Capitulo 8 - Lineas de Influencia en Vigas (1)

1Universidad Nacional de Ingeniera

LNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS

No podemos resolver problemasusando el mismo tipo de pensamiento que usamoscuando los creamos.

Albert Einstein

Universidad Nacional de Ingeniera8.1 CONCEPTOS PREVIOS

Para la viga, con una carga P fija, ubicadaa a metros del apoyo A, se considerapara el diseo de esta, el momento flectormximo de:

Mmx = PabL

A

PbL

B

L

P

PaL

a b

Pab = MmxL

X

PbL

+

M

V

DMF (M)

X LPaR

0PRR0FL

PbR

0)b(P)L(R0M

B

BAV

A

AB

LPabMax

0M0x

)x(L

PbM

:ax0

Universidad Nacional de Ingeniera

4 m

P

1 m

P (1)(3) = 0.75 P = M1 mx4

1 m1 m1 m

P P

P (2)(2) = P = M2 mx4

P (3)(1) = 0.75 P = M3 mx4

A B

Para una viga, con una carga P mvil,(ubicada a 1m 2m 3m del apoyo A),se considera para el diseo, el mximode los momentos flectores posibles:

M1 mx

M2 mxM3 mx

.

.

Mn mx

Mmx(de todas las posibles

ubicaciones)


Para disear adecuadamente un puente, es necesario conceptos y procedimientospara vigas sometidas a cargas mviles, y determinar el momento mximo al cualestar sometida la estructura.


Caso contrario, es plausible de colapso.




Para luces ( L ) cortas: 2 a 8 m.(puentes de un solo tramo)

L

Seccin 1 - 1

Ancho = 3 a 10 m.

1

1

TIPOS DE PUENTES:

TIPO LOSA

Universidad Nacional de IngenieraTIPO LOSA DE SECCIN CONTINUA

Viga continua para luces de 8 a 12 m.

8 m 8 m12 m

Sper estructura

Estribo

Pilar

4Universidad Nacional de IngenieraPUENTE DE VIGAS + LOSA

- Para luces de 15 a 25 m.

- La seccin longitudinal es la mismaque la del Tipo Losa, pero con laseccin transversal indicada.

- Para Tramos:

Concreto armado : 15 a 25 metros

Concreto pretensado : 25 a 60 metros

Universidad Nacional de IngenieraPUENTE CON VIGAS DE METAL

- Dimensiones por tramos puedenser las mismas que las delpuente de vigas+losa deconcreto pretensado.

Universidad Nacional de IngenieraPUENTE SECCIN CAJN

- Utilizado en puentes de seccionescurvas, acueductos, continuos.

- Gran rigidez en torsin.

5Universidad Nacional de IngenieraPUENTE TIPO PRTICO

Universidad Nacional de IngenieraPUENTE TIPO ARCO

Universidad Nacional de IngenieraPUENTE ATIRANTADO

6Universidad Nacional de IngenieraPUENTE COLGANTE

Universidad Nacional de IngenieraPUENTE RETICULADO

Universidad Nacional de Ingeniera CARGAS QUE ACTAN SOBRE UN PUENTE

Peso Propio + Peso Muerto + Vehculos + Sismo + Viento + Colisiones + Explosiones

Cargas Permanentes Cargas Variables

Vehculos: Carga mvil, determinada por reglamentos para cada tipo devehculos (desde los ms livianos a los ms pesados),ubicacin y uso del puente (urbano o rural).

Manual de Diseo de Puentes - Per:

- R.M. N 589-2003-MTC/02del 31.07.2003

Reglamento Americano (AASHO):

- Cargas Tipo H : Camiones 2 ejes.

- Carga Tipo HS : Camiones 3 ejes.

Reglamento Francs: C 30

Puente debe ser diseado para que soporte estas cargas.

Cargas Excepcionales


EJEMPLO: H20 S16

4.2 m 9 m

1.8 m

3 m

4 Ton 16 Ton 16 Ton

H 20 + S 16

4 + 16 16

Semirremolque


8.2 DEFINICIN DE LA LNEA DE INFLUENCIA

En los captulos anteriores se han mostrado estructuras que soportaban cargas fijasdispuestas en una sola posicin; sin embargo, existen estructuras que estn sujetasa cargas que se mueven a lo largo de las mismas, siendo el caso mas evidente es elde los puentes que estn bajo el trnsito de vehculos.

Si reconocemos que todo elemento de una estructura debe disearse para lascondiciones ms criticas de fuerza, resulta necesario manejar una herramienta quenos oriente donde colocar las cargas mviles para obtener los mximos efectos.

Las Lneas de Influencia se usan para determinar dnde se deben ubicar las cargasmviles para que stas causen las mximas fuerzas en la estructura.

Para dibujar las Lneas de Influencia, se debe graficar como ordenadas (eje Y) losvalores en estudio (reacciones, fuerza cortante, momento flector), obtenidos desituar una carga unitaria en diferentes posiciones a lo largo de la estructura.

Universidad Nacional de Ingeniera8.3 LNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACCIONES

x es variable

L

P = 1 Ton.

RAx ( L x )

A B

RB

+ 1

( + )Y1

L. I. RA

+ 1

( + )Y2

L. I. RB

+ MA = 0 : P (x) RB (L) = 0

Como P = 1 Ton.

RB = xL

0 x L x = 0 RB = 0x = L RB = 1

Por equilibrio:

+ MB = 0 : RA (L) P (L x) = 0

Como P = 1 Ton.

RA = L x = 1 xL L

0 x L x = 0 RA = 1

x = L RA = 0


RA = P (Y1) RA = Y1

RB = P (Y2) RB = Y2

Si P = 1

Si P = 1

P1

RA RB

+ 1

Y1L. I. RA

P2 P3

Y2 Y3

RA = P1 (Y1) + P2 (Y2) + P3 (Y3)

RA = Pi Yi

RA RB

+ 1

REA = L. I. RA

W

RA = w ()


8.4 LNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES EN UNA SECCIN

P = 1 Ton

1 x = RAL

RB = xL

1

1

a b

L

x

A B

( L x )

() Cuando la carga esta ubicada entre0 x a, se calcular la fuerzacortante en la seccin 11 (ametros del apoyo A):

P = 1 Ton. ubicada entre 0 x a

V1-1 = - RB = - xL

x = 0 V = 0

x = a V = - aL

x = L V = - 1

+

Parte derecha parano considerar en laecuacin la carga P

1

1

V

RB

(derch)


P = 1 Ton

1 x = RAL

RB = xL

+ 1

YCL. I. V1-1

1

1

a b

L

x

A B

( + )

( - )

- 1

- aL

bL

( L x )

() Carga P = 1 Ton. ubicada entre a x L

V1-1 = ??

Ahora consideramosparte izquierda para noincluir en la ecuacin lacarga P.

1

1V

RA

+(izq)

V1-1 = RA = 1 - xL

x = 0 V = 1

x = a V = 1 - a = bL L

x = L V = 0

YC : Fuerza cortante en la seccin 1 1 (V1-1) debido a la carga P (P = 1 Ton),cuando esta carga unitaria se encuentra donde se indica en la figura.


P = 1 Ton

1 x = RAL

RB = xL

1

1

a b

L

x

A B

( L x )

8.5 LNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLECTORES EN UNA SECCIN

M1-1 = ?? cuando la carga P = 1 Ton,se encuentra ubicada 0 x a :

M1-1 = RB (b) = x bL

x = 0 M = 0

x = a M = abL

x = L M = b

+

1

1

M

RBb

(derch)


P = 1 Ton

1 x = RAL

RB = xL

+ a

YM

1

1

a b

L

x

A B

( + )

+ b+ ab

L

( L x )

L. I. M1-1

x = 0 M = a

x = a M = abL

x = L M = 0

M1-1 = ?? Cuando la carga P = 1 Ton,

en a x L :

1

1

M

RA a +(izq)

M1-1 = RA (a) = ( 1 x ) aL

YM : Momento flector en la seccin 1 1 (M1-1) debido a la carga P (P = 1 Ton),cuando la carga unitaria esta ubicada donde se indica en la figura.

Universidad Nacional de IngenieraOBSERVACIONES:

Las ordenadas tienen dimensionesfuerza x longitud.

Las ordenadas poseen dimensinde longitud.

P

P( 1 x )L

P xL

L

x

( + )D. M. F.

( L x )

P ( 1 x ) xL

P

P( 1 x )L

P xL

a

x

( + ) L. I. M1-1

( L x )

M1-1 = P (YM)

L

b

1

1

YM

abL

En el Diagrama de Momentos Flectores, cada ordenada representa el momentoflector en la seccin correspondiente, originado por cargas fijas.

En el Diagrama de Influencia, cada ordenada indica el factor que debemultiplicarse a la fuerza P (ubicada en correspondencia con ella) para obtenerel momento flector en una seccin transversal fija.

10


En el Diagrama de Influencia de la fuerza cortante en una seccin 1-1,cualquier ordenada de este es numricamente igual a la fuerza cortanteen la seccin fija 1-1, cuando una carga unitaria ocupa sobre la viga laposicin correspondiente a la ordenada elegida.

P = 1 Ton

1 x = RAL

RB = xL

+ 1

YCL. I. V1-1

1

1

a b

L

x

A B

( + )

( - )

- 1

- aL

bL

( L x )


Se desea determinar la ubicacin de la seccin en que se origina el mayor

momento flector mayor, que un mismo sistema de cargas, podra producir en una

viga simplemente apoyada.

La solucin completa, es hallar el momento flector mximo y determinar en que

seccin se produce, cuando un sistema dado de cargas se desplaza a lo largo

del tramo.

Esta seccin transversal particular se denomina seccin peligrosa y elmomento flector mximo que en ella se origina momento flector mximoabsoluto. Este momento, en el caso de una viga de seccin transversalconstante, es el que debe utilizarse como base para el diseo de dicha viga.

8.6 VALORES MXIMOS PARA CARGAS MOVILES EN UNA VIGA SIMPLE


Consideraremos el caso general de una viga simplemente apoyada, cargada

con una serie de fuerzas concentradas como se muestra en la figura.

Como todas las cargas producen momentos flectores positivos (en todas las

secciones), entonces para obtener el momento flector mximo absoluto,

debemos aplicar sobre la viga el mayor nmero posible de cargas importantes.

Si suponemos una posicin cualquiera de las cargas, el momento flector

mximo se producir debajo de la que determina el cambio de signo en el

diagrama de fuerza cortante.

11

Universidad Nacional de IngenieraCASO GENERAL

L

A

D.F.C.

B

a x

R = PJ1

nP1 P2 Pi P4 P5 Pn

(L - x - a )R x = RA

L

D.M.F.

( + )

( - )

Mmx

Universidad Nacional de Ingeniera En la figura:

Pi = Carga donde se produce el cambio de signo de la fuerza cortante.

R = Resultante de todas las fuerzas que actan en la viga.

x = Distancia de la resultante R al apoyo B.

M = Suma de los momentos de todas las cargas situadas a laizquierda de Pi, con respecto al punto de aplicacin de esta.

a = Distancia entre las fuerzas R y Pi.

El momento flector bajo la carga Pi, ser:

Mpi = RA (L x a) M

como: RA = R xL

Mpi = R x ( L x a ) ML


Considerando que podemos hacer variar x sin que ninguna carga penetre en eltramo o salga de l, dentro de estos limites, para determinar el momento mximo:

d Mpi = 0dx

d Mpi = R ( L 2x a ) = 0 ( L 2x a ) = 0dx L

x = L x a

Por tanto Mpi ser un mximo absoluto, cuando Pi y la resultante de todaslas cargas R sean equidistantes de los extremos de la viga.

12


El mximo momento flector en una viga simplemente apoyada sometida a la

accin de un conjunto de cargas concentradas, se produce debajo de la carga

en que cambia el signo la fuerza cortante, y es un mximo absoluto, cuando

las fuerzas se hallan dispuestas de manera que el punto medio de la viga,

divide en partes iguales la distancia a (distancia entre las fuerzas Pi y R).

La seccin, en que se produce el momento flector mximo absoluto, (la

seccin peligrosa), nunca se aleja de la seccin transversal media.


PROBLEMA :

Para la viga que se muestra y considerando el tren de cargas indicado, determinar elmximo momento flector y la mxima fuerza cortante:

Determinamos la ubicacin de R = 12 Ton. (resultante del tren de carga)

L = 40

R = 12 Ton

2 Ton 4 Ton 6 Ton

6 20

9 11 = r

M Extremo Derecho = 0 2 Ton (26) + 4 Ton (20) = 12 Ton ( r )

r = 11


Para determinar el Mmx se considera las siguientes posiciones:

RA

2 T 4 T 6 TR

7.5a2

POSICIN I:

Considerando que la seccin crtica seencuentra ubicada en Pi = 2 Ton ( a = 15 )

Pi

POSICIN II:

Considerando que la seccin crtica esten Pi = 4 Ton ( a = 9 )

RA

2 T 4 T 6 TR

4.5a2

Pi

POSICIN III:

Considerando que la seccin crtica esten Pi = 6 Ton ( a = 11 )

7.5a2

4.5a2

RA

2 T 4 T 6 TR

5.5a2

Pi

5.5a2

13


POSICIN I: Considerando que la seccin crtica se encuentra ubicada en Pi = 2 Ton ( a = 15 )

piestonMM

MaxLLxRM

Como

tonLRxR

piesx

aLxaSi

I

I

I

A

875.460)5.12(75.3

)(

:

.75.340

)5.12(12

5.122

15402

'15

12.5(L x a )

RA

15a

12.5x

2 T 4 T 6 TR

7.5a2

7.5a2


POSICIN II: Considerando que la seccin crtica est en Pi = 4 Ton ( a = 9 )

piesTonM

tonLRxR

piesxa

II

A

075.60)6(2)5.15(65.4

.65.440

)5.15(12

5.152

940'9

15.5(L x a )

RA

9a

15.5x

2 T 4 T 6 TR

4.5a2

4.5a2


POSICIN III: Considerando que la seccin crtica est en Pi = 6 Ton ( a = 11 )

Notamos que cuando suponemos esacondicin, la carga de 2 Ton del tren decargas, sale de la viga.

La resultante debe cambiar, solamentese debe tomar en cuenta las cargas quesoporta la viga.

'8r)r(10)'20(4 TT

11a

2 T 4 T 6 TR

5.5a2

5.5a2

R = 10 T

4 T 6 T

20

12 8 = r

15(L x a )

14


piesTon64)x(RM

.ton440

)16(10R

pies162

840x

'8atomando

BIII

B

Comparando los 3 momentos ( en las 3 posiciones) Mmx = 64 Ton - pies

16( L x a )

8a

4 T 6 TR

4a2

4a2

RB

16x


Mxima Fuerza Cortante: Esta se da cuando una de las cargas del tren

de cargas pasa por un apoyo.

.Ton7.540

)240(6RB

POSICIN II:

.Ton2RB

2 T 6 T

RB

4 T

2 T 6 T

RB

4 T2

R = 6 T

POSICIN I:


.Ton7.840

)1140(12RB

POSICIN III:

Comparando tenemos: Vmx = 8.7 Ton

2 T 6 T

RB

4 T11

R = 12 T

15


8.7 LNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CON VOLADO EN EL EXTREMO

L1

P = 1 Ton.

RA RB

+1

( + )

L. I. RA( - )

L2

L. I. RB

1A L

x1R

1B L

xR +1

( + )

1

2

LL

1

2

LL1


L1

P = 1 Ton.

+1

( + )L. I. V1-1

( - )

L2

L. I. M1-1

1Lb

-1

1

2

LL

aLL

1

2

1

1

a b

x

( - )

1La-

1Lab

+a

+b

( - )

( + )


8.8 LINEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS GERBER (1 FIJO, 2 MOVILES)

P = 1 Ton

A B D C

x

a b c

+

+

+

-

+ 1

+ 1

+ 1

0

0

0 0

LNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES

L. I. RA

L. I. RB

L. I. RC

y

16


A B D C

L1 L2 L3

+

+

( + )

-

+ 1

+ 1

- 1

0

0

0L. I. V1-1

L. I. V2-2

1

1

2

2

3

3

-

+ 1

( - )

L. I. V3-3

- 1

LNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES


- d

+

+ a

e

0

0

L. I. M1-1

L. I. M2-2

+ b

L. I. M3-3

-+

a b

d

-

f

e f

LNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLECTORES


LNEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES EN UN APOYO:

En los apoyos se obtiene momentos iguales a cero.

Cantidades significativas slo en los tramos vecinos y subsiguientes.

-+

-+

--

L. I. MA APOYO

A

8.9 LINEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS

17


LNEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES EN UN PUNTO CUALQUIERA:

-+

-+

+

L. I. M1-1

1

1

Capitulo 8 - Lineas de Influencia en Vigas (1)

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