascinantes de la lógica matemática es la Teoría de Modelos.

7.4 Expresividad “teórico-modélica”

En el capítulo anterior se estudió la expresividad de los lenguajes de orden uno

en el sentido de su capacidad de permitir “paráfrasis” o “traducciones” aceptables de

enunciados (del lenguaje natural) o de conceptos (definidos en el lenguaje natural). El

propósito de esta sección es sugerir un segundo modo de entender “expresividad” de los

lenguajes de orden uno.

Un ejemplo puede ayudar a introducir este concepto. Se ha usado reiteradamente

en este libro –como mecanismo de prueba- la inducción. La inspiración de tales usos ha

sido la inducción aritmética. El Principio de Inducción en el campo de la aritmética de

los naturales puede expresarse informalmente así (llamémosle Principio de Inducción

Informal):

(PII) Si 0 posee una propiedad y si un natural n cualesquiera la posee, entonces

también la posee el sucesor de n, entonces todos los naturales poseen la

propiedad en cuestión.

Usando los recursos de orden uno podría expresarse así (llamémosle Principio de

Inducción en Orden Uno):

(PIOU) (R1c1 ∧ ∀v1(R1v1→R1f 11v1))→∀v1 R1v1 ;

donde R está en lugar de cualquier letra de predicado unario, c1 debe interpretarse como

0 y f 11 debe interpretarse como la función sucesor (i.e. f(x)=x+1) y el universo es ℵ.

Si se piensa en términos de modelos, la situación puede verse bajo una nueva

luz. Lo que afirma PIOU parece ser lo siguiente: para cualquier letra de predicado

unario R, si 0 posee la propiedad denotada por R y para cualquier natural, si él posee la




propiedad denotada por R, entonces su sucesor la posee, eso quiere decir que todo

natural tiene la propiedad denotada por R. Adviértase en esta paráfrasis conceptual de

PIOU una diferencia sustancial en relación con la idea intuitiva de inducción establecida

antes (PII): se habla de toda letra de predicado unario R y de todo número natural. ¿Por

qué? Planteado el problema de otro modo, ¿por qué no decir para toda propiedad R ,

como en el caso de PII? La respuesta es simple: porque no se cuenta –en orden uno- con

cuantificadores que cuantifiquen sobre variables de propiedades. Dicho de una forma

grosera: no puede decirse en orden uno, para toda propiedad (de números naturales)

pero sí puede decirse para todo número (natural); en orden uno –como se recuerda-

existe un solo tipo de variables: las variables de individuo. Esta restricción expresiva no

afecta, obviamente, la formulaciónc intuitiva. La “generalidad” de PIOU luego consiste

en ser un “esquema” que tiene tantas instancias como letras de predicado unario tenga el

lenguaje. Es esencial observar que el número total de tales instancias puede ser a lo

sumo numerable, ya que tal es la cardinalidad de los lenguajes que se han definido. Pero

¿cuál es el número total de propiedades de ℵ? Ciertamente ℘(ℵ) i.e. no-numerable.

Luego parece existir un cierto déficit expresivo en PIOU respecto de PII: el número de

propiedades que toma en cuenta (i.e. las letras de predicado) es numerable mientras que

el número de propiedades de ℵ es no-numerable.Debe notarse que estas observaciones sobre “expresividad” presuponen evaluar

la misma a la luz de la semántica conjuntística construida; sólo en esa medida cabe

“medir” de esta forma la diferencia entre el conjunto de las sustituciones posibles y el

conjunto de las propiedades posibles. Dicho de otra forma, al precisar la semántica de

los lenguajes formales puede precisarse también el concepto de expresividad y distinguir

en forma más riguroso los propios límites expresivos de tales lenguajes. Tal vez pueda

decirse que se poseen dos conceptos de expresividad de una fórmula ϕ de L: uno más

intuitivo, en el cual el poder expresivo de ϕ es evaluable (intuitivamente) en relación a

la semántica informal del lenguaje natural y uno más riguroso, en el cual la expresividad

de ϕ es evaluable a la luz de la semántica formal del lenguaje L. La conexión entre

ambos sentidos se encuentra en el plano de la relación entre la semántica (informal) del

lenguaje natural y la semántica (formal) de L. Los problemas conceptuales que emergen

al enfrentar tal cuestión exceden los modestos límites de este texto.




7.5 Consecuencia semántica y validez

La motivación inicial para la construcción de una semántica para el lenguaje

formal -tal cual se presentó aquí- consistía en obtener una adecuada elucidación de

“argumento lógicamente correcto”. Tal interpretación ha sido confeccionada y se ha

mostrado se comporta armónicamente con algunas importantes intuiciones semánticas

previas. En particular, se está ahora en condiciones de ofrecer una definición rigurosa de

los nuevos conceptos –más refinados que los construidos para el lenguaje proposicional-

de ·consecuencia teórico-modélica y validez teórico-modélica. La idea es muy simple:

sustituimos la noción de interpretación (modelo) antigua por lo nueva. Sólo para

comodidad del lector escribimos nuevamente tales definiciones.

Definición 7.6 (Consecuencia teórico-modélica) Sea Γ un conjunto de

fórmulas cerradas, sea ϕ una fórmula, diremos que ϕ es consecuencia teórico-modélica

de Γ -se nota: Γ|=ϕ- si para toda interpretación A que es modelo de Γ -es decir, que es

modelo de todas las fórmulas que pertenecen a Γ - A es modelo de ϕ.

A veces se ofrece una definición más general, no restringida a fórmulas cerradas.

En ese caso, en lugar de A debe escribirse AI en la definición de arriba. Se ha preferido

la definición tradicional –es decir, se adopta el punto de vista menos general,

restringiendo la definición a fórmulas cerradas- pues es más próximo al sentido intuitivo

de corrección argumental que ha sido ofrecida como la motivación central de la teoría

lógica. Cabe advertir, no obstante, que no es ésta la motivación exclusiva de tal teoría4.

Lo mismo vale respecto de la definición de validez siguiente5.

Definición 7.7 (Validez) Una fórmula cerrada ϕ de L es válida si y solamente si

para toda interpretación A, A es modelo de ϕ.

Un concepto que posee también interés es el de satisfacibilidad . Se trata de

entender más finamente una partición tradicional en la clase de las fórmulas (i.e. de losenunciados): aquellas fórmulas que son, intuitivamente hablando, “contradictorias” o

“absurdas” y aquéllas que no lo son. Estas últimas se denominan satisfacibles, las

primeras se dicen insatisfacibles. Desde el punto de vista formal, las definiciones lucen

así:

4

Baste recordar que algunos autores definen la lógica matemática como el estudio de los lenguajesformales.5 Se sigue en este caso a Manzano, M. Teoría de Modelos, Alianza, 1989.




Definición 7.8 (Satisfacibilidad) Una fórmula cerrada ϕ de L es satisfacible si y

solamente si existe alguna interpretación A, tal que A es modelo de ϕ. Un conjunto Γ de

fórmulas de L es satisfacible si y solamente si existe alguna interpretación A, tal que A

es modelo de γ , para toda γ∈Γ .Definición 7.8 (Insatisfacibilidad) Una fórmula cerrada ϕ de L es insatisfacible

si y solamente si no existe ninguna interpretación A, tal que A sea modelo de ϕ. Un

conjunto Γ de fórmulas de L es insatisfacible si y solamente si no existe ninguna

interpretación A, tal que A sea modelo de γ , para toda γ∈Γ .

Los conceptos arriba definidos de consecuencia teórico-modélica y validez

teórico-modélica serán de extrema utilidad al enfocar el problema que –principalmente-

motiva estas indagaciones, a saber, el problema de la evaluación argumental. Según se

discutió en el caso proposicional, representamos (en el modelo básico) un argumento así

(I) Pre1

Pre2

.

.

.

Pren

-----

Con

donde “Prei”(1≤i≤n) representan premisas y “Con” la conclusión. El primer paso en el

análisis del mismo -en términos de corrección formal- consistía en efectuar una

“traducción” de sus enunciados (pertenecientes al lenguaje natural) al lenguaje formal

apropiado. Representamos tal proceso así

(II) Pre’1

Pre’2

.

.

.

Pre’n

-----

Con’

El segundo paso consistía en la evaluación de la fórmula

(III) (Pre’1∧Pre’2∧...∧Pre’n)→Con’




Esta evaluación permitía responder -en términos proposicionales- a la cuestión de si se

estaba frente a un argumento lógicamente correcto. Según se sabe, si (III) es un

tautología, entonces (I) es un argumento lógicamente correcto. La motivación para la

construcción del cálculo de predicados –como se recuerda- es que la conversa no vale:

hay argumentos formalmente correctos cuya traducción no es una tautología. La

pregunta entonces es ¿cuál es la propiedad semántica equivalente, en el cálculo de

predicados, a la tautologicidad? La respuesta es la validez teórico-modélica

(entendiendo “modelo” en el sentido actual).

A partir de la definición expuesta resulta perfectamente claro qué debe

entenderse por validez de una fórmula. En algunos casos es muy evidente que una cierta

fórmula posee, precisamente, esta propiedad. Por ejemplo

∀v1(R11

v1→ R11

v1)

parece –indiscutiblemente- que se trata de una fórmula válida: para cualquier

interpretación AI. Pues se tiene que, para todo elemento a∈A, AIv1a |=(R1

1 v1→ R1

1 v1) ,

es decir, para todo elemento a∈A, AIv1a |≠R1

1 v1 o AIv1

a |=R11

v1 . Luego hemos

mostrado la validez de la fórmula. En otros casos es igualmente evidente que se está

frente a fórmulas no válidas. Por ejemplo

∃v1∀v2 R2

1

v1v2

no es válida; para advertirlo alcanza con tomar la relación como mayor estricto y como

dominio de la interpretación ℵ.

Una cuestión que surge de forma muy natural es cómo puede determinarse, una

vez que se dispone de una semántica para el lenguaje de orden uno, si una cierta

fórmula del lenguaje es o no válida. Si se evoca el caso proposicional, la interrogación

podría incluso reclamar más información: ¿existe algún procedimiento de decisión -es

decir, un procedimiento mecánico- que permita determinar, dada una fórmula ϕ de este

lenguaje, si ella es o no válida? Entre otras, de estas cuestiones se ocupa, precisamente,

el próximo capítulo.




7.6 Síntesis

En este capítulo se construyó una semántica o, más precisamente, se caracterizó

una forma de proveer semánticas para los lenguajes formales estudiados en el capítulo

anterior. Dado que los lenguajes de primer orden son sintácticamente más complejos,

esta tarea se vuelve más dificultosa que en el caso del lenguaje proposicional. En primer

lugar, cabe distinguir, en el vocabulario, dos “tipos” de símbolos: a) aquellos que

pertenecen a todo lenguaje (conectores, cuantificadores, igualdad, variables) y b) laparte descriptiva del lenguaje (letras de predicado, letras de función, constantes) que

varía de acuerdo a cada lenguaje particular. La interpretación (la atribución de

significado al lenguaje) atiende a esta diferencia; la parte a) es constante, para toda

interpretación –excepto las variables, como se verá enseguida; la parte b), en cambio,

varía, podríamos decir que es la responsable de la diversidad de interpretaciones.

Los símbolos de la parte a) se interpretan de la forma siguiente: los conectores,

como es habitual, son asociados a funciones veritativas, la igualdad posee lainterpretación obvia y el cuantificador universal se interpreta como “todo (objeto del

dominio)” y el cuantificador existencial como “algún (objeto del dominio)”.La pregunta

es :¿cuál es el “dominio”? El conjunto en el cual toman valor las variables. Pero ¿cuál

es ese conjunto? La respuesta a esta interrogante debe (también) ofrecerla la

interpretación.

Un modo rápido de entender la noción de interpretación puede ser este6:

Interpretación = Estructura + Asignación

¿Qué trabajo realizan las estructuras-L? Las estructuras-L aportan –hablando

intuitivamente- el dominio de la interpretación y adjudican significado a las constantes,

a las letras de relación y a las letras de función. Esta operación semántica es suficiente

para que las fórmulas cerradas adquieran significado. Pero ¿es también suficiente para

6 El carácter rápido reside en que dejamos afuera la atribución de significado a los símbolos lógicos. La

justificación es que, dado que tal atribución se mantiene fija, nos concentramos en la parte dinámica.




que las fórmulas abiertas adquieran significado? La respuesta es: no. Es ese,

precisamente, el papel de las asignaciones: adjudicar significado a todos los términos

del lenguaje y así otorgar significado a todas las fórmulas (cerradas y abiertas) del

lenguaje. Este efecto se logra dado que las asignaciones atribuyen valores a todas las

variables de individuo del lenguaje i.e. son funciones totales de V en el dominio de la

interpretación.

Pueden formularse diversas interrogantes a propósito del comportamiento de esta

noción de interpretación en relación con su capacidad de adecuarse a ciertas intuiciones

básicas. En particular, surgen preguntas conceptualmente cruciales cuando los conceptos

intuitivos previos en los que nos concentramos son los conceptos de “consecuencia

lógica” y “verdad lógica”. Según se ha visto, pueden usarse la noción de “modelo” aquí

construida para ofrecer una contrapartida rigurosa de aquellas venerables nociones

intuitivos. La relación, no obstante, entre el concepto intuitivo de “consecuencia lógica”

(o de “verdad lógica”) y el concepto matemáticamente riguroso de “consecuencia

teórico-modélica” (o de “validez teórico-modélcia”) dista de ser trivial7.

7

Una creciente bibliografía revela la importancia filosófica del problema; puede consultarse al respectouna obra ya clásica de J. Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press,

1990.

Capitulo 7-Texto Seoane

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